N o. Grau de Instrução 2 0 grau. No de filhos -

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1 Tabela 1.1 Informação do estado civil, grau de instrução, número de filhos, idade e procedência de 36 funcionários sorteados ao acaso da empresa MB.(Bussab e MoreCn) N o Estado Civil Solteiro Casado Casado Solteiro Solteiro Casado Solteiro Solteiro Solteiro Casado Casado Solteiro Solteiro Casado Casado Solteiro Casado Casado Solteiro Solteiro Casado Solteiro Solteiro Casado Casado Casado Solteiro Casado Casado Casado Solteiro Casado Casado Solteiro Casado Casado Grau de Instrução 1 0 grau 1 0 grau 1 0 grau 2 0 grau 1 0 grau 1 0 grau 1 0 grau 1 0 grau 2 0 grau 2 0 grau 2 0 grau 1 0 grau 2 0 grau 1 0 grau 2 0 grau 2 0 grau 2 0 grau 1 0 grau Superior 2 0 grau 2 0 grau 2 0 grau 1 0 grau Superior 2 0 grau 2 0 grau 1 0 grau 2 0 grau 2 0 grau 2 0 grau Superior 2 0 grau Superior Superior 2 0 grau Superior No de filhos Salário (X Sal. Min) 4,00 4,56 5,25 5,73 6,26 6,66 6,86 7,39 7,44 7,59 8,12 8,46 8,74 8,95 9,13 9,35 9,77 9,80 10,53 10,76 11,06 11,59 12,00 12,79 13,23 13,60 13,85 14,69 14,71 15,99 16,22 16,61 17,26 18,75 19,40 23,30 Idade anos meses Região de procedência Interior Capital Capital Outro Outro Interior Interior Capital Outro Capital Interior Capital Outro Outro Interior Outro Capital Outro Interior Interior Outro Capital Outro Outro Interior Outro Outro Interior Interior Capital Outro Interior Capital Capital Capital Interior 1

2 Organização e Interpretação de Dados Tabelas de frequências e gráficos são algumas formas de se organizar e resumir as informações contidas nos dados. Tabela de freqüências:: relaciona categorias (ou classes) de valores, juntamente com contagens (ou frequências) do número de valores que se enquadram em cada categoria ou classe. Elementos gráficos: ajudam na visualização das principais características dos dados Medidas resumo: Medidas de posição, dispersão, assimetria e curtose 2

3 Esta9s:ca Descri:va 3

4 Tipos de Variáveis Variável Qualquer característica associada a uma população Classificação de variáveis Qualitativa { Nominal Ordinal sexo, cor dos olhos Classe social, grau de instrução Quantitativa { Discreta Número de filhos, numero de carros Contínua Peso, altura, salário 4

5 Tabelas de Frequências e Gráficos 5

6 1. Variáveis qualitahvas: Tabela de freqüências de classificação; representação gráfica mediante gráfico de barras ou colunas, gráfico setorial/forma de pizza. f i 33,3% :Frequência absoluta da categoria i (número de indivíduos que pertencem à categoria i f ri = f i : Frequência relativa da categoria i n f = f *100% : Frequência relativa percentual da categoria i % i ri r Tabela de freqüência: Grau de instrução Grau de instrução 1o Grau 2o Grau Superior total f i n=36 f r f % i ri 0,3333 0,5000 0,1667 1, % 16.7% 100% 6

7 Gráfico de Barras 7

8 Diagrama de Setores D i a g r a m a c i r c u l a r p a r a a v a r i a v e l g r a u d e i n s t r u ç ã o 1 o G r a u ( 3. 3 %) Diagrama circular para a variável grau de instrução Superior 17% 1o Grau 33% 2 o G r a u ( %) S u p e r i o r ( %) 2o Grau 50% Diagrama circular, de setores ou em forma de pizza 8

