UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA

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1 UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO MESTRADO EM: Cêncas Actuaras SISTEMA DE BONUS-MALUS PARA FROTAS DE VEÍCULOS Elsabete da Conceção Pres de Almeda Nora Orentação: Doutor Pedro Alexandre da Rosa Corte Real Júr: Presdente: Doutora Mara de Lourdes Caraças Centeno Vogas: Doutor João Manuel de Sousa Andrade e Slva Doutor Pedro Alexandre da Rosa Corte Real Doutora Isabel Mara Ferraz Cordero Agosto/ 2004

2 GLOSSÁRIO DE TERMOS d f - duração de observação do veículo da frota f m f - dmensão da frota f M n - valor resultante da função de log-verosmlhança - conjunto dos números nteros N f - número de snstros declarados pelo veículo da frota f o(h) - nfntésmo com h de uma função pˆ - estmador de credbldade - conjunto dos números reas R f - heterogenedade resdual na dstrbução do rsco da frota S f - heterogenedade resdual na dstrbução do rsco do veículo U f - heterogenedade resdual na dstrbução do número de snstros x f - componente de regressão relaconada com a frota z f - componente de regressão relaconada com o veículo - parâmetro relaconado com a frota - parâmetro relaconado com o veículo f - frequênca de snstraldade do veículo da frota f - percentagem de turnover - factor de credbldade 2

3 RESUMO Esta dssertação tem como objectvo a construção de um sstema de Bonus-Malus para frotas de veículos, tendo por base o conhecmento da snstraldade hstórca e utlzando os factores ndvduas dos veículos e das empresas a que correspondem as frotas. Os coefcentes de bonus-malus são obtdos através das credbldades específcas do veículo e da frota, tendo em atenção o turnover esperado para os veículos de cada frota. A expressão turnover ndca-nos a percentagem de veículos da frota que, por hpótese, poderão entrar em rotatvdade, sto é, supõe-se a possbldade de exstr entradas e saídas de veículos. As frotas são ndexadas por f = 1,...,F, e os veículos são ndexados por = 1,..., m f, onde m f é a dmensão, ou seja, o número de veículos da frota f. Supondo que o número de snstros f ~ Pλ f f d f x f z f N segue uma dstrbução de Posson, o parâmetro exp será uma função dos factores de avalação observados ao nível da frota (x f ) e do veículo (z f ), onde d f é a duração de observação do veículo da frota f. Obtemos o conjunto de estmadores ˆ e ˆ, utlzando a Pseudo-Máxma Verosmlhança e o método proposto por Mexa/Corte Real, que se basea nos Estmadores Extremas, para um conjunto de dados Portugueses, relatvos ao período de Novembro de 1997 a Janero de Algumas conclusões serão apresentadas, de acordo com os dados analsados. Palavras chave: Bonus-Malus, credbldade, veículo, frota, Pseudo-Máxma Verosmlhança, Estmadores Extremas. 3

4 ABSTRACT The purpose of ths thess s to provde Bonus-Malus System for fleets of vehcles from the hstory of clams, usng the ndvdual characterstcs of both the vehcles and the carrers. Bonus-malus coeffcents are obtaned from vehcle-specfc and fleet-specfc credbltes. Coeffcents take nto account an expected turnover for the vehcles wthn the fleets. The expresson turnover means the percentage of vehcles wthn the fleet that, by assumpton, could take n rotaton, because we suppose that exsts the possblty of gettng n and gong out vehcles n the fleet. Indexng the fleets by f = 1,...,F, and the vehcles by I = 1,..., m f, where m f s the sze, that s, the number of vehcles of the fleet f, f the number of clams N f Pλ f ~ f follows a Posson dstrbuton, we obtan the estmator of the parameter d exp x z, whch wll be a functon of ratng factors observed at the fleet f f f level (x f ) and at the vehcle level (z f ), wth d f the duraton of the observaton perod for the vehcle n the fleet f. We obtan a set of estmators ˆ and ˆ usng the pseudo maxmum-lkelhood and the method proposed by Mexa/Corte Real, whch s based on extremal estmators, for a set of Portuguese data, consderng the perod from November 1997 to January Some conclusons are drawn regardng the data analyzed. Keywords: Bonus-malus, credblty, vehcle, fleet, pseudo maxmum lkelhood, extremal estmators. 4

5 ÍNDICE Prefáco 9 Agradecmentos Sstemas de Bonus-Malus Tarfação a posteror Defnção de um Sstema de Bonus-Malus Snstraldade Modelo de Posson Homogéneo Cartera Homogénea Modelo de Posson Msto Cartera Heterogénea Modelo de Posson com factores aleatóros numa Cartera estratfcada Estmadores Extremas Método de Pseudo-Máxma Verosmlhança Teora da Credbldade Fórmula Básca de Credbldade Modelo de Bühlmann Credbldade no Seguro de Frotas para Veículos Estatístca Descrtva da Cartera Característcas Geras Factores Específcos da Frota Factores Específcos do Veículo Aplcação a uma Cartera Portuguesa Parâmetros Relaconados com a Frota e o Veículo Snstraldade 71 5

6 5.3. Estmadores das Varâncas Coefcentes de Bonus-Malus Sstemas Óptmos Bonus-Malus para veículos, segundo Bühlmann Prémo Puros versus Indemnzações 92 Conclusões 94 Bblografa 98 Anexo 101 6

7 LISTA DE TABELAS 2.1. Exemplo de famílas exponencas lneares Dstrbução da amostra, de acordo com as varáves específcas das frota 4.2. Dstrbução da amostra, de acordo com as varáves específcas dos veículos Estmação dos parâmetros através do Método de Pseudo-Máxma Verosmlhança e do Método Mexa/Corte Real 5.2. Função de Log-Verosmlhança e Soma dos Quadrados dos Resíduos Comparação entre o n.º de snstros observados e os esperados pelo Método de Pseudo-Máxma Verosmlhança e Método Mexa/Corte 72 Real 5.4. Estmadores das varâncas Factor de credbldade médo para frotas e veículos de acordo com as varáves específcas das frotas Desvo padrão dos coefcentes de bonus-malus de acordo com as varáves específcas das frotas Sstema Óptmo Bonus-Malus para frotas de aluguer de curta duração Modelo de Bühlmann Bónus aplcado ao prémo das frotas de aluguer de curta duração, por cada ano sem snstros Agravamento aplcado ao prémo das frotas de aluguer de curta duração, consoante a snstraldade declarada Exemplo de uma dstrbução observada para o número de snstros Sstema Óptmo Bonus-Malus para frotas de transporte de mercadoras Modelo de Bühlmann Sstema Óptmo Bonus-Malus para frotas de transporte de carga Modelo de Bühlmann Sstema Óptmo Bonus-Malus para frotas de transportador ndependente (outros) Modelo de Bühlmann Comparação entre montante de ndemnzações pagas e prémos puros estmados

