A Cinemática do Movimento Circular (The Kinematics of Circular Motion)

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1 A Cinemática d Mviment Circular (The Kinematics f Circular Mtin) L. A. N. de Paula 1 Universidade Federal de Itajubá - UNIFEI 3 de Mai de 008 Resum Neste artig intrduzims uma prpsta para a cinemática ds crps em mviment circular unifrme. Este mdel pderia cntribuir para a explicaçã de dis ds principais prblemas da csmlgia atual: matéria escura e energia escura. Utilizams uma das prpriedades físicas d espaç as ndas gravitacinais para definir um sistema de referência em repus n espaç e determinar um mecanism para a sincrnizaçã de relógis. Dessa frma derivams, através de um Pstulad, as cnhecidas transfrmações de Lrentz e uma nva velcidade para s crps em mviment de rtaçã unifrme. Esta velcidade de rtaçã cntribuiria na elucidaçã ds dis prblemas csmlógics. Essa cntribuiçã viria de efeits devids a um únic fenômen: a velcidade de rtaçã ds crps em relaçã a sistema de referência em repus n espaç. E pr fim, interpretams fisicamente Pstulad - pilar deste mdel - que permite, inclusive, uma cmparaçã cm Princípi de Relatividade e também nvas previsões teóricas. Palavras-chave: Matéria Escura, Energia Escura e Mviment Circular Unifrme. Abstract In this paper we intrduce a prpsal fr the kinematics f bdies in unifrm circular mtin. This mdel culd cntribute fr the explanatin f the tw main prblems f cntemprary csmlgy: dark matter and dark energy. We use ne f the physical prperties f space the gravitatinal waves t define a reference frame at rest with respect t the space and t determine a mechanism fr the synchrnizatin f clcks. S we derive thrugh a Pstulate the s-called transfrmatins f Lrentz and a new velcity f the bdies in unifrm circular mtin. This rtatinal velcity culd cntribute t clarify bth csmlgical prblems. This cntributin wuld cme frm effects due t a single phenmenn: the rtatinal velcity f bdies with respect t the reference frame at rest n the space. And finally, we interpret physically the Pstulate the majr pint in this mdel which allws, inclusive, a cmparisn with the Relativity Principle and als new theretical previews. Keywrds: Dark Matter, Dark Energy and Unifrm Circular Mtin. 1 leandrifgw@yah.cm.br Institut de Ciências, Av. BPS 1303 Pinheirinh, Itajubá, MG, Brasil.

2 1. Intrduçã N decrrer d sécul passad, fram intrduzidas muitas nvidades na ciência. Particularmente, na física, assistims a advent da ascensã da csmlgia. À medida que temp avança tem sid pssível cada vez mais sndar partes na natureza que antes eram impensadas devid as parcs recurss tecnlógics. Cm td ram da ciência, ns seus primórdis, a csmlgia atual tem encntrad muitas dificuldades na explicaçã de dads astrfísics. Alguns ds principais respnsáveis pr essa deficiência seriam s recurss ferecids pelas terias vigentes. Tda teria vigente precisa, ced u tarde, ser ampliada à medida que ampliams nsss cnheciments sbre univers. As cinemáticas e dinâmicas, que atualmente tmams cm referência para a explicaçã d csm, fram embasadas em uma épca em que puc se sabia a respeit ds fenômens extragaláctics. Seja, pr exempl, mviment de rtaçã de crps n hal de uma galáxia, situads a uma distância da rdem de dez mil ans-luz de seu centr. A cinemática newtniana prevê que a velcidade de rtaçã destes crps diminui cm aument da distância a centr. Cntud, para distâncias dessa magnitude esta lei falha. Da mesma frma a cinemática einsteniana nã enquadra estes tips de mviment. Outrs fenômens, cm aument d desvi espectral para vermelh cm aument da distância entre as galáxias, também nã têm sid satisfatriamente explicads. Para preencher estas lacunas muitas prpstas pdem ser feitas. Em particular, prpms que a cinemática d mviment circular deve ser mdificada sensivelmente nas escalas extragalácticas. Na seçã seguinte, fazems uma breve mençã sbre desenvlviment da cncepçã de um mei físic que permeia td univers, que atualmente denminams de espaç dtad de prpriedades físicas. Na seçã 3, utilizams uma dessas prpriedades, que sã as ndas gravitacinais, cm um mecanism para a identificaçã de um sistema de referência em repus n espaç. Nas seções 4 e 5, esclarecems que entendems pr sistema de referência e sincrnizaçã de relógis. E a identificarms sistema de referência em repus n espaç, pr mei de um Pstulad, derivams as cnhecidas transfrmações de Lrentz. Elas ns serã úteis para derivarms, na seçã 6, uma nva velcidade para s crps em mviment circular unifrme em relaçã a um sistema de referência em repus n espaç. E nas últimas seções, utilizams esta velcidade de rtaçã para entenderms fenômens cm aqueles denminads matéria escura e energia escura.. Espaç e Ondas Gravitacinais Até fins d sécul XIX, cnceit de éter fi send gradativamente elabrad pr renmads e brilhantes cientistas tais cm Oersted, Faraday, Lrentz, Pincaré e principalmente James C. Maxwell [1]. Para este éter era uma substância dtada de prpriedades físicas que preenchia td espaç vazi, send carregadr das ndas eletrmagnéticas. Em 1887, Heinrich Hertz prduziu experimentalmente estas ndas e, a partir diss, praticamente tds s físics passaram a acreditar que éter realmente existia. Michelsn e Mrley elabraram um experiment extremamente perspicaz para detectar vent etére : u mviment d éter em relaçã à Terra []. Prém, mviment relativ

