Convergência forte de estimadores, erros com decaimento exponencial no infinito e colapso de erros radiais

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1 Actas do XIII Cogresso Aual da SPE 1 Covergêcia forte de estimadores, erros com decaimeto expoecial o ifiito e colapso de erros radiais João Lita da Silva Departameto de Matemática FCT/UNL e CMA/UNL João Tiago Mexia Departameto de Matemática FCT/UNL e CMA/UNL Pedro Corte Real Departameto de Matemática FCT/UNL e CMA/UNL Mauel L. Esquível Departameto de Matemática FCT/UNL e CMAF//UL Resumo: Itroduz-se uma metodologia de liearização de estimadores ão lieares e estuda-se a covergêcia forte desses estimadores quado o erro das observações satisfaz hipóteses adequadas, por exemplo, ter decaimeto expoecial o ifiito. Explora-se o colapso do erro, que é uma cosequêcia do método de liearização, o caso dos erros ormais. Palavras chave: Estimação, covergêcia forte dos estimadores, colapso do erro Abstract: A estimator liearizatio methodology is itroduced i order to study strog covergece of estimators wheever the observatio error satisfies adequate hypotheses as, for istace, havig expoetial decay at ifiity. We explore error collapse, which is a cosequece of the liearizatio method, i case of ormal errors. Keywords: Estimatio theory, strog cosistecy of estimators, error collapse 1 Itrodução Cosideremos um modelo para as observações dado por y = µ+e, em que µ é um dado valor umérico e e é um erro aleatório. Seja y = (y 1,..., y ) o vector das observações idepedetes da forma y = µ + e em que para todo o N existe µ R e (e ) N é uma sucessão iid tal que e e. Note-se que para duas variáveis aleatórias X e Y, a expressão X Y sigifica que as variáveis são ideticamete distribuídas e a expressão X Y idicará que as variáveis são idepedetes. Supohamos agora um estimador da forma Θ s = g s (y ) ode para cada N, g s é uma aplicação regular (um setido que toraremos mais preciso adiate) defiida em R tomado valores em R s para s < fixo. Num exemplo trivial cohecido g 1 (x 1,..., x ) = (x x )/, e o estimador que estamos a cosiderar toma a forma Θ 1 = µ µ + e e.

2 J. Lita da Silva et al. /Covergêcia Forte Se a sucessão de úmeros reais (µ k ) k N coverge para µ e E ( e ) < + etão, pela lei forte dos grades úmeros, como lim + (e e )/ = E(e), quase certamete e dado que pelo lema de Cesàro se tem que lim + (µ µ )/ = µ, a sucessão dos estimadores (Θ 1 ) N covergirá fortemete para µ + E(e). Em suma, este trabalho aalisaremos fuções g s ão ecessariamete lieares e apresetaremos codições pouco restritivas que coduzirão à covergêcia quase certa (q.c.) da sucessão de estimadores (Θ s ) N. 1.1 Notações e resultados algébricos Relembramos que o espectro de A M p (R), para uma matriz quadrada geérica de ordem p é o cojuto σ(a) := { λ C : det(λi A) = } sedo o raio espectral de A dado por: ρ(a) := sup { λ : λ σ(a) }. Cosideramos a orma euclidiaa em R p e a orma subordiada usual de A é dada por: A := sup x Rp \{} Ax / x Represete-se por A T a trasposta de A. Usaremos o que vai seguir-se os factos cohecidos seguites (veja-se, por exemplo, [] ou [8][p. 5-53]) A = if {C R : Ax C x para todo o x R p }. (1) ρ(a) = lim + A 1/ () A = ρ(a T A) (3) 1. Variáveis aleatórias com decaimeto expoecial Leis de probabilidade como a lei Gama, χ, Log-ormal, Weibull e Pearso de tipo III, etre outras, (veja-se, por exemplo, a referêcia[4][p ]) têm um comportameto assimptótico otável que clarificamos seguidamete. Defiição 1 Uma variável aleatória X, com desidade f X, tem decaimeto expoecial o ifiito (DEI) se para algus α e β >, γ > : ( ) ( ) f X (x) = x O x α e β x γ e f X (x) = x + O x α e βxγ. (4) Observação 1 Se X é uma variável aleatória com decaimeto expoecial, X também é uma variável aleatória com decaimeto expoecial. Se X tem DEI, etão X também tem DEI quado α > 1. Note-se que uma variável aleatória com DEI tem mometos de todas as ordes. Com efeito, pelas fórmulas (4) tem-se que x k f X (x) dx ( + m ) sup x k m x M M K x k+α e β x γ dx+ m f X (x) dx + M L x k+α e βxγ dx < +.

