Gráficos de Funções. Matemática Prof. Piloto. d 2. d d 2 2. d 2

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1 Matemática Prof. Piloto Gráficos de Funções 1. Função Uma forma simples de dizer o que é uma função é: Uma função é uma variável (y) que depende de outra () Nosso esquema mental é: y é a função ou variável dependente; é a variável ou variável independente. EXERCÍCIO Preste atenção! Nem sempre os nomes das variáveis são e y, o eemplo a seguir mostra isso. Eemplo: A área de um quadrado é uma função do comprimento da diagonal do mesmo quadrado. Vamos epressar a área (A) como uma função da diagonal (d). Isto é, vamos epressar como a variável A depende da variável d: Sabemos que a área, A, de um quadrado em função do lado, L, é dada por (1) A = L L Sabemos, também, que aplicando o Teorema de Pitágoras a diagonal, d, de um quadrado em função do lado, L, é dada por Então () d = L (3) L = d a) Marque no plano acima os pontos de coordenadas A (, 3), B (3, ), C ( 4, ), D (, 4), E ( 3, 3), F ( 1, 3), G ( 3, 1), H ( 1, 4). b) Dê as coordenadas dos pontos I, J, K, L. Pense no que queremos dizer quando falamos que o gráfico da função y = f() é a curva abaio: Substituindo (3) em () obtemos Ou seja (4) d d A = () d A = Aí está: o valor da variável A depende do valor da variável d.. Gráfico Para entender corretamente o que é o gráfico de uma função primeiro é bom lembrar que: a) o gráfico é traçado no Plano Cartesiano (eio eio y); b) no plano cartesiano cada ponto é associado a um par ordenado (, y); Lembre-se: cada ponto sobre esta curva como, na verdade, cada ponto do plano está associado a um par ordenado (, y). Nos pontos que formam a curva o valor de y é igual ao valor de f(). Se quando você fala você entende o que está dizendo, vai ver que é isto que significa escrever y = f(). Ou seja, os pontos que formam o gráfico de y = f() são os pontos da forma (, f()). 1

2 Definição: O gráfico de uma função y = f() é o conjunto dos pares ordenados da forma (, f()). Quando marcamos estes pontos no Plano Cartesiano representamos, visualmente, como a função (y) depende da variável (). Observe: Valor da função.1 Traçando Gráficos Quando começamos a estudar gráficos, lá no Ensino Fundamental, fazíamos algo assim: Para traçar o gráfico de uma função como, por eemplo, y = 3, Fazíamos uma cruzinha com e y sobre os braços da cruz, íamos dando valores para e calculando os valores correspondentes de y obtendo assim alguns pares ordenados. Aí marcávamos estes pares ordenados no plano e os uníamos meio de qualquer jeito obtendo, normalmente, uma linha toda quebradinha. Como abaio: y= f() (, f()) 0 0 (0, 0) 1 - (1, -) -1 4 (-1, 4) - (, -) - 10 (-, 10) 3 0 (3, 0) Gráfico de principiante (, f()) Valor da variável y = f() Este comprimento é o valor da função. É mais fácil lê-lo projetando-o no eio y Estudantes mais adiantados, no entanto, fazem assim: Primeiro: analisam a função e, normalmente, identificam o aspecto geral do gráfico. Isto é, concluem se o gráfico: É uma reta, ou É uma parábola, ou É uma curva ascendente (que sobe para a direita como no desenho), ou É uma curva descendente (que desce para a direita), ou É uma curva com o formato de uma onda (como os gráficos de y = sen ou de y = cos), ou É uma curva que, da esquerda para a direita, vem subindo (ou descendo) descreve uma(s) onda(s) e volta a subir (ou descer) (como os gráficos de muitos polinômios de grau maior que dois), ou Tem a forma de uma letra V (como o gráfico da função y = II) Segundo: localizam alguns pontos importantes do gráfico, por eemplo: onde o gráfico corta o eio y (basta calcular o valor de f(0), se 0 pertencer ao domínio da função), onde o gráfico corta o eio (nos valores de que são as raízes da equação f() = 0) Terceiro: traçam um esboço elegante do gráfico. Para concluir você deve observar que é preciso conhecer o aspecto geral de alguns gráficos importantes e neste material a maioria deles é apresentada adiante. 3. Gráficos de Funções Polinomiais As funções polinomiais são da forma y = a 0 + a 1 + a + + a n n 3.1. Funções Constantes y = a 0 O gráfico é uma reta horizontal y a Funções polinomiais de grau 1 Função Afim y = a 0 + a 1 (a 0 0) ou, na forma mais comum Ou, ainda: y = a 1 + a 0 (a 1 0) y = a + b

