CRIAÇÃO DE UM SOFTWARE DE APOIO AO ENSINO E À APRENDIZAGEM DE ÁLGEBRA LINEAR: BASE E DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL

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1 CRIAÇÃO DE UM SOFTWARE DE APOIO AO ENSINO E À APRENDIZAGEM DE ÁLGEBRA LINEAR: BASE E DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL João Bosco Laudares 1 Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais jblaudares@terra.com.br José Renato Fialho Rodrigues Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais jrenatofr@pucminas.br Resumo: Este artigo apresenta a elaboração de atividades relativas aos conteúdos: Combinação Linear, Independência Linear, Base e Dimensão de um Espaço Vetorial, desenvolvidas em um Software de Apoio ao Ensino e à Aprendizagem de Álgebra Linear no Sistema de autoria Macromedia Flash, produto da pesquisa de Mestrado de Rodrigues (009). A concepção teórica utilizada foi a relativa ao processo ensino-aprendizagem, especificamente, da Álgebra Linear e da Informática Educativa. São apresentados, também, alguns resultados obtidos na aplicação do Software em uma turma de Licenciatura em Matemática na disciplina de Álgebra Linear Palavras-chave: Software Educativo; Ensino e Aprendizagem de Álgebra Linear; Base e Dimensão de um Espaço Vetorial. INTRODUÇÃO Nas aulas de Álgebra Linear no Curso de Licenciatura em Matemática, Rodrigues (009) destaca algumas dificuldades apresentadas pelos seus alunos na aprendizagem dos conteúdos de Espaço Vetorial, nas quais, segundo ele, deve-se à novidade dos conteúdos, ao alto grau de abstração dos assuntos e ao grande volume de informações, surgindo necessidade de uma intervenção para colaborar no ensino e aprendizagem destes conteúdos. Nessa intervenção procurou-se recursos metodológicos que agregam novos 1 Professor titular da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. jblaudares@terra.com.br Professor titular da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. jrenatofr@pucminas.br 1

2 significados ao conceitos trabalhados. Para tanto, como objetivo principal, foi criado um software educativo na intenção de promover a interação entre aluno e conteúdo, trabalhando em METODOLOGIA R e R, pela possibilidade de uma maior utilização de recursos gráficos. Inicialmente analisou-se o sistema de autoria Flash MX, estudando as suas ferramentas e o seu potencial para a criação do software educativo. Em seguida foram analisandos três livros didáticos de Álgebra Linear, com relação ao conteúdo de Base e Dimensão de um Espaço Vetoria, bem como as atividades neles propostas: 1. Introdução à Álgebra Linear: com aplicações de Bernard Kolman, 8ª edição: Contribuiu com a idéia de se trabalhar os conceitos de Base e Dimensão, inicialmente, nos Espaços Bi e Tridimensional, para depois generalizar para o Espaço de dimensão n.. Álgebra Linear: com aplicações de Anton Howard, 8ª edição: Identifica-se, analisando a parte teórica desta seção, um cuidado muito grande com os conceitos e os resultados obtidos, os quais são descritos minuciosamente, demonstrados e exemplificados e, ainda, ilustrados geometricamente, sempre que possível. Em alguns exercícios, o aluno é levado a fazer conjecturas para depois confirmá-las.. Álgebra Linear e suas aplicações de David C. Lay, ª edição: Apresenta uma linguagem mais rigorosa no sentido do formalismo matemático. A contribuição desta obra foi a de apresentar características pedagógicas alicerçadas nas aplicações. Também foi feito um levantamento de pesquisas que tratam o conteúdo Base e Dimensão de um Espaço Vetorial, o qual resultou na seleção das seguintes dissertações: 1. A Metamatemática no Livro Didático de Álgebra Linear ; Araújo (00): Foi analisado, neste trabalho, quantitativamente três livros mais utilizados nas principais Universidades de São Paulo, com o objetivo de encontrar alavancas meta que levem o aluno à compreensão de conceitos de Espaços Vetoriais. É deixada, pela autora, uma sugestão de utilizar menos o formalismo e adotar uma abordagem mais intuitiva na exposição do conteúdo.. A Noção de Dependência Linear e os Registros de Representação Semiótica

