Universidade Nova de Lisboa Faculdade de Ciências e Tecnologia Departamento de Matemática. Álgebra Linear I. Reinhard Kahle. Primeiro semestre 2008/09

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1 Universidade Nova de Lisboa Faculdade de Ciências e Tecnologia Departamento de Matemática Álgebra Linear I Reinhard Kahle Primeiro semestre 2008/09

2 Conteúdo Motivação 1 1 A noção do espaço vectorial O R n Espaços vectoriais reais Independência linear, dimensão e bases Subespaços vectoriais Aplicações lineares Aplicações Aplicações lineares Aplicações lineares R n R m Operações de matrizes Sistemas de equações lineares Característica e nulidade Sistemas de equações lineares gerais Matriz inversa Mudança de coordenadas Aplicações lineares invertíveis Construções de espaços vectoriais Somas directas Exemplos de espaços vectoriais de dimensão infinita Bibliografia A 1 Concordâncias A 2

3 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 1 Motivação Vectores A Álgebra Linear é, em grande parte, motivada pela Geometria. 1 Mas em vez das noções básicas de EUCLIDES (e HILBERT) ponto, recta, plano, &c. usamos a noção de vector como elementar. Um vector como entidade geométrica 2 pode ser considerada como uma seta, com uma direcção e um comprimento dados, mas sem uma posição fixada. Figura 1: Representantes diferentes do mesmo vector. Figura 2: Vectores diferentes (direcção; cumprimento; orientação) Nota-se que um vector é definido relativamente a um espaço geométrico: nas figuras em cima consideramos vectores no plano. Podemos também considerar vectores no espaço (3-dimensional). Independentemente da questão, o que é que o sentido geométrico de um espaço 4-dimensional, ou n-dimensional, n > 0, o conceito de vector pode ser generalizado para dimensões elevadas, contanto que temos noções de direcção e comprimentos para estes espaços. Do mesmo modo, podemos definir a noção de vector para o espaço 1-dimensional, a recta: Neste caso, porque existem só duas direcções ao longo da recta, um vector é dado pelo seu comprimento e a sua orientação. No caso do espaço 0-dimensional, um ponto 1 Muitas vezes, a disciplina introdutivo é chamada Álgebra Linear e Geometria Analítica; na licenciatura de Matemática do nosso Departamento existe uma disciplina própria de Geometria no segundo semestre do primeiro ano, qual trata os aspectos geométricos separadamente. 2 Mais tarde vamos introduzir uma noção abstracta de vector, que, apesar de ser motivada na noção geométrica, é independente desta e que não deveria ser confundida com a noção geométrica.

4 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 2 isolado, também existe uma noção de vector, mas numa forma degenerada: Só este mesmo ponto é o único vector deste espaço. Pode-se definir uma adição de vectores: v +w é o vector que optemos quando vamos, em primeiro, a longo de v, e depois, a longo de w: Figura 3: v + w e v w. Agora, é uma observação geométrica, que a adição é comutativa, i.e., v + w resulta no mesmo vector como w + v. Uma outra operação que podemos definir para vectores é a multiplicação com um escalar. Este operação corresponde uma dilatação com um factor λ (λ um número real) i.e., o comprimento do vector é mudado com a proporção λ. Aqui incluímos o caso degenerado em que λ é igual a zero. Neste caso, o resultado é o vector nulo, i.e., um ponto. Também permitimos que λ é negativo. Neste caso, a orientação do vector é alterado, em adição a dilatação com o factor λ. Figura 4: A multiplicação por escalares.

5 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 3 Note-se que este conceito de vectores é independente de coordenadas. De facto, o mundo real em que vivemos um espaço 3-dimensional não tem coordenadas. O espaço n-dimensional dos números reais A introdução de coordenadas para um espaço geométrico, pelo o matemático (e filósofo) francês RENÉ DESCARTES, foi, sem dúvida, um dois mais importantes passos na história da matemática. Para o plano e o espaço, os sistemas de coordenadas cartesianas são bem conhecidos e dados por conjuntos de pares e triplos de números reais: 3 R 2 := {(x 1, x 2 ) x 1, x 2 R}, R 3 := {(x 1, x 2, x 3 ) x 1, x 2, x 3 R} Em geral, definimos o espaço n-dimensional como o conjunto dos n-uplos de números reais: R n := {(x 1,...,x n ) x k R com k = 1,...,n} com (x 1,..., x n ) = (x 1,..., x n) se e só se x 1 = x 1,..., x n = x n. Nota 0.A. A indicação da igualdade associada com o espaço parece talvez trivial e supérflua. Nota-se que não sempre a igualdade associada com um sistema de coordenadas é dada pela igualdade dos componentes. No caso de coordenadas polares para os números complexos {(r,φ) : r R + 0,φ [0,2π[} temos que (r,φ) = (r,φ ) se { r = r e φ = φ, se r > 0, r = 0, se r = 0. No segundo caso, em que r = r = 0, φ e φ podem ser (arbitrariamente) diferentes. Como os vectores, os elementos de R n podem ser adicionados e podem ser multiplicados por um escalar λ R: (x 1,..., x n ) + (x 1,...,x n ) := (x 1 + x 1,...,x n + x n ) λ (x 1,...,x n ) := (λ x 1,...,λ x n ) Existe uma forte correspondência entre o R n e os vectores geométricos, que vamos estudar em detalhe nesta disciplina. Então esta correspondência dá a justificação 3 O símbolo := significa igual por definição e os dois pontos ficam no lado do objecto que é para definir.

6 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 4 de chamar o R n um espaço vectorial, mais concreta um espaço vectorial real n- dimensional. Aqui a palavra vectorial refere ao sentido abstracto de vector que vamos introduzir em baixo. Notamos também que a palavra real origina do facto que os escalares da multiplicação que considerámos são números reais, mas não do facto que os uplos consistem de números reais. Aplicações lineares Na geometria analítica, i.e., a geometria que já substituiu o espaço geométrico real pelo espaço cartesiano R 3, ou no caso do plano pelo R 2, podemos considerar aplicações especiais, que tem a propriedade conveniente da linearidade. Consideramos o caso de aplicações de R 2 para R 2, i.e., aplicações que mapear pontos do plano para pontos do plano, ou, pares de números reais para pares de números reais. Uma tal aplicação f chama-se linear, se satisfaz as seguintes condições (com x, y R 2 ; λ R): f(x + y) = f(x) + f(y) f(λ x) = λ f(x) Figura 5: Dilatação (em todas as direcções com o mesmo factor) Porque consideramos as aplicações lineares como uma classe interessante de aplicações? Bem, na verdade, por si própria, esta classe não é a classe mais importante da geometria. Mas tem pelo menos duas razão porque vamos estudar esta classe em muitas detalhes. Uma vez, provou-se que as ferramentas da Álgebra Linear, em primeiro lugar, o cálculo de matizes, são as ferramentas perfeitas para estudar estas aplicações. A segunda razão é que a classe das aplicações afinas,

