CALIBRAÇÃO DE UM SISTEMA DUAL DE CÂMARAS DIGITAIS

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Faculdade de Ciências e Tecnologia Campus de Presidente Prudente WIMERSON SANCHES BAZAN CALIBRAÇÃO DE UM SISTEMA DUAL DE CÂMARAS DIGITAIS PRESIDENTE PRUDENTE 2008

2 WIMERSON SANCHES BAZAN CALIBRAÇÃO DE UM SISTEMA DUAL DE CÂMARAS DIGITAIS Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Ciências Cartográficas da Faculdade de Ciências e Tecnologia da UNESP, como parte dos requisitos exigidos para obtenção do título de Mestre em Ciências Cartográficas. Orientador: Prof. Dr. Antonio M. G. Tommaselli Co-orientador: Prof. Dr. Mauricio Galo PRESIDENTE PRUDENTE 2008

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4 Aos meus pais Orestes e Marlene, todos os familiares e amigos, e à minha querida namorada Etiene, por todo o carinho, incentivo e apoio.

5 AGRADECIMENTOS Meus sinceros agradecimentos aos Professores Antonio Maria Garcia Tommaselli e Mauricio Galo pela orientação que tem se estendido ao longo destes últimos anos e tem sido essencial na minha formação. Sem dúvida alguma, vocês são modelos de caráter, profissionalismo e ética que pretendo seguir na minha vida profissional. Ao colega Roberto da Silva Ruy pelo envolvimento e colaboração, no que diz respeito ao desenvolvimento de todo o fluxo de entrada e saída do programa, além das principais rotinas do ajustamento pelo método combinado. Agradeço também à sua participação e dedicação na etapa de coleta das imagens, além de outras tarefas relacionadas ao trabalho desenvolvido. Aos colegas Tiago, Rodrigo e José Marcato Junior, pela colaboração na etapa de coleta das imagens, entre outras tarefas. Aos demais professores do Programa de Pós-graduação em Ciências Cartográficas que contribuíram de alguma maneira com o desenvolvimento deste trabalho. Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo auxílio financeiro concedido através de uma bolsa pesquisa e à empresa Engemap pelo empréstimo das câmaras. Aos amigos que fiz no laboratório de Ciências Cartográficas e sala de permanência dos alunos de Pós-Graduação.

6 Fui moço, e agora sou velho; mas nunca vi desamparado o justo, nem a sua descendência a mendigar o pão (Salmos, 37:25)

7 RESUMO Os sistemas de aquisição de imagens baseados em arranjos de câmaras digitais de quadro, são alternativas que possibilitam um maior recobrimento da área imageada em comparação a um único sensor. Um problema relevante é a determinação dos elementos de orientação relativa entre estas câmaras que permitem a fusão das imagens retificadas e geração de uma imagem com maior cobertura. O cálculo destes parâmetros com base na calibração individual das câmaras não se revelou uma estratégia adequada, tendo se verificado experimentalmente que as variações nestes foram significativamente maiores que as variações físicas esperadas. Para resolver este problema, propõe-se neste trabalho a calibração simultânea de duas câmaras, estabelecendo-se, por meio de injunções, a condição de que os parâmetros de orientação relativa, no caso, a matriz de rotação relativa e a distância entre os centros perspectivos das câmaras são constantes ao longo das aquisições, admitindo-se que a estrutura de suporte das câmaras possua uma certa estabilidade. Foram realizados testes com imagens coletadas por um arranjo composto por duas câmaras Hasselblad H2D, admitindo-se diferentes opções de processamento. Os resultados com dados reais mostraram que a introdução das injunções de orientação relativa permite a obtenção de melhores resultados em relação a calibração individual. Palavras-chave: Calibração de câmaras digitais, calibração de um sistema multicâmaras, fototriangulação com parâmetros adicionais, injunções de orientação relativa, Fotogrametria Digital.

8 ABSTRACT Image acquisition systems based on multi-head arrangement of digital cameras are attractive alternatives enabling larger imaging area when compared with a single frame camera. A key problem is computing the relative orientation (RO) parameters between cameras aiming at rectified image fusion and generation of a higher coverage image. Single camera calibration followed by RO parameters estimation has not presented suitable results because the dispersion in the estimated RO is higher than expected physical variation. In order to solve this problem, this work presents an approach based on simultaneous calibration of two cameras using relative orientation constraints, which can be introduced by the relative rotation matrix and the distance between the perspective centers of each cameras, considering a stable arrangement. Experiments were accomplished with images acquired by an arrangement of two Hasselblad H2D cameras, using different processing options. The experiments shown that the calibration process with RO constraints allows better results than the approach based on single camera calibration Key-Words: Digital camera calibration, multi-camera system calibration, bundle adjustment with additional parameters, relative orientation constraints, Digital Photogrammetry.

9 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO CONSIDERAÇÕES INICIAIS OBJETIVOS ESTRUTURA DO TRABALHO FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA PROJEÇÃO PERSPECTIVA CENTRAL E AS EQUAÇÕES DE COLINEARIDADE Sistema de referência do espaço imagem Sistema de referência do espaço objeto CALIBRAÇÃO DE CÂMARAS Parâmetros de orientação interior Distância focal gaussiana equivalente e distância focal calibrada Ponto principal de autocolimação e de simetria Distorção radial simétrica Distorção descentrada Coeficientes de afinidade Parâmetros de orientação exterior Métodos de Calibração Métodos de laboratório Método do multicolimador Método do goniômetro Métodos de campo Equações de colinearidade com parâmetros adicionais Método dos campos mistos Método das câmaras convergentes Diferenças entre calibração on-the-job e autocalibração Calibração em serviço (on-the-job) Autocalibração (self-calibration) Calibração de estereocâmaras Calibração de uma estereocâmara por autocalibração Calibração de um sistema de vídeo estereoscópico Influência da injunção de base na fototriangulação de imagens de vídeo AJUSTAMENTO PELOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ) Método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunções Teste de hipótese do ajustamento CALIBRAÇÃO DO SISTEMA DUAL DE CÂMARAS DIGITAIS GEOMETRIA DO ARRANJO DUAL SISTEMA SAAPI... 50

10 3.3 CAMPO DE CALIBRAÇÃO MEDIDAS DE FOTOCOORDENADAS COM PRECISÃO SUBPIXEL SOLUÇÃO PARA CALIBRAÇÃO INDIVIDUAL DAS CÂMARAS COM CÁLCULO POSTERIOR DOS ELEMENTOS DE ORIENTAÇÃO RELATIVA METODOLOGIA DESENVOLVIDA PARA CALIBRAÇÃO DO SISTEMA DUAL Desenvolvimento das equações de injunção de orientação relativa Estudo da estrutura das matrizes envolvidas no ajustamento Implementação do programa CMC (Calibração Multicâmaras) Medida da distância entre os CPs localizados a partir das informações técnicas do fabricante EXPERIMENTOS E RESULTADOS EXPERIMENTOS REALIZADOS COM A SOLUÇÃO PARA CALIBRAÇÃO INDIVIDUAL DAS CÂMARAS E CÁLCULO POSTERIOR DOS ELEMENTOS DE ORIENTAÇÃO RELATIVA EXPERIMENTOS REALIZADOS COM A METODOLOGIA DESENVOLVIDA NA SEÇÃO QUE FAZ USO DO RECURSO DE CALIBRAÇÃO MULTICÂMARA Calibração do sistema dual sem injunções de orientação relativa considerando os pontos de apoio originalmente levantados Calibração do sistema dual sem injunções de orientação relativa Considerando os pontos triangulados com injunções de distâncias medidas no espaço objeto Calibração do sistema dual com injunções de orientação relativa Resultados do experimento considerando o primeiro conjunto de injunções admitindo o sistema fisicamente estável, porém não rígido Resultados do experimento considerando o segundo conjunto de injunções admitindo o sistema fisicamente rígido Calibração do sistema dual com injunções de orientação relativa mais uma injunção de distância entre os CPs AVALIAÇÃO DAS DISCREPÂNCIAS DOS PONTOS DE VERIFICAÇÃO RESULTANTES DOS PROCESSAMENTOS DE CALIBRAÇÃO REALIZADOS NOS EXPERIMENTOS DA SEÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS SÍNTESE DOS RESULTADOS CONCLUSÕES RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS ANEXO I ANEXO II ANEXO APÊNDICE APÊNDICE II APÊNDICE III APÊNDICE IV APÊNDICE V

11 LISTA DE FIGURAS Figura Colinearidade entre os pontos: na imagem (p), correspondente no espaço objeto (P) e centro perspectivo da câmara (CP). 16 Figura Relação vetorial ligando os pontos O, CP, p e P. 17 Figura Relação entre o sistema matricial de medida e o sistema com origem no centro da imagem. Figura Obtenção da distância focal calibrada a partir do balanceamento da curva de distorção Figura Ponto principal de autocolimação (ppa). 23 Figura (a) Ponto nodal posterior coincidindo com o ponto de convergência dos eixos dos colimadores e (b) eixo ótico da câmara alinhado com o eixo do colimador central. 27 Figura Goniômetro para calibração de câmaras. 28 Figura (a) Arranjo de câmaras Hasselblad e (b) geometria deste arranjo. 48 Figura Aquisição das imagens pelo arranjo de câmaras convergentes. 50 Figura Campo de calibração originalmente construído com recursos do projeto de mapeamento móvel. 51 Figura Campo de calibração reformado. 52 Figura Fluxograma do processo de calibração pela metodologia desenvolvida. 57 Figura (b) Bloco formado por quatro imagens de (a) duas aquisições com o arranjo dual de câmaras digitais. 60 Figura Estrutura da matriz A de dimensões 100 x Figura Estrutura da matriz C de dimensões 4 x Figura Estrutura da matriz N de dimensões 119 x Figura Estrutura da matriz N C de dimensões 119 x Figura Estrutura da matriz resultante N + N C de dimensões 119 x Figura Entrada e saída de dados do programa. 67 Figura Projeção dos CPs na estrutura de suporte das câmaras do sistema dual. 68 Figura Medição da distância entre os CPs. 69 Figura Exemplo de imagens adquiridas sobre o campo de calibração: (a) estações; (b) aquisições individuais e; (c) aquisições com o arranjo dual. 71 Figura Gráfico de barras dos desvios-padrão apresentados na Tabela

12 Figura Distribuição dos pontos medidos ao longo das 14 imagens tomadas pela câmara 1. Figura Distribuição dos pontos medidos ao longo das 15 imagens tomadas pela câmara Figura 4.5 Resultantes dos resíduos das observações no experimento da Seção Figura Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k no experimento da Seção Figura Desvios-padrão das coordenadas X 0, Y 0 e Z 0 no experimento da Seção Figura 4.8 Resultantes dos resíduos das observações no experimento da Seção Figura Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k no experimento da Seção Figura Desvios-padrão das coordenadas X 0, Y 0 e Z 0. no experimento da Seção Figura 4.11 Resultantes dos resíduos das observações considerando o primeiro conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3). 95 Figura Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k considerando o primeiro conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3). Figura Desvios-padrão das coordenadas X 0, Y 0 e Z 0 considerando o primeiro conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3). Figura 4.14 Resultantes dos resíduos das observações considerando o segundo conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3). Figura Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k considerando o segundo conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3). Figura Desvios-padrão das coordenadas X 0, Y 0 e Z 0 considerando o segundo conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3) Figura 4.17 Resultantes dos resíduos das observações no experimento da Seção Figura Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k no experimento da Seção Figura Desvios-padrão das coordenadas X 0, Y 0 e Z 0 no experimento da Seção Figura Fluxograma do processo de avaliação das discrepâncias considerando os quatro processamentos de calibração descritos. Figura Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro processamento. Figura Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro processamento. Figura Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do segundo processamento. Figura Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do segundo processamento. Figura Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro processamento. Figura Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro processamento

13 Figura Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do quarto processamento. Figura Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do quarto processamento. Figura Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. Figura Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. Figura Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do segundo processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. Figura Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do segundo processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. Figura Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. Figura Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. Figura Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do quarto processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. Figura Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do quarto processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens

14 LISTA DE TABELAS Tabela 3.1 Orientação exterior aproximada das imagens apresentadas pela Figura 3.6a. 61 Tabela 4.1 Parâmetros de orientação interior e desvios-padrão estimados no experimento Tabela 4.2 Parâmetros de orientação interior e desvios-padrão estimados no experimento 2 74 Tabela 4.3 Elementos de orientação relativa médios e seus respectivos desvios-padrão. 75 Tabela 4.4 Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção Tabela 4.5 Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores médios com respectivos desvios (experimento da Seção 4.2.1). 88 Tabela 4.6 Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção Tabela 4.7 Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores médios com respectivos desvios (experimento da Seção 4.2.2). 91 Tabela 4.8 Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção Tabela Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores médios com respectivos desvios (para o primeiro conjunto de injunções nos experimentos da Seção 4.2.3). 97 Tabela 4.10 Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção Tabela Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores médios com respectivos desvios (para o segundo conjunto de injunções nos experimentos da Seção 4.2.3). 100 Tabela 4.12 Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção Tabela 4.13 Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores médios com respectivos desvios (experimento da Seção 4.2.4). 103

15 12 1 INTRODUÇÃO 1.2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS As câmaras fotogramétricas, ou câmaras métricas, têm por finalidade fornecer imagens fotográficas com geometria conhecida, permitindo a correta reconstrução do feixe de raios que gerou as imagens, sendo essa uma das condições que tornam possível o processo de calibração, ou seja, a determinação dos parâmetros geométricos que participam do modelo matemático que relaciona a posição de um objeto no espaço real com a sua posição na imagem fotografada (ANDRADE, 2003). Calibrar uma câmara significa encontrar um conjunto de parâmetros de orientação interior (BROWN, 1966), que inclui a modelagem das distorções provocadas pelo sistema de lentes da câmara e que pode ser feito usando tanto feições pontuais (TOMMASELLI e TOZZI, 1990; GALO, 1993; TOMMASELLI e ALVES, 2001; MACHADO et al, 2003; ANDRADE, 2003) quanto retas (HABIB et al, 2002; TELLES e TOMMASELLI, 2005). Os recentes desenvolvimentos de sensores eletrônicos a base de silício e das câmaras digitais, no que diz respeito ao aumento da resolução e à redução de custos, têm tornado cada vez mais atrativa a utilização destes equipamentos nas tarefas de levantamento fotogramétrico e mapeamento (HABIB e MORGAN, 2003). Além destas vantagens, a reutilização da mídia de gravação e a possibilidade de se fazer a avaliação da imagem em tempo real, são fatores que também contribuem para o aumento do uso dos sensores digitais. Outro problema a ser considerado, diz respeito à pequena área de cobertura dos sensores digitais de quadro, atualmente disponíveis. Existem no mercado três tecnologias destinadas à solução deste problema: as câmaras baseadas nos sensores tri-lineares, podendo-se citar, as câmaras ADS-40 (Leica Geosystems - Hexagon), HRSC-A, HRSC-AX e HRSC-AXW (desenvolvidas pelo Centro Alemão de Pesquisas Espaciais - DLR); a configuração modular de câmaras matriciais convergentes como, por exemplo, o sistema DMC (Z/I Imaging) e, finalmente, os sistemas matriciais com câmaras verticais, como a UltracamX (Microsoft Vexcel) e a DIMAC (Dimac Systems).

16 13 Este trabalho de dissertação foi desenvolvido no contexto do projeto ARMOD - Automação dos processos de Reconstrução e orientação de MODelos (TOMMASELLI, 2004), o qual propõe como solução para o problema de recobrimento o uso de um arranjo de câmaras digitais convergentes disparadas simultaneamente, consistindo de uma alternativa de custo reduzido quando comparada com os sistemas comerciais supracitados. As imagens podem ser retificadas e mosaicadas para formar uma única imagem, ou podem ainda ser processadas isoladamente. Um sistema comercial desta natureza está sendo implementado pela empresa Engemap em parceria com a UNESP, com financiamento da Fapesp, mediante um projeto intitulado SAAPI - Sistema Aerotransportado de Aquisição e Pós-Processamento de Imagens. O emprego desta solução, baseada no arranjo de câmaras convergentes, exige a calibração de todo o sistema e o método de ajustamento aplicado pode envolver o uso de equações de injunções, elaboradas com base nas características físicas ou geométricas do problema, o que implica em uma maior confiança aos parâmetros estimados no processo. 1.2 OBJETIVOS O objetivo geral do trabalho consiste no estudo e desenvolvimento de uma metodologia para a calibração do sistema dual de câmaras digitais convergentes. Conforme mencionado, alguns elementos dentro do arranjo de câmaras se mantêm fixos, podendo ser explorados mediante a elaboração de equações de injunções. No contexto deste trabalho, as injunções (ou restrições) podem ser elaboradas com base na orientação relativa entre as duas câmaras que se mantém fixa ao longo da etapa de aquisição, dado que o sistema é sustentado por uma estrutura considerada fisicamente estável. Com relação aos objetivos específicos do projeto, pretende-se: 1) Testar uma abordagem que se baseia no ajustamento seqüencial dos parâmetros de ambas as câmaras que compõem o arranjo dual, seguido do cálculo dos elementos de orientação relativa;

17 14 2) Desenvolver uma metodologia baseada no ajustamento simultâneo de todos os parâmetros de ambas as câmaras, considerando algumas restrições relacionadas à estabilidade física da orientação relativa; 3) Implementar os algoritmos para aplicação das injunções de orientação relativa na metodologia proposta; 4) Calibrar o sistema dual de câmaras digitais convergentes; 5) Analisar os resultados da calibração, no que diz respeito à influência das injunções na solução. 1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO A Seção 1 apresenta as considerações iniciais bem como os objetivos gerais e específicos deste trabalho. A fundamentação teórica essencial ao desenvolvimento da pesquisa é apresentada na Seção 2, que de maneira geral abrange: o desenvolvimento das equações de colinearidade como modelo matemático adotado na metodologia de calibração desenvolvida; a definição dos principais métodos de calibração, que se dividem entre métodos de laboratório e de campo; três métodos de calibração de estereocâmaras que fazem uso da orientação relativa; os parâmetros adicionais considerados nas equações de colinearidade (parâmetros de orientação interior); e o método de ajustamento aplicado na metodologia desenvolvida. A Seção 3 apresenta a geometria do arranjo de câmaras e uma solução para calibração do sistema, que se baseia no ajustamento individual dos parâmetros de cada câmara (processamento seqüencial), utilizando o aplicativo CC (Calibração de Câmaras) desenvolvido por Galo (1993), seguido do cálculo dos parâmetros de orientação relativa. Apresenta-se, ainda, a metodologia desenvolvida para a calibração do sistema dual de câmaras digitais, baseada no ajustamento simultâneo dos parâmetros de ambas as câmaras, fixando-se, por meio de injunções, os parâmetros de orientação relativa. A Seção 4 apresenta os experimentos e resultados obtidos com a solução que se baseia no ajustamento seqüencial. Apresenta, também, os experimentos e a avaliação da metodologia desenvolvida, considerando a aplicação das injunções de estabilidade da orientação relativa.

18 15 As conclusões e considerações finais do trabalho, bem como as recomendações para trabalhos futuros são apresentados na Seção 5.

19 16 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 2.1 PROJEÇÃO PERSPECTIVA CENTRAL E AS EQUAÇÕES DE COLINEARIDADE As equações de colinearidade constituem o modelo matemático que relaciona os espaços imagem e objeto (LUGNANI, 1987), sendo baseadas no modelo de projeção perspectiva central, que descreve o processo de imageamento no plano focal da câmara, ou no plano de sensores para o caso de uma câmara digital (ATKINSON, 1996; GALO, 1993). Sua dedução se baseia no princípio de que um determinado ponto p na imagem, seu correspondente P no espaço objeto e o centro perspectivo da câmara (CP), são idealmente colineares (Figura 2.1). z y x Espaço imagem Z CP -f y x Plano da imagem p (x p,y p ) Y Z 0 P (X p, Y p, Z p ) Y 0 Espaço objeto O X 0 Fonte: Adaptado de Galo (2005) Figura Colinearidade entre os pontos: na imagem (p), correspondente no espaço objeto (P) e centro perspectivo da câmara (CP). X A Figura 2.2 mostra as relações entre os vetores envolvendo o CP, o ponto p na imagem, seu correspondente P no espaço objeto e a origem O do sistema de referência do espaço-objeto.

20 17 z CP y y x Z -f p x κ φ Y P ω X O Fonte: Adaptado de Galo (2005) Figura Relação vetorial ligando os pontos O, CP, p e P. escrita: Com base na Figura (2.2), a seguinte relação vetorial pode ser OP =OCP+CPP (2.1) O vetor que liga o CP ao ponto objeto P pode ser obtido como resultante de um produto do escalar k pelo vetor que liga o CP ao ponto p na imagem (GALO, 2005). Como CPp é expresso em função das coordenadas no referencial da imagem, considera-se as rotações existentes entre o referencial da imagem, com origem no CP, e o referencial do espaço objeto, com origem em O, aplicando-se a matriz de rotação inversa M 1 ao vetor k CPp. Deste modo, ao considerar CPP=M -1 kcpp a Equação 2.1 pode ser reescrita como: OP=OCP+M -1 kcpp. (2.2) Isolando-se k CPp na Equação 2.2, tem-se:

21 18 k CPp= M(OP-OCP). (2.3) A matriz de rotação M kφω = R(k).R(φ).R(ω) é calculada em função das rotações k, φ, ω, respectivamente, sendo dada por: cosφ cosκ M κ ϕ ω = - cosφ senκ senφ senω senφ cosκ + cosω senκ senω senφ senκ + cosω cosκ senω cosφ cosω senφ cosκ + senω senκ cosω senφ senκ + senω cosκ cosω cosφ, que aplicada às Equações 2.3, resulta nas equações: x X X0 m11 y = Mκϕω. Y Y0 = m21 z Z Z0 m31 m12 m22 m32 m13 X X0 m23. Y Y0 m33 Z Z0 k (2.4) As Equações 2.4 podem ser desenvolvidas a partir de um produto matricial, e escritas conforme segue: x = k y = k z = k [ m11 (X X0 ) + m12 (Y Y0 ) + m13 (Z Z0 )] [ m21(x X0 ) + m22(y Y0 ) + m23(z Z0 )] [ m (X X ) + m (Y Y ) + m (Z Z )] (2.5) Considerando z = -f (f distância focal) na Equação 2.5, conforme ilustra a Figura 2.1, e dividindo as duas primeiras igualdades pela terceira, obtêm-se: m x = f m m y = f m (X X (X X (X X (X X ) + m ) + m ) + m ) + m (Y Y 0 (Y Y (Y Y (Y Y ) + m ) + m ) + m ) + m (Z Z 0 (Z Z (Z Z (Z Z ) ). (2.6) ) ) Sistema de referência do espaço imagem Com relação às tradicionais câmaras métricas, o sistema de coordenadas do espaço imagem é definido a partir das marcas fiduciais que

22 19 integram o corpo da câmara, que são registradas no plano da imagem devido à incidência de iluminação que passa pelo sistema de lentes da câmara, ou por iluminação independente (ATKINSON, 1996). Além da realização do sistema de referência da imagem, as marcas fiduciais permitem ainda corrigir os efeitos da deformação do filme a partir de uma transformação geométrica plana (afim, isogonal ou projetiva), dado que as coordenadas das marcas fiduciais são fornecidas pelo certificado de calibração da câmara. No caso de uma câmara digital, o sistema matricial usado na medição das fotocoordenadas é definido como sendo um sistema cartesiano plano retangular, com origem no canto superior esquerdo da imagem. Os eixos x e y coincidem com as primeiras linha e coluna, respectivamente, sendo o sentido do eixo y definido por uma rotação de 90º em relação ao eixo x, no sentido horário. As coordenadas medidas no sistema matricial, na unidade de pixel, podem ser transformadas para o sistema central da imagem (equivalente ao fiducial), na unidade de milímetros. Para isto, deve-se conhecer a largura (W) e altura (H) da imagem (em pixels), além das dimensões s x e s y do pixel (em milímetros). A Figura 2.3 mostra a relação entre o sistema matricial de medida e o sistema com origem no centro da imagem. y c = 0 c = largura - 1 l = 0 Colunas ( c) (c x, c y ) x H (altura) l = altura - 1 Linhas ( l) W (largura) Figura Relação entre o sistema matricial de medida e o sistema com origem no centro da imagem.

23 20 relação: As Equações 2.7, deduzidas a partir da Figura 2.3, representam esta x = sx[ c cx] y = s [ l c ] y y (2.7) W 1 H 1 sendo ( c x, c y ) = (, ). 2 2 As coordenadas transformadas pelas Equações 2.7 estão referenciadas ao sistema de coordenadas com origem no centro da imagem, equivalente ao sistema fiducial utilizado para o caso das câmaras métricas convencionais Sistema de referência do espaço objeto Em Fotogrametria, a posição de um ponto no espaço objeto é comumente referida a um sistema cartesiano tridimensional, cuja origem, escala e orientação são definidos arbitrariamente, de acordo com o que for mais conveniente, tendo em vista a tarefa a ser realizada (ATKINSON, 1996). Deste modo, uma operação de calibração em campo, por exemplo, pode adotar um sistema de coordenadas cartesiano local, definido com origem próxima ao campo de calibração. Este sistema tem a vantagem de poder ser relacionado com um sistema de coordenadas geodésicas, e vice-versa, a partir de transformações envolvendo rotações e translações (MONICO, 2000). Um exemplo de conveniência na adoção do sistema de referência do espaço objeto, diz respeito à consideração do CP de uma das duas fotos como sendo origem do referencial no processo de orientação relativa analítica (WOLF e DEWITT, 2000). Como exemplo pode-se adotar o CP da foto 1 como origem (X 0 = Y 0 = Z 0 = 0), mais a coordenada X 0 do CP da foto 2 como sendo igual à fotobase b, o que permite a redução dos parâmetros de 12 (6 parâmetros de orientação exterior para cada foto) para 5 parâmetros de orientação relativa (k, φ, ω, Y 0 e Z 0 da foto 2).