3 O gráfico é uma reta inclinada y y a 1 > 0 a 0 a 1 < 0 y a 0 a 1 < 0 Observação: Se a função é da forma V d = a 1.V i + a 0, o gráfico é uma reta. Se o gráfico é uma reta a função é da forma V d = a 1.V i + a 0 (ou seja, y = a + b) Funções Polinomiais de Grau (Quadráticas) y = a 0 + a 1 + a ou na forma mais comum y = a + a 1 + a 0 (a 0) Ou ainda: y = a² + b + c Ou seja V d = a.(v i) + a 1.V i + a 0 O gráfico é uma parábola 3 a > 0 Reforçando: Jamais o gráfico pode ser uma reta se a função não for da forma V d = a 1.V i + a 0!!!! Eemplos: 1 a < Função Linear (a 0 = 0) y (1) o polinômio y = a + b + c tem duas raízes reais distintas ( = b² 4ac > 0) () o polinômio y = a + b + c tem duas raízes reais iguais ( = b² 4ac = 0) (3) o polinômio y = a + b + c não tem raízes reais ( = b² 4ac < 0) 3.4. Funções Polinomiais de Grau n a 1 > 0 São as funções da forma y = a n n + a n-1 n a + a 1 + a 0 O aspecto geral do gráfico depende de n ser par ou ímpar e do sinal de a n 3

4 Se n for ímpar oriente-se pelo gráfico da função y = a 1 + a 0 (reta crescente se a 1 > 0 e decrescente se a 1 < 0). Então: Eemplo 0 Reta Função polinomial de grau ímpar y = + 6³ 4² Eemplo 03 Na porção do meio do gráfico pode haver ondulações, porém, as pontas seguem, ou um padrão crescente (se a n > 0) ou um padrão decrescente (se a n < 0). Se n for par oriente-se pelo gráfico da função y = a + a 1 + a 0 (parábola com concavidade para cima se a > 0 e parábola com concavidade para baio se a < 0). Parábola y = 4 8² + 16 Eemplo 04 Função Polinomial de grau par Na porção do meio do gráfico pode haver ondulações, porém as pontas seguem um padrão que acompanha os ramos de uma parábola (para cima se a n > 0, para baio se a n < 0). Eemplo 01 y = 4 + 4³ + 4² Gráficos Importantes 4.1 Função Modular y = y y = ³ 6²

5 4. Funções y = sen e y = cos 4.4 Função Logarítmica y = sen y = logb (b > 1) y = cos y = logb (0 < b > 1) 4.3 Função Eponencial y = b (b > 1) 4. Hipérbole Equilátera 1 y = 1 y = b (0 < b > 1) 1

