COMPARAÇÃO DE DUAS APROXIMAÇÕES DO TESTE t COM VARIÂNCIAS HETEROGÊNEAS ATRAVÉS DE SIMULAÇÃO

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1 COMPARAÇÃO DE DUAS APROXIMAÇÕES DO TESTE t COM VARIÂNCIAS HETEROGÊNEAS ATRAVÉS DE SIMULAÇÃO RESUMO - Neste trabalho, buscou-se avaliar o aumento de riscos de se tomar decisões erradas (erro tipo I e tipo II) na comparação de duas médias populacionais. Para se avaliar as probabilidades de se cometer os erros, duas populações foram simuladas computacionalmente, sendo aplicado o teste t para comparar as médias populacionais em diferentes amostras extraídas das mesmas. O teste t foi aplicado através das aproximações de Satterthwaite (946) e de (957). O número de erros cometidos em duas mil repetições foram computados para os níveis de significância de 5% e de %. Nas situações de médias populacionais iguais, foram avaliadas as probabilidades de se cometer o erro tipo I; nos demais casos, foram avaliadas as probabilidades de se cometer o erro tipo II. Para cada uma das situações simuladas foram considerados diferentes tamanhos de amostra, diferentes razões entre variâncias populacionais e várias diferenças entre as médias populacionais. Com variâncias populacionais iguais, as probabilidades de se cometer o erro tipo I foram praticamente as mesmas TERMOS DE INDEXAÇÃO: Erro tipo I, erro tipo II, teste t, variâncias desiguais LÍVIA COSTA BORGES DANIEL FURTADO FERREIRA dos níveis nominais estabelecidos, utilizando-se as aproximações de Satterthwaite e de. À medida que se aumentou a diferença entre as médias populacionais, ainda nas situações de variâncias populacionais iguais, a porcentagem de erro tipo II diminuiu consideravelmente, aumentando o poder do teste, como era esperado. Para todos os casos em questão, quando se aumentou o tamanho da amostra, houve uma redução nas probabilidades do erro tipo I ou do erro tipo II. A razão entre variâncias populacionais não exerceu influência na porcentagem de erro tipo I, mas exerceu influência considerável na porcentagem de erro tipo II. Quando se aumentou a razão entre as variâncias populacionais, o poder do teste ficou comprometido. A porcentagem de erro tipo II reduziu-se à medida que se aumentaram a diferença entre médias populacionais e o tamanho da amostra, reduzindo, entretanto, a razão entre variâncias. O tipo de aproximação (Satterthwaite ou de Cochran e Cox) utilizado para a realização do teste t não influenciou o poder do teste. COMPARING TWO APPROACHES OF t TEST WITH HETEROGENEOUS VARIANCE USING SIMULATIONS ABSTRACT - This work aims to evaluate the risk of making a wrong decision (type I and type II errors) when two populations means are compared. To measure the empirical probabilities for type I and type II errors, two populations were computationally simulated. The t test was applied for comparing the two samples means extracted from the two populations. The t test was applied with Satterthwaite (946) and Cochran and Cox (957) approaches. The number of errors in two thousand replications was measured at the nominal level of significance of 5% and %. For each situation different sample sizes, different population variance ratios and different population means differences were considered. With equal population INDEX TERMS: Type I error, type II error, t test, heterogeneous variance means the type I error was the same, below the nominal level, for both Satterthwaite and Cochran and Cox approaches. Increasing the difference of populations means, with population variances ratio of, the type II error rates decrease. For all situations, when the sample sizes are increased there is a reduction of the empirical error rates. The variance ratios do not change the type I error rates, but reduce the power of the t test when this ratios increase. The empirical error rates decrease with the increasing of the difference of population means, with the increasing sample size and with the reduction of variances ratios. The Satterthwaite or Cochran and Cox approaches do not change the power of the t test.. Acadêmica do 8 módulo do curso de Agronomia da UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS (UFLA), bolsista do CNPq.. Eng. Agr., Dr.., Professor Adjunto do Departamento de Ciências Exatas UFLA - Caixa Postal Lavras - MG, bolsista CNPq.