3 Grande (005): Nesta obra, foram analisados os capítulos referentes à Dependência Linear de cinco livros didáticos, na procura de Registros de Representação Semiótica. Apesar de não ter encontrado nenhuma atividade, exercício ou até mesmo uma situação que permitisse a conversão utilizando-se o registro geométrico, é recomendado, pelo autor, que se explore, inicialmente, o registro geométrico.. Como Funcionam os Recursos-Meta em Aula de Álgebra Linear? ; Oliveira (005): O objetivo, neste estudo, foi investigar o emprego de recursos-meta (alavancas meta) em sala de aula de Álgebra Linear, focando o ensino da noção de Base de um Espaço Vetorial. A sua contribuição foi a identificação dos seguintes recursos-meta: Coincidências estruturais, antecipar uma noção a ser introduzida, questionamentos, concretização, necessidade e reflexão. 4. As alavancas Meta no Discurso do Professor de Álgebra Linear ; Padredi (00): Neste trabalho, o autor buscou identificar os recursos-meta utilizado pelos professores na disciplina de Álgebra Linear. A colaboração de Padredi foi a utilização dos seguintes recursos-meta na elaboração das atividades do Software de Apoio ao Ensino e á Aprendizagem de Álgebra Linear: Generalização, passagem do antigo para o novo (Geometria Analítica Álgebra Linear), aplicações compreensíveis, provocações, enfatizar as operações de adição e multiplicação por escalar e fornecer informações sobre a natureza das noções a serem introduzidas. 5. Uma Análise da Produção de Significados para a Noção de Base em Álgebra Linear ; Silva (1997): Foi analisada, nesta pesquisa, a produção de significados para a noção de Base de um Espaço Vetorial a partir do Modelo Teórico dos Campos Semânticos. A contribuição de Silva (1997) foi a de considerar, na elaboração de atividades informatizadas, a diversidade de objetos que aliada a interação que o computador pode propiciar, levem o aluno a criar seu próprio núcleo de objetos que dêem significados, para ele, colaborando para o entandimento da noção de Base e Dimensão. Depois destes estudos foram elaboradas atividades com uso de recursos computacionais, que junto com a exposição do conteúdo, priorizem a interatividade do aluno com o software educativo, fazendo que o mesmo tenha um aprendizado interativo, que os levem a reflexões e descobertas. Para testagem do produto final, o software criado foi utilizado em sala de aula para

4 os alunos de Álgebra Linear II do curso de Licenciatura em Matemática. MEDIAÇÃO NO PROCESSO ENSINO E APRENDIZAGEM COM O COMPUTADOR Moran e Masetto (000), defendem o computador como mediação pedagógica, na medida em que estabelece novas relações entre conteúdo, aluno e professor. Neste sentido foi desenvolvido o Software de Apoio ao Ensino e Aprendizagem de Álgebra Linear Porém, observando algumas característica, que segundo Oliveira, Costa e Moreira (001), devem conter um software educativo, tais como: definição e presença de uma fundamentação pedagógica que permeie todo o seu desenvolvimento; finalidade didática; interação entre aluno/usuário e programa, mediada pelo Professor; facilidade de uso. O Software de Apoio ao Ensino e Aprendizagem de Álgebra Linear tem como finalidade didática o ensino e aprendizagem de Base e Dimensão de Espaços Vetoriais do n R, especificamente, apresentar o conteúdo Base e Dimensão de Espaços Vetoriais do n R, de modo a colaborar com o aluno no sentido de fornecer informações e relacioná-las, por meio de imagens e movimentos, de modo dinâmico, ajudando-o a construir um conhecimento em um campo semântico que tenha significado para ele.. Este Software foi desenvolvido na concepção construtivista, que segundo Vieira (008), em seu artigo Avaliação de Software Educativo: reflexões para uma análise criteriosa, dentre outras características, deve ser um ambiente interativo que proporcione ao aprendiz investigar, levantar hipóteses, testá-las e refinar suas idéias iniciais. Dentre os Sistemas de Autoria existentes, escolheu-se o Flash Mx por ser uma ferramenta de autoria e edição de imagens vetoriais com animação, som e interatividade, com um grande poder de processamento multimídia. Seu conteúdo é baseado em imagens vetoriais, o que permite a criação de efeitos avançados em arquivos bastante pequenos. Isso viabiliza a sua utilização na web, pois, devido a essa grande redução, os programas carregam bem mais rápidos. Desta forma, as atividades desenvolvidas no Software visam propriciar a 4

