A Importância da Lógica para o Ensino da Matemática

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1 Universidade do Estado do Rio Grande do Norte FANAT - Departamento de Informática Faculdade de Ciências e Tecnologia Mater Christi Curso de Sistemas de Informação A Importância da Lógica para o Ensino da Matemática Palestrante: D.Sc. Francisco Chagas de Lima Júnior 16 de julho de 2009 Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

2 SUMÁRIO 1 Introdução O que é Lógica? O Nascimento da Filosofia: Heráclico e Parmênides Platão e Aristóteles O objeto da Lógica Proposição Silogismos 2 Exemplos de Aplicações da Lógica No dia-a-dia No Estudo da Língua Protuguesa Na Computação No Ensino de Matemática 3 O que Estamos Ensinando em Matemática? 4 Preparando os Alunos pra Resolver Problemas 5 Resolvendo Alguns Problemas de Raciocínio Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

3 INTRODUÇÃO O Nascimento da Filosofia No berço da filosofia os primeiros filósofos se preocupavam com a origem, a transformação e o desaparecimento de todos os seres. Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

4 INTRODUÇÃO Heráclito Heráclito afirmava que somente a mudança é real e que o mundo é um fluxo perpétuo onde nada permanece idêntico a si mesmo, mas tudo se transforma no seu contrário.(perpétua Contradição) Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

5 INTRODUÇÃO Parmênides Parmênides afirmava que os fluxos dos contrários é uma aparência, mera opinião que formamos por que confundimos a realidade com o que sentimos (Perpétua Ilusão). Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

6 INTRODUÇÃO Platão Platão dizia que o mundo físico é uma aparência (é o mundo dos prisioneiros da caverna) é uma cópia ou sombra do mundo verdadeiro e real. O mundo verdadeiro é o das essências imutáveis, sem contradições nem oposições, sem transformação, onde nenhum ser passa para o seu contraditório. Mas como conhecer as essências e abandonar as aparências? Através de um método do pensamento e da linguagem chamado dialética. Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

7 INTRODUÇÃO Aristóteles Aristóteles considera desnecessário separar realidade e aparência em dois mundos diferentes e não aceita que a mudança seja mera aparência ilusória. Ele substituiu a dialética por um conjunto de procedimentos de demonstração e prova e criou a lógica propriamente dita, que ele chamava de anaĺıtica (a palavra lógica será empregada, séculos mais tarde, pelos estóicos e Alexandre de Afrodísia). Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

8 INTRODUÇÃO O que é Lógica Para formalizarmos este conceito, vejamos as seguintes afirmações: 1 É lógico que eu vou! Nesta afirmação está impĺıcito: Você me conhece, sabe o que penso, gosto ou quero, sabe o que vai acontecer no lugar x na hora y e, portanto não há dúvida de que irei até lá. 2 Isso não tem lógica! Neste caso tem-se uma situação oposta, ou seja, chega-se a uma conclusão, mas o conhecimento a priori (sobre uma pessoa, um fato, uma idéia, etc) faz com que se julgue que a conclusão é indevida. Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

9 INTRODUÇÃO Noções Impĺıcitas de Lógica 1 Inferência ou dedução Ex.: Como conheco x, posso concluir y como consequência 2 Coerência Ex.: Visto que x é assim, então é necessário que y seja assim. 3 Conclusão sem contradições 4 Conclusão com base em conhecimento suficiente Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

10 INTRODUÇÃO Definições de Lógica A lógica é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar. Segundo Aristóteles, a lógica estuda a razão como instrumento da ciência ou como um meio de adquirir e possuir a verdade. Ainda segundo Aristóteles a Lógica é o que devemos estudar e aprender antes de iniciar uma investigação filosófica ou científica, pois somente ela pode indicar qual o tipo de proposição, de raciocínio, de demonstração, de prova, e de definição que uma determinada ciência deve usar (Chauí, 1994). A Lógica é uma disciplina que fornece as leis, regras ou normas ideais de pensamento e o modo de aplicá-las para demonstrar a verdade. Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

11 O OBJETO DA LÓGICA A Proposição O objeto da lógica é a proposição, que exprime, através da linguagem, os juízos formulados pelo pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito: Exemplo: Paulo é brasileiro O encadeamento dos juízos constitui o raciocínio e este se exprime logicamente através da conexão de proposições; essa conexão chama-se silogismo. Raciocínio e silogismo são operações mediatas de conhecimento, pois usar inferência significa que só conhecemos alguma coisa (a conclusão) por meio ou pela mediação de outras coisas. Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

