O que são os números p-ádicos e como fazer cálculo sobre eles

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1 O que são os números p-ádicos e como fazer cálculo sobre eles Enno Nagel * Estas notas acompanham a minha palestra sobre Os números p-ádicos e como fazer cálculo sobre eles ministrada no dia 10 de maio de 2013 na Universidade Federal do Rio de Janeiro. Sumário 1 Números p-ádicos 1.. diretamente via a norma p-ádica 1.. explicitamente via a expansão p-ádica 2.. topologicamente via o limite inverso 3 Notas algébricas 4 2 Cálculo 5 Funções diferenciáveis sobre os números reais 5 Funções r-vezes diferençáveis sobre espaços p-ádicos vetoriais 6 3 A base de Mahler 8 Referências 9 1 Números p-ádicos.. diretamente via a norma p-ádica Uma norma sobre os números racionais Q é um mapa : Q R 0 tal que * Instituto de Matemática da Universidade Federal de Alagoas, Maceió 1

2 (i) x = 0 x = 0, (ii) xy = x y, e (iii) x + y x + y. Teorema 1.1 (Ostrowsi). Toda norma sobre Q é equivalente à norma usual ou a uma norma p-ádica p para um número primo p. A seguir definimos p por um número primo. Os números p-ádicos foram introduzidos há cerca de cem anos atrás por Kurt Hensel. A invenção é relativamente recente em comparação aos números reais. Isto é devido à natureza contra-intuitiva da valorização p-ádica p que mede quantas vezes p aparece na fatoração de um número inteiro (e contra-intuitivamente diminui quando a potencia de p cresce). Definição. Seja a Z. Pomos a p = 1/p e se a = a p e onde p não divide a. Nota. A contra-intuição da norma p-ádica p é revelada pelo fato que ela é não-arquimediana, isto é Esta norma estende-se multiplicativamente aos números racionais Q. Conforme a R, que consiste de todos os limites em Q com relação à valorização, declaramos analogamente: Definição. Os números p-ádicos Q p são o completamento de Q relativamente à norma p... explicitamente via a expansão p-ádica Analogamente à expansão decimal de um número real a 0 + a a , os números p-ádicos têm uma expansão p-ádica. Proposição 1.2. Os números p-ádicos se escrevem de maneira única a i p i = a N p N + + a 0 + a 1 p 1 + a 2 p 2 + com a i {0,...,p 1}. i N Visto que as operações do corpo são continuas com relação a topologia p-ádica, a multiplicação e adição são efetuadas naturalmente: O produto das expansões truncadas dos fatores converge ao produto das expansões inteiras. 2

3 Exemplo. (i) Temos 1 = em Q 2. (Expansão binária.) (ii) Temos 1/2 = 2 1 em Q 2 e 1/2 = (p n + 1)/2 (0 + 1)/2 = 1/2 em Q p para p > 2. Nota. Notamos duas diferenças com a expansão decimal dos números reais. (i) Em todo número real há um sinal ± único. Observamos no exemplo acima que isto não vale para os números p-ádicos. Concluímos que Q p não é ordenado. (ii) Ao contrário, a expansão p-ádica é única. (Ao passo que 0, 9 = 1 em R.) A segunda observação é uma consequência da desigualdade triangular forte que enuncia x + y max{ x, y }... topologicamente via o limite inverso De fato, se expandirmos a = i I a i p i e b = j J b j p j, então a b p = p K com K = primeiro índice k onde a e b diferem. Proposição. A bola de unidade Z p = B 1 (0) = {x Q p : x p 1} = { a i p i : a i {0,...,p 1}} em Q p é um anel. Demonstração: Se x, y 1, então x + y 1 pela desigualdade triangular forte, isto é Z p e fechado sob adição e então um anel. Segue um desenho da imagem da árvore binária de Z 2. Descrição dos números binários, da norma e da distancia e das bolas sobre eles. Esta descrição figurativa se manifesta na terceira descrição dos números p-ádicos, que torna suas propriedades topológicas mais claras. Proposição 1.3. Temos Z p = lim n N Z/pn Z. Vemos que duas bolas contem-se ou são disjuntas, isto é Q p é totalmente desconecto. Todas estas diferenças, a desigualdade triangular forte e a topologia desconecta são uma consequência da propriedade de sendo não-arquimediana. Chamamos um corpo completo K tal que a sua norma é não-arquimediana de um corpo não-arquimediano. i 0 3