3 esperad nã fi detectad. Lrentz, apiad n resultad deste experiment e na crença da existência dessa substância, cnstruiu uma hipótese sbre a cntraçã ds crps em mviment relativ a éter. Em 1905 Einstein publicu sua teria que viria mais tarde persuadir a mair parte ds físics a desacreditarem na existência dessa substância. Esta teria, apiada n princípi de relatividade levantada utrra pr Pincaré, demnstrava que era pssível derivar de md mais simples s resultads até entã já encntrads através d cnceit de éter. O éter passu a cair em descrédit, send que própri Einstein passu a ignrá-l. Prém, a partir de 190, após a frmulaçã da teria da relatividade geral, um nv cnceit estava send frmulad [3]. Segund Einstein, éter era própri espaç dtad de prpriedades físicas. Este nv cnceit iria acmpanhá-l até final de sua vida em Em 1954, um an antes de sua mrte, ele disse: Espaç físic e éter sã smente terms diferentes para a mesma cisa; camps sã estads físics d espaç, [4]. Mas pr que s físics cntemprânes criticam, de frma até mesm precnceitusa, a sua existência? Criticam cm mtiv, uma vez que uma versã mais elabrada d éter passu a ser frmulada: espaç dtad de prpriedades físicas. O éter nã deve ser pensad cm uma substância estendida n espaç, mas sim ele é própri espaç. Quand s físics mderns se referem a espaç cm suas prpriedades físicas estã, até mesm sem saber, dand api à cnstruçã de um cnceit que vem send elabrad desde séculs passads. Realmente nã deveríams mais falar em éter, cm send alg estendid n espaç, mas sim n espaç dtad de prpriedades físicas. De acrd cm a descriçã da teria da relatividade geral, espaç pde sfrer defrmações e, além diss, pde transprtar energia. Uma prpriedade dinâmica d espaç que tem sid explrada recentemente sã as ndas gravitacinais. Pis assim cm cargas aceleradas prduzem ndas eletrmagnéticas, massas aceleradas também prduzem ndas gravitacinais, que se prpagam n espaç cm a mesma velcidade que as ndas eletrmagnéticas. Em 1993, Hulse e Taylr receberam prêmi Nbel de Física. Eles cnseguiram detectar, pela primeira vez, um indíci indiret da existência das ndas gravitacinais. Em 1974, eles descbriram a existência de um pulsar binári (estrelas de nêutrns) denminad PSR [5]. Após cletarem s dads d períd de rtaçã desse pulsar a lng de váris ans, verificaram uma taxa de decaiment nesse períd. Relacinand a massa e períd d pulsar puderam calcular um decaiment na massa desse sistema binári. Incrivelmente, esta perda de energia massiva crrespndia precisamente à perda de energia através de uma dissipaçã pr ndas gravitacinais, prevista pel mdel da teria da relatividade geral de Einstein [6]. Dessa frma, as ndas gravitacinais fram detectadas smente de md indiret. Recentemente, alguns detectres já estã até mesm em peraçã para sua detecçã direta. A cnfirmaçã das ndas gravitacinais seria extremamente imprtante para as aplicações na área das radiações. E seria de especial interesse neste trabalh. Pis utilizarems estas ndas que se prpagam n espaç cm velcidade igual a da luz para, pr exempl, identificarms um sistema de referência em repus n espaç. Também utilizarems estas ndas a adtarms um prcediment para a sincrnizaçã de relógis.

4 3. Identificaçã d Sistema de Referência em Repus n Espaç Muits cientistas n passad questinavam qual crp u sistema de referência que estava em repus n éter. Da mesma frma, devems indagar nvamente qual crp u sistema de referência que está em repus n espaç. Antes de tud é precis esclarecer que entendems pr sistema de referência e repus. Um sistema de referência é aquele através d qual qualquer crp material pde ser lcalizad n espaç de frma precisa. Visualize, pr exempl, uma clina send que nas suas regiões mais baixas fram cnstruídas duas rdvias retas e que se cruzam em um determinad trech perpendicularmente. E dentre tds s pstes de iluminaçã que fram implantads nestas rdvias, existe um que é cmum a elas e está lcalizad justamente n cruzament. Supnhams que se queira fazer um mapa para a lcalizaçã de um bjet enterrad na clina. Uma pssível maneira de lcalizar este bjet n mapa seria cntar númer de passs d bjet até uma das rdvias, a caminhar perpendicularmente em relaçã a ela. E em seguida, cntar númer de passs até pste a andar paralel a esta rdvia. E pr fim, mede-se númer de palms n pste, d sl até a altura d bjet. O caminh invers d pste até bjet pderia ser realizad pr qualquer pessa que pssuísse mapa. Esta lcalizaçã é pssível prque se cnstruiu um sistema de referência: as duas rdvias, pste, númer de passs e palms. Pderíams aplicar este métd, na imaginaçã, para lcalizar qualquer bjet em algum lugar prlngand as extremidades das rdvias e d pste até infinit. Para fins matemátics, pdems assciar a esta nçã de sistema de referência um sistema de crdenadas cartesian. A nçã intuitiva de repus relativ é clara. Quand nã há mviment relativ entre dis crps dizems que eles estã em repus entre si. Entretant, vams definir uma utra espécie de repus. Para ist precisarems de um aparat experimental similar a interferômetr de Michelsn-Mrley (IM). Sabems que interferômetr de Michelsn-Mrley fi riginalmente prjetad para detectar mviment relativ entre éter e a Terra. É cnstituíd pr dis braçs lngs e perpendiculares que servem de suprte para caminh de um feixe de luz. Através de divisões, reflexões e diferenças de caminh deste feixe, pdem ser bservadas franjas de interferência em um antepar. O desvi destas franjas para um determinad valr pderia ser bservad cas huvesse mviment entre a Terra e éter. Pis se supunha que a luz prpagava-se neste mei cm uma velcidade definida e cnstante. Durante sécul XX, utrs interferômetrs fram prjetads, prém, após uma análise estatística ds dads bem acurada, tds estes experiments parecem nã ter prduzid resultad esperad. Cm sabems que as ndas gravitacinais se prpagam n espaç cm uma velcidade definida e cnstante igual a da luz, um aparat experimental também pderia ser prjetad para detectar mviment relativ entre a Terra e espaç. Pdems, pr exempl, denminar este aparat de interferômetr adaptad às ndas gravitacinais (IG). Cnseguims, agra, estabelecer cnceit de uma utra espécie de repus. Cnsiderems um sistema de referência qualquer, um IG e um bservadr em repus relativ na rigem deste sistema. Supnha que após a cleta ds dads deste IG, este bservadr cnstata um resultad nul ( IG 0). Iss significa que ele mediu uma velcidade igual a da luz para as ndas gravitacinais. Prtant, este sistema de referência está lcalmente em repus n espaç. Ou seja, pel mens em uma regiã indeterminada nas