2 39 INTRODUÇÃO Em muitas situações, na experimentação agropecuária, o pesquisador se depara com o problema de comparar médias de duas populações ou tratamentos independentes. Essa comparação pode ser realizada sem nenhuma dificuldade quando as variâncias das duas populações em que as amostras foram obtidas são iguais. No entanto, os resultados podem ser seriamente comprometidos quando se viola essa pressuposição básica requerida. Esse caso é geralmente encontrado pelo experimentador. Quando σ σ (variâncias populacionais diferentes), a fórmula da estimativa da variância da diferença entre as duas médias amostrais independentes (X X ),é: S S S = + X X n n Conseqüentemente, o teste da hipótese µ =µ é dado por: X X t = S S + n n No entanto, esta quantidade (t ) não segue a distribuição de t de Student, sob a hipótese de igualdade das médias populacionais. Duas aproximações diferentes para o teste foram obtidas por Behrens (99) e Fisher (94) e por Aspin (949), citados por Snedecor e Cochran (98). No entanto, ambas requerem tabelas especiais. Uma outra aproximação, derivada por Satterthwaite (946), refere-se ao cálculo do número de graus de liberdade para t, de tal forma que a distribuição de t possa ser usada. Os graus de liberdade (t ) calculados, dessa forma, são: S S + n n υ= S S n + n n n υ deve ser arredondado para o inteiro mais próximo, quando for utilizar as Tabelas de t de Student. Uma quarta aproximação é a de Cochran e Cox (957). Por essa aproximação a estatística t é comparada com o valor da distribuição t de Student, fornecido por: w t w t t * + = w + w em que, t * refere-se ao valor determinante da região de rejeição da hipótese de igualdade das médias S S populacionais; w = e w = ; t e t são os valores tabelados da distribuição t (unilateral) com n - e n n n - graus de liberdade, respectivamente, no nível de significância estipulado previamente. Quando os valores das variâncias populacionais distanciam-se um do outro, o viés do teste proposto σ aumenta. Portanto, para grandes valores da razão, σ o teste da hipótese µ =µ e os intervalos de confiança podem ser seriamente comprometidos. Os riscos de se cometer o erro tipo I, ou seja, de rejeitar uma hipótese verdadeira, e o do tipo II, de aceitar uma hipótese falsa, aumentam consideravelmente. Com o aumento desses erros, o pesquisador tem uma elevada probabilidade de tomar uma decisão errada. Por essas razões, foi realizado o presente trabalho, tendo por objetivo avaliar o aumento dos riscos de se tomar uma decisão errada (erro tipo I e erro tipo II), com o aumento da diferença entre as variâncias populacionais, através de simulação computacional, utilizando-se as aproximações de Satterthwaite (946) e de Cochran e Cox (957). METODOLOGIA Para se avaliar as probabilidades de se cometer o erro tipo I e o erro tipo II, duas populações foram geradas através de simulação computacional. Para a geração dessas populações, os seguintes parâmetros foram considerados: sem perda de generalidade, a variância da população foi considerada igual a um (σ = ), e a da população obedecerá os valores da razão σ σ =,, 4, 8 e 6. Para cada uma dessas situações, as populações foram geradas com médias iguais e com médias diferentes. Para este último caso, foi considerada as diferenças padronizadas entre as médias populacionais de,, 3 e 4. Para cada uma das diferentes situações, foram retiradas amostras independentes de cada população, sendo aplicado o teste t para a hipótese da igualdade entre as médias populacionais, H : µ =µ. Os tamanhos amostrais foram: (a) n = e n =; (b) n =3 e n =3; (c) n = e n =3. O teste t foi realizado através das aproximações de Satterthwaite (946) e de Cochran e Cox (957). O número de erros cometidos nas duas mil repetições foi computado para os níveis de significância de 5% e de %. Nas situações em que as médias populacionais são iguais, foi avaliada a probabilidade de se cometer o erro tipo I. Nos demais casos, foi avaliada a probabilidade de se cometer o erro tipo II. Ciênc. e Agrotec., Lavras, v.3, n., p.39-43, abr./jun., 999