5 interatividade no processo ensino aprendizagem, na medida em que o estudante deve fazer suas conjecturas e depois confirmá-las, como é característico em atividades investigativas, por meio de exemplos, fazendo com ele desenvolva o raciocínio com leitura e reflexão na inter-relação dos conteúdos. O SOFTWARE DE APOIO AO ENSINO E À APRENDIZAGEM DE ÁLGEBRA LINEAR O software criado é composto de três seções: Introdução, Base e Dimensão. Na seção Introdução foram elaboradas atividades e aplicações referentes à Combinação Linear e Independência Linear. Essa seção foi criada para tratar dos assuntos que fundamentam as definições de Base e Dimensão de um Espaço Vetorial. Encontra-se, ainda, nessa seção, um ambiente de programação que possibilita a criação de um programa pelo aluno, o qual, pelo grau de liberdade, pela interatividade e pela abertura que apresenta para a mediação do professor, é caracterizada como a principal atividade dessa seção. A seguir é apresentado, figura 1, uma das atividades desenvolvidas no software: Figura 1: Máquina de Equacionar e Codificar. Fonte: Elaborado pelo Pesquisador, 008. Nessa tela, pretende-se que o aluno utilize o seguinte teorema: Seja V um Espaço Vetorial de dimensão n e B um conjunto de V com n vetores. Então, B é uma base de V se B gera V ou se B é Linearmente Independente. 5

6 S Então, é proposto ao aluno fazer um programa para determinar se o conjunto v,v 1, onde v1 e v são quaisquer vetores de R, é uma base para o R. Para tanto, disponibilizamos uma Máquina de Equacionar e Codificar, que oferece recursos para a execução do proposto. O aluno deverá equacionar o problema. S Com os recursos disponibilizados, ele poderá equacionar de dois modos: 1º Modo: v c1v 1 cv. Ou seja, com a utilização do teorema, basta verificar se S v,v 1 gera R. º Modo: 0 c1v 1 cv. Desta forma, utilizando o teorema, tem-se a opção de verificar somente se v,v 1 é Linearmente Independente. Para as duas equações, os códigos para a solução do problema são os mesmos, e de acordo com os recursos da Máquina de Equacionar e Codificar, eles são dados por: x1 y x y1 0 S é base ou x y x y1 0 S não é base 1. Ao final, o programa criado pelo aluno possibilita a verificação, pelo usuário, se um conjunto de dois vetores quaisquer do R é uma base para ele. O objetivo, além da utilização do teorema apresentado nesta subseção, é associar o conceitos de Conjunto Gerador e Linearmente Independente com Combinação Linear. APLICAÇÃO DO SOFTWARE O software foi aplicado para 9 alunos em um Laboratório de Informática com 0 computadores. Foram utilizadas quatro aulas para a aplicação da seção Introdução e duas aulas para a seção Base, de 100 minutos cada uma. Na primeira aula, foi feita uma pequena apresentação do software pelo professor. Nessa aula, foi trabalhado o conceito de Combinação Linear, por meio das subseções: problemas, atividades e aplicações. A segunda aula com a utilização do software foi trabalhada a subseção Programação da Subseção Combinação Linear. Finalizado o estudo de Combinação Linear com o software retornamos para a sala de aula, onde foram sanadas as dúvidas, generalizado e reforçado o tratamento algébrico desse conceito. As maiores dificuldades surgiram nos Espaços Vetoriais de Matrizes e 6

7 Polinômios, devido à falta de representação geométrica e à diversidade na notação algébrica, comparando-se com o R e R. Iniciando o estudo da Subseção Independência Linear por meio das atividades 1 e, observou-se, na terceira aula com a utilização do software, que os alunos estavam mais à vontade, pois eles acessavam as atividades solicitadas e interagiam com os exercícios, sem a necessidade de maiores orientações. Outro fato importante com relação à facilidade de interação entre conteúdo e aluno, por meio do software, é que as solicitações de intervenção foram bem menores, ocasionando uma disponibilidade de tempo para o fechamento das atividades no próprio laboratório. Nesse fechamento, associou-se o conceito de Independência Linear para dois vetores em R, com o fato de esses vetores não serem colineares e, analogamente, para três vetores Linearmente Independentes em R, com ao fato de esses vetores não serem coplanares. Na quarta aula com a utilização do software, aplicamos a última atividade da Subseção Independência Linear denominada Programação. Como essa atividade é análoga à da Programação na Subseção Combinação Linear, não foram encontradas grandes dificuldades na sua execução. Após essa atividade, os alunos foram encaminhados para a sala de aula, onde foi aplicado um questionário para aferimento da satisfação do software utilizado. Na quinta aula foi trabalhada a atividade 1 da Seção Base, que analisa o Espaço Vetorial W x R/ y ax, cuja representação gráfica é uma reta que passa pela origem. Pela dinâmica do recurso geométrico que possibilita a representação gráfica de uma infinidade de retas, atribuindo valores aleatórios para a, observou-se uma grande exploração desse recurso. A empolgação dos alunos era percebida por meio das perguntas feitas com relação aos tipos de retas que podiam ser representadas e pelos vetores determinados ao clicar em um ponto qualquer delas, os quais eram, automaticamente, representados algebricamente. Com relação à atividade, trabalhada na sexta aula dessa fase, observamos o mesmo comportamento apontado na atividade 1, já que essa atividade é análoga à anterior, com a diferença de que o Espaço Vetorial trabalhado, agora, é um Subespaço do RESULTADOS OBTIDOS NA APLICAÇÃO DO SOFTWARE R. 7

