Lista Especial 03 - Matemática Assunto: Prismas Prof. Lizias

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1 Lista Especial 0 - Matemática Assunto: Prismas Prof. Lizias 1. INTRODUÇÃO De acordo com a região poligonal das bases, o prisma recebe nomes especiais. Por exemplo: 1º) Prisma Reto de Base triangular ou Prisma Reto Triangular Vamos considerar dois planos paralelos e, R uma região poligonal em um dos planos e r uma reta que intersecta os dois planos. O conjunto de todos os segmentos paralelos à reta r que ligam um ponto de R a um ponto do outro plano forma um prisma. Bases ABC e DEF FacesLaterais ABDE; ACFD e BCFE Arestas Laterais AD; CF e BE º) Prisma Reto de Base Pentagonal ou Prisma Reto Pentagonal 1.1. Definição Prismas são poliedros que têm duas faces paralelas e congruentes, chamadas bases, e as demais faces têm a forma de paralelogramos e são chamadas faces laterais. Bases ABCDE e FGHIJ 1.. Classificação O prisma é reto quando as arestas laterais são perpendiculares às bases, e oblíquo quando não o são. FacesLaterais BCHG; CDIH; DEJI; AEJF Arestas Laterais AF; BG; EJ; CH e DI. e ABGF º) Prisma Reto de Base Retangular ou Paralelepípedo Retorretângulo

2 4º) Cubo ou Hexaedro Regular Triângulo Equilátero. PRISMA REGULAR Quadrado Se um prisma reto tem, em cada base, uma região poligonal cujo contorno é um polígono regular, dizemos que ele é um prisma regular. Exemplos: 1. Prisma Regular Tiangular Hexágono Regular.. Área Lateral de um Prisma Regular Bases RegiõesTriangularesEquiláteras É a soma de das áreas de todas as faces laterais do prisma. Se é regular, todas as faces laterais são retângulo congruentes, logo, podemso assim relacionar: FacesLaterais RegiõesRetangulares. PRISMAS REGULAR HEXAGONAL Bases RegiõesHexagonais Regulares FacesLaterais RegiõesRetangulares.1. Área da Base de um Prisma Regular A área da base de um prisma regular, depende da forma de sua base. Assim, por exemplo, se a base é um triângulo equilátero, a área da base deste prisma será a área do triângulo equilátero. As áreas mais usadas são: Triângulo Equilátero, Quadrado e Hexágono Regular. Vamos lembrar essas áreas:.. Área Total de um Prisma Regular É a soma de todas as áreas do prisma. Assim:

3 .4. Volume de um Prisma Regular É o produto da área da base pela altura do prisma. Assim: O Cubo (Hexaedro Regular) é um paralelepípedo reto retângulo cujas arestas têm todas as mesmas medidas. a Aresta do Cubo 4.. Medida da Diagonal. Paralelepípedo Reto Retângulo.1. Definição d a D a Todo prisma de bases retangulares é chamado de paralelepípedo reto retângulo... Medida da Diagonal a Comprimento da Base b Largura da Base c Altura ou Profundidade 4.. Área Total 4.4. Volume A 6 a t V a d Diagonal da face D Diagonal do cubo D D a a ou b b c c EXERCICIOS 01. As torres Puerta de Europa, também conhecidas por Torres KIO, são duas torres inclinadas uma contra a outra em Madri, Espanha. A inclinação das torres é de 15 com a vertical e ambas têm altura de 114 m, com 6 andares... Área Total A t (a b a c b c).. Volume V a b c Reprodução 4. Cubo (Hexaedro Regular) 4.1. Definição Essas torres apresentam a forma de a) pirâmides oblíquas de base triangular. b) pirâmides oblíquas de base quadrada. c) troncos de pirâmides oblíquas de base quadrada.

