RACIOCÍNIO LÓGICO PARA ANS PROFESSOR: GUILHERME NEVES

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1 Aula 3 Proposições... 2 Leis do Pensamento... 4 Modificador Proposições simples e compostas Conjunção p q Disjunção Inclusiva Disjunção Exclusiva p v q Condicional p Bicondicional p q Número de linhas de uma tabela-verdade Tautologia Contradição Contingência Equivalências Lógicas Relação das questões comentadas Gabaritos Prof. Guilherme Neves 1

2 Proposições Nosso principal objeto de estudo serão as proposições. E o que são proposições lógicas? Há várias definições nos livros de lógica e cada banca adota textos diferentes para definir as proposições. Quando estava escrevendo meu livro de Raciocínio Lógico (Raciocínio Lógico Essencial Editora Campus) me preocupei em utilizar uma definição que englobasse um acordo entre livros e bancas organizadoras. Cheguei à seguinte definição: Chama-se proposição toda oração declarativa que pode ser valorada em verdadeira ou falsa, mas não as duas. Vamos analisar os termos desta definição. Sendo oração, deve possuir sujeito e predicado. Desta forma, expressões do tipo: Os alunos do Ponto dos Concursos. Não são consideradas proposições (pois não há predicado). Sendo declarativa, não pode ser exclamativa, interrogativa, imperativa ou optativa. Desta forma, as expressões abaixo não são consideradas proposições. i) Que belo dia! (exclamativa) ii) Qual é o seu nome? (interrogativa) iii) Leia isto atenciosamente. (imperativa indica ordem) iv) Que Deus te abençoe. (optativa exprime desejo). Para começar, o conjunto de palavras deve ser uma oração declarativa, por exemplo: O Ponto dos Concursos obteve um grande índice de aprovação no concurso para AFRFB Outro ponto a ser analisado na definição é que a oração declarativa deve poder ser classificada em V ou F, mas não as duas. Vejamos alguns exemplos de orações declarativas que não podem ser classificadas em V ou F. A frase dentro destas aspas é falsa. Vamos tentar classificar em verdadeiro ou falso. Se dissermos que esta proposição é verdadeira, teremos uma contradição pois será verdade que a frase é falsa, logo a frase é falsa. Se dissermos que a proposição é falsa, teremos novamente uma contradição. Se assim o fizermos, então será falso que a frase dentro daquelas aspas é falsa, portanto, a frase é verdadeira. Assim, a proposição não pode ser nem verdadeira nem falsa. O que concluímos? Que esta frase não é uma proposição lógica. Observação: Frases contraditórias como esta são comumente denominadas de paradoxos. Um paradoxo famoso é o de Eubulides que declarou: Eu sou mentiroso. Ora, o paradoxo de Eubulides não pode ser uma proposição lógica. Prof. Guilherme Neves 2

3 Se dissermos que a frase de Eubulides é verdadeira, então é verdade que ele é um mentiroso e, portanto, não pode declarar uma verdade. Contradição! Se dissermos que a frase é falsa, então é falso que ele é um mentiroso. E se ele não é um mentiroso, a frase não pode ser falsa (portanto, é verdadeira). Novamente uma contradição. Assim, a frase Eu sou mentiroso não é uma proposição lógica. Estes exemplos não são proposições lógicas porque não podem ser nem verdadeiros nem falsos. Um importante tipo de sentença que não é proposição é a chamada sentença aberta ou função proposicional. Exemplo: +5=10 Não dá para julgar esta frase em verdadeiro ou falso, simplesmente porque não é possível descobrir o valor de x. Se x valer 5, de fato, +5=10. Caso contrário, se x for diferente de 5, a igualdade acima está errada. x é uma variável, pode assumir inúmeros valores. Quando a sentença possui uma variável, nós dizemos que ela é uma sentença aberta. Ela tem um termo que varia, o que impede julgá-la em verdadeiro ou falso. Logo, não é proposição. Vejamos outro exemplo de sentença aberta: Ele ganhou o Oscar de melhor ator em Ora, não sabemos quem é ele. Portanto, não podemos classificar esta frase em V ou F. Se ele for Russel Crowe, então a frase é verdadeira. Se ele for qualquer outra pessoa que não Russel Crowe, então a frase é falsa. Como não sabemos quem é ele, não podemos classificar a frase e, portanto, não é considerada uma proposição. Estas discussões que fiz sobre frases que não são proposições são importantíssimas quando estamos falando de CESPE-UnB. Em tempo: é costume na Lógica apelidar as proposições com letras do alfabeto. Por exemplo: : á ( ) : 1997.( ) Prof. Guilherme Neves 3

4 Leis do Pensamento Assim como a Filosofia, a Sociologia, a Economia e outras ciências, a Lógica também possui diversas escolas. A Lógica tratada neste curso é a chamada Lógica Aristotélica (Lógica Formal, Lógica da Forma) e toda a sua estrutura é fundamentada nas seguintes Leis do Pensamento. 1. Princípio da identidade Se uma proposição qualquer é verdadeira, então ela é verdadeira. "Cada coisa é aquilo que é." (Gottfried Leibniz) 2. Princípio do terceiro excluído Toda proposição tem um dos dois valores lógicos: ou verdadeiro ou falso, excluindo-se qualquer outro. "Quem diz de uma coisa que é ou que não é ou dirá o verdadeiro ou dirá o falso. Mas se existisse um termo médio entre os dois contraditórios nem do ser nem do não ser poder-se-ia dizer que é o que não é." (Aristóteles) 3. Princípio de não contradição Uma proposição não pode ser, simultaneamente, verdadeira e falsa. "Efetivamente, é impossível a quem quer que seja acreditar que uma mesma coisa seja e não seja" (Aristóteles) O princípio da identidade afirma que uma proposição não pode ser mais verdadeira do que outra. Não existem patamares de verdade. Na Lógica Aristotélica, todas as proposições verdadeiras, assim como todas as proposições falsas, estão em um mesmo nível. O princípio do terceiro excluído estabelece que só existem dois valores lógicos. Assim, por exemplo, a proposição p ( Existe vida fora da Terra ) só pode assumir uma das duas possibilidades, V ou F, excluindo-se um hipotético valor lógico talvez, não lembro ou pode ser. O princípio de não contradição decreta que uma proposição não pode ser simultaneamente V e F. Assim, se uma proposição é verdadeira, já temos certeza de que ela não pode ser falsa, e reciprocamente. O valor lógico de uma proposição p é indicado por V(p). Por exemplo, se a proposição p for falsa, indicamos V(p) = F. (BB1/2007/Cespe) Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Assim, frases como Como está o tempo hoje? e Esta frase é falsa não são proposições porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As proposições são representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto A, B, C, etc. Uma proposição da forma A ou B é F se A e B forem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma Se A então B é F se A for V e B for F, caso contrário é V. Prof. Guilherme Neves 4

