Caro(a) aluno(a), Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas CENP Secretaria da Educação do Estado de São Paulo Equipe Técnica de Matemática

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1 Caro(a) aluno(a), Para viver no mundo atual com qualidade de vida é preciso ter cada vez mais conhecimentos, respeitar valores e desenvolver atitudes positivas em relação a si e aos outros. Os conhecimentos que a humanidade construiu ao longo do tempo são um valioso tesouro que nos permite compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decisões... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se são algumas formas de compartilhar esse tesouro. Este material foi elaborado especialmente para ajudar você a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos. O objetivo das Situações de Aprendizagem deste Caderno é apresentar os conhecimentos matemáticos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construída como parte de sua vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas não devem ser consideradas exercícios ou problemas a serem resolvidos simplesmente com técnicas transformadas em rotinas automatizadas. Muitas dessas Situações podem ser vistas como ponto de partida para estudar ou aprofundar uma noção ou propriedade matemática. Aprender exige esforço e dedicação, mas também envolve curiosidade e criatividade, que estimulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que você participe das aulas, observe as explicações do professor, faça anotações, exponha suas dúvidas, não tenha vergonha de fazer perguntas, procure respostas e dê sua opinião. Se precisar, peça ajuda ao professor. Ele pode orientá-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informações sobre um assunto. Reserve todos os dias um horário para fazer as tarefas e rever os conteúdos; assim você evita que eles se acumulem. E, principalmente, ajude e peça ajuda aos colegas. A troca de ideias é fundamental para a construção do conhecimento. Aprender pode ser muito prazeroso. Temos certeza de que você vai descobrir isso. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas CENP Secretaria da Educação do Estado de São Paulo Equipe Técnica de Matemática

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3 ? Matemática - 7 a série/8 o ano - Volume! SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM OS RACIONAIS COMO MOSTRUÁRIO DAS FRAÇÕES Leitura e Análise de Texto Os números racionais são associados à ideia de razão. Uma fração é uma razão entre dois números inteiros, ou seja, uma fração é um número racional. Mas qual é a diferença entre uma fração e uma razão entre dois números quaisquer? E qual é a diferença entre uma fração e um número racional? Na base da construção das respostas a essas perguntas está a noção de relação de equivalência. Quando temos diante de nós um conjunto muito bagunçado de elementos e queremos organizá-lo, recorremos à ideia de equivalência. O conjunto de automóveis que circulam neste momento em nossa cidade é um conjunto bagunçado ; podemos olhar para ele, no entanto, com a intenção de organizá-lo segundo algum critério. Podemos fazer isso considerando apenas o fabricante de cada automóvel ou, se prefe - rir mos, considerando a sua cor. Se considerarmos apenas a cor de cada automóvel, tratando co mo equivalentes todos os automóveis de mesma cor, o conjunto dos automóveis ficará organizado em classes de equivalência. De acordo com esse critério, todos os automóveis brancos estarão em uma mesma classe, todos os automóveis azuis estarão em outra, e assim por diante. A definição da relação de equivalência dois automóveis são equivalentes se e somente se têm a mesma cor conduziu a uma organização do conjunto inicial de automóveis em um conjunto de classes de equivalência. Fixando-se uma relação de equivalência ter o mesmo fabricante, o conjunto inicial pode ser reduzido a uma espécie de mostruário, em que um representante de cada fabricante é suficiente para mapear todo o conjunto. O mostruário representará, então, o conjunto das cores: PRETO AZUL PRATA VERDE BRANCO CINZA OUTROS Mostruário do conjunto dos automóveis quanto às cores Branco Azul Preto Prata Cinza Verde Outros 3