9 Medidas de Tendência Central (ou de Posição) 9

10 Medidas de Tendência Central Em geral, podem ser interpretadas como o ponto ao redor do qual os dados são distribuídos Algumas medidas de posição (tendência central): ü Média ü Mediana ü Moda ü PercenHs 10

11 Média e Mediana Média: X X1 + X 2 +! + n X n i= 1 = = n n X i Exemplo: Considere a variável salário dos funcionários. Mediana: X Md 4,0 + 4, ,71 = = 36 ~ : X = x + x ( n / 2) x 2 n+ 1, 2 ( n / 2+ 1), 400,4 36 se se n é n é = 11,12 par; ímpar Exemplo: Variável Salário, n=36, Md=(x (18) +x (19) )/2 = (9,8+10,53)/2=10,16 11

12 Média e Mediana (2) 12

13 Média e Mediana (3) Valores appicos (muito grandes ou muito pequenos) causam variações na média; Em geral, a mediana não é afetada da mesma forma; A mediana é uma medida mais robusta (menos afetada por valores appicos) 13

14 Média vs Mediana Média ü Fácil de se manipular algebricamente; Mediana ü DiWcil de se manipular algebricamente; ü Representa o centro de massa dos dados (ponto de equilíbrio no histograma); ü Afetada por valores extremos. ü Valor da posição central dos dados ordenados; ü Não é afetada por valores extremos. 14

15 Média vs Mediana (2) Para distribuições muito assimétricas, a mediana é uma medida mais apropriada para caracterizar um conjunto de dados. Se a distribuição é aproximadamente simétrica, então média e mediana são aproximadamente iguais. ü Em distribuições perfeitamente simétricas, média = mediana. 15

16 Percen:s Percentil: P 100p (0<p<1) * Pelo menos 100p% dos dados não excede P 100p. P 100 p = x (np) + x (np+1), se np é inteiro; 2, caso contrário. x np [ ]+1 ( ) Exemplo: Considere a variável salário dos funcionários. x(18) + x(19) 9,8 + 10,53 Mediana = P50 = = = 10,17 ( np = 36 0,5 = 18) 2 2 x(9) + x(10) 7,44 + 7,59 Q1 = P25 = = = 7,51 ( np = 36 0,25 = 9) 2 2 x(27) + x(28) 13, ,69 Q3 = P75 = = = 14,27 ( np = 36 0,75 = 27) 2 2 P30 = x([10,8] + 1) = x(11) = 8,12 ( np = 36 0,3 = 10,8) 16

17 Quar:s Dividem o conjunto de dados em 4 partes iguais ü 1º Quar:l (Q 1 ): Ao menos 25% dos dados estão abaixo ü 2º Quartil: É a mediana ü 3º Quar:l (Q 3 ): Ao menos 75% dos dados estão abaixo 17

18 Decis São 9 medidas que dividem a distribuição em 10 intervalos de mesma freqüência (10%): ü D 1 : primeiro decil à P 10 ü D 2 : segundo decil à P 20 ü D 3 : terceiro decil à P 30 ü etc. 18

19 Moda É o valor mais freqüente da distribuição. No histograma, a classe modal é a classe de maior freqüência e a moda é aproximada pelo ponto médio da classe. Uma distribuição pode não possuir moda ( achatada ). Uma distribuição pode possuir mais de uma moda (mulhmodal). Uma distribuição pode possuir apenas uma moda (unimodal). 19

20 Distribuição Uniforme 20

21 Distribuição Mul:modal 21

22 Medidas de Posição Distribuições Simétricas média = mediana = moda 22

23 Medidas de Posição Distribuições Assimétricas à Direita média > mediana > moda 23

24 Medidas de Posição Distribuições Assimétricas à Esquerda média < Média mediana Mediana < moda Moda 24

25 Distribuições Bimodais média = mediana moda 25

26 Média, Moda e Mediana Exemplo: Considere as notas de um teste de 3 grupos de alunos: Grupo 1: 3,4,5,6,7; Grupo2: 1,3,5,7,9; Grupo 3: 5,5,5,5,5. G1 G G3 5 Temos: x 1 = x 3 = x 3 = 5 Md 1 = Md 3 = Md 3 = 5 26