7 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 5 uma classe que é realmente muito interessante na geometria, está intimamente ligada as aplicações lineares e o estudo das aplicações lineares é uma base importante do estudo das aplicações afinas. Rectas no plano real Uma recta no R 2 é dada como conjunto de solução duma equação linear em duas incógnitas. Mais exacto definimos: Um subconjunto L de R 2 chama-se recta, se existem a, b, c R com (a, b) (0, 0) tal que L = {(x, y) R 2 ax + by = c}. Nota 0.B. Chamamos a atenção para a condição (a,b) (0,0). A primeiro, isto significa que a e b não devem ser 0 simultaneamente. De facto, (a,0) e (0,b) definem rectas perfeitas para a e b 0 (quais?). Mas, o que acontecia no caso a = b = 0? Obtemos a equação 0 = c. Então, o caso de c 0, L é o conjunto vazio; no caso de c = 0, qualquer par (x,y) satisfaz a condição, i.e., L = R 2. Para qualquer definição matemática que tem condições como a de (a,b) (0,0) vale a pena pensar no sentido desta condição. Muitas vezes uma reflexão das hipóteses de uma definição pode ajudar a compreensão. Também vale a pena pôr atenção onde tais hipóteses são usadas em demonstrações. A hipótese de (a,b) (0,0) para rectas é usada, por exemplo, no Caso III das soluções de equações lineares em duas incógnitas no seguinte paragrafo. Dadas duas rectas, 4x y = 3 e x + y = 2, como pode-se calcular o ponto de intersecção? Temos de resolver a sistema de equações: 4x y = 3, x + y = 2

8 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 6 Como solução comum das ambas equações obtemos x = 1 e y = 1, i.e, o ponto de intersecção é (1, 1). Equações lineares em duas incógnitas Agora vamos considerar a questão de intersecções de duas rectas em geral, i.e., para quaisquer parâmetros nas equações. Consideramos duas rectas em R 2 com (a, b) (0, 0) e (c, d) (0, 0): L 1 = {(x, y) R 2 ax + by = e} e L 1 = {(x, y) R 2 cx + dy = f}. Como no exemplo temos de resolver o sistema de equações ax + by = e (1) cx + dy = f (2) com (a, b) (0, 0) e (c, d) (0, 0). Quando multiplicamos (1) com d e (2) com b e também (1) com c e (2) com a, obtemos: adx + bdy = de bcx bdy = bf acx bcy = ce acx + ady = af Adições dão: (ad bc)x = de bf (ad bc)y = af ce Agora consideramos a determinante relacionada com as sistema de equações (1) e (2): ( ) a b D := det := ad bc c d e distinguimos os seguintes três casos:

9 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 7 Caso I. D 0. Então a sistema de equações tem exactamente uma solução: x = de bf D, y = af ce D. Caso II. D = 0 e (af ce 0 ou de bf 0). Então o sistema de equações não tem nenhuma solução, e as duas rectas L 1 e L 2 são paralelas, com L 1 L 2. Caso III. D = 0 e af ce = de bf = 0. Se a 0, então c 0 (se fosse c = 0, então porque D = ad bc = 0, também seria d = 0 em contradição ao premisse (c, d) (0, 0)). Por multiplicação 4 com c a obtemos da equação (1) c a ax + c a by = c a e. Porque ad bc = 0 e af ce = 0 temos d = bc e f = ce e vimos que esta a a equação é de facto igual a equação (2). Então L 1 = L 2. Se b 0, então d 0 (com um argumento análogo ao anterior). Por multiplicação da equação (2) com b obtemos a equação (1). Então temos também L d 1 = L 2. Planos no R 3 e hiperplanos Um subconjunto E de R 3 chama-se plano se existem a 1, a 2, a 3 R com (a 1, a 2, a 3 ) (0, 0, 0) tais que E = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b}. Nota 0.C. Como para as rectas, vale a pena imaginar quais são os planos, que obtemos se dois dos três parâmetros a 1,a 2,a 3 (por exemplo a 1 e a 3 ) são zero. E quais planos são caracterizadas no caso em que um dos parâmetros (por exemplo a 3 ) é zero? Em geral, definem-se hiperplanos em R n por E = {(x 1,...,x n ) R n a 1 x a n x n = b} com (a 1,...,a n ) (0,...,0). Um hiperplano em R 1 é então um ponto e um hiperplano em R 2 é uma recta. 4 Note que a multiplicação de uma equação duma recta por uma constante ( 0) resulta numa outra equação para a mesma recta.

10 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 8 Sistemas de equações lineares Na Álgebra Linear consideramos, em geral, sistemas de equações com m equações e n incógnitas da forma: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Como no caso no R 2, a solução deste sistema de equações dá a intersecção dos hiperplanos a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i, i = 1,..., m no R m. No estudo destes sistemas de equações vai ser interessante estudar a matriz das coeficientes (de facto, as matrizes são o conceito que vai ligar sistemas de equações com aplicações lineares): a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn Um exemplo duma matriz: Este quadrado mágico tem a propriedade que todas as somas das linhas e colunas e diagonais (e outras somas) são 34. Encontra-se no lado direito em cima da gravura Melancolia do artista Albrecht Dürer de

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13 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 11 1 A noção do espaço vectorial 1.1 O R n Neste disciplina suponhamos os números reais como conhecidos. Podemos considerar os números reais como fracções decimais infinito, e.g., 10, Fracções como 10, e 10, são iguais. Existe o zero 0, e números reais negativos, e.g., 10, Números reais podem ser adicionados, multiplicados e divididos. As propriedades dos números reais são dadas pelos axiomas de corpos, os axiomas de ordem e o axioma de completude. A conjunto dos números reais e designado por R: R = {x x é um número real}. Um subconjunto importante de R é o conjunto dos números naturais N = {1, 2, 3,... }. O facto que N é contido em R é escrita na matemática simbolicamente pro N R. Isto significa que todo o elemento n de N (em símbolos: n N) é também um elemento de R. O espaço dos números reais n-dimensional A seguir, n N é um número natural fixo. Consideramos n-uplos (ordenados) de números reais a = (a 1,...,a n ), onde os componentes a i, para i = 1,...,n, são números reais. Os a R n chamam-se vectores. Definição 1.1 (R n ). R n := o espaço dos números reais n-dimensional := { x = (x 1,...,x n ) x i R para i = 1,...,n} Dois n-uplos a R n e b R n são iguais, se a i = b i para i = 1,...,n. Por exemplo, no caso n = 2, (1, 1; 2, 3) (2, 3; 1, 1). 5 Dois vectores de R n podem ser adicionados e o resultado é também um vector: a + b := (a 1 + b 1,...,a n + b n ) para a, b R n. 5 Em geral, os componentes de um vector são dividas por vírgulas; em certa maneira isto não foi um boa escolha na presença dos números reais: a vírgula já é usada na notação de fracções decimais. Por isso, o ponto e vírgula tomar a função de separação das componentes. Em geral, não deve ser um problema distinguir a função de uma vírgula de contexto. De facto, no seguinte vamos raramente trabalhar com números concretos, mas muito mais com variáveis e parâmetros.