12 O OBJETO DA LÓGICA A Proposição Como todo pensamento e todo juízo, a proposição está submetida aos três princípios lógicos fundamentais, condições de toda verdade: 1 Princípio da Identidade: um ser é sempre idêntico a si mesmo: A é A; 2 Princípio da Não-contradição: é impossível que um ser seja e não seja idêntico a si mesmo ao mesmo tempo e na mesma relação. É impossível que A seja A e não-a; 3 Princípio do Terceiro Excluído: dadas duas proposições com o mesmo sujeito e o mesmo predicado, uma afirmativa e outra negativa, uma delas é necessariamente verdadeira e a outra necessariamente falsa. A é x ou não-x, não havendo terceira possibilidade. Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

13 O OBJETO DA LÓGICA O Silogismo O silogismo possui três características principais: 1 É Mediato: exige um percurso de pensamento e de linguagem para que se possa chegar a uma conclusão; 2 É Dedutivo: é um movimento de pensamento e de linguagem que parte de certas afirmações verdadeiras para chegar a outras também verdadeiras e que dependem necessariamente das primeiras; 3 É Necessário: porque é dedutivo, assim, as conseqüências a que se chega na conclusão resultam necessariamente da verdade do ponto de partida. Exemplo: Todos os homens são mortais. Sócrates é homem. Logo, Sócrates é mortal. Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

14 EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DA LÓGICA A Lógica no Cotidiano A Falácia é um argumento logicamente inconsistente, sem fundamento, inválido ou falho na capacidade de provar eficazmente o que alega. Argumentos que se destinam à persuasão podem parecer convincentes para grande parte do público apesar de conterem falácias, mas não deixam de ser falsos por causa disso. Reconhecer as falácias é por vezes difícil. Os argumentos falaciosos podem ter validade emocional, íntima, psicológica ou emotiva, mas não validade lógica. Alguns tipos de falácias Argumentum ad antiquitatem (Argumento de antiguidade ou tradição): Afirmar que algo é verdadeiro ou bom porque é antigo ou sempre foi assim. Ex: Se o meu avô diz que Garrincha foi melhor que Pelé, deve ser verdade. Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

15 EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DA LÓGICA A Lógica no Cotidiano: Alguns tipos de Falácias Argumentum ad hominem (Ataque ao argumentador): Em vez de o argumentador provar a falsidade do enunciado, ele ataca a pessoa que fez o enunciado. Ex: Se foi um burguês quem disse isso, certamente é engodo. Argumentum ad populum (Apelo ao Povo): É a tentativa de ganhar a causa por apelar a uma grande quantidade de pessoas. Ex: A maioria das pessoas acredita em alienígenas, portanto eles existem. Argumentum ad Baculum (Apelo à Força): Utilização de algum tipo de privilégio, força, poder ou ameaça para impor a conclusão. Ex: Acredite no que eu digo; não se esqueça de quem é que paga o seu salário Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

16 EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DA LÓGICA A Lógica no Estudo da Lingua Portuguesa Vejamos um exemplo de como certas distinções gramaticais consideradas difíceis se tornam mais simples quando analisadas com o auxílio de noções lógicas elementares. 1 Os homens que são sábios estão cheios de dúvidas. 2 Os homens, que são sábios, estão cheios de dúvidas. Podemos perceber, sem demora, que há uma diferença de significado na passagem de (1) para (2). A dificuldade começa quando tentamos exprimir essa diferença com clareza. Do ponto de Vista do Gramático: (1) Oração subordinada adjetiva restritiva; (2) Oração subordinada adjetiva explicativa Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

17 EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DA LÓGICA A Lógica no Estudo da Lingua Portuguesa: Ponto de Vista Lógico Figura: Oração (1) A B C Figura: Oração (2) A B e A C A: Classe dos homens B: Classe dos sábios C: Classe do seres que estão cheios de dúvida Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

18 EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DA LÓGICA A Lógica na Computação A lógica formal fornece os fundamentos matemáticos para a construção de uma verdadeira CIÊNCIA da Computação - pode-se afirmar sem risco de exagerar que a lógica formal é o fundamento matemático da Ciência da Computação. Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