5 vizinhanças d IG espaç nã pssui mviment neste sistema de referência. Denminarems este tip de repus de repus lcal. Pdems igualmente identificar repus glbal, u apenas, repus. É necessári clcar IG s em repus relativ n sistema de referência em tdas as psições pssíveis deste sistema. Se um bservadr situad na rigem a tratar s dads ds IG s cnstata um resultad nul ( IG ' s 0) para tds, entã este sistema de referência está em repus glbal. Chamarems um sistema de referência em repus glbal de Sistema de Referência em Repus n Espaç (SR). Evidentemente, a implementaçã prática desta definiçã é inviável. Pr iss, intrduzirems um pstulad mais adiante para a identificaçã de um SR. Sabend nde está um SR pr mei de um pstulad, pdems afirmar que um IG em repus relativ neste SR prduzirá um resultad nul. E ist qualquer que seja a psiçã d IG neste sistema. Cntrariamente, se um ds IG ' s 0 entrar em mviment neste sistema, seu resultad nã será nul; será dependente dessa sua quantidade de mviment. Cntud, para realizar qualquer medida dessa natureza em um sistema de referência, é necessári, antes, definir padrões para as medidas de cmpriment e temp. 4. Medidas de Cmpriment e Temp Para que pssams fazer medidas da psiçã de um crp material em td instante de temp é precis definir e estabelecer padrões de medida de cmpriment e temp em um sistema de referência. Pdems substituir s passs e palms que utilizams para marcar a psiçã d bjet na clina pr uma régua graduada, cuja unidade de medida seja metr. A invés de cntarms númer de passs e palms, clcams uma extremidade da régua nde estava a utra sucessivamente, d bjet até a rdvia, desta até pste e daí até a altura d bjet. Terems a final deste prcess três cmpriments u númers em metrs que darã a lcalizaçã unívca d bjet na clina. É clar que, matematicamente, assciams a este sistema de referência, cm este prcediment de medida de cmpriment, um sistema de crdenadas cartesianas cujas unidades sã dadas em metr. Pr utr lad, para estabelecerms um padrã de medida de temp em um sistema de referência inevitavelmente precisams antes esclarecer cnceit de simultaneidade. Devems entender de que maneira marcams temp para s events u acnteciments que crrem n espaç. Quand dizems que alg acnteceu às sete hras - a parada de um ônibus próxim a pste n cruzament das rdvias às sete hras, pr exempl - estams dizend que a parada d ônibus cincide cm a psiçã ds pnteirs d relógi, em sete hras, de um bservadr também nas vizinhanças d pste: dizems que sã events simultânes. Prém, este prcediment para a medida de temp só pde ser realizad para events que crrem nas vizinhanças d bservadr cm seu relógi de pnteirs. Para bservadres que estejam muit distantes d event saibam a que hras event crreu n relógi d bservadr próxim a event é precis que estes relógis estejam sincrnizads através de um prcediment de sincrnizaçã. Um exempl de prcediment de sincrnizaçã sã s fuss hráris. Alguém que esteja assistind n Brasil uma ntícia a viv n Japã pela televisã, sabe que estes acnteciments crrem lá cm dze hras de diferença devid as fuss.