8 LISTA DE FIGURAS 4.1. Dstrbução dos veículos por marcas Dstrbução da amostra, segundo a dmensão da frota Dstrbução da amostra, segundo os anos da empresa Dstrbução da amostra, segundo o sector de actvdade Dstrbução da amostra, segundo o peso bruto Dstrbução da amostra, segundo o tpo de uso Dstrbução da amostra, segundo o tpo de combustível Dstrbução da amostra, segundo a clndrada Comparação entre o n.º de snstros observados e o n.º de snstros esperados 5.2. Prémo de credbldade, segundo a snstraldade de cada frota

9 PREFÁCIO Os Sstemas de Bonus-Malus foram crados para se poderem ajustar os prémos, a posteror, de acordo com a snstraldade hstórca do condutor, necessdade bem sntetzada numa frase de Centeno (2002), (...) o melhor predctor do número futuro de snstros não é a dade do condutor ou do carro, a sua clndrada ou potênca, mas sm a experênca passada. No cálculo do prémo, as Seguradoras agrupam os rscos em classes mas ou menos homogéneas, de modo a controlar o rsco e a smplfcar o esquema de tarfação. Por exemplo, para os veículos lgeros ndvduas, os factores são agrupados em classes de modo a tentar chegar ao comportamento real dos segurados. Assm, as classes mas comuns tpfcam-se por: clndrada/potênca, dade do condutor, dade da carta, zona de resdênca (na falta de zona de crculação), o tpo de combustível (na falta de qulometragem anual). Estes são factores que nos vão ajudar a tentar compreender qual o tpo de condução e comportamento de cada condutor no seu da-ada. Através da clndrada/potênca podemos tentar perceber qual o tpo de condução efectuada, pos quanto maor for este valor, maor será a velocdade que o veículo pode atngr. Segundo a dade do condutor percebemos a maturdade do mesmo, enquanto que através da dade da carta sabemos se o condutor tem já alguma experênca de condução ou não. Através da zona de resdênca como do tpo de combustível, podemos tentar perceber qual a exposção ao rsco do condutor, pos se a zona de resdênca 9

10 Prefáco concdr com zonas urbanas ou se o veículo for a gasóleo, em prncípo, exste um maor rsco de snstraldade. No entanto, em Portugal não exste, em geral, um Sstema de Bonus-Malus específco para frotas de veículos. Grande parte das Seguradoras o que fazem, habtualmente, é aplcar o sstema de bonus-malus do seguro automóvel ndvdual, analsando veículo a veículo, e desprezando o facto de estarem perante um conjunto de veículos com factores semelhantes, como por exemplo, o sector de actvdade das frotas. A prátca exercda pela Seguradora em estudo é analsar a snstraldade agregada dos veículos pertencentes a cada frota e, a partr daí, renovar o contrato de seguro com novo prémo para a anudade segunte, sem recorrer a qualquer Sstema de Bonus-Malus. Desta forma, as empresas, a que correspondem as frotas, desconhecem completamente qual o agravamento ou bónus que se rá reflectr na anudade segunte, o que pode prejudcar a sede de bónus, sto é, a transferênca de responsabldade de pequenos snstros para o segurado. Não exstndo esta transferênca de responsabldade, além de aumentar o montante das ndemnzações a pagar, a Seguradora rá ter um acréscmo de trabalho na gestão de snstros que, sendo de baxos montantes, têm despesas de gestão proporconalmente elevadas. Feta esta ntrodução, cumpre-nos salentar que o trabalho está dvddo em cnco Capítulos e o seu prncpal objectvo é ajudar a colmatar uma lacuna no mercado segurador, ou seja, construr um Sstema de Bonus-Malus para frotas de veículos. Assm sendo, remos propor um Sstema para cada sector de actvdade das empresas, segundo o modelo proposto por Desjardns, Donne & Pnquet (2001) que tem como prncpal 10

11 Prefáco característca supor que o número de snstros segue uma dstrbução de Posson, em que o parâmetro se escreve em função dos factores de avalação da frota e do veículo. No prmero Capítulo fazemos uma breve ntrodução aos Sstemas de Bonus-Malus, explcando a sua mportânca na tarfação a posteror e apresentando uma defnção geral. O segundo Capítulo apresenta três modelos possíves para explcar a dstrbução do número de snstros, sendo o últmo o que melhor se adapta à nossa abordagem, pos propomos a análse com base numa Cartera estratfcada por frotas. Além dsso, apresentamos dos métodos para obter os estmadores: o método de Pseudo-Máxma Verosmlhança e o método proposto por Mexa & Corte Real (2003). É mportante salentar que nos seguros de frotas de veículos, a Cartera está dvdda em estratos (as frotas), onde a cada frota corresponde uma empresa. Neste tpo de contratos não temos qualquer nformação sobre o condutor habtual, assm a entrada de um novo veículo apenas poderá ser relaconado com a frota a que este pertence. O modelo proposto agrupa os rscos de acordo com os factores ndvduas das frotas e dos veículos, consderando que o número de snstros de cada frota segue uma dstrbução de Posson. No tercero Capítulo é feta uma pequena abordagem à teora da credbldade, fazendose especal referênca ao modelo apresentado por Bühlmann (1967). Por últmo apresentamos os coefcentes de bonus-malus que serão obtdos através dos factores de credbldade específcos da frota e do veículo. Estes coefcentes para o período 11

12 Prefáco segunte rão depender do turnover esperado para os veículos da frota, de acordo com o modelo apresentado pelos autores acma referdos. Este modelo será aplcado a uma base de dados de uma Companha de Seguros Portuguesa. A Cartera de seguros estudada tem frotas, que em méda representa 9 veículos por frota, somando um total de veículos. Toda a análse feta à amostra em estudo será apresentada no Capítulo quatro. A maor parte das frotas pertencem ao sector de actvdade que explora os veículos de aluguer de curta duração. Neste tpo de sector consderámos os veículos que podem ser alugados num curto espaço de tempo (por exemplo, os veículos que os turstas alugam nas féras) e os veículos alugados pelas empresas para desenvolver a actvdade profssonal, negóco esse recente, mas em grande expansão no nosso país, dado que as empresas preferem não nvestr em novos veículos. Este negóco surgu na década de sessenta nos Estados Undos e na Europa Ocdental. Estes contratos de gestão de frotas, ou tecncamente chamados de Aluguer Operaconal de Vaturas, são efectuados por períodos que podem r de dos a cnco anos, onde as empresas podem usufrur de um determnado número de servços, entre eles a senção do pagamento de qualquer tpo de seguro para os veículos, do Imposto Muncpal, e anda benefcam de Assstênca em Vagem (em caso de avara mecânca, acdente, perda de chaves, falta de gasolna, falhas de batera e/ou furto da vatura), manutenção e revsão do veículo, cartão de combustível, etc. Em contrapartda, têm que pagar uma renda mensal pela utlzação do veículo e pelos servços que lhe são fornecdos, mas permte às empresas dedcarem exclusvamente ao seu negóco, sem terem que se preocupar com a gestão de frotas. 12