3 Actas do XIII Cogresso Aual da SPE 3 A proposição seguite justifica a deomiação dada às variáveis aleatórias itroduzidas a aterior defiição 1. Proposição 1.1 Seja Xuma variável aleatória com DEI admitido uma desidade f X que verifique (4). Etão P ( X u ) ( ) = u + O u α e c βuγ (5) com c = { 1 if γ 1 γ 1 if γ < 1. (6) Mais precisamete, tem-se por exemplo que existe S = S(1) > tal que para u 1, P ( X u ) S ( u α R + Q) e cβ u γ com R = Q = (y) α e cβyγ dy. e cβyγ dy e Demostração. Observe-se que pela mudaça de variável y = x u se tem que, para u > arbitrariamete grade e para L = L(u), P ( X u ) = u f X (x) dx L u x α e βxγ dx = L As desigualdades dadas, para y > e u >, por, { (y + u) α y α + u α se α 1 (y + u) α α 1 (y α k + u α ) se α < 1, mostram que para c defiida por (6) se tem que (y+u) α e β(y+u)γ dy. (y + u) α e β(y+u)γ dy e cβuγ (y + u) α e cβyγ dy. Efectuado a decomposição do itegral com Q e R defiidas como o euciado (y + u) α e cβyγ dy = u u (u) α e cβyγ dy + (y + u) α e cβyγ dy + u (y) α e cβyγ dy (u) α R + Q u (y + u) α e cβyγ dy e com uma majoração semelhate para P ( X u ), a tese fica estabelecida. O resultado seguite é útil para a demostração da proposição 3.1.

4 4 J. Lita da Silva et al. /Covergêcia Forte Proposição 1. Seja X uma variável aleatória com DEI e (X ) N uma sucessão de variáveis aleatórias tais que X X e (a ) N uma sucessão de úmeros ão egativos tais que lim a = + e + + =1 aα /e ζ aγ < + para qualquer ζ >. Etão tem-se que: lim + X /a = q.c. Demostração. Em cosequêcia da fórmula (5), para todo o ɛ ( > e ) N suficietemete grade, para uma dada costate K >, P X > ɛ K (a ɛ) α c β (a ɛ)γ e, garatido-se assim, pela codição dada o euciado, que se verifica ( ) + =1 P X a > ɛ < +. Esta covergêcia implica a covergêcia quase certa para zero de (X /a ) N. Liearização do estimador Supohamos que para cada N se tem que g s C 1 (R ; R s ) e represetemos por Dg s a aplicação diferecial de g s. Em cocordâcia com o modelo que supusemos verificar-se e com as expressões da itrodução tem-se que, com µ := (µ 1,..., µ ) e e := (e 1,..., e ): Θ s = g s (y ) = g s (µ + e ) = g s (µ ) + Dg s (λ ) e, (7) em que λ é um poto aleatório o cojuto l = { ty + (1 t)µ : t ], 1[ }. O lado direito da fórmula resulta da aplicação do teorema do valor médio à fução h(t) = g s ( ty + (1 t)µ ). Nos resultados que apresetamos este trabalho suporemos que se verificam sistematicamete as duas codições seguites. Codição.1 A sucessão (g s (µ )) N coverge para g s. Codição. Existe uma sucessão umérica (a ) N tal que lim a = + + tal que para quase todo o ω Ω, existe um úmero ão egativo κ = κ(ω) tal que: [ lim sup a ρ ( Dg s (λ ) T Dg s (λ ) ) ] (ω) κ(ω). (8) + Supodo etão que estão verificadas as codições.1 e.. Para demostrar que a sucessão de estimadores (Θ s ) N coverge quase certamete para g s, bastará observar que, pelas formulas (3), (7), temos quase certamete que: a Θ s g s Dg s (λ ) e + g(µ s ) g s = = ρ ( Dg s (λ ) T Dg s (λ ) ) e + g(µ s ) g s κ e a + g s (µ ) g s. (9)