6 Supnhams dis bservadres A e B, cada um cm seu relógi nas suas prximidades. Vams supr que A esteja sbre a superfície da Terra e B em alguma utra galáxia lngínqua, que pssa ser cnsiderada em repus em relaçã à nssa galáxia em escala universal. Pis a variaçã das psições relativas das galáxias em um cert períd de temp relativamente curt é insignificante em vista das grandes distâncias que as separam. Events que crrem nessa galáxia, cm pulss gravitacinais de pulsares, pdem ser medids cm um relógi próxim d bservadr B cm events simultânes as pnteirs d seu relógi. Estes pulss gravitacinais viajam n espaç à velcidade da luz e pdem ser detectads aqui na Terra. Devems sincrnizar relógi de A cm relógi de B através destas ndas, para que A pssa saber mment mais exat que puls crreu. Esta implementaçã de sincrnizaçã exige que bservadr A tenha cnheciment de qual é a medida da velcidade dessas ndas em um referencial em repus relativ a ele. Neste mment, devems fazer uma hipótese. Supnhams que sistema de referência em repus relativ a bservadr é um sistema de referência em repus n espaç (SR). Um bservadr sempre medirá uma velcidade c igual a da luz para as ndas gravitacinais neste sistema de referência. Em utras palavras, bservadr está em repus n espaç. E este deve ser únic pstulad que adtarems. Cntud, devems avisar vcê que nã farems nenhuma definiçã de bservadr. Pis nã estams ns referind a bservadr tal qual ele ns parece ser, mas estams ns referind a uma frma mais essencial de bservadr. Tmarems, prtant, bservadr cm um cnceit primitiv, u seja, é um cnceit que nã pde ser definid. Assim, se puls crre n instante t B medid n relógi de B, bservadr A deverá medir um temp t A = lb c + t B, após as ndas gravitacinais percrrerem uma distância l B até a nssa galáxia. O mment d event t B fica autmaticamente cnhecid pel bservadr A e dad pr t B = t A lb c. Iss significa que event crre em um temp l B c menr d que temp t A medid pel relógi d bservadr A. Dis events que crrem em psições distintas, l B e l C distantes de um bservadr A, ns instantes t B e t C medids pr relógis de bservadres B e C próxims a estes events, respectivamente, pdem nã ser simultânes, apesar de serem medids cm simultânes pel bservadr A. Para que eles de fat sejam simultânes devems ter t B = tc, u t AB t AC = ( lb lc ) c, nde t AB e t AC sã s temps medids pr A para s events B e C, respectivamente. Ou seja, para que s events sejam simultânes a diferença de temp entre eles medid pr A deve ser ( l B lc ) c. Daí vem que, se l B l C 0 entã ( lb lc ) c 0 resultand em t AB t AC. Prtant s events vizinhs pdem ser definids para terem l B l C 0 de frma que t AB t AC. Pr exempl, se bservadr A estiver a uma distância de 300 km da psiçã nde crreu puls, entã a leitura ds pnteirs d seu relógi pde ser cnsiderada simultânea a crrência d event pr errs da rdem de milisegunds. A detecçã se cnfunde cm a real crrência ds events. Psicinand sistema de referência de frma que bservadr esteja sempre na sua rigem, entã a cada pnt cm distância l da rigem d sistema de crdenadas assciad pdems relacinar um relógi que marca um temp t = t l c cm relaçã a temp t medid pel relógi d bservadr na rigem.

7 Pr que nã usams as ndas eletrmagnéticas para a identificaçã d sistema de referência em repus n espaç e para a sincrnizaçã de relógis? A respsta está n fat de que nã tems uma teria cnsistente nde s camps elétrics e magnétics sã vists cm prpriedades físicas d espaç. Estes camps, dissciads d espaç dessa maneira, ainda pde fazer pensar na existência de um éter luminífer estendid sbre espaç e carregadr das ndas eletrmagnéticas. Cm já relatams este éter luminífer pde ser própri espaç físic, mas vale ressaltar que ainda nã há uma identificaçã cmpleta. 5. Transfrmações de Crdenadas em Mviment de Translaçã Unifrme Tmems dis sistemas de referência O e O ' dtads de IG s, réguas e relógis idêntics, em mviment de translaçã unifrme relativs cm velcidade v. Pel Pstulad que adtams, se cnsiderarms um bservadr em repus em cada um ds sistemas de referência, entã estes sistemas de referência sã sistemas de referência em repus n espaç. Assim cada bservadr medirá uma velcidade igual a da luz para as ndas gravitacinais em relaçã a sistema de referência n qual ele está em repus. Assciems a cada um ds sistemas de referência O e O ' um sistema de crdenadas cartesianas S e S ', respectivamente, de frma que a especificaçã de um event em uma psiçã e instante de temp quaisquer em O e O ' sejam identificads pr x, y, z, t e x ', y', z', t' ns sistemas de crdenadas crrespndentes. Precisams determinar as relações entre as crdenadas cm linha e as crdenadas sem linha entre s dis sistemas. Supnd que espaç e temp sã hmgênes as equações que relacinam estas variáveis devem ser lineares [7]. Este argument se justifica bservand que, na ausência de frças externas, se n sistema S ' um crp descreve um mviment retilíne, n sistema S este mviment deve ser vist também cm um mviment retilíne. Adtems um psicinament relativ entre S e S ' de md que estes dis sistemas de crdenadas tenham seus eixs x e x ' cincidentes, além de y e y ' ( z e z ') serem paralels em td instante de temp. E assumams que n instante t = 0 medid em S, s dis sistemas sã cmpletamente cincidentes. Assim as seguintes equações sã equivalentes x' = 0 y' = 0 z' = 0 x = vt y = 0 z = 0 ( x vt = 0) Elas descrevem a rigem de S ' ns dis sistemas. Devid à linearidade das equações devems ter x' = a y' = by z' = cz ( x vt )

8 E Pstulad que fi feit mais acima frnece as seguintes equações para as ndas gravitacinais em S e S ' x + y + z x' + y' + z' = c = c t t' nde c é a velcidade dessas ndas ns sistemas S e S '. Dessas equações segue que t' = ϕ( v) β x' = ϕ( v) β y' = ϕ( v) y z' = ϕ( v) z ( t vx c ) ( x vt ) nde β = 1 1 v c. Para determinar a funçã ϕ (v), devems cnsiderar um utr sistema de crdenadas S se mvend em relaçã a S ' (e rientad cm S ' está em relaçã a S ) cm velcidade v. Assim S e S sã cincidentes e prtant t" = ϕ( v) ϕ( v) t x" = ϕ( v) ϕ( v) x y" = ϕ( v) ϕ( v) y z" = ϕ( v) ϕ( v) z Lg ϕ ( v) ϕ( v) = 1. Cm a relaçã entre y e y ' nã depende d sinal de v: ϕ ( v) = ϕ( v). Assim ϕ ( v ± ) = ± 1 e descartarems a sluçã cm sinal negativ bviamente. E, prtant, as equações de transfrmaçã de crdenadas sã t' = β x' = β y' = y z' = z ( t vx c ) ( x vt ) (1) Pdems substituir, crretamente, as grandezas cm linha pelas grandezas sem linha se a mesm temp invertems sinal de v. Dessa frma terems as crdenadas d sistema S dadas em terms das crdenadas d sistema S '.