5 Considerando as informações contidas no texto acima, julgue o item subsequente. 01. Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. A frase dentro destas aspas é uma mentira. A expressão X + Y é positiva. O valor de 4 + 3= 7. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto? A frase dentro destas aspas é uma mentira. É uma oração declarativa, mas não pode ser classificada em verdadeiro ou falso. Se tentarmos classificá-la como verdadeira, teremos uma contradição. Se classificarmos como falsa, temos uma nova contradição, pois é falso dizer que a frase dentro daquelas aspas é mentira, e, portanto, ela seria verdadeira. Logo, a frase A frase dentro destas aspas é uma mentira não é uma proposição lógica. A expressão X + Y é positiva. É uma sentença aberta e não pode ser valorada em V ou F, pois não conhecemos os valores de X e Y. As frases p: O valor de 4 + 3= 7 e q: Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira são proposições, pois se constituem em orações declarativas e que assumem apenas um dos dois valores lógicos V ou F. O que é isto? É uma frase interrogativa e, portanto, não é uma proposição. O item está errado porque há exatamente duas proposições. 02. (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. Prof. Guilherme Neves 5

6 A frase I é exclamativa. A frase II não possui predicado, não sendo assim uma oração. A frase III é interrogativa e a frase V é imperativa. Portanto a característica comum entre as frases I, II, III e V é que elas não são proposições. A única proposição é a frase IV, pois é uma oração declarativa, que podemos classificar em V ou F, apesar de não sabermos o seu valor lógico. Letra D 03. (BB2/2007/Cespe) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R, etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela preposição e, simbolizada usualmente por, então se obtém a forma P Q, lida como P e Q e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário, é F. Se a conexão for feita pela preposição ou, simbolizada usualmente por, então se obtém a forma P Q, lida como P ou Q e avaliada como F se P e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é simbolizada por P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. A partir desses conceitos, julgue o próximo item. Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. As frases (I) e (III) são proposições, pois são orações declarativas. A frase (II) é imperativa e, portanto, não é uma proposição. O item está certo. (SEBRAE 2010/CESPE-UnB) Para os itens seguintes, serão consideradas como proposições apenas as sentenças declarativas, que mais facilmente são julgadas como verdadeiras V ou falsas F, deixando de lado as sentenças interrogativas, exclamativas, imperativas e outras. As proposições serão representadas por letras maiúsculas do alfabeto: A, B, C etc. [...] Sentenças como x + 3 = 5, Ele é um político, x é jogador de futebol são denominadas sentenças abertas; essas sentenças, como estão, não poderão ser julgadas como V ou F, pois os sujeitos, no caso, são variáveis. Essas expressões tornam-se proposições depois de substituída a variável por elemento determinado, permitindo o julgamento V ou F. [...] Tendo como referência as informações do texto, julgue os itens de 04 a Entre as frases apresentadas a seguir, identificadas por letras de A a E, apenas duas são proposições. A: Pedro é marceneiro e Francisco, pedreiro. B: Adriana, você vai para o exterior nessas férias? C: Que jogador fenomenal! D: Todos os presidentes foram homens honrados. E: Não deixe de resolver a prova com a devida atenção. A frase A está OK. É uma oração declarativa que pode assumir valores V ou F. Prof. Guilherme Neves 6

7 A frase B é uma frase interrogativa. Portanto, não é proposição. A frase C é exclamativa. Portanto, não é proposição. A frase D está OK. É uma oração declarativa que pode assumir valores V ou F. A frase E é imperativa. Portanto, não é proposição. Portanto, há apenas duas proposições: A e D. O item está certo. 05. As frases Transforme seus boletos de papel em boletos eletrônicos e O carro que você estaciona sem usar as mãos são, ambas, proposições abertas. Para que uma frase seja uma sentença aberta, o sujeito deve ser uma variável. A primeira frase é imperativa. Portanto não é proposição. A segunda frase não tem sentido completo. O que aconteceu com este carro? Não se trata de uma proposição lógica, pois estas devem possuir sentido completo. O item está errado. 06. Considere a seguinte sentença aberta: x é um número real e x 2 > 5. Nesse caso, se x = 2, então a proposição será F, mas, se x = 3, então a proposição será V. Vamos substituir os valores dados na sentença aberta. Fazendo =2; 2 é um número real e 2 >5 é uma proposição falsa, pois 4<5. Fazendo = 3; 3 é um número real e ( 3) >5" é uma proposição verdadeira, pois 9 > 5. O item está certo. 07. (TRT 17ª Região 2009/CESPE-UnB) Proposições são frases que podem ser julgadas como verdadeiras V ou falsas F, mas não como V e F simultaneamente. [...] A partir das informações do texto, julgue o item a seguir. A sequência de frases a seguir contém exatamente duas proposições. - A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. - Por que existem juízes substitutos? - Ele é um advogado talentoso. Prof. Guilherme Neves 7