4 Notas algébricas Como Q p é completo as propriedades algébricas são de um ponto de vista da Teoria dos Números mais fáceis. Observamos que pela definição Q Q p é denso e então Aut( Q p ) = Gal( Q p /Q p ) Gal( Q/Q). Notamos que ao contrario de R = completamento de Q por, onde # Gal( R/R) = # Gal(C/R) = 2, o grupo Gal( Q p /Q p ) é infinito. Hasse popularizou esses números mostrando que algumas propriedades podem ser verificadas localmente, isto é se uma propriedade aritmética de um número x Q vale em todos os Q p para p qualquer, então vale em Q também. Dado um polinómio P Z[X 1,...,X d ], o objetivo é, em vez de procurar soluções P(x) = 0 nos números inteiros diretamente, procurá-las módulo p n para todo números primos p e n N. Esta solvabilidade para todos n N, é concisamente reformulada pelos números p-ádicos. Teorema 1.4. A congruência P(x) 0 mod p n é solvível para todos n N se e somente se P(x) 0 é solvível em Z p. Agora resta a questão quando a solvabilidade local, isto é, em todos os Q p para todos p primos é suficiente para solvabilidade global, isto é em Q. Isto não basta em geral, mas se valer, facilita a vida bastante. Temos o seguinte exemplo. Teorema (Hasse-Minkowski). Uma forma quadrática há um zero em Q se e somente se há um zero em Q p para todo p assim como em R. As propriedades algébricas mais fáceis de Q p nos permitem a provar o teorema seguinte. Proposição. Uma forma quadrática de posto n 5 sempre há um zero em Q p. Corolário. Uma forma quadrática de posto n 5 há um zero em Q se e somente se ela tem um zero em R. Nota. O teorema de Hasse-Minkowsi estende-se à classificação de formas quadráticas sobre Q. Ou seja, duas formas f e д são equivalentes sobre Q se e somente se eles são equivalentes sobre Q p para todo p assim como sobre R. Agora estas formas sobre estes corpos completos permitem uma parametrização concisa. 4

5 2 Cálculo Recordamos que por causa da desigualdade triangular forte Q p é topologicamente desconecto. Estudamos este fenómeno mais geralmente. Seja doravante K um tal corpo completo não-arquimediano. Por causa da topologia totalmente desconecta, não haverá nenhum equivalente do Teorema do Valor Intermediário e portanto nem do Teorema do Valor Médio (TVM), e nem do Teorema Fundamental de Cálculo. Estes dois teoremas estão no centro da Teoria de Cálculo. Duas consequências: TVM Diferenciabilidade parcial continua implica Diferenciabilidade total Teorema Fundamental de Cálculo O espaço das funções diferenciáveis é completo respeito à norma natural. Observe abaixo em detalhes como contornar a falta do TVM no paragrafo seguinte. Funções diferenciáveis sobre os números reais Vejamos primeiro a situação clássica sobre R. Seja X R um intervalo aberto e f : X R. Definição. Uma função f é C 1 no ponto x 0 X se f (x 0 ) = lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 exista. Declaramos que f é C 1 se f é C 1 em todos os pontos x 0 X e é contínua. Proposição 2.1. Seja X compacto. O espaço C 1 (X,R) com a norma é completo. f C 1 = max{ f sup, f sup } Demonstração: A prova habitual usa o teorema fundamental do cálculo. 5

6 Se R é substituído por um corpo K não-arquimediano, então esta proposição é incorreta. Por isso vamos mudar a definição de derivabilidade para este enuncio ficar correto. Portanto darei uma demonstração diferente da Proposição 2.1 acima que indica como podemos proceder neste caso. Proposição 2.2. A função f C 1 (X,R) se e somente se a função f ]1[ (x,y) = f (x) f (y), x y definida para todos x,y X desiguais, estende-se a um função f [1] : X X R contínua. Demonstração: A direção é fácil. Na outra direção, se (x,y) (a,a) X X. Então f ]1[ (x,y) = f (ξ) f (a) = f [1] (a,a) com ξ [x,y] onde a primeira igualdade provem do TVM. A segunda por causa da continuidade de f. Isto é suficiente para concluir que f [1] é contínua em todos os lugares como f [1] (X X) f ]1[ ({(x,y) X X diferentes}) pela construção. Corolário. Seja X compacto. O espaço C 1 (X,R) é completo. Demonstração: Como visto acima pelo Teorema do valor médio, a norma f = max{ f sup, f [1] sup } é igual a norma f C 1 = max{ f sup, f sup }. Então, quanto a primeira norma, esta proposição é evidente. Funções r-vezes diferençáveis sobre espaços p-ádicos vetoriais Definição da diferenciabilidade de grau 1. Visto que não há o teorema do valor intermédio com todas suas consequências, em particular o teorema do valor médio usado na prova da Proposição 2.2 acima, propõe-se a definição seguinte para obter um equivalente da Proposição 2.1: Definição. Sejam X K aberto e f : X K. Então f é C 1 no ponto a X se o limite lim f ]1[ (x,y) (x,y) (a,a) com f ]1[ = f (x) f (y) x y para x,y diferentes existe. Então f é C 1 se f é C 1 em todos os pontos a X ou igualmente se f ]1[ estende a uma função f [1] contínua. 6