24 CALIBRAÇÃO DE CÂMARAS Os parâmetros resultantes do processo de calibração descrevem a geometria interna de uma câmara, incluindo a modelagem das distorções provocadas pelas imperfeições no sistema de lentes, as quais podem comprometer a precisão dos processos fotogramétricos. Para o caso das câmaras digitais, o conjunto de parâmetros de orientação interior a ser considerado na calibração destes equipamentos compreende: f - Distância focal gaussiana equivalente da câmara; x 0 e y 0 - Coordenadas do ponto principal; K 1, K 2 e K 3 - Parâmetros de distorção radial simétrica; P 1 e P 2 - Parâmetros de distorção descentrada; A e B - Coeficientes de afinidade. No que se refere à Fotogrametria Analítica, um processo de calibração trata da atribuição de valores às propriedades que descrevem o caráter métrico de um sistema de medida, bem como à qualidade desta estimação (MERCHANT, 1979). A calibração realizada pelas empresas fabricantes das câmaras é documentada na forma de um certificado que contém os parâmetros determinados no processo de calibração, o método utilizado, além dos parâmetros estatísticos que lhes definem o grau de confiabilidade (ANDRADE, 2003). Um processo de calibração de um sistema composto por duas câmaras, por exemplo, deve considerar também a calibração dos elementos de orientação relativa entre as câmaras, que podem ser obtidos em função da orientação exterior de ambas as câmaras, como será visto na Seção 3.2. Neste caso, atenta-se para a importância de se realizar periodicamente, o processo de calibração em condições de uso, para que se possa verificar a estabilidade destes parâmetros.

25 Parâmetros de orientação interior Distância focal gaussiana equivalente e distância focal calibrada A distância focal gaussiana equivalente, é aquela que satisfaz a equação das lentes, coincidindo com a constante da câmara c (para o caso aéreo), podendo ser calculada por um processo de calibração. Já a distância focal calibrada é definida como sendo aquela que permite uma distribuição média das distorções das lentes, a partir de um balanceamento da curva de distorção radial simétrica (WOLF e DEWITT, 2000; ANDRADE, 2003). A curva de distorção radial simétrica, correspondente à distância focal gaussiana equivalente, é aquela apresentada mais adiante, pelas Equações 2.8. A Figura 2.4 ilustra as curvas de distorções considerando ambas a definições de distância focal. δr Curva de distorção para a distância focal gaussiana equivalente r Curva de distorção para a distância focal calibrada Fonte: Adaptado de Galo (2005a). Figura Curvas de distorção para a distância focal calibrada e distância focal gaussiana equivalente Ponto principal de autocolimação e de simetria Entre as várias definições de ponto principal adotadas pelos fotogrametristas, cita-se duas bastante usuais (MERCHANT, 1979; ANDRADE, 2003; MIKHAIL et al, 2001): ponto principal de autocolimação, definido pela intersecção de um raio de luz com o plano da fotografia, o qual é perpendicular a este plano antes de passar pelo sistema de lentes; e ponto principal de simetria, definido como sendo o ponto de melhor simetria das curvas de distorção, sendo

26 23 denominado ainda como ponto principal calibrado (ANDRADE, 2003; MERCHANT, 1979). Independente da definição adotada para o ponto principal, suas coordenadas x 0 e y 0 representam a sua posição com relação ao sistema fiducial, ou sistema com origem no centro da imagem (para as câmaras digitais). Este sistema de referência da imagem passa a ser definido como sistema fotogramétrico, quando sua origem é transladada para o CP da imagem. A Figura 2.5 ilustra o ponto principal de autocolimação que pode ser estimado por um método de calibração de câmaras. Plano do negativo ppa Fonte: Adaptado de Galo (2005a). Figura 2.5 Ponto principal de autocolimação (ppa) Distorção radial simétrica É a componente simétrica da distorção que ocorre ao longo das linhas radiais da imagem, a partir do ponto principal (WOLF e DEWITT, 2000). Esta distorção é resultante da dificuldade dos fabricantes em produzir lentes com curvatura perfeita e pode ser entendida como a parcela não desejável da refração sofrida por um raio de luz ao atravessar o sistema de lentes, sendo seu modelo estabelecido através dos seguintes polinômios: onde, δxr δyr = (K 2 K 4 K 6 1 r + 2 r + 3 r...)(x - x0 ) = (K 2 K 4 k 6 1 r + 2 r + 3 r...)(y - y0 ) (2.8)

27 24 δx e r δy - Componentes do deslocamento para um ponto da imagem (x, y); r r - Distância radial deste ponto ao ponto principal (x 0, y 0 ); K 1, K 2, K 3,... - Parâmetros do polinômio a serem estimados no ajustamento Distorção descentrada Dentre as distorções resultantes das imperfeições do sistema de lentes, a distorção descentrada é aquela que resta após a compensação da distorção radial simétrica, segundo Wolf e Dewitt (2000). É provocada pela impossibilidade do fabricante em realizar um alinhamento perfeito dos eixos ópticos das lentes que compõem o sistema óptico, sendo composta pelas componentes tangencial e radial assimétrica. O modelo desta distorção foi apresentado originalmente por Conrady em 1919 e Modificado por Brown (1966), sendo expresso por: onde, δx e d δx δy d d = P [r 1 = 2P (x - x (x - x 0 0 ) )(y - y 2 0 ] + 2P (x - x ) + P 2 2 [r 2 0 )(y - y + 2(y - y δy - Deslocamentos de um ponto de coordenadas (x, y); d r - Distância radial; P 1 e P 2 - Parâmetros do polinômio a serem recuperados na calibração. 0 ) 0 2 ) ] (2.9) Coeficientes de afinidade Os parâmetros de afinidade permitem a modelagem da não ortogonalidade e diferença de escala entre os eixos x e y do sistema de coordenadas da imagem, caso estes efeitos ocorram (MONIWA, 1972; GALO, 1993). Tommaselli e Alves (2001) citam que nas modernas câmaras digitais a forma do pixel é geralmente quadrada, apresentando a mesma escala em x e y. Se houver diferença nas dimensões do pixel em x e y e esta diferença não for fornecida pelo fabricante da câmara, o fator de escala em x absorverá essa diferença. Este efeito pode ser parametrizado por diferentes modelos, como o proposto por Moniwa (1972), para o caso das câmaras analógicas não métricas, e

28 25 que pode ser também utilizado para câmaras digitais (TOMMASELLI e TOZZI, 1990; GALO, 2003). Outro modelo, apresentado por Habib e Morgan (2003), e que foi adotado neste trabalho, é expresso por: δxa = A(x x0 ) + B(y y0 ) δya = A(y y0 ) (2.10) sendo A e B os parâmetros de afinidade Parâmetros de orientação exterior Um método de calibração de câmaras pode incluir ainda a estimativa dos parâmetros de orientação exterior. Os métodos de campo, como serão vistos mais adiante, permitem esta determinação, ao passo que os métodos de laboratório permitem uma solução que considera apenas a determinação da distância focal gaussiana equivalente, das coordenadas do ponto principal de autocolimação e da distorção radial simétrica. Os parâmetros de orientação exterior são constituídos por k, φ, ω, X 0, Y 0 e Z 0 onde: k, φ e ω - Rotações entre o referencial fotogramétrico e o referencial do espaço objeto, no momento da aquisição da imagem; X 0, Y 0 e Z 0 - Coordenadas do CP no referencial do espaço objeto, no momento da aquisição. Os ângulos k, φ, ω permitem o cálculo da matriz de rotação que é aplicada na transformação do sistema de coordenadas do espaço objeto para um sistema paralelo ao sistema fotogramétrico do espaço imagem.

29 Métodos de Calibração Métodos de laboratório Os métodos de calibração em laboratório constituem uma das alternativas que podem ser usadas para a calibração de câmaras (ANDRADE, 2003; CLARKE e FRYER, 1998; CRAMER, 2004; MIKHAIL et al, 2001). Os métodos de calibração em laboratório a serem apresentados neste trabalho são os métodos do Multicolimador e do Goniômetro. Os modernos sensores digitais aerotransportados, inclusive aqueles com configuração multicâmaras, também fazem uso de técnicas de laboratório para calibração das câmaras individuais que os compõem. É o caso do sensor DMC (Z/I Imaging) (CRAMER, 2004). No entanto, a calibração de uma câmara digital a partir destes métodos de laboratório, deve considerar algumas adaptações devido à impossibilidade de se instalar uma placa de vidro no plano focal desta câmara. Esta impossibilidade se deve ao fato de que a matriz de sensores se encontra rigidamente instalada neste plano Método do multicolimador Neste método, utiliza-se de uma matriz de colimadores fixos, arranjada na forma de um leque, com ângulos bem definidos entre as diferentes direções de visada (ANDRADE, 2003; CLARKE e FRYER, 1998). A luz que emerge de cada colimador, focalizado para o infinito, passa pelo sistema de lentes e projeta a sua posição em uma placa fotográfica fixada no plano focal da câmara. O arranjo de colimadores compreende dois planos verticais, com 90º entre si, constituindo um banco de colimadores. A Figura 2.6 ilustra um dos planos verticais do banco de colimadores para calibração de cones de até 90º de abertura. Os colimadores apresentam entre si, ângulos de 7,5º com distribuição simétrica até que se atinja 45º para cada lado com relação ao colimador central. Sendo assim, chega-se a um total de 25 colimadores para um banco de colimadores, considerando cones com 90º de abertura angular. Para o caso de uma abertura de 120º, o banco passa a ter 33 colimadores.

30 27 Telescópio autocolimador Placa fotográfica de vidro Ponto nodal exterior colimadores 45º 45º 45º 45º (a) Fonte: Baseado em Andrade (2003). Figura 2.6 (a) Ponto nodal exterior coincidindo com o ponto de convergência dos eixos dos colimadores e (b) eixo óptico da câmara alinhado com o eixo do colimador central. (b) Segundo Cramer (2004) e Mikhail et al (2001), para calibrar a câmara usando um multicolimador, a câmara é primeiramente posicionada de maneira que o ponto nodal exterior coincida com o ponto de convergência dos eixos dos colimadores (Figura 2.6a). Em seguida, o eixo óptico da câmara é alinhado com o eixo do colimador central, utilizando-se de técnicas de autocolimação e do colimador central como referência (Figura 2.6b). Na autocolimação, uma placa refletora é colocada no plano focal da câmara e esta câmara é ajustada até que o retículo do telescópio autocolimador se alinhe com a sua imagem refletida pela placa. Para realização destes passos, o banco de colimadores deve possuir recursos para posicionar o cone da câmara, nivelar e rotacionar o cone em torno do eixo óptico, devendo possuir ainda, um telescópio autocolimador (ANDRADE, 2003). O processo segue com o imageamento dos colimadores e das marcas fiduciais em uma placa fotográfica de vidro, instalada no plano focal da câmara. A posição de cada colimador imageado, bem como de cada marca fiducial, é então medida por um instrumento de alta precisão. A partir destas medidas, calcula-se a distância focal gaussiana equivalente (considerando apenas os pontos

31 28 mais próximos do centro da imagem), além da distorção radial para cada ponto medido Método do goniômetro O método consiste basicamente na medição de ângulos através de um goniômetro, de maneira que um telescópio possa mirar para marcas gravadas numa placa colocada no plano focal da câmara (ANDRADE, 2003). A Figura 2.7 ilustra um goniômetro usado na calibração de câmaras. d Grid α c (distância principal) Ponto nodal exterior Eixo das lentes luneta Fonte: Adaptado de Andrade (2003) Figura 2.7 Goniômetro para calibração de câmaras. Ao se calibrar uma câmara por este método, deve-se colocar o seu ponto nodal exterior aproximadamente sobre o eixo de rotação do limbo do goniômetro (ANDRADE, 2003). Prossegue-se colocando no plano focal da câmara, uma placa de vidro contendo uma rede de pontos. Estes pontos são observados pelo telescópio focalizado para o infinito, à medida que a placa é iluminada. Para cada ponto observado, o ângulo α entre o eixo do telescópio e o eixo do sistema de lentes é medido. A distância focal gaussiana é então calculada a partir das distâncias conhecidas entre alguns pontos mais próximos do centro da malha e dos respectivos ângulos lidos pelo goniômetro. Pode-se calcular ainda, a distorção radial para qualquer ponto de distância d cujo ângulo α tenha sido medido.

32 Métodos de campo Segundo Andrade (2003), os métodos de campo oferecem soluções mais completas na calibração de câmaras, permitindo a recuperação de todos os parâmetros de calibração, contando ainda com uma superabundância de observações que torna possível um controle estatístico do processo. Apresenta-se a seguir, os métodos dos campos mistos e das câmaras convergentes. Estes métodos são muito conhecidos pela comunidade fotogramétrica, já que permitem, dentro de suas respectivas particularidades, minimizar a correlação entre os parâmetros de calibração (f, x 0 e y 0 ) e a posição do centro perspectivo (Z 0, X 0 e Y 0 ), respectivamente, evitando desta maneira a singularidade no sistema de equações normais Equações de colinearidade com parâmetros adicionais As equações de colinearidade (Equações 2.6), na forma como foram apresentadas, permitem obter as coordenadas (x, y) no sistema fotogramétrico, definido na Seção No entanto, as imperfeições inerentes ao sistema óptico fazem com que o feixe de raios projetados geometricamente no plano focal da câmara, ou plano de sensores, não coincida com o feixe real de raios que incide na câmara no momento da exposição. Logo, deve-se considerar uma parametrização adicional às Equações 2.6, compreendendo os parâmetros de orientação interior apresentados na Seção 2.2. As equações de colinearidade com parâmetros adicionais são dadas por: m (X - X ) + m (Y -Y ) + m (Z - Z ) F = x - x0 - x+ f = 0 1 m (X - X ) + m (Y -Y ) + m (Z - Z ) ) m (X - X ) + m (Y -Y ) + m (Z - Z ) F = y - y0 - y+ f = 0 2 m (X - X ) + m (Y -Y ) + m (Z - Z ) Estas equações são usadas nos métodos de calibração em campo a serem apresentados. Dentro das particularidades de cada método, a principal

33 30 diferença se dá com relação à forma como as fotografias são adquiridas, bem como o espaço objeto fotografado. No método dos campos mistos, por exemplo, o espaço objeto conta com dois campos: um com variações de relevo, da ordem de 20% da altura de vôo e outro que pode ser aproximadamente plano, no qual são identificados mais pontos. Já no método das câmaras convergentes, o espaço objeto é fotografado de maneira convergente, com rotações significativas em torno do eixo z. A calibração de câmaras por meio das Equações 2.11 constitui um método analítico cujas funções ( x, y) permitem a modelagem dos erros sistemáticos apresentados na Seção 2.2.1, conforme segue: x δxr δxd δxa = + + y δyr δyd δya. (2.12) Método dos campos mistos O método dos campos mistos surgiu quando o professor Dean Merchant 1, 2 (1968 e 1971 apud Andrade, 2003) analisou a dependência linear entre os parâmetros de um ajustamento de aerotriangulação. Os resultados desta análise mostraram a impossibilidade na determinação simultânea dos três pares de parâmetros (f e Z 0, x 0 e X 0, y 0 e Y 0 ), quando a razão entre as derivadas das equações de colinearidade com relação a estes pares era constante. Esta constância, no entanto, ocorre no caso de (Z - Z 0 ) ser constante e ω = φ = 0, ou seja, quando a altura de vôo é constante, o terreno plano e as fotos perfeitamente verticais. Deste modo percebeu-se então que ao utilizar um campo com alvos apresentando desníveis acentuados poderia quebrar a correlação entre os parâmetros. Com este propósito, no ano de 1972 o professor Merchant 3 (1972 apud Andrade, 2003) utilizou dois campos de testes com alvos: um montanhoso, com poucos alvos de coordenadas bem definidas, para quebrar a 1 MERCHANT, D. C. Calibration of the aerial photogrammetric system. Rome Air Development. Center, MERCHANT, D. C. An investigation into dynamic aerial photographic system calibration. RADC-R , Final Technical Report, MERCHANT, D. C. Metric Calibration of the Aerial Photographic System by de Method mixed Ranges. AFSC (RADC) TR , 1972.

34 31 correlação entre os parâmetros; e outro plano, com muitos alvos, para uma boa determinação dos outros parâmetros de calibração. Este método foi adaptado no Brasil por Andrade e Olivas (1981), que implantaram um campo de calibração na região da Serra de São Luiz de Purunã - Paraná, no inicio dos anos 80. Além disso, desenvolveram os procedimentos teóricos necessários à realização da calibração Método das câmaras convergentes Segundo Andrade (2003), o método das câmaras convergentes foi utilizado pela primeira vez para calibrar a câmara Hasselblad 500, usada para fotografar a Lua durante a missão APOLLO 14. A princípio, não foi possível a calibração deste equipamento e a NASA contratou então a DBA Systems para realização desta tarefa. A calibração deste equipamento foi realizada, utilizando-se de fotografias convergentes e rotacionadas em torno do eixo z (ANDRADE, 2003). Este processo só foi possível devido ao fato de que as fotografias convergentes não apresentavam a dependência linear verificada para fotos verticais. Mais tarde a câmara pôde ser calibrada pelo método estelar, confirmando a consistência dos resultados de ambas as calibrações Diferenças entre calibração on-the-job e autocalibração O processo de calibração por um método de campo faz uso das equações de colinearidade com parâmetros adicionais, aplicadas em um processo denominado ajustamento por feixes de raios (Bundle Adjustment). Diferentes técnicas podem ser adotadas na realização deste processo, a citar: a autocalibração, do inglês self-calibration e a calibração em serviço (on-the-job calibration) A definição destas técnicas se apresenta de maneira não homogênea na literatura, que muitas vezes define, erroneamente, a técnica de calibração abordada (CLARKE e FRYER, 1998). Deste modo, apresenta-se a seguir as definições para autocalibração e calibração em serviço.

35 Calibração em serviço (on-the-job) Consiste de um ajustamento por feixes de raios considerando as equações de colinearidade com parâmetros adicionais (Equações 2.11 da Seção ) e requer a colocação de pontos de controle na área do objeto a ser imageado, sendo considerada a técnica mais utilizada na Fotogrametria a curta distância (CLARKE e FRYER, 1998). Cramer (2004) utiliza o termo calibração insitu para se referir à técnica de calibração on-the-job, e ao contrário do que se verifica para a autocalibração, o principal interesse na aplicação desta técnica é a reconstrução de feições do espaço objeto que ocorre em conjunto com o processo de calibração Autocalibração (self-calibration) Atkinson (1996) trata o conceito desta técnica como sendo uma extensão do conceito de calibração on-the-job. No entanto, a autocalibração não requer qualquer controle do espaço objeto para a realização da calibração, sendo necessário fixar somente a posição e orientação de uma das câmaras e uma escala no espaço objeto, compondo as 7 injunções mínimas para fixar um referencial no espaço objeto. Além disso, alguns critérios devem ser adotados para que o processo de calibração seja executado (BROWN, 1989): (1) Uma única câmara deve ser utilizada para tomar um mínimo de três imagens do objeto; (2) Tanto a geometria interna da câmara quanto os pontos a serem medidos devem permanecer estáveis durante o processo de medida; (3) A rede fotogramétrica deve ser rígida; (4) No mínimo uma imagem deve ser tomada com um ângulo significativamente diferente dos outros; (5) Um grande número de pontos bem distribuídos deve ser utilizado. Mediante o cumprimento de tais critérios, Brown (1989) garante o sucesso na execução da calibração.

36 Calibração de estereocâmaras Esta Seção compreende o estudo de três abordagens de calibração de estereocâmaras. A primeira delas, apresentada por Zhuang (1995), trata da determinação dos parâmetros de orientação exterior de uma estereocâmara a partir da técnica de autocalibração e a outra apresentada por Tommaselli e Alves (2001), trata da calibração de um sistema de vídeo estereoscópico Nu-View, utilizando-se de injunções aos parâmetros de orientação exterior. Uma terceira abordagem, estudada por Espinhosa (2006), trata da avaliação dos resultados de uma fototriangulação com injunção de distância na estéreo-base entre duas vídeo-câmaras digitais Calibração de uma estereocâmara por autocalibração A abordagem apresentada por Zhuang (1995) trata da calibração aplicada com o objetivo de se determinar apenas os parâmetros de orientação relativa entre as duas câmaras (posição e orientação de uma câmara com relação à outra). A técnica de autocalibração não requer a medida de pontos de controle no espaço objeto, como citado na Seção , e na abordagem proposta por Zhuang (1995), pressupõe o conhecimento de uma distância fixa, medida no espaço objeto. Esta abordagem é considerada como sendo uma solução parcial, já que assume a orientação interior como sendo conhecida, pré-determinada por um método qualquer. Enquanto o objeto se move, os pontos extremos que delimitam a distância conhecida no espaço objeto têm suas coordenadas medidas na seqüência de imagens tomadas. A função que relaciona os parâmetros incógnitos às medidas (Equação 2.13) é então formulada e a minimização desta função é obtida pela aplicação do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). As medidas compreendem as fotocoordenadas dos pontos extremos e a distância fixa no espaço objeto. onde m E = [d - g j (k, ϕ, ω, X, Y, Z)] 2 (2.13) j = 1

37 34 g j Distância calculada como função indireta dos parâmetros de orientação relativa (incógnitos) para j = 1, 2,..., m medidas; d Distância fixa medida no espaço objeto. O termo g j é obtido pela Equação 2.14, sendo expresso como uma função direta dos pontos extremos que delimitam uma feição com distância d conhecida no espaço objeto. onde g (Z xe,1 - Z x 1 2 e,2 ) + (Z y 1 e,1 - Z y 2 e,2 ) + (Z - Z ) 1 2 = (2.14) ( x e,1, y e,1) e ( x e, 2, y e, 2 ) Coordenadas dos pontos extremos (na imagem da esquerda), normalizadas e corrigidas da distorção radial simétrica (ZHUANG, 1995); Z, para i = 1,2 Coordenada Z dos pontos extremos, no espaço objeto. i A partir dos valores de Z é possível obter as coordenadas i ( X, Y, Z ) dos pontos extremos no espaço objeto, de acordo com a Equação i i i O sistema de coordenadas do espaço objeto é adotado como sendo o sistema de coordenadas da imagem da esquerda, e o valor de Z calculado pela solução explícita apresentada em Zhuang (1995), desenvolvida com base na Equação 2.16, que relaciona os elementos de orientação relativa (ω, ϕ, k, X, Y, Z). onde λ Fator de escala; Xi xe,i Yi = Zi ye,i Zi 1 xd,i xe,i X λ yd,i = ZiR ye, i + X 1 1 Z R Matriz de orientação relativa entre as duas câmaras (função de k, φ e ω); X, Y e Z Componentes da translação entre as duas câmaras; (2.15) (2.16)

38 35 x e d x e e y Coordenadas de um ponto na imagem da direita; d y Coordenadas do mesmo ponto na imagem da esquerda. e Portanto, o problema de calibração, na abordagem proposta por Zhuang (1995), se reduz a encontrar os parâmetros k, φ, ω, X, Y e Z (Equação 2.13) que minimizem a função E, de acordo com o critério dos mínimos quadrados. Como pode ser notado neste método não são estimados os parâmetros de OI, como nas abordagens clássicas de calibração em Fotogrametria Calibração de um sistema de vídeo estereoscópico A abordagem de calibração de uma estereocâmara apresentada por Tommaselli e Alves (2001), foi aplicada a um sistema de captura de imagens estereoscópicas Nu-View. Este sistema permite a gravação de estereopares em campos entrelaçados, gravados em formato VHS, que podem ser digitalizados e separados, permitindo uma posterior reconstrução da cena imageada. Esta abordagem utiliza as equações de colinearidade com parâmetros adicionais (Seção ), considerando algumas relações que são mantidas fixas, visando-se obter uma maior rigidez do sistema. Estas relações, segundo Tommaselli e Alves (2001), podem ser convertidas em injunções conforme segue: G e d 2 e d 2 e d 2 1 = G G = ( X X ) + (Y Y ) + (Z Z ) - B 0 (2.17) e d e d e d = = r r + r r + r r κ 0 (2.18) e d e d e d = = r r + r r + r r ϕ 0 (2.19) onde G e d e d e d = 23 = r r + r r + r r ω 0 (2.20) G 1 Equação de distância entre os CPs das imagens da esquerda e da direita, sendo a distância B (base) também uma incógnita a ser determinada;

39 36 G 2, G 3 e G 4 Equações de diferenças de cossenos diretores (também constantes). Estes elementos diferenciais podem ser estimados no ajustamento, sendo obtidos a partir da combinação entre as matrizes de rotação das imagens esquerda e direita segundo a relação: 1 κ ϕ R R 1 esq = κ 1 ω (2.21) dir ϕ ω 1 sendo R esq e R dir as matrizes de rotação das imagens da esquerda e direita, respectivamente. De acordo com Tommaselli e Alves (2001), a matriz anti-simétrica no segundo membro da Equação 2.21 resulta da soma das matrizes de Rodriguez com a identidade, que nada mais é do que a expressão diferencial da matriz de rotação da imagem direita em relação à esquerda (o referencial da imagem da esquerda é adotado como origem). Os termos desta matriz podem ser considerados como invariantes para duas câmaras quaisquer, quando elas são rigidamente fixas e com rotações pequenas entre elas, o que permite a elaboração das equações G 2, G 3, G 4 (Equações 2.18, 2.19 e 2.20, respectivamente). Considerando as Equações 2.11 (equações de colinearidade com modelagem das distorções), e ainda, as equações de injunções apresentadas (Equações 2.17, 2.18, 2.19 e 2.20), o vetor dos parâmetros a serem estimados no ajustamento é dado por: X T [c c K d f κ1 ϕ1 ω1 X1 Y1 Z1...κ m ϕm ωm X m Y m Zm a = B κ ϕ ω] (2.22) x y 1 s e e e e e e e e e e e e Para o caso do sistema de captura de imagens mencionado (Nu- View), os parâmetros de orientação interior constituem um único conjunto, pois as duas imagens (esquerda e direita) são geradas pela mesma câmara, a partir de um deslocamento provocado pelo espelho. Um ajustamento pelo método dos Mínimos Quadrados, considerando as injunções, permite a solução do sistema e a determinação dos parâmetros.

