Valor Prático da Distribuição Amostral de

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1 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA DA AMOSTRA OU DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE Antes de falarmos como calcular a margem de erro de uma pesquisa, vamos conhecer alguns resultados importantes da inferência estatística. 1) Distribuição Amostral de. A distribuição amostral de é a distribuição de probabilidade de todos os valores possíveis da média da amostra,. 2) Valor Esperado de E( ) = μ onde E( ) = o valor esperado de μ = a média da população. 3) Desvio-Padrão de, também denominado Erro-Padrão da Média População Infinita o valor de N é desconhecido ou muito grande. σ = σ n 4) Teorema do Limite Central - a Distribuição Amostral de pode ser aproimada por uma distribuição normal de probabilidade sempre que o tamanho da amostra for grande. A condição de grande pode ser considerada para amostras aleatórias simples de tamanho 30 ou mais. N ( μ; σ ) μ z = N(0;1 ) σ e pode-se usar a tabela da distribuição Normal para calcular probabilidades da localização de. 1

2 5) Sempre que a população tem uma distribuição normal, a distribuição amostral de tem uma distribuição normal de probabilidade para qualquer tamanho de amostra; se a população não tem distribuição Normal, esta poderá ser utilizada sempre que n 30. 6) Valor Prático da Distribuição Amostral de. Sempre que uma amostra aleatória simples é selecionada e o valor da média da amostra é usado para estimar o valor da média da população μ, não podemos esperar que a média da amostra seja eatamente igual a média da população. Como declarado anteriormente, o valor absoluto da diferença entre o valor da média da amostra e o valor da média da população, - μ, é chamado de erro de amostragem ou margem de erro.a razão prática pela qual estamos interessados na distribuição amostral de é que ela pode ser usada para fornecer informações da probabilidade sobre o tamanho do erro de amostragem. 7) Relação entre o Tamanho da Amostra e a Distribuição Amostral de. À medida que se aumenta o tamanho da amostra, o erro-padrão da média diminui. Como resultado, tamanhos maiores da amostra fornecerão uma maior probabilidade de que a média da amostra esteja dentro de uma distância específica da média da população. 2

3 EXERCÍCIOS: LISTA Uma população tem uma média de 200 e um desvio-padrão de 50. Uma amostra aleatória simples de tamanho 100 será tomada e a média da amostra, será usada para estimar a média da população, μ. a. Qual é o valor esperado de? b. Qual é o desvio-padrão de? c. Demonstre a distribuição amostral de. d. O que a distribuição amostral de indica? 2. Uma população tem uma média de 200 e um desvio-padrão de 50. Suponha que uma amostra aleatória simples de tamanho 100 seja selecionada e seja usado para estimar μ. a. Qual é a probabilidade de que a média da amostra estará dentro de ± 5 da média da população? b. Qual é a probabilidade de que média da amostra estará dentro de ± 10 da média da população? 3. Assuma que o desvio-padrão da população seja σ = 25. Calcule o erro-padrão da médiapara tamanhos de amostra de 50, 100, 150 e 200. O que você pode dizer sobre o tamanho do erro-padrão da média quando o tamanho da amostra é aumentado? 4. Suponha que uma amostra aleatória simples de tamanho 50 seja selecionada de uma população com σ = 10. Encontre o valor do erro-padrão da média em cada um dos seguintes casos (se apropriado, use o fator de correção da população finita). a. O tamanho da população é infinito. b. O tamanho da população é N = c. O tamanho da população é N = d. O tamanho da população é N = Uma população tem uma média de 400 e um desvio-padrão de 50. A distribuição de probabilidade da população é desconhecida. a. Um pesquisador usará amostras aleatórias simples de 10,20,30 e 40 itens para coletar dados sobre a população. Com qual dessas alternativas de tamanho de amostra seremos capazes de usar a distribuição normal de probabilidade para descrever a distribuição amostral de? Eplique. b. Mostre a distribuição amostral de para os casos nos quais a distribuição normal de probabilidade é apropriada. 6. Uma população tem uma média de 100 e um desvio-padrão de 16. Qual é a probabilidade de uma média da amostra estar dentro de ± 2 da média da população para cada um dos seguintes tamanhos de amostra? a. n = 50 b. n = 100 c. n = 200 3

4 d. n = 400 e. Qual é a vantagem de um tamanho de amostra maior? 7. O preço médio por litro da gasolina regular vendida nos Estados Unidos é US$1,20 (The Energy Information Administration, 3 de março de 1997). Assuma que o preço médio por litro da população seja μ = 1,20 e que o desvio-padrão da população seja σ = 0,10. Suponha que uma amostra aleatória de 50 postos de gasolina será selecionada, e que o preço médio por litro da amostra será calculado para os dados coletados dos 50 postos de gasolina. a. Demonstre a distribuição amostral da média da amostra, onde é o preço médio por litro da amostra para os 50 postos de gasolina. b. Qual é a probabilidade de que a amostra aleatória simples fornecerá uma média da amostra dentro de 2 centavos de dólar, 0,02, da média da população? c. Qual é a probabilidade de que a amostra aleatória simples fornecerá uma média da amostra dentro de 1 centavo de dólar, 0,01, da média da população? 8. O The College Board American College Testing Program relatou uma contagem SAT media da população de μ = 960 (The New York Times, 1998 Almanac). Assuma que o desvio-padrão da população seja σ = 100. a. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 75 estudantes fornecerá uma contagem SAT média da amostra dentro de 10 da média da população? b. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 75 estudantes fornecerá uma contagem SAT média da amostra dentro de 20 da média da população? 9. O salário médio anual inicial de para os especialistas em contabilidade foi de US$ (U.S. News Online, 28 de dezembro de 1997). Considere que para a população de graduados com especialização em contabilidade o salário médio anual inicial seja μ = US$ e o desvio-padrão seja de σ = US$ a. Qual é a probabilidade de que a amostra aleatória simples dos graduados em contabilidade terá uma média da amostra dentro de ±US$250 da média da população para cada um dos seguintes tamanhos de amostra: 30, 50,100,200 e 400? b. Qual é a vantagem de um tamanho de amostra maior quando se tenta estimar a média da população? 10. Em 1993, as mulheres tiveram uma média de 8,5 semanas de licença não remunerada de seus empregos depois do nascimento do filho (U.S. News & World Report, 27 de dezembro de 1993). Considere que 8,5 semanas é a média da população e 2,2 semanas é o desvio padrão da população. a. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória simples de 50 mulheres forneça uma licença não remunerada média de amostra de 7,5 a 9,5 semanas depois do nascimento de um filho? b. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória simples de 50 mulheres forneça uma licença não remunerada média de amostra entre oito e nove semanas depois de nascimento de um filho? 4

5 RESPOSTAS: 1) a) 200 ; b) 5 ; c) ~ N (200;5) ; d) Indica a distribuição de probabilidade de. 2) a) 0,6826 ; b) 0, ) 3,53 ; 2,50 ; 2,04 ; 1,77. À medida que se aumenta o tamanho da amostra, o erropadrão da média diminui. 4) a) 1,41 ; b) 1,41 ; c) 1,40 ; d) 1,34. 5) a) Apenas para n = 30 e n = 40 pois quando a população tiver distribuição desconhecida pode-se considerar normal somente se n 30 ; b) Para n = 30 N (400 ; 9,13) e para n = 40 N (400 ; 7,90). 6) a) 0,6212 ; b) 0,7888 ; c) 0,9232 ; d) 0,9876 ; e) Fornecer uma maior probabilidade de que a média da amostra esteja dentro de uma distância específica da média da população. 7) a) N (1,20 ; 0,01) ; b) 0,9544 ; c) 0, ) a) 0,6102 ; b) 0,9164 9) a) 0,5036 ; 0,6212 ; 0,7888 ; 0,9232 ; 0,9876 ; b) o erro-padrão da média diminui logo aumenta a probabilidade de que a média da amostra esteja dentro de uma distância específica da média da população. 10) a) 1 ou 100% ; b) 0,