14 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 12 O vector nulo ( 0,...,0 ) e designado por 0. }{{} n vezes Para todo o vector a R n definimos um vector negativo: a := ( a 1,..., a n ). Introduzimos uma multiplicação por escalar. Para d R e a R n definimos: d a := (d a 1,...,d a n ) R n. O R n, em conjunto com as operações definidas em cima, tem os seguintes propriedades básicas (que vamos introduzir em baixo em abstracto como axiomas de grupos e de espaços de vectores respectivamente). (1) Associatividade. Para todos os a, b, c R n temos a + ( b + c) = ( a + b) + c. Demonstração. Para demonstrar isto, usamos a propriedade correspondente dos números reais. Sejam a, b, c R n, então a + ( b + c) = a + ((b 1,...,b n ) + (c 1,...,c n )) = a + (b 1 + c 1,...,b n + c n ) = (a 1,...,a n ) + (b 1 + c 1,...,b n + c n ) = (a 1 + (b 1 + c 1 ),...,a n + (b n + c n )) = ((a 1 + b 1 ) + c 1,...,(a n + b n ) + c n ) = (a 1 + b 1,...,a n + b n ) + (c 1,...,c n ) = (a 1 + b 1,...,a n + b n ) + c = ((a 1,...,a n ) + (b 1,...,b n )) + c = ( a + b) + c (2) Para todo o a R n temos a + 0 = a. Demonstração. Exercício. (3) Para todo o a R n temos a + ( a) = 0. Demonstração. Exercício. (4) Comutatividade. Para todos os a, b R n temos a + b = b + a. Demonstração. Exercício.

15 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 13 Os axiomas de grupos Agora confrontamos este situação concreta com a definição abstracta de um grupo. Definição 1.2 (Grupo; grupo comutativo). Seja V um conjunto com uma operação binária 6 + : V V V, (a, b) a + b. Se temos: (1) Para todos os a, b, c V : a + (b + c) = (a + b) + c. (2) Existe um elemento (fixo) 0 V, tal que para todo o a V : a + 0 = a. (3) Para todo o a V existe um elemento a V tal que a + ( a) = 0. Então V chama-se um grupo. Se se verifica adicionalmente a seguinte condição: (4) Para todos os a, b V : a + b = b + a, então V chama-se um grupo comutativo. Mais exacta devemos falar de (V, +) ou (V, +, 0, ). Com este definição podemos exprimir os resultados anteriores na seguinte proposição: Proposição 1.3. (R n, +, 0, ) é um grupo comutativo. Nota 1.A. A notação para a operação de grupos e para o elemento nulo pode variar. + e 0 são, muitas vezes, usadas para grupos comutativos. e 1 pode ser uma alternativa: é um exercício verifica, que (R \ {0},,1, ) é um grupo. Para evitar confusões com as operações usuais de números, é também usado como símbolo da operação e ǫ para o elemento neutro. Algumas vezes usamos também em vez de + para sublinhar a natureza especial da operação dum grupo (e para evitar a confusão com a adição de números). 6 Na notação + : V V V, V V designa o produto cartesiano de dois copias de V, e significa só que + tem dois argumentos, ambos de V. O sentido da seta deve ser claro: no lado esquerdo temos o domínio, i.e., o(s) conjunto(s) dos argumentos, no lado direito o contradomínio, i.e., o conjunto em que encontram-se os resultados da aplicação da operação.

16 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 14 Nota 1.4. Seja (V, +, 0, ) um grupo. Temos 1. Para todo o a V : ( a) + a = 0, i.e. o inverso direito de axioma (3) é também um inverso esquerdo para a. 2. Para todo o a V : 0 + a = a, i.e. o nulo direito é também um nulo esquerdo. 3. Para todo o a V : a = ( a). 4. Seja 0 V. Se temos para um a V : a + 0 = a, então 0 = Seja a V. Se temos para um b V : a + b = 0, então b = a. (d) e (e) mostram que o elemento nulo e o inverso são únicos. Demonstração. Ver aulas. Nota 1.5. É importante que temos nas axiomas (2) e (3) a existência de um elemento nulo direito e simultaneamente um inverso direito. Seja V um conjunto com pelo menos dois elementos e uma adição definida por a + b := b. Neste caso a é no mesmo momento um elemento nulo esquerdo e um inverso direito. A adição é também associativa, mas (V, +) não é um grupo, porque o elemento nulo não é único: qualquer elemento de V é um elemento nulo esquerdo. Vamos terminar por enquanto a consideração de grupos com a introdução de expressões da forma a a n para elementos a i de um grupo (V, +). Notase, que tais expressões não são definidas a priori. É obvio, que queremos iterar a operação do grupo, mas de qual lado, do lado esquerdo ou do lado direito? Por causa de axioma de associatividade, não deve resulta em nenhuma diferença; contudo, para um apresentação rígida matemática, é necessário da uma definição formal para este expressão. E podemos usar este oportunidade para ilustrar o método de definição indutiva. Vamos definir a a n para n 2. No caso n = 2, a 1 + a 2 já é definido (como operação do grupo). Para n > 2 podemos supor que a a n 1 já é definido. Então definimos a a n := (a a n 1 ) + a n. Vamos considerar agora mais uma vez o R n e algumas propriedades da multiplicação por escalares. A verificação deste propriedades é muito fácil e, por isso, não dada aqui.

17 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 15 (5) Verifica-se a regra unitária: Para todo o a R n temos 1 a = a. (6) Verifica-se a associatividade da multiplicação por escalares: Para todo o c, d R e a R n temos c (d a) = (c d) a. (7) A multiplicação por escalares e a adição de vectores são ligadas pelas regras de distributividade: Para todos os c, d R e a, b R n temos (c + d) a = c a + d a e c ( a + b) = c a + c b. 1.2 Espaços vectoriais reais Neste parágrafo deixamos a consideração do espaço concreto R n e introduzimos a definição abstracta de um espaço vectorial real. Definição 1.6 (Espaço vectorial real). Seja V um conjunto não vazio, com duas operações binárias dadas, uma adição: e uma multiplicação por escalares 7 + : V V V, (x, y) x + y, : R V V, (c, x) c x. Seja (V, +) um grupo comutativo. Temos para a multiplicação com escalares: (5) (Regra unitária) Para todo o x V : 1 x = x. (6) (Associatividade) Para todos os c, d R e x V : (c d) x = c (d x). (7) (Distributividade) Para todos os c, d R e x, y V : c (x + y) = c x + c y e (c + d) x = c x + d x. Então (V, +, ) chama-se espaço vectorial real. 7 A multiplicação por escalares é também chamada multiplicação externa.