8 A primeira frase é uma oração declarativa e que, mesmo que não saibamos, pode ser classificada em V ou F. A segunda frase é interrogativa. Não é proposição. A terceira frase é uma sentença aberta. Ele é um termo que varia. Esta frase não pode ser classificada em V ou F. Não é proposição. O item está errado. 08. (ICMS-SP/2006/FCC) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em x+ y II. é um número inteiro. 5 III. João da Silva foi o secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em É verdade que APENAS: a) I e II são sentenças abertas. b) I e III são sentenças abertas. c) II e III são sentenças abertas. d) I é uma sentença aberta. e) II é uma sentença aberta. A frase I é uma sentença aberta, pois Ele pode, nesta questão, estar se referindo a um homem qualquer. Não podemos classificá-la em V ou F, pois não sabemos sobre quem estamos falando. A frase II é, sem dúvida, uma sentença aberta, pois há duas variáveis e infinitos valores que podem tornar a frase verdadeira ou falsa. Já a frase III não é uma sentença aberta, pois facilmente podemos verificar o sujeito e classificá-la em V ou F. Se quiser classificar esta proposição em V ou F, basta fazer uma rápida pesquisa no Google (rss). Letra A 09. (MRE 2008/CESPE-UnB) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras V, ou falsas F, mas não cabem a elas ambos os julgamentos. [...] Considerando as informações acima, julgue o item abaixo. Considere a seguinte lista de sentenças: I - Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? II - O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX. III - As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y. Prof. Guilherme Neves 8

9 IV - O barão do Rio Branco foi um diplomata notável. Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma proposição.. A sentença I é interrogativa. Perguntas, exclamações, ordens, desejos, expressões de sentimentos e/ou opinião, tudo isso não pode ser classificado como proposição. São todos exemplos de frases que não podem ser julgados em verdadeiro ou falso, não sendo classificados como proposição. Na sentença II temos uma expressão de sentimento, de opinião sobre o Palácio do Itamaraty. Alguém está dizendo expressando sua opinião de que o Palácio é belo. Novamente, não é proposição. Na sentença III, temos duas variáveis (x e y). Quando temos variáveis, estamos diante de uma sentença aberta, que não pode ser julgada em verdadeiro ou falso. Logo, não é uma proposição. Na sentença IV, temos outra expressão de opinião. Também não é proposição. O item está errado. 10. (FINEP 2009/CESPE-UnB) Acerca de proposições, considere as seguintes frases: I Os Fundos Setoriais de Ciência e Tecnologia são instrumentos de financiamento de projetos. II O que é o CT-Amazônia? III Preste atenção ao edital! IV Se o projeto for de cooperação universidade-empresa, então podem ser pleiteados recursos do fundo setorial verde-amarelo. São proposições apenas as frases correspondentes aos itens a) I e IV. b) II e III. c) III e IV. d) I, II e III. e) I, II e IV.. A frase II é interrogativa, não podendo ser julgada em V ou F. Prof. Guilherme Neves 9

10 A frase III é uma frase imperativa, que também não é proposição. Logo, são proposições as frases I e IV. Letra A 11. (TCE-PB/2006/FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças: 1. Três mais nove é igual a doze. 2. Pelé é brasileiro. 3. O jogador de futebol. 4. A idade de Maria. 5. A metade de um número. 6. O triplo de 15 é maior do que 10. É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números a) 1,2 e 6. b) 2,3 e 4. c) 3,4 e 5. d) 1,2,5 e 6. e) 2,3,4 e 5. As frases 1,2 e 6 têm sujeito e predicado. São, portanto, sentenças. As frases 3,4 e 5 não possuem sentido completo. Não são sentenças. Letra A 12. (PM-BA 2009/FCC) Define-se sentença como qualquer oração que tem sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação que segue há expressões e sentenças: 1. Tomara que chova! 2. Que horas são? 3. Três vezes dois são cinco. 4. Quarenta e dois detentos. 5. Policiais são confiáveis. 6. Exercícios físicos são saudáveis. De acordo com a definição dada, é correto afirmar que, dos itens da relação acima, são sentenças APENAS os de números (A) 1, 3 e 5. (B) 2, 3 e 5. (C) 3, 5 e 6. (D) 4 e 6. (E) 5 e 6. Prof. Guilherme Neves 10

11 A FCC conceitua sentença como proposição. A frase 1 é exclamativa, a frase 2 é interrogativa, a frase 4 não possui predicado e, portanto, não são sentenças. As sentenças (proposições lógicas) são as frases 3, 5 e 6. Letra C 13. (MPE/TO 2006/CESPE-UnB) Na lista abaixo, há exatamente três proposições. Faça suas tarefas. Ele é um procurador de justiça muito competente. Celina não terminou seu trabalho. Esta proposição é falsa. O número é uma potência de 2. Faça suas tarefas. Não é proposição porque é uma frase imperativa. Ele é um procurador de justiça muito competente. Não é proposição. Trata-se de uma sentença aberta (lembra do exemplo do Russel Crowe?) Celina não terminou seu trabalho. É proposição. Esta proposição é falsa. Não é proposição. Trata-se de um paradoxo. O número é uma potência de 2. É proposição. Na lista, há exatamente 2 proposições. Portanto, o item está errado. 14. (PRODEST 2006/CESPE-UnB) Considere a seguinte lista de frases: 1 Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. 2 Qual é o horário do filme? 3 O Brasil é pentacampeão de futebol. 4 Que belas flores! 5 Marlene não é atriz e Djanira é pintora. Nessa lista, há exatamente 4 proposições. 1 Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. (É proposição). 2 Qual é o horário do filme? (Não é proposição porque é uma frase interrogativa). 3 O Brasil é pentacampeão de futebol. (É proposição). 4 Que belas flores! (Não é proposição porque é uma frase exclamativa). 5 Marlene não é atriz e Djanira é pintora. (É proposição). Prof. Guilherme Neves 11