9 6. Sistemas de Crdenadas em Mviment Circular Unifrme Tmems diverss sistemas de referência (e rígids) em repus relativ uns as utrs. Tds n mesm plan. Cm exempl, sejam estes referenciais fixs nas galáxias dispersas n Univers. E adtems, cm antes, que elas pssam ser cnsideradas em repus umas em relaçã às utras em vista de suas distâncias e velcidades relativas. Sejam tds estes referenciais rientads d mesm md, u seja, s eixs x, y, z de sistemas de crdenadas assciads sã paralels uns em relaçã as utrs. Cnsiderems apenas um destes sistemas de referência em mviment circular unifrme em relaçã as demais sistemas situads nas utras galáxias. Para que bservadres em repus ns demais referenciais galáctics pssam identificar e quantificar este mviment de rtaçã é precis que eles meçam algum event fix neste referencial. Seja este referencial O fix na galáxia e mvend-se junt cm ela em seu mviment circular e unifrme. Esclhams estes events para serem pulss gravitacinais cm lcalidade próxima à rigem d sistema de crdenadas assciad a referencial O em rtaçã. Seja um deles crrend n instante t A e utr n instante psterir t B, medid n relógi de um bservadr próxim as pulss gravitacinais. Um utr bservadr, em repus nas prximidades da rigem de qualquer um ds utrs referenciais, pde medir mviment de rtaçã d referencial O a identificar estes dis pulss nas prximidades da rigem d seu referencial O '. N instante t C ele identifica puls gravitacinal que parte das prximidades da rigem d referencial galáctic O n instante t A, radialmente para a direçã d seu referencial galáctic O '. E n instante psterir t D ele detecta utr puls gravitacinal que também parte das prximidades da rigem de O n instante t' B radialmente para seu referencial galáctic 3. Assim mviment de rtaçã d referencial O pde ser medid cm segue. Pel prcediment de sincrnizaçã adtad aqui, bservadr em O ' sabe que s events de fat crrem em t A = t C r C c e t' B = t' D r' D c ; nde r C e r' D sã as distâncias ds pnts de partida ds pulss até s pnts na prximidade da rigem d referencial O ' nde estes pulss sã medids ns instantes t C e t' D, respectivamente. Cm pdems sempre fazer r = r C = r D pr uma esclha cnveniente ds pnts de partida e chegada ds pulss, nde r é a distância das rigens destes sistemas assciads as referenciais galáctics O e O ', terems sempre t D t' C = t B t' A. Prtant, interval de temp entre s dis pulss medids em qualquer ds utrs referenciais é sempre mesm, pis ele é igual a interval de temp entre s instantes de partida ds pulss. Seja também θ ângul medid n referencial O ' definid pels pnts de chegada ds pulss ns instantes t C e t' D e a rigem d referencial O. A velcidade de rtaçã d referencial O pde ser definida em O ' para ser θ = θ t = θ ( t B t' A ) = θ ( t D t' C ), nde t = t' B t A. Chamarems θ de 3 Vale lembrar que as crdenadas cm linha se referem às crdenadas medidas n referencial ' O, enquant as crdenadas sem linha sã medidas n referencial O.

10 velcidade angular absluta, uma vez que θ e t pssuem mesm valr em tds s utrs referenciais galáctics, excetuand bviamente referencial O. Os dis pulss gravitacinais marcam dis pnts C e D n espaç ns seus events finais de chegada ns instantes t C e t D. Querems cmparar, agra, a medida de deslcament angular θ feita em O ' cm a medida de deslcament angular θ feita em O entre s mesms pnts C e D. Vams supr que deslcament angular θ, entre s pnts C e D, ds referenciais O ' em relaçã a referencial O é igual a deslcament angular θ definid pels mesms pnts cm vist d referencial O '. Ou seja, θ = θ. Os intervals de temp medids ns referencias O e O ' para s events em C e D sã, respectivamente, t e t. Cnsiderems que s deslcaments angulares θ e θ crrem nestes intervals cm medids em O e O '. Para deduzirms a relaçã entre eles devems cnsiderar utrs dis events. Sejam, agra, dis pulss gravitacinais lcalizads na rigem de O '. O primeir puls crrend n instante t e segund puls crrend n instante t '. Vams cnsiderar interval de temp entre primeir e segund puls cm send t t = t. E cm sabems, durante este interval de temp huve um deslcament angular θ de O ' em relaçã a O, cm medid em O '. Pdems cnsiderar mviment circular de O ', vist em O, cm um mviment de translaçã unifrme numa superfície cilíndrica simples. Dessa frma, é cm se mviment fsse um mviment de translaçã unifrme send realizad num plan (apêndice). Assim, para a deduçã da relaçã entre t e t cnsiderarems as equações de Lrentz que guardam a relaçã entre as crdenadas de dis referenciais em mviment de translaçã unifrme n plan. Cnsiderand a relaçã entre cilindr e plan e também as transfrmações de Lrentz, cm estes dis pulss crrem n mesm pnt d referencial O ', entã interval de temp t, medid em O, para deslcament angular θ 0, medid em O ', deve ser dad pr t t = () 1 v c nde v é a velcidade linear de rtaçã de O ', cm vist em O. Se θ é a velcidade angular, entã v = θ r ; nde r é a distância entre as rigens de O e O ', medidas em O. Cntud, este deslcament medid em O é θ ( = θ ). Prtant, a velcidade angular θ é btida dividind deslcament angular θ d referencial O ', cm vist em O, pel interval de temp t em que este deslcament crre. Dividind a expressã θ = θ pr t = β t, após uma pequena álgebra terems θ ± = ± θ θ r 1+ c (3)