13 Prefáco No últmo Capítulo, apresentamos todos os resultados necessáros à estmação da snstraldade, por forma a obtermos os coefcentes de bonus-malus. Daremos, anda, alguns exemplos de quas os bónus ou agravamentos que os prémos poderão sofrer e, para fnalzar, propomos Sstemas de Bonus-Malus que poderão ser utlzados consoante o sector de actvdade da empresa a que corresponde a frota, não tendo a preocupação de encontrar o sstema óptmo de acordo com a abordagem. Neste trabalho fcam em aberto algumas questões que poderão ser estudadas futuramente: 1. Perceber qual a varável que melhor caracterza as frotas para encontrar o Sstema de Bonus-Malus óptmo, pos apenas entrámos em consderação com o Sector de Actvdade (varável que mas concentrava os veículos numa só classe); 2. Fazer uma análse de sensbldade aos factores utlzados e tentar perceber se exstem outros que melhor caracterzam tanto veículos como frotas; 3. Determnar os factores com maor relevânca na determnação da snstraldade. 4. Comparar os valores de Bonus-Malus obtdos através da Teora da Credbldade e o Modelo de Bühlmann. 13

14 AGRADECIMENTOS Gostara de começar por agradecer ao Prof. Doutor Pedro Corte Real pela sua orentação, ajuda e ensnamentos centífcos que me transmtu. Para além dsso, agradeço a sua smpata e a força que sempre me deu, pos foram essencas na concretzação desta dssertação. Ao Prof. Doutor João Tago Praça Nunes Mexa pelo nteresse e conselhos ndspensáves a este trabalho, assm como a amzade e dsponbldade com que sempre me atendeu. Ao Dr. João Cordovl e à Dra. Isabel Sarava Gomes a possbldade que me fo concedda de frequentar este Mestrado, assm como a dsponbldade em tempo para conclur esta dssertação. Para além dsso, agradeço a amzade e os conhecmentos técncos que sempre me transmtram. À Companha de Seguros, na pessoa do seu Drector da Área Técnca I por ter autorzado a utlzação da nformação dsponível na empresa na aplcação prátca desta dssertação. Em especal, à actuára deste departamento, pela ajuda precosa na nterpretação da base de dados. Ao Prof. Doutor Walther Neuhaus pelo nteresse demostrado e ajuda fundamental na procura de bblografa na fase ncal deste trabalho. À mnha famíla e amgos que sempre me apoaram e ncentvaram ao longo deste tempo. Um agradecmento muto especal à mnha mãe que toda a vda me apoou nas mnhas decsões. Fnalmente, uma palavra de grande agradecmento à pessoa que mas amo neste mundo, o meu mardo, pela sua nfnta pacênca ao longo de todos estes anos de estudo. Obrgada! 14

15 CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE BONUS-MALUS 1.1. Tarfação a posteror A actvdade Seguradora exge, na sua gestão, uma constante busca de equlíbro técnco. As recetas (prémos a pagar pelos segurados) devem equlbrar as despesas (ndemnzações, custos de produção e gestão, resseguro) e gerar lucros. Caso contráro, a manutenção de sucessvos resultados negatvos poderá conduzr a empresa à ruína. A Seguradora elabora então as tarfas de prémos que devem cobrr os rscos a garantr, satsfazendo as despesas nerentes à exploração, utlzando técncas de tarfação a pror e, no ramo automóvel, também a posteror. Consderando o Ramo Automóvel, a tarfação a pror determna o prémo em função de determnadas varáves, tas como a dade do condutor, o tpo de veículo, a zona de crculação, etc., de modo a encontrar classes homogéneas para determnado grau de rsco do segurado/condutor. No entanto, exstem factores, nos segurados/condutores, que não são mensuráves, como por exemplo, a regão preferencal de condução ou a boa/má experênca de condução. Por outro lado, exstem factores possíves de medr, 15

16 Sstemas de Bonus-Malus mas que nem sempre funconam porque mutas vezes o tomador de seguro não é o condutor habtual, sendo este apenas conhecdo pela Seguradora quando ocorre a partcpação de snstro. A tarfação a posteror procede ao ajustamento do prémo, de acordo com a snstraldade, de modo a que este se aproxme do rsco que o segurado/condutor representa para a Seguradora para que assm exsta uma maor equdade na defnção dos prémos. Esta equdade consttu a base do contrato de seguro, sendo que, presentemente, a defnção de contrato pouco dfere da que o português Pedro de Santarém ncluu, em 1552, no seu tratado de seguros Tractatus de Assecuratonbus et Sponsonbus, assm expressa (...) a convenção pela qual, convenconando o preço dum rsco, um toma sobre s o nfortúno de outro. Este tratado pode ser consultado em Santarém (1971). A esta defnção de Pedro de Santarém há que acrescentar os valores da mutualdade que estão nas bases técncas que orentam a actvdade das Seguradoras. Pcard & Besson (1982) dzem no seu tratado que esta técnca de seguros repousa essencalmente sobre a exstênca de uma mutualdade, ou seja, na agregação de rscos com certas característcas de dspersão, de homogenedade e de frequêncas, rscos que a Seguradora deve, nsprando-se na le dos grandes números, relaconar para poder efectuar a repartção e a compensação, segundo os dados estatístcos. Os Sstemas de Bonus-Malus aparecem então como uma ferramenta mportante na tarfação a posteror, agravando ou reduzndo o prémo de acordo com a snstraldade passada. Este sstema tenta também ncentvar os condutores a uma condução mas 16

17 Sstemas de Bonus-Malus cudadosa, podendo mesmo levá-los a não partcpar snstros de pequena gravdade, dando assm orgem ao fenómeno denomnado sede de bónus. Mutos autores já focaram este problema em város trabalhos, como por exemplo Norberg (1976), Borgan, Hoem & Norberg (1981), Lemare (1985), Glde & Sundt (1989), Andrade e Slva (1991) e Centeno & Andrade e Slva (1999). Estes autores procuraram optmzar o Sstema de Bonus-Malus. O modelo apresentado por Norberg (1976) consdera o problema da determnação dos prémos a vgorarem em cada classe, uma vez fxadas as regras de transção do sstema de bónus, utlzando, para o efeto, uma abordagem próxma da Teora da Credbldade. Uma das hpóteses do modelo é que o sstema de bónus seja regdo por um processo de Markov de prmera ordem. Lemare (1985) propõe dversas meddas de avalação e comparação de Sstemas de Bonus-Malus: 1. Nível Médo Relatvo de Estaconardade: denomnado RSAL (Relatve Statonary Average Level), expresso numa escala de zero a um, mede a posção relatva do segurado médo, uma vez atngda a estaconardade. Um valor baxo para RSAL ndca uma grande aglomeração das apólces nas classes com maor desconto, enquanto que um valor mas alto sugere uma melhor dstrbução entre as classes. 2. Coefcente de Varação dos Prémos: defndo como o quocente entre o desvo padrão dos prémos e o prémo médo, ambos calculados em condções de estaconardade, é uma medda da varação dos prémos anuas do conjunto dos segurados da Cartera. 17