5 Actas do XIII Cogresso Aual da SPE 5 Em cosequêcia, para demostrar a covergêcia forte da sucessão de estimadores (Θ s ) N é suficiete demostrar que: lim + e /a = q.c.. Repare-se que isto ão é mais do que afirmar uma lei forte dos grades úmeros para a sucessão de variáveis iid equidistribuídas com e, uma vez que se tem e /a = (e e )/a. Para sucessões (a ) N verificado a = p para algum p ] 1, + [, a lei forte dos grades úmeros de Kolmogorov, Marcikiewicz e Zygmud tal como é apresetada em [7][p. 51], por exemplo, dá-os um primeiro resultado para erros ão degeerados, isto é, erros tais que E ( e ). Com efeito, o resultado referido diz-os que para uma sucessão de variáveis aleatórias iid (ξ ) N e para q ], [, ξ ξ / 1/q coverge quase certamete se e só se E ( ξ 1 q ) < + e, ou q 1 ou E(ξ 1 ) =. No caso em que há covergêcia o limite é igual a E(ξ 1 ) se q = 1 e se q < 1. Como cosequêcia e para erros ão degeerados, e / p covergirá para zero se e só se p > 1 e E ( e /p) < +. Podemos pois usar este procedimeto de liearização dos estimadores para um primeiro resultado Teorema.3 Supoha-se que, para além das codições.1 e. se verificam as seguites codições: 1. Para algum p > 1 tem-se que E ( e /p) < +.. A sucessão de úmeros ão egativos (a ) N da codição. verifica 1/a = O (1/ p ) Etão a sucessão de estimadores (Θ s ) N coverge fortemete para g s. Demostração. Dado que se tem, Θ s g s κ e a + g(µ s ) g s a tese é cosequêcia da lei forte de Kolmogorov, Marcikiewicz ad Zygmud que os autoriza a escrever, lim + e /a K lim + e / p =, para K costate ão egativa. Os resultados seguites exploram estas observações iiciais em cojução com o lema de Kroecker e o teorema das três séries de Kolmogorov. Os resultados podem aplicar-se a erros cuja distribuição tem DEI. Teorema.4 Supoha-se que, para além das codições.1 e. se verificam as seguites codições para o erro, e, das observações: + =1 + a =1 + =1 P ( e > a ) < + ; (1) 1 E ( e ) I {e a a } < + ; (11) 1 E ( e 4 I {e a }) < +. (1)

6 6 J. Lita da Silva et al. /Covergêcia Forte Etão a sucessão de estimadores (Θ s ) N coverge fortemete para g s. Demostração. No cotexto em que desevolvemos este trabalho, se defiirmos Z := e /a e Z := (e /a )I {(e /a )/ 1} o cojuto de codições (1), (11) e (1) pode ser reescrito como + =1 P( Z > 1 ) < +, + =1 E( Z ) < + e + =1 σ (Z ) < +, o que pelo teorema das três séries de Kolmogorov (veja-se [1][p. 117]) é equivalete à covergêcia quase certa de + =1 Z = + =1 e /a. Pelo teorema de Kroecker tem-se que lim + e /a = q.c.. Pelo que a tese euciada é cosequêcia das hipóteses e da majoração dada pela fórmula (9). O resultado seguite dá codições mais simples para a covergêcia forte dos estimadores quado os erros têm decaimeto expoecial o ifiito. Corolário.5 Supoha-se que, para além das codições.1 e., se verificam as seguites hipóteses: 1. A sucessão (a ) N verifica + =1 1/a < +.. O erro, e, é uma variável com DEI. Etão a sucessão de estimadores (Θ s ) N coverge fortemete para g s. Demostração. A codição dada pela fórmula (1) é cosequêcia de (5) para variáveis aleatórias com DEI. Da hipótese formulada em 1 obtemos, primeiramete + =1 1/a < + e, uma vez que, E ( e I {e a }) E ( e ) < + e E ( e 4 I {e a }) E ( e 4 ) < +, obtemos e + =1 + a =1 1 E ( e ) ( I {e a a } E e ) + 1 < + a =1 1 E ( e 4 ) ( I {e a } E e 4 ) + =1 1 a < +, pelo que as codições (11) e (1) são verificadas ficado assim completa a demostração. O resultado seguite aplica-se sempre que a variável aleatória erro tem um mometo de ordem dois. Teorema.6 Supoha-se que, para além das codições.1 e. se verificam as seguites hipóteses:

