MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

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1 MÉODO DOS EEMEOS IIOS Álvro. M. zvo cul Engnhri Univri o Porto ª Eição Portugl bril

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3 Métoo o Elmnto inito Álvro. M. zvo cul Engnhri Univri o Porto Portugl ª Eição - bril

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5 PREÁIO O Métoo o Elmnto inito (ME) prnt ctulmnt um nívl nvolvimnto qu prmit u utilizção pl gnrli o projctit trutur. Enqunto qu no po muito o utilizor o ME tvm tmbém nvolvio n rpctiv progrmção m computor, vrific- hoj m i qu qu totli o projctit trutur pn procup com utilizção o corrponnt oftwr com intrprtção o rulto obtio. Dvio à grn compli oci o nvolvimnto morno progrm computor ipono um intrfc gráfic intuitiv, o nvolvimnto oftwr tm io c vz mi rtringio à mpr pciliz. Por t motivo, o utilizor progrmor qu prcu, no lugr o mro utilizor. Prnt um problm náli trutur ipono um oftwr intuitivo, é prfitmnt cívl um projctit obtnção rulto crívi, mmo quno não tm co à font o cóigo computcionl ou quno conhc crctrític o molo qu tá utilizr. Srá ntão ncário igir qu um tunt Engnhri tribu prt o u tmpo à prnizgm formulçõ mtoologi qu n vi profiionl vi crtmnt ignorr? ntcno rpot t qutão, prntm- lgum conirçõ. Pr qu po r rpot m tmpo útil à nci jutificção gurnç um trutur, um projctit qu não conhç técnic corrponnt à formulção o ME rá tnto pl impl utilizção um qulqur oftwr cálculo. Um vz qu não tm co o molo qu tão progrmo, nm tm b pr u comprnão, procrá à utilizção o oftwr coro com o trino qu rcbu ou com b m uciv improviçõ. tntção pr citr o rulto provnint o progrm é grn, quiqur qu jm rulto, um vz qu conir qu o oftwr colhio tm lv quli. O potncii prigo um utilizção nt coniçõ ão não prcpção vntui rro n introução o o, uênci corrponênci ntr o molo lcciono trutur qu tá r nli, o fcto rm prz importnt conicionnt, tc. uênci um comprção o rulto provnint o ME com o oriuno outro molo, it o ério rico gurnç um trutur r jutific com iii

6 Métoo o Elmnto inito - Prfácio b m cálculo compltmnt inquo. Et fcto tm io confirmo plo lvo númro cint m trutur cb contruir, bm como pl grn qunti rprçõ qu tm io ncário fctur m contruçõ rcnt. trnmião o luno o funmnto o ME, tmbém um introução à corrponnt progrmção m computor, contitum crtmnt fctor qu conuzirão o futuro projctit um utilizção mi gur o oftwr náli trutur. Eit um outr motivção pr continur r ncário ninr b tóric o ME, qu conit no fcto r funmntl prprr hoj o inovor mnhã. Um vz qu frrmnt rltiv à plicção o ME ncontrm intimmnt lig o muno informátic um vz qu t prnt um contnt rápi volução, é grntio qu ntro lgun no rá ncário ptr técnic náli trutur à pltform computção qu n ltur itirm. S ctul b conhcimnto ficr limit um ruzio númro po, crtmnt qu rá ifícil ncontrr no futuro invtigor qu grntm o progro ciênci. Por too t motivo conclui r funmntl proguir com o nino técnic m qu bi gnrli o progrm lmnto finito. principl motivção pr crit t publicção foi orgnizr um moo cornt lgum formulçõ m qu bou o nvolvimnto o progrm EMIX.. pr já itirm vrõ ntrior, ctul vrão o progrm foi totlmnt rcrit, moo r poívl plorr um muito mi vrátil truturção o cóigo computcionl. Epr-, com t mprnimnto, prouzir um oftwr m qu j impl nvolvr ttr nov formulçõ. Por último, jo grcr à po qu têm mpnho no nvolvimnto o projcto EMIX qu muito contribuírm pr qu too o concito qui poto prntm um inipnávl clrz corênci. Em prticulr um grcimnto àqul qu tv prnt o início, Joquim rro, bm como o ntuit mi rcnt, Joé Sn ruz ntónio Vntur Gouvi. grço tmbém o uí rá o trblho qu tv n prprção o molo pont qu figur n cp. Álvro. M. zvo - bril iv

7 ÍDIE - IRODUÇÃO ipo náli unmnto o ME.... rv hitóri o ME Emplo plicção o ME RSORMÇÃO IER DE OORDEDS Simbologi o grl o prticulr com S S' coincint Mtriz trnformção um brr rctilín no pço onirçõ fini MÉODO DOS DESOMEOS EM REIÇS E PÓRIOS Simbologi Rfrncii Gru libr Mtriz trnformção Mtriz rigiz vctor olicitção mblgm mtriz rigiz globl o vctor olicitção Introução coniçõ poio mnto náli um pórtico D Mtriz rigiz um brr trliç D no rfrncil locl Mtriz rigiz um brr pórtico D no rfrncil locl onirçõ fini EEMEOS IIOS UIDIMESIOIS Simbologi unçõ intrpolor ou funçõ form mpo formçõ...5 v

8 Métoo o Elmnto inito - Ínic. - Princípio o trblho virtui Mtriz rigiz vctor olicitção Elmnto finito uniimnionl com trê nó Elmnto finito uniimnionl com ubtituição vriávl onirçõ fini QUDRUR DE GUSS Simbologi Intgrção um função polinomil Intgri múltiplo onirçõ fini ESDO PO DE ESÃO Simbologi unçõ intrpolor ou funçõ form mpo formçõ Princípio o trblho virtui Mtriz rigiz vctor olicitção álculo um lmnto mtriz rigiz álculo o vctor olicitção corrponnt um crg itribuí o grl com ubtituição vriávi lgoritmo cálculo mtriz rigiz um lmnto ioprmétrico álculo tnõ formçõ fini onirçõ fini UÇÕES IERPODORS Simbologi o uniimnionl o biimnionl Procimnto gnérico pr trminr funçõ form Elmnto biimnioni: fmíli grngn rnipity Propri funçõ intrpolor Intrpolção Hrmitin... vi

9 Métoo o Elmnto inito - Ínic onirçõ fini SSEMGEM DE EEMEOS IIOS Simbologi mblgm mtriz rigiz globl o vctor olicitção onirçõ fini ORÇS ODIS EQUIVEES Simbologi Eprõ gnéric forç noi quivlnt orç concntr num ponto intrior rg itribuí por uni comprimnto rg itribuí por uni uprfíci rg itribuí por uni volum onirçõ fini SÓIDOS, ESDO PO DE DEORMÇÃO E XISSIMERI Simbologi Elmnto ólio triimnioni (brick) Eto plno formção Eto iimétrico onirçõ fini EXÃO DE VIGS Simbologi lão compot pln onirçõ fini... - VIG DE EUER-EROUI Simbologi Vig oi nó m ubtituição vriávl Vig trê nó m ubtituição vriávl Vig oi nó com ubtituição vriávl... vii

10 Métoo o Elmnto inito - Ínic.5 - onirçõ fini... - VIG DE IMOSHEKO Simbologi Vig oi nó com ubtituição vriávl onirçõ fini...7 EXO - UIIZÇÃO DO PROGRM EMIX Intlção Prprção o o Ecução o progrm Viulizção gráfic onirçõ fini...8 viii

11 PÍUO IRODUÇÃO o âmbito Engnhri Etrutur, o Métoo o Elmnto inito (ME) tm como objctivo trminção o to tnão formção um ólio gomtri rbitrári ujito cçõ trior. Et tipo cálculo tm ignção gnéric náli trutur urg, por mplo, no tuo ifício, pont, brrgn, tc. Quno it nci projctr um trutur, é hbitul procr- um ucão náli moificçõ u crctrític, com o objctivo lcnçr um olução tiftóri, qur m trmo conómico, qur n vrificção o pré-rquiito funcioni rgulmntr. técnic crit nt publicção pn corrponm à f náli o comportmnto um trutur cuj gomtri, mtrii cçõ ão priori conhcio. o curo Engnhri ivil Engnhri Mcânic é tricionl comçr- por ninr náli trutur limit à vig, pórtico, trliç grlh. trutur t tipo rcbm ignção rticul, por rm contituí por brr primátic cuj cção trnvrl prnt imnõ muito infrior o comprimnto o u io. trutur não rticul ão, m grl, tu como mio contínuo (.g., pr, lj, cc, ólio). trutur rticul urgm já muito concito qu ão comun à gnrli trutur, ti como o quilíbrio, comptibili, tnão, formção, rlção ntr tnão formção, tc. o âmbito trutur rticul torn- prticulrmnt impl plicr o métoo forç o métoo o locmnto, bm como outr técnic qu, m grl, ão ifíci tnr o mio contínuo. nt o prcimnto o ME, náli o mio contínuo r fctu por rolução irct o itm quçõ riv prcii qu rgm o fnómno, tno m conirção ncári coniçõ frontir. Pr fcilitr plicção t técnic problm não lmntr, r comum rcorrr éri ourir [.]. Dvio à u compli, t procimnto ó rm plicávi mio contínuo homogéno gomtri impl. Pr tntr ultrpr lgum t limitçõ, r frqunt ubtituição riv ct por riv