4 Da mesma forma, podemos organizar o conjunto das frações, considerando equivalentes e situando em uma mesma classe de equivalência todas as frações que representarem a mesma parte da unidade, como, por exemplo, 2 ; 3 6 ; 5 0 ; 0,5; 3 26 ; 7 4 ; ;... (todas representam a metade da unidade), ou então 5 3 ; ;,666...; ; 300 ;... (todas representam um inteiro mais dois terços). 80 Se o conjunto de todas as frações que existem for organizado assim, agrupando-se em uma mesma classe as frações equivalentes, então o mostruário do conjunto das frações é o conjunto dos números racionais. Um número racional é, portanto, o representante de uma classe de frações equivalentes. Assim, um número racional representa o que há de comum entre todas as frações que representam a mesma parte da unidade ; 2; ; 0, ; ; 4 ; 0,4; ; ;...;... 7 ; 2,333...; ,666...; 5 3 ; 5 9 ; ; 3 ; 0,5; ; ; 7 4 ; ; 3 9 ; 7 2 ; 5 45 ; 2 6 ; 333 Mostruário das frações: Conjunto dos Números Racionais

5 VOCÊ APRENDEU?. Podemos organizar o conjunto de todos os polígonos que existem organizando-os em classes de equivalência segundo o critério do número de lados. Nesse caso: a) Quais seriam as classes de equivalência? b) Qual seria o mostruário do conjunto dos polígonos? 2. Considere o conjunto dos números inteiros não nulos representados na reta numerada e a relação de equivalência seguinte: dois números inteiros são equivalentes se e somente se estiverem à mesma distância da origem, onde está o número zero. Nesse caso: a) Quais seriam as classes de equivalência? b) Qual seria o mostruário? 5

6 3. Considere o conjunto de todas as frações positivas. Para organizá-lo em classes, consideremos equivalentes todas as frações cuja soma do numerador com o denominador resulta sempre no mesmo número. Por exemplo, 2 5 classe de 36 e 7, e assim por diante. Nesse caso: 30 estaria na mesma classe de 6 e de 3 4 ; 24 3 estaria na mesma a) Quais seriam as classes de equivalência? Antes, para ajudá-lo na tarefa, preencha a tabela seguinte, escrevendo na coluna à direita as frações cuja soma do numerador e denominador vem indicada na coluna da esquerda: Soma igual a 2 Soma igual a 3 Soma igual a 4 Soma igual a 5 Soma igual a 6 b) Qual seria o mostruário? A localização dos números racionais na reta 4. Localize na reta a seguir os números racionais:, 2, 3, 5 2, 3 4 e 0, Responda às perguntas: a) Qual é o número natural sucessor de 5? b) Qual é o número inteiro sucessor de 7? 6

7 c) Qual é o número racional consecutivo de 3? d) Quantos números inteiros existem entre 6 e 0? e) Quantos números racionais existem entre 6 e 0? f) Quantos números racionais existem entre 0, e 0,2? 6. Na atividade anterior você observou que, diferentemente dos números naturais e inteiros, não existe sucessor de um número racional, e que sempre entre dois números racionais existe uma infinidade de outros números racionais. Os conjuntos que possuem essa propriedade são chamados de conjuntos densos. Encontre um número racional que esteja entre: a) 2 e 3 4 b) e 5 4 c) 0,88 e 0,889 7

8 d), e, LIÇÃO DE CASA. Desenhe uma reta e localize nela os números 8 e. Identifique três números fracionários que estejam entre ambos Onde há mais números racionais: entre 0 e ou entre 0 e 0,? 3. Em nossa vida, lidamos com conjuntos que têm a qualidade de serem densos. Um exemplo disso é o tempo: qual é o instante que é sucessor das 0 horas? É impossível se definir, assim como percebemos que entre dois instantes de tempo há uma infinidade de instantes. Pense em outras duas situações que envolvam conjuntos densos. 8

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10 ?! SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 AS DÍZIMAS PERIÓDICAS SÃO PREVISÍVEIS... Desafio! Cada casa da tabela abaixo corresponde a uma fração cujo numerador e denominador são identificados nas respectivas linha e coluna. Assim, por exemplo, a casa assinalada na tabela com a letra E corresponde à fração 3, enquanto a casa assinalada com a letra M 4 corresponde à fração 6. Assinale com um X as casas correspondentes às frações gera trizes 7 de dízimas periódicas. Numerador Denominador 3 4 E M 8 9 0

11 VOCÊ APRENDEU?. Analisando a tabela da seção Desafio!, identifique quando uma fração irredutível não gera uma dízima se for dividido o numerador pelo denominador. 2. Quando uma fração com denominador igual a 3 não gera uma dízima? 3. É verdade que todas as frações irredutíveis com denominador contendo apenas fator primo igual a 3 geram dízimas periódicas? Escreva exemplos para justificar sua resposta. 4. Escreva a sequência dos números primos menores do que Quais dos números primos que você escreveu na atividade anterior podem ser combinados para formar o denominador de uma fração irredutível e geradora de uma dízima periódica?

