Física I. Momento Linear,

Transcrição

1 Física I Momento Linea, Impulso e Colisões Pofesso: Rogeio M. de Almeida menezes@id.uff.b Sala: C9

2 Momento linea O momento linea (ou quantidade de movimento) de uma patícula é uma quantidade vetoial definida como: p = mv A 2 a d v d p lei de Newton pode se escita como: F = m = dt dt O momento linea de um sistema de N patículas é a soma vetoial dos momentos lineaes individuais: P= p1 + p pn = m1v1 + L+ mn vn Deivando em elação ao tempo a expessão do cento de massa: CM N 1 = m i i M i= 1 N i=1 m i v i = P = M v Deivando novamente e usando a 2a lei de Newton paa um sistema de patículas: ( ext) dp M acm = F = dt CM

3 Consevação de momento linea Uma conseqüência imediata da 2 a lei de Newton paa um sistema de patículas é a consevação do momento linea total do sistema na ausência de foças extenas: ( F ext ) = 0 P= cte. Assim como no caso da consevação da enegia mecânica, essa lei pode se muito útil paa esolve poblemas, sem te que lida com a dinâmica detalhada do sistema. Note que a única condição paa a consevação do momento linea total é a ausência de foças extenas. Não há nenhuma estição quanto à pesença de foças dissipativas, desde que elas sejam intenas.

4 Nesta figua, um neutino (n) colide com um póton (p) estacionáio. O neutino se tansfoma num múon (m - ) e há a ciação de um píon (p + ). O neutino, po se neuto, não deixa asto na câmaa de bolhas. Obseve que não haveia consevação de momento linea, se não houvesse uma patícula neuta colidindo pela dieita. (p + ν p + µ - + π + )

5 O que é uma colisão? Em Física, dá-se o nome de colisão a uma inteação ente duas patículas (dois copos) cuja duação é extemamente cuta na escala de tempo humana e onde há toca de momento linea e enegia. Queemos estuda as possíveis situações finais depois que as patículas se afastam da egião de inteação. m 1 Antes v 1a Duante m 1 Depois v 1d m 2 v 2a v 2d m 2

6

7 Exemplo históico: estutua do átomo Enest Ruthefod (1911): analisando o esultado do bombadeio de átomos de ouo com patículas alfa, ciou o pimeio modelo paa o átomo: um núcleo maciço duo e pequeno positivo, cecado po uma nuvem eletônica negativa. Pimeio expeimento de colisão de patículas sub-atômicas. Modelo de Thompson: pevia deflexão pequena das patículas alfa Ruthefod obsevou gandes deflexões, sugeindo um núcleo duo e pequeno

8 Exemplo: Patículas elementaes Colisões ente patículas elementaes (eléton-eléton, eléton-póton, etc.) são esponsáveis po quase toda a infomação que temos sobe as foças fundamentais da natueza (exceto a gavitacional). Essas colisões são geadas a pati da aceleação das patículas elementaes em gandes aceleadoes de patículas (FemiLab, SLAC e, em beve, no LHC, Lage Hadon Collide ). Ciação de paes eléton-pósiton

9 Caacteísticas geais de uma colisão a) Foças de inteação As foças de inteação ente duas patículas que colidem são foças muito intensas e agem duante um intevalo de tempo extemamente cuto. F 12 m F 21 m 1 m 2 Não é necessáio conhece-se exatamente a foma do gáfico F x t, pois não nos inteessa sabe o que acontece duante a colisão. O que inteessa sabe é como se enconta o sistema imediatamente depois da colisão, conhecendo-se como se encontava imediatamente antes dela. Na ealidade, é o esultado da colisão que podeá nos da infomações a espeito da foça de inteação no sistema que colide, e não o inveso. Essencialmente, é isso que se faz num aceleado de patículas como o Femilab ou o LHC.

10 Foças de inteação O esultado líquido da foça de inteação é faze vaia o momento linea das patículas. Pela 2 a lei de Newton: t f t f p f dp Fdt= dt= dp= p f pi = p dt t i t i p i A integal tempoal da foça é chamada impulso da foça: t f J Fdt= p = t i Ou seja, a vaiação do momento linea da patícula duante um intevalo de tempo é igual ao impulso da foça que age sobe ela neste intevalo. Como não conhecemos F(t), ecoemos à definição da foça média duante o intevalo de tempo da colisão: t f Fdt = F t ti Então: p p = F t ou F = t Impulso = áea sob a cuva (1D) p F = t

11 Exemplo Suponha que você tenha de escolhe ente agaa uma bola de 0,50 kg que se desloca a 4,0 m/s, ou uma bola de 0,10 kg que se desloca a 20 m/s. Qual das duas bolas seia mais fácil de agaa??

