Responsável pelo Conteúdo: Prof. Ms. Rosangela Maura Correia Bonici. Revisão Textual: Profa Vera Lidia de Sa Cicaroni

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3 Responsável pelo Conteúdo: Prof. Ms. Rosangela Maura Correia Bonici Revisão Textual: Profa Vera Lidia de Sa Cicaroni

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5 A Matemática Financeira Conceitos Fundamentais de Matemática Financeira Porcentagem Nesta primeira unidade de ensino estudaremos os fundamentos da Matemática Financeira e em que situações cotidianas ela pode ser utilizada. Relembraremos como montar e calcular uma regra de três e como aplicá-la no cálculo de porcentagens. Caro aluno, Hoje, querendo ou não, estamos imersos no mundo da informática e da Internet. Dentro deste contexto surge a educação a distância como uma oportunidade para aqueles que gostariam investir nos seus sonhos de conquistar uma formação superior de qualidade e por motivos diversos ainda não tiveram a oportunidade. As disciplinas online, como qualquer outra, exige dedicação, estudo, perseverança e organização. Não pense que aprender online é moleza ao contrário exige muita disciplina e envolvimento. O ensino online o deixa mais livre para estudar, dentro do seu ritmo e tempo disponível, porém o sucesso depende só de você. Portanto mãos a obra e vamos aprender bastante Matemática Financeira. Conto com vocês! 5

6 A Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual sistema econômico, algumas situações estão presentes no cotidiano das pessoas, como financiamentos de casa e carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, entre outras situações. Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de juros. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas de juros, isto é, o valor de quitação do empréstimo é superior ao valor inicial do empréstimo, a essa diferença damos o nome de juros. O conceito de juros surgiu no momento em que o homem percebeu a existência de uma afinidade entre o dinheiro e o tempo. As situações de acúmulo de capital e desvalorização monetária davam a idéia de juros, pois isso acontecia devido ao valor momentâneo do dinheiro. Algumas tábuas matemáticas se caracterizavam pela organização dos dados e textos relatavam o uso e a repartição de insumos agrícolas através de operações matemáticas. Os sumérios registravam documentos em tábuas, como faturas, recibos, notas promissórias, operações de crédito, juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de vendas e endossos. Essas tábuas retratavam documentos de empresas comerciais, algumas eram utilizadas como ferramentas auxiliares nos assuntos relacionados ao sistema de peso e medida. Havia tábuas para a multiplicação, inversos multiplicativos, quadrados, cubos e exponenciais. As exponenciais com certeza estavam diretamente ligadas aos cálculos relacionados a juros compostos e as de inverso eram utilizadas na redução da divisão para a multiplicação. 6

7 Tábua que relatava o sistema de escrita dos sumérios Nessa época os juros eram pagos pelo uso de sementes e de outros bens emprestados, os agricultores realizavam transações comerciais onde adquiriam sementes para constituírem suas plantações. Após a colheita, os agricultores realizavam o pagamento através de sementes com a seguida quantidade proveniente dos juros do empréstimo. A forma de pagamento dos juros foi modificada para suprir as exigências atuais, no caso dos agricultores, era lógico que o pagamento era feito na próxima colheita. A relação tempo/ juros foi se ajustando de acordo com a necessidade de cada época, atualmente, nas transações de empréstimos, o tempo é preestabelecido pelas partes negociantes. Por Marcos Noé Graduado em Matemática Equipe Brasil Escola Fonte: Site do Brasil Escola Disponível em: < Acesso em: 10 Mar

8 De uma forma simplificada, podemos dizer que a Matemática Financeira, é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira são: a taxa de juros, o capital (valor inicial aplicado) e o tempo. Fonte: poesiasletraseafins.blogger.com.br Ela possui diversas aplicações, como financiamentos de casa e carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, entre outras situações. Nossa disciplina será constituída de 6 unidades de estudo e uma unidade de revisão dos conhecimentos. Na Unidade I estudaremos os fundamentos da Matemática Financeira, o cálculo de porcentagens e as operações que podem ser realizadas com ela. A Unidade II será dedicada ao estudo dos juros simples e na Unidade III veremos como utilizar e calcular os juros no regime de capitalização composto. Na Unidade IV entenderemos o significado dos descontos e como calculá-los na prática. Na Unidade V aprenderemos o que são e como utilizar as séries de pagamentos e finalizaremos na Unidade VI com os principais sistemas de amortização de créditos e financiamentos. Para facilitar sua vida alguns cálculos serão demonstrados usando a álgebra, ou seja, o cálculo matemático e a calculadora HP 12-C. Vamos lá! 8

