FIS Capítulo 6 do BR Roteiro para solução dos problemas Prof. Basílio X. Santiago

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1 FIS212 - Capítulo 6 do BR Roteiro para solução dos problemas Prof. Basílio X. Santiago 6.1) Trata-se de um Universo com geometria de curvatura positiva, k = 1 e dominado pela matéria, sendo que a densidade de matéria é maior do que a densidade crítica, Ω > 1. A partir da equação 6.6, fazendo nulas as contribuições da radiação e da constante cosmológica, temos = Ω m, + 1 Ω m, a 3 a 2 Essa é a equação Podemos multiplicar ambos os lados por a 2, tirar a raiz quadrada de ambos os lados e colocá-la na forma diferencial (dt de um lado e a e da do outro). Integrando dos dois lados temos então a equação As soluções da integral já são dadas em 6.17 e Tudo que temos que fazer então é considerar o caso em que t = t,θ = θ a = 1. Faça isso na equação 6.17 e prove então que Fê-lo? Então agora prove que cosθ = 2 Ω Ω senθ = 2(Ω 1) 1/2 Ω Muito bem. Então agora substitua θ por θ na equação 6.18, de forma a obter o valor de t = t(θ ), que é idade do Universo. A equação 6.43, objeto deste problema resulta facilmente. 6.3) Como estamos considerando um constituinte novo, com w = 1/2, temos, antes de mais nada, que determinar qual a dependência de sua densidade de energia com o fator de escala. Para isso, temos que usar a 1a Lei da Termodinâmica (equação dos fluidos): e provar que, para a quintessência: ǫ = 3ȧ a (ǫ+p) = 1

2 ǫ Q = ǫ Q, a 3/2 Qual a fator de escala em que há equilíbrio entre as densidades de energia associadas à matéria e à quintessência? Basta fazer ǫ Q ǫ m = 1 eexprimir oladoesquerdo emfunçãode Ω Q, = ǫ Q, /ǫ c,, Ω m, = ǫ m, /ǫ c, e a, resolvendo para a em função dos parâmetros de densidade. Lembrar também que o espaço é plano (k = ) e que Ω Q, = 1 Ω m,. Como fica a equação de Friedmann para um Universo como especificado no enunciado e qual sua solução? Escrevamos a equação de Friedmann primeiro, usando como ponto de partida a forma geral dada por 6.6 e fazendo as necessárias adaptações : = Ω m, a Ω m, a 3/2 Novamente, podemos seguir os passos semelhantes ao do início do livro e chegar à expressão : Daí provar que ȧ 2 = (Ω m, a 1 +(1 Ω m, ) a 1/2 ) H t = da [(1 Ω m, )a 1/2 +Ω m, a 1 ] 1/2 Veja agora se você consegue rearranjar o integrando, obtendo: H t = 1 Ω 1/2 m, a 1/2 da [1+(a/a Qm ) 3/2 ] 1/2 Conseguiu? Então agora faça a substituição de variáveis u = 1 + (a/a Qm ) 3/2, du = (3a 1/2 da)/(2a 3/2 Qm ). Fazendo isso, você deverá ser capaz de deduzir 2

