Capítulo 11 - Ordem de grandeza do crescimento assimptótico: principais notações

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1 Capítulo - Ordem de gradeza do crescimeto assimptótico: pricipais otações Neste capítulo abordaremos, muito sucitamete, o crescimeto assimptótico de fuções, motivado o iteresse em estudar a ordem de gradeza da rapidez do crescimeto de fuções que ocorrem em certos cotextos (e omeadamete o cotexto da aálise da eficiêcia de algoritmos e da complexidade de problemas), e itroduzido as pricipais otações usadas para caracterizar tal ordem de gradeza. Secção : Motivação (computabilidade, complexidade e eficiêcia). Face a um problema (ou uma tarefa), temos, à partida, duas questões: i) saber se ele (ela) é resolúvel; ii) e, em caso afirmativo, determiar uma solução, resolvedo-o (realizado a tarefa em causa). Pesemos agora em problemas (ou tarefas), como os ilustrados p.ex. a secção 2 do capítulo 9, que depedem de certas gradezas, que podemos classificar de parâmetros do problema. Supoha-se para simplificar que se trata de um problema/tarefa, que desigaremos geericamete de T, que depede apeas de um parâmetro, que desigaremos a seguir geericamete de. Para cada valor de, temos etão um problema/tarefa específico (que podemos desigar de T()) que se pode dizer que é uma istâcia desse problema/tarefa geérico T. Por exemplo, a tarefa dos moges das Torres de Haoi é uma istâcia da tarefa geérica de mover discos (sem violar a restrição em causa), em que o úmero de discos é igual a 64; assim como a tarefa/problema de ordear a lista {8,-9,25,4} é uma istâcia da tarefa ou problema geérico de ordear uma lista de úmeros. Embora um problema (desse tipo) possa, à partida, ser solúvel para certos valores de e isolúvel para outros valores de, quado dizemos sem mais ada que um tal problema é solúvel, pretedemos dizer que ele é solúvel para todos os valores de, i.e. para todas as suas istâcias. (No que se segue podemos supor que a solução de cada istâcia, quado existe, é úica.) E, iformalmete, dizemos que um problema (uma tarefa) T é computável (ou solúvel computacioalmete) se ele ão só é solúvel, como a sua solução é computável, o setido de que existe algum programa P (codificável alguma hipotética liguagem de programação), que recebedo como iput retora a solução 2 dessa istâcia T() (realiza a tarefa T()). Não é ossa iteção distiguir problema e tarefa. Estamos aqui a usar os dois termos de uma forma perfeitamete iformal que pretede apeas sugerir que estamos a pesar geericamete de problemas cuja resolução pode exigir quer a realização de acções físicas (ormalmete associadas às tarefas, embora também se possa falar de tarefas metais ), quer a realização de acções de atureza metal, de cálculo ou outro carácter formal (como ormalmete associamos a problemas matemáticos ). De qualquer forma, quado elas são realizadas em computador (em realidade virtual), ada distigue as duas realizações, ambas se traduzido a execução de um cojuto de operações dispoibilizadas pela liguagem de programação utilizada. 2 Se se tratar p.ex. de um problema T de atureza umérica, podemos dizer que T é computável se a hipotética fução g que para cada valor do parâmetro os dá a solução de T() é computável, o setido de que existe algum programa P que recebedo como iput retora o valor de g(). 387

2 No âmbito da teoria da computabilidade 3, temos um problema e queremos saber se ele é solúvel computacioalmete. Para esse fim, qualquer programa que resolva o problema serve, e quato mais simples for melhor. Aliás, para esse fim basta-os mostrar que é possível costruir tal programa, ão se torado ecessário costruí-lo mesmo. Naturalmete, isso a prática ão os chega, se queremos mesmo resolver um problema (ou realizar uma tarefa) computacioalmete (e ão, apeas, saber se teoricamete é resolúvel computacioalmete). Nesse caso, temos de costruir um programa que resolva o problema (realize a tarefa). Mas tal aida ão os basta. Precisamos de "ter uma ideia" (uma medida) do seu tempo de execução, e saber se tal tempo é exequível a prática 4. A questão é como o determiar. Repare-se que pôr o programa a correr, um determiado computador, para certas istâcias do problema (para certos valores do parâmetro ) ão é uma boa estratégia. Supoha-se p.ex. que pomos o programa (que resolve em realidade virtual o problema) das Torres de Haoi a correr para uma istâcia pequea do problema (p.ex. com =3): o programa correrá rapidamete. Mas se pusermos a correr o mesmo programa para a istâcia origial com 64 discos (ou para uma com 28 discos), e resolvermos esperar para ver quato tempo demora: bem poderemos esperar 5... Assim, o que precisamos é de traduzir tal tempo de execução como uma fução matemática do seu parâmetro e estudar como ela se comporta. Como calcular esse tempo de execução? O que se pretede ão é que tal fução os dê, para cada valor de, o tempo exacto que demora a correr o programa (com esse iput ) um dado computador, pois esse tempo varia de computador para computador. Uma hipótese cosiste em associar a cada tipo de operação executada pelo programa um certo parâmetro que deota o tempo de execução dessa operação 6, cotar o úmero de vezes que são efectuadas cada uma dessas operações, e a partir daí calcular o tempo total de execução do programa como uma fução do iput, parametrizada a esses tempos (tempos que depois podemos, aturalmete, istaciar). No etato, a aálise aterior, em que se etra em liha de cota com todas as operações executadas pelo programa, pode-se mostrar (desecessariamete) bastate complexa. O que é essecial obter é um valor que traduza de algum modo o custo da execução do programa, para cada iput. E, para esse efeito, muitas vezes basta-os cotar o úmero de vezes que são efectuadas as pricipais operações que são realizadas pelo programa em causa (e depois, se tal for desejado, podemos associar um tempo a cada uma dessas operações, obtedo uma ideia aproximada do tempo de execução em causa). 3 Sucitamete, podemos dizer que a teoria da computabilidade procura caracterizar as fuções que são computáveis. Refirase, a propósito, que embora a geeralidade das fuções aturais de variáveis aturais com que os deparamos sejam (pelo meos teoricamete) computáveis, existem (é possível coceber) fuções que o ão são. 4 O tempo de execução ão é o úico aspecto relevate a aálise de um programa. Este cosome outros recursos computacioais, como memória, que também têm de estar dispoíveis. Mas, em geral cocetramos a ossa aálise o tempo de execução. 5 E se resolvermos desistir de esperar, ao fim de quato tempo devemos tomar essa decisão? 6 Tempo esse cujo valor cocreto depede do sistema computacioal em que tal programa é implemetado. 388