12 Introução - Álvro. M. zvo proim, clcul com b m grlh ponto. D plicção t técnic rult o métoo ifrnç finit, qu, nt o prcimnto o computor, prntv o inconvnint rqurr rolução grn itm quçõ linr. Pr vitr t inconvnint form propoto ivro métoo rlção bo n uciv iminuição um conjunto ríuo [.]. Dvio à moroi oci à plicção qulqur um t métoo, tornv- muito trctiv ubtituição o problm rl por outro mlhnt, moo por rcorrr rulto publico m tbl ou ábco. om o grn nvolvimnto qu o ME tv n éc 6 [.] com bnlizção o rcuro o computor, pou r prátic corrnt náli trutur gomtri rbitrári, contituí por múltiplo mtrii ujit qulqur tipo crrgmnto. Et vnço é tão ignifictivo qu o outro métoo, trá rfrio, irm prticmnt r utilizo. ctulmnt, o u intr rtring- o forncr oluçõ tóric problm impl pr vlir métoo proimo. formulção o ME po r b no métoo o locmnto, m molo quilíbrio, ou m métoo híbrio mito [.]. D too t métoo, qul qu prnt um mior implici, conquntmnt, um mior vrtili é o métoo o locmnto, no t o único qu é boro nt publicção. ocio o métoo o locmnto urgm muito concito qu upõ qu o litor já omin no âmbito trutur rticul, como por mplo noçõ gru libr, locmnto gnrlizo, forç gnrliz, quilíbrio, mtriz rigiz, vctor olicitção, mblgm, introução coniçõ poio, tc. t publicção, lgun t concito ão novo boro, no prticulr ênf à u gnrlizção o mio contínuo biimnioni triimnioni.. - ipo náli Quno urg nci rolvr um problm náli um trutur, primirqutãoqucolocéuclificção qunto à gomtri, molo o mtril contituint cçõ plic. O moo como o ME é formulo plico pn, m prt, implificçõ inrnt c tipo problm. Rfrm- m gui lgun pcto qu é ncário tr m conirção n f qu ntc náli um trutur.

13 Introução - Álvro. M. zvo náli inâmic ou tátic cçõ obr trutur ão m grl inâmic, vno r conir forç inérci oci à clrçõ qu c um o u componnt fic ujito. Por t motivo, ri prr qu náli um trutur tri obrigtorimnt tr m conirção o fito inâmico. ontuo, m muit ituçõ é rzoávl conirr qu cçõ ão plic um moo uficintmnt lnto, tornno przávi forç inérci. t co náli ign- tátic. t publicção pn ão coniro problm m qu upõm váli implificçõ inrnt um náli tátic. náli não linr ou linr náli um trutur óli, é hbitul conirr qu o locmnto provoco pl cçõ trior ão muito pquno quno compro com imnõ o componnt trutur. t circuntânci, mit- qu não it influênci moificção gomtri trutur n itribuição o forço tnõ, i.., too o tuo é fito com b n gomtri inicil inform. S t hipót não for conir, náli é ign não linr gométric. É tmbém frqunt conirr qu, o nívl o mtril qu contitui trutur, rlção ntr tnõ formçõ é linr. o co m qu t implificção não é conir, é ncário rcorrr lgoritmo pcífico náli não linr mtril. t publicção pn bor o co náli linr, qur gométric, qur mtril. ipo trutur trutur pom r clific qunto à u gomtri como rticul, lminr ou óli. Et últim ão mi gnéric, no clific como óli qu não prntrm crctrític qu prmitm nqurr no grupo lminr ou rticul. trutur lminr ão qu nvolvm pr mbo o lo um uprfíci méi, mntno- n u vizinhnç. É o co um lâmin cuj

14 Introução - Álvro. M. zvo pur é muito infrior à rtnt imnõ. Quno uprfíci méi é pln, trutur lminr po r clific como pr, lj ou cc pln. Um pr pn ncontr ujit cçõ prll o u plno méio. Um lj po tr plic forç prpniculr o plno méio momnto cujo vctor tá contio no plno méio. Um trutur lminr pln ujit outro tipo cçõ é ign cc pln. Quno uprfíci méi não é pln, tm- um cc triimnionl. trutur rticul ão contituí por brr primátic, cuj imnõ trnvri ão muito mnor o qu o comprimnto o rpctivo io. t tipo trutur é hbitul itinguir o pórtico trliç, conform é ou não conir comptibili rotçõ n trmi brr jcnt. É poívl trtr com grn ficiênci um cl problm náli trutur igno iimétrico. Et ocorrm quno trutur é um ólio rvolução cçõ ão to iimétric m rlção o mmo io. t tipo problm é in poívl itinguir o co o ólio rvolução o co lâmin rvolução. Srá tmbém trto como um co prticulr náli um trutur qu conit num ólio cuj gomtri cçõ rptm infinimnt o longo um io rctilíno. rt- o to plno formção, qu po r tuo com b num gomtri biimnionl.. - unmnto o ME formulção o ME rqur itênci um qução intgrl, moo qu j poívl ubtituir o intgrl obr um omínio complo ( volum V) por um omtório intgri tnio ub omínio gomtri impl ( volum V i ). Et técnic é ilutr com o guint mplo, qu corrpon o intgrl volum um função f n f V V i V i f V ()

15 Introução - Álvro. M. zvo Em () prupõ- qu V n V i i () S for poívl clculr too o intgri tnio o ub omínio V i, bt fctur o omtório corrponnt o guno mmbro () pr obtr o intgrl tnio too o omínio. ub omínio V i corrpon um lmnto finito gomtri impl (.g., gmnto rct, triângulo, qurilátro, ttrro, prllpípo). O omtório inico m () vi r origm à oprção ign mblgm, qu prnt muit mlhnç com qu é fctu n trutur rticul. qução intgrl rfri no início t cção é provnint plicção o métoo o ríuo po ou um princípio vricionl [.]. o co plicção o ME à náli trutur formulção mi intuitiv é qu bi no Princípio o rblho Virtui (PV), no únic qu é bor nt publicção.. rv hitóri o ME Em [.] ncontr- um crição tlh volução o métoo o lmnto finito o longo o tmpo. Em [.] é fctuo o u nqurmnto com outro métoo mm fmíli. prnt- m gui pn um brv rfrênci à principi f o nvolvimnto o ME. gnrli o co, é muito ifícil finir t m qu trmino vnço o conhcimnto foi fctuo. o co prticulr o ME, é rfrio por vário utor qu publicção mi ntig m qu é utiliz ignção lmnto finito é o rtigo [.], qu t 96 tm como utor Ry lough. ntriormnt rm já conhci lgum técnic qu virm r incorpor no ME, m t prcr in com principi crctrític qu hoj m i poui. O grn po o nvolvimnto o ME, qu o conuzirm o formto qu ctulmnt prnt mior citção, form o n éc 6 início 7. Inicilmnt o lmnto finito mi comun rm o tringulr o ttrérico, pno- mi tr r prfrênci o qurilátro o hro. 5

16 Introução - Álvro. M. zvo o contrário outro métoo qu rm utilizo no po, o ME ó tm utili prátic ipur um computor igitl. Et rquiito é vio à grn qunti cálculo qu é ncário rlizr, nommnt n rolução grn itm quçõ linr. im comprn qu o rápio nvolvimnto o ME tnh prticmnt coinciio com gnrlizção utilizção computor no cntro invtigção. om prolifrção micro-computor ocorri no finl éc 8 n éc 9, o ME chg finlmnt à mão gnrli o projctit trutur.. - Emplo plicção o ME prnt- m gui um mplo plicção o ME, qu conit n náli um trutur o tipo conol curt pqun pur, ujit à cçõ inic n igur.. t coniçõ po- mitir qu trt um mio contínuo, ujito um to plno tnão [.5]. igur. tá rprnt mlh utiliz, qu é contituí por 9 lmnto finito qurilátro, no c um t lmnto finio por 8 nó. Encontrm- tmbém inlo o nó qu tão ligo o mio trior. Dpoi complt náli trutur plo ME, fic- conhcr o vlor proimo o locmnto tnõ intl. igur. tá rprnt mlh form pl cção forç plic à trutur. Pr prmitir um mlhor viulizção o locmnto, t ão multiplico por um fctor mplição. omo rfrênci, é tmbém rprnt mlh originl inform. om o tipo viulizção utilizo n igur. é poívl tr um prcpção imit o loci m qu tnõ principi prntm mior vlor, bm como trjctóri tnõ ntro trutur. t tipo rprntção c gmnto rct tá orinto guno um ircção principl tnão u grnz é proporcionl o vlor corrponnt tnão norml. cor vr inic qu trt um trcção à cor vrmlh tá oci um comprão. igur., o vlor componnt vrticl o vctor locmnto é rprnto, m c ponto, por intrméio um coificção por cor. onultno cl 6

17 Introução - Álvro. M. zvo ltrl, fic- conhcr orm grnz o locmnto vrticl m qulqur ponto trutur. igur.5, o tipo viulizção gráfic coinci com o igur., trtno- tmbém rprntção um cmpo clr por intrméio um coificção por cor. O cmpo rprnto n igur.5 é o tnõ normi σ y,noy oio vrticl. Et componnt o tnor tnõ é mpr prpniculr fct horizonti. ig.. - onol curt: mlh lmnto finito cção trior. 7

18 Introução - Álvro. M. zvo ig.. - onol curt: mlh form rprnt obr trutur inform. ig.. - onol curt: tnõ principi rpctiv ircçõ. 8

19 Introução - Álvro. M. zvo ig.. - onol curt: cmpo locmnto vrtici. 9

20 Introução - Álvro. M. zvo ig..5 - onol curt: cmpo tnõ normi guno um io vrticl.

21 Introução - Álvro. M. zvo IIOGRI [.] imohnko, S. P.; Gooir, J.. - hory of Elticity, hir Eition, McGrw-Hill, 988. [.] - ook, R. D.; Mlku, D. S.; Plh, M. E.; Witt, R. J. - oncpt n ppliction of init Elmnt nlyi, ourth Eition, John Wily & Son, Inc.,. [.] - Zinkiwicz, O..; ylor, R.. - h init Elmnt Mtho, ourth Eition, McGrw-Hill, 988. [.] lough, R. W. - h init Elmnt in Pln Str nlyi, Proc. n SE onf. on Elctronic omputtion, Pittburgh, P., Sptmbr 96. [.5] - zvo,.. M. - Mcânic o Sólio, cul Engnhri Univri o Porto, 996.