40 37 No caso da metodologia a ser desenvolvida neste projeto, isto não ocorre, já que o sistema é composto por duas câmaras, devendo ser considerados dois grupos de parâmetros de orientação interior no modelo de ajustamento a ser desenvolvido Influência da injunção de base na fototriangulação de imagens de vídeo Espinhosa (2006) apresentou um trabalho que avaliou o comportamento dos parâmetros de orientação interior e exterior das câmaras e das coordenadas dos pontos triangulados, estimados na fototriangulação com parâmetros adicionais considerando uma injunção de distância na estéreo-base entre as duas vídeo-câmaras. Experimentalmente, pôde-se concluiu que, para as câmaras utilizadas, os resultados não apresentaram diferenças significativas ao se considerar o uso da injunção de estéreo-base na solução da fototriangulação. 2.3 AJUSTAMENTO PELOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ) O ajustamento pelos mínimos quadrados pode ser realizado por três métodos (MIKHAIL et al, 2001) que, dependendo do tipo de modelo funcional, podem ser denominados: ajustamento somente de observações (adjustment of observations only); ajustamento de observações indiretas (adjustment of indirect observations); e ajustamento de observações e parâmetros (adjustment of observations and parameters). Estes três métodos são também conhecidos, respectivamente, por método dos correlatos, paramétrico e combinado (GEMAEL, 1994). O método combinado é mais geral, já que dele podem ser derivados os outros dois. Este método é aplicado quando as equações de condição contêm parâmetros e observações ligados por uma função implícita, não sendo possível coloca-los na forma explicita. Mikhail e Ackerman (1976) apresentam duas variantes deste método, sendo a primeira denominada: método unificado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunções (unified aproach least squares adjustment and parameters constraints); e a segunda: ajustamento pelos mínimos quadrados com equações de condição e injunções (least squares adjustment with conditions and constraints).

41 38 Esta segunda variante do método combinado requer um número maior de produtos matriciais. No entanto, a influência das injunções não afeta a estrutura da matriz N, bloco diagonal, que pode ser solucionada de maneira otimizada. Já a primeira variante, permite um número menor de produtos matriciais, além de uma maior facilidade de aplicação. Contudo, a estrutura bloco diagonal da matriz N é perturbada pela influência das injunções como poderá ser verificado mais adiante. O método unificado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunções, ou método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunções, como será chamado daqui por diante, apresenta maior vantagem e facilidade de aplicação e será adotado na metodologia de calibração desenvolvida neste trabalho. A outra possibilidade de ajustamento será apresentada no Apêndice I, para fins de comparação e testes futuros. No que se refere aos tipos de injunções: a injunção funcional pode ser definida como uma restrição imposta aos parâmetros com base nas relações levantadas a partir de características físicas ou geométricas do modelo (MIKHAIL e ACKERMAN, 1976). A injunção de peso, por exemplo, determina a variabilidade de um parâmetro dentro do ajustamento, sendo este peso definido com base na confiança que se tem no valor desta variável, conhecido a priori Método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunções As operações nos campos da Geodésia, Fotogrametria e Levantamentos, segundo Mikhail e Ackerman (1976), necessitam de um método de ajustamento que permita utilizar diferentes tipos de dados, de uma maneira mais geral e unificada. O fator mais importante associado a esta concepção de ajustamento, diz respeito ao fato de que todas as variáveis envolvidas no modelo matemático apresentam valores preliminarmente estimados, com variâncias conhecidas a priori. O método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados necessita de um mecanismo de diferenciação entre as variáveis, o qual é dado convenientemente pela matriz variância-covariância conhecida, ou ainda, pela matriz peso das observações. Deste modo, se uma determinada variável possuir variância tendendo ao infinito, ou seja, peso tendendo a zero (P 0), esta variável poderá

42 39 variar livremente no ajustamento, assumindo a condição de parâmetro desconhecido. Por outro lado, se a mesma variável possuir variância nula, ou peso tendendo ao infinito (P ), não será permitida sua variação no ajustamento e esta variável assumirá a condição de constante. Deste modo, os parâmetros envolvidos nas equações de condição, até então encarados como simples incógnitas, passam a ser tratados como pseudo-observações. O primeiro passo considerado na aplicação do método de ajustamento apresentado, diz respeito à identificação do modelo funcional a ser utilizado, além do número mínimo de observações n 0, de um total de n (com n > 0), necessárias à determinação do modelo de maneira única. Para cada um dos r = n - n 0 graus de liberdade, deve-se escrever uma equação de condição que relaciona o modelo às variáveis do problema. A inclusão de u parâmetros incógnitos ao problema, incrementa o número de equações de condição de acordo com c = r + u até um número máximo de n equações (0 u n 0 ). Assumindo que apenas u parâmetros são funcionalmente independentes, do total de u, s = u u representa o número de parâmetros dependentes. Assim sendo, s equações de injunções devem ser escritas para refletir aquela dependência, de modo que s seja menor que u (s < u) para que as equações de injunções não se tornem um sistema inconsistente (MIKHAIL e ACKERMAN, 1976). Os modelos matemáticos das equações de condição e injunções são respectivamente do tipo: onde F (L a, X a ) = 0 (2.23) F a c( L c,xa ) = 0 (2.24) L a Vetor das observações ajustadas de dimensões n x 1; L a c Vetor das observações ajustadas, referente às equações de injunções, de dimensões t x 1; X a Vetor dos parâmetros ajustados de dimensões u x 1. por: Os vetores dos valores observados são dados, respectivamente,

43 40 L b Vetor das observações de dimensões n x 1 e matriz cofator Q; L c Vetor das observações, referente às equações de injunções, de dimensões t x 1 e matriz cofator Q c ; X x Vetor dos parâmetros observados a priori (pseudo-observações) de dimensões u x 1 e matriz cofator Q x. Os modelos 2.23 e 2.24, compreendem respectivamente, c equações de condição e s equações de injunções. Se os elementos L 0, L0 c e X 0 denotam os vetores dos valores aproximados, V, V c e V x, os vetores dos resíduos e X L, X Lc e X os vetores das correções aos valores aproximados, então (MIKHAIL e ACKERMAN, 1976; GEMAEL, 1994): L a Lb + V = L0 + XL = (2.25) a 0 L c L c + V c = L c + = X (2.26) Lc V = L a L b (2.27) X = X (2.28) a X 0 Segue-se com a linearização dos modelos apresentados pelas Equações 2.23 e 2.24, que resulta nas equações: nas quais BV + AX + W = 0 (2.29) B c V c + CX + W' = 0 (2.30) = [B(L - L ) F(L, X )] ; W b W' = 0 0 [B c (L c - L c ) + F c (L c, X 0 )] ; = ; L b L, 0 X 0 B F

44 41 F A X a = ; X 0, L 0 Bc Fc = ; Lc 0 L c, X 0 c =. Xa 0 X,L 0 c C F A concepção desenvolvida até então para este método, considera os parâmetros como sendo pseudo-observações, e embora não faça nenhuma distinção entre os parâmetros e observações, os parâmetros são considerados como sendo aquelas variáveis de interesse ao final do ajustamento. No entanto, algumas considerações podem ser feitas com relação a este método. Seja L b o vetor das observações, V o vetor dos resíduos, X 0 o vetor dos parâmetros aproximados e X o vetor das correções aos parâmetros aproximados, conforme apresentado anteriormente, então, segundo Mikhail e Ackerman (1976), se r = n - n 0 representa o número de graus de liberdade, pode-se escrever c = r + u equações de condição em termos de V, L b, X 0 e X. No entanto, considerando-se a existência de mais u pseudoobservações X x referentes aos parâmetros, o número total de observações passa a ser de n + u com r + u graus de liberdade, resultando em um total de r + 2u, ou c + u, equações de condição. Deste modo, ao final do ajustamento os valores dos parâmetros ajustados deverão ser idênticos às pseudo-observações ajustadas, ou seja: que resulta em X a X0 + X = X x + Vx = (2.31) V x X = X0 X x = Wx (2.32)

45 42 Com base nas Equações 2.29, 2.30 e 2.32, Mikhail e Ackerman (1976) desenvolvem e apresentam a equação para a estimativa do vetor das correções aos parâmetros aproximados, dada por: para a qual X 2 = -[σ (N + N 0 c + P x -1 2 )] [σ (U + U 0 c + P W x x )] (2.33) T T -1 N = A (BQB ) A ; T 1 U = A (BQB ) W ; T - Nc Uc T 1 = C (BcQcBc ) C ; T - T 1 = C (BcQcBc ) W' ; T - -1 P x = Q x ; sendo 2 σ a variância da observação de peso unitário a priori. Na primeira iteração, 0 o valor de W x calculado de acordo com a Equação 2.32 é nulo já que a primeira aproximação para o vetor (X 0 ) corresponde aos valores observados (X x ). A partir da segunda iteração, W x passa a acumular o valor das correções aos parâmetros, ou seja, na j-ésima iteração: j 1 = X x(j) i i = 1 W, (2.34) para j = 2, 3,..., m iterações. O mesmo ocorre com os vetores L 0 e L 0 c que na primeira iteração recebem, respectivamente, os valores de L b e L c, anulando as primeiras parcelas das equações no cálculo de W e W'. Na Equação 2.33 N e U refletem a contribuição das observações convencionalmente conhecidas. Já os termos N c e U c correspondem à contribuição

46 43 das injunções. Os termos remanescentes refletem a contribuição proporcional à confiabilidade de cada parâmetro estimado a priori. Considerando a não linearidade das equações de observação e a necessidade de um processo iterativo, Mikhail e Ackerman (1976) propõem a seguinte seqüência de operações. Tendo-se X 0(1), L 0(1) e L 0 c (1) como sendo os vetores de valores aproximados para a primeira iteração e X X, L b, L c os vetores dos valores observados (não mudam durante o ajustamento). As matrizes e vetores A, B c, C, W e W' e W x são numericamente estimadas e utilizadas na montagem das matrizes e vetores N, U, N c e U c envolvidos nos cálculo do vetor das correções aos parâmetros aproximados X (1) (Equação 2.33). A soma de X (1) com X 0(1) permite obter o vetor dos valores aproximados X 0(2) da segunda iteração. O próximo passo consiste em estimar os valores aproximados L 0(2) e L 0 c (2) para a segunda iteração. Para tanto, deve-se calcular os dois vetores de resíduos V (2) e V c (2), aplicando-se X (1) nas expressões: V T T = QB (BQB )(AX + W) (2.35) podendo-se calcular ainda, Vc T T = Qc Bc (BcQcBc )(CX + W' ) (2.36) Vx = X0 X x + X = Wx + X. (2.37) Os vetores 2.35 e 2.36 aplicados, respectivamente, nas Equações 2.38 e 2.39, obtidas a partir das Equações 2.25 e 2.26, permitem calcular X L (2) e X Lc (2) por: X = L + V - L (2.38) L(i+ 1) b (i+ 1) 0(i) 0 X L + V -L Lc(i+ 1) c c(i+ 1) c(i) = (2.39)

47 44 Finalmente, a partir das Equações 2.40 e 2.41 calcula-se os valores observados ajustados L 0(2) e L 0 c (2), que serão usados como aproximações na próxima iteração: L 0(i + 1) L0(i) + X = L L(i 1) b + V + (i + 1) = (2.40) L 0 0 c(i + 1) L c(i) + X = L c(i 1) c + V + c(i + 1) = (2.41) De posse dos vetores X 0(2), L 0(2) e L 0 c (2) da segunda iteração, estima-se o vetor das correções X (2), agora para a segunda iteração, que somado ao vetor dos valores aproximados da segunda iteração X 0(2), permite obter o vetor dos valores aproximados X 0(3) para a terceira iteração. Deste modo o processo iterativo segue baseado nos mesmos passos apresentados, para um total de m iterações, até que o ajustamento atinja seu ponto de convergência (valores das correções X i 0). O Quadro 2.1 resume as matrizes e vetores que são estimados nas i = 1, 2,...m iterações. Quadro 2.1 Matrizes e vetores estimados ao longo das m iterações do ajustamento. 1 a ITERAÇÃO 2 a ITERAÇÃO m-ésima ITERAÇÃO Valores aproximados X 0(1), L 0(1) e 0 L c (1) Valores aproximados X 0(2)=X a(1), L 0(2)= L a (1) e 0 L c (2)= L a c (1) Valores aproximados X 0(m)=X a(m-1), L 0(m)= L a (m-1) e 0 L c (m)= L a c (m-1) Estimativa das matrizes e vetores A, B c, C, W e W' e W x Montagem das matrizes e vetores N, U, N c e U c Vetor de correção aos parâmetros X (1) Vetor dos parâmetros ajustados X a(1) = X 0 (1) + X (1) Estimativa das matrizes e vetores A, B c, C, W e W' e W x Montagem das matrizes e vetores N, U, N c e U c Vetor de correção aos parâmetros X (2) Vetor dos parâmetros ajustados X a(2)= X 0 (2) + X (2) Estimativa das matrizes e vetores A, B c, C, W e W' e W x Montagem das matrizes e vetores N, U, N c e U c Vetor de correção aos parâmetros X (m) Vetor dos parâmetros ajustados X a(m)= X 0 (m) + X (m) Vetores das observações ajustadas Vetores das observações ajustadas a a L a (1), L c (1) L a (2), L c (2) Vetores das observações ajustadas a L a (m), L c (m) dada por A matriz variância-covariância os parâmetros ajustados ( Σ ) é X a 2-1 X = σˆ (N+ N a 0 c+ Px ) Σ (2.42)

48 45 sendo N, N c e P x matrizes calculadas em função dos elementos estimados na ultima iteração, e σˆ 2 a variância da observação de peso unitário a posteriori, 0 calculada por: T T V PV+ V P V + V P V σˆ 2 c c c x x x =. (2.43) 0 n - u+ u + s inj T sendo P = Q -1 a matriz peso das observações e injunções de peso. u os elementos tratados como inj Considerando-se o caso em que as equações de injunção são funções apenas de parâmetros, como é o caso das injunções de orientação relativa, que fazem parte da metodologia de calibração desenvolvida, a Equação 2.24 se reduz a: Fc (Xa ) = 0. (2.44) Segue-se com a linearização deste modelo, que resulta na equação: na qual CX + W' = 0, (2.45) W' = Fc (X0 ) ; Fc C =. Xa X 0 Com base nestas considerações, a equação para estimativa das correções ao vetor dos parâmetros aproximados (Equação 2.33) passa a considerar uma modificação para os seguintes elementos. T Nc = C Pinj C ;

49 46 Uc T = C PinjW', sendo P uma matriz diagonal peso, função da confiança que se tem na inj estabilidade física do arranjo. Desta forma a variância da observação de peso unitário a posteriori passa a ser calculada por: VTPV+ VTP V σˆ 2 x x x = (2.46) 0 n - u+ u + s inj Teste de hipótese do ajustamento O teste de hipótese é realizado com objetivo de se validar o resultado do ajustamento. Segundo Wolf e Ghilani (1997), os elementos de um teste de hipótese são os seguintes: Hipótese Nula (H 0 ) - Compara a estatística populacional com a estatística amostral; Hipótese Alternativa (H a ) - É a hipótese que é aceita quando H 0 é rejeitada. O teste de hipótese é realizado a partir dos dados amostrais, no qual é calculada uma estatística amostral, sendo esta estatística comparada com um valor teórico, a fim de determinar se a hipótese nula deve ser rejeitada. No caso deste trabalho, pretende-se realizar o teste unilateral, testando-se as seguintes hipóteses: H H 0 a : σ : σ = > σˆ σˆ A estatística amostral qui-quadrado é calculada por: σˆ χ = gl (2.47) a σ2 0

50 47 sendo 2 χ - Qui-quadrado amostral; a σ 2 - Variância da observação de peso unitário a priori; 0 σˆ 2 - Variância da observação de peso unitário a posteriori; 0 gl - Graus de liberdade no ajustamento. A estatística populacional (qui-quadrado tabelado) é função dos graus de liberdade (gl) e do nível de significância (α). Deste modo, a hipótese nula não será rejeitada ao nível de confiança (1 - α) se: χ < χ (2.48) 2 a 2 (gl, 1-α) Se a hipótese nula for rejeitada, tem-se um indicativo de erro no ajustamento. Sendo assim, as seguintes possibilidades devem ser verificadas: possível incoerência entre as observações e suas variâncias, bastando revisar a matriz variância-covariância dos valores observados; presença de erros grosseiros e sistemáticos no ajustamento; inadequação do modelo matemático de acordo com a realidade física; mau condicionamento do sistema (GEMAEL, 1994).

51 k E 1 k 1 E 1 k E 1 k E k 1 E 1 k E Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 48 3 CALIBRAÇÃO DO SISTEMA DUAL DE CÂMARAS DIGITAIS 3.1 GEOMETRIA DO ARRANJO DUAL A Figura 3.2 ilustra o arranjo dual de câmaras, bem como alguns elementos considerados, tanto na solução que calibra as câmaras individualmente (Seção 3.5), quanto na metodologia de calibração desenvolvida (Seção 3.6). C2 C1 C2 C1 (a) ω Y e Y d X d C1 O. E. da foto da esquerda e e e ( X 0 Y 0 Z0 ) k e e φ e ω C2 X e Z e D Z d (0, 0, 0) O. E. da foto da direita d d d ( X 0 Y 0 Z0 ) d k d φ d ω Sobreposição de 10% Figura (a) Arranjo de câmaras Hasselblad e (b) geometria deste arranjo. (b)

52 49 Os elementos k, φ e ω são os ângulos de orientação relativa entre as duas câmaras e D é a distância entre os CPs. A Figura 3.2b ilustra apenas ω, já que o sistema de referência da câmara 2 se apresenta com uma rotação ω ~ -36º em relação ao sistema de referência da câmara 1. Já os ângulos de orientação relativa φ e k apresentam, respectivamente, valores aproximados de 0º e 180º. Os ângulos de orientação relativa poderiam ser considerados adotando-se como origem o sistema de referência da câmara 2. No entanto, convencionou-se o sistema da câmara 1 como origem. Os ângulos de orientação relativa ( k, φ e ω) e a distância D entre os CPs das câmaras podem ser calculados em função dos elementos de orientação exterior das câmaras 1 e 2, respectivamente, pelas duas primeiras Equações 3.1. A terceira equação permite calcular os elementos de base (B X, B Y, B Z ), caso estes elementos sejam de interesse. RR -1 = R C1 (R C2 ) D i = e d 2 e d 2 e d 2 (X0 - X0 ) + (Y0 -Y0 ) + (Z0 - Z0 ) (3.1) [ B X BY T BZ ] = R C1 [(X - X ) C2 C1 (Y -Y ) C2 C1 T (Z - Z )] C2 C1 onde R - Matriz de orientação relativa, correspondente às rotações ( k, φ, ω); R R - Matriz de rotação da câmara 1; C1 1 C2 ) (R - Inversa da matriz de rotação da câmara 2; D - Distância entre os CPs das câmaras; B X, B Y, B Z - Componentes da base.

53 SISTEMA SAAPI O sistema SAAPI, conforme mencionado anteriormente, integra duas câmaras Hasselblad de médio formato, posicionadas de maneira convergente. As imagens são adquiridas simultaneamente, de tal forma que as câmaras registrem áreas adjacentes do terreno, como ilustra a Figura 3.1. O sistema pode ser usado também, para adquirir imagens transversais à linha de vôo, com a vantagem de reduzir à metade o número de faixas. t i+1 C2 t i C1 C2 C1 Direção de vôo Vista superior Direção de vôo (a) Modelo fotogramétrico C2 ti C1 C2 t i+1 C1 Direção de vôo Vista superior Direção de vôo Fonte: Adaptado de Ruy et al (2007) (b) Figura 3.2 Aquisição das imagens pelo arranjo de câmaras convergentes. Modelo fotogramétrico Se o imageamento considerar o arranho de câmaras alinhado de acordo a direção de vôo, os modelos fotogramétricos serão formados pelas imagens obtidas pela câmara 2 (C2) no instante t i e a câmara 1(C1) no instante t i+1, de modo que toda a área imageada pelo sensor seja aproveitada no processamento fotogramétrico (Figura 3.1a). Se o imageamento for transversal à linha de vôo (Figura 3.1b) o modelo será formado por imagens subseqüentes da mesma câmara. Maiores detalhes sobre o sistema podem ser encontrados em Ruy et al (2007).

54 CAMPO DE CALIBRAÇÃO As atividades de calibração das diversas câmaras disponíveis no Departamento de Cartografia da UNESP/FCT, contam com um campo de calibração implantado na parede externa do ginásio de esportes do campus, implementado com recursos do projeto de Mapeamento Móvel da FCT, coordenado pelo Prof. Dr. João Fernando Custódio da Silva e ampliado recentemente, quando foram incorporados pontos adicionais (GALO et al, 2007). Segundo Silva et al (2001), este campo de calibração foi originalmente construído com 54 alvos, cujas coordenadas foram calculadas por meio de intersecção a vante, através da medição de uma base entre as estações, além de direções horizontais e verticais, determinados por uma estação total Sokkia SET5F. A Figura 3.3 ilustra o campo de calibração originalmente construído. Figura 3.3 Campo de calibração originalmente construído com recursos do projeto de mapeamento móvel. Após alguns estudos de viabilidade, Galo et al (2007), com recursos do projeto intitulado Implantação de um campo de teste para a calibração de câmaras digitais, decidiram por adequar o campo de calibração já existente mediante uma reforma deste campo, que envolveu a reparação dos 54 alvos já existentes, além da colocação de pontos adicionais, conforme ilustra a Figura 3.4.

55 52 Figura 3.4 Campo de calibração reformado. A Figura 3.4 ilustra os 54 pontos originais, além de 29 novos alvos, dos quais 4 se apresentam fora do plano da parede com 1,5 m de comprimento. Os pontos de apoio levantados por intersecção a vante apresentam uma precisão de aproximadamente 3 mm nas coordenadas calculadas, precisão esta suficiente para o caso das câmaras de vídeo utilizadas no projeto de mapeamento móvel (Sony DSR 200A com 720 x 480 pixels). Fazendo uma pré-análise da precisão dos pontos existentes e o uso de uma câmara Hasselblad de 22 Megapixels, a precisão de 3 mm é insuficiente, já que para uma distância de 15 m entre a câmara e os alvos, por exemplo, a escala da imagem seria de 1:300 e, para um pixel de dimensões 0,009x0,009 mm, a sua projeção no plano dos alvos teria dimensões 2,7x2,7mm. Uma vez que a medida dos alvos é feita com precisão subpixel (em torno 1/5 do pixel), as coordenadas dos alvos devem ser trianguladas com desvios menores do que 1mm. Galo et al (2007) mostraram que o uso da injunção de distância entre os pontos do espaço objeto contribui com uma forte restrição geométrica na escala do bloco. Utilizando-se de um paquímetro PANTEC, com alcance de 2000 mm e precisão 0,020 mm na leitura, foram levantadas 58 distâncias entre alguns dos pontos do espaço objeto, no Campo de Calibração mencionado, o que permitiu uma triangulação posterior e por conseqüência, um novo conjunto de pontos de apoio com maior confiabilidade nas coordenadas do espaço objeto. Tanto o conjunto de

56 53 pontos de apoio originalmente levantado por intersecção, quanto aquele triangulado, são apresentados nos Anexos I e II, respectivamente. Na Seção 4 são apresentados resultados de testes com estes dois conjuntos de pontos de apoio, para que se possa verificar qual destes conjuntos permite melhores resultados na calibração do sistema dual. Pretende-se ainda avaliar a relevância em se adotar o conjunto de pontos triangulados como apoio, em um processo de calibração de câmaras. 3.4 MEDIDAS DE FOTOCOORDENADAS COM PRECISÃO SUBPIXEL A etapa de medição das fotocoordenadas, considerada como sendo dispendiosa e morosa, é fundamental para o sucesso do processo de calibração de câmaras. Além do mais, estas coordenadas podem ser extraídas com precisão subpixel para garantir a confiabilidade dos parâmetros de distorção das lentes A técnica de medição de coordenadas com precisão subpixel usada neste trabalho, consiste da técnica que calcula o centro de massa dos alvos, implementada no aplicativo MID (REISS, 2002), apresentado no Apêndice III. O princípio básico desta técnica consiste na média entre os pixels que compõem o alvo, média esta ponderada pelos respectivos níveis de cinza. No entanto, os alvos de interesse necessitam ser isolados do fundo, a partir de uma limiarização, processo este também implementado no aplicativo MID. Outras alternativas poderiam ser adotadas, podendo-se citar àquela que se baseia no processo de correlação de áreas seguido de um refinamento subpixel por ajustamento e interpolação polinomial (BAZAN et al, 2005). Esta alternativa pode se tornar atrativa se houver o interesse em se medir outros pontos fotoidentificáveis com precisão subpixel, além daqueles que constituem a malha de alvos do campo de calibração

57 SOLUÇÃO PARA CALIBRAÇÃO INDIVIDUAL DAS CÂMARAS COM CÁLCULO POSTERIOR DOS ELEMENTOS DE ORIENTAÇÃO RELATIVA Uma solução imediata para calibração do sistema dual pôde ser testada com base na calibração individual de cada uma das câmaras. Para tanto, empregou-se a técnica de calibração on-the-job, considerando como modelo matemático as equações de colinearidade com parâmetros adicionais (Equações 2.11). Nesta solução, os parâmetros de orientação interior envolvidos foram apenas: f, x 0, y 0, K 1 e K 2, já que os outros parâmetros apresentaram desvios padrão de mesma magnitude que os seus respectivos parâmetros, conforme verificado experimentalmente. A solução apresentada se divide basicamente em duas etapas: A primeira etapa compreende a calibração on-the-job de cada câmara de maneira individual. Esta etapa envolve a leitura de coordenadas de pontos medidos em um conjunto de imagens adquiridas por cada câmara, individualmente, juntamente com outras aquisições feitas com o arranjo dual. Ao final do processo, têm-se uma estimativa dos parâmetros de orientação interior (f, x 0, y 0, K 1 e/ou K 2 ) para cada câmara, bem como os parâmetros de orientação exterior (κ, φ, ω, X 0, Y 0 e Z 0 ) para cada imagem envolvida no processamento; A segunda etapa compreende um processo de fototriangulação envolvendo somente as coordenadas dos pontos medidos nas imagens adquiridas com o arranjo dual. Neste processamento os parâmetros de orientação interior, obtidos na primeira etapa, são introduzidos na forma de injunções. Ao final desta etapa obtêm-se novamente os parâmetros de orientação exterior (k, φ, ω, X 0, Y 0 e Z 0 ) para cada uma das imagens adquiridas pelo arranjo de câmaras dual. Estes parâmetros serão ligeiramente diferentes daqueles obtidos no processo de calibração on-the-job da primeira etapa. Segue-se com o cálculo dos elementos de orientação relativa, para cada aquisição, e sua estimativa média.