3 Por exemplo, o caso das Torres de Haoi podemos dizer que o que traduz o custo da execução do programa é o úmero míimo de movimetos de discos que é ecessário realizar. E, o caso dos programas de ordeação, podemos supor que o seu custo é essecialmete determiado pelo úmero de comparações de elemetos que são ecessárias para ordear a lista em causa 7. De posse de uma tal fução de custo do programa (que a seguir desigaremos geericamete de) f, podemos etão estudar como se comporta o custo/tempo de execução do programa em fução do valor do seu iput. Mas, se só pretedemos saber até que poto a escolha de um tal programa é exequível a prática, etão o valor de f(), para pequeos valores de, ão é relevate. De facto, se assumirmos que o osso parâmetro traduz uma medida da dimesão (ou complexidade) da istâcia do problema a resolver, é fácil de costatar que o custo da execução dos programas para pequeo ão é muito relevate: com as actuais computadores, mesmo um mau 8 programa resolverá muito rapidamete uma pequea istâcia do problema. O que é fudametal é saber o custo/tempo da execução para istâcias grades, ou mesmo muito grades: e tal leva-os ao iteresse do estudo do comportameto assimptótico de tais fuções (podemos mesmo dizer ao estudo do seu crescimeto assimptótico, uma vez que tais fuções serão aturalmete crescetes: podemos asumir que como regra o custo da solução cresce com o crescimeto da dimesão da istâcia a resolver). Mais aida, para esses efeitos, pode ão ser fudametal cohecer a expressão explícita exacta de f(), como fução de, a qual em certos casos pode ão ser fácil de obter (mesmo só cosiderado as operações esseciais do programa). De facto, embora para valores pequeos de, a expressão exacta de f() seja relevate, como acabámos de referir, esses casos ão são fudametais para o fim idicado. E, quado pesamos em valores grades de (que traduzem os casos mais demorados de resolver), o valor exacto de f() já ão é tão relevate. O essecial é cohecer a sua ordem de gradeza (ou ordem de crescimeto - rate of growth ), para o que os procuramos libertar do máximo de detalhes possível. Por exemplo, se tal fução de custo for majorada por um poliómio em, de grau k, sabemos que o pior caso terá um comportameto poliomial de grau k. Assim o que se procura estudar é, fudametalmete, o comportameto assimptótico de tais fuções de custo e saber, por exemplo, se o tempo de execução do programa é uma fução poliomial de, e de que ordem de gradeza, ou se cresce expoecialmete. Programas cujo custo cresça expoecialmete como fução de ão têm qualquer iteresse prático, salvo evetualmete para valores muito pequeos de, e podemos cosiderar, iformalmete, que um problema é itratável se qualquer 9 solução computacioal para ele é dessa ordem de gradeza. 7 Cosiderado que as comparações de elemetos são as operações básicas, ou esseciais, que estão por detrás do fucioameto dos algoritmos de ordeação. De facto, para além destas, aida poderemos ter de etrar em cosideração com os movimetos de elemetos da lista, mas ão pretedemos etrar agora esses detalhes. 8 Mau, o setido de pouco eficiete (pouco rápido). Será sempre essecial que seja um programa que resolva o problema! 9 Naturalmete, um problema ão é itratável só porque um determiado programa que o resolve tem um tempo de execução expoecial. Pode ser que seja o algoritmo em causa que seja mau e que possa ser possível costruir programas que resolvam o problema em tempo poliomial. 389

4 Os algoritmos 0 podem ser divididos em duas grades classes: os com uma ordem de gradeza poliomial, limitada superiormete por uma potêcia de ( α, com α 0), e os com uma ordem de gradeza expoecial, limitada iferiormete por uma expoecial (c, com c>). Um problema para o qual existe algum algoritmo que a pior situação se comporta poliomialmete é cosiderado tratável /aceitável : a classe desses problemas é desigada de P. Os problemas para os quais qualquer algoritmo a pior situação se comporta expoecialmete é cosiderado itratável. Existe uma classe grade de problemas que se sabe serem solúveis computacioalmete, para os quais se sabe existirem soluções expoeciais, e que se suspeita serem itratáveis, embora tal ão se teha aida coseguido provar: a classe desses problemas é desigada de NP. O estudo deste tópico é objecto da chamada teoria da complexidade. Cosidere-se agora que temos um problema cocreto que queremos resolver computacioalmete, e que, em particular, tal tipo de problema ocorre frequetemete em várias aplicações (p.ex. ordeação de listas). Etão ós ão só queremos costruir um programa que o resolva em tempo útil, como queremos ecotrar programas que sejam o mais eficietes possíveis para resolver aquele tipo de problema 2. (Em particular, esses casos já ão é verdade que quato mais simples for o programa melhor 3.) Supoha-se, por exemplo, que dispomos de dois (ou mais) programas que resolvem o problema em causa e queremos escolher o melhor (o setido de o mais eficiete com meor tempo/custo de execução) de etre eles. Embora se possa proceder a uma aálise empírica (podo os dois programas a correr, para várias istâcias do problema, e comparado os seus tempos de execução um dado computador), como justificaremos o próximo capítulo, a iformação que obtemos de tal aálise empírica é limitada (e em algus casos poderá ser egaadora). Nesse caso, há que proceder a uma aálise (tão exaustiva quato possível) dos programas, estudado p.ex. como o comportameto destes é afectado por certas características dos iput s. Us programas poderão ser melhores para istâcias do problema com certas características, e piores para istâcias com outras características e, a partir dessa aálise, em fução do tipo de istâcia em questão, podemos optar por um programa ou por outro. 0 Não iremos este texto debruçaros em pormeor sobre a difereça etre algoritmo e programa. Iformalmete, quado falamos um algoritmo para a solução de um determiado problema estamos a pesar a descrição apeas dos aspectos esseciais da costrução de uma determiada solução desse problema. Como estamos a falar de soluções computacioais, o algoritmo terá de estar descrito uma liguagem que cotemple as usuais formas de costrução de programas, i.e., de algum modo, uma liguagem de programação. Mas tal liguagem de programação poderá ser de muito alto ível, e evetualmete abstracta. Assim, um algoritmo ão tem de estar escrito uma liguagem de programação real, cocreta, o que permite que a sua descrição ão tehamos de estar depedetes de (evetuais) detalhes muito específicos dessas liguages, e os possamos cocetrar a descrição apeas do que é a essêcia do programa. De qualquer forma, como mostraremos à frete, um algoritmo com uma ordem de gradeza poliomial α, também só tem iteresse a prática para α<2, salvo se os valores de ão forem muito grades. 2 Para problemas que ocorrem muito frequetemete, tais programas já estarão com certeza estudados, mas ão é esse o aspecto que os iteressa agora. 3 Embora, para programas de eficiêcia aáloga, a simplicidade ão deixe de ser um critério de escolha, até por ser mais simples de evitar (e detectar) evetuais erros em programas mais simples do que em programas mais complexos. 390