27 Medidas de Dispersão 27

28 Medidas de Dispersão Informações importantes sobre os dados: ü Valor em torno do qual os dados se concentram ü Valor do grau de dispersão dos dados Medidas de dispersão mais comuns: ü Amplitude amostral ü Variância amostral (Desvio-padrão amostral) ü Coeficiente de Variação ü Distância interquarplica 28

29 Amplitude Amostral - r É a mais simples das medidas de dispersão; É definida como: r= valor máximo valor mínimo; Desvantagem: ü Omite toda a informação entre o mínimo e o máximo; ü Em geral, quando n < 10, essa perda de informação não será muito séria. 29

30 Construção de uma Medida de Dispersão ( x i x) Quanto maior a variabilidade dos dados, maior o valor absoluto de alguns desvios Valor absoluto complica o tratamento matemáhco A soma dos desvios é zero Uma solução: considerar o quadrado dos desvios 30

31 Variância Amostral É a média dos desvios quadráhcos em relação à média: 1 n 2 2 s = ( x i x) n 1 i= 1 Tem unidade diferente dos dados; Por questões técnicas (inferência), adota-se n-1 no denominador da média; Torna-se um melhor eshmador. 31

32 Desvio-padrão Amostral (s) É a raiz quadrada da variância amostral ü A unidade de medida é a mesma dos dados 32

33 Coeficiente de Variação (CV) F É uma medida de dispersão relativa; F Elimina o efeito da magnitude dos dados; F F Exprime a variabilidade em relação a média Útil Comparar duas ou mais variáveis S CV = 100% X 33

34 Exemplo Medidas de Dispersão Variância Amostral: S 2 = n i= 1 ( X i n 1 X ) 2 = n i= 1 X 2 i nx n 1 2 Exemplo: variável salário S 2 = (4 11,12)2 + (4, 56 11,12) (23,33 11,12) = 21, 04 Desvio padrão Amostral: S = S 2 = 21,04 = 4, 49 Coeficiente de Variação: CV = S X 4, % = 100% = 41, 25% 11,12 34

35 Exemplo: Altura e peso de alunos Variável Média Desvio padrão Coeficiente de variação Altura 1,143m 0,063m 5,5% Peso 50Kg 6kg 12% Conclusão: A variabilidade do peso dos alunos é aproximadamente duas vezes maior do que a variabilidade da altura, em relação à média. 35

36 Distância Interquar9lica ü Medida de variabilidade dada por ü Menos sensível a valores extremos que a amplitude e a variância (desvio-padrão) ü É uma medida um pouco mais refinada que a amplitude amostral. 36

37 Variáveis Quan:ta:vas Discretas ü Organizam-se mediante tabelas de frequências, e a representação gráfica é mediante gráfico de barras. Exemplo: Considere a variável número de filhos dos dados da tabela 1. Tabela 2.1:Distribuição de frequências dos funcionários da empresa, segundo o número de filhos Número de Filhos (X i ) Número de Funcionários (f i ) % de Funcionários (f ri %) Total

38 Exemplo Diagrama de Barras Observação: A partir da tabela 2.1 podemos recuperar as 20 observação da tabela 1.1, ou seja, aqui não temos perda de informação dos dados originais % Mo=2 % d e f u n c i o n á r i o s % 2 5 % 1 5 % 5 % N ú m e r o d e f i l h o s 38

39 Exemplo Nº de filhos Determinação das medidas de posição e medidas de dispersão para variáveis quantitativas discretas, agrupadas em tabelas de frequências: Média: X = X 1 f1 + X 2 f 2 +! + n Exemplo: Considere a tabela 2.1 e determine a média de filhos dos funcionários X = = = 1, Mediana: Dados ordenados: X k f k = k i= Md = (2+2)/2=2 X n i f i 39