58 55 Os ângulos de orientação relativa ( k i, φ i e ω i ) e a distância D i entre os CPs das câmaras, para cada um dos n pares adquiridos com i = 1, 2,... n, podem ser calculados em função dos elementos de orientação exterior (posição e orientação com relação a um referencial terrestre) das câmaras 1 e 2, respectivamente, pelas Equações 3.1. Os ângulos κ, ϕ, ω médios e a distância D média, obtidos para cada um dos n pares de imagens, podem ser estimados pelas Equações 3.2 a partir dos elementos de orientação relativa, calculados pelas Equações 3.1. n κ = (1/n) κ i i = 1 n ϕ = (1/n) ϕi i = 1 n ω = (1/n) ωi i = 1 n D = (1/n) Di i = 1 (3. 2) Ao final das duas etapas, têm-se tanto os parâmetros de orientação interior (primeira etapa), quanto os parâmetros de orientação relativa determinados (segunda etapa). Na Seção 4.1 serão apresentados alguns experimentos para avaliação desta solução, a partir do cálculo da média dos elementos de orientação relativa, obtidos para cada aquisição feita com o arranjo, seguido de uma análise do EMQ (Erro Médio Quadrático) de cada elemento de orientação relativa estimado. Para realização das duas etapas desenvolvidas nesta proposta de calibração, utilizou-se do aplicativo CC (Calibração de Câmaras) (GALO, 1993). Os resultados alcançados com essa solução foram utilizados como base para justificar a importância das injunções de orientação relativa na metodologia desenvolvida. 3.6 METODOLOGIA DESENVOLVIDA PARA CALIBRAÇÃO DO SISTEMA DUAL O problema referente à calibração de um sistema composto de duas câmaras, segundo Zhuang (1995), deve incluir não somente os parâmetros de orientação interior, mas também os parâmetros de orientação relativa entre as câmaras. Estes elementos são importantes tanto para a análise da estabilidade

59 56 física do arranjo de câmaras, como para algumas tarefas fotogramétricas, como por exemplo, a retificação das imagens convergentes. A modelagem matemática para calibração deste sistema se divide em duas partes: o modelo funcional que relaciona observações e parâmetros incógnitos; e o modelo estocástico, que diz respeito às propriedades estatísticas de todos os elementos envolvidos no modelo funcional. O modelo funcional compreende as equações de colinearidade com parâmetros adicionais (Equações 2.11), apresentadas na Seção A metodologia desenvolvida considera ainda a elaboração e incorporação de equações de injunções a partir dos elementos de orientação exterior das duas câmaras, levando-se em consideração que a orientação relativa se mantém fixa durante a aquisição das imagens, desde que se assuma que a estrutura que comporta as câmaras seja fisicamente estável. Quanto ao método de estimação dos parâmetros usado neste trabalho considera-se o método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunções (Seção 2.3.1). A metodologia desenvolvida para calibração do sistema dual assemelha-se à calibração de um sistema de vídeo estereoscópico, apresentada por Tommaselli e Alves (2001) (Seção ). No entanto, ao contrário desta metodologia, devem ser também considerados como parâmetros adicionais, os parâmetros de orientação interior de cada uma das câmaras, já que o sistema é composto de duas câmaras, como já mencionado. Um estudo sobre a estrutura das principais matrizes envolvidas no ajustamento por este modelo, também será apresentado, bem como algumas considerações a respeito dos padrões destas matrizes. A análise das estruturas das matrizes é importante para que se possa, futuramente, aplicar operações de otimização e redução do custo computacional no processo de ajustamento. A Figura 3.5 apresenta o fluxograma que resume a metodologia para calibração do sistema dual, fazendo as considerações levantadas nos parágrafos anteriores.

60 57 Preparação das imagens Estimação da OE aproximada para as imagens Fotocoordenadas medidas com precisão subpixel Parâmetros (Vetor X 0 com P 0) X 6 param. de OE para cada imagem m, os de OI para cada câmara (total = 10) e 3 coordenadas X Y Z para cada um dos j pontos fotogramétricos Observações (Vetor L b ) Fotocoordenadas de um total de n pontos medidos em m imagens tomadas pelas duas câmaras do sistema dual. Pontos de apoio 2 2 (Vetor X 0 com P = σ /σ ) X 0 Coordenadas X Y Z e seus desvios-padrão Método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunção Montagem das matrizes e vetores A, B, W, P, C e W e P X e W X Formação das equações normais N, U, N C e U C X 0 = X 0 +X não CONVERGIU? X 0 sim processamento da calibração X = (N+ N C + P X ) -1 (U+ U C + P X W X ) X a = X 0 + X (Vetor dos parâmetros ajustados X a ) 2-1 ΣX = σ (N + N a 0 C + PX ) ˆ (MVC de X a ) Figura 3.5 Fluxograma do processo de calibração pela metodologia desenvolvida Desenvolvimento das equações de injunção de orientação relativa O desenvolvimento das equações de injunções utilizadas nesta metodologia, pressupõe que a orientação relativa entre as câmaras se mantém fixa ao longo de i = 1, 2,... q aquisições realizadas com o arranjo dual. Adotando-se a câmara 1 (Figura 3.2) como origem local do sistema de câmaras, a matriz de orientação relativa R i R e a distância obtidas pelas Equações 3.1. D entre os CPs, para a aquisição i, podem ser i

61 58 Desta forma, as equações de injunções podem ser derivadas partindo-se das restrições 3.3 e 3.4, que se baseiam na condição de que a orientação relativa entre duas aquisições são iguais para um sistema fisicamente estável: i R i +1 R R - R =0 (3.3) 2 i 2 i + 1 D - D =0 (3.4) As Equações 3.3 e 3.4 permitem escrever 4 equações de injunções para cada par de imagens, sendo que três equações independentes podem ser extraídas a partir do relacionamento das matrizes de orientação relativa (Equação 3.3), e uma quarta equação extraída do relacionamento das distâncias entre os CPs (Equação 3.4). Para q aquisições feitas com o arranjo dual, q-1 relacionamentos independentes podem ser considerados mediante as Equações 3.3 e 3.4, o que resulta em um total de (q-1)x4 equações de injunções no ajustamento. As matrizes de rotação R i e 1 aquisição i são dadas por: R i referentes às câmaras 1 (da direita) e 2 (da esquerda) na 2 i R1 (i) d d d r r r d d d = r r r e d d d r r r (i) r e r e r e Ri r e r e r e 2 = (3.5) r e r e r e Como as matrizes de rotação são ortogonais, a inversa de dada pela sua transposta, ou seja: R i é 2 (i) r e r e r e Ri 1 r e r e r e 2 = (3.6) r e r e r e

62 59 Assim sendo, a partir das Equações 3.1, obtém-se a matriz de orientação relativa para a aquisição i, em função das matrizes de orientação exterior das câmaras 1 e 2: (i) (r d r e + r d r e + r d r e ) (r d r e + r d r e + r d r e ) (r d r e + r d r e + r d r e ) Ri = (r d r e r d r e r d r e ) (r d r e r d r e r d r e ) (r d r e r d r e r d r e ) R (3.7) (r d r e r d r e r d r e ) (r d r e r d r e r d r e ) (r d r e r d r e r d r e ) Segue-se com o cálculo da distância D entre os CPs das câmaras. i e (i) d (i) 2 e (i) d (i) 2 e (i) d (i) 2 i = (X0 - X0 ) + (Y0 -Y0 ) + (Z0 - Z0 ) D (3.8) Da mesma forma como foi feito para a aquisição i, realiza-se o cálculo da matriz de orientação relativa R i + 1 e da distância R D i + 1, referentes à aquisição i + 1. Com base na restrição apresentadas pela Equação 3.3, elabora-se três equações de injunções conforme segue: d e d e d e (i) d e d e d e (i + 1) G1 = (r21r11 + r22r12 + r23r13 ) - (r21r11 + r22r12 + r23r13 ) = 0 (3.9) d e d e d e (i) d e d e d e (i + 1) G2 = ( r31r11 + r32r12 + r33r13 ) - (r31r11 + r32r12 + r33r13 ) = 0 (3.10) d e d e d e (i) d e d e d e (i + 1) G3 = ( r31r21 + r32r22 + r33r23 ) - (r31r21 + r32r22 + r33r23 ) = 0 (3.11) Com base na Equação 3.4, que relaciona a distância entre os CPs nos instantes i e i +1, obtém-se uma quarta equação: e d 2 e (i) d 2 e d 2 G (i) - (i) - (i) ) (i) - (i) 4 = ( X0 X0 ) +( Y0 ) Y0 + (Z0 Z0 ) - e(i +1) d(i +1) 2 e(i +1) d(i +1) 2 e(i +1) d(i +1) 2 (X0 - X0 ) -(Y0 -Y0 ) -(Z0 - Z0 ) = 0 (3.12) As rotinas compreendendo as equações de injunções apresentadas foram implementadas nas linguagens de programação C/C++ e incorporadas ao programa CMC Calibração Multi-Câmaras (RUY et al, 2007). Na Seção 3.6.2,

63 60 apresenta-se um estudo da estrutura das matrizes do ajustamento utilizado na metodologia desenvolvida Estudo da estrutura das matrizes envolvidas no ajustamento O estudo da estrutura das matrizes envolvidas no método de ajustamento apresentado na Seção é feito a partir de um caso particular onde se tem um bloco formado por quatro imagens adquiridas em duas aquisições distintas, com o arranjo de câmaras dual. A primeira aquisição considera o arranjo com a câmara 1 se apresentando à direita e a câmara 2 à esquerda, em relação ao observador. A segunda aquisição é realizada com o arranjo rotacionado em 180º com relação à primeira, ou seja, a câmara 1 se apresenta à esquerda e a câmara 2 à direita. A Figura 3.6a ilustra as aquisições e seus respectivos sistemas referências dentro do arranjo. Já a Figura 3.6b, ilustra o bloco formado pelas imagens resultantes destas duas aquisições. Primeira aquisição y C2 x C1 C2 - Imagem 1837 C1 - Imagem 3019 C1 - Imagem 3015 C2 - Imagem 1833 y C1 x C2 y C1 Segunda aquisição x C2 x C1 (a) y C2 Figura (b) Bloco formado por quatro imagens de (a) duas aquisições com o arranjo dual de câmaras digitais. (b) A Tabela 3.1 permite verificar a orientação exterior aproximada de cada câmara. É importante ressaltar que, antes da etapa de medida das fotocoordenadas, as imagens que se apresentam originalmente conforme ilustra

64 61 Figura 3.6a, necessitam ser rotacionadas devido à rotação que as imagens sofrem em função da atuação do sensor de orientação que as câmaras possuem, e que neste modelo não pôde ser desativado. Estas rotações são realizadas de modo que a origem dos referenciais das imagens se apresente no canto superior esquerdo, com o eixo x na horizontal e o eixo y na vertical. Assim sendo, a orientação exterior é adotada com base na Figura 3.6a, ou seja, o ângulo k da imagem 3015 (Tabela 3.1), por exemplo, é adotado com base na rotação de 90º que o referencial da imagem apresenta no sentido horário. Tabela 3.1 Orientação exterior aproximada das imagens apresentadas pela Figura 3.6a. Câmara imagem ω(º) φ(º) k(º) X 0 (m) Y 0 (m) Z 0 (m) O ajustamento do bloco da Figura 3.6, considera ao todo 100 observações que correspondem às coordenadas x e y de 50 pontos medidos nas 4 imagens. Destes pontos, 14 são apoios de campo e 11 fotogramétricos, o que totaliza 25 alvos medidos ao longo destas imagens. Aos pontos de controle foram atribuídos pesos inversamente proporcionais aos seus desvios padrão. Já os pontos fotogramétricos são considerados no ajustamento com peso próximo de zero, pelo fato das suas coordenadas serem variáveis incógnitas no problema, conforme explanado na Seção A formação da matriz A do ajustamento leva em consideração os seguintes conjuntos de parâmetros incógnitos, segundo a ordem apresentada: 1º conjunto: 6 parâmetros de orientação exterior, referentes à imagem 3015 adquirida na primeira aquisição com a câmara 1; 2º conjunto: 6 parâmetros de orientação exterior, referentes à imagem 1833 adquirida na primeira aquisição com a câmara 2; 3º conjunto: 6 parâmetros de orientação exterior, referentes à imagem 3019 adquirida na segunda aquisição com a câmara 1; 4º conjunto: 6 parâmetros de orientação exterior, referentes à imagem 1837 adquirida na segunda aquisição com a câmara 2;

65 62 5º conjunto: Coordenadas X Y e Z dos 25 pontos (fotogramétricos e controle), que comparecem no bloco de imagens da Figura 3.6b; 6º conjunto: 10 parâmetros de orientação interior, (Seção 2.2) para a câmara 1; 7º conjunto: 10 parâmetros de orientação interior para a câmara 2. Os conjuntos de parâmetros acima definidos totalizam 119 parâmetros. Além do mais, verifica-se a existência de 46 injunções das quais 42 dizem respeito aos 14 pontos de apoio (injunção de peso) e 4 referentes às 4 injunções de orientação relativa entre as câmaras (injunção funcional). O método dos mínimos quadrados pressupõe que se tenha graus de liberdade para que o ajustamento seja possível e no caso particular o número de graus de liberdade é g.l. = = 27. No entanto, este aspecto deve ser desconsiderado neste momento, dado que o objetivo é apenas apresentar as estruturas das matrizes envolvidas nos dois métodos de ajustamento da Seção 2.3. Em uma situação real de um vôo fotogramétrico o número de imagens e pontos medidos será maior, e por conseqüência, o número de graus de liberdade também será maior, o que atribui uma maior confiabilidade aos resultados do ajustamento. Apresenta-se na seqüência o Quadro 3.1 com a equação para o cálculo do vetor das correções X do método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunções. Este quadro fornece ainda as matrizes e vetores envolvidos nesta equação, bem como as dimensões destas matrizes e vetores, considerando o número de observações, parâmetros e injunções citados anteriormente.

66 63 Quadro 3.1 Matrizes e vetores envolvidos no ajustamento e suas respectivas dimensões. X 119X1 1119X119 Nc + Px -1 ( U + Uc + Px 119X x X1 119X1 119x1119x1 = ( N + ) W x ) N 119X119 U 119X1 = N c 119X119 U c 119X1 = A T 119X100 ( B Q B T 100x X X100 1 ) A 100X119 T T A ( B Q B ) 1 W 119X X X X X1 = C T 119X4 = C T 119X4 P inj 4X4 P inj 4X4 W' 4X1 C 4X119 P x 119x119 = -1 Q x 119X119 W x 119x1 = Xi O padrão da matriz A das derivadas parciais, das Equações de condição em relação aos parâmetros é dada pela Figura 3.7. Figura 3.7 Estrutura da matriz A de dimensões 100 x 119.

67 64 Na Figura 3.7, os blocos em preto representam os valores não nulos na matriz A. Verifica-se que esta matriz é esparsa e a adoção de um algoritmo de formação da matriz N, semelhante àquele apresentado no apêndice (Apêndice II) poderia ser adotado. A estrutura da matriz B, dada pelas derivadas das equações de condição em relação às observações (fotocoordenadas x e y), é bloco-diagonal com blocos de dimensões 2x2. A matriz C, definida pela derivada das quatro equações de injunções em relação aos parâmetros, é dada na seqüência. Figura 3.8 Estrutura da matriz C de dimensões 4 x 119. Nota-se pela Figura 3.8, que a matriz C apresenta valores não nulos apenas nas primeiras colunas, já que as equações de injunções são funções dos elementos de orientação exterior das câmaras 1 e 2, nas duas aquisições consideradas. A estrutura da matriz P x é diagonal, com os pesos dos parâmetros pseudo-observados dispostos ao longo da diagonal principal. Já os vetores U, W, W são preenchidos inteiramente por valores não nulos. Mediante as estruturas apresentadas, pôde-se verificar que as matrizes A e C são esparsas e com estruturas bem definidas. As matrizes diagonais e bloco diagonais (caso das matrizes P X e B), não provocam a mudança no padrão da matriz N na estimativa do vetor de correções X (Quadro 3.1), preservando a sua estrutura bloco diagonal, importante na resolução das equações normais de maneira otimizada. Voltando-se agora aos elementos apresentados no Quadro 3.1, apresenta-se as estruturas das matrizes N (Figura 3.9), N C (Figura 3.10) e da resultante N + N C.(Figura 3.11).

68 65 simétrico Figura 3.9 Estrutura da matriz N de dimensões 119 x 119. Figura 3.10 Estrutura da matriz N C de dimensões 119 x 119.

69 66 simétrico Figura 3.11 Estrutura da matriz resultante N + N C de dimensões 119 x 119. Com relação às estruturas apresentadas, algumas verificações podem ser realizadas. A estrutura da matriz N (Figura 3.9) apresenta blocos diagonais, que contêm os coeficientes referentes a cada conjunto de parâmetros considerado no ajustamento. Já os grandes blocos fora da diagonal principal, representam uma combinação entre os coeficientes dos diferentes conjuntos de parâmetros. Para ilustrar melhor esta idéia, verifica-se o bloco fora da diagonal, destacado na Figura 3.9, que representa uma combinação entre os coeficientes dos parâmetros de orientação exterior das imagens e as coordenadas dos pontos do espaço objeto. Dentro deste bloco, para cada imagem m, cada sub-bloco N mj em preto significa que o ponto j está contido na imagem m. Quando o sub-bloco N mj =0, significa que o ponto j não comparece na imagem m, como pode ser verificado pela Figura 3.9. Com relação à Figura 3.10, percebe-se que a matriz N C é esparsa e a operação de adição N + N C pode ser aplicada considerando-se apenas a região com valores não nulos. Por fim, a Figura 3.11 ilustra a matriz resultante da adição N + N C. Verifica-se que a estrutura da matriz N, anteriormente bloco diagonal para os

70 67 parâmetros de orientação exterior das imagens, passa a apresentar perturbações devido à contribuição das injunções Implementação do programa CMC (Calibração Multicâmaras) A metodologia desenvolvida neste trabalho para calibração do sistema dual de câmaras digitais foi implementada nas linguagens de programação C/C++, utilizando o compilador C++ Builder 6 da Borland. Tanto as rotinas de entrada e saída, bem como as principais rotinas do ajustamento foram implementadas por Roberto da Silva Ruy, além de outras inclusas na biblioteca UPTK (TOMMASELLI et al, 2005). Uma posterior etapa de depuração dos erros foi necessária, além da implementação das rotinas de injunções de orientação relativa entre as câmaras, conforme mencionado anteriormente. O diagrama apresentado pela Figura 3.12 ilustra, de modo simplificado, os arquivos de entrada e saída do programa. arquivo param.prj arquivo de oi.iop arquivo de oe.eop arquivo de apoio.gcp arquivo de obs.img Programa executável relatorio.rep Figura 3.12 Entrada e saída de dados do programa. Na Figura 3.12, o arquivo param.prj contém os nomes dos arquivos de entrada, com extensões.iop,.eop,.gcp,.img referentes aos parâmetros de orientação interior, exterior, pontos de apoio e observações, respectivamente. Além disso, este arquivo reúne outras informações, como por exemplo, o número de câmaras envolvidas no processamento, a variância da observação de peso unitário a

71 68 priori, o critério de convergência, entre outros. O arquivo relatorio.rep apresenta os dados de saída da calibração que vão desde os parâmetros de orientação interior calibrados, orientação exterior ajustada, orientação relativa calculada para cada aquisição e os pontos do espaço objeto ajustados. Mais detalhes sobre estes arquivos são encontrados no Apêndice IV Medida da distância entre os CPs localizados a partir das informações técnicas do fabricante Com base nas informações técnicas fornecidas pelo fabricante das câmaras Hasselblad, o centro perspectivo de cada umas das duas câmaras pôde ser transportado para a parte externa da câmara e posicionado na estrutura de fixação do sistema dual, conforme mostra a Figura CP da Câmara 2 projetado externamente CP da Câmara 1 projetado externamente Figura Projeção dos CPs na estrutura de suporte das câmaras do sistema dual. Depois de demarcados estes pontos, a distância entre eles pôde ser medida por meio de um paquímetro, conforme ilustra a Figura 3.14 (RUY 4, 2008), sendo esta distância considerada como sendo uma estimativa da distância entre os dois CPs. Acredita-se que um erro de no máximo 1 mm é esperado no processo de 4 RUY, R. da S. Comunicação pessoal. Programa de Pós-graduação em Ciências Cartográficas

72 69 projeção e medição dos CPs projetados e, portanto, o valor medido para esta distância foi de 11,12 cm, com um erro de ±1 mm. Figura 3.14 Medição da distância entre os CPs. A medida da distância entre os CPs é importante por ser uma medida física direta, realizada com precisão e confiabilidade. O uso desta medida na forma de injunção de distância entre os CPs possibilita uma maior acurácia nos parâmetros de orientação relativa calibrados. Para ser utilizada com restrição ou injunção no ajustamento, esta distância é aplicada ao primeiro par de imagens considerado no processo de calibração. Conseqüentemente, por meio da Equação 3.12, o valor desta injunção é repassado para os outros pares, de acordo com um peso calculado em função de informações de instabilidade do sistema, conforme ilustrado pela Figura IV.3 do Apêndice IV. O Experimento da Seção apresenta o resultado da calibração considerando da distância medida como injunção, adicionalmente às injunções de orientação relativa, aplicadas por meio das Equações 3.9, 3.10, 3.11 e 3.12.

73 70 4 EXPERIMENTOS E RESULTADOS A avaliação dos resultados de calibração do sistema dual de câmaras digitais compreende as Seções 4.1, 4.2 e 4.3. A Seção 4.1 trata da avaliação de uma solução baseada na calibração seqüencial das duas câmaras compondo o arranjo, seguido do cálculo da orientação relativa entre as câmaras. Esta solução utilizou o programa CC (GALO, 1993) que usa o método paramétrico de ajustamento pelo MMQ (GEMAEL, 1994). A Seção 4.2 avalia a metodologia desenvolvida e apresentada na Seção 3.6, que se baseia no ajustamento simultâneo dos parâmetros das duas câmaras, considerando como modelo estocástico o método unificado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunções (MIKHAIL e ACKERMAN, 1976), conhecido também como método combinado com injunções (GEMAEL, 1994). Quatro processamentos de calibração serão apresentados e discutidos: sem (Seções 4.2.1e 4.2.2) e com o uso de injunções de orientação relativa (4.2.3) e considerando uma injunção de distância (medida no espaço objeto) entre os CPs das câmaras que compõe o arranjo dual (4.2.4). Na Seção 4.3, realiza-se novamente os quatro processamentos da Seção 4.2 com um número reduzido de pontos de apoio, a fim de se avaliar os efeitos destas injunções no espaço objeto, a partir da análise do erro médio quadrático (EMQ) nos pontos de verificação. 4.1 EXPERIMENTOS REALIZADOS COM A SOLUÇÃO PARA CALIBRAÇÃO INDIVIDUAL DAS CÂMARAS E CÁLCULO POSTERIOR DOS ELEMENTOS DE ORIENTAÇÃO RELATIVA Os experimentos a serem apresentados nesta Seção foram apresentados preliminarmente em Bazan et al (2007) e tratam da avaliação da abordagem na qual cada câmara é calibrada individualmente (primeira etapa), com cálculo posterior dos elementos de orientação relativa (segunda etapa), conforme apresentado na Seção 3.5. Ao final do processo, será avaliada a estabilidade dos elementos de orientação relativa calculados por meio das Equações 3.1. Esta avaliação será feita com base nos valores médios (Equações 3.2) e nos desviospadrão destes valores, calculados para cada de elemento de orientação relativa

74 71 Para a estimativa dos parâmetros de orientação interior na primeira etapa, foram utilizadas 22 imagens referentes à câmara 1, sendo que 13 delas foram adquiridas sem usar o arranjo dual, priorizando-se o melhor enquadramento do campo de calibração, e as 9 restantes com o arranjo dual (necessárias para realização da segunda etapa). Com relação à câmara 2, foram utilizadas 24 imagens, das quais 15 foram adquiridas individualmente. A aquisição das imagens ocorreu no final de abril de Todas as imagens, tanto as individuais quanto aquelas considerando o arranjo dual, foram obtidas a partir de três estações posicionadas diante do campo de calibração, apresentado na Seção 3.3. A Figura 4.1 ilustra as posições das estações, bem como algumas imagens adquiridas com as câmaras da esquerda e da direita (C2 e C1, respectivamente). Campo de Calibração 3 a Estação 2 a Estação (a) 1 a Estação C1 C1 C1 C1 C1 C1 C2 C2 (b) C2 C2 C2 (c) C2 Figura Exemplo de imagens adquiridas sobre o campo de calibração: (a) estações; (b) aquisições individuais e; (c) aquisições com o arranjo dual. Observando a Figura 4.1b, verifica-se que as aquisições individuais realizadas por ambas as câmaras apresentaram um melhor enquadramento do campo de calibração, permitindo uma maior quantidade e melhor distribuição dos pontos no plano imagem. Este procedimento é realizado com o objetivo de se obter uma estimação dos parâmetros de orientação interior e exterior com maior confiabilidade (primeira etapa), tendo em vista a melhor distribuição dos pontos sobre o plano imagem.

75 72 Com relação às aquisições considerando o arranjo dual (Figura 4.1c), verifica-se que estas foram executadas de maneira que cada uma das câmaras fizesse a cobertura da metade do campo de calibração, dado a impossibilidade de um enquadramento simultâneo de todo o campo por ambas as câmaras. O campo de calibração em questão contém tanto pontos de apoio, quanto pontos fotogramétricos. As coordenadas destes pontos foram medidas com precisão subpixel pelo aplicativo MID (Apêndice III) e tanto a primeira quanto a segunda etapa desta solução de calibração, fizeram uso do programa de Calibração de Câmaras (GALO, 1993). Foram realizados 4 diferentes experimentos, com diferentes conjuntos de parâmetros e injunções: Experimento 1 - A calibração de ambas as câmaras considerando os parâmetros f, x 0, y 0 e K 1 como incógnitas na calibração; Experimento 2 - Repetiu-se o processamento anterior, incluindo também o parâmetro K 2 ; Experimento 3 - Foi realizado um processo de fototriangulação utilizando apenas as imagens tomadas com o arranjo dual, considerando injunções nos parâmetros f, x 0, y 0 e K 1, a partir dos resultados do experimento 1; Experimento 4 - Repetiu-se o experimento 3 incluindo também o termo K 2 como injunção. Quanto aos parâmetros de orientação interior, considerou-se apenas: f, x 0, y 0, K 1 e/ou K 2, já que os outros parâmetros geralmente apresentam desvios com a mesma magnitude dos próprios parâmetros, conforme mencionado na Seção 3.5. Os pesos das injunções dadas aos parâmetros de orientação interior nos experimentos 3 e 4, foram definidos em função da variância destes parâmetros, resultantes da primeira etapa da solução (estimados nos experimentos 1 e 2). Foram analisados os resultados dos 4 experimentos para verificar qual deles permitiu uma melhor estimativa dos elementos de orientação relativa. Como as imagens adquiridas com o arranjo dual foram também incluídas no processamento de calibração individual na primeira etapa, pretende-se, além dos parâmetros de orientação interior, estimar também os elementos de orientação

76 73 relativa entre as câmaras em função da orientação exterior calculada para cada uma das 18 imagens (9 pares) adquiridas com o arranjo dual. Apresenta-se na seqüência um resumo dos quatro experimentos realizados. Experimento 1 o Dados de entrada: Fotocoordenadas medidas em todas as imagens envolvidas, coordenadas dos pontos de apoio no referencial do espaço objeto e parâmetros de orientação exterior aproximados de cada imagem; o Dados de saída: Parâmetros de orientação interior, coordenadas tridimensionais dos pontos fotogramétricos, parâmetros de orientação exterior estimados para cada imagem envolvida e MVC dos valores estimados. A Tabela 4.1 apresenta os parâmetros de orientação interior e os desviospadrão estimados para ambas as câmaras. Tabela 4.1 Parâmetros de orientação interior e desvios-padrão estimados no experimento 1. f (mm) ±σ x 0 (mm) ±σ y 0 (mm) ±σ K 1 (mm -2 ) ±σ -0,224x10 Câmara 1 Câmara 2 50,080 50,135 ±0,0068 ±0,0063-0,376-0,730 ±0,0026 ±0,0028 0,066-0,090 ±0,0038 ±0,0038-0,222x10-04 ±0,738x10-07 ±0,691x10-07 Experimento 2 o Neste experimento, tanto os dados de entrada quanto os dados de saída, foram os mesmos considerados no experimento 1. No entanto, foi incluído o parâmetro K 2 no conjunto de parâmetros de orientação interior a serem estimados. A Tabela 4.2 apresenta os parâmetros de orientação interior estimados para ambas as câmaras.