12 Exemplo: impulso numa colisão de bolas de bilha. Suponhamos que, ao se atingida pela bola banca, uma bola de bilha adquie a velocidade de 1,0 m/s. m 0,3 kg v= 1,0 m/s A vaiação de seu momento linea da bola atingida é, em módulo: que é o impulso tansmitido pela bola banca na colisão. Se o contacto dua t = 10-3 s, a foça média execida na bola é p J F = = = 300N t t F p = m v 0,3 kg m/s = J, (Compaando com a foça peso das bolas, P 3 N, vê-se que a foça de inteação é muito maio que as foças extenas.)

13 Execício 8.3 A massa de uma bola de futebol é igual a 0,40 kg. Inicialmente ela se desloca da dieita paa a esqueda a 20 m/s, a segui é chutada, deslocando-se com velocidade, a 45 º paa cima e paa a dieita, com módulo igual a 30 m/s. Calcule o impulso da foça esultante a foça esultante média, supondo um intevalo de tempo de colisão Dt = 0,010 s.

14 Enegia cinética total: Colisões elásticas e inelásticas Já vimos que colisões, po envolveem basicamente apenas foças intenas, consevam o momento linea. E a enegia? Emboa a enegia total seja sempe consevada, pode have tansfomação da enegia cinética inicial (inicialmente só há enegia cinética) em outas fomas de enegia (potencial, intena na foma de vibações, calo, pedas po geação de ondas sonoas, etc.). Se a enegia cinética inicial do sistema é totalmente ecupeada após a colisão, a colisão é chamada de colisão elástica.. Se não, a colisão é chamada de colisão inelástica. Note que se houve aumento da enegia cinética (quando há convesão de enegia intena em cinética: explosão), a colisão também é inelástica. Em uma colisão elástica K a = K d

15 Colisões elásticas unidimensionais Antes: v 1a v 2 a = 0 Depois: m 1 v 1d v 2d m 2 m 1 m 2 Assim, as equações básicas paa uma colisão elástica são: p 1a = p1d + p 2 d (Consevação de momento linea) m1v1a m1v1d m 2v2 d ( Consevação de enegia cinética) = Analisa m 2 >> m 1 e m 1 >> m 2 e m 1 = m 2 colisão elástica: o módulo da velocidade elativa ente os dois copos antes da colisão é igual ao módulo da velocidade elativa depois da colisão V V el, afast el, apox = 1

16 Colisões elásticas unidimensionais: casos paticulaes (1) massas iguais: (k =1) v = 1 d v2a v2 d = v1 a ( o estado final do sistema é idêntico ao estado inicial: As patículas tocam de velocidades! Em paticula, se a patícula alvo está inicialmente em epouso, a patícula incidente paa após a colisão, como no bilha. Isto é: se v v 0. 2 a = 0 1d = Antes: Depois: m 1 v 1a v 1a m 2 ( v apox = vafast ) m 1 m 2

17 Colisões elásticas unidimensionais: casos paticulaes (2) Alvo em epouso ( m << ) m m v d = v1 a m1 + m2 1 m 2 v 1a 2m 1 v2d = v1 a m1 + m 2 Resultam: m 1 v 1d m 2 v 2d v v 1d 2d v1 a 2m m2 1 v 1a << v 1a m 1 m 2 ( v apox = vafast ) A patícula incidente evete sua velocidade e a patícula alvo passa a se move lentamente, paticamente pemanecendo em epouso.

18 Colisões elásticas unidimensionais: casos paticulaes (3) Alvo em epouso ( m 1 >> m 2 ) m m 1 = 1 2 v d v1 a m1 + m2 2m 1 v2d = v1 a m m v 1 a Antes 1+ 2 Resultam: m 1 m 2 v v 1d 2d v 1a 2v 1a Depois v 1d m 2 v 2d m 1 A patícula incidente não sente a colisão. A patícula alvo passa a se move com o dobo da velocidade da patícula incidente.

19 Modeação de nêutons em eatoes nucleaes Reatoes nucleaes a base de Uânio: p. ex. 235 U + n 140 Xe + 94 S + 2n Os nêutons poduzidos devem leva a novos pocessos de fissão, numa eação em cadeia. Entetanto, eles são muito enegéticos e, po isso, pouco eficientes paa gea novas eações. É peciso desaceleá-los ( modeá-los ). Nêutons patículas incidentes (m 1 )??????? patículas alvo (m 2 ) Se m 2 <<m 1, os nêutons não sentem as colisões. Se m 2 >>m 1, os nêutons só são efletidos. Situação ideal m 1 m 2 m m 1 = 1 2 v d v1 a m1+ m2 Hidogênio seia pefeito (m póton m nêuton ), mas o póton captua o nêuton paa foma o dêuteon. Deutéio funciona D 2 O (água pesada). Também se usa cabono (gafite ou paafina) ou beílio.