22 Introução - Álvro. M. zvo

23 PÍUO RSORMÇÃO IER DE OORDEDS t cpítulo é prnt ução prão qu prmit trnformr coorn um ponto no pço um rfrncil ( S ) pr outro ( S ). Qur o io S qur o S ão finio por vror cuj componnt ncontrm no rfrncil grl S. Et trê rfrncii prntm origm comum (ponto O). Sno P um ponto gnérico no pço, trnformção componnt o vctor OP coinci com trnformção coorn o ponto P.. - Simbologi prnt- m primiro lugr um rumo imbologi opt nt cpítulo. bl. - Simbologi rltiv à trnformção linr coorn. S O P p Sitm coorn (rfrncil) Origm o itm coorn Ponto gnérico Vctor poição o ponto P Eio o itm coorn Vror um io o itm coorn Mtriz trnformção S m S Mtriz trnformção S m S g l Rfrncil grl Rfrncil uilir Rfrncil locl

24 rnformção inr oorn - Álvro. M. zvo α Τ i j Ângulo ntr io o rfrncii uilir locl Mtriz trnformção Primiro nó um brr Sguno nó um brr omprimnto um brr. - o grl igur. ncontrm- rprnto o trê rfrncii ( S, S S ), um ponto gnérico P o vctor p OP. P ê ê ê p ê ê O ê ê ê ê ig.. - Rfrncii ponto gnérico P. O trê rfrncii (qu upõm ircto ortonormo) ão finio o guint moo

25 rnformção inr oorn - Álvro. M. zvo S S S ( O,,, ) ( O,,, ) ( O,,, ) () Vror c rfrncil: Vror S : Vror S : Vror S : ( ˆ, ˆ, ˆ ) ( ˆ, ˆ, ˆ ) ( ˆ, ˆ, ˆ ) () Ponto gnérico: (,, ) S P () Vctor poição o ponto P: p OP (, ) (), ot: too o vror vctor prntm u componnt no rfrncil S. Vror o rfrncil S: ˆ ˆ ˆ (,, ) (,, ) (,, ) (5) Vctor p : (, ) p (6), p p p ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (7) coorn o ponto P no rfrncil S (, ) vctor p obr o vror o rfrncil S : obtêm- projctno o, 5

26 rnformção inr oorn - Álvro. M. zvo 6 ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p p p (8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (9) Mtricilmnt tm-: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ () t prão, ão coorn P no rfrncil S, ão coorn P no rfrncil S é mtriz trnformção S m S. D um moo mlhnt tm-: ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p p p () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (5)

27 rnformção inr oorn - Álvro. M. zvo (6) ( ˆ ) ( ) ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ omprno () com (7) vrific- qu (7) (8) prão (6) po crvr- guint form (9) Subtituino () m (9) tm- () oncluino- qu I () no I mtriz inti. Multiplicno mbo o mmbro () por (à irit) obtém- () Quno invr um mtriz coinci com u trnpot iz- qu mtriz é ortogonl. im conclui qu mtriz trnformção é um mtriz ortogonl. Vi- gor procr à náli o ignifico c um o lmnto. prão () po crvr- o guint moo ( ij j ) () i j 7

28 rnformção inr oorn - Álvro. M. zvo no ij olmntognéricomtriz. Em () vrific- qu ˆ ˆ () ij i j Rcorrno à finição prouto clr tm- ij i j ( ˆ, ) ˆ ˆ co ˆ (5) i j Um vz qu o vror o rfrncii poum norm unitári ij ( ˆ, ) co ˆ (6) i j mtriz trnformção po r obti prtir o cono o ângulo ntr vror o rfrncii S S. co co co ( ˆ, ˆ ) co( ˆ, ˆ ) co( ˆ, ˆ ) ( ˆ ) ( ) (, ˆ co ˆ, ˆ co ˆ, ˆ ) ( ˆ ) ( ) ( ), ˆ co ˆ, ˆ co ˆ, ˆ (7). - o prticulr com S S' coincint Rprouzm- m gui prõ (5), () () ˆ ˆ ˆ (,, ) (,, ) (,, ) (8) (9) ( ˆ ) ( ) ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ () o co o rfrncii S S rm coincint, vrific- qu 8

29 rnformção inr oorn - Álvro. M. zvo ˆ ˆ () i i () Subtituino () m () obtém- ( ˆ ) ( ) ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ () tnno (8), vrific- m () qu primir linh mtriz contém componnt o vror ê componnt m S o vror ê ê. no rfrncil S. gun trcir linh contêm ( ) omponnt omponnt omponnt ˆ ˆ ˆ m S m S m S (). - Mtriz trnformção um brr rctilín no pço t cção ão utiliz prõ uzi n cçõ ntrior com o objctivo chgr à mtriz trnformção um brr trliç D pórtico D. o âmbito náli trutur plo métoo o locmnto, mitm- guint hipót: é conhci gomtri trutur, qu é contituí por brr primátic io rctilíno cção contnt; pr c brr, ão conhci coorn o oi nó trmo, ficno im fini loclizção o u io bricêntrico; é conhci poição o io principi cntri inérci cção trnvrl brr [.]. 9

30 rnformção inr oorn - Álvro. M. zvo onir- um ângulo (α), qu rá finio int qu poicion o rfrncil locl (principl cntrl inérci - PI) m rlção um rfrncil uilir. im, vão r coniro o guint rfrncii: S S S g l grl uilir locl ( ) ( PI ) α (5) O rfrncil grl (g) é qul m rlção o qul too o ponto too o vctor tão finio, no o u vror finio por (8). O rfrncil uilir (), o qul corrpon um ângulo α nulo, tm o primiro io coincint com o io brr o guno io prpniculr o plno vrticl qu contm brr. O trciro io é qul qu fz com qu o rfrncil j ircto ortonormo. Et rfrncil rá int finio com mi rigor. O rfrncil locl (l) tm como primiro io o io brr, no o rtnt io o io principi cntri inérci cção trnvrl brr. O ângulo α fin poição o rfrncil locl (l) m rlção o rfrncil uilir (). Vão r m gui fini u trnformçõ: trnformção g pr ; trnformção pr l. primir trnformção é rliz com guint prão qu é mlhnt () g g (6) no g mtriz qu trnform coorn um ponto o rfrncil g pr o rfrncil. gun trnformção prmit obtr coorn um ponto no rfrncil l prtir u coorn no rfrncil, no mlhnt à fini por ()

31 rnformção inr oorn - Álvro. M. zvo l l (7) Subtituino (6) m (7) chg- l l g g (8) Um vz qu prtn um mtriz trnformção g pr l l g (9) comprno (8) com (9) conclui- qu l g () igur. é fini poição o rfrncil uilir m rlção o rfrncil grl g àbrr. g i j g g i < j ig.. - Poição o rfrncil m rlção o rfrncil g. Em rlção à igur. conir- in o guint: oiog é vrticl orinto pr cim; o io bricêntrico brr é finio plo nó i j;

32 rnformção inr oorn - Álvro. M. zvo é m grl vntjoo conirr convnção r mpr i < j. im, o primiro nó brr é o nó i o guno é o nó j. Et convnção clrific too o proco tuo brr m lh introuzir qulqur limitção; oio coinci com o io bricêntrico brr, i.., o io qu é finio plo cntro grvi to cçõ trnvri brr; oio ncontr- orinto o nó i pr o nó j; oio é prpniculr o plno (g, ) tá orinto coro com o ntio o prouto vctoril ntr o vror g ; oio tá contio no plno (g, ) rult o prouto vctoril ntr o vror ; t form o rfrncil (,, ) é mpr ircto ortonormo. Pr clculr mtriz trnformção g pr (6) vi- rcorrr à prão (). im, primir linh g é contituí pl componnt o vror no rfrncil g, im ucivmnt. O cálculo componnt o vror é fito com b n coorn o nó i j. i i i oorn o nó i no rfrncil g: (, ), oorn o nó j no rfrncil g: ( j, j j ), O comprimnto brr é clculo com guint prão j i j i j i ( ) ( ) ( ) () O vctor, qu m grl não tm norm unitári, obtém- por ubtrcção coorn o nó i j. j i j i j i (, ), () Ovror â obtém- iviino o vctor pl rpctiv norm

33 rnformção inr oorn - Álvro. M. zvo ˆ () Pr potrior rfrênci, ignm- componnt o vror â por, (, ) ˆ (), l como foi trá rfrio, o io é finio plo prouto vctoril ntr o vror o io g, no gˆ (,, ) gˆ ˆ (5) Um vz qu t prouto vctoril não rult um vror, é ncário iviir o vctor pl rpctiv norm ˆ (6) Pr potrior rfrênci, ignm- componnt o vror â por, (, ) ˆ (7), Pr qu o rfrncil j ircto ortonormo, clcul- o vror â como no o rulto o prouto vctoril ntr â â. Do prouto vctoril ntr vror prpniculr ntr i rult mpr um vror. ˆ (8) ˆ ˆ Pr potrior rfrênci, ignm- componnt o vror â por, (, ) ˆ (7), D coro com o qu foi uzio, o lmnto mtriz trnformção o rfrncil g pr o rfrncil (6) ão o guint g (8)