7 Actas do XIII Cogresso Aual da SPE 7 1. A sucessão (a ) N verifica adicioalmete, + =1 1/a < + e a = O(1).. Os erros das observações e são equidistribuídos com uma variável aleatória, e, tal que E ( e ) < +. Etão a sucessão dos estimadores (Θ s ) N coverge fortemete para g s. Demostração. Como cosequêcia do teorema de Marciekiewicz-Zygmud (veja-se [1][p. 119]) a codição sobre a sucessão (a ) N o euciado implica que + =1 e /a covirja quase certamete e logo, usado mais uma vez o lema de Kroecker o resultado fica demostrado. Até aqui temos baseado as demostrações o lema de Kroecker s para demostrar que lim + e /a =, em resultado da aplicação da lei forte dos grades úmeros que os garate a existêcia de lim + e /a. No que vai seguir-se poderemos fazer uso de outros resultados com o mesmo fim, omeadamete as leis forte e fraca dos grades úmeros de Feller, ultrapassado assim a ecessidade do lema de Kroecker. Teorema.7 Supoha-se que, para além das codições.1 e., se verifica adicioalmete que o erro das observações, e, verifica aida a codição + =1 P( ) e > a < + e uma das seguites hipóteses (a), (b) ou (c) é satisfeita: (a) A sucessão (a /) N é ão decrescete e lim + a / = +. (b) A sucessão (a /) N O(). é ão crescete, E(e) = e a + j= (1/a j ) = (c) E(e) =, a + j= (1/a j ) = O() e a j=1 (1/a j) = O() Etão há covergêcia forte da sucessão de estimadores (Θ s ) N para g s. Demostração. Pela lei forte dos grades úmeros de Feller (veja-se [1][p. 16]) as codições do euciado garatem que: lim + e /a = quase certamete. Deste modo, a tese fica estabelecida pelo processo já usado ateriormete. 3 Leis radiais e colapso do erro Em termos gerais, postular uma lei radial (isto é, uma lei cuja fução distribuição o poto x depeda apeas da orma de x) para a distribuição cojuta do vector dos erros (e 1,..., e ), vector defiido para cada N, é uma

8 8 J. Lita da Silva et al. /Covergêcia Forte hipótese atural com sigificado claro, omeadamete, que ão há qualquer direcção privilegiada para os erros em R, para cada N. Assim, esta hipótese é uma tradução matemática atural da hipótese de ão existêcia de erros sistemáticos. Cotudo, assumir uma lei radial para a desidade cojuta dos erros (e 1,..., e ), da amostra (µ 1 + e 1,..., µ + e ), ão costitui uma verdadeira extesão do caso em que se assume uma lei Gaussiaa para os erros. Com efeito, sabe-se que (veja-se por exemplo [5][p. 13]), que se ν é uma medida de probabilidade em R ivariate relativamete às trasformações ortogoais e é ao mesmo tempo o produto de duas medidas cocetradas em subespaços ortogoais ão triviais de R, etão, ou se verifica ν = δ, a medida ( de Dirac, ou ) ν é a medida Gaussiaa com desidade x 1/((4πσ) / ) exp x /(4σ) para algum σ >. Como os (e 1,..., e ), expressos a base caóica de R, são variáveis aleatórias idepedetes, há uma decomposição óbvia da lei cojuta de (e 1,..., e ) o produto de duas medidas cocetradas em subespaços ortogoais ão triviais, mostrado assim que uma lei radial para erros idepedetes é ecessariamete Gaussiaa ou degeerada. Em cosequêcia, se assumirmos que os erros radiais são idepedetes estamos a assumir que têm lei Gaussiaa e teremos que levar em liha de cota o facto seguite a que daremos o ome de feómeo da cotracção do erro. Na primeira liha da fórmula (9) poder-se-ia ter, em vez de Dg s (λ ) e, a fórmula Dg s (λ ) e Ω em que e Ω é a projecção ortogoal de e em Ω o espaço imagem da aplicação liear Dg s (λ ). Dado que Dg s (λ ) é uma aplicação liear aleatória, Ω, a imagem dessa aplicação, é também um espaço aleatório. Cotudo, como g s toma os seus valores em R s, para um s N fixo, Ω é certamete um subespaço de R s. Isto mostra que as estimativas da fórmula (9), pode-se cosiderar em vez de e, que é um vector de dimesão, o vector projectado e Ω que é um vector de dimesão s para s fixo. No caso da lei Gaussiaa para erros idepedetes iremos mostrar que o facto da distribuição de e Ω ser idepedete de permite um melhorameto do teorema.4. Vejamos agora um exemplo o feómeo da cotracção do erro. 3.1 Lei de Gauss e colapso do erro Seja (e ) N uma sucessão de variáveis aleatórias iid com lei N (, σ ). Cosidere-se para cada N o vector aleatório e = (e 1,..., e ) e e Ω a respectiva projecção ortogoal em Ω, um subespaço aleatório de R s com dimesão iferior ou igual a s. Temos o seguite resultado assimptótico. Proposição 3.1 Seja (a ) N uma sucessão de úmeros ão egativos tal que lim a = + e para ζ ] [, admita-se que =1 e ζ a < +. Etão verifica-se que lim + (1/a ) e Ω =, quase certamete. Demostração. Em cosequêcia do teorema de Cochra (veja-se [3][p ]) e das hipóteses cosideradas sobre e, temos e Ω σ χ s pelo que