40 40 Variância: 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( = = = n f X X n f X X f X X f X X S k i i i k k! S 2 = 4(0 1, 65)2 + 5(1 1, 65) 2 + 7(2 1, 65) 2 + 3(3 1, 65) 2 + (5 1, 65) 2 19 = 16, = 0, Cálculo da variância para os dados da tabela 2.1 Desvio padrão: 0,927 0, = = = S S Exemplo Nº de filhos (2)

41 Gráficos para Variáveis Con9nuas 41

42 Gráfico Ramo-e-Folhas Dados são agrupados preservando quase toda a informação numérica Adequado para representação de conjunto de dados de 15 a 150 valores, aproximadamente 42

43 Exemplo: Peso Ramos folha representa um único dígito ü 60,5 kg è 6 0 Folhas cada linha: folhas 0, 1, 2,..., 9 1ª. linha: folhas 0, 1, 2, 3, 4 2ª. linha: folhas 5, 6, 7, 8, 9 43

44 Exemplo Ramo e Folhas Representar os valores: Suponha que queremos dividir cada número após o 2º. dígito: 220 = 22 0 Procedimento: ü Ramos do gráfico ü Adicione 220 ao gráfico ü Adicione 214 ao gráfico ü Adicione demais números ü Ordene as folhas No exemplo: intervalo de classes =

45 Expandindo o Gráfico Folhas 0, 1, 2, 3, 4 em uma linha Folhas 5, 6, 7, 8, 9 na seguinte Valores:

46 Informe de Unidades Unidades 8 3 = = Unidades 8 3 = 0, = 0,097 46

47 Comentários Um gráfico ramo-e-folhas com menos de 5 ramos ahvos é altamente não-informahvo; Em geral, não se usa mais que 10 a 15 ramos ahvos; Regras práhcas e definihvas são improduhvas ü gráficos de comprimentos diferentes podem transmihr informações diferentes 47

48 Ramo e Folhas variável Salário Unidade: 14,5 = 14 5 Valores concentrados entre 4 e 19 Leve assimetria na direção dos valores grandes (assimétrica à direita) Destaque do valor está muito espalhado. FAZER agrupando de 2 em 2 unidades (4-5, 6-7, etc.) 48

49 Comparação entre Grupos de Dados Stem-and-Leaf Display: grupo_1 Stem-and-Leaf Display: grupo_4 Stem-and-leaf of grupo_1 N = 10 Leaf Unit = 0,10 Stem-and-leaf of grupo_4 N = 10 Leaf Unit = 0,10 (10) Stem-and-Leaf Display: grupo_2 Stem-and-leaf of grupo_2 N = 10 Leaf Unit = 0, Stem-and-Leaf Display: grupo_3 Stem-and-leaf of grupo_3 N = 10 Leaf Unit = 0, (2) Stem-and-Leaf Display: grupo_5 Stem-and-leaf of grupo_5 N = 10 Leaf Unit = 0, (4) (4)

50 Histograma CaracterísHcas da forma do histograma: ü número, largura e altura dos retângulos Retângulos conpguos: ü eixo abcissas (x): base correspondente ao intervalo de classe ü eixo das ordenadas (y): altura correspondente à freqüência (ou porcentagem) do intervalo de classe Usado para representação gráfica da distribuição de variáveis conpnuas ü São parecidos com os gráficos de ramo-e-folhas 50