7 Agora fica a questão como iterar a noção de diferenciabilidade: Como definir uma função duas vezes diferençável? Observamos que neste caso f [1] é uma função em duas variáveis, ao contrario da função f no caso real, e não podemos iterar esta definição diretamente. Então é necessário estudar o caso de muitas variáveis para definir a diferenciação repetida de uma função de uma variável só! Lembramos a definição de uma função derivável em argumentos múltiplos. Definição. Sejam V e E espaços vetoriais de dimensões finitas, X V aberto e f : X E. Então f é C 1 no ponto a X se existe um mapeamento linear A tal que para todos ε > 0 existe U X aberto tal que f (x + h) f (x) = A h + R(x + h,x) com o resto satisfazendo R(x + h,x) ε h para todos x,y U. Diferenciabilidade iterada. Isto não permite diretamente obter uma definição de diferenciabilidade geral, mas possibilita uma boa perspectiva como proceder em geral. Definição. Sejam V,E,X V e f : X E como acima e supomos que temos uma escolha de coordenadas em V. (Isto é V = K d com e 1,...,e d a base natural.) Então f é C 1 se para todos x + h,x X com h K d a função f ]1[ (x + h,x) definida por (x + h,x) A Hom K (V,E) com A h k e k = f (x + h 1 e h k 1 e k 1 + h k e k ) f (x + h 1 e h k 1 e k 1 ) estende-se a uma função contínua f [1] : X X Hom K (V,E). Notamos que X X V V é novamente um espaço vetorial com coordenados naturais e im f Hom K (V,E) e também novamente um espaço vetorial de dimensão finita. Definição. Dizemos que f : X E é C 2 se f é C 1 e f [1] : X X Hom K (V,E) é C 1. E geralmente f é C n se f é C n 1 e f [n 1] é C 1. Com esta definição concluída podemos compreender melhor as propriedades destas funções. Pois esta definição é complicada e não tínhamos até este momento muita teoria sobre a diferenciabilidade, mesmo a verificação das propriedades naturais exige muita atenção. 7

8 Generalizei esta definição a C r -funções, funções r-vezes diferenciáveis para r R 0 em [Nag11] e verifiquei que elas satisfazem, como esperado, muitas propriedades naturais. Mostrei igualmente que esta definição complicada permite uma descrição muito mais direta em vários casos. 3 A base de Mahler Seja E um corpo completo não-arquimediano e o E = {x E x 1} o seu anel de inteiros. Definimos C 0 (Z p ) = { todas as funções contínuas f : Z p E}, e D 0 = { todas as formas lineares contínuas : C 0 (Z p ) E}. Pois Z p = lim Z/pn Z, segue de um fato geral que D(Z p ) = E oe lim o E[Z/p n Z]. Então observamos que E[Z/p n Z] = { as funções localmente constantes } n N são densos em C 0 (Z p ) e por conseguinte obtemos dualmente, lembrando que uma forma linear sendo continua se e somente se é limitada, que D 0 (Z p ) = E oe lim o E[Z/p n Z] =: E oe o E [[Z p ]]. Visto que Z p é topologicamente cíclico, gerado pelo elemento 1 por exemplo, obtemos o isomorfismo de Iwasawa Concluímos o E [[Z p ]] o E [[X]] 1 X 1. E o E [[X]] D(Z p ). Pela dualidade de Schikhof, obtemos que c 0 (N) C 0 (Z p ) ( ) x e n, n 8

9 onde c 0 (N) representa as sequências que vão ao nulo, e n a sequencia cujo único coordenado não-nulo é 1 na posição n, e onde x n = x(x 1) (x n)/n!. Sob este isomorfismo natural, a imagem de C r (Z p ) C 0 (Z p ) permite a descrição concisa seguinte. Teorema 3.1. Temos o isomorfismo c r (N) = {(a n ): a n n r 0} C r (Z p ). Isto é, uma função f : Z p E é r-vezes diferenciável se e somente se f (x) = x an n com an n r 0. Referências [Nag11] E. Nagel, Fractional non-archimedean differentiability, Univ. Münster, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät (Diss.), zb- MATH Confer hbz: