M.C. ESCHER E A TEORIA HOMOLOGICA

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1 M.C. ESCHER E A TEORIA HOMOLOGICA Cesário Antônio Neves Júnior UFPE, Licenciatura em Expressão Gráfica canj_13@hotmail.com Sandra de Souza Melo UFPE, Departamento de Expressão Gráfica ssouzamelo@bol.com.br Resumo Maurits Cornelis Escher, artista gráfico de grande inspiração para as pessoas ligadas a arte e a matemática, nos faz perceber o quanto o mundo da matemática e o mundo da arte estão relacionados. Mesmo que na maioria das vezes exista uma predestinação de oposição entre a matemática como razão e a arte como emoção, vemos em Escher que esses conceitos podem ser passíveis de união. Partindo de uma análise baseada nas transformações geométricas, mais precisamente, da homologia, buscamos encontrar os elementos definidores destas transformações presentes nas obras do artista e servindo de base geométrica para uma beleza plástica e estética de suas obras. Desta feita, sinalizamos com uma união da arte e da matemática resultando em trabalhos artísticos de originalidade e expressiva beleza. Palavras-chave: teorias homológicas, Escher, arte e matemática. Resumen Maurits Cornelis Escher, artista gráfico de gran inspiración para las personas del mundo del arte y de las matemáticas, nos hace percibir lo cuanto el mundo de las matemáticas y el mundo del arte están relacionados. Aunque en la mayor parte de las veces exista una predestinación de oposición entre las matemáticas como razón y el arte como emoción, vemos en Escher que estos conceptos pueden ser pasibles de unión. Partiendo de un análisis basado en las transformaciones geométricas, más precisamente, de la homologia, buscamos encontrar los elementos definidores de estas transformaciones presentes en las obras del artista y sirviendo de bases geométrica para una belleza plástica y estética de sus obras. De este modo, señalamos con una unión del arte y de las matemáticas resultando en trabajos artísticos de originalidad y expresiva belleza. Keywords: teorias homológicas, Escher, arte y matemáticas.

2 1 Introdução Este trabalho apresenta o resultado de uma pesquisa realizada com o intuito de analisar e relacionar conceitos aprendidos em geometria projetiva em obras do artista gráfico Maurits Cornelis Escher, conhecido por suas obras de forte embasamento geométrico. Para essa análise foi determinante a escolha de algumas obras, mais precisamente, obras de diferentes períodos do artista onde na primeira ele retrata as mudanças, transformações, metamorfoses propriamente ditas. Na segunda obra ele retrata o infinito, ele torna-nos claro que uma coisa pode estar ao mesmo tempo tanto dentro como fora, ele não é nenhum surrealista que nos apresenta miragens, ele é um construtor de mundos impossíveis. Ele constrói o impossível, constrói de tal forma que qualquer um pode compreender. 2 Revisão bibliográfica A vida de M.C. Escher Maurits Cornelis Escher nasceu em Leeuwarden, na Holanda em Morreu em 1970 e dedicou-se principalmente às Artes Gráficas. Quando jovem não mostrava grande interesse pelos estudos, mas pelas artes gráficas sim. Foi quando ingressou na Escola de Belas Artes de Haarlem por insistência de seus pais, onde cursava arquitetura, que conheceu Jesserum de Mesquita, professor de Artes Gráficas. Seu fascínio pelo trabalho Gráfico se tornou tão intenso que levou Escher a abandonar o curso de Arquitetura e seguir as Artes Gráficas. Ainda em 1922, Escher, na companhia de dois amigos holandeses, viaja pela Itália e em setembro vai à Espanha. Sem dúvida essa viagem por diferentes lugares e culturas inspiraram Escher, principalmente sua passagem por Alhambra, em Granada. Foi lá onde conheceu os azulejos Mouros. Daí vê-se que este contato com a arte árabe está vinculado ao interesse pela divisão regular do plano em figuras geométricas que se repetem, se transfiguram e se refletem. Realizou inúmeros trabalhos explorando as possibilidades com os poliedros, pois o formato dos sólidos geométricos atraiu Escher a partir das observações que fazia dos cristais. Afirma que no caos da sociedade moderna, os poliedros representam de maneira ímpar o anelo de harmonia e ordem do homem. São várias as ligações que podem ser feitas entre os desenhos de Escher e a matemática. As suas obras tornaram-se uma ponte simbólica entre a ciência e a arte. Podemos observar essas ligações de acordo com os vários períodos passados por ele: período das paisagens, período das metamorfoses, período das gravuras

3 subordinadas a perspectivas, período da aproximação ao infinito (ERNST, 2012). Em seguida vemos alguns exemplos de obras dos períodos apresentados: Período das paisagens ( ) alcançou seu auge com a obra intitulada Castrovalva (1930), figura 01. É o período que apresenta paisagens, pequenas cidades do sul da Itália e alguns retratos de animais e plantas; Figura 01: Castrovalva (1930) Período das metamorfoses ( ) é a fase em que podemos observar a mistura entre os objetos em duas e em três dimensões. A figura 02 mostra a transformação gradual de uma cidade que vai passando por cubos e chega a uma boneca chinesa. Figura 02: Metamorfose 1 (1937) Período das gravuras subordinadas à perspectiva e figuras impossíveis ( ). Estas gravuras são muito conhecidas porque desafiam as leis da perspectiva representando imagens de objetos aparentemente tridimensionais, mas que não podem existir na realidade, figura 03.

4 Figura 03: Côncavo e convexo Período da aproximação ao infinito ( ), figura 04, período em que é possível ver a figura tornar-se infinitamente pequena para o interior da obra ou para o seu exterior; Figura 04: O centro de Cada vez mais pequeno I (1956) Noções de homologia A homologia é uma perspectividade entre dois planos puntuais, que também acarreta em uma perspectividade ente dois planos de retas. [Do gr. Homólogos.] Adj. 1. Geom. Diz-se dos lados, ângulos, diagonais, segmentos, vértices e outros elementos que se correspondem ordenadamente em figuras semelhantes. (FERREIRA, 2001, p. 367). Segundo o Teorema de Desargues, dois triângulos são homólogos quando as retas que unem os vértices correspondentes se interceptam num mesmo ponto fixo e os prolongamentos dos lados correspondentes se interceptam, gerando pontos duplos, sobre uma mesma reta. Este ponto fixo é denominado Centro de Homologia e os pontos duplos gerados pela intercepção dos prolongamentos dos lados determinam o Eixo de Homologia. Entre os elementos de uma homologia (figura 05) devemos observar então: o Centro de Homologia (S) que é determinado pelo alinhamento entre os vértices

5 homólogos e que não pode pertencer ao Plano Objeto (α) nem ao Plano Imagem (α ); o Eixo de homologia (e), que é gerado pelos Pontos Duplos (P, N, M). Figura 05: Elementos de uma homologia (BRUNNER, 2007). As retas limite a esse processo são chamadas de Eixo de Desvanecimento (d) e Eixo de Fuga (f ). O Eixo de Desvanecimento (figura 06) é a reta objeto cuja imagem é a reta imprópria do plano α, ou seja, d. Traçamos pelo centro S um plano paralelo ao plano imagem e cortaremos o mesmo na reta d, paralela a R, que corresponderá aos pontos do objeto que estão no infinito. Então se entende que o Eixo de Desvanecimento é o limite de todos os pontos objetos, cujas imagens se desvanecem no infinito. Figura 06: Eixo do Desvanecimento. Eixo de Fuga é o lugar (figura 07) para onde fogem os pontos imagens quando seus objetos se afastam indefinidamente sobre α, é a imagem dos pontos objetos que estão no infinito. Se traçarmos pelo centro S um plano paralelo ao plano objeto cortaremos o plano imagem na reta que será f (eixo de fuga). Ou seja, o Eixo de Fuga está paralelo ao Eixo de Homologia.

6 Então, entende-se que esse eixo é o limite de todos os pontos objetos, cujas imagens se desvanecem no infinito. Enquanto o Eixo de Fuga está paralelo ao Eixo de Homologia, é onde seus objetos se afastam indefinidamente sobre α. Figura 07: Eixo de Fuga. Na homologia, podem ocorrer três casos particulares. Quando os planos são paralelos entre si e o centro (S) é impróprio: quando os eixos de desvanecimento e de fuga estão no infinito temos um caso de Afinidade Homotética; quando os planos imagem e objeto são paralelos e o centro de Homologia é próprio, os três eixos serão impróprios e temos um caso de Homotetia; quando o centro de Homologia (S) é impróprio e os planos do objeto e da imagem são oblíquos entre si, haverá Eixo de Homologia (e) e os eixos de desvanecimento e de fuga estão no infinito, a este caso damos o nome de Afinidade Homológica. (COSTA, 1994). 3 Produções e teorias homológicas Foram escolhidas duas produções de Maurits C. Escher de diferentes períodos de sua carreira. Uma delas é do segundo período de criação, iniciado em 1937, com a gravura Metamorfose I (figura 02). Porém a primeira obra a ser analisada é Day and Night (figura 08), que pode ser considerada como o ponto culminante deste período. Depois passamos para um período onde ele trabalha a aproximação ao infinito, segundo a própria opinião de Escher que afirmou ter atingido os limites máximos do seu pensamento e a capacidade de representação, Art Gallery é a sua melhor obra desse período e é a segunda obra que analisaremos. Na primeira produção, todos os sinais característicos se encontram presente: é uma metamorfose, ao mesmo tempo um ciclo, e podemos ainda observar a passagem de formas bidimensionais (campo lavrado) para tridimensionais (aves).