12 6. Escreva cinco exemplos de frações, diferentes das vistas em sala de aula, nas quais, com certeza, a divisão entre numerador e denominador resultará em uma dízima periódica. LIÇÃO DE CASA. Quando a divisão entre numerador e denominador de uma fração irredutível gera uma dízima periódica? 2. Escreva cinco exemplos de frações, diferentes das vistas em sala de aula, nas quais, com certeza, a divisão entre numerador e denominador não resultará em uma dízima periódica. Leitura e Análise de Texto Dízimas periódicas e cíclicas Quando uma fração corresponde a uma dízima periódica, podemos notar que é possível uma estimativa do tamanho máximo do seu período, isto é, do número de casas decimais que se repetirão. 2

13 Observe a divisão de por 7: r e s t o s , quocientes Nessa divisão, acrescentando os zeros necessários para produzir as casas decimais, observamos que as divisões parciais não são exatas e os restos possíveis são menores do que 7, ou seja, serão, 2, 3, 4, 5 ou 6 o resto 0 (zero) não é incluído, pois sua presença indicaria que a divisão tem um resultado exato, sendo, portanto, um decimal finito. Assim, na sétima casa decimal certamente ocorrerá a repetição de um resto, e a partir daí, como sempre completamos com zero para continuar a divisão, todos os outros restos se repetirão, produzindo a dízima periódica. Poderíamos prever que, nesse caso, a dízima resultante da divisão teria um período de, no máximo, 6 casas decimais, o que efetivamente ocorreu. Quocientes Restos Na tabela construída ao lado da divisão, colocamos na ordem os quocientes decimais e os restos que esses produzem. Vamos agora observar o desenvolvimento decimal de 2 7 : r e s t o s , quocientes Quocientes Restos

14 Comparando os períodos gerados pelas duas frações, podemos observar que possuem os mesmos algarismos, só que dispostos em ordem diferente e respeitando um movimento cíclico. Observando que a divisão de 2 7 começa com resto 2, que também aparece como resto na divisão de, os restos, a partir desse ponto, também vão coincidir em ambas as 7 divisões, uma vez que o desenvolvimento de 7 tem período de comprimento máximo : 7 Quocientes 4 i 2 n 8 í 5 c 7 i o do ciclo Restos resto inicial 2 7 = 0, Desafio! Sem efetuar a divisão e apoiado na tabela da seção anterior, referente à divisão de 7, encontre o desenvolvimento decimal de

15 VOCÊ APRENDEU?. Tome agora, para estudo, a seguinte fração: 3 = 0, r e s t o s , quocientes 0 3 Quocientes Restos Aplicando o método discutido anteriormente, escreva as frações abaixo na sua forma decimal periódica: a) 0 3 = b) c) d) 9 3 = 3 3 = 4 3 = 2. É possível, observando a tabela de quocientes e restos, encontrarmos o desenvolvimento decimal de 2? Justifique sua resposta e tente encontrá-lo. 3 5

16 3. Determine a fração geratriz de cada uma das seguintes dízimas periódicas: a) 2, b) 0, c), d) 3, LIÇÃO DE CASA. Escreva o número racional 7 6 na forma a 0, b, sendo a b uma fração irredutível. 6

17 2. Encontre o valor de x que é solução da equação: 3x + 0,x + 0,05x + 0,005x + 0,0005x +... = 4. 7