9 Actas do XIII Cogresso Aual da SPE 9 o resultado euciado decorre aturalmete da distribuição de e Ω ão depeder de. Mais precisamete, como e Ω, que tem distribuição χ tem DEI, por aplicação da proposição 1., o resultado segue. Vamos agora euciar e demostrar um resultado geral o cotexto de erros idepedetes com lei radial. Teorema 3. Supoha-se que, para além das codições.1 e., se verifica adicioalmete que: 1. Para ζ ], 1/[ a sucessão (a ) N verifica + =1 e ζ a < +. Tem-se que e N (, σ ). Etão a sucessão de estimadores (Θ s ) N coverge fortemete para g s. Demostração. Note-se que de acordo com a fórmula (7), temos os estimadores Θ s = g s (µ ) + Dg s (λ ) e Ω em que e Ω é a projecção ortogoal de e o espaço imagem Ω de Dg s (λ ) e que dim(ω ) s. Deste modo, Θ s g s Dg s (λ ) e Ω + g s (µ) g s. (13) Utilizado a proposição 3.1 e a hipótese a fórmula (8), temos quase certamete, lim sup + Dg s (λ ) e Ω (lim sup + ( ) 1 lim sup e + a Ω [ a ρ ( Dg s (λ ) T Dg s (λ ) )]) κ lim + ( ) 1 e a Ω =. Esta última majoração cojugada com as hipóteses formuladas o teorema e com a primeira majoração mostram que lim + Θ s g s =. Observação Se para além das codições.1 e., os erros forem ormais N (, σ ) e a aplicação Dg s (λ ) for ão-estocástica tem-se a covergêcia forte de (Θ s ) N para g s uma vez que lim sup e Ω existe e é fiito quase certamete (ver + [6]). 4 Exemplos de aplicação Nesta secção apresetamos dois cojutos de exemplos a que os resultados estudados acima se aplicam. Os primeiros dois exemplos A e B mostram que, o caso da regressão liear, o raio espectral da matriz relevate pode ter uma velocidade de covergêcia para zero sigificativa. Os dois últimos exemplos, C e D, são estimadores ão lieares aos quais a teoria desevolvida se aplica.

10 1 J. Lita da Silva et al. /Covergêcia Forte Exemplo A. Para > 1 supõe-se, [ ] X T = Cosequetemete, X T X = e usado as fórmulas, ( + 1)( + 1) = = ( = ( + 1)( + 1)( ) 3 podemos reescrever X T X como, ( + 1)( + 1) X T 6 X = ( ( ( + 1)( + 1)( ) 3. (14) (15) (16) Em cosequêcia, os valores próprios ϑ 1 ad ϑ de ( X T X ) 1 têm o comportameto assimptótico seguite, lim + ϑ 1 / 1 3 = 48 e lim + ϑ / 1 5 = 5. Exemplo B. Pode-se aumetar a velocidade de covergêcia para zero do raio espectral. Para > 1 admita-se que, [ ] Y T 1 = Do mesmo modo que o exemplo aterior, pode mostrar-se que Y T Y se pode reescrever a forma, Y T Y = ( + 1)( + 1)( ) 3 ( + 1)( ( + 1)( ( + 1)( + 1)( ) 4