3 39 Para a geração das amostras, foi utilizado o método de Monte Carlo, considerando-se o modelo estatístico para cada população: y i = µ + e i em que, y i é o valor do i-ésimo elemento amostral observado, µ é a média paramétrica, e e i é o valor do erro amostral não observável associado, com distribuição NID (, σ ). Esse modelo foi adotado para cada população, com os parâmetros µ e σ estipulados anteriormente, conforme a situação. Para a obtenção do valor de e i, foi usado um algoritmo em Pascal para inversão da função da distribuição normal, conforme procedimento relatado por Dachs (988), baseado no teorema da probabilidade integral. Baseado nesse teorema, se U U (,) (uniforme -) e sendo F a função de distribuição normal, então: z i = F - (U) tem função de densidade de probabilidade N(, ). Esse valor foi então multiplicado por σ para obtenção dos valores de e i. ( Morgan, 995). RESULTADOS E DISCUSSÃO Variâncias populacionais iguais Nas Tabelas e, observou-se que quando as variâncias populacionais são iguais ( σ σ = ), a probabilidade de se cometer o erro tipo I, tanto para o nível de significância de % como para o de 5%, nas duas mil repetições, está de acordo com os níveis nominais adotados, indicando uma alta confiabilidade do teste, utilizando-se tanto a aproximação de Satterthwaite como a de. TABELA - Porcentagem de erros computados para o nível de significância de %, através dos procedimentos de Satterthwaite e de, para diferentes tamanhos amostrais, com diferenças de médias populacionais de,,, 3 e 4, com variâncias populacionais iguais. Porcentagem de erro (α =%) µ -µ Satterthwaite,5, 7,8 7,9 n =n = 7,45 7, 3,, 4,,,3,45,9,55 n = e n =3,, 3,, 4,,,95,6,5,9 n =n =3,, 3,, 4,, Ciênc. e Agrotec., Lavras, v.3, n., p.39-43, abr./jun., 999

4 393 TABELA - Porcentagem de erros computados para o nível de significância de 5%, através dos procedimentos de Satterthwaite e de, para diferentes tamanhos amostrais, com diferenças de médias populacionais de,,, 3 e 4, com variâncias populacionais iguais. µ -µ Porcentagem de erro (α = 5%) Satterthwaite 4,9 4,7 45,55 43, n =n =,,5 3,, 4,, 4,9 5,45 8, 8, n = e n =3,, 3,, 4,, 5, 4,75,6 3,95 n =n =3,, 3,, 4,, À medida que se aumenta a diferença entre médias populacionais, ainda para essa mesma situação, ou seja, variâncias populacionais iguais, a porcentagem de erro tipo II diminui consideravelmente. Para diferenças entre médias populacionais pequenas como, a porcentagem de erro tipo II é muito alta, indicando um baixo poder do teste, tanto para a aproximação de Satterthwaite como para a de, aumentando o risco de se tomar decisões erradas, ou seja, aumentando as chances de se aceitar hipóteses falsas. O poder do teste aumenta consideravelmente com o aumento do tamanho da amostra, tanto para o nível de significância de % como para o de 5%, considerando-se uma mesma diferença de médias. O aumento do valor nominal de α, taxa de erro tipo I, provocou uma redução nas taxas de erro empíricas, para o erro tipo II, quando considera-se uma mesma situação, comprovando o fato de que os dois tipos de erro são negativamente correlacionados. Tamanho de amostra Como se pode observar na Figura, a porcentagem de erro tipo I obtida por simulação através dos procedimentos de Satterthwaite, está de acordo com os níveis nominais de significância, que são aqueles níveis pré-estabelecidos de 5% e de %. Foi obtido os intervalos de confiança para esses limites, sendo que para o nível de % e 5%, com 99% de confiança, os limites superiores desses intervalos foram:,73% e 6,39%, respectivamente. Nenhum valor desses erros observados superaram os limites de confiança para os níveis nominais. Para essa situação, não se nota a influência dos graus de liberdade (GL) na confiabilidade do teste. Ciênc. e Agrotec., Lavras, v.3, n., p.39-43, abr./jun., 999

5 394 Observou-se na Figura que a porcentagem de erro tipo I obtida por simulação através dos procedimentos de, também está dentro dos níveis nominais de significância, mostrando que, nessa situação, os graus de liberdade (GL) também não influenciam significativamente a confiabilidade do teste. 6 5% % 5 % erro tipo I FIGURA - Porcentagem de erro tipo I para o teste t realizado através da aproximação de Satterthwaite, computada para os níveis de significância nominais de e 5%. GL 6 5% % 5 4 % erro tipo I GL FIGURA - Porcentagem de erro tipo I para o teste t realizado através da aproximação de, computada para os níveis de significância nominais de e 5%. Ciênc. e Agrotec., Lavras, v.3, n., p.39-43, abr./jun., 999