12 Como há apenas 3 proposições, então o item está errado. Modificador O modificador é um operador lógico que troca o valor lógico das proposições. Se temos em mãos uma proposição verdadeira, então, ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição falsa. Da mesma forma, se temos em mãos uma proposição falsa, então, ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição verdadeira. Os símbolos que indicam que uma proposição foi modificada são: ~. A proposição modificada é chamada de negação da proposição original. Exemplos: : á Está é uma proposição falsa. Ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição verdadeira. : ã á. Esta frase também pode ser lida das seguintes formas: :É á. : ã é á. Quando temos uma proposição simples, devemos modificar o verbo para negar a frase. Vejamos outro exemplo: : h ã h Esta é uma proposição verdadeira. Vamos modificar o verbo e torná-la uma proposição falsa. ~ : h h Vamos definir formalmente o modificador. Dada uma proposição p qualquer, uma outra proposição chamada negação de p pode ser formada escrevendo-se É falso que... antes de p ou, se possível, inserindo a palavra não. Simbolicamente, a negação de p é designada por ~ p ou p. Para que ~ p seja uma proposição, devemos ser capazes de classificá-la em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o seguinte critério de classificação: A proposição ~ p tem sempre o valor lógico oposto de p, isto é, ~ p é verdadeira quando p é falsa, e ~ p é falsa quando p é verdadeira. Prof. Guilherme Neves 12

13 p ~ p V F F V Tabela-verdade 1 A tabela-verdade dispõe as relações entre os valores lógicos das proposições. Tabelas-verdades são especialmente usadas para determinar os valores lógicos de proposições construídas a partir de proposições simples. As tabelas de valores têm longa história, mas receberam certo destaque desde os trabalhos (independentes) de Ludwig Wittgenstein ( ) e de Emil L. Post ( ). A tabela 1 mostra todas as possibilidades de valores de uma proposição e os correspondentes valores da sua negação. A negação de uma proposição pode ser considerada o resultado de uma operação do operador negação de uma proposição. O operador negação constrói uma nova proposição a partir de uma proposição que já existe. Vamos estudar agora operadores lógicos que são usados para formar novas proposições a partir de duas ou mais proposições preexistentes. Esses operadores lógicos são chamados conectivos. Proposições simples e compostas Estudaremos métodos de produzir novas proposições a partir de proposições simples. Uma proposição é simples quando declara algo sem o uso de conectivos. Esses métodos foram discutidos pelo matemático inglês George Boole, em 1854, no seu livro As Leis do Pensamento. Diversas declarações matemáticas são obtidas combinando proposições. Exemplos: p : O número 2 é primo. (V) q : 15 : 3 = 6 (F) r : O retângulo é um polígono regular. (F) A partir de proposições simples dadas podemos construir novas proposições compostas mediante o emprego de operadores lógicos chamados conectivos, como e (conectivo de conjunção), ou (conectivo de disjunção), e os condicionais se... então, se e somente se. Observe que o modificador não não é um conectivo. Não é um advérbio de negação. A expressão não não conecta duas proposições. Exemplos: p : A Lua é um satélite da Terra e Recife é a capital de Pernambuco. q : Carlos é solteiro ou Pedro é estudante. r : Se um quadrilátero tem todos os lados congruentes, então é um losango. Prof. Guilherme Neves 13

14 s : Um quadrilátero é um quadrado se e somente se for retângulo e losango. Obs.: A proposição Guilherme e Moraes são professores é uma proposição simples. O sujeito dessa proposição, porém, é composto. A proposição Guilherme é professor e Moraes é professor é uma proposição composta. (STF 2008/CESPE-UnB) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto, então o pai é exemplo de integridade. Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes. 15. A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. 16. A segunda frase é uma proposição lógica simples. 17. A terceira frase é uma proposição lógica composta. 18. A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. 15. Os verbos ouve e atenta indicam ordem (imperativo). Portanto não são consideradas proposições lógicas. O item está errado. 16. Certo. 17. A proposição é simples. O sujeito da oração é que é composto. O item está errado. 18. Se..., então... é um conectivo só. O item está errado. Conjunção p q Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra e para formar uma proposição composta, que é chamada de conjunção das proposições originais. Simbolicamente representamos a conjunção de duas proposições p e q por p q. Imagine que você prometeu ao seu filho que, no final de semana: Vamos ao Shopping Center e vamos à praia. Vamos separar a frase acima em duas parcelas: : h : à Conectando as proposições e pelo conectivo e, temos a proposição: : h à. Prof. Guilherme Neves 14

15 Se as duas parcelas componentes são verdadeiras, então, de fato, o pai levará o filho ao Shopping e à praia. Logo, nossa proposição composta é verdadeira. Teríamos então: p: Vamos ao Shopping Center. (Verdade) q: Vamos à praia (Verdade) p q V V V Neste quadro estamos indicando que se a proposição p (Vamos ao Shopping Center) for verdadeira e a proposição q (Vamos à praia) também for verdadeira, então a proposição P e Q (Vamos ao Shopping Center e vamos à praia) também será verdadeira. Agora vamos imaginar que o pai levará o filho ao Shopping Center, mas não levará o filho à praia. p: Vamos ao Shopping Center. (Verdade) q: Vamos à praia (Falso) Agora a proposição composta é falsa. Ela afirma que Vamos ao Shopping Center e, além disso, Vamos à praia. Afirma-se que as duas parcelas ocorrem ao mesmo tempo, o que não está acontecendo (pois a segunda parcela é falsa). Portanto p e q é falso. p q V F F Analisemos agora a terceira situação: O pai não levará o filho ao Shopping Center, mas levará o filho à praia. p: Vamos ao Shopping Center. (Falso) q: Vamos à praia (Verdade) Novamente, a afirmação de que Vamos ao Shopping Center e vamos à praia é falsa. Isso porque uma das parcelas é falsa. Portanto: p q F V F E finalmente a última situação possível. O pai nem leva o filho ao Shopping Center nem o leva à praia. Prof. Guilherme Neves 15