18 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 16 As propriedades características (1) (7) das definições 1.2 e 1.6 chamam-se axiomas de espaço vectorial. Os elementos x, y,... de V chamam-se vectores. O elemento neutro 0 V em relação da + chama-se vector nulo. Normalmente, podemos excluir uma confusão com o número 0 R, mas em casos de dúvidas podemos também escrever 0 V para o vector nulo de um espaço vectorial V. Aqui considerámos R como corpo de escalares e chamamos os seus elementos escalares; em geral, podemos considerar também outros conjuntos como escalares, nomeadamente os números complexos C, mas vamos considerar esta possibilidade só mais tarde. Em vez de (V, +, ) escrevemos também só V, se as operações + e são claras de contexto. Se é claro que o corpo de escalares deve ser R, falamos também só de um espaço vectorial, em vez de explicitamente de um espaço vectorial real. Agora podemos exprimir os resultados sobre o R n da secção 1.1 em termos da nova noção. Proposição 1.7. (R n, +, ) é um espaço vectorial real. Nota 1.8. {0} com 0+0 = 0 e c 0 = 0, para todos os c R é um espaço vectorial real. Nota 1.B. O R n é o espaço vectorial real paradigmático (pelo menos no caso de dimensão finita); mais tarde podemos mostrar formalmente que o R n tem, num certo sentido, uma posição distinta entre os espaços vectoriais. Neste momento, só dizemos que é legítimo pensar sempre no R n quando falamos sobre um espaço vectorial (em certa maneira como instância modelo ). Damos aqui um lista de outros espaço vectoriais reais; esta lista é entendida só como ilustração. Não precisamos destes exemplos, que em parte usam conceitos elevados da matemática, nas considerações que seguem imediatamente. Se são usados mais tarde, vão ser introduzidos mais uma vez explicitamente. Neste momento, só poderia ser um exercício verificar, que os exemplos satisfazem os axiomas de um espaço vectorial real. 1. Sejam n N 0 e R n [X] o conjunto dos polinómios na indeterminada X, coeficientes em R e de grau menor ou igual a n, isto é { n } R n [X] := a i X i ai R,i = 0,...,n. i=0 Sejam + a adição usual de polinómios (adição de componentes) e a multiplicação usual de um polinómio por um número real. Então (R n [X],+, ) é uma espaço vectorial real. 2. Se representamos por R[X] o conjunto de todos os polinómios na indeterminada X, com coeficientes em R (sem restrição de grau), podemos afirmar que R[X], com as operações usuais de adição de polinómios e de multiplicação de um polinómio por um número real, constitui um espaço vectorial real.

19 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I Sejam X um conjunto não vazio e V := {f : X R} o conjunto de todas as aplicações com domínio X e contradomínio R. Definimos para f, g V e a R: f + g :=X R x f(x) + g(x) a f :=X R x a f(x). Então (V,+, ) é um espaço vectorial real. Nota que os vectores deste espaço são funções; em particular, na definição de + adicionamos funções e o resultado desta operação é uma nova função. O elemento neutro é a função nula que mapeá todo o elemento ao zero: X R, x 0. O conjunto V chama-se espaço de funções com valores em R. 4. Mais geral, podemos definir V := {f : X W }, para um conjunto não-vazio X e um espaço vectorial real W, como o conjunto de todas as aplicações de X em W. Com as operações definidas como em cima, optemos também um espaço vectorial (ver Prop. 2.38). 5. O conjunto de todas as sucessões reais é um espaço vectorial real para as operações habituais de soma de duas sucessões e produto de um número real por uma sucessão. (De facto, este conjunto é conjunto de funções de N em R.) 6. Dado um intervalo real [a,b], o conjunto de todas as funções reais contínuas em [a, b] é um espaço vectorial real para as operações habituais com funções. (A notação comum para este espaço é C[a,b].) 7. O conjunto C k [a,b] das funções reais com derivadas contínuas até à ordem k no intervalo [a, b] é um espaço vectorial real. 8. O conjunto C [a,b] das funções reais infinitamente diferenciáveis no intervalo [a,b] é um espaço vectorial real. 9. Os exemplos anteriores podem ser também consideradas sem intervalos. Em particular, são espaços vectoriais reais. C(R) := {f f : R R é contínua} e D(R) := {f f : R R é diferenciável}

20 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I O último exemplo que apresentamos é motivado pela geometria elementar. Seja E o conjunto dos pontos do plano (ou do espaço). Dados dois pontos P e Q de E, define-se a seta P Q como sendo o segmento orientado com extremidade inicial no ponto P e extremidade final no ponto Q, representado pelo par (P,Q). Dado um ponto O de E (a origem), definimos o conjunto V O := {(O,P) P E}, o conjunto de vectores em O. Defina-as uma adição que aos vectores OP e OQ associa o vector OP + OQ obtido pela conhecida regra do paralelogramo. Definase uma multiplicação por escalares que a cada número real c e a cada vector OP associa o vector c OP cuja direcção é a do vector OP, o sentido é o de OP se c > 0 e é o sentido contrário ao de OP se c < 0 (se c = 0 então c OP = 0, o vector nulo) e cujo comprimento é comprimento de OP multiplicado por c (o módulo de c). Argumentos de natureza geométrica permitiriam concluir que V O, com estas operações, é um espaço vectorial real. Vamos listar algumas propriedades de espaços vectoriais reais. Proposição 1.9. Seja V um espaço vectorial real. Para todo o c R e x V verifica-se: 1. 0 x = Seja 0 = 0 V o vector nulo. Então c 0 = c ( x) = ( c) x = (c x). 4. De c x = 0 segue c = 0 ou x = 0. 8 Demonstração. 1. De x = 1 x = (1 + 0) x = 1 x + 0 x = x + 0 x segue 0 = 0 x, porque o elemento nulo é único. 2. Obtemos do mesmo modo c 0 = 0 de c 0 = c (0 + 0) = c 0 + c Da distributividade segue 0 = c 0 = c (x + ( x)) = c x + c ( x). Porque o elemento inverso é único temos (c x) = c ( x) = ( c) x. 4. Fazemos um distinção por casos: c = 0 ou c 0. Se c = 0 nada mais é a demonstrar. Se c 0, existe o simétrico 1 R. Com 2. segue 0 = 1 (c x) = c c c) x = 1 x = x. Então em ambos casos, c = 0 ou x = 0. ( 1 c Nota Em 1. usámos cores para distinguir o zero como número natural e como vector nulo de V. Então, esta distinção não é necessário, porque podemos derivar o sentido do contexto: Se escrevemos 0 x = 0 e suponhamos que x é um 8 Nota-se que ou na matemática tem o sentido inclusivo : permitimos o caso em que ambas alternativas são verdadeiras, x = 0 e c = 0.

21 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 19 vector, é claro que o 0 no lado esquerdo da equação é um escalar, i.e., um número real, e que o 0 no lado direito é um vector, i.e., o vector nulo. Ao contrário, na equação c 0 = 0 de 2. não temos a possibilidade de deriva a natureza ( pode ser a multiplicação usual entre números reais, ou a multiplicação por escalares). Se não usamos cores, a indicação que 0 designa 0 V é, de facto, necessário. Apesar disso, vamos a partir daqui deixar o uso de cores, senão queremos sublinhar especialmente a natureza de uma expressão. Como é uso na matemática, escrevemos também cx em vez de c x para a multiplicação do vector x pelo escalar c. Nas seguintes secções V designa sempre um espaço vectorial. 1.3 Independência linear, dimensão e bases Independência linear Definição 1.11 (Combinação linear). Sejam n N, x 1,...,x n V, c 1,..., c n R. Chamamos n x = c 1 x c n x n = c i x i combinação linear de x 1,...,x n. Uma combinação linear n i=1 c ix i chama-se trivial se todos os c i, i = 1,..., n são 0; caso contrário a combinação linear chama-se não-trivial. Definição 1.12 ((In)dependência linear). Os vectores x 1,...,x n V chamam-se linearmente dependentes se 0 é igual a uma combinação linear não-trivial, i.e., se existem números c 1,...,c n R, de quais pelo menos um não é zero, tais que 0 = n c i x i. i=1 Ao contrário, x 1,...,x n chamam-se linearmente independentes se x 1,...,x n não são linearmente dependentes. Exemplo Os vectores (1, 2), ( 2, 0), (3, 1) R 2 são linearmente dependentes, porque i=1 ( 1) (1, 2) ( 2, 0) + 2 (3, 1) = 0. A seguinte nota segue imediatamente da definição da independência linear, se usamos alguns regras elementares da lógica.