18 ? Matemática - 7 a série/8 o ano - Volume! SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 DO GOOGOL AO ANGSTROM, UM CAMINHO PARA AS POTÊNCIAS Leitura e Análise de Texto A Matemática, como linguagem, é profundamente marcada pelo movimento da humanidade de intensificação do trabalho intelectual como forma de tornar mais simples e rápida a execução de operações, procedimentos e cálculos. O uso de potências é um exemplo dessa simplificação. Ela é um recurso útil para a representação de números muito grandes ou muito pequenos. Contudo, em sua simplicidade de registro, ela pode guardar uma dificuldade de estimar a grandeza que nela vem expressa. Por exemplo, dentre os números 2 0, 0 3 e 0 7, qual deles é escrito com maior número de dígitos? Diversas áreas da ciência que trabalham rotineiramente com números muito grandes ou muito pequenos se utilizam amplamente da linguagem das potências na representação desses números. Por exemplo, a velocidade da luz no vácuo, que é, aproxima damente, igual a km/s ou m/s, pode ser escrita como km/s ou m/s. VOCÊ APRENDEU?. Em Astronomia, a distância que a luz percorre em um ano é chamada ano-luz. Pergunta-se: NASA 8

19 a) Quantos metros tem ano-luz? b) Qual é a distância entre a Terra e o Sol em anos-luz, sabendo-se que essa distância é, aproximadamente, igual a metros? c) Quanto tempo um feixe de luz leva, aproximadamente, para chegar do Sol até a Terra? PESQUISA INDIVIDUAL Nos filmes de ficção, muitas vezes os personagens indicam distâncias entre estrelas utilizando as unidades de anos-luz e parsec. Faça uma pesquisa sobre unidades de medi - das astronômicas encontrando alguns exemplos de sua aplicação e registre no espaço a seguir. 9

20 LIÇÃO DE CASA. O diâmetro da Via Láctea é de, aproximadamente, anos-luz. Por que os astrônomos utilizam uma unidade tão grande como o ano-luz para indicar distâncias? VOCÊ APRENDEU? Notação científica. A tabela a seguir apresenta dados reais aproximados envolvendo potências: Número de moléculas em grama de água Número de átomos do corpo humano Raio da Terra Distância entre a Terra e a Lua Distância entre a Terra e o Sol Massa da Terra Idade da Terra Idade do Universo Número de habitantes da Terra (estimativa em 2007) Expectativa de vida dos brasileiros em 2005 PIB brasileiro em moléculas 0 28 átomos m m,5. 0 m kg 4, anos, anos 6,7 bilhões 72 anos = 2, segundos,937 trilhão de reais Número de células do corpo humano 00 bilhões = 0 Número de possibilidades do sorteio dos seis números da Mega-Sena 50 milhões =

21 Analisando-a, escreva cada um dos números a seguir em notação científica, ou seja, na forma m. 0 n, com < m < 0. a) número de habitantes da Terra; b) expectativa de vida dos brasileiros em segundos; c) PIB brasileiro. Leitura e Análise de Texto Em certa ocasião, o matemático americano Edward Kasner perguntou ao seu sobrinho Milton Sirotta, de nove anos, qual era o maior número que existia. A resposta do pe - queno Milton qualquer coisa como guuugol não foi muito animadora, mas na mente criativa de Kasner isso virou uma bela brincadeira matemática. Em homenagem ao sobrinho, Kasner chamou de googol o número seguido de 00 zeros ou, dizendo de outra maneira, o número Não é tarefa fácil encontrar em nosso mundo real algo em quantidade tão gran - de quan to googol. Para se ter uma ideia, o número de gotas de chuva que caem na cidade de São Paulo em um século é muito menor que googol. Também o número total de grãos de areia das praias do litoral brasileiro é menor que googol, assim como é menor que googol o número de elétrons em todo o Universo. Para não dizer que googol é um número insuperável, se imaginarmos o Universo inteiro ocupado por prótons e elétrons de tal forma que não sobre nenhum espaço livre, então, estima-se o número dessas partículas ( 0 0 partículas) em um número maior que googol. Vencida a barreira do googol, que tal pensarmos agora em um número ainda maior: 0 elevado a googol (Kasner batizou esse número de googolplex). Se fosse possível escrever um dígito a cada meio segundo, quanto tempo levaríamos para escrever todos os zeros do número googolplex? A resposta exige apenas algumas contas. Dizer que googolplex é 0 googol = é equivalente a dizer que esse número tem o primeiro dígito igual a, seguido de googol de dígitos iguais a 0. Nas condições dadas, levaríamos 0, segundos para escrever por extenso o número de zeros de googolplex. Como a idade estimada do Universo é, anos (ver tabela da atividade anterior), o que equivale, aproximadamente, a 4, segundos, é possível afirmar que, desde o Big Bang até hoje, não haveria tempo suficiente para a empreitada de escrever todos os zeros de googolplex. 2