18 Sstemas de Bonus-Malus 3. Elastcdade do Prémo Médo: mede a resposta do Sstema de Bonus-Malus, em condções de estaconardade, a uma alteração na frequênca de snstraldade. O deal a longo prazo sera que um aumento da frequênca de snstraldade se traduzsse num mesmo aumento do prémo, o que na realdade não acontece, vsto que a percentagem de aumento ra crar stuações de ruptura com o clente. 4. Elastcdade Transente: mede a sensbldade do valor esperado dos prémos acumulados a varações da frequênca de snstraldade. Esta medda de avalação depende de um factor económco, sendo ntroduzda uma taxa de desconto, a partr da qual se calcula o montante actual a pagar por uma apólce. Borgan, Hoem & Norberg (1981) fazem uma generalzação do modelo apresentado por Norberg (1976), ntroduzndo um sstema de ponderadores não negatvos, n n0,1,2,... w, cuja soma seja a undade. Cada ponderador representa o peso a atrbur ao período n e w 0 representa o peso atrbur à dstrbução estaconára. O modelo de Norberg (1976) é um caso partcular deste, se w 0 =1 e w n =0, n1. Glde & Sundt (1989) lnearzam a escala óptma de prémos. Deste modo garantem que os prémos desta nova escala fcam ordenados de acordo com a gravdade das classes e que evoluem de uma forma regular. A escala de prémos a utlzar é então lnear, em que a dferença entre os prémos de duas classes consecutvas é constante. O modelo apresentado por Andrade e Slva (1991) é dêntco ao modelo anteror, só que em vez de utlzar uma escala lnear, basea-se numa escala geométrca. Assm, nesta escala de prémos é o quocente entre os prémos de duas classes consecutvas que será constante. 18

19 Sstemas de Bonus-Malus Por fm, fazemos referênca ao modelo de Centeno & Andrade e Slva (1999), pos sugerram um modelo dferente dos anterores. Estes autores consderaram uma Cartera aberta, onde cada segurado pode transferr a sua apólce de seguro de uma Seguradora para outra (o que corresponde à realdade no nosso mercado). Estes autores utlzaram cadeas de Markov não homogéneas para modelar o sstema, tendo em atenção as quotas de mercado e assumndo que as novas apólces da Cartera podem ser colocadas em dferentes classes. Será mportante ressalvar que os sstemas de tarfação a posteror baseam-se somente na frequênca de snstraldade, não levando em consderação o montante de cada snstro, como alás este trabalho, o que pode ser um problema para futura análse Defnção de Sstemas de Bonus-Malus Os Sstemas de Bonus-Malus são aplcados em períodos de dêntca duração, sendo normalmente este período de um ano de observação da apólce. Se exstrem snstros o segurado rá sofrer um agravamento no prémo (Malus) nas anudades seguntes e, em caso de ausênca de snstraldade, será benefcado com um Bónus, traduzdo na redução do prémo das anudades seguntes. Importará salentar que, por razões de dfculdade nformátca, hoje ultrapassadas, a aplcação do Sstema de Bonus-Malus assenta numa cadea de Markov (processos sem memóra) estando apenas regstado, no fchero nformátco da apólce, a sua posção no ano anteror na escala de Bonus-Malus. Será também mportante salentar que estas escalas podem apresentar os mesmos graus de agravamento ou de desconto em classes 19

20 Sstemas de Bonus-Malus contíguas, permtndo que apenas hajam reduções de prémos ou agravamentos se se verfcarem snstros ou na sua ausênca em anos. Como já refermos anterormente, na prátca, a penalzação a aplcar ao prémo depende apenas da frequênca de snstraldade e não do valor das ndemnzações atrbuídas a cada snstro. Esta é a flosofa adoptada em Portugal por todas as Companhas de Seguros e na maor parte das Seguradoras Europeas e pressupõe que não exste correlação entre a frequênca e a severdade dos snstros ou, por uma questão de smplcdade, não analsam esta correlação.. Esta suposção é feta pela dfculdade de estudar as correlações que possam efectvamente exstr e, bem assm, pela grande dfculdade de modelzar estatstcamente a severdade dos snstros. No entanto, este é um pressuposto que as Seguradoras e os órgãos de supervsão dos város países assumem como uma boa aproxmação à realdade, sendo este tpo de sstema o mas utlzado. Contudo, na prátca, verfca-se que a correlação exste, como mostra a experênca de snstraldade de condutores do sexo femnno, que permte nferr que, embora exsta uma frequênca de snstraldade mas elevada, os valores de ndemnzação são mas baxos, o que permte estmar prémos nferores para estes condutores. Exemplo dsso é a tarfa da Tranquldade que benefca os condutores do sexo femnno com um desconto de 5% no prémo. Têm, no entanto, surgdo estudos para mplementar a severdade dos snstros nos Sstemas de Bonus-Malus, como por exemplo o trabalho de Pnquet (1997), onde consdera que, no seu modelo, o custo médo de um snstro apresenta uma dstrbução 20

21 Sstemas de Bonus-Malus Gama ou Log-Normal, enquanto que o número de snstros segue uma dstrbução de Posson. Os factores da tarfação, bem como as componentes heterogéneas, são ncluídas no parâmetro de escala da dstrbução. Consderando que a componente heterogénea segue a mesma dstrbução do custo médo, a expressão de credbldade é obtda de forma a encontrar a méda do custo com snstros para o período segunte. Por exemplo, o bonus-malus rá aparecer após o prmero snstro, se o seu custo for nferor ao esperado pelo modelo de tarfação. Mas para que um sstema de tarfação a posteror seja desgnado por Sstema de Bonus-Malus tem que verfcar as seguntes condções: Os períodos de vgênca das apólces são de dêntca duração (geralmente um ano); As apólces são agrupadas num número fnto de classes (C j ) j=1,...,s. Cada apólce permanece na mesma classe ao longo de um período de tempo; A classe do sstema em que um segurado é colocado num determnado período depende da classe a que pertenceu no período anteror e do número de snstros declarados durante esse mesmo período. Além dsso, um sstema é caracterzado por três elementos: A escala de prémos b=(b(1),...,b(s)). Sendo b() o factor multplcatvo a aplcar ao prémo da classe C determnado pelos factores a pror. As regras de transção T entre todas as classes do sstema. Para o par ordenado (,j) temos T j que representa a transção de uma apólce da classe C para a classe C j, no fm do período, após k snstros nesse mesmo período. Neste caso T j =1, caso contráro T j =0. Para que as regras de transção sejam completas e lvres de 21