34 rnformção inr oorn - Álvro. M. zvo O rulto o prouto vctoril pro m (5) é um vctor nulo mpr qu o vror â j prllo o vror ĝ. Supono qu o io ĝ é mpr vrticl (hipót conir trá), t itução ingulr ocorr mpr qu brr é vrticl. Pr t co é ntão ncário finir mtriz trnformção g com outro critério. igur. n igur. ncontr- poição o rfrncil m rlção o rfrncil g pr o co brr vrticl orint pr cim orint pr bio. g i < j j i ˆ ˆ ˆ (,,) (,,) (,,) g g ig.. - Poição o rfrncil m rlção o rfrncil g pr o co brr vrticl orint pr cim. g i < j i j g ˆ ˆ ˆ (,, ) (,,) (,,) g ig.. - Poição o rfrncil m rlção o rfrncil g pr o co brr vrticl orint pr bio. onirno guint prõ pr o vror o rfrncil, ficm cobrt u ituçõ qumtiz n igur... ˆ (, ) (9) j i,,,

35 rnformção inr oorn - Álvro. M. zvo (,,) (, ) ˆ (5) ˆ, j i,,, (, ) (5) l como m (8), mtriz trnformção g é contituí por g (5) Proc- m gui à finição mtriz l qu foi rfri m (7). Et mtriz trnformção rlcion coorn um ponto no rfrncil uilir () com u coorn no rfrncil locl (l). conirçõ qu gum bim- n igur.5, m qu tão rprnto o rfrncii l. O rfrncil l é contituío plo io brr plo io principi cntri inérci cção trnvrl. l l α α l j i i < j ig..5 - Poição o rfrncil l m rlção o rfrncil. D coro com igur.5, po- conttr o guint: o io l coincim; o io l l tão roo um ângulo α m rlção o io. 5

36 rnformção inr oorn - Álvro. M. zvo trnformção ntr o rfrncii l é um co trnformção ntr oi rfrncii itinto o grl. t itução po- rcorrr à mtriz fini m (7), qu corrpon um trnformção ntr o rfrncii S S.t co, o rfrncil S é o rfrncil o rfrncil S é o rfrncil l. mtriz trnformção é nt co clcul com b no cono o ângulo formo plo io o oi rfrncii. l co co co ( l, ) co( l, ) co( l, ) ( l, ) co( l, ) co( l, ) ( l ) ( ) ( ), co l, co l, (5) D coro com igur.5 tm- l co co co () co( 9 ) co( 9 ) ( 9 ) co( α ) co( 9 α ) ( 9 ) co( 9 α ) co( α ) (5) l co α in α (55) in α co α mtriz trnformção g l ncontrm- já fini. D coro com (), mtriz trnformção, o rfrncil grl pr o locl é fini o guint moo l g (56) l como foi inico m (9), corrponnt trnformção é fctu com guint prão l g (57) prõ qui uzi qu prmitm clculr mtriz form b n informção qu é hbitul ipor num náli um pórtico D plo métoo o locmnto, i.., coorn o nó o ângulo α. 6

37 rnformção inr oorn - Álvro. M. zvo Umvzqumtriz é ortogonl, trnformção o rfrncil locl pr o grl é fctu com guint rlção g l (58).5 - onirçõ fini prõ mtriz trnformção uzi nt cpítulo pom r irctmnt utiliz n formulção mtriz rigiz lmnto trliç ou pórtico D, bm como n formulção o rpctivo vctor forç noi quivlnt. IIOGRI [.] - rzão rinh, J. S.; orri o Ri,. - bl écnic, Eiçõ écnic E...,

38 rnformção inr oorn - Álvro. M. zvo 8

39 PÍUO MÉODO DOS DESOMEOS EM REIÇS E PÓRIOS om o objctivo prntr lgun concito como o mblgm introução coniçõ poio, fz- qui um ucint crição o métoo o locmnto plico à náli trliç pórtico triimnioni.. - Simbologi prnt- m primiro lugr um rumo imbologi opt n formulção o métoo o locmnto m trliç pórtico. bl. - Simbologi rltiv o métoo o locmnto m trutur rticul. g l i j α g l θ M Rfrncil grl Rfrncil uilir Rfrncil locl Primiro nó um brr Sguno nó um brr Ângulo ntr io o rfrncii uilir locl oorn um ponto no rfrncil grl oorn um ponto no rfrncil locl Mtriz trnformção Dlocmnto ou locmnto gnrlizo Rotção orç ou forç gnrliz Momnto 9

40 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo g l K K g K l g l P R n p E G I I t Dlocmnto noi, no gru libr trutur, no rfrncil grl Dlocmnto noi, no gru libr brr, no rfrncil grl Dlocmnto noi, no gru libr brr, no rfrncil locl Mtriz rigiz trutur no rfrncil grl Mtriz rigiz brr no rfrncil grl Mtriz rigiz brr no rfrncil locl orç noi quivlnt à cção trior, no gru libr trutur, no rfrncil grl orç noi quivlnt à cção trior, no gru libr brr, no rfrncil grl orç noi quivlnt à cção trior, no gru libr brr, no rfrncil locl Ínic corrponnt um gru libr não prcrito (livr) Ínic corrponnt um gru libr prcrito Rcção num poio trutur úmro gru libr não prcrito (livr) úmro gru libr prcrito Móulo Young um mtril Ár cção trnvrl um brr omprimnto um brr Móulo itorção um mtril Momnto inérci cção trnvrl um brr Momnto inérci torção cção trnvrl um brr

41 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo. - Rfrncii D coro com o qu foi crito no pítulo, n formulção mtriz rigiz um brr io rctilíno cção contnt ão coniro oi rfrncii ircto ortonormo: o grl (g,g,g ) o locl (l,l,l ). O rfrncil grl é qul m qu ncontrm pr coorn too o nó qu poi ão utilizo pr finir poição brr. O rfrncil locl é finio plo guint io: l é o io brr l l ão o io principi cntri inérci cção trnvrl brr (vr igur.). g l l l i j g g i < j ig.. - rr ij, rfrncil grl g rfrncil locl l. onir- hbitulmnt, m pr gnrli, qu brr fini plo nó i j tm o nó i coincint com origm o oi rfrncii o nó j obr o mi-io poitivo l. É tmbém hbitul conirr qu o númro o nó i é infrior o númro o nó j (i < j). O io l l pom r troco ntr i, tno m tnção qu o rfrncil locl v r mpr ircto. troc l com l obrig trocr ntr i o vlor o momnto inérci m rlção l l. Em qulqur o co é ncário finir critriomnt o ângulo α (vr o pítulo ).

42 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo trnformção coorn ntr o rfrncii g l é fctu com guint prão m qu é mtriz trnformção () fini tmbém no pítulo. l g () t prão, g ão coorn um ponto no rfrncil g l ão coorn mmo ponto no rfrncil l. qução () tmbém po r utiliz pr trnformr componnt um vctor o rfrncil g pr o rfrncil l.. - Gru libr um ponto o pço prtncnt um corpo ujito locmnto formçõ pom r coniro i gru libr (trê locmnto trê rotção). θ θ 5 θ 6 () Dign- por locmnto gnrlizo o grupmnto o trê locmnto trê rotçõ num ó vctor com i componnt (vr igur.). θ 6 θ 5 θ ig.. - Dlocmnto gnrlizo.

43 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo o tuo um pórtico D ão coniro o i locmnto gnrlizo m c ponto nol ( brr ou trutur). O co trliç D, m qu pn ão coniro trê locmnto m c ponto nol (, ), po r pto o pórtico D, btno liminr tuo o qu iz rpito rotçõ momnto. Pr pr trliç D pr trliç D bt uprimir tuo o qu iz rpito um o trê gru libr. O pórtico D, grlh vig contínu ão tmbém implificçõ o co o pórtico D. Por r o co mi gnérico, qui m int pn nvolv formulção brr pórtico D. Em corrponênci com o i locmnto gnrlizo, ão conir i forç gnrliz ( forç momnto), qu rprntm n igur.. Μ 6 Μ 5 Μ ig.. - orç gnrliz. igur. ncontr- rprnt um brr oi nó (i j). Em c nó ão coniro i gru libr m corrponênci com o i locmnto gnrlizo (). im, o númro gru libr brr é oz.