6 395 Estudando a porcentagem de erro tipo II através dos procedimentos de Satterthwaite, observou-se na Figura 3 que quando a diferença entre médias populacionais é pequena (µ - µ =) e quando há poucos graus de liberdade (GL=), a porcentagem de erro tipo II é alta, chegando a 9%, afetando drasticamente o poder do teste. Com o aumento dos graus de liberdade (GL), a porcentagem de erro tipo II tende a diminuir, tanto para o nível de significância de 5% como para o de %. Observou-se também que a porcentagem de erro tipo II tem um acréscimo, como era esperado, com a redução dos níveis nominais de significância de 5% para %. Observou-se na Figura 4, que quando a diferença entre médias populacionais é maior (µ -µ =4), a porcentagem de erro tipo II obtida diminuiu consideravelmente, sendo que apenas 7 graus de liberdade foram suficientes para reduzir os níveis de erro para praticamente zero. Observou-se que com o aumento da diferença entre médias populacionais e com o aumento dos graus de liberdade, há uma menor porcentagem de erro tipo II e, portanto, um aumento no poder do teste. Estudando a porcentagem de erro tipo II através dos procedimentos de, observou-se na Figura 5 que quando a diferença entre médias populacionais é baixa (µ -µ =) e os graus de liberdade são inferiores a 5, a porcentagem de erro tipo II alcançou o valor de 97% no nível nominal de % de significância, com graus de liberdade inferiores a 5. Com o aumento dos graus de liberdade, houve uma tendência de diminuição do erro, para o nível de significância de e 5%. Com o aumento da diferença entre médias populacionais (µ -µ =4), ocorreu considerável redução na porcentagem de erro tipo II obtida por meio do procedimento de. Com poucos graus de liberdade, observaram-se erros de 5%, ao nível de % de significância (Figura 6). Com o aumento dos graus de liberdade, o erro tendeu a diminuir, sendo que, a partir de 5, as taxas de erros foram aceitáveis, como observado no procedimento de Satterthwaite. A razão entre variâncias populacionais não exerceu influência na porcentagem de erro tipo I. Observou-se nas Figuras 7 e 8, que a porcentagem de erro tipo I, obtida por simulação através dos procedimentos de Satterthwaite e de, respectivamente, está de acordo com os níveis nominais de significância (abaixo de,73% e 6,39% para % e 5%, respectivamente), mesmo com o aumento da razão entre variâncias populacionais. De maneira análoga, nota-se que o aumento do tamanho da amostra não influenciou a porcentagem de erro tipo I observada. 5% % FIGURA 3 - Porcentagem de erro tipo II para o teste t realizado através da aproximação de Satterthwaite com µ - µ =, computada para os níveis de significância nominais de e 5%. GL Ciênc. e Agrotec., Lavras, v.3, n., p.39-43, abr./jun., 999

7 % % GL FIGURA 4 - Porcentagem de erro tipo II para o teste t realizado através da aproximação de Satterthwaite, com µ - µ =4, computada para níveis de significância nominais de e 5%. 5% % GL FIGURA 5 - Porcentagem de erro tipo II para o teste t realizado através da aproximação de, com µ -µ =, computada para os níveis de significância nominais de e 5%. Ciênc. e Agrotec., Lavras, v.3, n., p.39-43, abr./jun., 999

8 % % GL FIGURA 6 - Porcentagem de erro tipo II para o teste t realizado através da aproximação de, com µ -µ = 4, computada para os níveis de significância nominais de e 5%. 6 5 % erro tipo I 4 3 (,) (, 3) (3, 3) FIGURA 7 - Porcentagem de erro tipo I para o teste t realizado através da aproximação de Satterthwaite, com tamanhos amostrais n = e n = ; n = e n =3; n =3 e n =3, para diferentes razões entre variâncias populacionais, computada para os níveis de significância e 5%. Ciênc. e Agrotec., Lavras, v.3, n., p.39-43, abr./jun., 999