16 p: Vamos ao Shopping Center. (Falso) q: Vamos à praia (Falso) p q F F F Unindo todas estas possibilidades em uma única tabela, temos: p q V V V V F F F V F F F F Vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico (V ou F) de uma conjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q: A conjunção p q é verdadeira se p e q são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa então p q é falsa. O e lógico costuma ser apresentado com o símbolo. Deste modo, escrever P Q é o mesmo que escrever P e Q. Exemplo: p : João é gordo e Mário é alto. Suponha que a proposição João é gordo seja verdadeira e que Mário não seja alto. Dessa forma, A conjunção João é gordo e Mário é alto é falsa, pois a proposição Mário é alto é falsa. A composta só seria verdadeira se ambas as proposições João é gordo e Mário é alto fossem verdadeiras. Prof. Guilherme Neves 16

17 Disjunção Inclusiva Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra ou para formar uma proposição composta que é chamada de disjunção inclusiva das proposições originais. Simbolicamente, a disjunção das proposições p e q é designada por p q. O símbolo v é a inicial da palavra grega vel. Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (V ou F) de uma disjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q: A disjunção inclusiva verdadeira; p q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é p q é falsa se e somente se ambas p e q são falsas. p q p q V V V V F V F V V F F F Exemplo: p : Vou à festa ou não me chamo Fulano. Considere que Fulano afirmou: Vou à festa ou não me chamo Fulano. Fulano foi à festa. Portanto, a proposição Vou à festa é verdadeira. A proposição não me chamo Fulano é falsa, pois quem a disse foi Fulano. Temos o seguinte esquema: Vou à festa V ou não me chamo Fulano. F Prof. Guilherme Neves 17

18 A disjunção Vou à festa ou não me chamo Fulano só seria falsa se ambas as proposições Vou à festa e Não me chamo Fulano fossem falsas. Como a proposição Vou à festa é verdadeira, temos que a composta é verdadeira. Assim, V Vou à festa V ou não me chamo Fulano. F O uso do conectivo ou na disjunção inclusiva corresponde a um dos dois modos como a palavra ou é usada na Língua Portuguesa. A disjunção inclusiva é verdadeira quando pelo menos uma das duas proposições for verdadeira ou quando ambas forem verdadeiras. A disjunção inclusiva é usada, por exemplo, na seguinte proposição: Hoje é sexta-feira ou hoje está chovendo. Nesse caso, poderíamos ter as duas proposições Hoje é sexta-feira e Hoje está chovendo verdadeiras. Não estamos afirmando que as duas são verdadeiras, mas que ambas poderiam ser verdadeiras. Por outro lado, estamos usando a disjunção exclusiva quando dizemos: Ou hoje é sexta-feira ou sábado, mas não ambos. Nesse caso, as duas proposições Hoje é sexta-feira e Hoje é sábado não podem ser simultaneamente verdadeiras. Como já observamos, o uso do conectivo ou em uma disjunção corresponde a um dos dois significados usados na Língua Portuguesa, denominados inclusivo e exclusivo. A disjunção inclusiva p q é verdadeira quando pelo menos uma delas for verdadeira. Quando o ou exclusivo é usado para conectar as proposições p e q, a proposição ou p ou q, mas não ambas é obtida. A proposição é verdadeira quando p é verdadeira e q é falsa, ou quando p é falsa e q é verdadeira, e é falsa quando ambas, p e q, são falsas ou ambas são verdadeiras. O símbolo do ou é. É um símbolo semelhante ao do e, mas de cabeça para baixo. Alguns alunos se mostram especialistas em construir processos mnemônicos. Um dos processos que aprendemos com esses mestres foi como distinguir os símbolos e. Basta colocar uma letra O ao lado dos símbolos. Observe: O / O Em qual das duas situações você consegue ler OU? Na palavra da esquerda! Portanto, aquele símbolo é o ou. Consequentemente o outro é o e. Outro processo mnemônico consiste em colocar um pontinho em cima do símbolo. Vejamos: Em qual das duas situações você consegue ver a letra cursiva i? No símbolo da direita! Portanto, aquele símbolo é o e (mesmo fonema do i ). Prof. Guilherme Neves 18

19 Disjunção Exclusiva p v q Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra ou para formar uma proposição composta que é chamada de disjunção exclusiva das proposições originais. Simbolicamente, a disjunção das proposições p e q é designada por p v q. Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (V ou F) de uma disjunção exclusiva a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q: A disjunção exclusiva p v q é verdadeira se exatamente uma delas p ou q for verdadeira, e falsa nos outros casos. p q p v q V V F V F V F V V F F F Condicional p Quando duas proposições são conectadas com a palavra se antes da primeira e a inserção da palavra então entre elas a proposição resultante é composta e é também chamada de implicação. Simbolicamente, p q. Em uma proposição condicional, o componente que se encontra entre o se e o então é chamado de antecedente e o componente que se encontra após a palavra então é chamado consequente. Por exemplo, na proposição Se vou à praia, então tomo banho de mar, vou à praia é o antecedente e tomo banho de mar é o consequente. O condicional p q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa; caso contrário, p q é verdadeiro. Coloquemos um exemplo para resumi-lo. Se Guilherme é recifense, então Guilherme é pernambucano. Prof. Guilherme Neves 19