3 H t = 2a3/2 Qm 3Ω 1/2 m, u 1 u 1/2 du A integral agora é trivial. Veja se chegas a: H t = 4a3/2 [( Qm a 1+( ) 3/2) 1/2 ] 1 3Ω 1/2 a Qm m, Chegaste? Agora basta resolver a equação acima para a(t) e tens a solução da equação de Friedmann para um Universo com quintessência, além da matéria. Para aplicar os limites solicitados, leve em conta o fato de que se a << a Qm, isso significa um instante no início da evolução cósmica, de forma que também t << H 1. Veja se na sua solução para a(t) você não pode simplificar as coisas com algo do tipo (1 + x) x 1 = 2x no caso em que x << 1. No outro extremo, a >> a Qm, veja se você pode fazer (1+x) 2 1 x 2, se x >> ) Trata-se de Universo com curvatura espacial positiva k = 1 e apenas com a constante cosmológica, Ω Λ = Ω = cte > 1. A equação de Friedmann para esta caso fica = Ω + 1 Ω a 2 O 2o termo do lado direito é negativo, pois Ω > 1. Como o Universo está em expansão, sabemos que o primeiro termo atualmente é dominante. E ele claramente vai continuar dominando a dinâmica no futuro, pois a vai aumentar, de forma a aproximar o segundo termo de zero. Mas indo pro passado, não podemos então esperar um instante em que os dois termos se anulam? O que isso significa? Qual o valor de a em que isto ocorre? Pois bem, para achar a função a(t) temos que novamente resolver a equação de Friedmann. Novamente, vamos escrevê-la como uma integral em a, mas lembrando agora que o Universo nunca atingiu uma singularidade no passado. Ou seja, houve um valor para o fator de escala (calculado acima), no 3

4 instante t bounce que em ele começou a se expandir. Deduza portanto a equação abaixo: H (t t bounce ) = da [1 Ω +Ω a 2 ] 1/2 Agora reescreva a expressão usando o valor de que você achou antes no lugar de Ω. Aí consulte uma tabela de integrais e veja se chegas na expressão Ω 1/2 H (t t bounce ) = ln a+(a 2 a 2 min )1/2 a Que pode ser resolvida para a(t): ( Ω 1/2 a+(a 2 a 2 ) min H (t t bounce ) = ln )1/2 e Ω1/2 H (t t bounce ) = a/ +(a 2 /a 2 min 1)1/2 e Ω1/2 H (t t bounce ) a/ = (a 2 /a 2 min 1)1/2 Elevando ambos os lados ao quadrado: e 2Ω1/2 H (t t bounce ) + a2 a 2 min Lembrando que 2e Ω1/2 H (t t bounce ) a = a2 a 2 min e 2Ω1/2 H (t t bounce ) 2e Ω1/2 H (t t bounce ) a = 1 e Ω1/2 H (t t bounce ) 2 a = e Ω 1/2 1/2 a = e Ω H (t t bounce ) e Ω1/2 2 coshx = ex +e x 4 2 H (t t bounce ) H (t t bounce ) 1

5 temos então a equação 6.46: a = cosh(e Ω1/2 H (t t bounce ) ) Para encontrar t t bounce, basta fazer a = 1 na expressão acima. Lembre que depende apenas de Ω. 6.7) Esse problema é facilitado pelo fato de que a solução da equação de Friedmann para um Universo com geometria plana (k = ) e contendo apenas matéria e a constante cosmológica já está dada pela expressão E os seus limites para a muito pequeno ou grande são dados pelas expressões 6.29 e 6.3. E o mais importante, a relação entre a idade do Universo, t, a constante de Hubble, H, e o parâmetro de densidade de matéria, Ω m,, é dada pela expressão Tudo que temos que fazer, portanto, é resolver a equação 6.31 para Ω m, para o caso em que t = H 1. Note que talvez seja necessária uma solução numérica, ao invés de analítica, não tenho certeza. 6.8) Esse problema também é matematicamente mais simples. Você tem que usar a tabela 6.2 e lembrar da definição do parâmetro de densidade, Ω. Aí primeiro determine as densidades atuais de energia correspondentes a todas as partículas materiais, ǫ m,, aos fótons, ǫ γ,, e à matéria bariônica somente, ǫ bary,. Para saber a massa total dentro do horizonte, converta ǫ m, em seu equivalente relativístico de matéria e multiplique o resultado pelo volume contido dentro do horizonte, dado por Para saber a energia total de fótons, use ǫ γ, e o volume contido no horizonte. Para saber o número de bárions, determine a massa de bárions, de forma análoga ao que foi feito para toda a matéria e então divida essa massa pela massa do próton. 5