22 VOCÊ APRENDEU?. Cerca de 70% da superfície da Terra encontra-se coberta por água, o que corresponde a um volume de, aproximadamente, km³ (desse total, 97,5% é de água salgada, e 2,5% de água doce). Sabendo que em cada cm³ temos g de água (a densidade da água é g/cm³), e consultando a tabela apresentada anteriormente, calcule o número de moléculas de água na superfície da Terra. Em seguida, compare esse dado com googol. Nessa atividade, desprezamos o fato de a densidade da água salgada ser maior que g/cm³. Leitura e Análise de Texto Usando a calculadora Nas calculadoras com oito dígitos no visor, não conseguimos fazer diretamente a conta ; contudo, com o conhecimento de potências e notação científica, essa conta pode ser feita na calculadora. Sabendo que = 3, e = = 2,. 0 6, o produto procurado é 2,. 3,7. 0. A calculadora nos fornece o resultado de 2,. 3,7 = 7,77, e nossos conhecimentos sobre potência indicam que esse número multiplicado por 0 será igual a Contudo, se você tem uma calculadora científica, vai observar que ela usa a notação científica automaticamente. Nas calculadoras científicas, o resultado dessa conta pode aparecer das seguintes formas, dependendo do fabricante: ou E ou E + Em todos os casos apresentados, o número representa um expoente de uma potência de base 0 que deverá ser multiplicada por 7,77. Três detalhes também devem ser observados. 22

23 Em geral, as calculadoras usam o sistema inglês de representação dos números, no qual a vírgula tem a função do nosso ponto e vice-versa. Assim, o número ,25 no nosso sistema aparece representado na calculadora como 38, A letra E que aparece em algumas calculadoras refere-se à palavra em inglês exponent, que quer dizer expoente. Algumas calculadoras colocam o sinal de mais ou de menos ao lado da letra E para representar expoentes positivos ou negativos da potência de 0. As calculadoras científicas possuem uma tecla específica para as potências, o que facilita o seu manuseio. Em geral, a tecla é indicada por x ou, em alguns casos, uma y tecla indicando o sinal de acento circunflexo é a que deve ser usada para elevar uma base a um expoente. Exemplos de sequências de teclas que devem ser digitadas nesses dois tipos de calculadora para se calcular 3 5 : ^ I. II. 3 x y 5 = ^ 3 5 = O resultado que aparecerá no visor será 243 VOCÊ APRENDEU?. Faça algumas experiências com sua calculadora, registrando a seguir os valores encontrados. 23

24 2. Suponhamos que, em determinado país, a produção de um material tenha sido igual a tonelada no ano 2000 e, em razão do desenvolvimento tecnológico, passou a triplicar anualmente a partir daí. Uma tabela com as quantidades produzidas ao final de cada ano é apresentada a seguir. Complete os espaços em branco utilizando, quando possível e necessário, uma calculadora: Ano Produção P (toneladas) Potência correspondente n O nosso sistema de numeração Sistema Decimal Posicional é formado segundo certa regularidade com relação às potências de base 0. Interprete esse fato completando a tabela a seguir: Milhar Centena Dezena Unidade Décimos Centésimos Milésimos 00 0, 0,0 0,

25 PESQUISA INDIVIDUAL Faça uma pesquisa em jornais e revistas e selecione uma notícia que faz uso de números muito grandes. Escreva um parágrafo resumindo o assunto da notícia e escreva os mes mos números em notação científica. 4. A tabela a seguir indica uma série de representações com potências de expoente negativo. Faça uma pesquisa sobre as unidades relacionadas e faça a conversão entre as unidades, com pletando-a: cm centímetro metros mm milímetro metros µm micrômetro metros nanômetro metros angstrom metros Massa da molécula de água Diâmetro de uma célula Comprimento de onda da luz visível g metros metros 25