20 Guilherme é recifense Guilherme é pernambucano 1º caso verdadeira verdadeira 2º caso verdadeira falsa 3º caso falsa verdadeira 4º caso falsa falsa Analisemos cada um deles. 1º caso antecedente e consequente verdadeiros. Aqui, se efetivamente Guilherme for recifense e também for pernambucano, não há dúvida, a proposição condicional é considerada verdadeira. 2º caso antecedente verdadeiro e consequente falso. Nessa situação, temos Guilherme como uma pessoa que nasceu no Recife e não nasceu em Pernambuco. A condicional é considerada falsa. 3º caso antecedente falso e consequente verdadeiro. Guilherme não nasceu no Recife, mas nasceu em Pernambuco. Isso é totalmente permitido, visto que Guilherme poderia ter nascido em Petrolina, por exemplo. A proposição condicional é verdadeira. 4º caso antecedente e consequente falsos. Guilherme não nasceu no Recife nem em Pernambuco. Situação totalmente aceitável, visto que Guilherme poderia ter nascido em qualquer outro lugar do mundo. Existe apenas uma situação em que o condicional é falso: quando a primeira proposição for verdadeira e a segunda, falsa. Bicondicional p q Conectando duas proposições p, q através do conectivo bicondicional, obtemos uma nova proposição p q, que se lê p se e somente se q. O bicondicional equipara-se à conjunção de dois condicionais p q e q p. Por exemplo, a proposição composta Hoje é Natal se, e somente se hoje é 25 de dezembro significa que Se hoje é Natal, então hoje é 25 de dezembro e Se hoje é 25 de dezembro, então hoje é Natal. O bicondicional p q é verdadeiro quando p e q são ambos verdadeiros ou ambos falsos, e falso, quando p e q têm valores lógicos diferentes. No nosso exemplo acima, Prof. Guilherme Neves 20

21 Podemos resumir tudo o que foi dito com a seguinte tabela-verdade. p q p q p q p q p q V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V Ou ainda, para facilitar o processo mnemônico, podemos memorizar as regras que tornam as compostas verdadeiras. Conjunção Disjunção p q p q As duas proposições p, q devem ser verdadeiras Ao menos uma das proposições p, q deve ser verdadeira. Não pode ocorrer o caso de as duas serem falsas. Condicional p q Não pode acontecer o caso de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, não pode acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem informal, dizemos que não pode acontecer VF, nesta ordem. Bicondicional p q Os valores lógicos das duas proposições devem ser iguais. Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são falsas. Número de linhas de uma tabela-verdade O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples é 2 n. Prof. Guilherme Neves 21

22 Para uma proposição simples p, o número de linhas da tabela-verdade é 2, pois, pelas leis do pensamento a proposição p só pode assumir um dos dois valores lógicos: V ou F. p V F Para duas proposições p e q, o número de linhas da tabela-verdade é 2 2 = 4. SEMPRE que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 2 proposições, começaremos com a seguinte disposição. p q V V V F F V F F Para 3 proposições p, q e r, o número de linhas da tabela-verdade é 2 3 = 8. SEMPRE que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 3 proposições, começaremos com a seguinte disposição. p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as proposições) representa uma valoração. (TCU/2004/Cespe) Considere que as letras P, Q e R representam proposições, e os símbolos, e são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e então, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão definidos, para cada valoração atribuída às letras proposicionais, na tabela abaixo: P Q P P Q P Q V V F V V V F F F F F V V F V F F V F V Prof. Guilherme Neves 22

23 Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir: 19. A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ( R Q) 20. A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P Q 21. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada por P Q é falsa. 22. O número de valorações possíveis para (Q R) P é inferior a A proposição Hoje não choveu é a negação da proposição P e deve ser representada por P. A sentença Maria não foi ao comércio é a negação de R e, portanto, é representada por R. Analogamente, a proposição José não foi à praia é representada por Q. Concluímos que a composta Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia é representada por P ( R Q) e o item está certo. 20. Usando o raciocínio do item 1, temos que o item 05 também é certo. 21. P: Hoje choveu. P: Hoje não choveu. Q: José foi a praia. O antecedente ( P) da condicional P Q foi valorado como F. Sabemos que quando o antecedente de uma condicional é falso, a composta condicional é verdadeira. Segue-se que o item está errado. Vale a pena lembrar que uma composta condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso, em qualquer outro caso, a condicional é verdadeira. 22. Vale a pena lembrar que o número de linhas de uma tabela-verdade (valorações) composta de n proposições simples é igual a 2 n. Como n=3, temos que o número de valorações possíveis para a proposição composta (Q R) P é igual a 2 3 =8. O item está certo. 23. (Gestor Fazendário-MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P: P: A ou B Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: Carlos é dentista. B: Se Enio é economista, então Juca é arquiteto. Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. Prof. Guilherme Neves 23

24 A proposição P é a disjunção das proposições A, B (conectivo ou). O texto nos informou que P é falsa, e sabemos que a disjunção A ou B só é falsa quando ambas, A e B são falsas. A proposição A é falsa e daí concluímos que Carlos não é dentista. A condicional B é falsa. Uma proposição condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso; donde Enio é economista (antecedente verdadeiro) e Juca não é arquiteto (consequente falso). Lembre-se sempre: uma proposição composta pelo conectivo se...,então... só é falsa quando ocorre VF. E como o enunciado nos disse que B é falsa, então ocorreu VF. B: Se Enio é economista, então Juca é arquiteto. O antecedente é verdadeiro, logo Enio é economista. O consequente é falso, logo Juca não é arquiteto. Letra B 24. (TRF-1ª Região/2006/FCC) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo: a) alguns atos não têm causa se não há atos livres. b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres. c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres. d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres. e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa. Vimos que o bicondicional p q (se e somente se) equipara-se à conjunção de dois condicionais p q e q p. Letra C 25. (ALESP 2010/FCC) Paloma fez as seguintes declarações: Sou inteligente e não trabalho. Se não tiro férias, então trabalho. Supondo que as duas declarações sejam verdadeiras, é FALSO concluir que Paloma (A) é inteligente. (B) tira férias. (C) trabalha. (D) não trabalha e tira férias. (E) trabalha ou é inteligente. O enunciado já informou que as duas proposições são verdadeiras. Sou inteligente e não trabalho. Prof. Guilherme Neves 24