5 E, mais uma vez, o que se procura fazer é costruir, estudar e comparar a fução de custo de cada um dos programas. Refira-se, a propósito, que em sempre se cosidera que o parâmetro dessa fução é o iput cocreto do programa. Muitas vezes o que se cosidera como parâmetro da fução de custo da execução do programa é um valor que traduz apeas a complexidade (ou dimesão) desse iput 4. Supoha-se, por exemplo, que se pretede aalisar o custo de execução de um programa para a ordeação de listas. Ora, o tempo que um determiado programa demora a ordear uma lista (que recebe como iput), depede fortemete da lista cocreta em causa (do úmero de elemetos fora de ordem, de como estes se dispõem, etc.). Assim, a caracterização matemática da fução de custo de tal programa, como uma fução da lista a ordear, seria extremamete complicada 5. Deste modo, quado se aborda o problema da ordeação de listas, o parâmetro da fução de custo é em geral o comprimeto da lista a ordear e ão a lista cocreta a ordear. Mas, aturalmete, só sabedo a dimesão da lista a ordear, ão coseguimos determiar o custo exacto da sua ordeação (pois, como referimos, tal depede da composição dessa lista). Assim, o que se faz, é estudar o custo da ordeação, em fução do comprimeto da lista a ordear, cosiderado: a pior situação (i.e. a situação em que o iput, de dimesão, tem as piores caraterísticas para o programa em causa), a melhor situação e em média (ão assumido ada sobre o iput em causa, i.e. cosiderado que ele pode ser um qualquer iput de dimesão, e supodo que todos estes iput s são igualmete prováveis) 6. Este tipo de aálise será ilustrada o próximo capítulo. De qualquer forma, para a comparação das fuções de custo de dois programas (que resolvem o mesmo problema), com vista a decidir qual é o melhor 7, cotiua a ão ser fudametal saber qual o valor de tais fuções para valores pequeos de. Como já observámos, para pequeas istâcias do problema, os 4 Por outro lado, embora, para simplificar, estejamos a assumir aqui que a fução de custo de execução de um programa só depede de um valor (de um parâmetro), em algus casos é melhor traduzir a dimesão do iput através de mais do que um úmero. Por exemplo, para certos algoritmos sobre grafos (em que o iput é um grafo), uma maeira de descrever a dimesão do iput poderá ser através da referêcia ao úmero de vértices e ao úmero de setas do grafo, e para programas que operam sobre matrizes, a dimesão destas será em geral traduzida pelos úmeros de lihas e de coluas que as compõem. 5 Além de pouco útil, por demasiado pormeorizada. 6 Frequetemete, os algoritmos são comparados em fução da ordem de gradeza do seu custo, o pior caso. No etato, a prática em sempre algoritmos com uma má ordem de gradeza o pior caso são de excluir. Pode acotecer, e muitas vezes acotece, que a pior situação seja pouco provável (raramete ocorra) a aplicação em causa. Assim, é importate fazer também uma aálise da ordem de gradeza do custo do algoritmo em média, assumido que qualquer iput de dimesão é equiprovável (aálise ormalmete mais complicada que a aálise o pior caso). Por outro lado, embora a aálise da melhor situação para um dado algoritmo seja meos relevate, ela permite que face a uma dada aplicação, se os iput s esperados estão em geral próximos da situação óptima do algoritmo, este possa ser escolhido, mesmo que o pior caso, ou em média, seja um mau algoritmo. Por exemplo (ver próximo capítulo), o algoritmo da iserção directa é em média um mau algoritmo de ordeação, mas é o (ou dos) melhor(es) quado há poucos elemetos fora de ordem; assim, uma aplicação em que os dados são em pricípio guardados uma tabela por ordem, mas em que por alguma razão um ou outro dado pode ter sido iserido fora de ordem, pode justificar-se fazer uma ordeação da tabela pelo método da iserção directa (para garatir que esta fica mesmo ordeada e suporta portato, por exemplo, uma pesquisa biária de um elemeto). 7 Muitas vezes ão se pode dizer que um é o melhor. Como já referimos, um pode ser melhor p.ex. para istâcias com certas caraterísticas, e o outro pode ser melhor para outro tipo de istâcias. 39

6 actuais computadores, qualquer programa que se preze as resolverá muito rapidamete 8. O que é fudametal é ter uma ordem de gradeza do custo da execução dos programas para iput s de grade (ou mesmo muito grade) dimesão. No próximo capítulo ilustraremos como costruir tais fuções de custo (ou de complexidade) para certos algoritmos. Neste capítulo iremos debruçar-os sobre a caracterização assimptótica de fuções desse tipo e itroduzir as pricipais otações que são usadas para descrever a ordem de gradeza do seu crescimeto assimptótico. Para termiar esta secção itrodutória, caracterizemos apeas o tipo de fuções em cuja aálise estamos iteressados. Em primeiro lugar, embora o custo de execução de um determiado programa possa depeder de mais do que uma quatidade (por exemplo, em algus casos de programas com mais do que um argumeto), iremos em seguida cocetrar-os o caso mais simples, e mais importate, em que esse custo depede apeas de um argumeto atural. Por outro lado, se f() traduz o custo de execução de um algoritmo, para um dado iput, surge atural supor que f() é um úmero real positivo, ou pelo meos 9 ão egativo e positivo a partir de uma certa ordem 20. Assim, o que se segue iremos assumir que as fuções em cosideração são sempre (salvo referêcia em cotrário) aplicações de N 0 em R, que são ão egativas e positivas a partir de uma certa ordem. Por outro lado, como se assume que o argumeto da fução traduz a dimesão (ou complexidade) do iput do algoritmo, a geeralidade dos casos as fuções de custo em cosideração serão crescetes (pelo meos em setido lato 2 ), crescedo (mesmo) para ifiito à medida que tede para ifiito. Secção 2: Comparação das ordes de crescimeto assimptótico e pricipais otações. Comecemos por sitetizar o que de essecial (para o que se segue) se observou a secção aterior. Supoha-se que f() traduz, de alguma forma, o custo da execução de um certo algoritmo, em fução de um certo atural, que represeta o valor do (de um) parâmetro que afecta mais sigificativamete o tempo de execução do algoritmo. O valor de f() tato pode represetar tempo (expresso em segudos, micro-segudos, ao-segudos, ou outra uidade de tempo), como o úmero total de operações realizadas, ou o úmero de operações de certo tipo realizadas (p.ex. úmero de comparações, o caso dos algoritmos de ordeação), ou uma outra qualquer medida que traduza a complexidade/tempo de execução do algoritmo. 8 O custo/tempo de execução de um algoritmo, para valores pequeos do seu iput, já poderá cotudo ser relevate, em cotextos em que tal algoritmo faz parte de um outro algoritmo que o ivoca sucessivamete (mesmo que em cada ivocação ele seja aplicado a iput s de reduzida dimesão). 9 Muito do que se segue pode geeralizar-se a outro tipo de fuções, e omeadamete a fuções que podem assumir valores egativos: esse caso, o que se segue cosiderar-se-ia (as defiições) o módulo dessas fuções. De qualquer forma, ão pretedemos abordar este tópico a sua forma mais geral, mas apeas itroduzir as ideias esseciais. 20 Isto é: p 0 p f()>0. Tal permite que se possa cosiderar fuções de custo que para certos valores iiciais (como =0) assumem o valor zero. 2 Recorde-se que f: N 0 R é crescete em setido lato sse,k 0 (>k f() f(k)). 392