22 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 20 Nota Os vectores x 1,...,x n V são linearmente independentes se e só se para c 1,...,c n R e n c i x i = 0 segue i=1 c 1 = = c n = 0. Proposição x V é linearmente dependente se e só se x = 0. Nota 1.C. Este enunciado é da forma se e só se e, por isso, consiste de duas afirmações: : x é linearmente dependente x = 0, : x = 0 é linearmente dependente. Por isso, a demonstração tem também duas partes. Demonstração. : Seja x linear dependente. Então existe um c R, c 0 tal que c x = 0. Com temos x = 0. : Seja x = 0. A regra unitária dá 1 x = x = 0. Então x é linear dependente. Proposição Os vectores x 1,...,x n V sejam linearmente dependentes. Seja x V. Então x, x 1,...,x n são também linearmente dependentes. Esta proposição diz que qualquer extensão de um sistema de vectores linearmente dependentes é também linearmente dependente. Demonstração. Sejam c 1,...,c n R, com c j 0 para um j, 1 j n, tal que 0 = n i=1 c i x i. Com c := 0, temos também 0 = c x + c 1 x c n x n. Proposição Sejam x 1,...,x n V linearmente independentes. Sejam dados l (l n) números naturais 1 i 1 < i 2 < < i l n. Então x i1,...,x il são linearmente independentes. Isto significa, qualquer subsistema de um sistema de vectores linearmente independentes é também linearmente independente. Demonstração. Seja 0 = l k=1 c i k x ik com c ik R. Para j = 1,..., n definimos { 0, se j {i1,...,i d j := k }, c ik, se j = i k para um k {1,...,l}. Então temos n d j x j = j=1 l c ik x ik = 0. k=1 Porque x 1,...,x n são linearmente independentes, temos d j = 0, para j = 1,...,n. Então temos também c ik = 0, k = 1,..., l.

23 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 21 Proposição Os vectores x 1,...,x n V são linearmente independentes. Seja x V, então: x, x 1,...,x n são linearmente dependentes se e só se x é combinação linear de x 1,...,x n. Demonstração. : Sejam x, x 1,...,x n linearmente dependentes. Então existem números reais c, c 1,...,c n, que não são todos iguais a zero, com 0 = c x + c 1 x c n x n. Queremos mostrar c 0 e suponhamos que c = 0. Então teríamos 0 = n i=1 c i x i, com um c i não igual 0, o que contradiz a hipótese. Então c 0. Temos então i.e., 0 = 1 c 0 = 1 c ( c x + x = n i=1 ) n c i x i = x + i=1 ( c ) i c x i. n i=1 c i c x i, : Seja x combinação linear de x 1,...,x n. Existem então c 1,..., c n R com x = n i=1 c i x i. Tome-se c = 1, então 0 = c x + c 1 x c n x n. Logo x, x 1,...,x n são linearmente dependentes. Proposição 1.19 (Unicidade da representação). Sejam x 1,..., x n V linearmente independentes e c i, d i, (i = 1,...,n) números reais. Se temos n n c i x i = d i x i, i=1 i 1 então c i = d i para i = 1,...,n. Demonstração. Da hipótese segue n i=1 (c i d i ) = 0. Porque x 1,..., x n são linearmente independentes, temos (c i d i ) = 0, i.e., c i = d i para i = 1,...,n. Dimensão e Bases Para a discussão de dimensão é útil introduzir o símbolo (infinito). A ideia principal (que precisamos aqui) é que > c, para qualquer c R. Agora definimos dim V para um espaço vectorial V como um elemento de N {0, }. Definição A dimensão de um espaço vectorial V é definida por max{k N 0 existem k vectores linearmente dim V := independentes em V }, se este máximo existe, caso contrário Se dim V <, V é de dimensão finita, caso contrário V é de dimensão infinita.

24 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 22 Exemplo No espaço vectorial R n distinguimos os vectores e 1 = (1,0,...,0),..., e n = (0,...,0,1). Estes vectores são linearmente independentes, porque para c 1,...,c n R e n i=1 c i e i = 0 segue: (0,..., 0) = = n i=1 n i=1 c i (0,..., }{{} 1,...,0) posição i (0,..., c }{{} i,...,0) posição i = (c 1,...,...,c n ) Então c 1 = = c n = 0, logo o vector nulo pode ser só escrito como combinação linear trivial de e 1,..., e n. Então dim R n n. (A igualdade podemos mostrar só mais tarde.) Nota 1.D. O espaço vectorial R[X] dos polinómios na indeterminada X dado na nota 1.B.2 é um exemplo de um espaço vectorial de dimensão infinita. Um conjunto infinito de vectores linearmente independentes é {X n n N 0 }. Para a noção de bases, consideramos num primeiro passo só bases finitas, e começamos a definir a noção finitamente gerado. Definição Seja V um espaço vectorial real. Dizemos que V é finitamente gerado se existem n N e vectores x 1,...,x n V tais que todo o x V é uma combinação linear de x 1,...,x n. Para o conjunto de todos os vectores que são combinação linear de x 1,...,x n escrevemos x 1,..., x n. 9 Então x 1,...,x n gerem V se V = x 1,...,x n. Definição 1.23 (Base). Um conjunto finito {x 1,...,x n } V chama-se base do espaço vectorial real V, se 1. x 1,...,x n são linearmente independentes; 2. x 1,...,x n gera V, i.e., V = x 1,..., x n. Por convenção, o conjunto vazio é a base do espaço vectorial V = {0}. Quando um conjunto é dado na forma de enumeração dos elementos, como em {x 1,...,x n } suponhamos que os elementos são diferentes, i.e., para i j temos x i j. 9 Na literatura encontram-se também as notações [x 1,..., x n ], Span(x 1,..., x n ) ou R (x 1,..., x n ) para x 1,..., x n.