9 2. Conceitos Fundamentais de Matemática Financeira Nesta seção iremos aprender um pouquinho dos conceitos que são fundamentais para que tenhamos um bom desempenho na disciplina de Matemática Financeira. Tentarei descrevê-los de maneira clara e objetiva. 2.1 Fluxo de Caixa O fluxo de caixa tem por objetivo principal, a projeção das entradas e das saídas dos recursos financeiros da empresa em um determinado período de tempo Diagrama de Fluxo de Caixa Um diagrama de fluxo de caixa, é a representação gráfica numa reta, dos períodos e dos valores monetários envolvidos em cada período, considerando-se uma certa taxa de juros( i ). Traça-se uma reta horizontal que é denominada eixo dos tempos, na qual são representados os valores monetários, considerando-se a seguinte convenção: dinheiro recebido usamos uma seta para cima e dinheiro pago usamos uma seta para baixo. Exemplo: Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir: O diagrama da figura acima, representa um projeto que envolve investimento inicial de 800, que produz receitas (entradas) de 500 no primeiro período e 200 reais no segundo período. No terceiro período é realizado um pagamento de 200 reais. No quarto e quinto períodos são geradas receitas (entradas) de 700 e 200 reais. Analisando este fluxo de caixa 9

10 percebemos que ao longo do período total houve um investimento de 1000 reais e uma produção de receitas no total de 1600 reais. Convenção: Dinheiro recebido - flecha para cima (valor positivo) Dinheiro pago - flecha para baixo (valor negativo) 2.2 Capital O capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). 2.3 Juros É a remuneração de um valor investido. Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual acompanhada de uma unidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia). Exemplo: Fonte: caicaradoriodovento.rn.gov.br 12% ao ano = 12% a. a. 4% ao semestre = 4% a.s. 1% ao mês = 1% a.m. 2.4 Regime de Capitalização O processo de formação dos juros é chamado na Matemática Financeira de regime de capitalização. Os regimes são conhecidos como juros simples e juros compostos. No regime de juros simples apenas o capital inicial, também chamado de principal, rende juros. 10

11 No regime de juros compostos em cada período, a partir do segundo, os juros produzidos são somados ao capital que o produziu, passando os dois capital e juros (montante ou valor futuro), a render juros no período seguinte, é o que chamamos de juros sobre juros. 3. Porcentagem O cálculo de porcentagem é uma operação das mais antigas, em termos de cálculos comerciais e financeiros. A expressão por cento é indicada por meio do sinal (%). A porcentagem, na verdade é um simples cálculo de proporção ou uma regra de três simples. 3.1 Regra de Três Simples Vamos relembrar o que é uma Regra de três simples! É um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Vamos determinar um valor a partir dos três já conhecidos Passos utilizados numa Regra de Três Simples 1. Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas. Na mesma linha devem ser agrupadas as grandezas de espécies diferentes, porém fazendo a correspondência adequadamente 2. Montar a proporção e resolver a equação. Vejamos alguns exemplos de aplicação. Exemplo 1 Qual é a comissão de 10% sobre R$ 800,00? Fonte: micassia.blogspot.com 11

12 Explicações Na coluna 1: vamos representar as porcentagens. Na coluna 2: vamos representar, neste caso, os valores em reais. Na linha 1 (colocar sempre os valores totais): vamos representar nas respectivas colunas, o total da porcentagem e o total do valor em reais Na linha 2 (colocar sempre os valores parciais): vamos representar a parte da porcentagem e a parte do valor, que neste caso, queremos achar. Toda regra de três, usada para resolver porcentagens deve ser montada dessa forma, considerando é claro, as variáveis ou valores que estiverem sendo usados Fonte: oquartopoder.com Solução algébrica: Regra de três Operações realizadas % R$ Multiplicando em cruz x = (10*800) / x x = 80 reais Resposta: A comissão será de R$ 80,00 Solução na calculadora HP-12C: 800 ENTER 10 % R$

13 Exemplo 2 Por quanto se deve vender certa mercadoria que custou R$ 4.126,75, para obter uma rentabilidade (lucro) de 6%? Solução algébrica: Regra de três Operações realizadas % R$ Multiplicando em cruz ,75 x = (6*4126,75) / x x = 247,60 reais (lucro) Preço de venda= 4126, ,60 Preço de venda = 4374,35 Resposta: A mercadoria deverá ser vendida por 4.374,35 Solução na calculadora HP-12C: R$ 80, = custo da mercadoria (1) + o lucro de 6% (06) 4126,75 ENTER 106 % 4.374,36 Exemplo 3 Em um colégio 26% dos alunos são meninas. Quantos alunos possui o colégio, se elas são em número de 182? Solução algébrica: Regra de três Operações realizadas % R$ Multiplicando em cruz 100 x x = (100*182) / x = 700 Resposta: O colégio possui 700 alunos Exemplo 4 13

14 Um automóvel foi adquirido por R$ 5000,00 e vendido com um lucro de R$ 400. Qual a porcentagem de lucro? Solução algébrica: Regra de três Operações realizadas % R$ Multiplicando em cruz x = (100*400) / 5000 x 400 x = 8 Resposta: A porcentagem de lucro foi de 8% 14

15 Site Somatematica Disponível em < >. Acesso em 10 Mar Brasil Escola. Disponível em: < Acesso em 10 Mar Info Escola. Disponível em: < Acesso em 10 Mar

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17 PUCCINI, A. L. Matemática Financeira: Objetiva e aplicada. 8 ed. São Paulo: Saraiva, CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira. 13 ed. Saraiva: BRANCO, A. C. C. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft Excel. 2 ed. rev. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, Algo sobre vestibular. Disponível em < Acesso em 10 Mar

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