7 É iteressate cohecer a expressão explícita exacta de f(), como fução de. Mas, ão só tal pode ser muitas vezes difícil de obter, como para muitos efeitos pode ão ser extraordiariamete relevate. De facto, embora para valores pequeos de a expressão exacta de f() seja relevate, ão são em geral esses os casos que os levam a optar por um algoritmo face a outro. Embora face a um problema cocreto se deva procurar escolher sempre o melhor algoritmo que o resolve, se a dimesão do problema for pequea, os computadores actuais, em geral qualquer programa que o resolva, demorará relativamete pouco tempo. Mas a situação já ão é a mesma quado pesamos em valores grades (suficietemete grades 22 ) de. Daí que ao aalisarmos a eficiêcia de um algoritmo, os preocupemos essecialmete com o estudo do comportameto assimptótico 23 da fução f que traduz o seu custo. E, quado pesamos em valores grades de, o valor exacto de f() já ão é tão relevate. O essecial é cohecer a sua ordem de gradeza (ou ordem de crescimeto - rate of growth ) para o que os procuramos libertar do máximo de detalhes possível. Em resumo, quado queremos escolher etre dois algoritmos para um dado problema, procuramos, em geral, escolher aquele cuja ordem de crescimeto assimptótica é meor. Resta traduzir o que isto sigifica exactamete. A tal passamos, de imediato. Crescimeto assimptótico mais leto: little-oh otatio e little-omega otatio Supoha-se, por exemplo, que dispomos de dois algoritmos para resolver um determiado problema, e que f() e g() traduzem os custos da execução de cada um deles (em fução de um certo iput ). Era bom que dispuséssemos de critérios que os permitissem optar, em certas codições, por um dos algoritmos, mesmo sem cohecer a expressão exacta dessas fuções (por exemplo, o valor de certas costates evetualmete evolvidas as expressões em causa). Será que existe algum critério que os permita logo optar por um dos algoritmos por o seu custo f() se torar isigificate relaticamete ao custo g() do outro algoritmo, para suficietemete grade (à medida que se aproxima do ifiito)? Usado f p g (ou 24 f () p g()) para traduzir uma situação desse géero que se lê dizedo que a ordem (de crescimeto) de f é meor que a ordem (de crescimeto) de g, o que sigificará dizer que f() se tora isigificate 25 relativamete a g(), para suficietemete grade? 22 Depededo dos problemas, o sigificado de suficietemete grade poderá ser muito grade, ou muito muito grade, ou em por isso (pese-se o problema das Torres de Haoi e o tempo que demoraria o respectivo programa a correr para =64). 23 No setido amplo de procura de valores aproximados de f() para suficietemete grade. Neste setido amplo do termo, usamos em geral o termo assimptótico para sigificar um valor aproximado que fica cada vez mais perto do valor real à medida que um certo parâmetro (aqui desigado por ) se aproxima de um certo valor limite (aqui + ). 24 Iremos, o que se segue, itroduzir várias otações úteis para a descrição/comparação da ordem de crescimeto assimptótico de fuções. Embora essas otações se apliquem a fuções, é muito usual, este cotexto, aplicá-las às expressões que as defiem, idetificado de algum modo uma fução com a expressão que a defie (o que, apesar de ão ser muito correcto, como referimos a observação 2 da secção do capítulo 4, é coveiete em muitas situações, por facilitar as descrições). Assim, usado p.ex. a otação lambda, escreve-se em geral, 2 p 3 sigificado λ. 2 p λ Recorde-se que estamos a pesar em fuções (positivas, ou pelo meos positivas a partir de uma certa ordem, e) que crescem idefiidamete, à medida que o seu argumeto cresce. 393

8 A ideia é que o valor de g() vai crescer de tal modo face ao valor de f(), que coseguimos sempre ecotrar uma ordem a partir da qual f() se tora meor (ou meor ou igual) do que uma fracção do valor de g(), qualquer que seja a fracção do valor de g() que cosideremos. Dito de outra forma, e mais precisamete (uma vez que a ordem em causa depederá da fracção escolhida, ao cotrário do que poderá trasparecer a formulação aterior), para qualquer valor positivo c, por mais pequeo que seja, existe uma ordem a partir da qual f() < c g(). Isto é, f p g sse c R + 0 N 0 0 (0 ) f () cg() Como estamos a assumir que as ossas fuções são positivas (ou positivas a partir de uma certa ordem), podemos passar para quocietes e escrever, de forma equivalete c R + 0 N 0 0 (0 ) f () g() c o que ão é mais do que dizer (pois as fuções em causa uca assumem valores egativos) que f () lim g() = 0 Quado uma fução f satisfaz a codição aterior, também se diz que f é um zero 26 de g, ou um little oh de g. Defiição/Notação ( o-otatio, ou little-oh otatio ) : Desiga-se por o(g) o cojuto das fuções que têm uma ordem de crescimeto (assimptótico) iferior à de g. Mais precisamete: o(g) = { f : c R + 0 N 0 0 (0 ) f () cg()} E, em vez de escrever f o(g), escreve-se f = o(g) que se lê como se segue f é um little oh de g, ou f é um zero de g. Refira-se que este sial de = deve ser iterpretado (esta, e as restates otações a itroduzir este capítulo) como é e ão como igual 27 (e, em particular, ão se deve escrever o(g) = f). f () Naturalmete dizer que lim g() = 0 é g() equivalete28 a afirmar que lim = +, ie. que f () L R + 0 N 0 0 g() f () L o que se pode descrever escrevedo que g=ϖ(f), codição que se lê dizedo g é um little-omega de f. 26 A ideia é que, para suficietemete grade, f() é como se fosse zero quado comparado com g(): f() é um ifiitesimal de g() (f() é desprezável face a g()). 27 Caso cotrário, usado as propriedades da igualdade (e omeadamete a simetria e a trasitividade), obter-se-ia que quaisquer duas fuções pertecetes a o(g) eram iguais. 28 Como estamos a trabalhar com fuções ão egativas (e positivas, pelo meos a partir de uma certa ordem), ão se dá o caso de f () g() teder para zero por valores positivos e egativos, em cujo caso só se poderia afirmar que g() f () tederia para