22 Sstemas de Bonus-Malus contradções é necessáro que para cada par ordenado exsta um e só um j tal que T j =1. A classe de entrada no sstema, C 0, supõe-se ser a mesma para todos os novos segurados, salvo hstoral negatvo. Podemos então representar o Sstema de Bonus-Malus pelo tro S=(C 0, T, b) que fornece uma base de tarfação que consste na classe de bónus de uma apólce no período n, Z S,n, que é determnada pelas regras T e pela classe ncal C 0. O últmo elemento que caracterza um Sstema é a classe de entrada, sendo este elemento muto dscutível, já que, na prátca, a maor parte das Seguradoras colocam os novos segurados em classes com bónus, de modo a obterem prémos mas compettvos. Observa-se anda que há tendênca, por parte dos segurados, em ocultar hstoras negatvos, mudando por vezes o tomador do contrato (por exemplo, de pa para flho) com esta exclusva fnaldade. De realçar que os Sstemas de Bonus-Malus tveram uma grande acetação devdo à fácl aplcação, não necesstando as Companhas de armazenar nformação de anos anterores. Conhecendo a classe em que o segurado se encontra no momento da renovação do contrato e a snstraldade do ano vgente, faclmente se chega à classe para que transtará no próxmo período. Estamos então perante processos sem memóra, ou seja, cadeas de Markov (processo estocástco no qual a evolução futura do sstema, conhecdo o presente, não depende do passado). A optmzação/adequação destas escalas de bonus-malus e das correspondentes matrzes de transção não são matéra de estudo deste trabalho, mas devdo à sua mportânca na 22

23 Sstemas de Bonus-Malus adequação da defnção de um Sstema de Bonus-Malus deve ser salentado, já que o Insttuto de Seguros de Portugal, como organsmo de controlo da Actvdade Seguradora, obrga a que tanto as escalas como as regras de transção estejam devdamente defndas nas condções especas das apólces de cada Seguradora. 23

24 CAPÍTULO 2 SINISTRALIDADE Tal como refermos anterormente, o número de snstros é o únco factor a ter em consderação na tarfação a posteror, na maor parte da Seguradoras, e será este também o crtéro que remos usar na determnação do nosso modelo. Assm sendo, se consderarmos que o custo médo das ndemnzações por snstro é o valor untáro, chegamos ao prémo puro através da frequênca de snstraldade. Neste Capítulo remos abordar três modelos de Posson para ajustar a dstrbução de probabldade ao número de snstros, de acordo com a Cartera de seguros: homogénea, heterogénea e estratfcada. Uma Cartera homogénea é formada por apólces que à partda têm todas o mesmo nível de rsco, enquanto que numa Cartera heterogénea sso não acontece, pelo que temos que tentar encontrar classes onde se verfque um certo grau de homogenedade. Assm, para crar uma tarfa do ramo automóvel devemos ter em consderação as componentes heterogéneas específcas do veículo, que devem reflectr nformação sobre varáves não controladas, como por exemplo a nformação sobre os condutores (dado que um veículo pode ser utlzado por város condutores), de forma a encontrar os tas grupos 24

25 Snstraldade homogéneos. Outra varável não controlada poderá ser a qulometragem anual de um veículo, pos depende apenas das vagens programadas para o veículo e não do(s) condutor(es). A Cartera estratfcada será a utlzada no nosso exemplo prátco, pos o objectvo desta tese é construr um Sstema de Bonus-Malus para frotas de veículos, consderadas como estratos. À partda a Cartera é heterogénea, mas vamos ter em atenção as componentes heterogéneas específcos do veículo e da frota, de modo a que frotas com característcas semelhantes venham a ter o mesmo nível de rsco. No entanto, e dado que a Cartera tem uma dmensão grande, a componente de heterogenedade será retrada do parâmetro da dstrbução de Posson e remos substtur os parâmetros pelos estmadores consstentes Modelo de Posson Homogéneo Cartera Homogénea Se estvermos perante uma Cartera de seguros homogénea sgnfca que todas as apólces têm o mesmo rsco a pror, ou seja, ndependentemente do comportamento do segurado, espera-se que a frequênca de snstraldade seja gual para todos. Segundo este modelo, só através de um Sstema de Bonus-Malus poderemos ajustar os prémos, agravando ou bonfcando-os na anudade segunte, de acordo com o comportamento do segurado relatvamente à snstraldade. Podemos então defnr um Processo de Posson homogéneo: 25

26 Snstraldade Seja N(t) o número de snstros declarados pelo segurado, ocorrdos no ntervalo de tempo ]0,t], com t 0 e N(0)=0. Um processo de contagem {N(t); t 0} dz-se um Processo de Posson, de ntensdade >0, se verfcar as seguntes condções: 1. {N(t); t 0} tem ncrementos ndependentes ; 2. {N(t); t 0} tem ncrementos estaconáros; 3. Para qualquer h 0 +, P(N(h) 1)=h+o(h); 4. Para qualquer h 0 +, P(N(h) 2)=o(h). Nota: o(h) representa um nfntésmo com h de uma função f quando lm h0 h f h 0 Deste modo, consderando um ntervalo de tempo de ampltude t, N(t) segue uma dstrbução de Posson com parâmetro t, t 0, sto é, P N t k e t t k! k, k 0 e O parâmetro desgna-se por ntensdade do processo e representa a frequênca de snstraldade esperada para uma undade de tempo, ou seja, o número médo de snstros declarados por undade de tempo. Para um estudo detalhado sobre processos de Posson homogéneos pode segur-se os trabalhos de Centeno (2002) ou Lemare (1995). 26

27 2.2. Modelo de Posson Msto Cartera Heterogénea Snstraldade Um comportamento não homogéneo dos segurados representa a stuação mas comum numa Cartera de seguros, exstndo factores dentfcatvos mpossíves de quantfcar. Daqu surge a necessdade de encontrar um modelo para o número de snstros que reflcta a heterogenedade dos rscos nerentes ao comportamento de cada segurado. O modo de mnmzar essa heterogenedade será consderar um modelo em que o número de snstros vara de segurado para segurado. Para tal é necessáro crar um modelo que, por exemplo, seja sensível às característcas específcas dos segurados, pos como já vmos anterormente, exstem factores que não são mensuráves. Deste modo, consderemos então um processo de Posson em que é o resultado da observação de uma varável aleatóra,, não negatva. Seja U() = P( ) a função de dstrbução de. A varável aleatóra é desgnada por varável de estrutura e U() por dstrbução de estrutura. O processo de contagem {N(t); t 0} dz-se um Processo de Posson Msto se verfcar as seguntes condções: 1. N(0)=0; 2. P Nt s Ns k P Nt s Ns 0 0 e k du t t k! k du 27