26 LIÇÃO DE CASA. O comprimento de um cordão de DNA na célula é de, aproximadamente, 0 7 m, o que corresponde a, aproximadamente, 000 angstrom. Com base nisso, calcule a equivalência entre angstrom e metros. 2. O diâmetro de um fio de cabelo humano é de, aproximadamente, 2, m. Quantos fios de cabelo humano teriam que ser colocados lado a lado para formar m? 3. Nossos fios de cabelo crescem à taxa de, aproximadamente,, m por hora. Um caracol de jardim se locomove no ritmo de, aproximadamente, m por hora. Quanto tempo nossos fios de cabelo demorariam para crescer o equivalente à distância que um caracol de jardim percorre em hora? 26

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28 ?! SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 AS POTÊNCIAS E A MEMÓRIA DO COMPUTADOR Leitura e Análise de Texto As unidades de memória dos computadores são amplamente conhecidas hoje em dia. O uso de termos como megabytes ou gigabytes para se referir à capacidade de memória de dispositivos eletrônicos tornou-se tão comum quanto o uso de quilograma para se referir à massa de determinado produto. Fala-se com naturalidade em disquetes de,4 megabyte, CD-ROMs de 700 megabytes, DVDs de 4,7 gigabytes, entre outras coisas. Essas especificações fazem parte do cotidiano no mundo da informática. Contudo, o significado do termo byte e de seus múltiplos ainda é alvo de muitas confusões. Na Ciência da Computação, o byte é a unidade básica de armazenamento de memória no computador. Um byte é constituído por 8 bits. O bit (binary digit, ou dígito binário) é a menor unidade lógica de armazenamento de informação em um computador. O valor de um bit é determinado pelo estado de um dispositivo eletrônico interno do computador, chamado capacitor. Capacitor é um dispositivo eletrônico que armazena energia em um campo elétrico. Ele pode ser usado para representar informação de forma binária em um computador, podendo assumir somente dois valores: 0, quando o capacitor está desligado (descarregado), e, quando está ligado (ou carregado). Por essa razão, as informações em um computador estão codificadas em uma base de numeração binária, e não decimal. Há duas décadas, a memória dos computadores pessoais raramente ultrapassava algumas dezenas de quilobytes (KB). Alguns estudiosos notaram que o termo quilobyte tinha duas interpretações distintas. Segundo o Sistema Internacional de Medidas (SI), o prefixo quilo (k) corresponde a 000 unidades. Assim, um quilobyte ( KB), segundo o SI, corresponderia a 000 ou 0 3 bytes. Por outro lado, tomando-se como referência a base binária de armazenamento de informação no computador, um quilobyte corresponderia a 2 0 bytes, ou seja, 024 bytes. A diferença relativa entre as duas interpretações para o valor de um quilobyte (2,4%) era pequena, não ocasionando maiores problemas na época. Contudo, com a rápida ampliação da capacidade de memória dos computadores, novas unidades de medidas tiveram que ser adotadas, tais como o megabyte, o gigabyte e o terabyte. Atualmente, já se fala em computadores com capacidade de memória medida em petabytes. A diferença relativa entre o sistema binário e o Sistema Internacional aumentou, gerando uma discrepância significativa no valor dessas unidades. Um gigabyte, no Sistema Internacional, corresponde a ou 0 9 bytes. 28