77 74 Tabela 4.2 Parâmetros de orientação interior e desvios-padrão estimados no experimento 2. f (mm) ±σ x 0 (mm) ±σ y 0 (mm) ±σ K 1 (mm -2 ) ±σ K 2 (mm -4 ) ±σ -0,285x10 0,132 x10-07 Câmara 1 Câmara 2 50,114 50,171 ±0,0052 ±0,0051-0,371-0,729 ±0,0018 ±0,0021 0,0684-0,0816 ±0,0029 ±0, ,286 x10-04 ±0,185x10-06 ±0,691 x ,138x10-07 ±0,385x10-09 ±0,403 x10-09 Experimento 3 o Dados de entrada: Apenas as fotocoordenadas medidas nas imagens tomadas com o sistema dual, as coordenadas dos pontos de apoio do espaço objeto, além dos parâmetros de orientação exterior aproximados de cada imagem; o Dados de saída: Coordenadas tridimensionais dos pontos fotogramétricos, além dos parâmetros de orientação exterior ajustados para cada imagem. o Injunções: Injunções nos parâmetros de orientação interior (f, x 0, y 0 e K 1 ), estimados no primeiro experimento (Tabela 4.1), com os pesos calculados em função da variância destes parâmetros Experimento 4 o Os dados de entrada e saída considerados neste experimento são os mesmo do experimento 3. No entanto, os parâmetros injuncionados (Tabela 4.2) incluem o parâmetro K 2. Os elementos de orientação relativa médios, calculados com base na orientação exterior das imagens tomadas com o arranjo dual para cada experimento, bem como seus respectivos desvios-padrão, são apresentados na Tabela 4.3. A Figura 4.2 apresenta um gráfico de barras que permite uma rápida comparação entre os desvios de cada elemento. Em todos os experimentos, das 9 aquisições feitas com o arranjo (pares de imagens), enumeradas de a a i, os pares c e e foram eliminados, pois os

78 75 elementos de orientação relativa se apresentaram discrepantes em relação àqueles estimados para os outros pares. Os desvios destes elementos médios variavam na ordem de 0,5º a 1,5º para os elementos angulares e de 0 a 5 cm para a distância entre os CPs (BAZAN et al, 2007), variação esta acentuada se o sistema for considerados como fisicamente estável. Tabela 4.3 Elementos de orientação relativa médios e seus respectivos desvios-padrão. Exp. 1 Exp. 2 Exp. 3 Exp. 4 ω (º) ±σ -38, ±0, ,25589 ±0, ,25401 ±0, ,25641 ±0,10917 ϕ (º) ± σ -0,57730 ±0, ,57421 ±0, ,57959 ±0, ,57268 ±0,10351 κ (º) ± σ 178,80079 ±0, ,80159 ±0, ,79886 ±0, ,80079 ±0,10640 D (dm) ± σ 1,083 ±0,119 1,079 ±0,073 1,101 ±0,107 1,081 ±0,110 0,15 Desvios-padrão 0,10 0,05 0, Experimentos Desvio de Delta Kappa Desvio de Delta Omega Desvio de Delta Phi Desvio da Distância Figura Gráfico de barras dos desvios-padrão apresentados na Tabela 4.3. Conforme apresentado, verifica-se que os experimentos 2 e 3 apresentaram melhores resultados, já que os desvios-padrão dos elementos de orientação relativa estimados apresentam-se menores em relação ao primeiro e último experimentos. No entanto, tendo como referência o experimento 2, o experimento 3 apresentou uma pequena redução nos desvios, referentes aos elementos angulares (redução de ω ~ 10, φ ~ 21, k ~ 3 ), porém o desvio da distância D entre os CPs apresentou um aumento (D ~ 3mm). A partir do experimento 4, constata-se que a inclusão do termo K 2 não influencia significativamente nos resultados.

79 76 Portanto, entre os 4 experimentos apresentados, o procedimento de calibração do experimento 3, o qual envolveu a estimativa dos elementos de orientação interior f, x 0, y 0 e K 1 (primeira etapa) e a aplicação destes parâmetros na forma de injunções de peso em um procedimento de fototriangulação (segunda etapa), de maneira geral, foi o que permitiu a estimativa da orientação relativa entre as câmaras com menores desvios-padrão. A análise dos desvios permite afirmar que nesta abordagem de calibração, a determinação da orientação relativa apresenta seus resultados afetados pela propagação de erros no processo de fototriangulação, uma vez que se observou uma variação da ordem de centímetros na distância entre os CPs. Admitindo que as câmaras são rigidamente conectadas, estas variações não correspondem à realidade física. Em relação às rotações, observa-se que elas são estimadas com erros maiores do que a possível variação física existente entre as câmaras. A metodologia desenvolvida e apresentada na Seção 3.6, permitirá resolver estes problemas, já que os elementos de orientação relativa serão fixados, por meio de injunções funcionais em um ajustamento em bloco. Esta metodologia se baseia no modelo apresentado por Tommaselli e Alves (2001), e utiliza um processo unificado de ajustamento pelo método dos mínimos quadrados com injunções, apresentado na Seção EXPERIMENTOS REALIZADOS COM A METODOLOGIA DESENVOLVIDA NA SEÇÃO 3.6 QUE FAZ USO DO RECURSO DE CALIBRAÇÃO MULTICÂMARA Os experimentos apresentados a seguir permitirão avaliar os resultados da calibração do sistema dual de câmaras digitais pela metodologia desenvolvida, que aplica injunções de estabilidade dos parâmetros de orientação relativa. Em todos os experimentos apresentados nesta Seção foram utilizadas 29 imagens tomadas com o arranjo dual, adquiridas no mês de outubro de Verificou-se a ausência de algumas imagens devido à falha no acionamento simultâneo das câmaras. Este problema só pôde ser constatado no momento em que as imagens foram descarregadas, o que não impossibilitou de considerar os pares correspondentes destas imagens no processamento usando esta metodologia. Das 29 imagens, 14 foram adquiridas pela câmara 1 e 15 pela

80 77 câmara 2, sendo que 13 delas formavam pares entre si, ou seja, apresentam a imagem correspondente tomada pela outra câmara no mesmo instante. Os Quadros 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4 apresentam esquemas ilustrando as coletas realizadas com diferentes rotações a partir de 4 pontos de vista. Para cada estação, realizou-se 4 coletas, com o arranjo de câmaras sendo rotacionado em 90º no sentido horário, a partir da primeira aquisição (rotação de 0º). Por estes quadros, é possível perceber que algumas imagens apresentaram enquadramento deficiente do campo de calibração, já que a quantidade de alvos presentes nestas imagens é pequena, e os poucos alvos estão mal distribuídos. Quadro 4.1 Configuração das aquisições feitas a partir da primeira estação. Primeira estação Primeira aquisição Terceira aquisição Ausência da imagem C2 - img 4 C1 - img 3 C1 - img 5 C2 Segunda aquisição Quarta aquisição C2 - img 5 C1 - img 6 C1 - img 4 C2 - img 6

81 78 Quadro 4.2 Configuração das aquisições feitas a partir da segunda estação. Segunda estação Primeira aquisição Terceira aquisição C2 - img 8 C1 - img 9 C1 - img 12 C2 - img 10 Segunda aquisição Quarta aquisição Segunda tomada C2 - img 9 C1 - img 13 C1 - img 11 C2 - img 11

82 79 Quadro 4.3 Configuração das aquisições feitas a partir da terceira estação. Terceira estação Primeira aquisição Terceira aquisição C2 - img 14 C1 - img 16 C1 - img 19 C2 - img 16 Segunda aquisição Quarta aquisição C2 - img 15 C2 - img 17 C1 - img 17 C1 - img 21

83 80 Quadro 4.4 Configuração das aquisições feitas a partir da quarta estação. Quarta estação Primeira aquisição Terceira aquisição Ausência da imagem C2 - img 19 C1 - img 23 Segunda aquisição C1 C2 - img 21 Quarta aquisição C2 - img 20 C1 - img 26 Ausência da imagem C1 C2 - img 22 Os Quadros 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4 mostram as imagens nas posições originais, na forma como foram feitas as tomadas. Conforme citado no Apêndice III, antes que sejam realizadas as medidas das fotocoordenadas, estas imagens precisam ser rotacionadas devido à rotação que as imagens sofrem em função da atuação do sensor de orientação, conforme mencionado na Seção As Figuras 4.3 e 4.4 apresentam imagens que permitem verificar a quantidade e distribuição dos pontos medidos em cada uma das imagens tomadas pelas câmaras 1 e 2.

84 81 C1 - img 3 colunas C1 - img 4 C1 - img 5 linhas C1 - img 6 C1 - img 9 C1 - img 11 C1 - img 12 C1 - img 13 C1 - img 16 C1 - img 17 C1 - img 19 C1 - img 21 C1 - img 23 C1 - img 26 Distribuição dos pontos considerando todas as imagens (C1) Figura 4.3 Distribuição dos pontos medidos ao longo das 14 imagens tomadas pela câmara 1.

85 82 C2 - img 4 colunas C2 - img 5 C2 - img 6 linhas C2 - img 8 C2 - img 9 C2 - img 10 C2 - img 11 C2 - img 14 C2 - img 15 C2 - img 16 C2 - img 17 C2 - img 19 C2 - img 20 C2 - img 21 C2 - img 22 Distribuição dos pontos considerando todas as imagens (C2) Figura 4.4 Distribuição dos pontos medidos ao longo das 15 imagens tomadas pela câmara 2.

86 83 Verifica-se pela Figura 4.3 que as imagens 4, 11, 17 e 21, referentes à câmara 1, apresentaram uma quantidade de pontos muito pequena e que estão mal distribuídos, concentrando-se em uma pequena região da imagem. O mesmo pôde ser verificado para o caso da câmara 2, na Figura 4.4, que apresentou essa deficiência para as imagens 11, 6 e 22. Pontos em pequena quantidade e mal distribuídos, ou seja, uma geometria fraca, não permite uma estimação adequada dos parâmetros, o que faz com que os desvios-padrão dos elementos de orientação exterior resultantes sejam elevados em relação aos elementos daquelas imagens que apresentaram uma quantidade e distribuição de pontos adequada. O problema referente à quantidade e distribuição dos pontos imageados decorre da impossibilidade de se obter um imageamento ideal do campo de calibração por ambas as câmaras que compõem o arranjo dual. Na tentativa de sanar este problema, pode-se recorrer à medição de outros pontos fotoidentificáveis que não fazem parte da malha principal de alvos, o que não permitiria, entretanto, uma pontaria subpixel. Uma outra possibilidade seria o aumento da área sinalizada do campo Em adição a este procedimento, pode-se recorrer à estratégia adotada na Seção 4.1, de se realizar aquisições individuais, priorizando o melhor enquadramento do campo de calibração por uma e outra câmara, separadamente, conforme ilustrado na Figura 4.1. Estes procedimentos possibilitariam uma melhora na rigidez geométrica da rede fotogramétrica, mas não permitiriam a introdução de injunções de orientação relativa para estas imagens.

87 Calibração do sistema dual sem injunções de orientação relativa considerando os pontos de apoio originalmente levantados Este experimento apresenta os resultados da calibração do sistema dual pela metodologia desenvolvida, mas ainda sem o uso das injunções de orientação relativa, lançando-se mão dos pontos levantados por intersecção a vante (Anexo I). Ao todo foram medidos 1005 pontos nestas imagens. O processo envolveu 49 pontos de apoio e 27 fotogramétricos. Destes 27 pontos, dos quais 5 tinham coordenadas conhecidas no espaço objeto (pontos de verificação). O ajustamento contou com 2010 observações (coordenadas fotogramétricas x e y de cada ponto) e 422 parâmetros que correspondem a 6 parâmetros de orientação exterior de cada imagem, 10 parâmetros de orientação interior de cada câmara e três coordenadas de cada ponto do espaço objeto (pontos de apoio e fotogramétricos). Considerando que todos os pontos de apoio foram tratados como injunções de peso, o número de graus de liberdade do ajustamento foi igual a O critério de convergência adotado foi de 0, , que representa 0,1 expresso em radianos, para que se possa garantir também a convergência dos valores angulares no ajustamento. Adotou-se a variância da observação de peso unitário a priori igual a 0, mm 2, que corresponde a um desvio padrão de 0,5 pixels nas medidas das fotocoordenadas. Executada a calibração, o número de iterações realizadas foi igual a 6 e a variância da observação de peso unitário a posteriori igual a 0, mm 2 (σˆ 0 = 0,0010 mm = 1µm = 1/9 pixel). Pela Equação 2.47, calculou-se a estatística amostral qui-quadrado que resultou em 2 χ =94,0147. Para um nível de confiança a (1-α) igual a 95% e 1735 graus de liberdade, determinou-se o valor do qui-quadrado tabelado que foi de χ 2 (1735, 0.95) =1833. Como 2 χ =94,0147 < a χ 2 (1735, 0.95) =1833 é verdadeiro, a hipótese nula não deve ser rejeitada a um nível de confiança de 95%, sendo o ajustamento aceito. A Tabela 4.4 apresenta os parâmetros de orientação interior calibrados e os respectivos desvios-padrão.

88 85 Tabela 4.4 Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção f (mm) ±σ x 0 (mm) ±σ y 0 (mm) ±σ K 1 (mm -2 ) ±σ K 2 (mm -4 ) ±σ K 3 (mm -6 ) ±σ P 1 (mm -1 ) ±σ P 2 (mm -1 ) ±σ A ±σ B ±σ CÂMARA 1 CÂMARA 2 50,086 50,144 ±0,0086 (0,95 pixels) -0,280 ±0,0122 (1,36 pixels) ±0,0084 (0,94 pixels) -0,665 ±0,0096 (1,07 pixels) -0,052-0,269 ±0,0109 (1,21 pixels) ±0,0082 (0,91 pixels) -0,293x ,291x10-04 ±0,610x10-06 ±0,410x ,163x ,129x10-07 ±0,282x10-08 ±0,176x ,100x ,400x10-11 ±0,400x10-11 ±0,200x ,478x ,216x10-05 ±0,149x10-05 ±0,113x ,588x ,623x10-05 ±0,156x10-05 ±0,104x ,333x ,159x10-04 ±0,254x10-04 ±0,144x ,332x ,154x10-04 ±0,334x10-04 ±0,201x10-04 Percebe-se pela Tabela 4.4, que os parâmetros K 3, P 1, P 2, A e B, apresentaram seus desvios-padrão com a mesma ordem de grandeza destes parâmetros, ou até maiores, tanto para a câmara 1 quanto para a câmara 2. No entanto, verificou-se empiricamente que no caso da retificação e fusão das imagens, houve uma melhora nos resultados considerando também o uso destes parâmetros, mesmo com desvios-padrão elevados (LOPES 5 e TOMMASELLI, 2008). 0,8 Resultantes dos resíduos em pixels 0,6 0,4 0,2 0 Observações Figura 4.5 Resultantes dos resíduos das observações no experimento da Seção LOPES, R. F, TOMMASELLI, A.. M. G. Comunicação pessoal. Programa de Pós-graduação em Ciências Cartográficas

89 86 Pela Figura 4.5, verifica-se que grande parte das observações apresentou resíduos resultantes de até 0,1 pixels. Praticamente todas as observações apresentaram resíduos resultantes menores ou iguais a 0,5 pixel, exceto por uma única observação que apresentou resíduo resultante de 0,6 pixel. Os parâmetros de orientação exterior ajustados são fornecidos pela Tabela V.1 do Apêndice V. Já os desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k e das coordenadas X 0, Y 0 e Z 0, são apresentados nos gráficos da Figura 4.6 e 4.7, respectivamente. Desvios em graus 0,11 0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C2 Imagens tomadas por C1 e C2 Desvio de ω Desvio de φ Desvio de k Figura 4.6 Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k no experimento da Seção

90 87 0,04 0,035 Desvios em metros 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0, C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C2 Imagens tomadas por C1 e C2 Desvio de Xo Desvio de Yo Desvio de Zo Figura 4.7 Desvios-padrão das coordenadas X 0, Y 0 e Z 0 no experimento da Seção Pelas Figuras 4.6 e 4.7, é possível confirmar a afirmação feita anteriormente com base nas Figuras 4.3 e 4.4. Os desvios-padrão dos elementos de orientação exterior ajustados são significativamente maiores (no caso da imagem 4, quase 7 vezes maior) para as imagens que apresentaram deficiências quanto a quantidade e distribuição dos alvos. Estes desvios se apresentam destacados nas Figuras 4.6 e 4.7. A Tabela 4.5 apresenta os elementos de orientação relativa, calculados pelas Equações 3.1, para cada aquisição, bem como seus valores médios e respectivos desvios-padrão. Os valores angulares são apresentados em graus sexagesimais e as distâncias entre os CPs em centímetros.

91 88 Tabela 4.5 Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores médios com respectivos desvios (experimento da Seção 4.2.1). Par de imagens (C1 e C2) ω φ k Distância entre CPs (cm) º 42' 27,8'' -0º 21' 57,8'' 179º 04' 09,5'' 12, º 43' 20,1'' -0º 23' 00,2'' 179º 04' 07,7'' 10, º 42' 23,3'' -0º 22' 49,9'' 179º 03' 57,7'' 11, º 38' 58,7'' -0º 21' 59,1'' 179º 06' 30,3'' 9, º 42' 37,3'' -0º 23' 00,0'' 179º 03' 18,7'' 9, º 39' 35,5'' -0º 23' 33,8'' 179º 02' 31,5'' 9, º 40' 42,5'' -0º 24' 45,5'' 179º 03' 26,3'' 10, º 40' 55,5'' -0º 23' 23,4'' 179º 04' 07,5'' 10, º 44' 23, 7'' -0º 27' 43,9'' 179º 01' 45,4'' 11, º 38' 51,4'' -0º 23' 37,7'' 179º 02' 18,1'' 10, º 43' 03,3'' -0º 21' 51,9'' 179º 04' 53,6'' 10, º 40' 42,9'' -0º 23' 14,7'' 179º 03' 34,9'' 10, º 41' 31,5'' -0º 22' 55,9'' 179º 04' 56,3'' 10,816 Média -36º 41' 30,3'' -0º 23' 22,6'' 179º 03' 49,0'' 10,637 ±σ ±0º 01' 43,5'' ±0º 01' 31,6'' ±0º 01' 14,8'' ±0,679 Verifica-se pela Tabela 4.5, que os ângulos orientação relativa apresentam um desvio padrão entre 1 e 2. Já a distância média entre os CPs apresenta um desvio padrão de quase 0,7 cm. Estes desvios são considerados altos, admitindo-se um sistema fisicamente rígido e estável. O experimento apresentado na Seção considera o mesmo processamento, mas agora com os pontos de controle triangulados com injunções de distância, conforme mencionado anteriormente Calibração do sistema dual sem injunções de orientação relativa considerando os pontos triangulados com injunções de distâncias medidas no espaço objeto Este experimento apresenta os resultados obtidos após a repetição do experimento anterior, porém, utilizando-se das coordenadas dos pontos de apoio triangulados com injunção de distâncias (Anexo II). Todas as considerações feitas anteriormente foram mantidas e o processamento foi executado em 6 iterações. Após o processamento, a variância da observação de peso unitário a posteriori foi de 0, mm 2 (σˆ 0 = 0,0007 mm =0,7 µm = 1/13 pixel). A partir da Equação 2.47, calculou-se então a estatística amostral qui-quadrado que resultou em 2 χ =42,7339. Para um nível de confiança (1-α) igual a 95%, o valor do qui- a

92 89 quadrado tabelado foi de χ 2 (1735, 0.95) =1833. Como 2 χ =42,7339 < a χ 2 (1735, 0.95) =1833 é verdadeiro, a hipótese nula não deve ser rejeitada a um nível de confiança de 95%. A Tabela 4.6 fornece os parâmetros de orientação interior estimados e seus respectivos desvios-padrão. Tabela 4.6 Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção f (mm) ±σ x 0 (mm) ±σ y 0 (mm) ±σ K 1 (mm -2 ) ±σ K 2 (mm -4 ) ±σ K 3 (mm -6 ) ±σ P 1 (mm -1 ) ±σ P 2 (mm -1 ) ±σ A ±σ B ±σ CÂMARA 1 CÂMARA 2 50,070 50,124 ±0,0060 (0,67pixels) -0,287 ±0,0085 (0,95 pixels) ±0,0059 (0,66 pixels) -0,665 ±0,0067 (0,75 pixels) -0,054-0,276 ±0,0076 (0,85 pixels) ±0,0058 (0,64 pixels) 0,288x ,285x10-04 ±0,420x10-06 ±0,290x ,141x ,107x10-07 ±0,193x10-08 ±0,121x ,200x ,700x10-11 ±0,300x10-11 ±0,200x ,218x ,832x10-06 ±0,104x10-05 ±0,801x ,327x ,600x10-05 ±0,114x10-05 ±0,768x ,174x ,647x10-05 ±0,186x10-04 ±0,105x ,576x ,573x10-04 ±0,233x10-04 ±0,140x10-04 Percebe-se pela Tabela 4.6, que todos os parâmetros de orientação interior apresentaram uma diminuição de 30% nos seus desvios-padrão, para ambas as câmaras, se comparados com os desvios dos parâmetros obtidos no experimento anterior (Tabela 4.4). O desvio padrão da observação de peso unitário a posteriori (σˆ 0 = 0,0007 mm) também apresentou uma redução de 30% em relação àquele obtido no experimento anterior, que foi de 0,001 mm. A Figura 4.5 apresenta os resíduos resultantes das observações, na unidade de pixels.