44 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo l 6 i 5 9 l j 7 8 i < j l ig.. - Gru libr brr ijno rfrncil locl. Em corrponênci com o oz gru libr rprnto n igur., têm- tmbém forç o momnto qu ctum n trmi brr.. - Mtriz trnformção mtriz trnformção rfri m () é um mtriz cujo componnt ão () trnformção o oz locmnto gnrlizo rprnto n igur. po r fctu com guint rlção, qu mtriz trnformção prummtriz contituí pl rptição () qutro vz. l g ( ) ( ) ( ) ()

45 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo 5 g g g g g g g g g g g g l l l l l l l l l l l l (5).5 - Mtriz rigiz vctor olicitção Supono o co um brr io rctilíno cção contnt, rpctiv mtriz rigiz no rfrncil locl ( ) l K, bm como o vctor forç noi quivlnt ivro tipo cçõ ( ) l pom r irctmnt obtio com b num formulário trutur [.] (vr tmbém Scçõ.9.). im, prt- o princípio qu ipõ mtriz l K o vctor l, qu rlcionm com hbitul qução ( ) ( ) ( ) l l l K (6) no l o vctor o locmnto gnrlizo brr no rfrncil locl. quçõ () (5) ão váli, qur pr o locmnto gnrlizo, qur pr forç gnrliz, tno- tmbém ( ) ( ) ( ) g l (7) Um vz qu mtriz trnformção é ortogonl, i.. (8)

46 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo multiplicm- mbo o mmbro (7) por obtém- g l ( ) ( ) ( ) (9) Subtituino m (9) qução (6) l K l l ( ) ( ) ( ) () rult g K l l ( ) ( ) ( ) ( ) () Subtituino () m () chg- g K l g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () Um vz qu rlção rigiz brr no rfrncil grl é K g g g ( ) ( ) ( ) () D comprção () com () conclui- qu mtriz rigiz brr pórtico D no rfrncil grl é por K g K l () ( ) ( ) ( ) ( ) O vctor olicitção g po r clculo com prão (9). Dpoi rm conhcio o locmnto g, é poívl clculr cçõ n trmi brr no rfrncil locl, rcorrno à guint prão, qu rult ubtituição () m () l K l g ( ) ( ) ( ) ( ) (5) 6

47 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo.6 - mblgm mtriz rigiz globl o vctor olicitção Dpoi clcul to mtriz rigiz brr no rfrncil grl com rcuro à prão (), é ncário procr o cálculo mtriz rigiz globl trutur. Um oprção mlhnt tm r fctu com o vctor olicitção ivrbrr. mblgm n mtriz rigiz globl mtriz rigiz ivr brr é m gui prnt com b no mplo igur.5. D ig..5 - mblgm num mplo uniimnionl. trutur rprnt n igur.5 é uniimnionl, tm qutro nó ( ) qutro brr ( D). brr tm u crctrític, nommnt, o móulo Young (E), ár cção trnvrl () o comprimnto (). Em c nó it um único gru libr. Em corrponênci com o qutro gru libr itm qutro locmnto noi () qutro forç noi quivlnt à cção trior (). brr tm oi gru libr (um m c trmi). Pr c brr é conhci mtriz rigiz () no rfrncil grl, cuj ignção implific coro com rr : K K K K K (6) rr : K K K K K (7) 7

48 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo 8 : K K K K K rr (8) : D D D D K K K K K D rr D D D D D (9) tnno à numrção globl o gru libr ( ), mtriz rigiz brr pm r ( ) : K rr () ( ) : K rr () ( ) : K rr () ( ) : D D D D K D rr D () O vctor o locmnto m too o gru libr trutur é ()

49 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo 9 D D D ig..6 - Vctor forç noi quivlnt cçõ trior. tnno à numrção globl o gru libr, o vctor forç noi quivlnt à cçõ n ivr brr ão (vr igur.6) ( ) : rr (5) ( ) : rr (6) ( ) rr : (7) ( ) D D D D rr : (8) O vctor mtriz inico m ()-(8) rlcionm- ntr i coro com guint quçõ

50 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo K (9) K () K () D D K () om o primiro mmbro quçõ (9)-() é igul à om o u guno mmbro, rultno K K K K D D () D D ( K K K K ) () Um vz qu rlção rigiz nvolvno too o gru libr trutur é K (5) conclui- qu D K K K K (6) K D (7) icionno mtriz ()-() coro com (6) chg- K D D D D (8) icionno o vctor olicitção (5)-(8) coro com (7) chg-

51 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo D D (9) O procimnto mblgm qui poto é gnrlizávl o co m qu itm i gru libr m c nó. Pr fim, é uficint conirr qu, por mplo, m vz r um clr é um mtriz 66 contno o lmnto mtriz K qu rlcionm o gru libr o nó com o gru libr o nó..7 - Introução coniçõ poio O itm quçõ (5) in não po r rolvio, porqu flt ntrr m linh cont com coniçõ poio trutur. Et coniçõ frontir corrponm poio fio ou ntmnto poio. O poio fio pom mpr r trto como ntmnto poio vlor nulo. Por t motivo, no nvolvimnto qu gu pn ão rfrio o ntmnto poio. O itm quçõ (5) rlcion forç locmnto qu ncontrm no rfrncil grl, nglobno too o gru libr trutur. no m vit conirção coniçõ poio, o gru libr trutur ão iviio m oi grupo: - gru libr não prcrito (livr) P - gru libr prcrito im, o itm quçõ (5) p tr guint orgnizção por bloco K K K P K K P PP P P RP () Em (), é o vctor qu nglob o locmnto guno o gru libr não prcrito P nglob o prcrito. O mmo tipo ubivião é fctuo com o vctor forç noi quivlnt à cção trior ( ). O vctor icionl m qu

52 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo figur RP contém rcçõ poio, qu conitm n forç (in conhci) qu fzm com qu o locmnto m poio umm o vlor prcrito. Dignno por n o númro gru libr não prcrito por p onúmro gru libr prcrito, ão pcific n bl. imnõ ub-mtriz qu figurm m (). bl. - Dimnõ ub-mtriz prnt m (). P K ( n n ) K P ( n p ) K P ( p n ) K PP ( p p ), ( n ),, R ( p ) P P Et ivião m ub-mtriz obrig fzr um rorgnizção linh colun mtriz K qu figur m (5), bm como componnt o vctor. bl. é prnto o ignifico o lmnto qutro ub-mtriz K inic m (). bl. - Significo o lmnto ub-mtriz K inic m (). Dlocmnto unitário impoto guno um gru libr: orç fição num gru libr: K ivr ivr K P ivr Prcrito K P Prcrito ivr K PP Prcrito Prcrito o novo itm quçõ inico m (), incógnit ão lmnto K, P, P têm vlor conhcio. R P. O

53 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo O itm quçõ () po r crito o guint moo K K () P P K K R () P PP P P P qução () po r rcrit o guint moo K K () P P Em (), K é um mtriz qur, qu m grl é não ingulr, é o vctor incógnit o vlor o vctor mtriz qu tão no guno mmbro ão conhcio. Por t motivo, () contitui um itm quçõ linr, qu poi rolvio fornc o vlor o locmnto qução () po r rcrit o guint moo. R P K K () P PP P P Um vz qu o locmnto rcçõ m gru libr prcrito ( R ). já ão conhcio, t prão fornc o vlor P O moo introução coniçõ poio qui crito tm guint vntgn: n f o proco qu rqur um mior volum cálculo um grn qunti mmóri rmznmnto, i.., n f rolução o itm quçõ (), o númro quçõ incógnit é n m vz r np; m comprção com o métoo m qu é iciono à igonl principl K um númro lvo, o métoo qui propoto prnt mno problm numérico, principlmnt quno utilizm métoo itrtivo pr rolvr o itm quçõ. principl vntgm o métoo qui propoto é nci grupr o lmnto K m ivr ub-mtriz. Et nov rrumção cu lgum ificul, principlmnt quno utilizm técnic rmznmnto pro, m bn ou m prfil.

54 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo.8 - mnto náli um pórtico D no m vit náli um trutur o tipo pórtico D plo métoo o locmnto, ugr- o guint lgoritmo - Pr c brr: lculr mtriz trnformção () m gui clculr (5) lculr mtriz rigiz brr, no rfrncil locl ( K l ) lculr mtriz rigiz brr, no rfrncil grl ( K g ) com () mblr ( K g )m(k ) (vr Scção.6) lculr o vctor forç noi quivlnt à cção trior n brr, no rfrncil locl ( ) l lculr ( g )com(9) mblr ( g )m( ) (vr Scção.6) - Introuzir coniçõ poio (vr Scção.7) - Rolvr o itm quçõ linr (), trminno im o locmnto - lculr rcçõ no poio com () - Pr c brr: Pr o locmnto rltivo à brr corrnt o vctor pr o vctor g lculr ( l ) com (5) -im Embor j poívl utilizr o procimnto ugrio m rcuro informático, é hoj m i prfrívl implmntá-lo por intrméio um progrm computor. t omínio urgm muit ltrntiv, ti como lcção lingugm

55 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo progrmção, o moo crir o o o problm, o moo rmznmnto informção, técnic numéric utiliz, o rcuro ou não bibliotc oprçõ mtricii, tc..9 - Mtriz rigiz um brr trliç D no rfrncil locl igur.7 ncontr- rprnt um brr trliç pcil, io rctilíno cção contnt. u mtriz rigiz (5), pr no rfrncil locl l, pn guint grnz: E - móulo Young, contnt m too o ponto brr; - ár cção trnvrl brr, conir contnt; - comprimnto brr. l i 6 l j 5 i < j l ig..7 - rliç D: gru libr brr ijno rfrncil locl. K l E E E E (5) 5

56 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo. - Mtriz rigiz um brr pórtico D no rfrncil locl igur.8 ncontr- rprnt um brr pórtico pcil, io rctilíno cção contnt. u mtriz rigiz (6)-(5), pr no rfrncil locl l, pn guint grnz: E - móulo Young, contnt m too o ponto brr; - ár cção trnvrl brr, conir contnt; - comprimnto brr; G - móulo itorção [.]; I - momnto inérci cção trnvrl brr m rlção o io l ; I - momnto inérci cção trnvrl brr m rlção o io l ; I t - momnto inérci torção cção trnvrl brr [.] [.]. ot: l l ão io principi cntri inérci cção trnvrl brr. l 6 i 5 9 l j 7 8 i < j l ig..8 - Pórtico D: gru libr brr ijno rfrncil locl. ii i j K l K l K l ji j j (6) K l K l 6

57 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo 7 EI EI EI EI GI EI EI EI EI E K t ii l (7) EI EI EI EI GI EI EI EI EI E K t j i l (8) ( ) j i l ji l K K (9) EI EI EI EI GI EI EI EI EI E K t j j l (5). - onirçõ fini t cpítulo não foi conir poibili brr prntr io não rctilíno, nm o fcto cção trnvrl r vriávl o longo o io brr. ão foi tmbém conir contribuição tnõ tngncii pr formção, hbitulmnt ign formção por forço trnvro. incluão t crctrític fz com qu formulção prnt nt cpítulo prc implici trá vinci. Mi int rão prnt formulçõ mtriz rigiz um brr rcorrno técnic pcífic o Métoo o Elmnto inito, m prticulr formulção vig imohnko. om t tipo lmnto brr é poívl tr m conirção formção por forço trnvro, o io curvilíno cção vriávl.