51 Exemplo: Peso Em geral, uhlizam-se de 5 a 15 faixas com mesma amplitude 51

52 Histograma - Construção Objetivo: Construir uma tabela de frequências de uma variável contínua, dividindo a amplitude dos dados em partes iguais (classes) Procedimentos: 1. Calcular a amplitude amostral: R=máximo da amostra mínimo da amostra; 2. Calcular o número de intervalos (classes): k= (pode ser também log(n) ou *log 10 (n) (Fórmula de Sturges)); 3. Calcular o tamanho (amplitude) da classe: h=r/k 4. Arredonda-se h para algum valor acima. Exemplo: Se h=3,12666, pode-se adotar h=3,2 ou 3,5 (use o bom senso!). 5. Calcule os intervalos de classes: I 1 : LI 1 --LS 1 = Mínimo(Amostra) -- Mínimo + h; I 2 : LI 2 --LS 2 = LS 1 -- LS 1 +h (= LI 1 +2h) I 3 : LI 3 --LS 3 = LS 2 -- LS 2 +h (= LI 1 +3h) Calcular o nº de observações que caem em cada intervalo. 7. Altura do retângulo acima de um intervalo de classe é igual à frequência (absoluta ou percentual) 52

53 Itens da Tabela de Frequência do Histograma CLASSE Li Ls h = Ls-Li ESTATURA DAS MENINAS DESTA SALA ESTATURAS (cm) FREQUÊNCIA TOTAL 40 FONTE: Novaes, AT = Ls max-limin Ponto médio = (Ls Li)/2 53

54 Histograma Comparações Histograma de frequência relahva: Altura do retângulo = frequência relahva do intervalo; Conveniente para comparar histogramas baseados em amostras de tamanhos diferentes. MoHvo: aspectos principais captados no histograma: formato geral e área dos retângulos Se intervalos de classe são iguais, essas áreas são proporcionais às frequências 54

55 Exemplo: Peso por Sexo 55

56 Histograma - formato Formato do histograma depende: ü largura escolhida para os intervalos de classe ü posicionamento dos extremos dos intervalos de classe Histograma original (largura do intervalo = 10) Largura de intervalo modificada (largura do intervalo = 5) 56

57 Histograma - limites Mesmas larguras, limites diferentes (largura do intervalo = 5) 57

58 Histograma de Densidade Área de cada retângulo representa a frequência relahva do intervalo de classe correspondente; ü Soma das áreas de todos os retângulos = 1 (100%). Densidade de frequência: altura do retângulo!"#$%&'&" =!"#$%ê!"#$!!"#$%&'$!"#$%&'()!!"!!"#$%&'()! O histograma de densidade não fica distorcido quando ele é construído com intervalos de amplitudes diferentes. 58

59 Exemplo: Peso de Estudantes Evitou distorção do intervalo entre 80 e

60 Exercício - Histograma ü Construa o histograma e o gráfico de ramo e folhas dos dados de altura de n=100 indivíduos. ü Passos para o histograma: Amplitude (r), nº de classes (k), tamanho da classe (h), intervalos de classe e frequências. 60,9 62,5 63,0 63,2 63,4 64,2 65,0 65,0 65,2 65,3 65,5 66,0 66,2 66,4 66,5 66,8 66,8 66,9 67,2 67,2 67,2 67,4 67,8 67,8 67,9 67,9 68,0 68,0 68,2 68,4 68,5 68,5 68,6 68,7 68,9 69,0 69,2 69,2 69,2 69,3 69,3 69,3 69,4 69,5 69,5 69,6 69,7 69,8 69,8 69,9 69,9 69,9 70,0 70,0 70,0 70,1 70,2 70,2 70,3 70,4 70,5 70,7 70,7 70,8 70,8 70,8 70,9 71,0 71,0 71,1 71,1 71,2 71,3 71,3 71,3 71,4 71,5 71,7 71,8 72,0 72,6 72,7 72,8 72,8 72,8 72,8 73,0 73,0 73,1 73,2 73,6 73,7 73,7 73,8 74,6 74,8 74,8 75,0 76,1 76,7 60