7 Figura 08: Day and Night (1938) Campos cinzentos retangulares evoluem para cima, em silhuetas de aves brancas e pretas. Como duas formações de sentido contrário, voam as pretas para a esquerda e as brancas para a direita. No lado esquerdo fundem-se as brancas umas nas outras e formam céu e paisagem de dia. Do lado direito, unem-se as pretas na noite. A paisagem do dia e da noite são imagens refletidas uma da outra, ligadas por campos cinzentos, dos quais aves evoluem novamente. São nas mudanças de sentidos, na união das cores nas paisagens, é nessa evolução das formas que podemos perceber e referenciar as propriedades homológicas da geometria projetiva, ver figura 09. Figura 09: Day and Night com teoria homológica

8 Representamos as aves voando com um triângulo simples (ABC), onde também podemos determinar o Eixo de Homologia através dos pontos duplos, já que a imagem (A B C ) do triângulo objeto também pôde ser determinada. O Centro de Homologia (S), e os Eixos de Desvanecimento e Fuga são impróprios, pois estão no infinito. Podemos analisar esses dados e associá-los ao caso de Afinidade Homológica. Podemos também fazer essa mesma leitura com outras partes da obra, representouse mais dois triângulos, um deles envolvendo o que parece ser uma cidadezinha e outro envolvendo parte do rio que corta a paisagem. Esses triângulos menores podem ser analisados da mesma forma que o anterior, já que seguem as mesmas propriedades homológicas. Na segunda obra escolhida do artista (figura 10), vemos uma forte mudança caracterizada pela fase que o artista passou, nesse período também foram produzidas as chamadas figuras impossíveis. A galeria de arte resultou da ideia de que teria de ser possível realizar um alargamento em forma circular. Figura 10: Art Gallery (1956)

9 No canto inferior direito, vemos uma entrada de uma galeria, onde há uma exposição de quadros. Se nos voltarmos para a esquerda vemos um jovem em pé, olhando um quadro na parede. Neste quadro ele vê um barco e mais acima à esquerda, algumas casas ao longo de um cais. Se agora olharmos para cima para a direita, este quarteirão de casas continua e, à direita, na parte mais extrema da composição, o nosso olhar desvia-se para descobrir, em baixo, uma casa de esquina, com uma entrada que conduz a uma galeria de arte, onde se mostra uma exposição de quadros. Assim o nosso jovem faz parte do mesmo quadro que está a observar. Toda esta ilusão baseia-se no fato de que Escher criou como estrutura para esta gravura uma rede que marca um alargamento em círculo fechado que não tem nem princípio, nem fim. Figura 10: Art Gallery (com teoria homológica) Com análise projetiva homológica, observamos que o eixo de desvanecimento e o Eixo de Fuga (no infinito), cortam a área externa dos triângulos considerados objeto e imagem. Essa propriedade dos eixos, de passar fora das regiões internas do objeto e

10 imagem, nos atenta para o fato de, neste caso, ao fazermos a correspondência entre as regiões dos triângulos ABC e A B C, a área interna do triângulo objeto permanecerá interna no triângulo imagem. Lembrando que, cada uma das regiões de ABC deve corresponder a uma região de A B C, mas nada obriga que a região interior de ABC deva corresponder à região interior de A B C. Veja-se a correspondência de Imagem e Objeto na figura 11. Figura 11: Correspondência de Imagem Objeto 4 Conclusão Escher soube aproveitar as propriedades geométricas das formas e suas transformações para criar um mundo de imagens onde o impossível aparece diante do observador da obra de arte. Ele une a arte e a matemática para apresentar o belo, a fantasia, o original. Vemos nos detalhes da sua obra, os elementos geométricos que podem ser relacionados às propriedades e transformações geométricas gritantes e deste podemos observá-las e analisá-las de muitas maneiras e sem muito esforço a partir de uma teoria geométrica. Estas características que podem ser observadas com tanta clareza nas obras deste artista, também podem ser observadas em outros artistas e apresentam uma geometria mais próxima ao mundo das pessoas, ao mundo da arte. Nosso foco foi Escher.

11 5 Referências BRUNNER, Paulo Sergio; Homologia Plana. Cabo Frio, FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Mini-aurélio século XXI escolar: o minidicionário da língua portuguesa. 4ª ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, COSTA, Mário Duarte; COSTA, Alcy Vieira. Geometria Gráfica Tridimensional: Vol. 3 Transformações Projetivas. Recife: Editora Universitária, ERNST, Bruno. O Espelho Mágico de M. C. Escher. 1ª ed. Editora Taschen do Brasil, Picture gallery "Switzerland and Belgium ". Disponível em: Acesso em 19 de junho M.C.Escher. Disponível em: index.html. Acesso em 19 de junho 2011.