58 Métoo o Dlocmnto m rliç Pórtico - Álvro. M. zvo IIOGRI [.] - rzão rinh, J. S.; orri o Ri,. - bl écnic, Eiçõ écnic E..., 998. [.] - zvo,.. M. - Mcânic o Sólio, cul Engnhri Univri o Porto, 996. [.] - Sgã vr,. - náli Mtricil Etrutur, bortório cionl Engnhri ivil, uro 9, ibo, 97. [.] - Monnt,. - Réitnc Mtériu, Duno, Pri,

59 PÍUO EEMEOS IIOS UIDIMESIOIS nt por o métoo o lmnto finito (ME) um moo plicávl mio contínuo biimnioni triimnioni, prnt- com lgum tlh o co uniimnionl. Quno pn conir um imnão, o métoo rultnt não tm grn intr prático, m rv como introução à técnic qu mi int rão pot pr o co mi gnérico. O métoo o lmnto finito, qu int rá poto, bi- no métoo o locmnto n icrtizção um trutur m ub-trutur. um ub-trutur ign- por lmnto finito tm comportmnto conhcio, no o comportmnto o too coniro como om prt. lmnto finito tm n nó, no pn coniro plicitmnt o locmnto gnrlizo n nó. O locmnto no rtnt ponto o lmnto finito obtêm- por intrpolção o locmnto o nó.. - Simbologi prnt- m primiro lugr um rumo imbologi opt n formulção o métoo o lmnto finito. bl. - Simbologi rltiv o métoo o lmnto finito. n u úmro nó o lmnto finito omprimnto brr primátic oorn crtin mpo locmnto Dlocmnto nol unção intrpolor ou função form 9

60 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo ε V σ p E Dformção Mtriz formção Opror ifrncil ( / ) Volum brr primátic não norml cção trior itribuí por uni comprimnto orç noi quivlnt à cção trior, no gru libr o lmnto finito, no rfrncil locl Ár cção trnvrl brr primátic Móulo ltici ou móulo Young D Mtriz ltici ( σ D ε ) K c E J Mtriz rigiz o lmnto finito no rfrncil locl oficint um trmo um polinómio oorn crtin um nó um lmnto finito oorn locl Móulo ltici num nó o lmnto finito Ár cção trnvrl num nó o lmnto finito Jcobino trnformção (J / ). - unçõ intrpolor ou funçõ form igur. ncontr- rprnto um lmnto finito uniimnionl com oi nó com comprimnto. 5

61 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo u () ( -) ( ) ig.. - Elmnto finito uniimnionl oi nó. O único io coorno qu é coniro é o io, ocorrno too o locmnto prllmnt. função u( ) corrpon o cmpo locmnto, vrificno- o guint u u ( ) ( ) () no portnto o locmnto o nó. onir- gor, como proimção, qu li vrição o locmnto ntr o nó é linr. t circuntânci, guint função u( ) locmnto porqu é linr m rpit () u ( ) rprnt o cmpo () O vlor numérico o prâmtro prão r conhcio poi nli trutur. olocno m viênci m (), chg- à guint prão u () ( ) Em () tm- um om prouto funçõ linr plo locmnto noi. 5

62 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo 5 qução () po r crit m form mtricil ( ) u () ou ( ) ( ) ( ) [ ] u (5) no ( ) ( ) (6) u (7) com ( ) ( ) [ ] [ ] (8) (9) O gráfico funçõ linr inic m (6) ncontr- rprnto n igur..

63 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo () () - - ig.. - Gráfico funçõ () (). principl crctrític o gráfico funçõ () () é lint n bl. conit no fcto função () umir o vlor unitário no nó nulo no rtnt nó. função () um o vlor unitário no nó nulo no rtnt nó. Et crctrític rá clrific int quno prntrm mplo lmnto finito com mi o qu oi nó. bl. - rctrític funçõ () (). - () () prntm- m gui funçõ form () () pr o co brr oi nó comprimnto (vrigur.). u () ( - /) ( /) ig.. - Elmnto finito uniimnionl oi nó com comprimnto. 5

64 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo 5 D um moo mlhnt o qu foi crito pr o lmnto comprimnto, tm- ucivmnt ( ) u () ( ) u () ( ) u () ( ) ( ) (). - mpo formçõ O cmpo formçõ n brr é finio o guint moo u ε () tnno (5) tm- ( ) ( ) [ ] ε (5) Um vz qu o locmnto noi não pnm, rivção rult ε (6) qu m notção mtricil fic ε (7)

65 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo Dignno por mtriz (8) tnno (9), tm- ε (9) Dignno por o guint opror ifrncil () qução () crv- ε u () tnno (7) tm- ε () omprno () com (9), conclui- qu () D coro com (8) com (6), pr o co brr comprimnto, o lmnto mtriz ão o guint () (5) o co brr comprimnto, (8) () chg- 55

66 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo (6) (7) D (9), (9) (7) conclui- qu, no co brr comprimnto,tm ε (8) t mplo impl, prão o cmpo formçõ corrpon o qu conir hbitulmnt pr um brr ujit um forço il. Um vz qu ε não pn coorn, t lmnto finito prnt formção contnt.. - Princípio o trblho virtui onir- um corpo ujito um conjunto forç volum uprfíci qu lh provocm um formção. om b no u to quilíbrio tático, configurção o corpo é moific por um conjunto locmnto muito pquno comptívi com coniçõ frontir, qu ignm locmnto virtui. O princípio o trblho virtui ou princípio o locmnto virtui tblc qu o trblho rlizo pl tnõ intrn n formção virtul o corpo é igul o trblho rlizo pl forç trior no locmnto virtui o u ponto plicção [.] [.]. D um moo mi implit é comum firmr qu o trblho intrno formção é igul o trblho trno forç plic. rblho Intrno rblho Etrno (9) prnt- m gui um vrão implific o princípio o trblho virtui (PV) pt o co brr ujit locmnto forç pn ii. prõ qu gum, o prfio δ inic qu o locmnto ou formçõ ão virtui. 56

67 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo ε σ V δ u V δ p () t prão o vctor δε pn tm componnt corrponnt à tnão guno o io brr, o vctor σ pn contm tnão norml n cção trnvrl brr, o cmpo locmnto ( δ u ) cção trior itribuí ( p ) pn rfrm componnt guno o io brr (vr igur.). u () p ( - /) ( /) ig.. - Elmnto finito uniimnionl ujito um cção il uniformmnt itribuí. t co prão o PV () p r guint ε σ V δ u V δ p ().5 - Mtriz rigiz vctor olicitção om b no princípio o trblho virtui prnto n cção ntrior, vi- m gui procr à ução prõ mtriz rigiz o vctor olicitção qu ão utilizo no métoo o locmnto. Dignno por ár cção trnvrl brr, tm- V () Um vz qu o io brr coinci com o io,tm- () 57

68 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo qução (9) rfri à formção virtul é guint δ ε δ () qu é quivlnt δ ε δ (5) rlção contitutiv ou rlção tnão-formção é nt co σ D ε (6) prntno mtriz ltici D pn um lmnto qu conit no móulo Young (E). Subtituino (9) m (6) tm- σ D (7) qução (7) rfri à formção virtul é guint δ u δ (8) qu é quivlnt δ u δ (9) Subtituino to t quçõ m () p tr- o PV pro por δ D δ p () Um vz qu o locmnto noi não pnm pom pr pr for o intgrl δ D δ p () 58

69 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo D coro com o PV, qução () é vrir pr qulqur conjunto locmnto virtui, concluino- im qu D p () omprno t qução com rlção rigiz qu é utiliz no métoo o locmnto K () tm- no co brr uniimnionl K D () p (5) prõ ()-(5) ão plicávi quno guint grnz ão vriávi o longo brr: móulo Young (E), ár cção trnvrl () crg itribuí (p). prnt- m gui o nvolvimnto prõ () (5) pr o co E, p rm contnt. K E (6) tnno (7) K E [ ] (7) E E K (8) E E 59

70 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo t co impl o lmnto mtriz rigiz coincim com o qu obtêm irctmnt plo métoo o locmnto. Prtino (5), tm- nt co m qu p é contnt p (9) tnno (8) () tm- p (5) p p (5) Et prão tmbém coinci com qu obtém por proco mi impl..6 - Elmnto finito uniimnionl com trê nó onir- o lmnto finito uniimnionl com trê nó rprnto n igur.5, cujo comprimnto é. u () ( -) ( ) ( ) ig..5 - Elmnto finito uniimnionl trê nó. 6

71 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo 6 D um moo mlhnt o qu foi prnto n Scção., conir- qu função ( ) u é proim plo guint polinómio guno gru ( ) c c c u (5) Prtn- qu função (5) rpit no nó o vlor o rpctivo locmnto, no ( ) ( ) ( ) u u u (5) tnno (5) tm- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c c c c c c c (5) qu é quivlnt c c c (55) Eplicitno c, c c tm c c c (56) Subtituino prõ c, c c m (5), chg- ( ) ( ) ( ) u (57) qu é quivlnt ( ) ( ) ( ) ( ) u (58)