19 EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DA LÓGICA A Lógica na Computação: Sistemas Especialistas Um Sistema especialista é uma classe de programa de computador desenvolvido por pesquisadores de Inteligência artificial durante a década de 1970 e aplicado comercialmente durante a década de São programas constituídos por uma série de regras que analisam informações sobre uma classe específica de problema ou especialidade. Exemplos: Sistema Especialista de Diagnóstico Médico; Sistema Especialista de Análise Financeira; Sistema Especialista de Diagnóstico Mecânico Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

20 LÓGICA NO ENSINO DE MATEMÁTICA Dificuldades no Nível de Abstração dos Alunos Grande parte dos professores de Matemática podem observar que a maioria dos seus alunos não consegue transferir os conteúdos de Matemática para situações do seu cotidiano. Em relação aos níveis Fundamental e Médio, [MEIRA, 1993] a constata deficiências no ensino da Matemática assinalando que: a MEIRA, Luciano. O mundo-real e o dia a dia no ensino de matemática. In: Revista A Educação Matemática. No 2, setembro, p Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

21 LÓGICA NO ENSINO DE MATEMÁTICA Dificuldades no Nível de Abstração dos Alunos Os objetivos do ensino de Matemática na escola de primeiro e segundo graus são múltiplos e podem ser descritos em diferentes níveis. Do ponto de vista da psicologia da educação Matemática, podemos listar três objetivos principais: (1) O desenvolvimento, nos alunos, da compreensão do significado, estrutura e função dos conceitos matemáticos; (2) O desenvolvimento da competência para construir abordagens Matemáticas para problemas e situações; e (3) A apreciação da atividade Matemática enquanto prática cultural. Meira conclui que a prática educacional tradicional tem sido reconhecidamente falha na realização destes objetivos, na medida em que o ensino de Matemática enfatiza a aquisição de fatos e procedimentos (1993, p. 22). Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

22 LÓGICA NO ENSINO DE MATEMÁTICA O que estamos ensinando em Matemática? Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

23 LÓGICA NO ENSINO DE MATEMÁTICA Exemplos de exploração do raciocínio no ensino de Matemática Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

24 Decidir LÓGICA NO ENSINO DE MATEMÁTICA Preparando os Alunos pra Resolver Problemas Modelar Problema Modelo Formalizar Aplicar ' Solução Implementação Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

25 RESOLVENDO ALGUNS PROBLEMAS DE RACIOCÍNIO LÓGICO O Problema dos Poĺıticos Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

26 RESOLVENDO ALGUNS PROBLEMAS DE RACIOCÍNIO LÓGICO O Problema dos Poĺıticos 1 O 1 nativo vai responder que é um não poĺıtico independente do que realmente seja; 2 Assim, quando o 2 nativo informa que o 1 disse que não é um poĺıtico, já podemos afirmar que o 2 também não é poĺıtico, pois o que ele diz é verdade. Desta forma, podemos eliminar as combinações 1,2,4 e 7. 3 O 3 nativo afirma que o primeiro é um poĺıtico. Se o 3 não for poĺıtico, ele vai dizer a verdade e portanto o 1 realmente será poĺıtico (combinação 3). 4 Se o 3 nativo for poĺıtico, ele estará mentindo e portanto o 1 não será poĺıtico (combinação 5). Portanto, as combinações 6 e 8 também podem ser eliminadas. 5 Examinando as combinações 3 e 5, percebe-se que só pode haver um poĺıtico entre os três nativos presentes. Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

27 RESOLVENDO ALGUNS PROBLEMAS DE RACIOCÍNIO LÓGICO O Problema dos Prisioneiros Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28

28 RESOLVENDO ALGUNS PROBLEMAS DE RACIOCÍNIO LÓGICO O Problema dos Prisioneiros 1 Com base na tabela descartam-se as combinações 4 e 6, pois se fosse uma das duas, um dos dois primeiros prisioneiros que enxergam poderia adivinhar a cor do chapéu em sua cabeça. 2 É possível também eliminar a combinação 2. Se fosse esta, o segundo prisioneiro saberia que seu chapéu não era vermelho, pois se fosse, o primeiro teria visto dois chapéus vermelhos nas cabeças dos outros e teria adivinhado a cor de seu próprio chapéu. 3 Assim, sobram as combinações 1, 3, 5 e 7. Em todas elas o cego estaria usando um chapéu branco, o que dá a ele a confiança para responder que ele vê claramente que seu chapéu é branco. Prof.:Lima Júnior (UERN/Mater Christi) Palestra 16 de julho de / 28