25 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 23 Exemplo Uma base de R n é dada por e 1,..., e n, os vectores definidos em exemplo Esta base chama-se base canónica de R n. Proposição Seja V um espaço vectorial real com dim V = n <. Sejam x 1,...,x n V vectores linearmente independentes. Então x 1,...,x n é uma base de V. Demonstração. Precisamos de mostrar, que x 1,...,x n gerem V. Seja x V dado. Então x, x 1,...,x n são linearmente dependentes, porque caso contrário teríamos dim V > n. Com proposição 1.18 segue que x é combinação linear de x 1,...,x n. Proposição Cada espaço vectorial de dimensão finita tem uma base. Demonstração. Seja dim V = n. Por definição 1.20 de dimensão existem n vectores x 1,..., x n que são linearmente independentes. Com proposição 1.25 tem que estes vectores são uma base. Nota 1.E. Podemos definir a noção da base também para espaços vectoriais de dimensão infinita: Definição. Seja V um espaço vectorial. Um subconjunto {x i i I} V, com um conjunto de índices I arbitrário, chama-se base de V, se 1. cada subsistema finita x i1,...,x in, n N, com índices i 1,...,i n I disjuntos dois em dois, é linearmente independente; 2. cada vector de V é um uma combinação linear (finita!) de elementos x i1,...,x in, n N, i 1,...,i n I. (Nota-se que a definição 1.23 é o caso especial desta definição, em que I é finito.) Agora, o conjunto de vectores linearmente independentes {X n n N 0 } do espaço vectorial R[X] dado na nota 1.D é também uma base de R[X]. Pode-se demonstrar uma proposição correspondente a última para espaços vectoriais de dimensão infinita, dizendo que todo o espaço vectorial tem uma base. Mas o seu significado desta proposição é menos importante no caso de dimensão infinita, e a demonstração é mais subtil. Precisa, em particular, do lema de Zorn. 1.4 Subespaços vectoriais Motivação Um subconjunto E de R 3 diz-se plano que passa a origem, se existem vectores linearmente independentes x, y R 3 tal que E = x + y := {c x + d y c, d R}.

26 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 24 Um subconjunto G de R 3 diz-se recta que passa a origem, se existe um vector x R 3, que não é o vector nulo, tal que G = x := {c x c R}. Agora, verifica-se que em R 3 todo o plano que passa a origem e também toda a recta que passa a origem é um espaço vectorial real com as operações + e de R 3. Seja E = x + y. É suficiente mostrar, que E é fechado pelas operações + e de R 3 e contém o vector nulo. (A existência do elemento inverso segue de ( 1) x = 1, e os outros axiomas seguem porque R 3 é um espaço vectorial.) Isto é o caso, porque temos para todo o c 1, d 1, c 2, d 2, c, d, e R e x, y R 3 : (c 1 x + d 1 y) + (c 2 x + d 2 y) = (c 1 + c 2 ) x + (d 1 + d 2 ) y e (c x + d y) = e c x + e d y 0 = 0 x + 0 y Para as rectas a demonstração é análoga. Subespaço vectorial Definição 1.27 (Subespaço vectorial). Seja V um espaço vectorial real. Um subconjunto V V chama-se subespaço vectorial de V se: (1) V 0; (2) de x 1, x 2 V segue x 1 + x 2 V ; (3) de c R e x V segue c x V. Nota 1.F. Um subespaço vectorial de V é um subconjunto não vazio de V que é fechado por a adição + e por multiplicação por escalares. A ideia de fechar um subconjunto por operações dados no conjunto original é uma técnica muito usada na matemática. Ainda falta a justificação para o nome subespaço vectorial, i.e., temos de mostrar que tal subconjunto é, de facto, um espaço vectorial. Corolário Seja V um espaço vectorial real e V V um subespaço vectorial. 1. Então 0 V. Porque V, existe um x V. (3) com proposição temos 0 = 0 x V.

27 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I Se x V, então também x V. Usamos (3) com proposição para obter: x = (1 x) = ( 1) x V. Proposição Seja V um espaço vectorial real e V V um subespaço vectorial. Então V é um espaço vectorial real com as mesmas operações que V. Mais precisamente deveríamos dizer: V com as mesmas operações que V restritas a V. Estas operações são também chamadas operações induzidas. Demonstração. Das condições (2) e (3) da definição 1.27 segue + : V V V, : R V V. O corolário 1.28 verifica as axiomas de um espaço vectorial (axiomas de um grupo) (2) e (3). Porque V é um subconjunto de V e V é um espaço vectorial, os outros axiomas são claros. Proposição Cada espaço vectorial V tem {0} e V como subespaços vectoriais triviais. Demonstração. Óbvio! Proposição Sejam V 1 e V 2 subespaços vectoriais do espaço vectorial V. Então V 1 V 2 é também um subespaço vectorial de V. Demonstração. Temos que 0 V 1 e 0 V 2, então 0 V 1 V 2 e este intersecção não é vazia. Sejam x, y V 1 V 2 e c R dados. Temos x, y V 1 e x, y V 2. Porque V 1 e V 2 são espaço vectoriais temos também x+y V 1, x+y V 2, c x V 1 e c x V 2. Então x + y V 1 V 2 e c x V 1 V 2. Nota 1.G. Existem mais operações para combinar subespaçãos, em particular a soma, com o caso especial da soma directa. Vamos considerar estas operações mais tarde. Exemplo O conjunto V := { a R 3 a 1 = a 3 } é um subespaço vectorial de R 3 : 1. V, porque 0 V. 2. Sejam a, b V. Então: a 1 = a 3 e b 1 = b 3 (a 1 + b 1 ) = (a 3 + b 3 ) a + b V.

28 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I Sejam c R e a V. Então: a 1 = a 3 c a 1 = c a 3 c a V. Uma base de V é dado por b 1 = (1, 0, 1) e b 2 = (1, 1, 1). Mostram primeiro que b 1 e b 2 são lineramente independentes elementos de V. Obviamente, b 1, b 2 V ; para mostra a indepedência linear consideramos a combinação linear do vector nulo em b 1 e b 2 : c 1 b 1 + c 2 b 2 = 0, c 1, c 2 R Então: (c 1 + c 2, c 2, c 1 + c 2 ) = 0. Vectores são iguais quando todos os componentes são iguais: c 1 + c 2 = 0 c 2 = 0 c 1 + c 2 = 0 { c1 + c 2 = 0 c 2 = 0 c 1 = 0 e c 2 = 0. Para mostrar que b 1 e b 2 são uma base de V falta mostrar que b 1 e b 2 gerem V : Seja a = (a 1, a 2, a 3 ) V. Por definição de V temos a 1 = a 3 e portanto a = (a 1, a 2, a 3 ) = (a 2 + (a 1 a 2 ), a 2, a 2 + (a 1 a 2 )) = (a 1 a 2 ) (1, 0, 1) + a 2 (1, 1, 1) = (a 1 a 2 ) b 1 + a 2 b 2. Então {b 1, b 2 } é uma base de V. Resumo de cápitulo 1 Noções principais 1. Grupo e grupo comutativo, def Espaço vectorial real, def Independência linear, def Base, def Subespaço vectorial, def Proposições centrais 1. O R n é um espaço vectorial, prop A unicidade de representação de combinações lineares, prop. 1.19