61 Interpretação de Gráficos de Ramo-e-Folhas & Histograma Em uma análise gráfica procuramos idenhficar: ü PADRÃO GLOBAL nos dados ü Desvios acentuados em relação ao mesmo Importante: Não perceberemos padrões nos dados se houver um número muito pequeno ou muito grande de intervalos de classe Procuramos uma impressão geral suavizada (não reagimos a pequenas subidas ou descidas) 61

62 Valores A9picos (Outliers) Procuramos por observações que estejam bem afastadas da maioria dos dados Observações discrepantes (outliers) Analisar estas observações com mais cuidado Porque razão são tão diferentes? Está ocorrendo algo incomum ou interessante? São erros? 62

63 Existência de Mais de Um Pico üpicos são chamados Modas üquando há apenas um pico, a moda representa o valor (ou classe) mais popular üpresença de diversas modas é indicador de grupos dishntos de dados üem geral, deve-se inveshgar os mohvos de mulhmodalidade 63

64 Valores Centrais e Dispersão Observar: ü Onde os dados parecem estar centrados ü Quão espalhados estão os dados ü Posição das modas (caso de mulhmodalidade) 64

65 Mudanças Abruptas üsuspeite de mudanças abruptas ütente estabelecer suas causas 65

66 Forma da Distribuição O gráfico parece ser aproximadamente simétrico? O gráfico apresenta assimetria moderada? O gráfico apresenta assimetria extrema? 66

67 Forma da Distribuição (2) A envoltória do gráfico tem aproximadamente forma de sino? ou tem forma exponencial? 67

68 Forma da Distribuição (3) Usualmente, técnicas estapshcas formais preferem trabalhar com um histograma simétrico com forma de sino A forma do histograma pode sugerir uma função matemáhca cuja curva se ajusta bem ao histograma 68

69 Forma da Distribuição (4) CaracterísHcas a serem procuradas nos histogramas: Fonte: Wild, C.J & Seber, G.A Encontros com o Acaso, LTC,

70 Polígono de Freqüências Construído a parhr do histograma Segmentos de retas unindo as ordenadas dos pontos médios de cada classe Assim como o histograma, serve para visualização da forma da distribuição de freqüências da variável 70

71 Exemplo Polígono de Frequência 71

72 Distribuição de freqüência: Variável Salário K= =6 R=23,3-4=19,3 h=r/k=3, ,5 Pontos médios: ( 4, , 5) X 1 = = 5, 75; X 2 = X 1 + h = 9,25, X 3 = X 2 + h =12, 75,... 2 Tabela 2.2: Distribuição de freqüências da variável salário. i Intervalos de Classe Ponto Médio (X i ) Freq. Absoluta (f i ) Freq. Relativa (! "# ) Freq. Acumulada Absoluta (F i ) Freq. Acumulada Relativa ($ "# ) 1 4,0 --7,5 5,75 9 0, , ,5 --11,0 9, , , ,0 --14,5 12,75 7 0, , ,5 --18,0 16,25 6 0, , ,0 --21,5 19,75 2 0, , ,5 25,0 23,25 1 0, ,000 Total 36 1 Nesta organização de dados, temos perda de informação dos dados originais 72

73 Histograma - Salário Histograma de Salário Freq. Absoluta ,5 7, ,5 14, ,5 21, Faixas de Salário 73

74 Comparando Histogramas Freq. Rela:va e de Densidade 0,35 0,3 Histograma da variável Salário Freq. Relativa 0,25 0,2 0,15 0,1 0, ,5 7, ,5 14, ,5 21, Faixas de Salário Histograma da variável Salário Densidade 0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, ,5 7, ,5 14, ,5 21, Faixas de Salário 74

75 Histograma de freqüência acumulada percentual Freq. Percentual Acumulada 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Histograma de Salário 4 --7,5 7, ,5 14, ,5 21, Faixas de Salário 56% dos empregados têm salário inferior a 11 salários mínimos 8% possuem salários superiores a 18 salários mínimos 75