11 Tmand sinal psitiv 4, vams prpr que esta seja a velcidade de rtaçã de O ' cm vist pel referencial O. Entã a velcidade linear de rtaçã das galáxias em relaçã a referencial O a uma distância r da rigem deste referencial é dada pr θ r v = (4) 1+ θ r c Esta distribuiçã de velcidades cm relaçã a distância r bviamente nã é válida para crps rígids extenss. a eix de rtaçã 7. Matéria e Energia Escuras Em meads d sécul XX, a explraçã d csms levu a algumas descbertas de fenômens que nã pdiam ser explicads cm as terias vigentes. Em 199, Hubble catalgu s dads de redshifts de algumas galáxias e descbriu que este desvi para vermelh aumentava cm a distância à nssa galáxia. Os dads usads pr Hubble nã excluíam, pr exempl, a pssibilidade de uma relaçã quadrática entre redshift (z) e a distância (R). Dads recentes cnfirmaram uma relaçã linear, cz = H R, entre estas duas grandezas, nde c é a velcidade da luz. O valr d parâmetr de Hubble H é estimad atualmente em trn de 73 km/s/mpc 5. Em 1933, Zwick a medir as velcidades radiais ( v r ) de it galáxias n aglmerad de Cma e estimar a dispersã de velcidades, σ r = < ( vr < vr > ) >, bteve um valr surpreendentemente elevad, prém, próxim as valres de medidas mais recentes. Valres medids atualmente estã em trn de 1000 Km/s. Devid a estas descbertas muitas terias têm sid frmuladas, intrduzind cnceits cm matéria e energia escura, cuja natureza física permanecem descnhecidas até hje [8]. Pela teria expsta aqui afirmams que estes efeits pdem ser explicads através de um únic fenômen: a rtaçã ds crps em relaçã a Sistema de Referência em Repus n Espaç. A curva de rtaçã plana das galáxias cnsiste na distribuiçã de velcidades tangenciais de seus crps rbitantes, desde s mais próxims até s mais distantes d seu centr, situads em uma regiã denminada hal da galáxia. Os crps situads n hal deveriam bedecer as duas leis de Newtn - sua segunda lei de mviment e sua lei de gravitaçã de md que suas velcidades seriam dadas pr u = GM r, (5) 4 A interpretaçã de θ, cm sinal negativ, crrespnde a sentid cntrári de rtaçã segund a cnvençã adtada. 5 1 Mpc (lê-se um megaparsec ) é uma unidade de medida astrnômica e crrespnde à distância de aprximadamente 3 10 metrs.

12 nde G é a cnstante gravitacinal de Newtn, M é a massa da galáxia e r é a distância d crp rbitante a centr da galáxia. Esta seria a curva esperada cm as leis clássicas. Prém, a velcidade angular de rtaçã em relaçã a SR que btivems é dada pela expressã (4). Devems cnsiderar dmíni de pequenas distâncias e/u velcidades θ 0 r / c << 1 para mviment rbital, u seja, limite newtnian. Neste limite identificams, cm auxíli da 3 equaçã (5), a velcidade angular θ 0 = GM / r. Entã, a curva de rtaçã em relaçã a SR esperada deve ser dada pela relaçã GM r u =, (6) 1+ GM r c que é uma relaçã que tende a um valr assintótic cnstante à medida que GM / rc vai se trnand muit mair que a unidade. O efeit d desvi da luz, quand esta passa próxima a um crp massiv, pde ser btid a partir da equaçã (6). Pis, cm esta espressã para a velcidade de um crp de massa m rbitand um utr crp de massa M >>m pdems determinar ptencial que prduz este perfil de velcidade. Em seguida, encntra-se a métrica a partir deste ptencial e, cnsequentemente, encntra-se também ângul de desvi da luz. Esta demnstraçã pde ser feita psterirmente, sem prejuíz para s fins deste trabalh. Pr utr lad, desvi para vermelh das galáxias distantes tem levad a frmulaçã de algumas hipóteses cm efeit da luz cansada e principalmente a recessã das galáxias culminand cm a teria d Big-Bang u versões mais recentes. Através de bservações de supernvas d tip Ia, cncluiu-se recentemente que, de fat, quant mair a distância das galáxias mair é desvi para vermelh. Cm já relatams, esta relaçã é dada pr cz = H R, (7) que é uma relaçã atualmente aceita para as galáxias distantes. Pela teria expsta aqui, a relaçã entre s intervals de temp entre dis pulss, medids em dis referencias dtads de um mviment circular unifrme entre si, é dada pela equaçã (). Entã a relaçã entre as freqüências medidas nestes referenciais é dada pel invers desta equaçã. E redshift z assciad as cmpriments de nda ds pulss deve ser dad pr z = 1 1 v c 1 Substituind a equaçã (4) na equaçã anterir, btems z = 1+ θ R c 1