8 Para avaliação da Seção Introdução, utilizamos três métodos: Avaliação Heurística, Questionário de Satisfação e Avaliação de Aprendizagem de Conteúdo. Na Avaliação Heurística identificou-se problemas de usabilidade do software e, foram apresentadas sugestões de melhoria. No Questionário de Satisfação o objetivo foi verificar o grau de satisfação do usuário quanto a abordagem do conteúdo pelo software. Nessa avaliação, um dos resultados que se destaca é de que 100% dos alunos avaliados acharam interessante a abordagem dos assuntos no software. Para a Avaliação de Aprendizagem de Conteúdo desta seção, foram aplicadas duas atividades escritas e individuais: 1ª Atividade: Avaliação do Conteúdo de Combinação Linear Para essa atividade, o objetivo foi identificar se os alunos conseguiram compreender o conceito de Combinação Linear nos Espaços Vetoriais Espaços Vetoriais arbitrários, especificamente, os Espaços Vetoriais: R e n M mxn e R. R, e em Essa atividade é composta de quatro questões. Segue, na Tabela 1, o resultado da aplicação da 1ª questão: TABELA 1 Resultado da 1ª questão da 1ª atividade 1ª Questão: O que é, para você, uma Combinação Linear? CORREÇÃO Nº ALUNOS Compreenderam o(s) conceitos envolvidos(s) na questão 07 Compreenderam parcialmente o(s) conceito(s) envolvido(s) na questão 19 Não compreendedram o(s) conceito(s) envolvido na questão 09 Não respondeu 04 T O T A L 9 Fonte: Equipe de Avaliação do Software. Nesta questão, procurou-se identificar se o aluno conseguiu abstrair das atividades investigativas do Software, o conceito de Combinação Linear, uma vez que esse conceito não foi apresentado formalmente. ª Atividade: Avaliação dos Conteúdos de Combinação e Independência Linear. O objetivo dessa atividade foi o de verificar se os alunos compreenderam e relacionaram os conceitos de Combinação Linear e Independência Linear. Essa Atividade é composta de cinco questões. Na Tabela é dado o resultado da aplicação da 1ª questão: 8

9 TABELA Resultado da 1ª questão da ª atividade 1ª Questão: A conjectura abaixo está correta? Caso afirmativo demonstre-a. Caso contrário faça as correções necessárias e demonstre-a. Se v1 e v não são colineares e c 1 v 1 + c v = 0, então c 1 =0 e c =0 CORREÇÃO Nº ALUNOS Compreenderam o(s) conceitos envolvidos(s) na questão 07 Compreenderam parcialmente o(s) conceito(s) envolvido(s) na questão 15 Compreendedram o(s) conceito(s) envolvido na questão 14 Não respondeu 0 T O T A L 9 Fonte: Equipe de Avaliação do Software. Este problema foi trabalha pela atividade do Software, por meio de um recurso gráfico, preparando o aluno para trabalhar o conceito de Independência Linear. Para avaliação da Seção Base aplicamos uma atividade escrita e individual. Essa atividade contou com a participação de 8 alunos, cujo resultado da ª questão, é apresentado na tabela, a seguir: TABELA Resultado da 1ª questão da 1ª atividade ª Questão: Para a definição de Base de um Espaço Vetorial são utilizados dois conceitos. Cite esses conceitos, justificando o que acarreta a falta de cada um deles na definição. CORREÇÃO Nº ALUNOS Compreenderam o(s) conceitos envolvidos(s) na questão 08 Compreenderam parcialmente o(s) conceito(s) envolvido(s) na questão 7 Não compreendedram o(s) conceito(s) envolvido na questão 01 Não respondeu 0 T O T A L 8 Fonte: Equipe de Avaliação do Software. No resultado dessa questão, constata-se que 5 alunos relacionaram os conceitos de Conjunto Linearmente Independente e Conjunto Gerador com a definição de Base de um Espaço Vetorial. Porem, muitos não conseguiram justificar o que acarreta a falta de um desses conceitos. Isto indica que novas atividades devem ser criadas, no Software de Apoio ao Ensino e Aprendizagem de Álgebra Linear, para dar significados a elaboração do conceito de Base de um Espaço Vetorial. 9