28 Snstraldade Desta gualdade podemos conclur que um processo de Posson msto tem ncrementos estaconáros, embora os ncrementos não sejam ndependentes, pos para t 0 < t 1 < t 2, P 0 0 P P Nt k Nt Nt N t P P 1 0 1, 2 1 k2 Nt Nt k Nt Nt k du 1 0 1, Nt Nt k P Nt Nt k du Nt 1 Nt 0 k1 du P Nt 2 Nt1 0 0 Nt Nt k PNt Nt k k du 2 Portanto, N(t) tem dstrbução de Posson Msta, com dstrbução de estrutura U(), sto é, P N t k 0 e t t k! k du A dstrbução de estrutura reflecte assm o grau de heterogenedade da Cartera e podem ser váras as dstrbuções que servem para modelar o número de snstros. Se o número de snstros segur a dstrbução Bnomal Negatva sgnfca que estamos perante um processo de Posson de ntensdade, onde é o resultado de uma varável aleatóra, com dstrbução Gama de parâmetros e (ambos postvos), dando o nome de Processo de Polya ao modelo Posson-Gama, cuja função densdade é u( ) 1 e ( ) 1, 0. 28

29 Snstraldade Este modelo pode ser consultado com mas detalhe em Centeno (2002) e Lemare (1995). Outra opção será consderar que o número de snstros segue a dstrbução Posson- Inversa Gaussana, tendo como dstrbução de estrutura a Inversa Gaussana. Schel (1971) apresentou esta alternatva e daí resulta o nome Dstrbução de Schel para o modelo Posson-Inversa Gaussana. Neste caso também temos um processo de Posson de ntensdade, onde é o resultado de uma varável aleatóra, com dstrbução Inversa Gaussana de parâmetros g e h, cuja função densdade é u( ) g 3 2h 2 1 exp 2h 2 g. Estamos pos perante uma dstrbução de Posson msta, onde a dstrbução de Posson tem parâmetro e a dstrbução de estrutura segue a dstrbução Posson Inversa Gaussana. Esta dstrbução não é mas do que a dstrbução Bnomal Negatva, truncada na orgem, estendda, onde fxamos = -0,5 e > Modelo de Posson com factores aleatóros numa Cartera estratfcada Como já vmos, o comportamento dos segurados vara de ndvíduo para ndvíduo, daí a necessdade de encontrar um modelo que reflcta essa heterogenedade. Quando tentamos analsar uma Cartera de seguros de frota a dfculdade aumenta, pos a dstrbução do rsco de cada veículo nclu factores específcos do veículo e da frota. 29

30 Snstraldade Assm, a hstóra de um veículo não pode ser utlzada para prever o nível de rsco de outros veículos na frota, pos cada veículo tem as suas própras característcas. Se todos os veículos tvessem o mesmo prémo de rsco a pror estaríamos perante uma Cartera homogénea, e como tal, só a exstênca de um sstema de Bonus-Malus podera dferencar os prémos a posteror. Por outro lado, se utlzarmos apenas a nformação que caracterza as frotas, a frequênca de rsco a pror sera a mesma para todos os veículos, logo ríamos car na stuação anteror. Mas o nosso objectvo é avalar a snstraldade das frotas e, como se sabe, a soma de varáves aleatóras com dstrbução de Posson, mutuamente ndependentes, é anda uma varável aleatóra de Posson, cujo parâmetro é a soma dos parâmetros orgnas. Deste modo esta propredade torna possível que consderemos cada frota como uma classe e a soma dos parâmetros de cada frota rá dar orgem ao parâmetro da Cartera. O modelo que será aqu apresentado é baseado no modelo proposto por Desjardns, Donne & Pnquet (2001), cuja fnaldade é encontrar um método para estmar a snstraldade de cada frota. Seja então m o número de veículos numa dada frota, N o número de snstros declarados pelo veículo e a frequênca de snstraldade, sto é, o número esperado de snstros por undade de tempo. Se consderarmos que os N são ndependentes, temos: N ~ P m u, 1,..., m N ~ Pmu 1 onde u é o factor comum aos veículos da frota (componente heterogénea). 30

31 Snstraldade Cada classe formada por uma frota contém factores comuns, que lhe confere um grau de homogenedade nteror, no entanto, exstem factores que, não são observáves ou são dfíces de quantfcar, o que pode reflectr factores esconddos. Este tpo de factores atrbuem a cada rsco um certo grau de heterogenedade dentro do grupo. Por outro lado, o comportamento das empresas (frotas) pode nfluencar as componentes heterogéneas específcas da frota, desgnadamente quando os propretáros das frotas não obedecem as regras de segurança ou não obrgam os condutores a conduzr com estreta observação ao códgo da estrada. No nosso modelo, a natureza herárquca da Cartera é levada em conta pela dupla ndexação. Seja N f o número de snstros declarados pelo veículo da frota f. Se consderarmos que segue uma dstrbução de Posson, temos então f f u f, f 1,..., F, 1 m f N ~ P,..., sendo as frotas ndexadas por f = 1,...,F, e os veículos por = 1,..., m f, onde m f é a dmensão da frota f. O parâmetro f escreve-se em função dos factores de avalação observados ao nível da frota e ao nível do veículo. Os factores específcos da empresa e do veículo e as componentes heterogéneas dstnguem-se na regressão, admtndo que u f f d r f f s f exp x z f f logo f é proporconal à duração, vectores lnha x f e d f, do período em que o veículo é observado. Os z f são as componentes de regressão relaconados com a frota e o 31

32 Snstraldade veículo, respectvamente. Os parâmetros relaconados com a frota e o veículo são representados pelos vectores coluna e. Iremos utlzar a para ndcar vectores transpostos e, daqu adante, para facltar a notação, vamos exclur a smbologa vectoral, só a rentroduzndo em caso de necessdade para melhor compreensão do texto. Quanto a u f, representa a heterogenedade resdual da dstrbução do número de snstros, sendo composta pelo factor específco da frota r f e pelo factor específco do veículo s f. Estas dstrbuções ndvduas e as varáves N f f 1,..., F; 1,...,m f ndependentes neste modelo. são R f Além dsso, os factores aleatóros f 1,..., F e S f f 1,..., F; 1,...,m f são famílas de varáves aleatóras, ndependentes e dentcamente dstrbuídos, supondo-se anda que as famílas são mutuamente ndependentes. As dstrbuções nos modelos com factores aleatóros são msturas de dstrbuções de Posson, e referem-se a dstrbuções ndvduas genércas, que representam a classe de dstrbuções ndvduas reas com os mesmos factores observáves (ver Pnquet (2000)). O factor aleatóro S f reflecte a heterogenedade resdual na dstrbução do rsco do veículo e R f a heterogenedade resdual na dstrbução do rsco da frota. Usando R e S para representar as dstrbuções das varáves aleatóras das famílas, R f respectvamente, f F 1,..., e S f f 1,..., F; 1,...,m f, supomos anda que exstem momentos de segunda ordem, sto é, E(R) = E(S) = 1 32