93 90 Resultantes dos resíduos em pixels 0,6 0,4 0,2 0 Observações Figura 4.8 Resultantes dos resíduos das observações no experimento da Seção A Figura 4.8 mostra que todas as observações apresentaram resíduos resultantes menores ou iguais a 0,5 pixel. Os parâmetros de orientação exterior ajustados são apresentados pela Tabela V.2 do Apêndice V. De modo semelhante ao experimento anterior, os desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k e das coordenadas X 0, Y 0 e Z 0, são apresentados, respectivamente, pelos gráficos da Figura 4.9 e ,08 0,07 0,06 0,05 Desvios em graus 0,04 0,03 0,02 0, C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C2 Imagens tomadas por C1 e C2 Desvio de ω Desvio de φ Desvio de k Figura Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k no experimento da Seção

94 91 0,03 0,025 0,02 Desvios em metros 0,015 0,01 0, C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C2 Imagens tomadas por C1 e C2 Desvio de Xo Desvio de Yo Desvio de Zo Figura 4.10 Desvios-padrão das coordenadas X 0, Y 0 e Z 0. no experimento da Seção Pelas Figuras 4.9 e 4.10, verifica-se também uma diminuição de cerca de 30% nos desvios-padrão dos elementos de orientação relativa estimados, em relação àqueles apresentados pelas Figuras 4.6 e 4.7. A Tabela 4.7 apresenta os elementos de orientação relativa, calculados pelas Equações 3.1, além dos seus valores médios e respectivos desvios-padrão. Tabela 4.7 Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores médios com respectivos desvios (experimento da Seção 4.2.2). Par de imagens (C1 e C2) ω φ k Distância entre CPs (cm) º 42' 20,7'' -0º 23' 05,9'' 179º 04' 00,4'' 11, º 42' 50,4'' -0º 23' 49,1'' 179º 03' 57,9'' 10, º 42' 31,9'' -0º 24' 23,6'' 179º 03' 39,6'' 10, º 39' 32,9'' -0º 23' 18,5'' 179º 06' 07,7'' 10, º 42' 58,7'' -0º 23' 56,2'' 179º 03' 01,0'' 9, º 40' 19,6'' -0º 24' 41,8'' 179º 02' 26,7'' 10, º 41' 5,3'' -0º 25' 54,6'' 179º 03' 18,8'' 10, º 41' 8,9'' -0º 24' 39,8'' 179º 03' 45,1'' 10, º 44' 8,7'' -0º 28' 36,3'' 179º 01' 40,8'' 10, º 39' 34,0'' -0º 24' 48,1'' 179º 02' 12,7'' 10, º 44' 2,9'' -0º 23' 0,9'' 179º 04' 36,5'' 10, º 41' 32,4'' -0º 24' 12,9'' 179º 03' 04,9'' 11, º 41' 15,2'' -0º 24' 15,5'' 179º 04' 41,9'' 10,464 Média -36º 41' 47,8'' -0º 24' 31,0'' 179º 03' 34,9'' 10,595 ±σ ±0º 01' 30,7'' ±0º 01' 27,5'' ±0º 01' 10,5'' ±0,573

95 92 Nota-se pela Tabela 4.7, que os ângulos de orientação relativa médios apresentam desvios menores do que aqueles apresentados na Tabela 4.5. O processamento fazendo uso dos pontos de apoio triangulados com injunção de distância, permitiu uma redução de 30% nos desvios-padrão, tanto dos parâmetros de orientação interior, quanto dos parâmetros de orientação exterior resultantes. Com base neste experimento, pôde-se constatar que os pontos de apoio originalmente levantados por intersecção à vante (Anexo I), apresentavam um problema de escala. Esta melhora significativa ocorreu em função da forte restrição geométrica que a escala do bloco passou a apresentar, a partir do momento em que considerou as injunções de distância medidas com o paquímetro na triangulação dos pontos, como concluiram, de modo similar, Galo et al (2007). Embora tenha ocorrido uma significativa diminuição de 30% nos desvios-padrão dos parâmetros de orientação interior e exterior estimados, os desvios padrão dos elementos de orientação relativa médios ainda são discrepantes, de acordo com o que se espera para um sistema fisicamente estável, devido à fraca geometria decorrente da má distribuição dos alvos em algumas imagens, como discutido na Seção O próximo experimento (Seção 4.2.3) apresenta o processamento considerando agora o uso de injunções de orientação relativa entre as câmaras. Este experimento faz o uso dos pontos triangulados com injunção de distância, já que o uso destes pontos como apoio permitiu uma redução de 30% nos desvios dos parâmetros, conforme explicitado Calibração do sistema dual com injunções de orientação relativa Este experimento foi realizado com dois conjuntos de injunções. Para o primeiro conjunto foi admitido que o arranjo de câmaras apresentava uma variação em torno de 10 e menor que 1 mm, para os ângulos de orientação relativa e a distância entre os CPs, respectivamente (arranjo fisicamente estável, porém não rígido). Já para segundo conjunto foi admitido que o arranjo apresentava variações menores do que 1 e 1 mm, para os mesmos elementos, respectivamente (admitindo que se tem um arranjo fisicamente rígido). Com isto, pretende-se avaliar se as câmaras estão ou não fixas no arranjo, comparando a distância média entre os CPs resultante do processamento,

96 93 com aquela medida pelo paquímetro (Seção 3.6.4). Estas variações são introduzidas no arquivo de orientação exterior do processamento, conforme apresentado no Apêndice IV (Figura IV.3), tendo sido calculadas por propagação de covariâncias com as Equações 3.9, 3.10, 3.11 e 3.12, o que permite o cálculo dos pesos das injunções de orientação relativa. Os dados de entrada deste experimento, são os mesmos dos dois anteriores, considerando ainda o uso das coordenadas dos pontos de apoio apresentadas no Anexo II. O resultado da calibração apresentado nesta Seção faz uso das injunções de orientação relativa, mediante a inclusão das equações de injunções desenvolvidas na Seção 3. O processo de ajustamento, contou com as mesmas 2010 observações e 422 parâmetros dos experimentos anteriores. No entanto, 48 injunções adicionais foram consideradas (4 X nº de pares -1), já que do total de imagens, 13 delas foram tomadas por ambas as câmaras. Conforme foi apresentado na Seção 3.6.1, para cada duas aquisições com o arranjo dual, é possível desenvolver 4 equações de injunções. Assim sendo, o número de graus e liberdade aumentou de 1735 para Resultados do experimento considerando o primeiro conjunto de injunções admitindo o sistema fisicamente estável, porém não rígido Neste experimento, o número de iterações do ajustamento subiu de 6 para 31 já que um número maior de iterações é requerido, ao passo que a convergência do ajustamento ocorre respeitando as restrições impostas pelas equações de injunções. A variância da observação de peso unitário a posteriori foi de 0, mm 2 (σˆ 0 = 0,0010 mm = 1 µm = 1/9 pixel), valor este bem maior se comparado com aquele conseguido no experimento anterior (Seção 4.2.2), que foi de 0, mm 2 (σˆ 0 = 1/13 pixel). O aumento na variância da observação de peso unitário a posteriori está associado com a restrição imposta pelas injunções, que impedem que os parâmetros de orientação exterior variem livremente, fazendo com que os resíduos aumentem. A estatística amostral 2 χ calculada foi igual a 2 χ = 96,8543. a

97 94 Para um nível de confiança de 95% e 1783 graus de liberdade, o valor do qui-quadrado tabelado foi de χ 2 (1783, 0.95) χ 2 (1783, 0.95) = Como 2 χ = 96,8543 < a = 1882 é verdadeiro, não se rejeita a hipótese nula a um nível de confiança de 95%. Os parâmetros de orientação interior de ambas as câmaras e os seus desvios-padrão são apresentados na Tabela 4.8. Tabela 4.8 Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção f (mm) ±σ x 0 (mm) ±σ y 0 (mm) ±σ K 1 (mm -2 ) ±σ K 2 (mm -4 ) ±σ K 3 (mm -6 ) ±σ P 1 (mm) -1 ±σ P 2 (mm) -1 ±σ A ±σ B ±σ CÂMARA 1 CÂMARA 2 50,146 50,083 ±0,0071 (0,79 pixels) -0,253 ±0,0108 (1,20 pixels) ±0,0073 (0,81 pixels) -0,669 ±0,0086 (0,95 pixels) 0,042-0,290 ±0,0090 (1,00 pixels) ±0,0066 (0,73 pixels) -0,273x ,283x10-04 ±0,430x10-06 ±0,350x ,386x ,970x10-08 ±0,162x10-08 ±0,135x ,190x ,800x10-11 ±0,200x10-11 ±0,200x ,487x ,228x10-05 ±0,135x10-05 ±0,106x ,174x ,418x10-05 ±0,139x10-05 ±0,943x ,107x ,492x10-04 ±0,229x10-04 ±0,136x ,496x ,230x10-04 ±0,282x10-04 ±0,179x10-04 Verifica-se pela Tabela 4.8, que os parâmetros de orientação interior apresentaram variações em comparação com aqueles da Tabela 4.6, ao se considerar o uso das injunções de orientação relativa. O desvios-padrão de alguns parâmetros diminuíram e outros aumentaram, já que o uso destas injunções provoca uma modificação no modelo estocástico da estimativa pelo MMQ. O gráfico da Figura 4.11 apresenta os resíduos resultantes em pixels.

98 95 1,2 Resultantes dos resíduos em pixels 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 Observações Figura 4.11 Resultantes dos resíduos das observações considerando o primeiro conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3). O gráfico da Figura 4.11 mostra que observações que se apresentavam anteriormente com resíduos de até 0,1 pixel, passam a apresentar resíduos de 0,2 pixels e algumas observações apresentaram resíduos maiores que 0,5 pixel. Foi verificado que as quatro observações que apresentaram resíduos entre 0,7 e 1 pixel, foram feitas na imagem 21 da câmara 1, que apresentou deficiência quanto ao número e distribuição dos pontos imageados (Figura 4.3). A Tabela V.3 (Apêndice V) fornece os parâmetros de orientação exterior estimados e as Figuras 4.12 e 4.13 apresentam, respectivamente, os desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k e das coordenadas X 0, Y 0 e Z 0.

99 96 Desvios em graus 0,03 0,02 0, C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C2 Imagens tomadas por C1 e C2 Desvio de ω Desvio de φ Desvio de k Figura 4.12 Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k considerando o primeiro conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3). Desvios em metros 0,01 0, C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C2 Imagens tomadas por C1 e C2 Desvio de Xo Desvio e Yo Desvio de Zo Figura 4.13 Desvios-padrão das coordenadas X 0, Y 0 e Z 0 considerando o primeiro conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3). Apesar do aumento nos resíduos, as Figuras 4.12 e 4.13 mostram que os desvios-padrão dos parâmetros de orientação exterior reduziram significativamente em relação àqueles apresentados nos experimentos das Seções e Esta redução se deu devido às injunções de orientação relativa, consideradas no processamento da calibração. Além do mais, percebe-se que estes desvios apresentam magnitude de mesma ordem de grandeza. Os desvios dos ângulos e das coordenadas são de no máximo 0,020 graus e 0,005 m, respectivamente. Os desvios destacados nos gráficos das Figuras 4.12 e 4.13, são referentes às imagens que não participaram das injunções de orientação relativa. A Tabela 4.9 apresenta os elementos de orientação relativa, juntamente com seus valores médios e respectivos desvios-padrão.

100 97 Tabela Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores médios com respectivos desvios (para o primeiro conjunto de injunções nos experimentos da Seção 4.2.3). Par de imagens (C1 e C2) ω φ k Distância entre CPs (cm) º 45' 28,9'' -0º 21' 13,6'' 179º 4' 22,8'' 12, º 45' 46,1'' -0º 21' 12,6'' 179º 4' 25,9'' 12, º 45' 58,6'' -0º 21' 11,4'' 179º 4' 27,9'' 12, º 46' 3,5'' -0º 21' 11,3'' 179º 4' 33,0'' 12, º 46' 20,8'' -0º 21' 7,9'' 179º 4' 23,3'' 12, º 46' 32,6'' -0º 21' 6,9'' 179º 4' 15,6'' 12, º 46' 44,5'' -0º 21' 6,9'' 179º 4' 11,7'' 12, º 46' 53,3'' -0º 21' 5,7'' 179º 4' 6,4'' 12, º 47' 1,4'' -0º 21' 6,3'' 179º 4' 6,0'' 12, º 47' 3,4'' -0º 21' 7,0'' 179º 4' 2,6'' 12, º 47' 15,8'' -0º 21' 8,2'' 179º 4' 4,7'' 12, º 47' 4,2'' -0º 21' 9,6'' 179º 4' 5,9'' 12, º 47' 7,2'' -0º 21' 9,9'' 179º 4' 6,5'' 12,241 Média -36º 46' 33,9'' -0º 21' 9,0'' 179º 4' 14,8'' 12,243 ±σ ±0º 0' 35,1'' ±0º 0' 2,6'' ±0º 0' 10,5'' ±0,002 Como se pôde verificar, os elementos de orientação relativa se apresentaram de acordo com o que se esperava, admitindo-se um sistema fisicamente estável, ou seja, os desvios-padrão dos ângulos de orientação relativa médios foram da ordem de alguns segundos e a distância média entre os CPs apresentou um desvio menor do que 1 mm. No entanto, a discrepância entre esta distância média estimada e a distância medida com o paquímetro (Seção 3.6.4) foi de 1,123 cm (12,243-11,12 = 1,123). O valor da discrepância é acentuado, mostrando que esta distância média absorveu erros decorrentes da má estimativa da orientação exterior de algumas imagens, ou que o valor fixado para a variação das rotações não foi adequado Resultados do experimento considerando o segundo conjunto de injunções admitindo o sistema fisicamente rígido Considerando agora o segundo conjunto de injunções, que admite variações menores que 1 e 1 mm, para os ângulos de orientação relativa e a distância entre os CPs, realizou-se o ajustamento em 34 iterações, sendo 3 a mais do que no experimento anterior (Seção ).

101 98 A variância da observação de peso unitário a posteriori do ajustamento foi de 0, mm 2 estatística amostral χ 2 (1783, 0.95) =1882. Como 2 χ calculada foi igual a 2 χ =114,4642 < a (σˆ 0 =0,0011 mm = 1,1 µm = 1/9 pixel), a χ 2 (1783, 0.95) 2 χ =114,4642. e a tabelada a =1882 é verdadeiro, a hipótese nula não é rejeitada a um nível de confiança de 95%. A Tabela 4.10 apresenta os parâmetros de orientação interior das câmaras, seguidos dos seus desvios-padrão. Tabela 4.10 Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção f (mm) ±σ x 0 (mm) ±σ y 0 (mm) ±σ K 1 (mm -2 ) ±σ K 2 (mm -4 ) ±σ K 3 (mm -6 ) ±σ P 1 (mm) -1 ±σ P 2 (mm) -1 ±σ A ±σ B ±σ CÂMARA 1 CÂMARA 2 50,138 50,080 ±0,0076 (0,84 pixels) -0,264 ±0,0116 (1,29 pixels) ±0,0079 (0,88 pixels) -0,671 ±0,0092 (1,02 pixels) 0,058-0,277 ±0,0095 (1,06 pixels) ±0,0070 (0,78 pixels) -0,269x ,279x10-04 ±0,470x10-06 ±0,370x ,203x ,809x10-08 ±0,174x10-08 ±0,145x ,220x ,100x10-10 ±0,200x10-11 ±0,200x ,436x ,256x10-05 ±0,145x10-05 ±0,114x ,356x ,349x10-05 ±0,149x10-05 ±0,101x ,121x ,386x10-04 ±0,248x10-04 ±0,146x ,599x ,164x10-04 ±0,303x10-04 ±0,192x10-04 Os resíduos das fotocoordenadas (das resultantes) são apresentados pelo gráfico da Figura Os desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k e das coordenadas X 0, Y 0 e Z 0 podem ser visualizados, respectivamente, pelas Figuras 4.15 e Já os parâmetros de orientação exterior estimados são apresentados pela Tabela V.4 do Apêndice V, e os elementos de orientação relativa, juntamente com seus valores médios e respectivos desvios-padrão, são apresentados na Tabela 4.11.

102 99 1,2 Resultantes dos resíduos em pixels 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Observações Figura 4.14 Resultantes dos resíduos das observações considerando o segundo conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3). Desvios em graus 0,03 0,02 0, C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C2 Imagens tomadas por C1 e C2 Desvio de ω Desvio de φ Desvio de k Figura 4.15 Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k considerando o segundo conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3). 0,01 Desvios em metros 0, C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C2 Imagens tomadas por C1 e C2 Desvio de Xo Desvio e Yo Desvio de Zo Figura Desvios-padrão das coordenadas X 0, Y 0 e Z 0 considerando o segundo conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3).

103 100 Tabela Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores médios com respectivos desvios (para o segundo conjunto de injunções nos experimentos da Seção 4.2.3). Par de imagens (C1 e C2) ω φ k Distância entre CPs (cm) º 46' 51,28'' -0º 22' 28,38'' 179º 4' 0,55'' 11, º 46' 51,35'' -0º 22' 28,38'' 179º 4' 0,56'' 11, º 46' 51,40'' -0º 22' 28,37'' 179º 4' 0,56'' 11, º 46' 51,44'' -0º 22' 28,37'' 179º 4' 0,57'' 11, º 46' 51,54'' -0º 22' 28,36'' 179º 4' 0,54'' 11, º 46' 51,63'' -0º 22' 28,36'' 179º 4' 0,51'' 11, º 46' 51,72'' -0º 22' 28,36'' 179º 4' 0,49'' 11, º 46' 51,80'' -0º 22' 28,36'' 179º 4' 0,47'' 11, º 46' 51,84'' -0º 22' 28,36'' 179º 4' 0,47'' 11, º 46' 51,87'' -0º 22' 28,36'' 179º 4' 0,46'' 11, º 46' 51,92'' -0º 22' 28,37'' 179º 4' 0,47'' 11, º 46' 51,90'' -0º 22' 28,38'' 179º 4' 0,48'' 11, º 46' 51,92'' -0º 22' 28,39'' 179º 4' 0,48'' 11,245 Média -36º 46' 51,66'' -0º 22' 28,37'' 179º 4' 0,51'' 11,251 ±σ ±0º 0' 0,24'' ±0º 0' 0,01'' ±0º 0' 0,04'' ±0,006 Pela Tabela 4.10, percebe-se um pequeno aumento nos desviospadrão dos parâmetros de orientação interior com relação àqueles estimados com o conjunto de injunções anteriormente considerado (Tabela 4.8). A Figura 4.14 mostra que alguns resíduos foram maiores se comparados com aqueles da Figura 4.11, análise esta confirmada pelo desvio padrão da unidade de peso a posteriori que também foi maior. Com relação aos desvios dos parâmetros de orientação exterior ajustados (Figuras 4.15 e 4.16), verificou-se um sutil aumento nestes valores quando comparados com aqueles representados nas Figuras 4.12 e Com vista nestas figuras, este pequeno aumento pode ser facilmente percebido para algumas imagens, como por exemplo, a imagem 23 da câmara 1. A explicação para estes aumentos está no fato de que a distância estimada, apresentada na Tabela 4.11, foi menor do que aquela fornecida pela Tabela 4.9. Isto significa que esta distância entre os CPs, estimada no processamento anterior, estava absorvendo erros que neste processamento passaram a ser propagados para os outros parâmetros estimados. Esta propagação foi em função da rigidez admitida para a estrutura física do arranjo já que a variação dos elementos de orientação relativa foram assumidas variar menos do que 1 e 1 mm, para os ângulos e distância, respectivamente.

104 101 Verifica-se que a distância média entre os CPs estimada neste experimento foi mais acurada do que aquela calculada no experimento da Seção , já que a discrepância entre esta distância média estimada (Tabela 4.11) e a distância medida com o paquímetro (Seção 3.6.4) foi de 1,31 mm (11,251 11,12 = 0,131) Calibração do sistema dual com injunções de orientação relativa e mais uma injunção de distância entre os CPs Neste experimento, foi usado o segundo conjunto de injunções do experimento anterior (Seção ), que admitiu o sistema como sendo rígido, introduzindo-se adicionalmente uma injunção de distância medida entre os CPs com um paquímetro. O ajustamento foi realizado em 29 iterações com 1784 graus de liberdade. A variância da observação de peso unitário a posteriori foi de 0, mm 2 (σˆ 0 =0,0011 mm = 1,1 µm = 1/9 pixel ), a estatística amostral 2 χ foi igual a 2 χ =114,5284 e a tabelada a χ 2 (1784, 0.95) =1883. Como 2 χ =114,5284 < a χ 2 (1784, 0.95) =1883 é verdadeiro, a hipótese nula não é rejeitada a um nível de confiança de 95% e o ajustamento é aceito. Os parâmetros de orientação interior resultantes do processamento com essa configuração, seguidos dos seus desvios-padrão, são apresentados na Tabela Os resíduos das observações, resultantes em pixels, são apresentados pelo gráfico da Figura 4.17 e os desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k e das coordenadas X 0, Y 0 e Z 0 pelas Figuras 4.18 e 4.19, respectivamente. Os parâmetros de orientação exterior estimados estão na Tabela V.5 do Apêndice V, e os elementos de orientação relativa, juntamente com seus valores médios e desvios-padrão, são apresentados na Tabela 4.13.

105 102 Tabela 4.12 Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção f (mm) ±σ x 0 (mm) ±σ y 0 (mm) ±σ K 1 (mm -2 ) ±σ K 2 (mm -4 ) ±σ K 3 (mm -6 ) ±σ P 1 (mm) -1 ±σ P 2 (mm) -1 ±σ A ±σ B ±σ CÂMARA 1 CÂMARA 2 50,135 50,077 ±0,0073 (0,82 pixels) -0,265 ±0,0116 (1,29 pixels) ±0,0077 (0,88 pixels) -0,672 ±0,0092 (1,02 pixels) 0,059-0,277 ±0,0094 (1,05 pixels) ±0,0070 (0,78 pixels) -0,269x ,279x10-04 ±0,470x10-06 ±0,370x ,197x ,768x10-08 ±0,174x10-08 ±0,142x ,220x ,110x10-10 ±0,200x10-11 ±0,200x ,441x ,265x10-05 ±0,146x10-05 ±0,114x ,335x ,375x10-05 ±0,149x10-05 ±0,100x ,128x ,359x10-04 ±0,245x10-04 ±0,145x ,565x ,136x10-04 ±0,303x10-04 ±0,192x10-04 Resultantes dos resíduos em pixels 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Observações Figura 4.17 Resultantes dos resíduos das observações no experimento da Seção

106 103 Desvios em graus 0,03 0,02 0, C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C2 Imagens tomadas por C1 e C2 desvio de ω Desvio de φ Desvio de k Figura 4.18 Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k no experimento da Seção Desvios em metros 0,01 0, C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C2 Imagens tomadas por C1 e C2 Desvio de Xo Desvio e Yo Desvio de Zo Figura Desvios-padrão das coordenadas X 0, Y 0 e Z 0 no experimento da Seção Tabela 4.13 Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores médios com respectivos desvios (experimento da Seção 4.2.4). Par de imagens (C1 e C2) ω φ k Distância entre CPs (cm) º 46' 49,25'' -0º 22' 31,68'' 179º 3' 59,88'' 11, º 46' 49,40'' -0º 22' 31,67'' 179º 3' 59,91'' 11, º 46' 49,53'' -0º 22' 31,65'' 179º 3' 59,91'' 11, º 46' 49,59'' -0º 22' 31,65'' 179º 3' 59,97'' 11, º 46' 49,82'' -0º 22' 31,62'' 179º 3' 59,84'' 11, º 46' 50,02'' -0º 22' 31,61'' 179º 3' 59,74'' 11, º 46' 50,22'' -0º 22' 31,61'' 179º 3' 59,67'' 11, º 46' 50,37'' -0º 22' 31,60'' 179º 3' 59,60'' 11, º 46' 50,46'' -0º 22' 31,63'' 179º 3' 59,59'' 11, º 46' 50,52'' -0º 22' 31,65'' 179º 3' 59,55'' 11, º 46' 50,62'' -0º 22' 31,68'' 179º 3' 59,59'' 11, º 46' 50,57'' -0º 22' 31,72'' 179º 3' 59,62'' 11, º 46' 50,62'' -0º 22' 31,75'' 179º 3' 59,65'' 11,108 Média -36º 46' 50,08'' -0º 22' 31,66'' 179º 3' 59,73'' 11,113 ±σ ±0º 0' 0,50'' ±0º 0' 0,05'' ±0º 0' 0,15'' ±0,005

107 104 Comparando este experimento com aquele da Seção , verifica-se que o desvio da unidade de peso a posteriori foi o mesmo (σˆ 0 =0,0011 mm) para ambos os experimentos, já que os resíduos apresentaram o mesmo comportamento, comparando-se as Figuras 4.14 e O número de iterações diminuiu de 34 para 29 devido à injunção da distância medida entre os CPs no espaço objeto. Os parâmetros de orientação interior (Tabela 4.12) foram praticamente os mesmos que aqueles da Tabela As discrepâncias entre os parâmetros f, x 0 e y 0, apresentados em ambas as tabelas não ultrapassam 1/3 de pixel (0,003 mm). Ao se comparar as Figuras 4.12 e 4.13 do experimento anterior com as Figuras 4.18 e 4.19, percebe-se que os desvios dos parâmetros de orientação exterior também foram os mesmos. Já os parâmetros de orientação relativa (Tabela 4.13) foram praticamente os mesmos que aqueles obtidos anteriormente, apresentados na Tabela Estas diferenças não ultrapassaram 3 para os ângulos de orientação relativa médios. A Tabela 4.13 mostra que a distância média calculada apresentou um valor muito próximo da fixada por injunção, com uma discrepância de -0,07 mm (11,113-11,12 = -0,007 cm). No entanto, a fixação da distância entre as câmaras não implicou em diferenças significativas na solução de calibração, dado que os resultados foram similares àqueles do experimento anterior (Seção ). 4.3 AVALIAÇÃO DAS DISCREPÂNCIAS DOS PONTOS DE VERIFICAÇÃO RESULTANTES DOS PROCESSAMENTOS DE CALIBRAÇÃO REALIZADOS NOS EXPERIMENTOS DA SEÇÃO 4.2 Esta etapa experimental tem por objetivo avaliar os efeitos resultantes no espaço objeto, da consideração ou não de injunções na calibração do sistema dual de câmaras digitais, de acordo com as diferentes configurações de processamento verificadas nos experimentos da Seção 4.2. A avaliação será feita por meio do cálculo das discrepâncias das coordenadas, nos pontos que foram triangulados e usados como pontos de verificação nestes processamentos, seguido do cálculo do erro médio quadrático (EMQ) em cada componente. Como os processamentos anteriores consideraram apenas 4 pontos fotogramétricos como sendo pontos de verificação, conforme mencionado no início da Seção 4.2.1, um novo processamento de cada uma destas calibrações foi

108 105 realizado, considerando desta vez 72 pontos fotogramétricos, dos quais todos apresentavam suas coordenadas conhecidas no espaço objeto (Anexo III). Apenas os pontos 23, 26, 53 e 56 (Anexo II) foram considerados como apoio nestes novos processamentos. Com base nestas considerações, repetiu-se os processamentos de calibração da Seção 4.2, com algumas considerações que são representadas no fluxograma da Figura 4.20: 1º processamento: Calibração sem o uso de injunções de orientação relativa (Seção 4.2.2); 2º processamento: Calibração usando injunções de orientação relativa, admitindo o sistema como sendo fisicamente estável, porém não rígido (Seção ); 3º processamento: Calibração com injunções de orientação relativa, admitindo o sistema fisicamente rígido (Seção ); 4º processamento: Calibração com injunções de orientação relativa mais uma injunção de distância medida entre os CPs (Seção 4.2.4), admitindo o sistema como sendo rígido. CALIBRAÇÃO DO SISTEMA DUAL DE CÂMARAS DIGITAIS 1º processamento sem inj. de OR 2º processamento com inj. de OR (sistema não rígido) 3º processamento com inj. de OR (sistema rígido) 4º processamento com inj. de OR (sistema rígido) + 1 inj. de distância Coordenadas (X T, Y T, Z T ) trianguladas Coordenadas (X R Y R Z R ) de referência (apoio de campo) Cálculo das discrepâncias Cálculo do EMQ Visualização espacial das discrepâncias Figura Fluxograma do processo de avaliação das discrepâncias considerando os quatro processamentos de calibração descritos.

109 106 A Figuras 4.21 e 4.22, representam a distribuição espacial das discrepâncias nas coordenadas (X, Y) e Z, respectivamente. Estas discrepâncias foram calculadas entre as coordenadas dos pontos triangulados no primeiro processamento e as coordenadas de referência do Anexo III (pontos de checagem). Y ESCALA 0 3mm 1mm X Figura 4.21 Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro processamento. Y ESCALA 3mm 0 1mm X Figura Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro processamento.

110 107 As Figuras 4.23 e 4.24 apresentam as discrepâncias dos pontos triangulados no segundo processamento, sendo o mesmo feito para o terceiro e quarto processamentos, cujas discrepâncias são apresentadas pelas Figuras 4.25 e 4.26, 4.27 e 4.28, respectivamente, da mesma forma como foi feito para o primeiro processamento. Y ESCALA 0 3mm 1mm X Figura Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do segundo processamento. Y ESCALA 3mm 0 1mm X Figura Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do segundo processamento.

111 108 Y ESCALA 0 3mm 1mm X Figura Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro processamento. Y ESCALA 3mm 0 1mm X Figura Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro processamento.

112 109 Y ESCALA 0 3mm 1mm X Figura Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do quarto processamento. Y ESCALA 3mm 0 1mm X Figura Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do quarto processamento. O Quadro 4.5 apresenta os valores de EMQ, das coordenadas trianguladas nos quatro processamentos de calibração. Estes valores permitirão uma análise quantitativa e comparativa dos processamentos.