10 CONSIDERAÇÕES FINAIS Com o objetivo de trabalhar os conceitos de Álgebra Linear de uma forma concreta, a partir da elaboração de atividades geométricas em R e R, para depois generalizar para o n R e, para outros Espaços Vetoriais arbitrários, buscamos na utilização do pensamento matemático da visualização, a elaboração de representações visuais, por diagramas, gráficos e esboços. Por meio da visualização o estudante pode iniciar seu raciocínio, criar seus hábitos de interpretação, de análise na manipulação de imagens concretas para argumentação e proposição teórica de exploração e tratamento de conceitos e algoritmos. Com a aplicação e a avaliação do Software em uma turma do curso de Licenciatura em Matemática, foi possível identificar alguns problemas quanto à usabilidade, que foram corrigidos. Também se constatou um alto grau de satisfação dos alunos com a utilização do Software, além de se verificar, por meio de avaliações escritas, a compreensão dos conceitos de Base e Dimensão de um Espaço Vetorial para a maioria desses alunos. Isso indica que um Software desenvolvido no Sistema Flash MX, para o ensino e a aprendizagem de Álgebra Linear, pode colaborar para alcançar um objetivo, desde que esse recurso venha como uma mediação pedagógica, e que o aluno seja um agente ativo neste processo. O Software de Apoio ao Ensino e à Aprendizagem de Álgebra Linear desenvolvido possui um potencial significativo de variação em suas atividades. Esse potencial deve ser explorado, orientado pelo professor, entendendo, segundo MORAN (000), o uso da tecnologia como mediação pedagógica, o que ocorreu quando se teve maximizado o processo de ensino e aprendizagem dos conteúdos. Para tanto, é necessário que, ao aplicálo, planeje-se a forma e se conheçam todas as suas possibilidades de exploração, podendo criar, para que não se percam informações importantes na construção do conhecimento, uma seqüência de atividades adequadas para a exploração de suas atividades. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON, Howard; Ris Chris. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman,

11 ARAÚJO, C. C. V. B. A metamatemática no livro didático de álgebra linear. São Paulo, f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Programa de Educação Matemática, PUC-SP. GRANDE, A. Lúcio. O conceito de independência e dependência linear e os registros de representação semiótica nos livros didáticos de álgebra linear. São Paulo, f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Programa de Educação Matemática, PUC-SP. KOLMAN, Bernard; HILL, David R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6. ed. Rio de Janeiro: Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda, LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações.. ed. Rio de Janeiro: LTC, MASETTO, Marcos T. Mediação Pedagógica e o Uso da Tecnologia. In: MORAN, José Manuel; MASETTO, Marcos T.; BEHRENS, Marilda Aparecida. Novas tecnologias e mediação pedagógica. Campinas: Papirus, 000. p OLIVEIRA, Celina C. de; COSTA, José Wilson da; MOREIRA, Mércia. Ambientes informatizados de aprendizagem: produção e avaliação de software educativo. Campinas: Papirus, 001. PADREDI, Z. L. N.. As alavancas meta no discurso do professor de álgebra linear. São Paulo, 00. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Programa de Educação Matemática, PUC-SP. RODRIGUES, José Renato. Criação de um SOFTWARE de apoio ao ensino e á aprendizagem de Álgebra Linear: base e dimensão de um espaço vetorial. Dissertação de Mestrado de Ensino de Ciências e Matemática da PUCMinas, 009. SILVA, A. M.. Uma análise da produção de significados para a noção de base em álgebra linear. Rio de Janeiro, RJ, f. Dissertação de Mestrado. Universidade Santa Úrsula. VIEIRA, Fábia Magali Santos. Avaliação de Software Educativo: reflexões para uma análise criteriosa. Disponível em: < edmagali.htm> Acesso em: 19 jan