11 Actas do XIII Cogresso Aual da SPE 11 Em cosequêcia, os valores próprios υ 1 e υ de ( Y T Y ) 1 têm o seguite comportameto: lim + υ 1 /(1/ 5 ) = 18 e lim + υ /(1/ 7 ) = 7. Observação 3 Cosideremos o modelo liear dado por y = X β + e em que e := (e 1,..., e ), sedo os erros e 1,..., e variáveis aleatórias iid e em que matriz de modelo X := [ x ij ]i=1,,..., pode ser escolhida de acordo com o j=1,,...,κ modelo experimetal. O vector parâmetro β := (β 1,..., β κ ) é estimado pelas observações y := (y 1,..., y ) para um cojuto de valores das variáveis cotroladas. Note-se que o raio espectral de uma matriz é dado pelo maior dos valores absolutos dos valores próprios da matriz. Assim, os dois exemplos ateriores mostram que sempre que um modelo os erros teham uma distribuição com cauda arbitrariamete pesada, é possível fazer com que o estimador do parâmetro seja covergete quase certamete, através de uma escolha adequada da matriz X. Nos exemplos seguites mostramos que se cosiderarmos pesos adequados para a sucessão das observações, o raio espectral da aplicação diferecial quado multiplicada pela sua trasposta pode ter uma velocidade de covergêcia para zero suficiete para que o estimador seja covergete quase certamete, pelo meos o caso dos erros de quadrado itegrável. Exemplo C. Seja f(x 1 1,..., x ) = cos ( ) x x e supoha-se µ = 1 τ, com (τ ) N uma sucessão covergete tal que lim + τ = τ R. τ Pelo lema de Cesàro obtem-se lim τ + = τ o que implica que se verifique lim f (µ 1 1,..., µ ) = cos ( ) τ. Por outro lado, para algum vector + aleatório λ := (λ 1,..., λ ) l: [ Df 1 (λ ) T = 1 ( si λ λ )... 1 ( ) ] si λ λ Aplicado o teorema.6 com a = 4 podemos cocluir Θ1 cos ( ) τ + sempre que E ( e ) < + uma vez que se tem: ρ ( Df 1 (λ ) T Df 1 (λ ) ) = 1 4 si si ( ) λ λ +... ( ) λ λ 4. Exemplo D. Cosidere-se, g 1 (x 1,..., x ) = log (1 + ( (x x )/ ) e admita-se que µ = ( 1) v, sedo (v ) N uma sucessão covergete

12 1 J. Lita da Silva et al. /Covergêcia Forte verificado lim + v = v R. Pelo lema de Cesàro, lim + (v ( 1)v )/ = v o que implica que lim + g1 (µ 1,..., µ ) = log ( 1 + v ). Por outro lado, para algum vector aleatório λ := (λ 1,..., λ ) l tem-se: [ ( λ1+...+λ ) ( λ1+...+λ ) ] Dg 1 (λ ) T = 1 + ( λ λ... = 4 3 [ 1 + ( ) λ λ Pelo que, uma vez que a fução real u(t) = t/(1 + t atige o máximo para t o seu úico poto crítico t = 1, ρ ( Dg 1 (λ ) T Dg 1 (λ ) ) ( 4 λ1+...+λ ( 4 λ1+...+λ = 4 [ 1 + ( λ λ ] [ 1 + ( λ λ ] = ( λ1+...+λ 1 + ( λ λ ] = 1 3 Aplicado o teorema.6 com a = 3 pode cocluir-se a covergêcia forte do estimador Θ 1 log ( ) ( 1 + v ) sempre que E e < +. + Agradecimetos Este trabalho foi realizado com apoio parcial da FCT (Fudação para a Ciêcia e Tecologia), programa POCTI (Portugal/FEDER-EU). Ao referee, o obrigado de cada um dos autores pelos cometários amáveis e pelas umerosas e justas correcções sugeridas. Referêcias [1] Chow, Y. S. Teicher, H. (1988) Probability Theory, secod editio, Spriger Verlag New York. [] Ciarlet, P. G. (198) Itroductio à l Aalyse Numérique Matricielle et à l Optimisatio, Masso Paris 198. [3] Didier Dacuha-Castelle, Duflo M. (198) Probabilités et Statistiques, Tome 1, Masso Paris. [4] Koroliouk V. (1983) Aide-mémoire de Théorie des Probabilités et de Statistique Mathématique, Éditios MIR Moscou. [5] Makarov, B. M. Goluzia, M. G. Lodki, A. A. Podkorytov, A. N. (199) Selected Problems i Real Aalysis, AMS. [6] Mexia, J. T. Lita da Silva, J. (6) Least squares estimator cosistecy: o error stability (submetido para publicação) [7] Kalleberg, O. (1997) Foudatios of Moder Probability, Spriger Verlag. [8] Rudi, W. (1991) Fuctioal Aalysis, secod editio, McGraw-Hill New York.