72 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo 6 Em notção mtricil tm- ( ) [ ] u (59) onirno ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] u (6) tm- ( ) ( ) ( ) (6) t co ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] (6) u (6) (6) igur.6 tão rprnto o gráfico funçõ (), () () inic m (6)

73 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo () - () - () - ig..6 - Gráfico funçõ (), () (). bl. ncontrm- lgum crctrític funçõ form rprnt n igur.6 (comprr com bl.). bl. - rctrític funçõ (), () (). - () () () 6

74 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo Gnrlizno prão (8) pr o coolmntotrênó,rult (65) tnno (6), o lmnto mtriz ão nt co o guint (66) O cálculo mtriz rigiz K o vctor olicitção po r fctuo por um proco mlhnt o inico n Scção.5, não no qui nvolvio..7 - Elmnto finito uniimnionl com ubtituição vriávl igur.7 ncontr- rprnto um lmnto finito uniimnionl com trê nó gomtri qulqur. u () ( ) ( ) ( ) ig..7 - Elmnto finito uniimnionl trê nó com gomtri rbitrári. coorn o nó ão,. l como no co crito ntriormnt, E rprnt o móulo Young, é ár cção trnvrl p é cção il itribuí. o t grnz pom vntulmnt pnr. É poívl clculr mtriz rigiz K o vctor olicitção com () (5), utilizno como vriávl coorn. ontuo, tno m vit gnrlizção t tuo o co biimnioni triimnioni, vi r fctu um ubtituição vriávl o tipo 6

75 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo 65 () (67) função (), nt co lccion, corrpon um intrpolção coincint com qu foi fctu n Scção.6 pr função locmnto ( ) u, m qu foi utiliz intrpolção (6), conjuntmnt com funçõ form (6). () () () () [ ] (68) () () () () (69) () () () (7) D um moo mlhnt o qu vrificou m (5), tm- ( ) ( ) ( ) (7) ubtituição vriávl (67) ncontr- qumtiz n igur.8.

76 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo ( ) ( ) ( ) ( -) ( ) ( ) ig..8 - Subtituição vriávl. pó ubtituição vriávl, o intgrl () p r K D (7) com D,, / pnnt nov vriávl. S não form contnt, D (qu coinci com E) ão intrpolo com mm funçõ form qu form utiliz pr intrpolr coorn o nó, i.., intrpolção é fctu tl como m (69). () () E () E () E E (7) () () () () (7) t funçõ, trnvrl. Ei i ão o vlor no nó i o móulo Young ár cção prão /, qu p ignr por J, obtém- por rivção (69), rultno J (75) Por rivção (7) m orm, obtém- 66

77 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo (76) ficno J ( ) (77) Pr vlir o intgrl (7) é in ncário finir mtriz m função. tnno à ptção (8) o lmnto trê nó, qu foi tmbém utiliz m (65), it nci clculr riv funçõ form m orm, m pr m função. om t objctivo, um vz qu funçõ form i (6) pnm, qu por u vz pn (69), tm-, rcorrno à rgr ci ( () ) i i (78) i i i (79) Multiplicno mbo o mmbro (79) pl invr / rult i i (8) Um vz qu / é um clr, po crvr- i i (8) 67

78 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo 68 no, coro com (76) (77) ( ) (8) ( ) (8) ( ) (8) mtriz prnt o guint componnt J (85) Dpoi finio too o componnt função intgrn (7), é poívl fctur guint implificçõ E J K (86) no ( ) ( ) (87)

79 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo 69 ( ) (88) tnno (8) o fcto r J /,tm- J (89) prão gnéric o lmnto K ij mtriz K é J E K j i ij (9) omo mplo, prnt- m gui prão o lmnto K mtriz rigiz o lmnto finito, coro com (9) (76) J E K (9) onir- gor um co prticulr um brr comprimnto totl nó cntro (vr igur.7), com (9) t co prticulr, prão J clcul com (77) não pn, no

80 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo J (9) S lém J r contnt, E tmbém form contnt, é impl clculr o intgrl (9), rultno E K (9) prnt- m gui um mplo numérico m qu o nó não ncontr cntro no lmnto finito trê nó (vr igur.7).. 5. (95) t co concrto, prão J clcul com (77) é J (96) Supono E contnt, tm-, coro com (9) K E (97) prátic é convnint rolvr o intgri (9) (97) rcorrno um técnic intgrção numéric, qu rá crit no pítulo onirçõ fini formulção plo ME qui fctu no âmbito um problm muito impl rv como introução à técnic qu plicm m mio contínuo com u ou trê imnõ, qu ão mplo o to plno tnão, cc o ólio. Muit prõ mtricii qu qui form prnt coincim com qu 7

81 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo urgm no co mi gnérico, no pn ncário rfinir imnõ o lmnto o vctor mtriz. IIOGRI [.] - ook, R. D.; Mlku, D. S.; Plh, M. E.; Witt, R. J. - oncpt n ppliction of init Elmnt nlyi, ourth Eition, John Wily & Son, Inc.,. [.] - Zinkiwicz, O..; ylor, R.. - h init Elmnt Mtho, ourth Eition, McGrw-Hill,

82 Elmnto inito Uniimnioni - Álvro. M. zvo 7

83 PÍUO 5 QUDRUR DE GUSS Muito o intgri qu é ncário clculr no âmbito plicção o Métoo o Elmnto inito (ME) não ão trivii, i.., ou primitiv função intgrn não it plicitmnt, ou é mio complic pr vibilizr u utilizção prátic. Por t motivo é ncil rcorrr técnic intgrção numéric, qu tmbém rcbm ignção qurtur. t cpítulo é crit jutific qurtur Gu, por r mi utiliz no âmbito o ME [5.] Simbologi prnt- m primiro lugr um rumo imbologi opt no tuo qurtur Gu. bl 5. - Simbologi rltiv à qurtur Gu. c I J P W n p oficint um trmo um polinómio Vlor cto o intgrl Vlor o intgrl clculo coro com qurtur Gu Poição um ponto Gu ou ponto motrgm Po (wight) ocio um ponto Gu ou ponto motrgm úmro ponto Gu utilizo num ircção Gru um polinómio 5. - Intgrção um função polinomil igur 5. ncontr- rprnt um função polinomil gru 5, cuj prãognéricéguint 7

84 Qurtur Gu - Álvro. M. zvo 5 ( ) c c c c c c f 5 () f () - P P P ig unção polinomil gru 5. O intgrl (cto) o polinómio () no intrvlo [-,] é ( ) I f () I 5 ( c c c c c c ) 5 () I c c c () 5 Pr fcilitr u comprção com um prão qu vi r m gui prnt, o guno mmbro () é rcrito guint form I c c c c c 5 c 5 (5) Suponh- gor qu prtn vlir o intgrl f () por intrméio o omtório vliçõ função f () m trmino loci, multiplic por quo po. o co o polinómio gru 5 inico m (), rá int motro qu, pr obtr um rulto cto, v vlir função f () m trê ponto motrgm P i multiplicr c um vlor por po W i (vr igur 5.). O intgrl vlio t form é igno por J, no 7

85 Qurtur Gu - Álvro. M. zvo 75 ( ) ( ) ( ) P f W P f W P f W J (6) Mi int rá uzio o vlor quo pr o guint prâmtro: poição o ponto motrgm P, P P m qu função f () v r vli (vr igur 5.); vlor o po W, W W. Um vz qu f () é um polinómio o tipo (), prão (6) p r ( ) ( ) ( ) P c P c P c P c P c c W P c P c P c P c P c c W P c P c P c P c P c c W J (7) o guno mmbro (7) pom- colocr m viênci o coficint c i, rultno ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c P W P W W P c P W P W W P c P W P W W P c P W P W W P c P W P W W P c W W W J (8) t mplo, rltivo o polinómio gru 5 inico m (), prtn- qu prão J (8) j ctmnt igul à I (5) J I (9) Igulno o guno mmbro (5) (8) rult

86 Qurtur Gu - Álvro. M. zvo 76 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c P W P W W P c P W P W W P c P W P W W P c P W P W W P c P W P W W P c W W W c c c c c c () Um vz qu o coficint c i ão rbitrário, pr qu igul () vrifiqu mpr, é uficint qu P W P W P W P W P W P W P W P W P W P W P W P W P W P W P W W W W () Pr obtr o vlor P, P, P, W, W W, rolv- o itm i quçõ não linr i incógnit (). rpctiv olução é W W W P P P () O vlor cto o intgrl um polinómio gru 5, no intrvlo [-,], po r obtio com ( ) f f f J I () o co função f () r gnéric, i.., não polinomil ou polinomil gru uprior 5, prão () fornc um vlor proimo o intgrl I ().