29 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 27 2 Aplicações lineares 2.1 Aplicações No seguinte M, M 1, M 2,... são sempre conjuntos. Definição 2.1 (Aplicação). F chama-se aplicação de M 1 em M 2, se F associa a cada elemento P M 1 exactamente um elemento Q M 2 como imagem: F : M 1 M 2, P Q = F(P). O ponto Q = F(P) chama-se imagem de P. O conjunto M 1 chama-se domínio e M 2 chama-se conjunto de chegada. Dado um conjunto M, denota-se por id, e chama-se aplicação identidade em M, à aplicação de M em M definida por id(a) = a, para todo o a M. Quando consideramos mais de um conjunto escrevemos também id M para evitar confusão. Definição 2.2. Seja F : M 1 M 2. Dizemos que F é sobrejectiva, se para todo o Q M 2 existe (pelo menos) um P M 1 tal que F(P) = Q. (Cada elemento de M 2 é usado como imagem de F.) F é injectiva, se de P 1, P 2 M 1, P 1 P 2 segue F(P 1 ) F(P 2 ). (Cada elemento de M 2 é no máximo uma vez imagem de F.) F é bijectiva, se F é injectiva e sobrejectiva. (Cada elemento de M 2 é exactamente uma vez imagem de F.) Para uma aplicação sobrejectiva esrevemos tambem F : M 1 M 2. Para uma aplicação injectiva escrevemos também F : M 1 M 2. Para uma aplicação bijectiva escrevemos também F : M 1 M 2. Definição 2.3. Seja F : M 1 M 2 uma aplicação. O conjunto im(f) := F(M 1 ) := {Q M 2 existe um P M 1 tal que Q = F(P)} chama-se imagem de F (ou contradomínio de F ). Nota 2.A. im( ) é um funcional, i.e., uma função de tipo elevado. Isto significa, neste caso, que o argumento é uma aplicação (função) e o resultado deste funcional é um conjunto.

30 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 28 Assim, uma aplicação F : M 1 M 2 é sobrejectiva se e só se im(f) = M 2. Definição 2.4. Sejam F 1 : M 1 M 2 e F 2 : M 2 M 3 aplicações. A composição de F 1 e F 2 é definida (para P M 1 ) por: F 2 F 1 : M 1 M 3, (F 2 F 1 )(P) := F 2 (F 1 (P)). Exemplo 2.5. Consideramos F 1 : R 2 R 3, F 1 ( a) = (a 1 + a 2, a 1, a 2 ) e F 2 : R 3 R 2, F 2 ( b) = ( 1 2 (b 1 + b 2 + b 3 ), 1 2 (b 1 b 2 b 3 )). Então, a composição F 2 F 1 : R 2 R 2 é: F 2 F 1 ( a) = ( 1 2 (a 1 + a 2 + a 1 a 2 ), 1 2 (a 1 + a 2 a 1 + a 2 )) = a. Logo, F 2 F 1 = id R 2. Temos as seguintes proporiedades elementares da composição de aplicações: Proposição 2.6. Sejam F 1 : M 1 M 2, F 2 : M 2 M 3 e F 3 : M 3 M 4 aplicações. 1. F 1 id M1 = F id M2 F 1 = F (F 3 F 2 ) F 1 = F 3 (F 2 F 1 ). (Associatividade) Demonstração. Só 3. não é completamente trivial. Para todo o P M 1 verificase: ((F 3 F 2 ) F 1 )(P) = (F 3 F 2 )(F 1 (P)) = F 3 (F 2 (F 1 (P))) = F 3 ((F 2 F 1 )(P)) = (F 3 (F 2 F 1 ))(P). Aplicações inversas Seja F : M 1 M 2 uma aplicação bijectiva, então podemos definir a aplicação inversa F 1 : M 2 M 1. Para todo o Q M 2 existe exactamente um P M 1 tal que F(P) = Q. Definimos F 1 (Q) = P. Se fazemos as composições F 1 F : M 1 M 1 e F F 1 : M 2 M 2 de F e F 1, verifica-se que F 1 é o inverso de F : Proposição 2.7. Seja F : M 1 M 2 bijectiva com aplicação inversa F 1 : M 2 M 1. Então temos:

31 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I F 1 F = id M1, 2. F F 1 = id M2. Demonstração. 1. Para qualquer P M 1 é F 1 (F(P)) o elemento univocamente determindo P M 1 tal que F(P ) = F(P). Porque F é injectiva, P = P. Então F 1 (F(P)) = P. 2. Exercício. Agora demonstramos que as propriedades 1. e 2. da proposição 2.7 characterizam a (existência de exactamente uma) aplicação inversa. Proposição 2.8. A aplicação F : M 1 M 2 é bijectiva se e só se existe uma aplicação G : M 2 M 1 tal que G F = id M1 e F G = id M2. Para tal G verifica-se G = F 1. Demonstração. : Ver proposição 2.7. : Da identidade G F = id M1 segue que F é injectiva: Sejam P 1, P 2 M 1 tais que F(P 1 ) = F(P 2 ). Então G(F(P 1 )) = G(F(P 2 )), logo P 1 = P 2. Da identidade F G = id M1 segue que F é sobrejectiva: Sejam Q M 2 e P := G(Q). Então F(P) = F(G(Q)) = (F G)(Q) = Q. Seja Q M 2. Para P = G(Q) temos então F(P) = F(G(Q)) = (F G)(Q) = Q. Por definição de F 1 temos F 1 (Q) = P. Então G = F 1. Corolário 2.9. Se trocamos na proposição 2.8 o papel de G e F, segue que G = F 1 é também bijectiva e F = G 1. Então para cada aplicação bijectiva F temos: F = (F 1 ) 1. Notamos em 1.4 que em grupos o inverso direito é também um inverso esquerdo. Sem condições adicionais, não temos este propriedade para aplicações, i.e., em geral, as aplicações com a operação de composição não temos a estrutura de um grupo. Para mostrar a existência de uma aplicação inversa temos de mostrar ambas proporiedades da proposição 2.8 como podemos ver do seguinte exemplo. Exemplo Para oas aplicações F 1 e F 2 do exemplo 2.5 mostrámos que F 2 F 1 = id R 2. Se F 1 fosse bijectiva, teríamos F1 1 : R 3 R 2 e então F1 1 =

32 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 30 id R 2 F1 1 = (F 2 F 1 ) F1 1 = F 2 (F 1 F1 1 ) = F 2 id R 3 = F 2. Então F 1 F 2 = F 1 F1 1 = id R 3. Mas (F 1 F 2 )( b) = (b 1, 1(b 2 1+b 2 +b 3 ), 1(b 2 1 b 2 b 3 )), então, por exemplo (F 1 F 2 )(0, 0, 1) = (0, 1, 1). Logo, F F 2 id R 3 e então F 1 não é bijectiva. Proposição Sejam F 1 : M 1 M 2 e F 2 : M 2 M 3 aplicações. Temos para a composição G = F 2 F 1 : 1. Sejam F 1 e F 2 injectivas, então G é injectiva. 2. Sejam F 1 e F 2 sobrejectivas, então G é sobrejectiva. 3. Sejam F 1 e F 2 bijectivas, então G é bijectiva. Demonstração. 1. Sejam P 1, P 2 M 1 tais que G(P 1 ) = G(P 2 ), i.e., F 2 (F 1 (P 1 )) = F 2 (F 1 (P 2 )). Então F 1 (P 1 ) = F 1 (P 2 ) porque F 2 é injectiva. Porque F 1 é injectiva temos também P 1 = P Exercício. 3. Segue de 1. e 2. Proposição Sejam as aplicações F 1 : M 1 M 2 e F 2 : M 2 M 3 bijectivas. Então: (F 2 F 1 ) 1 = F1 1 F2 1. Demonstração. Seja G := F1 1 F2 1. Porque a composição de aplicações é associativa temos: e também (F 2 F 1 ) G = F 2 (F 1 F1 1 ) F2 1 = F 2 id M2 F2 1 = id M3 G (F 2 F 1 ) = F 1 1 (F 1 2 F 2 ) F 1 = id M1. Com proposição 2.8 segue (F 2 F 1 ) 1 = G = F 1 1 F 1 2.