20 Colisões unidimensionais totalmente inelásticas v 1a antes v 2a depois v d m 1 m 2 m1+m 2 Neste tipo de colisão, a patícula incidente guda na patícula alvo. Pode-se pova que essa situação epesenta a peda máxima de enegia cinética numa colisão inelástica em uma dimensão. ( m + m ) v m v + m v v = = v 1 1a 2 2a m1v1 a + m2v2a = 1 2 d d CM m1+ m2 Como o cento de massa coincide com as duas patículas gudadas, elas têm que se move com a velocidade do cento de massa, que se mantém constante. A enegia cinética final é a enegia cinética associada ao movimento do CM.

21 Execício 8.5 Dois cavaleios se deslocam sem sentidos contáios em um tilho de a linea sem atito. Depois da colisão, o cavaleio B se afasta com velocidade final de 2,0 m/s. Qual a velocidade final do cavaleio A? Como se compaam as vaiações de velocidade e de momento linea desses cavaleios? 8.10 Repetimos a mesma expeiências, poém, agoa adicionamos páa-choques ideais nas extemidades dos cavaleios paa que as colisões sejam elásticas. Quais são as velocidades de A e de B após a colisão?

22 Exemplo: Pêndulo balístico Uma bala se aloja num bloco de madeia e o conjunto se eleva de uma altua h. Qual é a velocidade da bala imediatamente antes da colisão? Colisão totalmente inelástica: m 1v1a = ( m1+ m2 ) vd m 1 v f = v1 a m1+ m2 Consevação de enegia mecânica após a colisão: v v 1a 1a a 1 2 ( m + m ) gh v gh 2 ( m1 + m2 ) v = 1 2 d = Então: d 2 m1+ m2 v1 a = 2gh m 1 m b = 5,0g m M = 2,0 kg y = 3,0 cm

23 Colisões elásticas bidimensionais m 1 v 1a Antes Depois v1 d sen θ 1 θ 1 v 1d v1 d cosθ 1 m 2 θ 2 Vamos considea a patícula-alvo em epouso (v 2a =0) p1 a = p1 d + p2d p 1d ( Consevação de momento linea) p 2d p 1a v2 d sen θ 2 v cosθ 2d 2 v 2d Esses 3 vetoes definem um plano, chamado de plano de colisão. Potanto, a colisão sempe ocoe em um plano (bidimensional).

24 Execício 8.12 A situação descita na figua é uma colisão elástica ente dois discos de hóquei sobe uma mesa de a sem atito. O disco A possui massa m A =0,5 kg e o disco B possui massa m B = 0,3 kg. O disco A possui velocidade inicial de 4,0 m/s no sentido positivo do eixo Ox e uma velocidade final de de 2,0 m/s cuja dieção é desconhecida. O disco B está inicialmente em epouso. Calcule a velocidade final v B2 e os ângulos α e β indicados na figua.

25 Momento de um sistema de patículas no R CM Se v CM = constante, um efeencial amaado ao cento de massa (CM) é um efeencial inecial, chamado efeencial do cento de massa (R CM ). Ele tem inteesse físico, pois dado um sistema de patículas, ele está natualmente definido, não dependendo da escolha que se faça paa o efeencial. Vimos: v CM 1 N = m i v M i= 1 i N i=1 m v = P = i i M v CM Como v CM = 0 no R P CM = 0 no R CM. Ou seja, no R CM o momento total de um sistema de patículas é nulo, que o sistema seja isolado ou não.

26 Exemplo Um canhão de massa M = 100 kg dispaa uma bala de massa m = 1,0 kg com velocidade de 300 m/s em elação ao canhão. Imediatamente após o dispao, qual é a velocidade do ecuo do canhão? Tanto inicialmente como imediatamente após a explosão, o momento linea total do sistema é nulo, pois as foças que atuam duante a explosão são todas foças intenas. MV0 = mv0 Os módulos das velocidades estão assim elacionados: Note que v el = v 0 V 0 v V el 0 Resolvendo o sistema de equações, encontamos: V v 0 0 v el = v0 + V m = vel = 2,97 m/s m+ M = v V 297 m/s O movimento de ecuo do canhão sugee um método de populsão! v 0 el 0 0

27 Sistemas de massa vaiável (populsão de foguetes, etc) Um foguete com velocidade instantânea v e massa instantânea M ejeta podutos de exaustão com massa dm e velocidade U (note que aqui dm<0). Depois de um tempo dt, o foguete tem massa M+dM e velocidade v+dv. Todas as velocidades são medidas no efeencial inecial da Tea. Antes Depois x

28 Ex: Gavidade Populsão de foguetes: continuação