13 Cnsiderand dmíni de grandes distâncias e/u velcidades θ R c >> 1, entã esta relaçã se trna quase exatamente linear. Cm auxíli da equaçã (7), pdems identificar θ = H de frma que terems z = 1+ H R c 1, (8) que é redshift das galáxias devid a seu mviment de rtaçã - cm um td - em relaçã a SR. Observe, agra, que R é a distância d centr da nssa galáxia a centr da galáxia de nde é prveniente redshift. Dessa frma, pdems clcar a rigem deste SR n centr da Via Láctea. Cm vems, redshift realmente aumenta cm a distância. Para distâncias da rdem de 1 Mpc, a relaçã é aprximadamente quadrática cz ( H c) R. Para distâncias bem maires, a relaçã vai tendend assintticamente para uma relaçã linear cz H R. Esclarecid que entendems pr matéria e energia escuras, passems à análise de um efeit que pdems denminar de valizaçã das galáxias. Das equações de transfrmaçã de Lrentz (1), vems que se tmams a medida de cmpriment entre dis pnts quaisquer n mesm instante de temp n sistema S, entã a relaçã entre este cmpriment e aquele medid n sistema S ' é dada pr d = 1 v c (9) d nde d é cmpriment medid em S ' e d é cmpriment medid em S. Intrduzind a identificaçã θ = H na relaçã (4), btems a velcidade de rtaçã das galáxias - cm um td - em relaçã a SR, situadas n plan da mesma v = H r 1+ H r c (10) Dessa equaçã, vems que mviment das galáxias - cm um td - em relaçã a espaç, vist da nssa galáxia, nã é nul. Cnseqüentemente, crre um achatament delas pr uma razã de d d, na direçã d seu mviment. Pderíams denminar este efeit de valizaçã das galáxias pr trná-las mais vais. Este efeit, vist pr um bservadr na nssa galáxia e mvend-se junt cm ela, dependeria da distância à galáxia na frma d 1 = d, 1+ H r c nde ainda utilizams a equivalência entre cilindr e plan para substituir a equaçã (10) na equaçã (9). Para uma galáxia situada n plan da Via Láctea a uma distância de aprximadamente 1 Mpc da mesma, efeit de valizaçã seria aprximadamente de

14 d d 0,9999. Para uma distância da rdem de 100 Mpc, efeit seria de 4 d d 0,9997. Para uma distância da rdem de 10 Mpc, terems d d 0, Ou seja, se uma galáxia situada n plan da Via Láctea a uma distância de aprximadamente 4 10 Mpc tem a frma de um disc circular n referencial nde ela está em repus, daqui da nssa galáxia diâmetr tangencial é aprximadamente quarenta pr cent menr que diâmetr radial 6. Pr fim, vale ressaltar que para uma relaçã mais precisa da velcidade ds crps rbitantes das galáxias, cm medids da nssa galáxia, cnsidere SR cm rigem n centr da Via Láctea. Devems cnsiderar efeit cmbinad da velcidade da galáxia - cm um td - em relaçã a este SR, equaçã (10), e a velcidade de rtaçã de seus crps rbitantes em relaçã a centr da galáxia em questã, equaçã (6). Para iss precisams de uma lei de cmpsiçã de velcidades para mviment circular unifrme, a qual nã derivams aqui. 8. Cnclusã A supsiçã estabelecida aqui de que sistema de referência em repus em relaçã a bservadr é um sistema de referência em repus n espaç precisa ser esclarecida para melhr ser entendida fisicamente. Pis a hipótese leva a crer que existem tants espaçs quant númer de bservadres. Tme, pr exempl, dis bservadres em mviment relativ. Td sistema de referência em repus em relaçã a um destes bservadres é um sistema de referência em repus n espaç. Sabems que IG s em repus neste sistema detectarã sempre uma velcidade igual a da luz para as ndas gravitacinais. Assim, bservadr também está em repus n espaç. Dessa frma, é cm se huvessem váris espaçs em superpsiçã cexistind. A cada bservadr existiria um espaç n qual ele está em repus. Esta interpretaçã seria de fat um absurd: seria cm se huvessem váris éteres cexistind, se superpnd e em ttal mviment relativ entre si. Devems assumir uma utra frma interpretativa. A nss ver, existe de fat apenas um únic espaç e nã váris espaçs superpsts. Prém, existe um sistema espaçtempral assciad a cada bservadr. Neste sentid, existem váris espaçs, mas nã se superpnd cm se pderia pensar. Cada bservadr nã percebe espaç d utr; espaç de um bservadr nã cexiste n espaç d utr bservadr. Embra estes espaçs nã sejam s mesms, é evidente que existe uma inter-relaçã entre eles, uma vez que se um bservadr realiza medidas de um determinad bjet em seu espaç, entã um utr bservadr n seu própri espaç realiza medidas também d mesm bjet. Para estabelecerms uma cmparaçã entre Princípi de Relatividade e Pstulad adtad aqui devems fazer us principalmente de suas interpretações físicas. Pis interpretações físicas diferentes permitem entender s fenômens de frma também diferentes. Muitas vezes permitem derivar resultads que nã pderiam ser vists cm interpretações anterires. Cm é cas neste trabalh. Fi pssível até mesm derivar equações para entender, à luz de nvas interpretações, as denminadas matéria escura e energia escura. Também fi pssível fazer previsões. Um interferômetr de Michelsn- 6 Diâmetr tangencial é seu diâmetr na direçã d seu mviment circular em relaçã a nssa galáxia. O diâmetr na direçã radial à nssa galáxia é diâmetr radial.