6 Observação: Nas aplicações (por eemplo, no estudos nrt dos gases V =, sendo P a variável independente) P normalmente a variável independente é positiva. Então o gráfico tem só o ramo direito. 1 y=, >0.4 y = f( n). Alterando a Função e Traçando o Gráfico O gráfico é obtido deslocando-se o gráfico de y = f() n unidades para a direita. Veja a figura. A seguir considere que n é um número positivo e que o gráfico de y = f() é conhecido..1 y = f() + n O gráfico é obtido deslocando-se o gráfico de y = f() n unidades para cima. Veja a figura.. y = f() O gráfico é obtido conservando-se a parte do gráfico de y = f() que fica acima do eio ou que nele toca, e refletindo-se no eio a parte do gráfico de y = f() que fica abaio deste eio. Veja a figura.. y = f() n O gráfico é obtido deslocando-se o gráfico de y = f() n unidades para baio. Veja a figura..3 y = f( + n) O gráfico é obtido deslocando-se o gráfico de y = f() n unidades para a esquerda. Veja a figura. 6

7 .6 y = f( ) 6. As funções y = sen e y = cos O gráfico é obtido conservando-se a parte do gráfico de y = f() que fica à direita do eio y ou que nele toca, e refletindo-se no eio y esta mesma parte. Veja a figura. 6.1 y = n sen e y = n cos O gráfico de y = sen ou de y = cos é esticado (se n>1) ou espremido (se n<1), verticalmente, por um fator n. observe que as raízes permanecem as mesmas. 6. y = sen(n) e y = cos(n) O gráfico de y = sen ou de y = cos é esticado (se n>1) ou espremido (se n<1), horizontalmente, por um fator n. observe que as raízes não são mais as mesmas..7 y = f() O gráfico é obtido refletindo-se o gráfico de y = f() no eio. Veja a figura. 7

8 7. Funções definidas por mais de uma sentença Para traçar o gráfico de uma função como a dada a seguir 3 +, se < 1 (1ª sentença) f() = ² + 1, se 1 < 3 (ª sentença) + 13, se 3 (3ª sentença) 1º) Divida o eio nas regiões dadas em cada sentença. Na função dada as regiões são: R 1: <1, R : 1 < 3 e R 3: 3. ATIVIDADE 01) Trace os gráficos das funções º) Trace o gráfico da função sobre cada região observando como a função é definida naquela região. Neste momento é bom ler cada sentença começando pela região e pulando para a definição da função. Assim, por eemplo, leia: a primeira sentença assim: se < 1, então, f() = 3 + Assim você já sabe que na região < 1 o gráfico de f() será o pedaço da reta de equação y = 3 + que fica sobre aquela região. a segunda sentença assim: se 1 < 3, então, f() = ² + 1 Assim você já sabe que na região 1 < 3 o gráfico de f() será o pedaço da parábola de equação y = ² + 1 que fica sobre aquela região. a terceira sentença assim: se 3, então, f() = + 13 Assim você já sabe que na região 3 o gráfico de f() será o pedaço da reta de equação y = +13 que fica sobre aquela região. Portanto, o gráfico de a) b) c) d) e) f), se > 0 f() =, se 0, se < 0 f() =, se 0 1, se 1 f() = + 1, se < 1 ² +, se 1 1 f() = 3, se < 1ou > 1 sen, se 0 π f() = ² 1, se < 0, se > π, se < 1 f() = ³ + 1, se 1 < 4 log, se 4 é 3 +, se < 1 f() = ² + 1, se 1 < , se 3 8

9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) A). (Unicamp 014) Considere as funções f e g, cujos gráficos estão representados na figura abaio. Analisando esses gráficos, assinale o que for correto. O valor de f(g(1)) g(f(1)) é igual a a) 0. b) 1. c). d) 1. 01) ( fo q )(0) = 0 0) ( poqo f )() = 0 04) ( f p )(1) = 0 08) ( o ) = ( o ) p p (1) f f (1) 16) Se restringirmos o domínio da função f ao 1 po f (3) = 3. intervalo [0,], então ( ) D) (NOBEL) Considere o gráfico e calcule B) (NOBEL) Sendo f e g as funções dadas no item (A) calcule os valores de: a) f(g -1 ()) supondo g restrita ao intervalo [,1]. b) g(f -1 (-1)) supondo f restrita ao intervalo [-1,1]. c) (gof)(0) d) (fog)(0) C) (UEM I 008) As figuras a seguir apresentam os gráficos de três funções f: R R, p: R R e q: R R. a) f(1) b) f ( f ( 1 )) c) f f ( f ( 0 )) ( ) 1 d) f ( 4) 9