4 d) prismas oblíquos de base quadrangular. e) prismas oblíquos de base decagonal. Dessa forma, a área total de lona necessária para produzir todas as faces de uma dessas barracas é calculadas assim: Alternativa correta: D As torres representam prismas oblíquos de base quadrangular, conforme a figura a seguir. 0. Em uma atividade de sala, o professor Robério planificou um cubo e escreveu nas faces os numerais de 1 a 6 conforme a figura a seguir. 0. A escola de Pedro propôs a organização de um acampamento para festejar o dia das crianças à comissão de pais. Cada aluno deveria levar seus equipamentos de segurança enquanto a escola ficaria responsável por todo o bom funcionamento do evento. Uma das coisas que a escola teria que fornecer aos alunos seriam as barracas de lona em forma de prisma triangular, cujo triângulo é isósceles, conforme a mostrado na figura. De acordo com a ilustração, a) a soma dos numerais das faces opostas é sempre um numeral par. b) o produto dos numerais das faces opostas é sempre um numeral par. c) a soma dos numerais das faces opostas é sempre um divisor de. d) a soma dos numerais das faces não opostas à face 1 é um numeral múltiplo de. e) o produto dos numerais das faces não opostas à face 6 é igual a 0. A quantidade de lona necessária para produzir todas as faces do poliedro que representa essa barraca é a) 66 m². Alternativa correta: D Montando o cubo que está planificado, obtém-se a figura a seguir: b) 84 m². c) 90 m². d) 108 m². e) 1 m². Alternativa correta: E Como o triângulo é isósceles, então sua base fica dividida em dois segmentos de 4 m cada. Seja x a hipotenusa do triângulo retângulo mostrado. Pelo Teorema de Pitágoras, conclui-se que x = 5 m. Observe que a face 6 é oposta à face, a face 4 é oposta à face e a face 5 é oposta à face 1. Então, as faces não opostas à face 1 são,, 4 e 6, cuja soma é 15, que é um numeral múltiplo de. 04. Alguns supermercados têm usado um prisma de madeira para separar, no caixa, as compras dos clientes que já foram registrados.

5 Suponha que esse prisma seja triangular regular maciço e que a aresta da base tenha cm e a altura 0 cm. Usando 1,7, o volume desse prima, em cm³, é a) 4 cm³. b) cm³. c) cm³. d) 1 cm³. e) 0 cm³. Alternativa correta: A O referido prisma possui base triangular regular. Desse modo, o volume é dado por. 05. Um chocolate é vendido no formato de prisma triangular regular, conforme mostra a figura. Considere um silo de m de altura, 6 m de largura de topo e 0 m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa m desse tipo de silo. EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: Acesso em: 1 ago. 01 (adaptado). Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é a) 110. b) 15. c) 10. d) 0. e) 60. Alternativa correta: A A aresta da base desse prisma é 5 cm e sua altura mede 18 cm. Qual a densidade absoluta desse chocolate? a),1 g/cm³ b),5 g/cm³ c),9 g/cm³ d), g/cm³ e),7 g/cm³ Alternativa correta: A h = m B = 6 m C = 0 m b para cada metro de altura do silo B, tem-se 0,5 m a mais. Portanto, em m de altura, B tem 1 m a mais. b = 5 m Volume do prisma = Ab. h 06. Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura. 07.A base do cesto reto da figura é um quadrado de lado 5 cm. Se a parte lateral externa e o fundo externo do cesto devem ser forrados com um tecido que é vendido com 50 cm de largura, o menor comprimento de tecido necessário para a forração é

6 Se numa região de 10 km de área ocorreu uma precipitação de 5 cm, quantos litros de água foram precipitados? a) 5 x 10 7 L. b) 5 x 10 8 L. c) 5 x 10 9 L. d) 5 x L. e) 5 x L. a) 1,115 m. b) 1,105 m. Alternativa correta: B c) 1,50 m. d) 1,50 m. e) 1,15 m. 09.A figura representa parte de uma escada construída com blocos de concreto na forma de prisma de base quadrada, cujas arestas da base medem 0 cm, e a altura, 1,5 m. Alternativa correta: E O volume de concreto necessário para construir a escada, em m, é a) 1,0. b) 0,90. c) 0,80. d) 0,60. e) 0, Quando se diz que numa determinada região a precipitação pluviométrica foi de 10 mm, significa que a precipitação naquela região foi de 10 litros de água por metro quadrado, em média. Alternativa correta: B Percebemos 15 degraus. Cada bloco: Volume bioco = 0,. 0,. 1,5 = 0,06 m Volume escada = 15. 0,06 = 0,9 m

7 10.É muito comum ouvirmos falar da falta de água em praias, no período de veraneio. Para prevenir-se deste problema, o Sr. Júnior instalou uma caixa-d água de fibra adquirida da firma Baskara S.A., cujas dimensões são 0,80 m, 1,00 m e 0,70 m. Sabe-se que uma caixad água nunca fica completamente cheia por causa da posição do cano de entrada. Nesse caso, os últimos 10 cm da altura do reservatório ficam vazios. V = = cm 1. Determinada empresa fabrica blocos maciços no formato de um cubo de lado a, como ilustra a figura a seguir. Devido a exigências do mercado, a empresa começou a produzir blocos cujos lados foram reduzidos pela metade do cubo original. A capacidade, em litros, dessa caixa-d água, que tem a forma de um paralelepípedo, é a) 560. b) 480. c) 400. d) 60. e) 00. Alternativa correta: B Volume caixa = 0,80. (0,70-0,10) = 0,8. 0,6 = 0,48 m Volume caixa = 0,48 m = 480 L. 11. Em uma gráfica, há uma pilha de papel no formato A4 com 1 m de altura. O papel A4 tem a forma retangular com 1 cm de largura por 0 cm de comprimento. Assim sendo, o volume ocupado pela pilha de papel é de a) 60 cm. A fração que expressa a relação entre os volumes dos cubos maior e menor é a) 1/ b) 1/4 c) 1/8 d) 1/16 e) 1/64 Alternativa correta: C b) 51 cm. O volume do cubo original é. O volume do novo cubo c) 151 cm. d) cm. é. Portanto, a razão entre os volumes dos dois e) cm. Alternativa correta: E cubos é. 1. Uma empresa responsável por produzir arranjos de parafina recebeu uma encomenda de arranjos em formato de cone reto. Porém, teve dificuldades em receber de seu fornecedor o molde a ser utilizado e negociou com a pessoa que fez a encomenda o uso de arranjos na forma de um prisma reto, com base quadrada de dimensões 5 cm 5 cm. Considerando que o arranjo na forma de cone utilizava um volume de 500 ml, qual deverá ser a altura, em cm, desse prisma para que a empresa gaste a mesma quantidade de parafina utilizada no cone?

8 a) 8 b) 14 c) 0 d) 60 e) 00 Alternativa correta: C 14. Em uma confeitaria, um cliente comprou um cupcake (pequeno bolo no formato de um tronco de cone regular mais uma cobertura, geralmente composta por um creme), semelhante ao apresentado na figura: A partir da figura, o cupcake precisa de uma caixa com as seguintes dimensões mínimas 7 x 7 x 9. Dessa forma, a alternativa D é a que mais se aproxima. 15. Uma fábrica que trabalha com matéria-prima de fibra de vidro possui diversos modelos e tamanhos de caixa-d água. Um desses modelos é um prisma reto com base quadrada. Com o objetivo de modificar a capacidade de armazenamento de água, está sendo construído um novo modelo, com as medidas das arestas da base duplicadas, sem a alteração da altura, mantendo a mesma forma. Em relação ao antigo modelo, o volume do novo modelo é a) oito vezes maior. b) quatro vezes maior. c) duas vezes maior. d) a metade. e) a quarta parte. Alternativa correta: B V = a h e V' = 4a h. O volume do novo modelo é quatro vezes maior que o anterior. EXERCICIOS Como o bolinho não seria consumido no estabelecimento, o vendedor verificou que as caixas disponíveis para embalar o doce eram todas em formato de blocos retangulares, cujas medidas estão apresentadas no quadro: 01. (Espcex (Aman) 016) As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo são diretamente proporcionais a, 4 e 5 e a soma dessas medidas é igual a 48 cm. Então a medida da sua área total, em a) 75 b) 80 c) 1.04 d) 1.0 e) cm, é 0. (Unesp 016) Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as diagonais de duas faces opostas, como indica a figura. A embalagem mais apropriada para armazenar o doce, de forma a não deformá-lo e com menor desperdício de espaço na caixa, é a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. Alternativa correta: D Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do paralelepípedo antes da divisão com o total necessário para pintar as faces externas dos dois prismas obtidos após a divisão, houve um aumento aproximado de a) 4%. b) 6%. c) %. d) 6%. e) 8%. 0. (Enem 015) Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens

9 plásticas no formato de paralelepípedo retangular reto. Internamente, a embalagem tem 10 cm de altura e base de 0 cm por 10 cm. No processo de confecção do sorvete, uma mistura é colocada na embalagem no estado líquido e, quando levada ao congelador, tem seu volume aumentado em 5%, ficando com consistência cremosa. Inicialmente é colocada na embalagem uma mistura sabor chocolate com volume de cm e, após essa mistura ficar cremosa, será adicionada uma mistura sabor morango, de modo que, ao final do processo de congelamento, a embalagem fique completamente preenchida com sorvete, sem transbordar. O volume máximo, em cm, da mistura sabor morango que deverá ser colocado na embalagem é a) 450. b) 500. c) 600. d) 750. e) (Pucrj 015) O que acontece com o volume de um paralelepípedo quando aumentamos a largura e a altura em 10% e diminuímos a profundidade em 0%? a) Não se altera b) Aumenta aproximadamente % c) Diminui aproximadamente % d) Aumenta aproximadamente 8% e) Diminui aproximadamente 8% 05. (G1 - cftmg 015) Uma caixa, em forma de paralelepípedo reto retângulo, cujas dimensões são 800mm de comprimento, 50cm de largura e 6 dm de altura tem volume igual a a) b) c) d) 0,4mm 0,4cm 0,4dm 0,4m 06. (Pucrj 015) O diagrama abaixo mostra uma pilha de caixas cúbicas iguais, encostadas no canto de um depósito. Se a aresta de cada caixa é de 0 cm, então o volume total dessa pilha, em metros cúbicos, é de: a) 0,51 b) 0,79 c) 0,810 d) 0,87 e) 0, (Pucpr 015) Um recipiente tem a forma de um paralelepípedo retângulo reto, de base quadrada, com as seguintes medidas: 1m1m m (internas). Esse recipiente contém um produto na forma líquida e está ocupado em 60% de sua capacidade. Outro produto será adicionado a esse recipiente, também na forma líquida, acondicionado em cilindros (cilindro reto) com 0 cm de diâmetro na base e x cm de altura (medidas internas do cilindro). Se forem adicionadas 40 unidades do novo produto e o volume desta mistura dentro do paralelepípedo atingir a altura de 1,88 m da base, então, a altura do cilindro (x) será: Use π,14. a) 1m. b) 0,5 m. c) 0,6 m. d) 0,14 m. e) 0,68 m. 08. (Unisc 015) Um reservatório cúbico de 60 cm de profundidade está com 1 de água e precisa ser totalmente esvaziado. O volume de água a ser retirado desse reservatório é de a) 7, litros. b) 7 litros. c) 1,6 litros. d) 16 litros. e) 5 litros. 09. (Uepg 014) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 1, e e sua área total é igual a 198cm. Sobre esse paralelepípedo, assinale o que for correto. 01) Seu volume vale 16cm. 0) As suas dimensões formam uma progressão aritmética. 04) A soma das medidas de todas as suas arestas é 7cm. 08) Sua diagonal é maior que 11cm. 10. (Fgv 014) Uma piscina vazia, com formato de paralelepípedo reto retângulo, tem comprimento de 10m, largura igual a 5m e altura de m. Ela é preenchida com água a uma vazão de litros por hora. Após três horas e meia do início do preenchimento, a altura da água na piscina atingiu: a) 5cm b) 7,5cm c) 0 cm d),5 cm e) 5 cm

10 GABARITO: Resposta da questão 1: [E] Sejam a, b e c as medidas das arestas do paralelepípedo. a b c k a k, b 4k e c 5k. 4 5 k 4k 5k 48 1k 48 k 4 Portanto, a 1 cm, b 16 cm e c 0 cm. Então, a área total será dada por: AT cm Resposta da questão : [D] 800 mm = 0,8m 50 cm = 0,5m 6 dm = 0,6m Daí, o volume será dado por Resposta da questão 6: [E] Volume de cada cubo em V 0,6 0,5 0,8 0,4m. m V (0,) 0,07m Total de cubos na figura: Volume Total: 0,07 0,864m Resposta da questão 7: [B] A área total do paralelepípedo é dada por (4 41 1) 8 m. Após a divisão, foram acrescentadas duas faces retangulares de dimensões 5m e 1m. Logo, o acréscimo na área externa foi de m e, portanto, a resposta é % 6%. 8 Resposta da questão : [C] Seja v o volume da mistura sabor morango que será colocado na embalagem. Tem-se que 1,5 (1000 v) v 600cm. Portanto, a resposta é Resposta da questão 4: [C] 600cm. Altura do Líquido no recipiente: 60% de = 1,m Volume dos cilindros: 40 π(0,1) x 11 1,88 1, Daí, temos a seguinte equação: 1,56x 0,68 x 0,5m. Portanto, a altura do cilindro é x Resposta da questão 8: [B] 0,5m. O volume de água no reservatório é igual a cm 7dm 7 L. Resposta da questão 9: = 15. V(inicial) a b c V 1,1 a 1,1 b 0,8 c 0,968 V (final) (inicial) V(final) V(inicial) 0,0V (inicial), portanto houve uma redução de aproximadamente %. Resposta da questão 5: [D] Transformando as dimensões em metros, temos: Sejam a, b e c as dimensões do paralelepípedo retângulo. Tem-se que a k a b c k b k, 1 c k com k sendo um número real positivo. Desde que a área total é igual a 198cm, vem

11 (ab ac bc) 198 k k k k k k 99 k 9 k. Por conseguinte, encontramos a cm, b 6cm e c 9cm. [01] Correto. O volume do paralelepípedo vale a b c cm. [0] Correto. As dimensões formam uma progressão aritmética com primeiro termo igual a e razão igual a. [04] Correto. A soma das medidas de todas as arestas é igual a 4(a b c) 4( 6 9) 7cm. [08] Correto. A diagonal do paralelepípedo mede a b c cm. Portanto, temos 16 cm 11cm 11cm. Resposta da questão 10: [E] O volume de água despejado na piscina após três horas e meia é igual a, litros. Portanto, a altura h atingida pela água é tal que 10 5 h 17,5 h 0,5 m 5cm.