29 No sistema binário, um gigabyte corresponde a 2 30 bytes, ou bytes, um número 7,4% maior que o seu correspondente no SI. No caso do terabyte, essa discrepância chega a aproximadamente 0%. Hoje em dia, há muita confusão sobre o real significado desses termos. Muitos fabricantes de memória adotam a base decimal na configuração de suas memórias, devido à facilidade de compreensão por parte do usuário. Contudo, a maioria dos sistemas operacionais adota o sistema binário, o que gera uma discrepância entre a capacidade de memória declarada pelo fabricante e as medidas registradas nos sistemas operacionais. O Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM), um dos órgãos responsáveis pela regulação do SI, declara que os prefixos do Sistema Internacional de Medidas referem-se exclusivamente às potências de dez, e não devem ser usados para representar bases binárias, como no caso do quilobyte. Em 2005, a Comissão Eletrotécnico Internacional (IEC) criou um sistema de unidades específicas para o uso no campo das tecnologias de informação e processamento de dados, tendo como base o sistema binário. Foram definidos novos prefixos para designar os múltiplos das unidades de medida relacionadas à memória dos computadores. Nesse novo sistema, 2 20 bytes passam a ser designados como mebibyte, e não mais como megabyte, que representa 0 6 bytes no SI. O prefixo mega foi substituído por mebi, em que bi é a abreviação de binário. Na tabela a seguir é possível comparar as unidades do sistema decimal (SI) com o sistema binário. SI Base decimal Quantidade de bytes IEC Base binária Quantidade de bytes Diferença (%) quilobyte 0 3 = 000 quibibyte 2 0 = 024 2,4% megabyte 0 6 = mebibyte 2 20 = ,9% gigabyte 0 9 = gibibyte 2 30 = ,4% terabyte 0 2 = tebibyte 2 40 = ,9% 29

30 Bits, bytes e as potências de dois Uma informação pode ser codificada a partir de uma combinação de bits. A tabela a seguir mostra a codificação dos algarismos de 0 a 7 por meio da combinação de três bits. Nas duas primeiras colunas da tabela estão representados os estados dos capacitores, da seguinte forma: o símbolo para desligado (ou não magnetizado) e o símbolo para ligado (ou magnetizado). Na terceira coluna, o número binário correspondente à configuração dos capacitores: 0 para desligado e para ligado. Por se tratar de três bits, o número binário terá no máximo três casas. Na quarta coluna encontra-se o número correspondente no sistema decimal associado à configuração dos capacitores e ao número binário. Configuração dos capacitores Estado: D desligado L ligado Número binário (3 bits) Número correspondente no sistema decimal D D D D D L 00 D L D 00 2 D L L 0 3 L D D 00 4 L D L 0 5 L L D 0 6 L L L 7 Utilizando três bits, foi possível armazenar oito informações diferentes. No exemplo da tabela, foram representados os oito números de 0 a 7. O número 5, por exemplo, foi representado pelo número 0, enquanto o 7 foi representado pelo número. Utilizando apenas os algarismos 0 e, e as três casas, não é possível representar nenhuma outra informação. Para representar mais números, seriam necessários mais bits. 30

31 Se cada bit só pode assumir dois valores, o número total de informações que podem ser armazenadas com 3 bits é dado por = 2 3. Portanto, com 4 bits pode-se armazenar 2 4 ou 6 informações. Com 5 bits, 2 5 ou 32, e assim por diante. Com n bits é possível armazenar 2 n informações. Em uma tabela, essa situação pode ser representada da seguinte forma: Número de bits n Número de informação armazenada n Total m n A mesma situação pode ser descrita aplicando-se um método denominado diagrama de árvore: capacitor 3 L L D capacitor 2 L D L capacitor D L 8 possibilidades D L D D L D Esse tipo de diagrama é um modelo representativo do raciocínio multiplicativo aplicado em várias situações que envolvem contagens, como, por exemplo, de quantos modos diferentes podemos vestir uma camiseta e uma calça dispondo, para isso, de 3 camisetas e 2 calças. 3

32 VOCÊ APRENDEU?. Complete a tabela a seguir com todas as configurações possíveis envolvendo quatro capacitores e depois responda: Configuração dos capacitores Estado: D desligado L ligado Número binário (4 casas) Letra 0000 A 000 B 000 C D D L L D 000 E 00 F G H 000 I L D D L J 00 K L 00 M 0 N L L L D O P 32

33 a) Se cada configuração corresponder a uma letra do alfabeto, qual é a última letra que pode ser representada com quatro bits (em ordem alfabética)? b) Qual é a letra associada ao número binário 0? 2. Um byte é composto por 8 bits. Quantas informações podem ser armazenadas em um byte? 3. Quantos bits seriam necessários para armazenar 000 informações? Múltiplos de byte 4. No Sistema Internacional, os prefixos quilo, mega e giga expressam diferentes potências de 0. Assim, um quilobyte (KB) equivale a 0 3 bytes, um megabyte (MB) a 0 6 bytes, um gigabyte (GB) a 0 9 bytes, e assim por diante. Com base no Sistema Internacional, faça as transformações solicitadas e apresente as respostas na forma de potência de 0. a) 0 megabytes em bytes; b) gigabyte em quilobytes; c) 00 quilobytes em gigabytes; d) 20 terabytes em megabytes; e) megabyte em terabytes. 33