10 0) (Unesp 014) Os gráficos de duas funções f() e g(), definidas de em, estão representados no mesmo plano cartesiano. c) d) No intervalo [ 4, ], o conjunto solução da inequação f() g() < 0 é: a) { / 1< < 3 }. b) { / 1< < 0 ou 3 < } c) { < < < } d) { / 4 < < 0 }. e) { < < < } / 4 1 ou 0 3. / 4 1 ou 3. 03) (Insper 013) No gráfico estão representadas duas funções: f() do primeiro grau e g() do segundo grau. e) 04) (Epcar (Afa) 013) O gráfico abaio descreve uma função f : A B O gráfico que melhor representa a função h() = f() + g() é a) Analise as proposições que seguem. I. A = * II. f é sobrejetora se B = [ e, e] III. Para infinitos valores de A, tem-se f ( ) = b IV. f ( c) f ( c) + f ( b) + f ( b) = b V. f é função par. VI. / f ( ) = d São verdadeiras apenas as proposições b) a) I, III e IV b) I, II e VI c) III, IV e V d) I, II e IV 10

11 0) (Enem PPL 013) O quadrado ABCD, de centro O e lado cm, corresponde à trajetória de uma partícula P que partiu de M, ponto médio de AB, seguindo pelos lados do quadrado e passando por B, C, D, A até retornar ao ponto M. e) 06) (Espm 011) A figura abaio representa o gráfico cartesiano da função f (). Seja F() a função que representa a distância da partícula P ao centro O do quadrado, a cada instante de sua trajetória, sendo (em cm) o comprimento do percurso percorrido por tal partícula. Qual o gráfico que representa F()? a) Sabendo-se que f (1) =, e que a parte aparentemente retilínea inclinada é uma semi reta, o valor de f f ( π) a) 1 b) 3 b) c) 3 4 d) e) 07) (Epcar (Afa) 011) Considere o gráfico da função real p : A B c) d) Analise as alternativas abaio e, a seguir, marque a falsa. a) p( ) 0 { < 0 ou c r} b) p(p(p(p(p(r))))) = p(p(p(p(r)))) c) Eiste um único A d) Im( p) = { r} ] c,c] tal que p( ) = c 11

12 08) (Fgv 010) A figura indica o gráfico da função f, de domínio [ 7,], no plano cartesiano ortogonal. O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas é de a) 8,3. b) 1,0. c) 14,40. d) 1,3. e) 18,0. 11) (Espce (Aman) 01) A função real f() está representada no gráfico abaio. O número de soluções da equação f(f()) = 6 é a). b) 4. c). d) 6. e) 7 09) (Espm 014) A função f() = a + b é estritamente decrescente. Sabe-se que f(a) valor de f(3) é: a) b) 4 c) d) 0 e) 1 = b e f(b) = a. O 10) (Enem 013) Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo duas de 100g, três de 00g e uma de 30g. O gráfico mostra o custo para enviar uma carta não comercial pelos Correios: A epressão algébrica de f() é a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) 1) (Fgv 010) - sen, se < 0 = cos, se 0 cos, se < 0 = sen, se 0 - cos, se < 0 = sen, se 0 sen, se < 0 = cos, se 0 sen, se < 0 = cos, se 0 a) Construa o gráfico das funções f() = + sen e g() = + cos para 0 π. b) Admita que f() e g() indiquem as cotações das ações das empresas F e G na bolsa de valores de São Paulo no intervalo de horas 0 π ( = 0 indica 1h00, e = π 6,8 indica, aproimadamente, 18h17). Determine algebricamente (equações e/ou inequações) o intervalo de horas, com 0 π, em que a cotação das ações da empresa F foi maior ou igual à cotação das ações da empresa G. 1