9 Isto é, em vez de se escrever que f=o(g) também se pode escrever, com o mesmo sigificado, que g=ϖ(f), o que sigifica que g() se tora arbitrariamete grade relativamete a f(), à medida que se aproxima do ifiito. Defiição/Notação 2 ( ϖ -otatio, ou little-omega otatio ) : Desiga-se por ϖ(f) o cojuto das fuções que têm uma ordem de crescimeto superior à de f: ϖ ( f ) = {g : L R + 0 N 0 0 g() Lf () ( 0)} Em vez de escrever g ϖ(f), escreve-se g=ϖ(f) que se lê como se segue g é um little-omega de f. Defiido etão f p g sse f = o(g), podemos usar esta relação de ordem para estabelecer uma hierarquia etre estas fuções, em que elas são ordeadas em fução da rapidez com que crescem para ifiito. Vejamos algus exemplos que os ajudem a compreeder melhor o sigificado de uma fução ter uma ordem de crescimeto iferior à de outra, e a iteriorizar que isso correspode ao valor da primeira ser isigificate quado comparado com o valor da seguda, mas isto quado (e apeas quado) pesamos em valores suficietemete grades 29 do seu argumeto. Cosidere-se, como primeiro exemplo, que f() = e g() = 3. Quado =, f() é 000 vezes maior que g(). Mas o que se passa à medida que vai crescedo? quado =, g() é 000 vezes meor que f() quado =2, g() é 500 vezes meor que f()... quado =000=0 3, g() = 3 = 2 = é igual a f() quado =000000=0 6, g() = 3 = * 2 = 000 (000 2 ) é 000 vezes o valor de f() quado =0 9, g() = 3 = * 2 = 0 6 (000 2 ) é igual a 0 6 vezes f()... À medida que se tora suficietemete grade, o valor de g() é cada vez maior que o de f(), e a difereça etre os dois valores cresce substacialmete à medida que cresce. Na realidade, à medida que se aproxima do ifiito, f() tora-se isigificate relativamete a g(). Esta isigificâcia tora-se mais evidete se assumirmos que f() e g() correspodem ao úmero de operações executadas por dois algoritmos, e traduzimos em tempo essa medida, assumido um certo tempo médio por execução de uma operação. =,00E+02,00E+03,00E+06,00E+09 fução ^ ,00E+5,00E+2 ^ ,00E+8,00E+27 Expresso em úmero de operações 29 Em que o valor cocreto de ser suficietemete grade depede de caso para caso. Mas para qualquer caso há um valor suficietemete grade a partir do qual a fução f que cresce mais letamete se tora isigificate face ao valor da outra fução g (qualquer que seja a costate c, por mais pequea que seja, coseguimos ecotrar uma ordem a partir da qual f() é meor que cg()). 395

10 =,00E+02,00E+03,00E+06,00E+09 fução ^2 0, segudos 0 segudos 6,7 miutos 3,7 aos séculos ^3 0,00 segudos segudo 6,7 miutos 37, séculos séculos Valores aproximados expressos em uidades de tempo, supodo que cada operação demora um micro-segudo (0^(-6) segudos) =,00E+02,00E+03,00E+06,00E+09 fução ^2 quase istatâea 0,0 segudos segudo 277,8 horas 37, séculos ^3 quase istatâea 0,00 segudos segudo 3,7 aos séculos Valores aproximados expressos em uidades de tempo, supodo que cada operação demora um ao-segudo (0^(-9) segudos Como referimos atrás, podemos hierarquizar estas fuções, em fução da rapidez com que crescem para ifiito, recorredo à relação p. Assim, e a título de exemplo, tem-se 30 (ode desiga a fução costatemete igual a, e δ, ε, c, d e b desigam quaisquer costates tais que 0<δ<ε<<c<d e b>): p log b (log b ()) p log b () p δ p ε p p c p d p log b p c p Refira-se que, com excepção da fução costatemete igual a, todas as fuções acabadas de hierarquizar crescem para ifiito à medida que tede para ifiito. Quado procuramos iserir uma ova fução esta hierarquia, ão procuramos determiar se tede para ifiito, mas sim quão rápido o faz. Para vermos a difereça etre o modo como estas fuções crescem, podemos comparar os seus gráficos 3. A seguir tem-se o gráfico cojuto de x e log 2 x, para x etre 0. e 0: Naturalmete, estes gráficos toram-se difíceis de visualizar para valores grades de x. Podemos também, tal como para o primeiro exemplo, procurar traduzir em tempo o valor de algumas fuções como as ateriores, supodo que elas deotam o úmero de operações executadas por um certo algoritmo e que cada operação demora (em média) um certo tempo: 30 Algumas das desigualdades a seguir serão deduzidas à frete. 3 Embora estejamos a cosiderar fuções de variável atural, para se melhor visualizar os seus gráficos, podemos cosiderar as suas extesões aturais a fuções de variável real. 396

11 Lg = log a base 2 =,00E+02,00E+03,00E+04,00E+06 fução Lg 3,32 6,64 9,97 3,29 9,93 ^0.5 3,6 0,00 3,62 00,00 000,00 0,00 00,00,00E+03,00E+04,00E+06 Lg 33,22 664,39 9,97E+03,33E+05,99E+07 ^.5 3,62 000,00 3,6E+04,00E+06,00E+09 ^2 00, ,00,00E+06,00E+08,00E+2,0^, 2,7 2,0E+04,64E+43 #NUM!,^ 2,6 3780,6 2,47E+4 #NUM! #NUM! Expresso em úmero de operações o Excel já ão calcula estes valores Lg = log a base 2 =,00E+02,00E+03,00E+04,00E+06 fução Lg 0, segudos0, segudos 0,00000 segudos 0,00003 segudos 0,00002 segudos ^0.5 0, segudos0,0000 segudos 0,00003 segudos 0,000 segudos 0,00 segudos 0,0000 segudos 0,000 segudos 0,00 segudos 0,0 segudos segudo Lg 0, segudos 0,0006 segudos 0,00997 segudos 0,3 segudos 9,9 segudos ^.5 0, segudos 0,00 segudos 0,032 segudos segudo 6,7 miutos ^2 0,000 segudos 0,0 segudos segudo,7 miutos,57 dias,0^ 0,00000 segudos0, segudos 0,02 segudos 5,9E+27 séculos,^ 0, segudos0,04 segudos 7,83E+25 séculos Valores aproximados expressos em uidades de tempo, supodo que cada operação demora um micro-segudo (0^(-6) segudos) As últimas três lihas da tabela aterior ilustram bem a difereça etre o comportameto poliomial e o expoecial: como se vê as duas últimas lihas 32, o crescimeto expoecial a partir de certa altura explode auteticamete. Se coseguirmos determiar p.ex. que a fução de custo f(), de um certo algoritmo, é um poliómio, e que a fução de custo g() de um outro algoritmo, para o mesmo problema, é uma expoecial c, com c>, etão, mesmo que ão coheçamos os coeficietes do poliómio f(), devemos escolher o primeiro algoritmo, pois ter-se-á sempre que f = o(g). Podemos aida ter uma ideia da rapidez do crescimeto das várias fuções, aalisado o efeito de duplicar o seu argumeto A próxima tabela mostra-os esse efeito para algumas fuções comus, listadas a hierarquia atrás referida (mais precisamete, a tabela a seguir a seguda colua diz-os como se relacioa f(2) com f(): p.ex. factor 4 sigifica que f(2) é o quádruplo de f(), i.e. f(2) = 4 f()): fução f(): efeito de duplicar o argumeto ehum lg (i.e. log 2 ) lg ligeiro acréscimo duplica um pouco mais que o dobro 3/2 factor factor 4 3 factor 8 2 quadrado 32 Na ferrameta computacioal usada para gerar as tabelas acima (o Excel) já ão foi possível calcular os valores de, 0000 e de, Embora o cálculo desses valores ão seja essecial para o que se pretede ilustrar, refira-se que (usado p.ex. o Mathematica se pode obter), 0000 = 8, x 0 43 e, = 4, x

