Lei dos Cossenos / Lei dos Senos

Transcrição

1 Aplicação da Lei dos Cossenos / Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Matemática Básica II de agosto de / 27

2 Aplicação da Sumário 1 Lei dos Cossenos 2 3 Aplicação da 2 / 27

3 Aplicação da Sumário 1 Lei dos Cossenos 2 3 Aplicação da 3 / 27

4 Aplicação da Ângulos Agudos Lei dos Cossenos Para um triângulo ABC com lados a, b, c opostos aos vértices A, B, C respectivamente, tem-se a 2 = b 2 + c 2 2bc.cos 4 / 27

5 Aplicação da Lei dos Cossenos - Ângulo Agudo Provemos a veracidade desta afirmação para ângulos agudos. a 2 = (c.senâ)2 + (b c. cos Â)2 a 2 = c 2.sen 2 (Â) + b2 2bc cos  + c2. cos 2 (Â) a 2 = [c 2.sen 2 (Â) + c2. cos 2 (Â)] + b2 2bc cos  a 2 = c 2 + b 2 2bc cos  h = c.senâ x = c. cos  a 2 = h 2 + (b x) 2 5 / 27

6 Aplicação da Lei dos Cossenos - Ângulo Agudo EXEMPLO: Determine x. a 2 = b 2 + x 2 2b.x. cos 60 0 a = 31 b = 12 Â = = x x = x 2 12x x 2 12x 817 = 0 = ( 12) ( 817) = 3412 = x = 12 ± Como se trata de uma medida, x = = 35, 2 6 / 27

7 Aplicação da Lei dos Cossenos - Ângulo Obtuso Agora, vamos verificar que a Lei vale também para ângulos obtusos. 7 / 27

8 Aplicação da Lei dos Cossenos - Ângulo Obtuso Agora, vamos verificar que a Lei vale também para ângulos obtusos. 8 / 27

9 Aplicação da Lei dos Cossenos - Ângulo Obtuso a 2 = (c.senâ)2 + (b c. cos Â)2 a 2 = c 2.sen 2 (Â) + b2 2bc cos  + c 2. cos 2 (Â) a 2 = [c 2.sen 2 (Â) + c2. cos 2 (Â)] + b 2 2bc cos  h = c.sen(π Â) = c.senâ x = c. cos(π Â) = c. cos  a 2 = h 2 + (b + x) 2 a 2 = c 2 + b 2 2bc cos  9 / 27

10 Aplicação da Lei dos Cossenos - Ângulo Obtuso EXEMPLO: Determine x. x 2 = cos x 2 = ( cos 45 0 ) 2 x 2 = x 2 = x = 24, / 27

11 Aplicação da Lei dos Cossenos EXERCÍCIO: As diagonais de um paralelogramo medem 24.2cm e 35.4cm, e se intersectam formando um angulo de Encontre a medida do lado menor do paralelogramo. 11 / 27

12 Aplicação da Lei dos Cossenos EXERCÍCIO: Resolva o triângulo a = 412, b = 342, Ĉ = / 27

13 Aplicação da Lei dos Cossenos EXERCÍCIO: Dois aviões deixam um aeroporto ao mesmo tempo. Suas velocidades são 130 milhas por hora e 150 milhas por hora. O ângulo entre seus cursos é de Depois de uma hora e meia, qual a distância entre os dois aviões? 13 / 27

14 Aplicação da Sumário 1 Lei dos Cossenos 2 3 Aplicação da 14 / 27

15 Aplicação da Para um triângulo ABC com lados a, b, c opostos aos vértices A, B, C respectivamente, tem-se a senâ = b sen B = c senĉ 15 / 27

16 Aplicação da 2.Area( ABC) = a.c.sen B 2b.Area( ABC) = a.b.c.sen B b sen B = abc 2.Area( ABC) Area( ABC) = 1 2 a.h Area( ABC) = 1 a.(c.sen B) 2 16 / 27

17 Aplicação da 2.Area( ABC) = b.a.senĉ 2c.Area( ABC) = a.b.c.senĉ c senĉ = abc 2.Area( ABC) Area( ABC) = 1 2 b.h Area( ABC) = 1 2 b.(a.senĉ) 17 / 27

18 Aplicação da 2.Area( ABC) = b.c.senâ 2a.Area( ABC) = a.b.c.senâ a senâ = abc 2.Area( ABC) Area( ABC) = 1 2 c.h Area( ABC) = 1 2 c.(b.senâ) 18 / 27

19 Aplicação da Para um triângulo ABC com lados a, b, c opostos aos vértices A, B, C respectivamente, tem-se Exercício a senâ = b sen B = c senĉ Resolva o triângulo  = 42.50, B = , a = 215cm 19 / 27

20 Aplicação da Exercício Se  = 310, s = 11 e r = 12, encontre x e y. 20 / 27

21 Aplicação da Exercício Um homem está voando de balão em linha reta com velocidade constante de 5 pés por segundo, mantendo uma altitude constante. Quando ele avista o estacionamento de um supermercado, ele nota que o ângulo de depressão do balão ao carro de um amigo que está nesse estacionamento é de Um minuto e meio depois, depois de sobrevoar o carro de seu amigo, ele olha para trás e vê o amigo entrando no carro, constatando que o ângulo de depressão agora é de Nesse instante, qual a distância entre as duas pessoas? 21 / 27

22 Aplicação da Exercício Mostre que em qualquer triângulo vale a relação senâ < sen B + senĉ Se A, B, C são os vértices e a, b, c, respectivamente, os lados opostos aos vértices, então, pela lei dos senos, tem-se a senâ = b sen B = c senĉ Daí, o triângulo com lados x = senâ, y = sen B e z = senĉ é semelhante ao triângulo ABC 22 / 27

23 Aplicação da Como em todo triângulo, a medida de um lado é SEMPRE menor que a soma dos outros dois lados, temos: x < y + z, y < x + z e z < x + y, ou seja senâ < sen B + senĉ sen B < senĉ + senâ senĉ < senâ + sen B 23 / 27

24 Aplicação da Sumário 1 Lei dos Cossenos 2 3 Aplicação da 24 / 27

25 Aplicação da Cálculo de distância inacessível Suponha que se queira calcular a distância d de A a P, considerando que não há como fazer a medida diretamente. 25 / 27

26 Aplicação da Cálculo de distância inacessível Determina-se o ponto auxiliar B, de modo que a distância x, entre A e B, possa ser calculada diretamente. Desta forma, construiu-se o triângulo ABP e os ângulos Â, B e P podem ser determinados. 26 / 27

27 Aplicação da Cálculo de distância inacessível Pela : e portanto, x sen P = d sen B x.sen B d = sen P 27 / 27