13 13) (Unesp 010) Em situação normal, observa-se que os sucessivos períodos de aspiração e epiração de ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem como na quantidade de ar inalada e epelida. A velocidade de aspiração e epiração de ar dos pulmões de um indivíduo está representada pela curva do gráfico, considerando apenas um ciclo do processo. A soma das distâncias de P à reta e de P à senoide é: a) (1 + π ) b) (13 + π ) c) (14 + π ) d) (1 + π ) e) (16 + π ) 1) (Espce (Aman) 014) Na figura abaio, está representado o gráfico da função y = Iog. Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo de aspiração e epiração completo ocorre a cada segundos e que a taa máima de inalação e ealação, em módulo, é 0,6 1/s, a epressão da função cujo gráfico mais se aproima da curva representada na figura é: π 3 V t = sen t. 3 V t = sen t. π π V t = 0,6cos t. π V t = 0,6sen t. V t = cos 0,6t. π a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) ( ) 14) (Unifesp 004) Considere a reta de equação 4-3y + 1 = 0, a senoide de equação y = sen() e π o ponto P =, 3, conforme a figura. Nesta representação, estão destacados três retângulos cuja soma das áreas é igual a: a) Iog + Iog3 + Iog b) log30 c) 1+ Iog30 d) 1 + log1 e) 1 + Iog30 16) (Espm 01) A figura abaio mostra o gráfico da função f() =. A área da região sombreada, formada por retângulos, é igual a: a) 3,0 b) 3, c) 4,0 d) 4, e),0 13

14 17) (Insper 014) A figura abaio mostra o gráfico do polinômio P(), de grau e coeficientes reais, que apresenta uma única raiz real. a) b) c) d) O número de raízes reais do polinômio Q(), dado, para todo real, pela epressão Q() = P(), é igual a a) 1. b). c) 3. d) 4. e). 18) (Insper 014) Sendo k uma constante real positiva, considere o gráfico do polinômio de 3 grau P(), mostrado na figura. e) 19) (Mackenzie 014) Se a função f : por é definida f() = 3 1, a afirmação correta sobre f é a) ( ) ( ) D f = e Im f =. b) f é uma função crescente para todo real. c) f não é injetora nem sobrejetora. d) f é injetora mas não é sobrejetora. e) ( ) * Im f = +. Dentre as figuras a seguir, a única que pode representar o gráfico da função Q(), definida, para P() todo 0, pela lei Q() = é 14

15 0) (Espce (Aman) 013) Na figura abaio estão representados os gráficos de três funções reais, sendo a > 1 e b > 0. c) d) Gráficos fora de escala As epressões algébricas que podem representar cada uma dessas funções são, respectivamente, 1 + a a) y = a b; y = + a e y = 1+ b a b) y = a + b; y ( 1 a) = + + b e y = + a 1 + a c) y = + a b; y = + b e y = a + a 1 d) y = a + b; y = + b e y = + a a 1 + a e) y = + a + b; y = + a e y = 1+ b a 1) (Espm 01) A figura em destaque representa o gráfico da função y = f(). e) ) (Epcar (Afa) 01) Considere a figura abaio que representa um esboço do gráfico da função real f Sabe-se que g( ) = f ( ) 3u, h( ) g( u) j( ) = h( ). = + e Um esboço do gráfico que melhor representa a função j é a) Assinale a alternativa que melhor se aproima do gráfico da função y = f( 1). b) a) c) d) b) 1