12 Crescimeto assimptótico da mesma ordem de gradeza: big theta otatio Tedo defiido quado é que a ordem de crescimeto de uma fução é meor do que a de outra fução, surge atural que os questioemos sobre quado é que podemos dizer que duas fuções crescem da mesma forma para ifiito 33 (têm a mesma ordem de crescimeto). Assumido que os limites que se seguem existem, uma primeira defiição atural seria dizer que f() e g() têm a mesma ordem de gradeza (crescem com a mesma rapidez para ifiito), o que poderemos deotar escrevedo f() ~ g(), sse De acordo com esta defiição, dois poliómios d f () lim g() = p() = a i i (com 34 a d >0) e q() = b i i (com b c >0) i= 0 têm a mesma ordem de gradeza assimptótica sse têm o mesmo grau (d=c) e o coeficiete do termo de maior grau é o mesmo (a d = b c ). Por exemplo, ~ 2. Veja-se a difereça etre os valores em causa, à medida que cresce (ode f()= e g()= 2 ): quado =, tem-se f() = 00 e g() =, pelo que f() é mais de mil vezes maior que g() e, à medida que cresce, f() cotiua a ser sempre maior do que g(), mas a difereça etre os dois valores (dada por 000) tora-se isigificate face ao valor em causa, como é imediato de verificar quado vemos a evolução do quociete que é igual a: 2, quado = 000 = 0 3,00, quado = 000 = 0 6,00000, quado = f () g() = = À medida que se tora suficietemete grade, têm claramete a mesma ordem de gradeza. c i= 0 Observação (utilização da o-otatio uma expressão) : Como referimos atrás o(g) desiga ão uma fução, mas o cojuto de fuções: o(g) = { f : c R + 0 N 0 0 f () cg()} e, como também referimos, em vez de se escrever f o(g), escreve-se f = o(g). 33 Dadas duas fuções que crescem para ifiito, em sempre se está perate uma situação em que uma delas cresce mais depressa do que a outra. Não só elas poderão crescer com a mesma rapidez, como poderão existir mesmo casos em que ão coseguimos comparar a ordem de gradeza do seu crescimeto (de acordo com as defiições dadas). 34 Tal garate que o poliómio é assimptoticamete positivo. Mas, como estamos só a cosiderar fuções ão egatrivas, podemos supor que (para além disso) todos os coeficietes a i são maiores ou iguais a zero. 398

13 Por outro lado, pode também utilizar-se a otação o uma expressão, como por exemplo 3 +o( 2 ). Neste caso, o( 2 ) deve ser iterpretado como desigado uma fução (aóima), ão completamete especificada, mas que se sabe que pertece ao cojuto o( 2 ) (e diferetes ocorrêcias de o( 2 ) uma mesma expressão desigarão fuções desse cojuto, ão ecessariamete iguais). E podemos escrever equações em que um (ou mais) o(g) ocorrem a expressão do lado direito, as quais são (assim) iterpretadas como sigificado que existe alguma fução desse cojuto para a qual a equação em causa é verdadeira: por exemplo, a equação = 2 3 +o( 2 ) sigificará que existe uma fução f o( 2 ), tal que = 2 3 +f() (o caso a fução f() = 3+000). Usado esta iterpretação, podemos escrever como é fácil de verificar: f() ~ g() f() = g() + o(g()) f () : f() = g()+(f()-g()) e lim g() = lim f () g() = 0 g() f () : se f() = g()+h() com h() o(g()), etão: lim g() = lim g() + h() = + 0 = 0 g() As observações efectuadas sobre o sigificado da ocorrêcia da otação o uma expressão e uma equação são válidas também para as otações a itroduzir a seguir. Cosidere-se agora as seguites fuções: f() = 5 2 e g() = 2. Não se tem f() ~ g(), uma vez que f () lim g() = 5 Neste caso cocreto, f() é igual a 5 vezes o valor de g(), seja qual for o valor de. Mas, como estamos a pesar em grades úmeros, talvez o facto de f() ser 5 vezes o valor de g() ão justifique dizer que f() e g() têm diferetes ordes de crescimeto. Compare-se o crescimeto de algumas fuções (para ser mais simples a comparação, limitar-os-emos a seguir a fuções poliomiais): =,00E+03,00E+06,00E+09,00E+2,00E+24 fução ,00E+09,00E+2,00E+5,00E+27 ^ ,00E+2,00E+8,00E+24,00E+48 ^ ,0E+2,00E+8,00E+24,00E+48 5^ ,00E+2 5,00E+8 5,00E+24 5,00E ^ ,00E+5,00E+2,00E+27,00E+5 ^ ,00E+8,00E+27,00E+36,00E+72 ^3+2000^ ,00E+8,00E+27,00E+36,00E+72 Expresso em úmero de operações =,00E+03,00E+06,00E+09,00E+2,00E+24 fução ,000 segudos 0,00 segudos segudo 6,7 miutos,57 dias 3,7E+08 séculos ^2 0,0000 segudos 0,00 segudos 6,7 miutos 3,7 aos 3,7E+05 séculos 3,7E+29 séculos ^ ,0005 segudos 0,006 segudos 6,8 miutos 3,7 aos 3,7E+05 séculos 3,7E+29 séculos 5^ ,000 segudos 0,0055 segudos,39 horas 58,6 aos,59e+06 séculos,59e+30 séculos 000^2 0,0 segudos segudo 277,8 horas 37, séculos 3,7E+08 séculos 3,7E+32 séculos ^3 0,00 segudos segudo 3,7 aos séculos 3,7E+7 séculos 3,7E+53 séculos ^3+2000^2 0,02 segudos 3 segudos 3,77 aos séculos 3,7E+7 séculos 3,7E+53 séculos Valores aproximados expressos em uidades de tempo, supodo que cada operação demora um ao-segudo (0^(-9) segudos) Apesar de haver uma difereça relevate etre os valores de e 2 (o peso dos termos de meor grau é claramete irrelevate, para grade: compare-se p.ex. 2 e ), à medida que cresce podem-se otar agrupametos distitos em fução do grau do poliómio: por exemplo, para =0 6, assumido que o valor da fução deota o úmero de operações executadas por um certo algoritmo e que cada operação 399