76 Medidas de Posição e Dispersão para Dados Agrupados 76

77 Cálculo da Média para Dados Agrupados Média: X = X 1 f1 + X 2 f 2 +! X n k f k = k i= 1 X n i f i Exemplo: Dados de Salário agrupados 5, , , , , X = ,0 = = 11, ,25 1 Dados de Salário não-agrupados X = X 1 + X 2 +! + X = 4 + 4,36 +! ,30 = 11,12 A média dos dados agrupados é bem próxima da média dos dados originais! 77

78 Cálculo da Moda para Dados Agrupados Moda: d1 mo = LIi + h d d i : Classe modal (éaquela classe que tem maior frequência absoluta LI d d 1 2 i :é o limite inferior da classe modal. = = f f i i f i 1 f i+ 1 h : comprimento do intervalode classe. Exemplo: Considere a tabela 2.2. f = 11> f j j 2 i =2, é a classe modal 2 (f i )) mo d = LI 2 + h = 7,5 + 3,5 = 8,67 d1 + d2 (11 9) + (11 7) 78

79 Cálculo da Mediana para Dados Agrupados i :é a Mediana (Md) Md n / 2 F i 1 = LI + f i i classe médiana (éo intervalode classe acumulada superou 50% dos dados) LI F f i-1 i i : Limite inferior da classe mediana. :é a frequência acumulada absoluta da classe :frequência absoluta da classe mediana. h : comprimento do intervalode classe. h onde a frequencia anterior à classe mediana Exemplo: Considere a tabela 2.2 Já que, F 2 = 20 > 18= n / 2 i =2, é a classe mediana Md n / 2 F = LI 2 + h = 7,5 + 3,5 = 10,36 f

80 Exemplo Moda, Média e Mediana para dados Agrupados Histograma da variável Salário Freq. Relativa 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, ,5 7, ,5 14, ,5 21, Faixas de Salário Moda Mediana Média 80

81 Variância e Desvio-Padrão para Dados Agrupados k ( X X ) f i i Variância: 2 i= 1 S = n 1 Exemplo: Considere a tabela 2.2. Vimos que X =11, 19 6 f i Intervalos de fi X i X classe 1 4,0 --7,5 5, ,78 2 7,5 --11,0 9, , ,5 12, , ,5 --18,0 16, , ,0 --21,5 19, , ,5 --25,0 23, ,34 Total ,22 ( X X ) 2 2 X i f i ( ) 2 i i 2 i= 1 770,39 S = = = 22,01 S = 4,69 (Desvio Padrão) Variância dos dados não agrupados: 21,04 (Desvio-padrão: 4,59) A variância para os dados agrupados é bem próxima da variância dos dados originais! 81

82 Exercício Dados Agrupados de Peso ü A variável peso (n=50 observações) apresenta as seguintes medidas de posição e de dispersão: ü Média=60,78; Mediana=58; Variância=148,01 e Desviopadrão=12,17. ü Calcule as medidas de posição e de dispersão para os dados agrupados da variável peso, segundo a tabela abaixo: i Intervalos de Classe Ponto Médio Freq. Abs. Freq. Relat. Freq. Acum. Freq. Acum. Relat. 1 44,0 --51,5 47, , , ,5 --59,0 55, , , ,0 --66,5 62,75 8 0, , ,5 --74,0 70,25 6 0, , ,0 --81,5 77,75 2 0, ,9 6 81,5 --89,0 85,25 4 0, , ,0 --96,5 92,75 1 0, Total 50 1 ü Compare os resultados. 82

83 Box-Plot 83

84 Esquema dos 5 Números São cinco valores importantes para se ter uma boa ideia da assimetria dos dados. São as seguintes medidas da distribuição: X (1) (Mínimo), Q 1 (1º quarhl), Q 2 (Mediana), Q 3 (3º quarhl) e X (n) (Máximo). 84