33 Snstraldade V(R) = V RR V(S) = V SS De modo a facltar a escrta e a letura, e dado que estamos a segur a notação dos autores, as varâncas aparecem com nova notação. Com esta aproxmação semparamétrca, as dstrbuções com factores aleatóros rão ser apenas especfcadas pelas varâncas. Se U=RS, e atendendo a que R e S são ndependentes, tem-se que E(U) = E(R)E(S) = 1 V(U) = V UU = E(R 2 )E(S 2 ) - 1 = V RR + V SS + V RR V SS Com as fórmulas da varânca, covarânca e a ndependênca assumda no modelo com factores aleatóros para as famílas R f f 1,..., F e S f f 1,..., F; 1,...,m f, obtém-se V 2 2 N f f fvu f f fvuu N f, N fj f fjcovu f, U fj f fjvrr j Cov com f=1,...,f e =j=1,...,m f. (2.1.) Sendo a Cartera de dmensão grande, podemos substtur os parâmetros pelos estmadores consstentes, na descrção dos dados. Consderando um modelo de tarfação a pror que segue a dstrbução Posson, sto é, N f λ f f,. ~ P assume-se que ˆ f d f exp x f ˆ z f ˆ 33

34 Snstraldade sendo a frequênca calculada num modelo de tarfação a pror, onde ˆ e ˆ são os estmadores de máxma verosmlhança. Atendendo a que, no modelo com factores aleatóros, temos E N f EE N f U f E fu f f EU f f fca medato que a ntrodução destes factores não modfca o valor esperado para a snstraldade. Assm, o estmador de máxma verosmlhança do parâmetro f, no modelo sem factores aleatóros, é consstente para o parâmetro correspondente no modelo com factores aleatóros. Alás, esta conclusão será válda para qualquer sucessão constante de estmadores de f, permtndo assm dzer que os prémos calculados com base na frequênca de snstraldade, recorrendo ao modelo de tarfação a pror, convergem, em probabldade, para a snstraldade esperada de um veículo específco, consderado no modelo com efetos aleatóros. Para representar a convergênca em probabldade, vamos usar a notação ˆ P f, n f, onde ˆ f, n condções acma ndcadas. P, vndo representa uma sucessão constante de estmadores, nas A demonstração do resultado aqu nvocado pode ser encontrada em Gouréroux, Monfort & Trognon (1984), Pseudo Maxmum Lkelhood Methods: Applcatons to Posson Models, onde são apresentadas algumas aplcações do modelo de Posson de teora desenvolvda em Gouréroux, Monfort & Trognon (1984), Pseudo Maxmum Lkelhood Methods: Theory. 34

35 Snstraldade Sempre que nada for dto em contráro, consdera-se que as convergêncas ndcadas ocorrem quando n +. Também de modo a facltar e a algerar a notação, vamos representar os termos da sucessão de estmadores ˆ f, n : n por ˆ f, suprmndo o sub-índce n. Deste modo, dos momentos encontrados em (2.1.) e pela consstênca da sucessão ˆ, obtêm-se os seguntes lmtes estocástcos: Vˆ RR f 1 ; jm f ; j n f ˆ f n fj ˆ fj ˆ ˆ f fj f 1 ; jm f ; j P V RR f Vˆ UU f, n ˆ 2 f f f f, ˆ 2 f n P V UU Desta forma os estmadores consstentes de V(U) e V(R) são obtdos através dos estmadores dervados do modelo a pror. Como V UU = V RR + V SS + V RR V SS, temos que Vˆ SS Vˆ UUV ˆ 1Vˆ RR RR é um estmador consstente de V SS. Assm, o estmador Vˆ RR avala o contágo de snstraldade, observado entre os dferentes veículos numa mesma frota. Se Vˆ RR é bastante maor que zero, sgnfca que a hstóra de um veículo pode revelar factores esconddos na dstrbução do rsco dos veículos duma mesma frota. No entanto, se Vˆ RR for pequeno ou mesmo menor que 35

36 Snstraldade zero, sgnfca que estamos perante classes homogéneas, logo não necesstamos de ntroduzr, no modelo, as componentes heterogéneas. Como já fo dto, este modelo fo desenvolvdo por Desjardns, Donne & Pnquet (2001) e, no artgo publcado pelos autores, podemos encontrar mas detalhes sobre os estmadores das varâncas Estmadores Extremas Os Métodos dos Mínmos Quadrados e da Máxma Verosmlhança enquadram-se na Teora dos Estmadores Extremas. Nesta teora, o estmador é um extremo da função k n g n (, y ) defnda no produto cartesano dos espaços paramétrco e amostral. Para garantr a convergênca dos estmadores obtdos, convém ntroduzr condções de regulardade. No que segue admtremos que: k n n g n (, y ) converge unforme e estocastcamente para uma função lmte g( ), sto é, que >0 P k k k sup gn, y g 1 n o verdadero valor do parâmetro pertence a um compacto. Por outro lado, Gouréroux, Monfort & Trognon (1984) mostrou que se podem obter bons estmadores, atrbundo às observações dstrbuções sufcentemente regulares e maxmzando as pseudo verosmlhanças resultantes. Fo este o camnho que segumos, atrbundo às observações dstrbuções de Posson. 36

37 Snstraldade Em vez de calcularmos o máxmo da pseudo verosmlhança, optámos, segundo Mexa & Corte Real (2003), por obter o centro de gravdade do conjunto dos pontos (vectores de parâmetros), em que a pseudo verosmlhança exceda M n + 8/(n^0,48). O respectvo máxmo, M n, é o valor resultante da função de log-verosmlhança (segundo cada conjunto de estmadores obtdo) a dvdr pelo número total de pontos aleatóros n, tendo-se optado por valores de 8 e de 0,48, escolhdos emprcamente, para a fracção do segundo termo. De acordo com o artgo de Mexa & Corte Real (2003), a potênca de n terá de pertencer ao ntervalo 0,1/2. O ponto de partda deste método é a escolha dum conjunto de estmadores ncal qualquer. Se por acaso partrmos de um conjunto de estmadores que não se encontre na vznhança do centro de gravdade, o método não funcona, pos não consegumos encontrar nenhum conjunto em que a pseudo verosmlhança exceda o valor acma ndcado. De seguda, smulamos, para n grande, pontos aleatóros na vznhança dos estmadores ncas. O novo conjunto de estmadores será a méda dos smulados. Este racocíno é repetdo enquanto encontrarmos conjuntos de estmadores em que a pseudo verosmlhança exceda M n + 8/(n^0,48). Deste modo, o número de pontos aleatóros va aumentando gradualmente e o ntervalo para chegar ao centro de gravdade (ao conjunto de estmadores fnal) va dmnundo. Este método parece ser muto complcado à prmera vsta, mas comparando-o com o método da Pseudo-Máxma Verosmlhança, que remos apresentar na próxma secção, podemos conclur que as prncpas vantagens são: a facldade em aplcar o método e a possbldade de encontrar uma regão de confança, o que não acontece nos métodos 37