15 Mrley adaptad às ndas gravitacinais (IG) em mviment relativ a um bservadr prduziria um resultad nã nul para este bservadr. As galáxias sã achatadas na direçã d seu mviment em relaçã a um bservadr n referencial da nssa galáxia. E as equações de Lrentz também puderam ser derivadas. O Pstulad que adtams aqui é mais ampl. Os resultads btids cm princípi de relatividade através da teria da relatividade especial também sã válids aqui. E tda a interpretaçã decrrente das transfrmações de Lrentz cm dilataçã tempral, cntraçã espacial e a nçã de simultaneidade. A diferença fundamental entre s dis pstulads é que primeir intrduz a existência de uma infinidade de espaçs e temps. Um espaç e temp assciad a cada bservadr. Este pde ser cnsiderad aspect interpretativ mais relevante da teria que delineams aqui. Na teria de Einstein supõe-se a existência de apenas um espaç e temp para tds s bservadres. Este trabalh nã pretende ser vist cm alg extremamente técnic, n sentid de que seus valres numérics devam ser esperads à risca, uma vez que utrs efeits pdem estar presentes. Vale ressaltar que ns resultads que envlvem valres numérics, cnsiderams apenas mviment n plan da nssa galáxia. As idéias aqui prpstas pderã ser desenvlvidas. 9. Apêndice a. Dilataçã d temp em referenciais cm translaçã unifrme Supnha um bservadr O ' que translada em relaçã a um utr bservadr O cm velcidade cnstante. E assciems a cada um destes bservadres um sistema de crdenadas cartesianas. Pdems agra trabalhar apenas cm estes sistemas de crdenadas cartesianas que transladam um em relaçã a utr cm velcidade cnstante. Pel Pstulad, adtad aqui, as ndas gravitacinais se prpagam em relaçã a cada referencial cm velcidade cnstante e definida c. Cm referencial O ' está cm velcidade cnstante v em relaçã a referencial O, pdems cmparar as trajetórias das ndas em cada referencial e equaciná-las cm segue. Figura 1: Observadr bservadr O. N referencial O ' em mviment de translaçã unifrme cm velcidade v em relaçã a um utr O ', cnsiderems um puls gravitacinal que percrre segment de

16 reta A B reflete em B e vlta pel mesm trajet B A A B de cmpriment b. Este segment pde ser btid em funçã da velcidade c d puls e d interval de temp t0. Este interval de temp t0 crrespnde a temp transcrrid n referencial O ' durante percurs d puls n segment de cmpriment b. Assim btems b = c t0. N referencial O, puls é vist percrrer segment AB refletir em B e depis prsseguir pel segment BC de mesm cmpriment que AB e igual a a, cm velcidade cnstante c. O temp transcrrid n referencial O durante percurs d puls n segment de cmpriment a é t. Em terms da velcidade c d puls e d interval de temp t tems a = c t. Enquant ist referencial O ' transladu segment AC de cmpriment d cm velcidade cnstante v n interval de temp t. Assim d = v t. Pdems aplicar terema de Pitágras sbre s cmpriments a, b e d btend a relaçã a = b + d. De nde encntrams a relaçã cnhecida entre s intervals de temp transcrrids ns dis referenciais t = t 0 1 v c u t = β t 0 Esta é a dilataçã tempral encntrada na relatividade especial. Na próxima seçã deduzims esta mesma relaçã a cnsiderar um referencial que está em rtaçã, e cm velcidade angular cnstante, em relaçã a um utr referencial. b. Dilataçã d temp em referenciais cm rtaçã unifrme Cnsiderems, agra, referencial O ' em rtaçã unifrme em relaçã a referencial O cm uma velcidade angular cnstante θ, cm vista em O. Observams a trajetória de um puls gravitacinal analgamente a cas anterir. O puls, cm vist em O ', parte d pnt H cm velcidade c, percrre a distância f d segment ret H F e reflete em F vltand pel mesm caminh até atingir H nvamente. Este percurs é realizad n interval de temp t0. Assim pdems fazer f = c t0. Cntud, n referencial O puls parte de E, percrre a distância e d segment EF, reflete em F seguind segment FG cuj cmpriment é mesm de EF e igual a e. O interval de temp durante este trajet é t. Entã pde ser feit e = c t. Enquant iss, referencial O ' percrre a distância g cm velcidade linear v = θ r, cm vist em O, nde r é rai da órbita circular. Este deslcament é transcrrid n interval de temp t. Lg cmpriment g é dad pr g = v t.

17 Figura : Observadr O ' em mviment de rtaçã unifrme cm velcidade angular θ em relaçã a um utr bservadr O. Pr ismetria [9], pdems transfrmar s segments curvilínes deste cilindr em retas n plan. Cm exemplificad na figura abaix, seria equivalente a defrmar a flha cilíndrica em uma flha plana. Inversamente, esta experiência pde ser elucidada a desenhar em uma flha de papel plan um triângul. Em seguida, dbrand-a pde ser vista uma figuraçã parecida cm desenh à esquerda. Figura 3: Ismetria entre cilindr e plan. Retas n plan pdem ser transfrmadas em curvas n cilindr e vice-versa. Usand terema de Pitágras entre s cmpriments e, f e g btems a relaçã e = f + g. Nestas retas, btems a mesma relaçã tempral que já btivems n mviment retilíne e unifrme. Após uma pequena álgebra vem que t = t 0 1 v c u t = β t 0

18 A ismetria entre cilindr e plan pde guardar ainda mais relações entre mviment circular e mviment retilíne unifrme. Agradeciments Agradecems a Waldyr A. Rdrigues, Jr. e André K. T. Assis pelas discussões e sugestões. Agradeç ainda a api financeir da Fapemig. Referências [1] R. A. Martins, Revista Brasileira de Ensin de Física 7, 11 (005). [] A. A. Michelsn e E. W. Mrley, American Jurnal f Science 34, 33 (1887). [3] Albert Einstein, Ether and the Thery f Relativity, In: University f Leyden, (190). [4] Ludwik Kstr, Einstein s new cnceptins f the ether, In: University f Gdansk. [5] Russell A. Hulse, Nbel Lectures, 48 (1993). [6] Jseph H. Taylr Jr., Nbel Lectures, 73 (1993). [7] A. Einstein, Revista Brasileira de Ensin de Física 7, 37 (005). [8] I. Waga, Revista Brasileira de Ensin de Física 7, 157 (005). [9] Manfred Perdigã d Carm, Elements de Gemetria Diferencial, Editra Universidade de Brasília, IMPA, Ri de Janeir, ed. 1, (1971).