14 demora (em média) um ao-segudo (0-9 segudos), etão o crescimeto descrito por 000 demora cerca de segudo, os crescimetos dados pelos poliómios a tabela em 2 demoram etre 6 miutos e 278 horas, ao passo que os crescimetos dados pelos poliómios a tabela em 3 demoram perto de 32 aos. Cocretizado um pouco, comparemos, por exemplo, os crescimetos das fuções 000 2, 2 e 3. Quado =, = 000 e 2 =, pelo que parece ser muito maior que 2, e à medida que cresce cotiua a ser maior do que 2, mas é maior por um factor costate (000) que ão depede de. E o que se passa com 3? Quado =, tem-se 3 =, pelo que 3 tem o mesmo valor que 2 e é mil vezes meor que o valor de Mas 3 = * 2, pelo que o quociete etre os dois valores (igual a ) se vai alargado à medida que cresce. E um feómeo aálogo se passa quado comparamos 3 com o ; o coeficiete 000 só adia o mometo (o valor de ) a partir do qual 3 começa a ser maior que : a partir de =000, o valor de 3 passa a ser maior que o de e por um factor ( ) que 000 cresce à medida que cresce. É um facto que existe uma difereça, ão desprezável, etre o valor de e o de 2 : seja qual for o valor de, o valor da primeira é 000 vezes superior ao valor da seguda. E, de acordo com a defiição dada acima, as fuções dadas por e 2 ão crescem para ifiito com a mesma ordem de gradeza (000 2 ~ / 2 ). Mas, como vimos, existe uma difereça sigificativa etre os crescimetos de 000 2, 2 e 3. Equato a primeira é superior à seguda por um factor multiplicativo que ão depede de, o mesmo ão se passa com a terceira que é vezes maior que a seguda. Uma oção meos exigete de ordem de crescimeto, usualmete cosiderada, diz-os que as duas primeiras fuções (000 2 e 2 ) têm a mesma ordem de crescimeto. Mais precisamete: Defiição/Notação 3 ( Θ -otatio, ou big theta otatio ) : Desiga-se por Θ(g) o cojuto das fuções que têm o mesmo comportameto assimptótico da fução g. Mais precisamete: Θ(g) = { f : c,c 2 R + 0 N 0 0 c g() f () c 2 g()} E, em vez de escrever f Θ(g), escreve-se f = Θ(g) que se lê como se segue f é um big theta de g. De acordo com esta defiição, diz-se que o comportameto assimptótico de f é idêtico ao de g, ou que f e g têm a mesma ordem de gradeza, ou a mesma ordem de crescimeto, assimptótico (ou, simplesmete, que f e g são da mesma ordem), se existem costates reais positivas, c e c 2, tais que, a partir de uma certa ordem 0, f() está etre c g() e c 2 g(). Como estamos a assumir que as ossas fuções são positivas (pelo meos) a partir de uma certa ordem, podemos descrever a codição f = Θ(g) em termos da razão etre o valor de f() e g(), obtedo talvez uma melhor visão do sigificado de f e g terem a mesma ordem de crescimeto (tal acotece quado, a partir de uma certa ordem 0, tal razão está etre limiares fixos): 400

15 f = Θ(g) sse c,c 2 R + 0 N 0 0 c f () g() c 2 Observação 2 : a) Como é ituitivamete ecessário, se o comportameto assimptótico de f é idêtico ao de g, etão o comportameto assimptótico de g deve ser idêtico ao de f, e a defiição dada satisfaz este requisito (óbvio). De facto, se existem costates reais positivas, c e c 2, tais que existe um 0 tal que: c g() f() c 2 g(), para qualquer 0 etão (como estamos a supor que as ossas fuções são positivas a partir de uma certa ordem, podemos passar ao quociete e, escrever 35 ) existe um 0 tal que: dode sai que existe um 0 tal que: c f () g() c 2, para qualquer 0 g() c 2 f (), para qualquer 0 c e portato, existem costates reais positivas d (= /c 2 ) e d 2 (= /c ), tais que existe um 0 tal que: d f() g() d 2 f(), para qualquer 0 (com pretedíamos). b) Aalogamete, para que as ossas defiições façam setido ituitivamete, terá de ter-se que se f cresce mais letamete que g, etão f e g ão crescem com a mesma ordem de gradeza. Que este requisito ituitivo se verfica pode verificar-se facilmete, como se segue. Supoha-se, por absurdo, que existiam f e g tais que f = o(g) e f = Θ(g). Ora, f = Θ(g) implica que existem costates reais positivas, c e c 2, tais que, a partir de uma certa ordem 0, c g() f() c 2 g(), Logo, em particular, existe uma ordem 0 a partir da qual: c f () g() Mas tal é impossível, pois como f = o(g), existirá uma ordem, a partir da qual (por exemplo) f () g() c 2 obtedo-se uma cotradição para valores de maiores que o máximo etre 0 e. c) Afirmar que f = Θ(g) é equivalete a afirmar que c R + 0 N 0 0 c g() f () c2 R + 0 N 0 0 f () c 2 g() Podemos aida dar uma outra defiição equivalete da codição f = Θ(g) (ode etra uma só costate real), como se mostra a seguir: Se f = Θ(g), etão (tal como em a) da observação aterior) existem costates reais positivas, c e c 2, e existe um 0 tais que 35 Ode o 0 poderá ter de ser maior (que o 0 aterior ) para garatir que g() é positiva a partir daí. 40