113 110 Quadro Gráficos dos EMQ referentes às coordenadas X, Y e Z trianguladas no (a) primeiro, (b) segundo, (c) terceiro e (d) quarto processamentos. 3 2,5 2,591 EMQ (mm) 1,5 1 0,5 0 (a) 1,336 1,171 1,320 X Y Z EMQ (mm) 2 1,5 1 0,5 0 (b) 1,153 1,219 X Y Z 3 2, ,831 2,5 2,5 EMQ (mm) 2 1,5 1 1,326 1,259 EMQ (mm) 2 1,5 1 1,363 1,236 0,5 0,5 0 (c) X Y Z 0 (d) X Y Z Com relação aos pontos triangulados no primeiro processamento, verifica-se que as discrepâncias das coordenadas X e Y dos pontos da periferia foram mais acentuadas do que para os pontos que se concentram na região central do campo de calibração (Figura 4.21). Já as discrepâncias em Z foram mais aleatórias. No entanto, para alguns alvos que se encontravam fora do plano da parede, as discrepâncias em Z foram acentuadas (maiores que 3 mm), conforme destacado pelas elipses na Figura 4.22, sendo dois pontos hastes (201 e 202) e outros dois pontos do pilar central (102 e 105). Pela Figura 4.23, percebe-se que as discrepâncias das coordenadas X e Y resultantes do segundo processamento, tiveram o mesmo comportamento se comparadas com aquelas da Figura No entanto, o EMQ destas coordenadas (Quadro 4.5b) foi um pouco menor em X (redução de 0,183 mm) e sutilmente maior em Y (aumento de 0,048 mm), se comparados com os EMQ das coordenadas resultantes do primeiro processamento (Quadro 4.5a). Por outro lado, as discrepâncias nas coordenadas Z (Figura 4.24) apresentaram um aumento significativo (maior parte com discrepâncias entre 2 e 3

114 111 mm), além de um comportamento sistemático, já que estas discrepâncias foram positivas para os alvos da esquerda (em relação ao centro do campo) e negativas para os alvos da direita. O gráfico do Quadro 4.5b mostra que este aumento foi de quase 100% se comparado com o EMQ de Z no gráfico do Quadro 4.5a, referente ao primeiro processamento. As Figuras 4.25 e 4.26 mostram que as discrepâncias das coordenadas X, Y e Z do terceiro processamento foram equivalentes àquelas resultantes do segundo processamento, com um pequeno aumento do EMQ (Quadro 4.5c) se comparado com o gráfico do quadro 4.5b referente ao segundo processamento. Com vista nas Figuras 4.27, 4.28, verifica-se uma equivalência entre as discrepâncias das coordenadas resultantes do quarto processamento, com aquelas que resultantes do terceiro (Figuras 4.25 e 4.26) e segundo (Figuras 4.23 e 4.24) processamentos. O Quadro 4.5d mostra que estas diferenças não são significativas, já que a variação dos valores de EMQ não são maiores que 0,055 mm, se comparados com aqueles do Quadro 4.5c, por exemplo. De maneira geral, o que se percebe é que os pontos triangulados nos processamentos que fizeram uso das injunções de orientação relativa tiveram um aumento significativo no EMQ das coordenadas Z. Este aumento foi ocasionado pela propagação dos erros que antes eram percebidos nos parâmetros de orientação exterior ajustados das imagens, conforme indicado nos gráficos da Figuras 4.9 e 4.10 do experimento que tratou da calibração do sistema sem o uso de injunções de orientação exterior. Nos experimentos que consideraram o uso destas injunções, os desvios-padrão dos parâmetros de orientação exterior sofreram uma redução dos desvios discrepantes, que passaram a se apresentar como sendo equivalentes aos desvios das imagens que possuíam uma melhor quantidade e distribuição dos alvos, como pode ser verificado, por exemplo, pelos gráficos 4.12 e 4.13 do experimento da Seção Conforme mencionado na Seção 4.2, os desvios-padrão dos parâmetros de orientação exterior que se mostraram discrepantes estavam associados com aquelas imagens que apresentavam uma deficiência quanto ao número e distribuição dos alvos na imagem (Figuras 4.3 e 4.4). Sendo assim, deve-

115 112 se desconsiderar estas imagens do processamento e realizá-los novamente para que se possa eliminar a influência destas deficiências nos pontos triangulados. Com base nas Figuras 4.3 e 4.4, além dos gráficos das Figuras 4.8 e 4.9, foram eliminadas as imagens que apresentavam poucos alvos mal distribuídos. Os 4 processamentos apresentados no fluxograma da Figura 4.20 foram refeitos considerando somente as imagens 3, 9, 12, 16, 19 e 23 da câmara 1 e as imagens 4, 8, 10, 14, 16 e 19 da câmara 2. Desta vez, o número de pontos de apoio necessários à solução da calibração foi igual a 8 (pontos 11, 12, 18, 19, 61, 62, 68 e 69 do Anexo II) e o número de pontos de verificação igual a 68. Seguindo a mesma configuração dos processamentos apresentados pelo fluxograma da Figura 4.20, salienta-se que somente a configuração do quarto processamento foi modificada, passando a admitir o sistema como sendo não rígido na aplicação das injunções de orientação relativa e de distância entre os CPs, diferentemente do que ocorreu antes da eliminação de algumas imagens, quando o sistema foi admitido como sendo fisicamente rígido (Figura 4.20). Esta modificação se deu em função do segundo processamento ter apresentado um resultado mais condizente com a realidade, após a eliminação das imagens com poucos alvos mal distribuídos, sendo que a distância média estimada neste processamento foi de 11,165 cm, com uma discrepância de 0,045 mm (11,165-11,12 = 0,045) em relação àquela medida com o paquímetro (Seção 3.6.4). Os gráficos das discrepâncias em X, Y e Z são apresentados na seqüência, seguindo a mesma ordem definida anteriormente para os quatro processamentos realizados com todas as imagens envolvidas nos experimentos da Seção 4.2. O Quadro 4.6 fornece os gráficos dos EMQ das coordenadas trianguladas nestes novos processamentos, de modo semelhante ao apresentado no Quadro 4.5.

116 113 Y ESCALA 0 3mm 1mm X Figura 4.29 Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. Y ESCALA 3mm 0 1mm X Figura Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens.

117 114 Y ESCALA 0 3mm 1mm X Figura 4.31 Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500 ) resultantes do segundo processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. Y ESCALA 3mm 0 1mm X Figura Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do segundo processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens.

118 115 Y ESCALA 0 3mm 1mm X Figura 4.33 Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. Y ESCALA 3mm 0 1mm X Figura Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens.

119 116 Y ESCALA 3mm 0 1mm X Figura 4.35 Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do quarto processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. Y ESCALA 0 3mm 1mm X Figura Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do quarto processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens.

120 117 Quadro Gráficos dos EMQ das coordenadas X, Y e Z trianguladas no (a) primeiro, (b) segundo, (c) terceiro e (d) quarto processamentos, realizados após a eliminação de algumas imagens.. EMQ (mm) 1,5 1 0,5 0 (a) 0,906 0,977 1,228 X Y Z EMQ (mm) 1,5 1 0,5 0 (b) 0,906 0,801 0,938 X Y Z EMQ (mm) 1,5 1,0 0,5 0,0 (c) 0,864 0,930 0,977 X Y Z EMQ (mm) 1,5 1,0 0,5 0,0 (d) 0,914 0,810 0,938 X Y Z Após a eliminação das imagens, percebe-se uma melhora geral nos resultados. Para o primeiro processamento, por exemplo, é perceptível a diminuição das discrepâncias das coordenadas X e Y dos alvos que se encontram na periferia do campo de calibração (Figura 4.29), já que estes alvos eram antes afetados (Figura 4.21) pelos erros propagados pelas imagens que apresentavam poucos pontos mal distribuídos. O gráfico da Figura 4.30 mostra que aqueles alvos que se apresentavam fora do plano da parede tiveram uma redução nas discrepâncias calculadas para as coordenadas Z, se comparado com o gráfico da Figura Por outro lado, alguns alvos localizados no lado direito do campo apresentaram um aumento das discrepâncias na coordenada Z (Figura 4.30). A explicação para este aumento está no fato de que alguns alvos passaram a apresentar uma menor quantidade de observações, devido à eliminação de algumas imagens nestes novos processamentos. É o caso do alvo 203 (retângulo pontilhado na Figura 4.22), que anteriormente à eliminação das imagens, apresentava fotocoordenadas observadas em 6 imagens tomadas com a câmara 1 e 7 com a câmara 2, o que permitiu uma melhor triangulação deste ponto, e por conseqüência uma menor discrepância da coordenada Z no espaço objeto. Após a eliminação de algumas imagens, este alvo passou a apresentar observações somente em 3 imagens tomadas com a câmara 1 e outras 3 com a câmara 2,

121 118 resultando em uma triangulação com menor redundância e, por conseqüência, uma maior discrepância da coordenada Z, como destacado na Figura Fazendo-se uma comparação entre os 4 processamentos realizados após a eliminação de algumas imagens, percebe-se que as discrepâncias das coordenadas X e Y trianguladas no segundo processamento (Figura 4.31), de maneira geral, apresentaram uma pequena redução em relação às discrepâncias dos pontos triangulados no primeiro processamento (Figura 4.39). O EMQ da coordenada X triangulada em ambos os processamentos foi similar e para a coordenada Y triangulada no segundo processamento, este valor é quase 0,2 mm menor (diferença pouco significativa), comparando-se os gráficos do Quadro 4.6b e 4.6a. Analisando as Figuras 4.33 e 4.34, e Figuras 4.35 e 4.36 do terceiro e quarto processamentos, respectivamente, percebe-se que as discrepâncias são bem próximas daquelas calculadas a partir dos pontos triangulados no segundo processamento (Figuras 4.31 e 4.32), com um pequeno aumento destes valores em Z, para alguns pontos do pilar central (destacados na Figura 4.34) que foram triangulados no terceiro processamento. Entre os quatro processamentos, o segundo resultou em valores menores de EMQ para as coordenadas trianguladas, como mostrado no Quadro 4.6b.

122 119 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 5.1 SÍNTESE DOS RESULTADOS Verificou-se pelos experimentos realizados e apresentados na Seção 4.1, que a solução de calibração individual das câmaras, seguida do cálculo dos elementos de orientação relativa, não é a melhor solução para a calibração do sistema compondo duas câmaras, pois os elementos de orientação relativa estimados apresentam grande variação em comparação com o que se esperaria de da variação física para um sistema onde as câmaras são rigidamente fixadas. Os desvios-padrão destes elementos médios variaram de 0,7 a 1,2 cm para a distância média D, e 0,10 a 0,13 o (6 a 8 ) para os elementos angulares médios ω, ϕ e κ, conforme apresentado pela Figura 4.2. Estas variações são consideradas elevadas, admitindo-se um sistema fisicamente estável, o que justificou o desenvolvimento de uma metodologia para a calibração simultânea de ambas as câmaras, fazendo uso de injunções baseadas na estabilidade da orientação relativa entre as duas câmaras que compõem o arranjo. A Seção 4.2 tratou da avaliação experimental da metodologia desenvolvida com recurso de calibração multicâmara. Foram realizados processamentos de calibração, apresentados nas Seções e 4.2.2, para que se pudesse testar dois conjuntos de pontos de apoio: o primeiro levantado por intersecção a vante (SILVA et al, 2001), apresentado no Anexo I; e o segundo resultante de uma triangulação usando injunções de distância medidas no espaço objeto com o paquímetro (GALO et al, 2007), apresentado no Anexo II. Estes dois processamentos não envolveram o uso de injunções de orientação relativa e os resultados alcançados indicaram uma redução de 30% nos desvios-padrão de todos os parâmetros estimados na calibração, ao se adotar os pontos triangulados com injunção de distância como apoio. Assim sendo, adotou-se o conjunto de pontos do Anexo II como apoio de campo em todos os processamentos realizados ao longo da Seção 4. dois Apesar da redução de 30% nos desvios de todos os parâmetros estimados na calibração da Seção 4.2.2, alguns dos parâmetros de orientação

123 120 exterior ainda apresentavam desvios altos que chegavam a 0,07 o (4 ) para os ângulos e 2,4 cm para as coordenadas dos CPs (Figuras 4.9 e 4.10). Neste mesmo experimento, os elementos de orientação relativa médios apresentaram seus desvios em torno de 1,5 para os ângulos e 0,6 cm para a distância entre os CPs (Tabela 4.7) Os experimentos da Seção trataram da aplicação das injunções de orientação relativa com dois conjuntos de pesos, fazendo-se duas importantes considerações: a primeira de que o sistema era estável (Seção ), admitindo uma pequena variação da ordem de 10 nos ângulos de orientação relativa e menor que 1 mm para a distância entre os CPs; e a segunda de que o sistema era fisicamente rígido (Seção ), admitindo variações menores que 1 para os ângulos e 1 mm para a distância entre os CPs. Com o experimento da Seção , os desvios-padrão dos parâmetros de orientação exterior que se apresentavam elevados, sofreram uma redução por conta da injunções de orientação relativa. Os gráficos das Figuras 4.12 e 4.13, mostraram que os desvios dos elementos angulares foram de no máximo 0,021 o (aproximadamente 1 ) e 0,5 cm para as coordenadas do CP. Neste experimento, os elementos de orientação relativa médios apresentaram desviospadrão variando entre 3 e 35 para os ângulos e 0,02 mm para a distância entre os CPs (Tabela 4.9). No entanto, a diferença entre esta distância média e aquela medida com o paquímetro na Seção foi de 1,123 cm. No experimento da Seção , verificou-se uma redução equivalente à anterior nos desvios-padrão dos parâmetros de orientação exterior ajustados, conforme ilustrado pelos gráficos das Figuras 4.15 e Para este experimento a diferença entre a distância média estimada e a distância medida com o paquímetro foi de 1,31 mm, sendo este um indicativo de maior acurácia por parte dos elementos de orientação relativa médios, quando se considerou o sistema como sendo fisicamente rígido. O experimento da Seção consistiu da repetição do experimento da Seção , considerando adicionalmente mais uma injunção de distância entre os CPs, medida diretamente com o paquímetro no suporte das câmaras. Os resultados alcançados foram praticamente os mesmos alcançados na Seção , sem o uso desta injunção adicional. Os desvios-padrão dos elementos de orientação relativa médios foram menores que 1 para os ângulos e menor que 1 mm para a

124 121 distância entre os CPs (Tabela 4.13), a qual apresentou uma discrepância de 0,07 mm com relação à distância medida com o paquímetro. A Seção 4.3 apresentou uma avaliação experimental dos efeitos decorrentes no espaço objeto, do uso de injunções de acordo com as configurações apresentadas pelo fluxograma da Figura 4.20, que foram as mesmas consideradas nas calibrações apresentadas pela Seção 4.2. Em uma primeira etapa, estes processamentos foram realizados novamente, considerando o mesmo número de imagens, porém com uma grande quantidade de pontos fotogramétricos (72 pontos de verificação) e somente 4 pontos de apoio. As discrepâncias entre as coordenadas dos pontos triangulados em cada processamento e as coordenadas dos pontos de checagem do Anexo III, bem como o EMQ destas coordenadas trianguladas, mostraram que o uso de injunções de orientação relativa na solução da calibração propagou os erros decorrentes da má qualidade na estimativa da orientação exterior de algumas imagens que apresentavam poucos alvos mal distribuídos. Em um segundo passo, eliminou-se as imagens que apresentavam esta deficiência, e os quatro processamentos do fluxograma da Figura 4.20 foram realizados novamente. De maneira geral, o uso de injunções fez com que o EMQ das coordenadas (Quadro 4.6b, c e d) fossem menor em relação aos EMQ das coordenadas trianguladas sem o uso de injunções. Independente da configuração quanto à aplicação destas injunções, percebe-se que o segundo processamento apresentou menores EMQ (Quadro 4.6b), com a eliminação das imagens que apresentavam deficiência quanto ao número e distribuição dos alvos. 5.2 CONCLUSÕES As análises feitas a partir dos experimentos apresentados ao longo das Seções 4.1, 4.2 e 4.3, permitem concluir que a metodologia desenvolvida com o recurso de calibração multicâmara e uso de injunções de orientação relativa, admitindo o sistema como sendo fisicamente estável, ou seja, uma pequena variação da ordem de 10 para os ângulos de orientação relativa e menor do que 1 mm para a distancia entre os CPs, resulta em melhores resultados na solução da calibração, desde que o processo envolva somente imagens com boas quantidade e distribuição dos alvos.

125 122 Nos casos estudados, a inclusão de mais uma injunção de distância medida entre os CPs não contribuiu significativamente para a melhoria dos resultados. 5.3 RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS Com base no trabalho apresentado, verificou-se alguns elementos que podem ser incorporados e testados na aplicação desta metodologia de calibração, sendo apresentados como uma recomendação para trabalhos futuros. A primeira recomendação é que se amplie o campo de calibração com a colocação de uma maior quantidade de alvos na periferia deste campo. Antes da aquisição da imagens é importante um planejamento visando a realização das tomadas, de modo que se possa garantir uma melhor distribuição dos alvos nas imagens. Deste modo, ao medir pontos por todo o quadro, garante-se a adequada modelagem dos erros, como por exemplo a distorção radial. Recomenda-se, ainda, que seja incorporada uma ferramenta estatística para a verificação da significância dos parâmetros de orientação interior calibrados, já que este não era o objetivo deste trabalho. Sugere-se que esta metodologia seja aplicada considerando os dados provenientes de um levantamento aerofotogramétrico, para que se possa avaliar a estabilidade dos parâmetros estimados na calibração, já que os dados resultantes de um levantamento aéreos estão sujeitos a outros efeitos que não ocorrem no caso terrestre, tais como: refração fotogramétrica, aumento de temperatura, etc. Recomenda-se também, neste caso, a verificação do efeito da inclusão da injunção da distância medida entre os CPs. Neste trabalho todas as observações foram tratadas como tendo a mesma confiança, ou seja, o mesmo peso. Assim sendo, é recomendável que se realize um estudo sobre o efeito da perspectiva das imagens na qualidade das observações e, caso seja constatada uma significativa influência deste efeito, aplicar correções que compensem este efeito. Quanto à otimização do processo de calibração, recomenda-se que algumas rotinas sejam otimizadas para que se diminua o tempo de processamento, que pode vir a ser elevado para um conjunto grande de dados. Considerando 29 imagens e 2010 observações de fotocoordenadas, por exemplo, o tempo do

126 123 processamento executado em 6 iterações foi da ordem de 53 segundos. Estes procedimentos de otimização são recomendados basicamente para a formação e inversão da matriz normal do ajustamento, e procedimentos semelhantes àqueles apresentados no Apêndice II podem ser testados. Recomenda-se também que seja testada a viabilidade em se realizar o ajustamento pelo outro método apresentado no Apêndice I.

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130 127 ZHUANG, H. A self-calibration approach to extrinsic parameter estimation of stereo cameras. Robotics and Autonomous Systems, v.15, p , feb WOLF, P. R.; GHILANI, C. D. Adjustment computations: Statistics and least squares in surveying and GIS. Wiley Series in Surveying and Boundary Control. New York, p. WOLF, P. R.; DEWITT, B. A. Elements of photogrammetry, with applications in GIS. 3.ed. Singapore: McGraw-Hill, p.

131 128 ANEXO I Estes pontos foram originalmente levantados por intersecção a vante com o uso da estação total Sokkia SET5F (SILVA et al, 2001). PONTOS LEVANTADOS POR INTERSECÇÃO A VANTE ID do Ponto X (m) Y (m) Z (m) σ X (m) σ Y (m) σ Z (m) #11 100, ,2653-0,0180 0,001 0,001 0, , ,2411-0,0131 0,001 0,001 0, , ,2339-0,0086 0,001 0,001 0, , ,2405-0,0025 0,001 0,001 0, , ,2990 0,2977 0,001 0,001 0, , ,2351 0,0010 0,001 0,001 0, , ,2386 0,0027 0,001 0,001 0, , ,2500 0,0075 0,001 0,001 0,003 #19 109, ,2452 0,0101 0,001 0,001 0, , ,4078-0,0145 0,001 0,001 0, , ,3822-0,0095 0,001 0,001 0, , ,3785-0,0049 0,001 0,001 0, , ,3807-0,0009 0,001 0,001 0, , ,3931 0,2936 0,001 0,001 0,003 #26 106, ,3784 0,0028 0,001 0,001 0, , ,3831 0,0031 0,001 0,001 0, , ,3910 0,0073 0,001 0,001 0, , ,3903 0,0109 0,001 0,001 0, , ,5317 0,0020 0,001 0,001 0, , ,5359-0,0016 0,001 0,001 0, , ,5262 0,0038 0,001 0,001 0, , ,5257 0,0041 0,001 0,001 0, , ,5351 0,2928 0,001 0,001 0, , ,5228 0,0097 0,001 0,001 0, , ,5320 0,0112 0,001 0,001 0, , ,5353 0,0129 0,001 0,001 0, , ,5340 0,0119 0,001 0,001 0, , ,5495-0,0078 0,001 0,001 0, , ,5338 0,0022 0,001 0,001 0, , ,5442 0,0092 0,001 0,001 0, , ,5369 0,0176 0,001 0,001 0,003 #45 105, ,5599 0,3013 0,001 0,001 0, , ,5510 0,0152 0,001 0,001 0, , ,5475 0,0156 0,001 0,001 0, , ,5575 0,0170 0,001 0,001 0, , ,5397 0,0191 0,001 0,001 0, , ,7029-0,0072 0,001 0,001 0, , ,7048 0,0031 0,001 0,001 0, , ,6778 0,0072 0,001 0,001 0, , ,6805 0,0154 0,001 0,001 0, , ,7125 0,3093 0,001 0,001 0, , ,6999 0,0120 0,001 0,001 0, , ,6909 0,0149 0,001 0,001 0, , ,6718 0,0160 0,001 0,001 0, , ,6799 0,0157 0,001 0,001 0, , ,0000 0,0000 0,001 0,001 0, , ,9773-0,0006 0,001 0,001 0, , ,9620 0,0046 0,001 0,001 0, , ,9482 0,0135 0,001 0,001 0, , ,9171 0,3176 0,001 0,001 0, , ,9248 0,0151 0,001 0,001 0, , ,9124 0,0180 0,001 0,001 0, , ,9024 0,0133 0,001 0,001 0,003 #69 109, ,8969 0,0169 0,001 0,001 0,003 # pontos de verificação

132 129 ANEXO II Pontos resultantes de uma triangulação fazendo uso de injunções de distâncias medidas no espaço objeto, com o paquímetro PANTEC que tem um alcance de 2000 mm e precisão de 0,020 mm na leitura (GALO et al, 2007). PONTOS TRIANGULADOS COM INJUNÇÃO DE DISTÂNCIA ID do Ponto X (m) Y (m) Z (m) σ X (m) σ Y (m) σ Z (m) #11 100, ,251 0,059 0,002 0,002 0, , ,228 0,061 0,001 0,002 0, , ,220 0,065 0,001 0,002 0, , ,227 0,071 0,001 0,002 0, , ,285 0,369 0,001 0,002 0, , ,221 0,075 0,001 0,002 0, , ,225 0,077 0,001 0,002 0, , ,236 0,084 0,002 0,002 0,004 #19 109, ,231 0,089 0,002 0,002 0, , ,397 0,060 0,001 0,002 0, , ,373 0,065 0,001 0,002 0, , ,369 0,069 0,001 0,002 0, , ,371 0,073 0,001 0,002 0, , ,383 0,368 0,001 0,002 0,004 #26 106, ,369 0,077 0,001 0,002 0, , ,373 0,077 0,001 0,002 0, , ,380 0,084 0,002 0,002 0, , ,380 0,087 0,002 0,002 0, , ,527 0,073 0,001 0,002 0, , ,527 0,074 0,001 0,002 0, , ,520 0,078 0,001 0,002 0, , ,518 0,079 0,001 0,002 0, , ,530 0,367 0,001 0,002 0, , ,517 0,084 0,001 0,002 0, , ,526 0,085 0,001 0,002 0, , ,529 0,088 0,002 0,002 0, , ,528 0,088 0,002 0,002 0, , ,548 0,067 0,001 0,002 0, , ,532 0,077 0,001 0,002 0, , ,543 0,084 0,001 0,002 0, , ,536 0,092 0,001 0,002 0,004 #45 105, ,559 0,373 0,001 0,002 0, , ,551 0,089 0,001 0,002 0, , ,547 0,090 0,001 0,002 0, , ,556 0,092 0,002 0,002 0, , ,539 0,094 0,002 0,002 0, , ,705 0,069 0,002 0,002 0, , ,708 0,077 0,001 0,002 0, , ,681 0,082 0,001 0,002 0, , ,684 0,089 0,001 0,002 0, , ,714 0,379 0,001 0,002 0, , ,703 0,087 0,001 0,002 0, , ,694 0,090 0,001 0,002 0, , ,674 0,091 0,002 0,002 0, , ,683 0,091 0,002 0,002 0, , ,005 0,076 0,001 0,002 0, , ,984 0,074 0,001 0,002 0, , ,968 0,080 0,001 0,002 0, , ,954 0,087 0,001 0,002 0, , ,924 0,390 0,001 0,002 0, , ,931 0,089 0,001 0,002 0, , ,919 0,092 0,001 0,002 0, , ,909 0,087 0,002 0,002 0,004 #69 109, ,903 0,092 0,002 0,002 0,004 # pontos de verificação

133 130 ANEXO III Os pontos apresentados abaixo foram utilizados como pontos de verificação na avaliação experimental da Seção 4.3. a maior parte destes pontos são os mesmos do Anexo II. ID do Ponto X (m) Y (m) Z (m) ID do Ponto X (m) Y (m) Z (m) , ,251 0, , ,526 0, , ,228 0, , ,529 0, , ,220 0, , ,528 0, , ,227 0, , ,559 0, , ,397 0, , ,551 0, , ,373 0, , ,547 0, , ,371 0, , ,556 0, , ,527 0, , ,539 0, , ,527 0, , ,714 0, , ,520 0, , ,694 0, , ,518 0, , ,674 0, , ,548 0, , ,683 0, , ,532 0, , ,931 0, , ,543 0, , ,919 0, , ,536 0, , ,909 0, , ,705 0, , ,903 0, , ,708 0, , ,618 0, , ,684 0, , ,612 0, , ,271 1, , ,620 0, , ,283 0, , ,559 0, , ,148 0, , ,669 0, , ,341 0, , ,661 0, , ,697 0, , ,229 1, , ,644 0, , ,184 1, , ,619 0, , ,289 0, , ,285 0, , ,275 0, , ,221 0, , ,085 0, , ,225 0, , ,216 1, , ,236 0, , ,172 0, , ,231 0, , ,924 0, , ,383 0, , ,968 0, , ,373 0, , ,290 0, , ,380 0, , ,954 0, , ,380 0, , ,657 0, , ,530 0, , ,984 0, , ,517 0,084