85 Esquema dos 5 Números (2) Para uma distribuição aproximadamente simétrica, tem-se: ü Q 2 X (1) X (n) Q 2 ; ü Q 2 Q 1 Q 3 Q 2 ; ü Q 1 X (1) X (n) Q 3 ; 85

86 Esquema do Box Plot A informação do esquema dos cinco números pode ser expressa num diagrama, conhecido como box plot (gráfico de caixa). Descreve várias caracteríshcas dos dados: ü Centro, dispersão, simetria e valores appicos x (1) Q 1 Q 2 Q 3 x (n) 86

87 Box Plot (2) O retângulo é traçado de Q 1 até Q 3. Corta-se o retângulo por segmento paralelo às bases, na altura correspondente à Q 2. O retângulo do boxplot corresponde a 50% dos valores centrais da distribuição, que é a Distância interquarplica: DIQ= Q 3 - Q 1. 87

88 Box Plot (3) DIQ: Distância Interquartílica Intervalo dos 50% centrais da distribuição 88

89 Região de Observações Típicas Delimita-se a região que vai da base superior do retângulo até o maior valor observado que NÃO supere o valor de Q 3 +1,5 x DIQ. Procedimento similar para delimitar a região que vai da base inferior do retângulo, até o menor valor que NÃO é menor do que Q 1-1,5 x DIQ. 89

90 Região de Observações A9picas (2) Observações appicas são representadas por asteriscos e situam-se: ü Acima do Valor adjacente superior (Q3 + 1,5 DIQ) ou ü Abaixo do Valor adjacente inferior (Q1 1,5 DIQ) Estes pontos exteriores são denominados outliers ou valores appicos. 90

91 Box Plot (4) Pontos Exteriores Valor adjacente superior Q 3 + 1,5 DIQ DIQ Quartil superior (Q 3 ) Mediana Quartil inferior (Q 1 ) Valor adjacente inferior Q 1 1,5 DIQ Ponto Exterior 91

92 Box-Plot (5) Se não houver pontos exteriores: x (n) Q 3 Mediana (Q 2 ) Q 1 x (1) 92

93 Exemplo Variável Peso DIQ = 16,50 Ponto Exterior Valor adjacente superior Q 3 + 1,5 DIQ = 93,25 Q 3 = 68,50 Mediana = 58,00 Q 1 = 52,00 Valor adjacente inferior Q 1 1,5 DIQ = 27,25 93

94 Exemplos Comparação de Box-Plots Boxplot de Salário por educação Boxplot de Salário por educação 25 3 Salario 15 5 Grau Instrucao Grau de Instrucao Salario Boxplot de Salário por região de procedência Região de Procedência Outro Capital Interior Salario 94

95 Notas Feminino Masculino Conjuntos Todos 95

96 Exercício Box Plot ü Construir o gráfico Box-Plot para os dados de alturas de n=100 observações. 60,9 62,5 63,0 63,2 63,4 64,2 65,0 65,0 65,2 65,3 65,5 66,0 66,2 66,4 66,5 66,8 66,8 66,9 67,2 67,2 67,2 67,4 67,8 67,8 67,9 67,9 68,0 68,0 68,2 68,4 68,5 68,5 68,6 68,7 68,9 69,0 69,2 69,2 69,2 69,3 69,3 69,3 69,4 69,5 69,5 69,6 69,7 69,8 69,8 69,9 69,9 69,9 70,0 70,0 70,0 70,1 70,2 70,2 70,3 70,4 70,5 70,7 70,7 70,8 70,8 70,8 70,9 71,0 71,0 71,1 71,1 71,2 71,3 71,3 71,3 71,4 71,5 71,7 71,8 72,0 72,6 72,7 72,8 72,8 72,8 72,8 73,0 73,0 73,1 73,2 73,6 73,7 73,7 73,8 74,6 74,8 74,8 75,0 76,1 76,7 96