16 3) (Insper 01) A figura a seguir mostra o gráfico da função f(). 6) (Fatec 011) A figura apresenta parte do gráfico da função f : ] 1+ [ I Assinale a alternativa que melhor representa o gráfico da função g() = - f( - 1) + 1 O número de elementos do conjunto solução da equação f() 1 =, resolvida em é igual a a) a) 6. b). c) 4. d) 3 e). 4) (Fgv 01) No plano cartesiano, os pontos (, y) que satisfazem a equação + y = determinam um polígono cujo perímetro é: a) b) 4 + c) 4 d) e) 8 ) (Espce (Aman) 01) Na figura abaio, dois vértices do trapézio sombreado estão no eio e os outros dois vértices estão sobre o gráfico da função real f ( ) = log k, com k > 0 e k 1. Sabe-se que o trapézio sombreado tem 30 unidades de área; assim, o valor de k + p q é b) c) d) e) a) 0 b) 1 c) 10 d) 1 e) 0 16

17 7) (Espce (Aman) 011) A represa de uma usina hidroelétrica está situada em uma região em que a duração do período chuvoso é 100 dias. A partir dos dados hidrológicos dessa região, os projetistas concluíram que a altura do nível da represa varia, dentro do período chuvoso, segundo a função real t + 8, para 0 t < 0 t 4t N(t) = +, para 0 t < t + 1, para 0 t 100 a) g() = p() 1 e h() = p() 3. b) g() = p() e h() = p() +. c) g() = p() + 1 e h() = p() + 3. d) g() = p() + e h() = p(). e) g() = p() 1 e h() = p() ) (Unicamp 014) O gráfico abaio eibe a curva de potencial biótico q(t) para uma população de microorganismos, ao longo do tempo t. Em que N(t) é a altura do nível da represa, medido em metros, t é o número de dias, contados a partir do início do período chuvoso. Segundo esse modelo matemático, o número de dias, dentro do período chuvoso, em que a altura do nível da represa é maior ou igual a 1 metros é a) 40 b) 41 c) 3 d) 6 e) 60 8) (Espm 01) Sejam e y números naturais e F(,y) uma função tal que y se = 0 F(,y ) = se y = 0 F ( 1, y 1 ) se > 0 e y > 0 O valor de F(,70) é: a) 4 b) 18 c) 1 d) 6 e) 11 9) (Insper 011) O gráfico a seguir representa uma função polinomial do quarto grau p(), tal que p(0) = 1. Dos pares de funções abaio, aquele em que g() tem eatamente duas raízes reais distintas e h() não admite raízes reais é Sendo a e b constantes reais, a função que pode representar esse potencial é a) q(t) = at + b. b) t q(t) = a b. c) q(t) = at + bt. d) q(t) = a + logb t. 31) (Enem PPL 013) Em um eperimento, uma cultura de bactérias tem sua população reduzida pela metade a cada hora, devido à ação de um agente bactericida. Neste eperimento, o número de bactérias em função do tempo pode ser modelado por uma função do tipo a) afim. b) seno. c) cosseno. d) logarítmica crescente. e) eponencial. 3) (Mackenzie 011) Dadas as funções reais definidas f = 4 e g() = 4 considere por ( ) I, II, III e IV abaio. I. Ambas as funções possuem gráficos simétricos em relação ao eio das ordenadas. II. O número de soluções reais da equação f() = g() é 3. III. A soma de todas as raízes das funções dadas é 4. IV. Não eiste real tal que f() < g(). O número de afirmações corretas é a) 0 b) 1 c) d) 3 e) 4 17

18 GABARITO 01) A d B a) 1 b) 0 c) 0 d) 1 C 11 D a) b) 4 c) 4 d) 0) C 03) C 04) A 0) A 06) D 07) C 08) D 09) C 10) D 11) A 1) a) b) f() g() + sen + cos( ) + sen + cos sen sen cos sen sen 1 sen sen sen + sen 1 0 Re solvendo a inequação, temos: sen = -1 logo = 3π/ (16h e 43 min). sen = 1 logo π/6 π/6 (1h e 31min 14h e 37 13) D 14) E 1) D 16) B 17) C 18) B 19) C 0) D 1) B ) A 3) B 4) E ) B 6) A 7) D 8) B 9) C 30) B 31) E 3) B min). 18