33 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I Aplicações lineares Aplicações lineares são aplicações particulares entre espaços vectoriais. Estas aplicações respeitam a adição e a multiplicação por escalares. Porque cada espaço vectorial é um grupo comutativo em relação a adição de vectores, consideremos num primeiro passo aplicações entre grupos que respeitam a operação do grupo. Homomorfismos Neste parágrafo, G 1 e G 2 são sempre grupos. Usamos o mesmo símbolo + para a operação em G 1 e G 2. Também usamos o mesmo símbolo 0 para o elemento neutro de G 1 e G 2. Mas, em ambos casos podemos usar cores para distinguir os símbolos. Definição 2.13 (Homomorfismo de grupos). Uma aplicação F : G 1 G 2 chamase homomorfismo de grupos, se para todos os x, y G 1 verifica-se: F(x + y) = F(x) + F(y). Dizemos que F respeita a operação de grupos +. Homomorfo é um derivado do grego e significa mais ou menos da mesma forma. Exemplo F : (R +, ) (R, +), F(x) = ln x (ln é a função logaritmo) é um homomorfismo de grupos, porque ln (x y) = ln x + ln y. 2. G : (R, +) (R, +), G(x) = 1 + x não é um homomorfismo de grupos. Nota 2.B. O primeiro exemplo foi extremamente importante na história da matemática, e da ciência, técnica e economia em geral, porque permite reduzir a multiplicação à adição. Antes da introdução da régua de calcular, e mais tarde das máquinas de calcular, o uso de tabelas de logaritmos foi para mais do que 300 anos o método principal para multiplicar números grandes. Proposição Seja F : G 1 G 2 um homorfismo de grupos. Então 1. F(0) = 0, 2. F( x) = F(x), para todo o x G 1. Demonstração. De F(0) = F(0 + 0) = F(0) + F(0) segue F(0) = 0.

34 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 32 Com 1. temos 0 = F(0) = F(x + ( x)) = F(x) + F( x) e então F(x) = F( x). Definição 2.16 (Aplicação linear). Uma aplicação F : V 1 V 2 chama-se aplicação linear ou homomorfismo de espaços de vectores, se 1. para todos os x, y V 1, F(x + y) = F(x) + F(y), (Aditividade) 2. para todos os a R e x V 1, F(a x) = a F(x). (Homogeneidade) Então, uma aplicação linear respeita as operações de um espaço vectorial. A condição 1. significa que F é, em particular, um homomorfismo de grupos (V 1, +) (V 2, +). É óbvio, que a aplicação identidade id : V V é sempre uma aplicação linear. Corolário Seja F : V 1 V 2 uma aplicação linear, e sejam x 1,...,x n V 1 e a 1,...,a n R. Então 1. F ( n i=1 a ix i ) = n i=1 a if(x i ), 2. sejam x 1,...,x n linearmente dependente, então F(x 1 ),..., F(x n ) são também linearmente dependente. 3. sejam F(x 1 ),...,F(x n ) linearmente independente, então x 1,..., x n são também linearmente independente. A primeira propriedade pode ser exprimida por: Uma aplicação linear (de V 1 em V 2 ) associa a cada combinação linear (de V 1 ) uma combinação linear (de V 2 ). Demonstração. Este propriedade segue com uma demonstração indutiva fácil sobre n das proporiedades de uma aplicação linear. Sejam x 1,...,x n linearmente dependentes, então existem a 1,...,a n R com n i=1 a ix i = 0 V1 com pelo menus um a i 0. Com proposicação 2.15 e 1. segue: 0 V2 = F(0 V1 ) = F( n i=1 a ix i ) = n i=1 a if(x i ). Então 0 V2 é combinação linear não-trivial de F(x 1 ),...,F(x n ). Isto é o contrareciproco de 2.

35 /12/2008 ÁLGEBRA LINEAR I 33 Proposição Sejam F 1 : V 1 V 2 e F 2 : V 2 V 3 aplicações lineares. Então F 2 F 1 : V 1 V 3 é também uma aplicação linear. Demonstração. Precisamos de verificar as condições 1. e 2. da definição Para x, y V 1 e a R temos: (F 2 F 1 )(x + y) = F 2 (F 1 (x + y)) = F 2 (F 1 (x) + F 1 (y)) = F 2 (F 1 (x))+f 2 (F 1 (y)) = (F 2 F 1 )(x)+(f 2 F 1 )(y) e (F 2 F 1 )(a x) = F 2 (F 1 (a x)) = F 2 (a F 1 (x)) = a F 2 (F 1 (x)) = a (F 2 F 1 )(x). Proposição Seja F : V 1 V 2 uma aplicação linear. Então a imagem im(f) = {F(x) : x V 1 } é um subespaço de V 2, e verifica-se dim(im(f)) dim V 1. Demonstração. A primeira parte é óbvio (porque F é um homomorfismo); a segunda parte segue do corolário anterior A próxima proposição mostra que a linearidade duma aplicação F é uma propriedade muito forte: As imagens de um sistema de geradores já determinam complementamente F. Proposição Seja V 1 = x 1,...,x n um espaço vectorial gerada por x 1,...,x n. Sejam F, G : V 1 V 2 aplicações lineares com F(x i ) = G(x i ) pare i = 1,..., n. Então F = G. Demonstração. Precisamos de demostrar que F(x) = G(x) para todo o x V 1. Seja x V 1. Então existem a 1,...,a n R tal que x = n i=1 a ix i. Do corolario segue: n n n n F(x) = F( a i x i ) = a i F(x i ) = a i G(x i ) = G( a i x i ) = G(x). i=1 i=1 i=1 i=1 Construção de aplicações lineares A proposição seguinte é fundamental; mostra a existência de aplicações lineares não-triviais entre espaços vectoriais de dimensão finita. A demonstração dá mesmo um método de construção, a extensão linear. Lembramos à proposição 1.26 que diz que cada espação vectorial de dimensão finita tem uma base. Proposição 2.21 (Teorema da extensão linear). Seja {x 1,..., x n } V 1 uma base de V 1. Sejam y 1,..., y n V 2 vectores arbitrários. Então existe uma e só uma aplicação linear F : V 1 V 2 tal que F(x i ) = y i, para i = 1,...,n.