38 Snstraldade clásscos. Assm sendo, podemos afrmar que o método Mexa/Corte Real permte pôr em evdênca o fenómeno de planalto, ou seja, numa dada regão podem exstr város conjuntos de estmadores que maxmzem a função de log-verosmlhança. Este método é muto fácl de aplcar, pos resume-se a cálculos de médas dos estmadores, enquanto que o método da Pseudo-Máxma Verosmlhança recorre à resolução de um sstema de equações com tantas ncógntas quanto o número de factores de avalação para frotas e veículos que escolhermos. A prncpal desvantagem deste método é o tempo que o programa elaborado, recorrendo ao Mathematca, demora a obter o conjunto de estmadores fnal. Dado que o método va aumentando o número total de pontos aleatóros gradualmente, podemos demorar algumas horas a obter o conjunto de estmadores, enquanto que com o Método de Pseudo-Máxma Verosmlhança ou Mínmos Quadrados Generalzados chegamos em poucos mnutos. De notar que ambos os métodos de cálculo foram desenvolvdos apenas no programa Mathematca 5.0., sendo possível que noutro tpo de software se chegue a valores mas rapdamente. Relatvamente a este método, sera anda nteressante tentar perceber qual a melhor escolha para o conjunto de estmadores ncas, pos, partndo de conjuntos dferentes, podemos obter estmadores em que snstraldade pode tomar valores superores ou nferores aos observados, como remos ver na aplcação prátca. 38

39 Snstraldade Neste trabalho escolhemos, emprcamente, os valores de 8 e de 0,48 para a fracção do segundo termo deste método. Fca por analsar o mpacto da alteração destes valores, nos resultados fnas da snstraldade Método de Pseudo-Máxma Verosmlhança Como já vmos anterormente, para determnarmos a frequênca de snstraldade para cada veículo da frota, precsamos de obter os estmadores ˆ e ˆ. Esta secção será desenvolvda com base no artgo de Gouréroux, Monfort & Trognon (1984). Os estmadores obtdos através da maxmzação de uma função de verosmlhança, onde a famíla de dstrbuções de probabldade não pertence necessaramente à famíla escolhda para a função de verosmlhança, são calculados através do Método de Pseudo-Máxma Verosmlhança. Esta técnca é aplcada a modelos de Posson que podem ser: báscos, cujo parâmetro pode ser escrto na forma onde x á a varável exógena assocada à -ésma observação e b é o parâmetro desconhecdo. específcos, em que exp x b exp x b e onde e é o erro específco, sendo uma varável aleatóra que não é observável. Deste modo são determnadas as famílas de funções de pseudo verosmlhança que orgnam estmadores consstentes e assmptotcamente normas dos parâmetros 39

40 Snstraldade envolvdos na verdadera dstrbução. Estmadores deste tpo podem ser obtdos através de dstrbuções que pertencem à famíla exponencal lnear. Relatvamente a estas dstrbuções pode ser consultado, por exemplo, Murtera(1990). Defnção: Dz-se que uma varável aleatóra X em G, ndexada pelo parâmetro m G tem dstrbução pertencente à famíla exponencal lnear se: a) a sua função densdade de probabldade se puder escrever na forma f onde x, m exp Am Bx Cm Am e x x, x, B são escalares e Cm é um vector de dmensão G; b) m é o vector da méda da dstrbução cuja densdade é gual a f x m G,. Faclmente se prova que, por exemplo, a dstrbução Posson pertence à famíla exponencal lnear. Esquecendo a notação vectoral, a função densdade da Posson é a segunte: m x e m f ( x, m), x 0,1,... x! que pode ser escrta em termos da famíla de dspersão exponencal, ou seja, f x, m exp m xlnm ln x! e portanto, A(m) = - m; B(x) = - ln x!; C(m)x = x ln m Mutas das famílas clásscas de meddas de probabldade são exponencas lneares. Alguns exemplos de tas famílas são apresentados na Tabela

41 Snstraldade Bnomal (n dado) Tabela 2.1. Exemplo de famílas exponencas lneares Famíla Função Densdade n 1 x 1 n x 1 m n x m 1 n n x Posson Bnomal Negatva (a dado) Gama (a dado) Normal ( dado) a a e m x! m x x 1 x a1 a x m a e xa m a m a x x m exp m 1 a a x Dado estarmos a segur o modelo de Posson, estamos nas perfetas condções para poder utlzar o método de Pseudo-Máxma Verosmlhança, cujo parâmetro é gual a f d exp x z f f f Por sua vez a méda e a varânca são guas, f, e a função densdade de N f é e f n f f n f!, n 0 Logo a função de log-verosmlhança vem F m f, f f ln f ln f! L n n F m f f 1 1 f 1 1 d exp x z n lnd x z ln n! f f f f f f f f m f k1 k2 k1 k2 F d f exp x f, j 1 j z 1 f, j ln 2 j n 2 f d f x f, j 1 j z 1 f, j ln! 2 j n 2 f f 1 1 j11 j21 j11 j21 41

42 Snstraldade onde k 1 corresponde ao número de factores específcos da frota e k 2 ao número de factores específcos do veículo. Dado ln(n f!) ser uma constante, vamos obter as funções objectvo que resultam das dervadas parcas de prmera ordem, relatvamente aos parâmetros: L j1 F m f f 1 1 x f f, j1 n f x f, j1, j 1,..., k 1 1 L j2 F m f f 1 1 z f f, j2 n f z f, j2, j 1,..., k 2 2 Assm, as equações de verosmlhança neste modelo são F m f f 1 1 F m f f 1 1 n ˆ f f x f, j 0, j1 1,..., k1 1 n ˆ f f z f, j 0, j2 1,..., k2 2 Dado que este método pode ser utlzado para qualquer dstrbução que pertença à famíla exponencal lnear, se segurmos o mesmo racocíno para a dstrbução Normal vamos obter as seguntes equações de verosmlhança: F f 1 1 F m f m f f 1 1 x z f, j1 f, j2 n ˆ ˆ f f f 0, j1 1,..., k1 n ˆ ˆ f f f 0, j2 1,..., k2 Estas equações reflectem uma relação de ortogonaldade entre o número de resíduos e as componentes de regressão. 42