34 5. Já no sistema binário, os prefixos usados expressam potências de 2. Um () quibibyte (KiB) equivale a 2 0 bytes; mebibyte (MiB) a 2 20 bytes; gibibyte (GiB) a 2 30 bytes, e assim por diante. Faça as transformações abaixo e apresente as respostas na forma de potência de 2. a) 2 mebibytes em quibibytes; b) 6 gibibytes em bytes; c) quibibyte em mebibytes; d) 0 tebibytes em bytes; e) 32 quibibytes em gibibytes. Quando um mebibyte é um megabyte? 6. A capacidade de armazenamento de dados de um CD-ROM está baseada no sistema binário, apesar de ser expressa com os prefixos do sistema decimal (SI). Por exemplo: um CD-ROM de 700 MB (megabytes) tem, efetivamente, uma capacidade real de 700 MiB (mebibytes). Diferentemente, a capacidade real dos DVDs é calculada com potências de 0. Ou seja, um DVD de 4,7 GB (gigabytes) tem efetivamente uma capacidade de armazenamento de 4,7 gigabytes. Com base nessas informações, responda: a) Qual é a capacidade real em megabytes de um CD-ROM de 700 MB? b) Qual é a capacidade real em gibibytes (GiB) de um DVD de 4,7 gigabytes? 34

35 LIÇÃO DE CASA Usando potências para contagem. Suponha que você tenha em seu estojo: um lápis, uma borracha e uma caneta. De quantas maneiras diferentes você poderá selecionar elementos dessa lista? Repare que para responder a essa questão você pode pensar em tomar conjuntos de um só elemento, dois elementos e três elementos. Vamos colocar esses objetos em uma tabela com uma fita sob eles: Lápis Borracha Caneta Criemos então a seguinte regra: o número colocado na casa abaixo do objeto significará que o objeto foi selecionado; caso contrário, colocaremos o zero. Assim, a fita numerada com significará que escolhemos os três objetos, enquanto a disposição 0 significa que foram escolhidos o lápis e a caneta. Dessa forma, cada fita em que se escreve 0 ou representará uma única maneira de selecionar os objetos. Agora, tendo por base as ideias desenvolvidas quando tratamos de bits, tente responder à pergunta feita (). Atenção: a tira com 000 deve ser excluída, uma vez que mostraria que não foi feita nenhuma escolha. 2. Aplique o mesmo raciocínio para 5 objetos. Quantos algarismos usamos para escrever as potências de 2? 3. A tabela a seguir relaciona os expoentes naturais de 0 a 26, das potências de 2, com o número de casas (algarismos) do resultado da potência. Observe o exemplo e complete-a, calculando o valor das potências. Se necessário, utilize uma calculadora ou uma planilha eletrônica. 35

36 n 2 elevado a n Número de algarismos

37 4. Construa um gráfico, no plano cartesiano, relacionando o expoente das potências de 2 da atividade anterior com o número de algarismos da escrita do resultado das potências. 37

38 5. Caso tenha à sua disposição computadores com uma planilha eletrônica, construa uma tabela, como a apresentada a seguir para potências de 2, com expoentes maiores que 26 e complete os valores que faltam: n 2 elevado a n Número de algarismos , 374E , 749E , 498E + 40, 00E , 99E , 398E , 796E , 759E

39 6. A tabela e a construção do gráfico nas atividades anteriores permitem-nos observar determinado padrão na relação entre o expoente e o número de algarismos da potência na base 2 para expoentes de 0 a 26. Sabendo que esse padrão se repete pelo menos até o expoente 00, determine a quantidade de algarismos do número que representa PARA SABER MAIS Você pode ainda pesquisar na internet vários sites que tratam das unidades de medidas exploradas neste Caderno. Algumas palavras-chave que podem ser utilizadas em sites de busca são: bits; angstrom; parsec; anos-luz. 39

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