25 Esta é uma proposição composta pelo conectivo e. Lembra quando uma frase composta pelo e é verdadeira? Quando as duas proposições componentes são verdadeiras. Desta maneira, concluímos que Sou inteligente é verdade e Não trabalho também é verdade. Se não trabalho é verdade, então trabalho é falso. Letra C Vamos analisar a segunda proposição. Se não tiro férias, então trabalho. Já sabemos que a proposição não trabalho é verdade. Portanto, a sua negação é falsa. Se não tiro férias, então trabalho. F Ora, para que uma proposição composta pelo conectivo se..., então... seja verdadeira, não pode acontecer de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Em suma, não pode acontecer VF nesta ordem. Como o consequente é falso, o antecedente não pode ser verdadeiro, portanto deve ser falso. Se não tiro férias, então trabalho. F F Conclui-se que a proposição não tiro férias é falsa. Isto quer dizer que tiro férias é verdade. 26. (Petrobras/2007/Cespe) Julgue o item que se segue. Considere as proposições abaixo: p: 4 é um número par; q: A Petrobras é a maior exportadora de café do Brasil. Nesse caso, é possível concluir que a proposição p q é verdadeira. Temos que a proposição p é verdadeira, enquanto que a proposição q é falsa. A disjunção p q só é falsa se ambas p, q são falsas. Se ao menos uma delas for verdadeira, a composta também será verdadeira. Portanto, a proposição p q é verdadeira e o item está certo. p q p q V F V Prof. Guilherme Neves 25

26 27. (SADPE/2008/FGV) Considere as situações abaixo: I. Em uma estrada com duas pistas, vê-se a placa: Como você está dirigindo um automóvel, você conclui que deve trafegar pela pista da esquerda. II. Você mora no Recife e telefona para sua mãe em Brasília. Entre outras coisas, você diz que Se domingo próximo fizer sol, eu irei à praia. No final do domingo, sua mãe viu pela televisão que choveu no Recife todo o dia. Então, ela concluiu que você não foi à praia. III. Imagine o seguinte diálogo entre dois políticos que discutem calorosamente certo assunto: - A: Aqui na Câmara tá cheio de ladrão. - B: Ocorre que eu não sou ladrão. - A: Você é safado, tá me chamando de ladrão. Em cada situação há, no final, uma conclusão. Examinando a lógica na argumentação: a) são verdadeiras as conclusões das situações I e II, apenas. b) são verdadeiras as conclusões das situações II e III, apenas. c) são verdadeiras as conclusões das situações I e III, apenas. d) as três conclusões são verdadeiras. e) as três conclusões são falsas. I. Caminhões Pista da Direita F Vimos anteriormente que se não ocorre p a condicional p q é verdadeira qualquer que seja o valor verdade de q. Ou seja, se o antecedente for falso, nada podemos concluir a respeito do consequente. A condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso (não pode acontecer VF). Portanto, se você está dirigindo um automóvel, poderás dirigir na pista da direita ou da esquerda. O item é FALSO. Da mesma forma, se houver um veículo na pista da direita (o consequente é verdadeiro), não podemos concluir que o veículo é um caminhão. II. Domingo próximo fizer sol eu irei à praia. F A situação é idêntica ao item anterior. Se o antecedente é falso, nada podemos concluir sobre o consequente. O item é FALSO. Destacamos novamente que se o consequente for verdadeiro, nada pode afirmar sobre o antecedente, ou seja, se o indivíduo foi à praia, não podemos concluir se no domingo fez sol ou não. III. O terceiro item obviamente é FALSO, pois nem o político A chamou o político B de ladrão, nem o político B chamou o político A de ladrão. O político A apenas afirmou que na Câmara tá cheio de ladrão e o político B afirmou que ele próprio não era um dos ladrões. Letra E Prof. Guilherme Neves 26

27 (INSS 2008/CESPE-UnB) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras V ou falsas F, mas não como ambas. Se P e Q são proposições, então a proposição Se P então Q, denotada por P Q, terá valor lógico F quando P for V e Q for F, e, nos demais casos, será V. Uma expressão da forma P, a negação da proposição P, terá valores lógicos contrários aos de P. P Q, lida como P ou Q, terá valor lógico F quando P e Q forem, ambas, F; nos demais casos, será V. Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 5.º da Constituição Federal. A: A prática do racismo é crime afiançável. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado. De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue os itens a seguir. 28. Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores lógicos, a proposição B C é V. 29. De acordo com a notação apresentada acima, é correto afirmar que a proposição ( A) ( C) tem valor lógico F. Vamos relembrar alguns incisos do artigo 5º da Constituição Federal. XXXII o Estado promoverá, na forma da lei, a defesa do consumidor; XLII a prática do racismo constitui crime inafiançável e imprescritível, sujeito à pena de reclusão, nos termos da lei; LII não será concedida extradição de estrangeiro por crime político ou de opinião. Deste modo: Vamos ao primeiro item: Queremos saber o valor lógico do condicional: B C V(A)=F V(B)=V V(C)=F Prof. Guilherme Neves 27