9 % erro tipo I 4 3 (, ) (, 3) (3, 3) FIGURA 8 - Porcentagem de erro tipo I para o teste t realizado através da aproximação de, com tamanhos amostrais n = e n = ; n = e n =3 ; n =3 e n =3, para diferentes razões entre variâncias populacionais, computada para os níveis de significância e 5%. Considerando-se a porcentagem de erro tipo II, observada nos procedimentos de Satterthwaite e de, nota-se que essa foi altamente influenciada pela razão entre variâncias e pela diferença entre médias populacionais. A porcentagem de erro tipo II reduziu-se, à medida que se aumentou a diferença entre médias e se reduziu a razão entre variâncias ( σ σ ). Observou-se na Figura 9 que em situações nas quais a diferença entre médias populacionais é pequena (µ -µ =) e a razão entre variâncias populacionais é grande ( σ σ =6), para pequenos tamanhos de amostra, a porcentagem de erro tipo II chegou a 96% para o nível de significância de %. Considerando-se os tipos de aproximação (de Satterthwaite e de ) utilizados para a realização do teste, verificou-se que tiveram praticamente o mesmo poder. Pode-se observar, ainda na Figura 9, que a porcentagem de erro tipo II obtida por simulação, através dos procedimentos de Satterthwaite, foi praticamente a mesma em relação à obtida através do procedimento de. O que chama mais atenção é o fato de, com razão de variância de 6, a taxa de erro ter sido de aproximadamente 96,8%; e quando comparada com a situação em que as variâncias eram iguais (taxa de erro tipo II de 7,5%), houve uma elevação de 37,3%. Isso mostra a deficiência desses testes, mesmo usando as aproximações de Satterthwaite ou de, devido à grande redução do poder quando as variâncias são heterogêneas. Na Figura, observou-se que a porcentagem de erro tipo II diminuiu bastante quando consideraram-se diferenças entre médias populacionais maiores (µ - µ =4), mantendo o mesmo tamanho da amostra, para o nível de significância de %. Observou-se que a aproximação de apresentou uma maior porcentagem de erro tipo II, o que representa um poder do teste ligeiramente menor. Nesse caso, também verificou-se a mesma tendência nas taxas de erros tipo II, que eram nulas com variâncias iguais, e atingiram a magnitude de 5%, quando as variâncias apresentaram razões da ordem de 6. Ciênc. e Agrotec., Lavras, v.3, n., p.39-43, abr./jun., 999

10 399 Satterthwaite FIGURA 9 - Porcentagem de erro tipo II para o teste t realizado através das aproximações de Satterthwaite e de, com amostras de tamanho n = e n =, com µ -µ =, para diferentes razões entre variâncias populacionais, computada para o nível de significância de %. 6 Satterthwaite FIGURA - Porcentagem de erro tipo II para o teste t realizado através das aproximações de Satterthwaite e de, com amostras de tamanho n = e n =, e com µ -µ = 4, para diferentes razões entre variâncias populacionais, computada para o nível de significância de %. Nas Figuras e, observou-se que com o aumento do tamanho da amostra, houve uma redução na porcentagem de erro tipo II. Essa redução ocorreu tanto na situação em que se tem pequenas diferenças entre Ciênc. e Agrotec., Lavras, v.3, n., p.39-43, abr./jun., 999

11 4 médias, como na situação em que se tem maiores diferenças entre médias. Quando se consideraram diferenças entre médias populacionais maiores (µ -µ = 4), a porcentagem de erro foi praticamente nula, mesmo com razões entre variâncias elevadas. Com um maior tamanho da amostra, as porcentagens de erro foram praticamente as mesmas para as aproximações de Satterthwaite e de, no nível de significância de %. As mesmas tendências foram verificadas quanto ao efeito da razão de variâncias para o poder do teste. No entanto, quando grandes amostras são usadas e maiores diferenças devem ser detectadas (Figura ), as taxas de erro são praticamente nulas. Considerando-se o nível de significância de 5%, verificou-se que o poder do teste também foi influenciado pela diferença entre médias populacionais, pela razão entre variâncias populacionais e pelo tamanho da amostra. Menor será o erro, à medida que forem maiores a diferença entre médias populacionais e o tamanho da amostra, e à medida que for menor a razão entre variâncias populacionais. Verificou-se que para o nível de significância de 5%, o poder do teste não foi influenciado pelas aproximações utilizadas (Satterthwaite ou Cochran e Cox). Na Figura 3, observou-se que quando se tem pequenas diferenças entre médias e pequenos tamanhos amostrais, a porcentagem de erro tipo II é elevada para o nível de significância de 5%, indicando um baixo poder do teste nessa circunstância. Satterthwaite FIGURA - Porcentagem de erro tipo II,sendo o teste t realizado através das aproximações de Satterthwaite e de, com amostras tamanho n =3 e n =3, e com µ -µ = 4, para diferentes razões entre variâncias populacionais, computada para o nível de significância de %. Ciênc. e Agrotec., Lavras, v.3, n., p.39-43, abr./jun., 999