134 131 APÊNDICE I I.1 Ajustamento pelos mínimos quadrados com equações de condição e injunções O primeiro passo considerado no ajustamento pelos mínimos quadrados com equações de condição e injunções, diz respeito à identificação do modelo a ser utilizado, bem como o número mínimo de observações n 0, de um total de n, necessárias à determinação do modelo de maneira única. Para cada um dos r = n - n 0 graus de liberdade, dado que n > 0, escreve-se uma equação de condição que relaciona o modelo às variáveis do problema. Como já mencionado na Seção 2.31, a inclusão de u parâmetros incógnitos ao problema, incrementa o número de equações de condição de acordo com c = r + u até um número máximo de n equações (0 u n 0 ). Ao assumir que u parâmetros são funcionalmente independentes, s = u u representa o número de parâmetros dependentes e conseqüentemente, s equações de injunções. Os modelos matemáticos (GEMAEL, 1994) do método combinado e das injunções funcionais são dados, respectivamente, por: F(X a, L a ) = 0 G(X a ) = 0 sendo L a Vetor das observações ajustadas; (I.1) (I.2) X a Vetor dos parâmetros ajustados. Para proceder com a linearização dos modelos I.1 e I.2 a partir da série de Taylor (GEMAEL, 1994), considerando que na maioria dos casos estes modelos são não lineares, deve-se definir: V = L a - L b X = X a - X 0 (I.3) (I.4)

135 132 onde L b Vetor das observações; V Vetor dos resíduos; X 0 Vetor dos parâmetros aproximados; X Vetor de correções aos parâmetros aproximados. Ambos os modelos linearizados resultam, respectivamente, nos dois conjuntos de equações de condição e injunções: para os quais W = F(L b, X 0 ); c B n n V + A X + W = 0 (I.5) s 1 C c u u u u 1 c 1 X + W' = 0 (I.6) 1 s 1 W = G (X 0 ); F B = ; L a L X, b 0 F A = ; X a X,L 0 b =. G C X a X 0 Para que as incógnitas atendam ao critério dos mínimos quadrados e ao mesmo tempo satisfaçam as equações de condição, utiliza-se da técnica lagrangiana conforme apresentado por Mikhail e Ackerman (1976) e Gemael (1994). Prossegue-se com a resolução das equações normais de maneira a se obter o vetor das correções aos parâmetros: X = N 1 U + X (I.7)

136 133 onde N 1 A T = M A + ; U 1 M P x AT M = W + P x W x ; = BP 1 B T ; T 1 1 X = (A M A) C K' ; T T 1 1 T 1 K' [C(A M A) C ] -1 = [CN U W' ]. Referente às parcelas componentes da Equação I.7, a primeira (-N -1 U) representa as correções obtidas com o método combinado e a segunda ( X) a influência das injunções funcionais. Dentre os elementos envolvidos na estimativa destas parcelas, define-se: P Matriz dos pesos das observações de dimensões n x n; K Vetor dos multiplicadores de lagrange, referente às injunções, de dimensões s x 1; P x Matriz diagonal dos pesos dos parâmetros, de dimensões u x u; e W x Vetor de dimensões u x 1, nulo na primeira iteração, passando a acumular as correções aos parâmetros (X i ) a partir da segunda iteração (MIKHAIL e ACKERMAN, 1976). Considerando que o modelo matemático do ajustamento seja linear, o resultado apresentado pela Equação I.7 representa os parâmetros ajustados ( X a ). Para os casos em que o modelo é não linear, deve-se iniciar o ajustamento com valores aproximados aos parâmetros (X 0 ), somando-se estas quantidades às correções (X) para obter os parâmetros ajustados, conforme mostra a Equação I.8. X a = X 0 +X (I.8) O vetor dos resíduos pode então ser estimado pela Equação I.9:

137 134 para 1 K = M (AX + W) V 1 T = P B K (I.9) sendo K o vetor dos multiplicadores de lagrange referente às equações de condição. Somando-se os resíduos às observações, obtém-se o vetor das observações ajustadas: L a = L b + V. (I.10) Para o caso em que o modelo matemático é não linear, outras iterações serão necessárias até que o ajustamento atinja o ponto de convergência (GEMAEL, 1994). O critério de convergência mais comum é aquele em que o processo iterativo se encerra quando os valores das correções se tornam suficientemente pequenos (X i 0), para todos os valores de i, como citado no método anterior. Os parâmetros ajustados em uma dada iteração são sempre tratados como parâmetros aproximados na iteração seguinte, ou seja, X 0 a i = X i -1. Já as observações ajustadas na iteração anterior L 0 a i = L i -1 são utilizadas no cálculo das matrizes A e B e do vetor W, ao invés das observações L b que são utilizadas apenas na primeira iteração. Assim sendo, o vetor W calculado como função de L b, sofre uma pequena modificação e passa a ser calculado de maneira diferente. As Equações I.11, I.12, I.13, I.14 e I.15 apresentam, respectivamente, as matrizes A, B e o vetor W, além da matriz C e do vetor W referentes às injunções, calculados a partir da segunda iteração: F A = (I.11) i X a i 0 0 X, L i i

138 135 B i F = (I.12) L a i 0 0 L, X i i W = B (L L0 ) + F(L0,X0 ) (I.13) i i b i i i C i G = (I.14) X a i 0 X i 0 i W' i = G(X ) (I.15) Portanto, baseado em Gemael (1994), na i-ésima iteração tem-se: sendo X i 1 = N U + X i (I.16) N T 1 i = (A i M i Ai ) + Px ; U T 1 i = (A i M i W i ) + PxW x ; M i T 1 = (B P B ); i i i T T X = (A M 1 A ) 1C K' ; i i i i i i K' i = [C (A i i T M i A ) i C i ] -1[C N i i 1 1 T 1. U i W' i ] X a = X 0 + X (I.17) i i i V i - 1 T - 1 = P B M (A X + W ) (I.18) i i i i i i L a = L + V (I.19) i b i Finalizado o processo iterativo, estima-se a matriz variânciacovariância dos parâmetros ajustados com base nas matrizes calculadas na ultima iteração (GEMAEL, 1994 e CAMARGO, 2003):

139 136 ΣX a ˆ T 1-1 T T 1 1 T 1 T 1 - = σ (A M A) {I C [C(A M A) C ] C(A M A) } (I.20) 2 sendo I a matriz identidade de dimensões u x u e σˆ a variância da unidade de peso 0 a posteriori estimada por: VTPV + VTP V σˆ 2 x x x = (I.21) 0 n - u + u + s inj sendo, u os elementos tratados como injunções de peso. inj

140 137 APÊNDICE II II.1 Algumas considerações numéricas e computacionais do ajustamento pelo MMQ A técnica de calibração on-the-job utiliza as equações de colinearidade com parametrização adicional, em uma operação de ajustamento por feixes de raios (Bundle Adjustment), conforme citado na Seção Um dos aspectos mais importantes a serem considerados neste processo, diz respeito ao desenvolvimento de algoritmos para a formação e solução das equações normais de maneira eficiente (MIKHAIL et al, 2001), dado o grande volume de dados processados considerando um caso real (grande quantidade de observações a parâmetros). Este procedimento visa, principalmente, a redução do custo e armazenamento computacional no processo de ajustamento. Andrade (2003) cita que cerca de 12 aerofotos, tomadas do campo de São Luiz do Purunã na escala 1:11000, foram escolhidas para participar da calibração em 1981, pelo método dos campos mistos. Destas 12 aerofotos, 312 pontos imagens de pontos foram medidos. Já a calibração utilizando-se do método das câmaras convergentes exige que no mínimo três fotos sejam tiradas dôo campo de calibração, sendo duas convergentes entre si de 90º e a outra com uma rotação em torno do eixo z. Deve-se, portanto, considerar a importância destes dois principais aspectos relativos às equações normais do ajustamento: o processo de formação; e o processo de redução, que serão ilustrados a partir de um exemplo apresentado por (MIKHAIL et al, 2001). Este exemplo toma como base as equações de colinearidade em uma operação de ajustamento por feixes de raios, permitindo visualizar as vantagens destes procedimentos. II.1.1 Processo de formação das equações normais No exemplo a seguir, o processo de formação das equações normais do ajustamento considera como modelo matemático as equações de colinearidade para a imagem i e o ponto j, que na forma linearizada, são dadas por:

141 138 B V + A ' X ' + A ' ' X ' ' + W = 0 (II.1) ij ij ij ij ij ij 2x2 2x1 2x6 6x1 2x3 3x1 2x1 onde X' representa o vetor das correções aos parâmetros de orientação exterior da imagem i e X' o vetor de correções das coordenadas do ponto j. Considerando que a matriz B ij seja identidade (B = I) e P ij seja a matriz peso das observações de dimensões 2 X 2, as equações normais do ajustamento referentes à Equação II.1, são dadas por: A 'T ij ''T ij A P ij P ij A ' ij ' ij A A 'T ij ''T ij A P ij P ij A '' ij '' ij A X X ' i' = ' j A 'T ij ''T ij A P W ij P W ij ij ij (II.2) que podem ser escritas como ' i T ij N N N N ij '' j X X ' i' = ' j U U ' i' '. (II.3) j Na Equação II.3, ' N contém os coeficientes referentes aos parâmetros de orientação exterior da imagem, N '' os coeficientes relativos às coordenadas dos pontos e N se refere a ambos. Com relação à estrutura da matriz N, pode-se dizer que ' N é bloco diagonal com sub-blocos 6 x 6 referentes a cada imagem envolvida no processo. Cada formadas a partir de cada A ' ij e N ' i é formada pela soma de N ' ij sub-matrizes, P de cada equação de colinearidade que se refere ij à imagem i. De modo similar, N '' também é bloco diagonal contendo blocos de dimensões 3 x 3 referentes às coordenadas de cada ponto j. Cada N '' j é constituída de N '' ij sub-matrizes, formadas a partir de A '' ij e P de cada equação de ij colinearidade se referindo ao ponto j.

142 139 imagem i. Cada sub-matriz A matriz N é determinada para os pontos j que comparecem na N é formada a partir de A ' ij ij, P e ij A '' ij para um conjunto de equações de colinearidade que consideram a imagem i e o ponto j, pertencente a esta imagem. O procedimento convencional adotado na formação da Matriz N consiste em se formar a matriz A e então realizar o produto A T PA, o que demanda um grande esforço computacional. Além do mais a Matriz A é esparsa, sendo constituída de muitos elementos nulos, o que implica num desperdício de tempo de processamento e espaço de armazenamento. Logo, com base no conhecimento da estrutura da matriz N, conforme explicitado no parágrafo anterior, pode-se lançar mão de um algoritmo para otimização do processo de sua formação, tornando esse procedimento menos dispendioso. O algoritmo apresentado por (MIKHAIL et al, 2001), dado a seguir, considera uma situação particular em que i = 3 imagens e j = 10 pontos. O método de ajustamento consiste do método unificado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunções apresentado na Seção 2.3.1, porém sem injunções funcionais. Os pesos dos parâmetros de orientação exterior das imagens e dos pontos, estimados a priori, são dados, respectivamente, por W' i e P ' i e P '' j. Já os vetores W '' j são nulos na primeira iteração e a partir da segunda passam a receber os respectivos vetores de correções aos parâmetros X' i e X '' j, estimados na iteração anterior.

143 140 Algoritmo 1: Formação da matriz normal pelo método combinado com injunções de peso aos parâmetros (MIKHAIL et al, 2001) /*adicionando o peso dos parâmetros*/ para cada ponto j = '' ' Nj= P j ' ' ' U j = P j W j fim do loop para os pontos j para cada imagem i= ' ' N i = Pi ' ' ' U i = PW i i para cada ponto j = se o ponto j está sobre a imagem i calcular A ' ij, A ' ij e W ij ' ' ' T ' N i = N i + A ij P ij A ij ' ' ' T U i = U i + A ij PijWij '' ' ' T '' N j= N j + A ij PijAij '' '' ''T U i = Ui+ AijPijWij N = ij ' T '' ij PijAij fim do loop para os pontos j fim do loop para as imagens i A A Figura II.1 ilustra a estrutura da matriz N formada pelo algoritmo apresentado, com redução do custo computacional e armazenamento, já que não é necessário armazenar a matriz A inteira para que seja montada a matriz normal N.

144 141 ' N 1 N 1,1 N 1,2 N 1,3 N 1,4 N 1,5 ' N 2 N 2,3 N 2,4 N 2,5 N 2,6 N 2,7 N 2,8 ' N 3 N 3,6 N 3,7 N 3,8 N 3,9 N 3,10 '' N 1 '' N 2 '' N 3 '' N 4 simétrico N '' 5 '' N 6 '' N 7 '' N 8 Fonte: Adaptado de Mikhail et al (2001) Figura II.1 Estrutura da matriz normal. N '' 9 N '' 10 II.1.2 Processo de redução das equações normais Os segundo aspecto a ser considerado na redução do custo computacional no processo de ajustamento, diz respeito à redução e solução das equações normais. Mikhail et al (2001) citam que o total de equações normais constituem um grande sistema de equações com uma estrutura bem definida. A vantagem de uma estrutura bem definida está no fato de que a dimensão das matrizes a serem resolvidas podem ser reduzidas, eliminando-se a influência de um conjunto de variáveis para resolução do outro, pelas Equações II.4 N N ' T X ' X ' + + N N ij '' X X '' = '' = U U ' '' (II.4)

145 142 A partir dos conjuntos de Equações II.4, isola-se X '' no segundo conjunto, seguido da sua substituição no primeiro, conforme segue: X '' = N ''-1 ( U '' - N T X ' ) (II.5) (N' - NN''-1N T )X' = U' NN''-1U'' (II.6) Depois de estimado o vetor das correções ( ' X ) aos parâmetros de orientação exterior das i imagens i, estima-se o vetor das correções às coordenadas ( '' X ) dos pontos por substituição. O conjunto de Equações II.6 refere-se às equações normais reduzidas. Como pode-se perceber, esta solução envolve a inversa de '' N. Como '' N é bloco diagonal sua inversa resulta na inversa dos subblocos de dimensões 3x3 (referentes às coordenadas de cada um dos j pontos considerados). Mikhail et al (2001) apresentam um algoritmo para a redução das equações normais. O caso particular do exemplo anterior que considera 3 imagens e 10 pontos não permite visualizar a estrutura bandada das equações normais reduzidas. Para ilustrar esta estrutura, considera-se agora uma outra situação, na qual se tem um bloco de fotografias composto por 18 imagens tomadas ao longo de 3 faixas (6 imagens por faixa), como mostra a Figura II.2. As áreas em preto na Figura II.2, representam as sobreposições entre as imagens da mesma faixa e da faixa vizinha. Cada uma destas regiões compreende pontos de passagem comuns a cada três fotos da mesma faixa e das faixas vizinhas.

146 143 faixa 1 faixa 2 faixa 3 foto 1 foto 18 Figura II.2 bloco de fotografias contendo pontos de passagem comuns às fotos de uma mesma faixa e da faixa vizinha. Considerando que as equações normais do ajustamento do bloco da Figura II.2 tenham sido formadas, apresenta-se o algoritmo 2 que permite a implementação do processo de redução. Algoritmo 2: Redução das equações normais (MIKHAIL et al, 2001) para cada imagem i = para cada ponto j= se o ponto j estiver sobre a imagem i N ' ii = N ' ii - N ij N ' j -1 N T ij ' ' '-1 '' U i = U i N N ij j Uj para cada outra imagem k a qual o ponto j comparece N ' ik = N ' ik - N '-1 N ij j N T jk fim do loop para as imagens K fim do loop para os pontos j fim do loop para as imagens i

147 144 Ao analisar o algoritmo 2, percebe-se que a contribuição de cada ponto j que comparece na imagem i é subtraída das equações normais reduzidas. Atenta-se ao fato de que, antes da redução, a sub-matriz ' N era bloco diagonal. Se um determinado ponto j comparece somente na imagem i, sua contribuição é subtraída apenas do bloco diagonal referente à imagem i. No entanto, se um ponto comparecer em ambas as imagens i e k, sua contribuição passa a ser subtraída dos blocos diagonais referentes a ambas imagens i e k e também da sub-matriz da diagonal principal. Deste modo, a estrutura de N ' ik fora ' N, antes bloco diagonal, é perdida e passa a apresentar uma estrutura bandada, vista na Figura II.3. Largura da Banda (6+3) X 6= 54 simétrico Figura II.3 Estrutura das equações normais reduzidas.

148 145 A largura da banda referente às equações normais reduzidas é dada em função quantidade de imagens por faixa, quantidade de imagens com pontos de passagem em comum e número de parâmetros de cada imagem, que são 6, 3 e 6, respectivamente, no caso do exemplo considerado. Logo, a distância entre a diagonal principal da matriz reduzida e os sub-blocos com valores não nulos é constante, dada por: (6 + 3) X 6 = 54. A estrutura de uma matriz bandada permite vantagens no que diz respeito à redução do custo computacional. Gemael (1994) aponta, por exemplo, que no caso da decomposição de uma matriz bandada pelo método de CHOLESKI, a triangular E T resultante será também bandada e de mesma largura da matriz reduzida, o que implica em uma maior economia computacional, tanto quanto menor for a largura da banda.

149 146 APÊNDICE III III.1 Etapa de medição das fotocoordenadas com o aplicativo MID Antes da etapa de medição das fotocoordenadas, realizou-se um pré-processamento para que se pudesse deixar as imagens prontas para serem medidas. O primeiro dos processos foi a conversão das imagens RGB, com tamanho de 66 Mbyte, para escala de cinza. Esse procedimento permitiu reduzir para um terço o tamanho das imagens já que cada pixel passa a ocupar apenas um byte (8 bits), em vez de três. Este pré-processamento foi realizado com o uso do aplicativo Irfanview v que permite alguns processamentos com imagens e dá suporte a vários formatos, dentre eles o PGM. Estas imagens foram salvas com este formato para que fosse possível medir suas coordenadas pelo aplicativo MID (Monocomparador de Imagens Digitais), desenvolvido por Mario Luiz Lopes Reiss (REISS, 2002). Outro procedimento importante foi a rotação manual das imagens que foram tiradas com a câmara rotacionada. Isso foi necessário devido a um sensor de orientação que a câmara possui, o qual detecta quando a câmara está rotacionada fazendo uma rotação na imagem de saída. Seguiu-se então com a etapa de medição das fotocoordenadas usando o aplicativo MID. A Figura III.1 ilustra a interface gráfica do aplicativo MID utilizado na etapa de medição das fotocoordenadas de um alvo, com precisão subpixel. A técnica denominada centro de massa foi utilizada para o refinamento subpixel das fotocoordenadas.

150 147 Fotocoordenadas medidas com precisão subpixel Figura III.1 Utilização do aplicativo MID na medição das coordenadas imagem

151 148 APÊNDICE IV IV.1 Arquivos de entrada e saída do programa CMC Apresenta-se na seqüência os arquivos de entrada e saída do programa CMC, bem como cada elemento contido nestes arquivos, visualizados pelo aplicativo TextPad A Figura IV.1 ilustra o arquivo param.prj Figura IV.1 Arquivo de entrada param.prj. de 1 a 11sendo: Na Figura IV.1, os elementos contidos no arquivo são enumerados 1) Nome do arquivo de parâmetros de orientação interior; 2) Nome do arquivo de parâmetros de orientação exterior; 3) nome do arquivo de pontos de apoio; 4) nome do arquivo de observações (fotocoordenadas medidas); 5) Número de câmaras consideradas na calibração; 6) Opção de entrada para as fotocoordenadas: 1 = (coluna,linha) e 2 = (x,y); 7) Opções de georreferenciamento direto: 1 = sem GPS/INS; 2 = com GPS; 3 = com GPS/INS; 8) Número de faixas de vôo. Para o caso terrestre seleciona-se a opção de georreferenciamento direto (1) e coloca-se o número de faixas igual a 0; 9) Critério de convergência do ajustamento;

152 149 10) Variância da unidade de peso a priori; 11) Número máximo de iterações no ajustamento. A Figura IV.2 ilustra o arquivo de parâmetros de orientação interior. Salienta-se que a ilustração apresenta apenas um conjunto de parâmetros referente a uma única câmara. Logo, considerando a calibração de duas câmaras, por exemplo, um segundo conjunto de parâmetros deve ser colocado na linha seguinte ao final do primeiro conjunto Figura IV.2 Arquivo de orientação interior.iop. IV.2) são: Os elementos contidos no arquivo, enumerados de 1 a 7 (Figura 1) Largura e altura da imagem na unidade de pixels; 2) Tamanho do pixel em x e y na unidade de milímetros; 3) Distância focal da câmara e desvio padrão na unidade de milímetros; 4) Coordenadas do ponto principal (x0,y0) e desvios padrão (mm); 5) parâmetros de distorção radial k1, k2, k3 e seus respectivos desvios padrão; 6) Parâmetros de distorção descentrada p1, p2 e desvios padrão; 7) Parâmetros de afinidade A, B e desvios padrão Com vista na Figura IV.2, explica-se que os desvios com valores -1 significam que o respectivo parâmetro não é considerado no ajustamento. No exemplo visto pela mesma figura, os parâmetros A e B são desconsiderados na calibração. A Figura IV.3 apresenta o arquivo dos parâmetros de orientação exterior.

153 C Figura IV.3 Arquivo de orientação exterior.eop. de 1 a 5 e representam: Na Figura IV.3, os elementos contidos no arquivo são enumerados 1) Índices da câmara e da imagem, parâmetros de orientação exterior ω, φ, k, X 0, Y 0 e Z 0 e seus respectivos desvios, time tag (instante da aquisição) e número da faixa; 2) Palavra reservada que indica o fim da leitura das imagens, e que o próximo valor a ser lido é o numero de orientações relativas; 3) Número de orientações relativas que pode ser 0 (somente uma câmara sendo calibrada), 1 (duas câmaras sendo calibradas) ou 2 (para três câmaras sendo calibradas); 4) Ordem das câmaras sendo calibradas, sendo a mesma ordem referente aos conjuntos de parâmetros de orientação interior colocado no arquivo.iop (Figura IV.2); 5) Valor aproximado da distância entre os CPs, conhecido a priori, seguido do erro que se espera ter para esta distância devido à instabilidade física do arranjo de câmaras; 6) Valor aproximado dos ângulos de orientação relativa, conhecidos a priori, seguidos do erro angular esperado, devido a instabilidade física do arranjo; 7) Palavra reservada que indica a existência de uma medida de distância entre os CPs, medida por um paquímetro. A posição física dos do CP de cada câmara pôde ser medida com base nas informações técnicas fornecidas pelo fabricante da câmara conforme mencionado na Seção 3.6.4; 8) Distância medida entre os CPs seguida do seu erro de medida.

154 151 Com relação aos elementos que comparecem no arquivo dos parâmetros de orientação exterior, explica-se que o time tag permite identificar as imagens que foram tomadas num mesmo instante. Deste modo, é possível ordenar automaticamente os pares de imagens tomadas por uma e outra câmara respectivamente, sendo esta ordenação necessária na elaboração das equações de injunção. Salienta-se ainda que apesar do projeto tratar da calibração de um sistema dual, o programa implementado permite que se calibre até três câmaras simultaneamente, inclusive com possibilidade de injunção de orientação relativa entre elas. No entanto, os experimentos a serem apresentados considerarão apenas duas câmaras sendo calibradas. Outro aspecto a ser esclarecido, diz respeito aos pesos utilizados nas injunções de orientação relativa. Este peso, adotado para cada uma das três equações que envolvem os elementos de orientação (Equações 3.9, 3.10 e 3.11) e outro para a equação que relaciona as distâncias entre os CPs (Equação 3.12), são calculados por uma propagação do erro esperado por conta da instabilidade física do arranjo. Para tanto, deve-se entrar com um valor aproximado para a distância (em metros) e o erro esperado, e na linha seguinte, valores aproximados para os ângulos (em graus decimais) e o erro angular esperado. Estes erros serão propagados para as equações de injunções e os respectivos pesos poderão ser calculados em função deste erro propagado. A Figura IV.4 ilustra um trecho do arquivo de pontos de apoio

155 152 Figura IV.4 - Arquivo de pontos de apoio.gcp. Pela Figura IV.4, verifica-se que cada linha representa o identificador do ponto de apoio e suas respectivas coordenadas X Y Z, seguidas dos seus desvios padrão. Percebe-se ainda, que o ponto 19, por exemplo, é antecedido pelo caracter #, utilizado para desconsiderar este ponto de controle no processamento. Logo, todos os pontos de identificador 19 medidos nas imagens, resultarão em um ponto fotogramétrico triangulado. Este procedimento é normalmente utilizado para que se possa checar os resultado da triangulação, por comparação com o ponto de controle desconsiderado no processamento. A Figura IV.5, representa o arquivo das fotocoordenadas medidas nas imagens. Figura IV.5 Arquivo de observações.img. Na Figura IV.5, cada linha contém os identificadores da câmara, da imagem e do ponto, além das coordenadas coluna e linha (ou x e y), e seus desvio padrão. A Figura IV.6 a seguir, ilustra algumas partes do arquivo de saída relatorio.rep.

156 153 (a) (b) (c) Figura IV.6 - Arquivo de saída relatorio.rep. Pela Figura IV.6a, verifica-se que o relatório de saída apresenta documentados: o tempo de processamento e a data em que a calibração foi processada. Na Figura IV.6b, pode-se visualizar os nomes dos arquivos de entrada no processo e os arquivos de saída. Já a Figura IV.6c mostra alguns dados do processo, documentados no arquivo relatorio.rep, os quais incluem o número de observações, parâmetros, pontos de apoio, número de iterações no ajustamento entre outros. O arquivo relatorio.rep apresenta todos os dados de saída do processo de calibração, que incluem os parâmetros de orientação interior calibrados, os parâmetros de orientação exterior ajustados, os elementos de orientação relativa, além das coordenadas ajustadas, dos pontos no espaço objeto. Todos estes parâmetros calibrados e ajustados são apresentados neste arquivo, seguidos dos seus respectivos desvios padrão.