16 e c f () g() c 2, para qualquer 0 (*) g() c 2 f (), para qualquer 0 (**) c e, cosiderado c igual ao máximo etre c 2 e /c, de (*) e (**), obtém-se que e etão f () g() c, para qualquer 0 g() f () c, para qualquer 0 Por outro lado, se para algum real positivo c, se tem que existe um 0 tal que: 0 N 0 0 ( f () cg() g() cf ()) c f () g() c, para qualquer 0 Logo, a defiição 2 é equivalete à seguite defiição: f = Θ(g) sse c R + 0 N 0 0 ( f () cg() g() cf ()) Refira-se também que embora f () lim = b, com b 0 e b g() seja uma codição suficiete para se ter f = Θ(g) (como é fácil de verificar 36 ), ela ão é uma codição ecessária. Por exemplo, se f() = 2, se é impar e f() = 4, se é par, e se g() = 2, etão o limite f()/g() ão existe e, o etato, g() f() 2g(), para qualquer (pelo que f = Θ(g)). Saliete-se aida, a propósito, que quado as fuções f e g se podem esteder a fuções, de variável real, difereciáveis em R +, etão podemos recorrer à regra de Cauchy para o cálculo do f () lim g() regra que recordamos a seguir 37 (formulada para os casos que os iteressam): Regra de Cauchy: Se lim f (x) = lim g(x) = +, e se f e g são difereciáveis um itervalo ]a, + [, com g' (x) 0 esse x + x + f ' (x) f (x) itervalo, etão se existir o limite lim, também existe o lim x + g' (x) x + g(x) e têm o mesmo valor. 36 Basta cosiderar a ordem 0 a partir da qual f () g() b δ, com δ = b e defiir 2 c = b 2 e c 2 = 3b Algus autores (como [3], págia 29, ou [30], págia 304) chamam a esta regra de regra de L Hôpital (ou L Hospital). No etato, de acordo com p.ex. J.S. Guerreiro, ([24], págias 39 a 43), a regra de L Hospital aplica-se a outros casos. 402

17 Crescimeto assimptótico ão mais rápido: big-oh otatio Itroduzimos duas otações, o(g) e Θ(g), para caracterizar as classes de fuções que (iformalmete) crescem mais devagar ou com a mesma ordem de gradeza que uma fução g. Ora, muitas vezes, ós ão estamos iteressados em (ou ão é fácil) ser tão precisos, e, para uma certa fução f, basta-os saber que ela ão cresce mais depressa que uma dada fução g, à parte uma costate multiplicativa, isto é, que existe uma costate positiva c e uma ordem a partir da qual f() cg(). Para descrever tal situação itroduziu-se também uma otação própria. Defiição/Notação 4 ( O- otatio, ou big-oh otatio ) : Desiga-se por O(g) o cojuto das fuções (assimptóticamete) limitadas superiormete por g (a meos de uma costate multiplicativa). Mais precisamete: Ο(g) = { f : c R + 0 N 0 0 (0 ) f () cg()} E, em vez de escrever f O(g), escreve-se f = O(g) que se lê como se segue f é big oh de g (ou somete f é oh de g ). Observação 3 : a) Algus autores (p.ex. [3], pág. 32) defiem a classe de fuções o(g) como sedo igual a O(g)-Θ(g). De acordo com a defiição aqui dada de o(g) (coicidete com a de muitos autores), é imediato que se f=o(g) f=θ(g) etão f=o(g) (i.e., mais precisamete, f o(g) f Θ(g) f O(g)). No etato, ao cotrário do que é dito em [30] (págias 303 a 306), o recíproco em sempre se verifica. Por exemplo, se f() = +se() e g() = 2, etão f()=o(g()), mas ão se tem f()= Θ(g()) em f()=o(g()). b) Por outro lado, refira-se que em sempre podemos comparar a ordem de gradeza de duas fuções f e g, recorredo à otação-o. Por exemplo, como se refere em [9] (pág. 3), se f() = +se() e g() =, etão em f()=o(g()), em g()=o(f()). c) Compare-se a defiição de O(g) e de o(f): equato o primeiro caso a codição f() cg() apeas se tem de verificar para uma certa costate (real positiva) c, o segudo caso ela verifica-se para qualquer costate (real positiva) c. Ituitivamete, quado f=o(g), f() tora-se isigificate relaticamete a g(), à medida que se aproxima do ifiito. d) Notar que se pode ter f=o(g), mesmo que f()>g() para todo o. O essecial quado escrevemos f=o(g) é que (a partir de uma certa altura) f() é majorada por cg(), para alguma costate c. e) Tal como se pode usar a otação-o uma expressão, também se pode usar a otação-o uma expressão, com um sigificado idêtico. Uma fórmula evolvedo um termo da forma O(g()) é desigada por vezes de uma expressão assimptótica. f) Estas otações podem geeralizar-se a fuções reais de variável real, comparado a ordem de gradeza de duas fuções f(x) e g(x), quado x + : 403

18 f = Ο(g) sse c R + x0 R + x x 0 (0 ) f (x) cg(x) Estamos a assumir que as fuções em causa ão são egativas, seão deveríamos cosiderar os seus módulos a codição do lado direito. Mais aida, a ordem de gradeza de duas fuções pode aida ser comparada ão só quado o seu argumeto tede para ifiito, mas mesmo quado se aproxima de um determiado valor a (o qual poderão ão estar defiidas), devedo cotudo etão tal ser especificado a otação em causa: f (x) = Ο(g(x)), quado x a, sse c R + ε >0 0< x a <ε f (x) c g(x) (ão se justificado, estes casos, assumir a hipótese da ão egatividade). Assim, por exemplo, como 38 + x e x + x + x 2, para x ( + x e x verifica-se mesmo para todo o real x), podemos escrever e x = + x + Ο(x 2 ), quado x 0 salietado assim que a aproximação e x por + x é bastate boa quado x 0. Devemos chamar a ateção que o facto de sabermos que f()=o(g()), os dizer pouco sobre a ordem de crescimeto de f(): apeas os diz que para alguma costate positiva c, a partir de uma determiada ordem f() cg(). Mas tal ão sigifica que as ordes de crescimeto de f() e g() sejam semelhates: o facto de f()=o(g()) ão impede que também se possa ter f()=o(h()) para h uma fução crescedo para ifiito muito mais letamete que g. Por exemplo, 3 = O( 3 ), mas também 3 = O( 2 ), assim como 3 = O(). Se pretedemos uma descrição mais precisa da ordem de crescimeto de 3 devemos recorrer por exemplo à otação theta, tedose 3=Θ(). Algus autores referem que, ifelizmete, por vezes a literatura se utiliza a otação O como se tivesse o mesmo sigificado que a otação Θ. A grade vatagem da otação O é que os permite abstrair de detalhes ão importates, e cocetrar as características esseciais, p.ex. quado pretedemos ter uma ideia da complexidade máxima de um algoritmo. De acordo com [42] (pág. 44) usamos, em geral, a otação-o com três diferetes propósitos: para limitar (majorar) o erro que cometemos quado igoramos pequeos termos em fórmulas matemáticas; para limitar (majorar) o erro que cometemos quado igoramos partes de um programa que cotribuem reduzidamete para o custo global da execução do programa; para caracterizar programas em fução do custo máximo da sua execução. 38 Recordar que e x = + x + x 2 2! + x 3. i= 0 3! +... = x i i! 404