12 4..8 Satterthwaite FIGURA - Porcentagem de erro tipo II para o teste t realizado através das aproximações de Satterthwaite e de, com amostras tamanho n =3 e n =3, com µ -µ = 4, para diferentes razões entre variâncias populacionais, computada para o nível de significância de %. 9 Satterthwaite FIGURA 3 - Porcentagem de erro tipo II para o teste t realizado através das aproximações de Satterthwaite e de, com amostras tamanho n = e n =, com µ -µ =, para diferentes razões entre variâncias populacionais, computada para o nível de significância de 5%. Ciênc. e Agrotec., Lavras, v.3, n., p.39-43, abr./jun., 999

13 4 Com o aumento do tamanho da amostra, observou-se nas Figuras 4 e 5 que houve uma redução na porcentagem de erro tipo II. Quando se tem maiores amostras e maiores diferenças entre médias (µ -µ =4), a porcentagem de erro é praticamente nula, indicando um alto poder do teste nessa circunstância 8 Satterthwaite FIGURA 4 - Porcentagem de erro tipo II para o teste t realizado através das aproximações de Satterthwaite e de, com amostras de tamanho n =3 e n =3, com µ -µ =, para diferentes razões entre variâncias populacionais, computada para o nível de significância de 5%...8 Satterthwaite FIGURA 5 - Porcentagem de erro tipo II para o teste t realizado através das aproximações de Satterthwaite e de, com amostras de tamanho n =3 e n =3, com µ -µ = 4, para diferentes razões entre variâncias populacionais, computada para o nível de significância de 5%. Ciênc. e Agrotec., Lavras, v.3, n., p.39-43, abr./jun., 999

14 43 CONCLUSÕES Considerando-se o nível de significância de 5%, verificou-se que o poder do teste também foi influenciado pela diferença entre médias populacionais, pela razão entre variâncias populacionais e pelo tamanho da amostra. Menor será o erro, à medida que forem maiores a diferença entre médias populacionais e o tamanho da amostra, e à medida que for menor a razão entre variâncias populacionais. Verificou-se que para o nível de significância de 5%, o poder do teste não foi influenciado pelas aproximações utilizadas (Satterthwaite ou ). Na Figura 3, observou-se que quando se tem pequenas diferenças entre médias e pequenos tamanhos amostrais, a porcentagem de erro tipo II é elevada para o nível de significância de 5%, indicando um baixo poder do teste nessa circunstância.a) Nas situações em que se têm variâncias populacionais iguais (σ /σ ) a probabilidade de se cometer o erro tipo I ficou abaixo dos níveis nominais adotados, tanto para o nível de % como para o de 5%, indicando uma alta confiabilidade do teste. Nessa mesma situação, a porcentagem de erro tipo II diminuiu consideravelmente com o aumento da diferença entre médias populacionais. b) A porcentagem de erro tipo I obtida por simulação não foi influenciada pelos graus de liberdade, o que não aconteceu com a porcentagem de erro tipo II. Com o aumento dos graus de liberdade (GL) e com o aumento da diferença entre médias populacionais, houve uma redução na porcentagem de erro tipo II, aumentando, assim, o poder do teste. c) A razão entre variâncias populacionais não exerceu influência na taxa de erro tipo I obtida por simulação, enquanto a taxa de erro tipo II foi altamente influenciada pela razão entre variâncias. As taxas empíricas de erro tipo II reduziu à medida que se reduziu a razão entre variâncias e à medida que se aumentaram os tamanhos das amostras e das diferenças entre médias populacionais. d) Os tipos de aproximação (Satterthwaite ou ) utilizados na aplicação do teste não influenciaram o seu poder, sendo que as taxas empíricas de erros foram praticamente as mesmas para as duas aproximações. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COCHRAN, W.G.; COX, G.M. Experimental designs. th ed. Singapure: John Wiley & Sons, pp. DACHS, J.N.W. Estatística computacional. Uma introdução ao Turbo Pascal. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, p. MORGAN, B. J.T. Elements of simulation. London: Chapman & Hall, p. SATTHERTHWAITE, F.E. An approximate distribution of estimates of variance components. Biometric Bulletin, London, v., p.-4, 946. SNEDECOR, G.W.; COCHRAN, W.G. Statistical methods. 7th Ed. Ames: The Iowa State University Press, p. Ciênc. e Agrotec., Lavras, v.3, n., p.39-43, abr./jun., 999