28 Sabemos que o primeiro componente é verdadeiro e o segundo é falso. Esta é a única situação em que o condicional é falso. O item está errado. Segundo item: Sabemos que A é falsa. Logo, a negação de A é verdadeira. Sabemos que C é falsa. Logo, a negação de C é verdadeira. A proposição solicitada foi: ( A) ( C). A: verdadeira C : verdadeira Temos um ou em que as duas parcelas são verdadeiras, o que faz com que a proposição composta seja verdadeira. O item está errado. 30. (SEFAZ-MG 2005/ESAF) O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte: 1. Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? 2. Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? 3. Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã? O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as três perguntas são, respectivamente: a) Não, sim, não b) Não, não, sim c) Sim, sim, sim d) Não, sim, sim e) Sim, não, sim Vamos dar nomes às proposições. A proposição d (de dragão) será: Prof. Guilherme Neves 28

29 A proposição a (de Aladim) será: A afirmação do mago é: Item 1. d: O dragão desaparecerá amanhã. a: Aladim beijou a princesa ontem d a A afirmação do mago é falsa e o dragão desaparece amanhã. Logo: d: Verdadeiro d a : Falso Ou seja, uma das parcelas do bicondicional é verdadeira. Para que o bicondicional seja falso, a segunda parcela deve ser falsa. Logo, no primeiro item, Aladim não beijou a princesa ontem. Item 2. A afirmação do mago é verdadeira e o dragão desaparece amanhã. Logo: d: Verdadeiro d a : Verdadeiro Ou seja, uma das parcelas do bicondicional é verdadeira. Para que o bicondicional seja verdadeiro, a segunda parcela deve ser verdadeira. Logo, no primeiro item, Aladim beijou a princesa ontem. Item 3. A afirmação do mago é falsa e o Aladim não beijou a princesa ontem. Logo: a: Falso d a : Falso Uma das parcelas do bicondicional é falsa. Para que o bicondicional seja falso, a outra parcela deve ser verdadeira. Logo, no terceiro item, o dragão desaparecerá amanhã. As respostas às três perguntas são: não, sim, sim. Letra D Prof. Guilherme Neves 29

30 Tautologia Vimos que o número de linhas de uma tabela-verdade é 2 n (em que n é o número de proposições simples). Vamos considerar três proposições quaisquer p, q e r. Assim, qualquer tabela-verdade envolvendo apenas estas três proposições terá 2 =8 linhas. Desta forma, vamos construir a tabela-verdade da proposição ( p r) (~ q r). E o que significa construir a tabela-verdade desta proposição? Significa dispor em uma tabela todas as possibilidades de valoração para esta proposição. Ou seja, estamos preocupados em responder quando é que esta proposição é verdadeira e quando é que ela é falsa. Para tal tarefa, devemos começar com a seguinte disposição: p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Neste começo de tabela, estão dispostas todas as possibilidades de valorações destas 3 proposições. Observe que há um padrão na construção deste início. Na primeira coluna, temos 4 V seguidos de 4 F. Na segunda coluna temos 2 V seguidos de 2 F alternadamente. Por fim, na terceira coluna temos V e F que se alternam. Pois bem toda tabela-verdade envolvendo três proposições começa assim. Queremos construir a tabela-verdade da proposição ( p r) (~ q r). Prof. Guilherme Neves 30

31 Observe que não aparece a proposição propriamente dia e sim a sua negação. Portanto, o primeiro passo é construir a negação de. Lembre-se que se uma proposição é verdadeira, a sua negação é falsa e reciprocamente. p q r ~q V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F F F V V F F V V Valores opostos!! Vamos obedecer a ordem de preferência. Vamos construir as proposições compostas que estão dentro dos parênteses. Comecemos por. Devemos conectar a proposição com a proposição através do conectivo e. Lembre-se que uma proposição composta pelo e só é verdadeira quando os dois componentes são verdadeiros. Vamos selecionar as linhas em que ambas e são verdadeiras. Todas as outras possibilidades tornam a composta falsa. p q r ~q p r V V V F V V V F F F V F V V V V F F V F F V V F F F V F F F F F V V F F F F V F Vamos agora construir a segunda proposição composta que está dentro de parênteses: ~. Prof. Guilherme Neves 31

32 Lembre-se que uma proposição composta pelo conectivo ou é verdadeira quando pelo menos um dos dois componentes for verdadeiro. Vamos nos focar apenas nas linhas em que pelo menos uma das duas ~ ou for verdadeira. p q r ~q p r ~q r V V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V F V F V V F F V F V F F F F F F V V F V F F F V F V Observe que tanto na linha 2 quanto na linha 6 as duas proposições são falsas, e portanto, a composta construída é falsa nestes casos. Podemos agora, finalmente construir a composta ( p r) (~ q r). Lembre-se que há apenas um caso em que a composta pelo se..., então é falsa: quando o primeiro componente for verdadeiro e o segundo componente falso. Vamos olhar apenas as duas últimas colunas. Vejamos cada linha de per si: 1ª linha: V V (o condicional é verdadeiro). 2ª linha: F F (o condicional é verdadeiro). 3ª linha: V V (o condicional é verdadeiro). 4ª linha: F V (o condicional é verdadeiro). 5ª linha: F V (o condicional é verdadeiro). 6ª linha: F F (o condicional é verdadeiro). 7ª linha: F V (o condicional é verdadeiro). 8ª linha: F V (o condicional é verdadeiro). Desta forma: p q r ~q p r ~q r ( p r ) (~ q r ) V V V F V V V V V F F F F V V F V V V V V V F F V F V V F V V F F V V F V F F F F V F F V V F V V F F F V F V V Concluímos que a proposição composta ( p r) (~ q r) é sempre verdadeira, independentemente dos valores atribuídos às proposições,. Prof. Guilherme Neves 32

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