87 Qurtur Gu - Álvro. M. zvo f 5 ( ) f () f f () O vlor o intgrl clculo com o guno mmbro () é tnto mi corrcto, qunto mi função f () proimr um polinómio o tipo (). S jr um vlor mi corrcto pr o intgrl, it poibili utilizr mi ponto motrgm (P i ) corrponnt po (W i ). O ponto motrgm tmbém ão igno por ponto Gu. O tuo qu foi qui rlizo com um polinómio gru 5 po r fito, um moo mlhnt, com polinómio qulqur gru. bl 5. prnt- o rulto qu obtêm quno fz o tuo com polinómio gru, gru, gru 5 gru 7. Em [5.] ncontr- um tbl qu fornc o vlor poiçõ o ponto motrgm o po pr um númro ponto Gu no intrvlo [,]. om b n bl 5. pom- trir guint concluõ: com n ponto Gu, obtém- o vlor cto o intgrl um polinómio gru p n -, ou infrior; quno prtn olução ct o intgrl um polinómio gru p, o númro ponto Gu qu tm utilizr é n (p ) /, ou uprior. ot: quno p é pr, v- ubtituir o u vlor plo númro ímpr imitmnt uprior. ot: o intrvlo intgrção too o intgri rfrio no âmbito qurtur Gu é o intrvlo [-,]. 77

88 Qurtur Gu - Álvro. M. zvo bl 5. - Poiçõ o ponto motrgm rpctivo po. úmro ponto Gu Gru o polinómio qu é poívl intgrr um moo cto Poiçõ o ponto Gu rpctivo po n pn - P i, W i P W P P W W 5 P P P W W W P P P P W W W W Pr jutificr prão p n - (vr bl 5.) é uficint conirr o guint (ugr- qu compnhm guint conirçõ com o mplo o polinómio gru p 5, trá crito): uponh- qu prtn intgrr um moo cto um polinómio gru p (no p um númro ímpr); 78

89 Qurtur Gu - Álvro. M. zvo o númro coficint c i no polinómio gru p éigulp ; um vz qu itm p coficint c i, o itm quçõ não linr () vi tr p quçõ; pr qu o itm quçõ () po r rolvio, o númro incógnit v r tmbém p ; um vz qu incógnit ão poiçõ o ponto Gu rpctivo po (P, P, P,..., W, W, W,...), o númro ponto Gu (n) tmr mt o númro incógnit (p ),i..,n (p )/; nt prão po- plicitr p, rultno p n -, qu é o rulto qu prtni montrr. Qulqur qu j o vlor n, ovlorp qu obtém é mpr um númro ímpr. É por t motivo qu, conform foi trá rfrio, v pr p pr o vlor ímpr imitmnt uprior, quno utiliz prão n (p )/ovlorp épr. prão gnéric qurtur Gu com n ponto é J n i W f ( ) i P i (5) 5. - Intgri múltiplo prnt- m gui ptção intgrção numéric crit n cção ntrior o co o intgrl uplo ( y) I f, y (6) onirno m primiro lugr o intgrl m orm, tm-, coro com (5) J n i Wi f ( Pi, y) y (7) no n o númro ponto Gu utilizo n ircção. 79

90 Qurtur Gu - Álvro. M. zvo onirno qu função intgrn (7) é um função g(y), tm- ( y) J g y (8) com g n ( y) W f ( P y) i i i, (9) Subtituino gor o intgrl m orm y m (8) por um omtório o tipo (5), rult J n y j W g ( ) j P j () no n y o númro ponto Gu utilizo n ircção y. tnno (9), prão () p r J n y n W j j i W i f, j () ( P P ) i qu é quivlnt J n n y i j W W i j f ( P P ) i, () j O númro ponto Gu ocio à ircção (n ) po r ifrnt o númro ponto Gu ocio à ircção y (n y ). lcção t númro v tnr o moo como função f (,y) vri com comy. im, n ircção função f (,y) mlhr um polinómio gru 5 n ircção y umgru7, v r n n y (vr bl 5.). o co o intgrl triplo, po- gnrlizr (), rultno f n n ( ) y nz y, z y z Wi W j Wk f ( Pi, Pj, Pk ), () i j k 8

91 Qurtur Gu - Álvro. M. zvo o co o intgrl o prouto funçõ f g,tm- f (, y, z) g (, y, z) n n y n z i j k W i W j y z W k f ( P, P, P ) g ( P, P, P ) i j k i j k () o qu prmit um vlição quncil f g no ponto Gu (P i, P j, P k ). Et conirção é tniv qulqur combinção funçõ,.g., ição, ivião, tc. Quno tm, por mplo, o intgrl um prouto mtriz, po- vlir c um mtriz m c ponto Gu ó m gui fzr o prouto mtricil. im vit tr plicitr função qu rult o prouto mtricil ivr funçõ onirçõ fini O procimnto intgrção numéric gnricmnt igno qurtur Gu tm como principl vntgm o fcto por r fcilmnt incluío num progrm computor tino à náli trutur plo ME. principl ificul oci à u utilizção ri n nci colhr um númro ponto Gu quo à prcião prtni. IIOGRI [5.] - ook, R. D.; Mlku, D. S.; Plh, M. E.; Witt, R. J. - oncpt n ppliction of init Elmnt nlyi, ourth Eition, John Wily & Son, Inc.,. [5.] - Zinkiwicz, O..; ylor, R.. - h init Elmnt Mtho, ourth Eition, McGrw-Hill,

92 Qurtur Gu - Álvro. M. zvo 8

93 PÍUO 6 ESDO PO DE ESÃO t cpítulo é crit com pormnor formulção lmnto finito tino à icrtizção problm náli trutur qu nqurm no co prticulr igno "Eto Plno não" [6.]. prnt- m primiro lugr o co o lmnto finito quro imnõ fi, guino- o lmnto finito rctngulr, por último, o co mi grl gomtri rbitrári. formulção qui crit bi- no métoo o locmnto n icrtizção o omínio m lmnto finito n nó, prntno lgum mlhnç com o qu foi crito no pítulo Simbologi prnt- m primiro lugr um rumo imbologi opt n formulção o métoo o lmnto finito. bl 6. - Simbologi rltiv o métoo o lmnto finito. n u h Dimnão o lmnto finito úmro nó o lmnto finito oorn crtin mpo locmnto Dlocmnto nol Epur o lmnto finito lminr oorn crtin um nó um lmnto finito m úmro ircçõ conir (no to plno tnão: m ) unção intrpolor ou função form 8

94 Eto Plno não - Álvro. M. zvo c oficint um trmo um polinómio p úmro gru libr o lmnto finito (p n m) ε γ q V σ τ p S E ν Etnão Ditorção Opror ifrncil úmro componnt o vctor ε o vctor σ Mtriz formção Volum o lmnto finito lminr não norml não tngncil cção trior itribuí por uni comprimnto Suprfíci o lmnto finito lminr Móulo ltici ou móulo Young oficint Poion D Mtriz ltici ( σ D ε ) K V J E ν h Mtriz rigiz o lmnto finito no rfrncil grl orç noi quivlnt à cção trior, no gru libr o lmnto finito, no rfrncil grl oorn locl (curvilín) oorn locl um nó um lmnto finito Vctor funçõ intrpolor ou funçõ form Jcobino trnformção Móulo ltici num nó o lmnto finito oficint Poion num nó o lmnto finito Epur o lmnto finito num nó 8

95 Eto Plno não - Álvro. M. zvo P W Poição um ponto Gu ou ponto motrgm Po (wight) ocio um ponto Gu ou ponto motrgm n GPi J úmro ponto Gu ocio à ircção i Vlor o intgrl clculo coro com qurtur Gu 6. - unçõ intrpolor ou funçõ form igur 6. ncontr- rprnto um lmnto finito quro com qutro nó com imnõ. u (, ) u (, ) h (, ) ig Elmnto finito quro qutro nó. coorn o nó ão rmzn n mtriz,cujolmntognérico corrpon à coorn crtin o nó i guno ircção j. ij () D coro com imbologi trá prnt, mtriz tm imnõ nm. pur o lmnto finito lminr rprnto n igur 6. é ign por h, qu po tmbém r um função. 85

96 Eto Plno não - Álvro. M. zvo função u ( ) corrpon o cmpo locmnto, vrificno- o guint um componnt u ( ) (, ) (, ) u u ( ) () u é intrpol prmnt com b m funçõ form i (, ) no locmnto o nó (vr igur 6.) (, ) (, ) (, ) (, ) ( ) u, (, ) (, ) (, ) (, ) ( ) u, () () Em () (), bm como n igur 6., ij corrpon o locmnto o nó i guno ircção j. ot- qu o númro funçõ form i coinci com o númro nó o lmnto finito (n). conirçõ qu gum rão pn fctu com componnt u o cmpo locmnto. u tnão à componnt u ri trivil. função u (, ) v umir no nó o vlor noi o cmpo locmnto. tnno à coorn o nó inic m (), prtn- qu u u u u (, ) (, ) (, ) (, ) (5) Pr qu coniçõ pr m (5) jm rpit, funçõ form utilizr m () vm pouir crctrític inic n bl

97 Eto Plno não - Álvro. M. zvo bl 6. - rctrític funçõ i (, ). ó (, ) (-, -) (, -) (, ) (-, ) (, ) (, ) (, ) (, ) guint funçõ polinomii rpitm coniçõ inic n bl 6., qu conitm no fcto função i tr umir um vlor unitário no nó i umvlor nulo no rtnt nó. (, ) ( )( ) (, ) ( )( ) (, ) ( )( ) (, ) ( )( ) (6) função (, ) po tomr guint form (, ) (7) Um polinómio guno gru complto tm guint prão gnéric ( ) c c c c c c f (8), 5 omprno (7) com (8), vrific- qu função form (, ) é um polinómio guno gru incomplto, porqu lh fltm o trmo qu m (8) ncontrm ublinho. onirçõ iêntic porim r fit m rlção à rtnt funçõ form. 87

98 Eto Plno não - Álvro. M. zvo 88 rmznno o locmnto noi guint form (9) tm-, tnno () () u u () qu m notção mtricil ruz ( ) ( ) ( ) p p m m u () no p n m (no co igur 6., p 8). mtriz é () O gráfico funçõ i (, ), fini m (6), ncontrm- rprnto n igur 6. (vr tmbém igur 6.). o co o lmnto finito rctngulr imnõ, rprnto n igur 6., funçõ form rim

99 Eto Plno não - Álvro. M. zvo 89 ( ) ( ) ( ) ( ),,,, () ig Gráfico funçõ i (, ) pr um lmnto imnõ.

100 Eto Plno não - Álvro. M. zvo u (, ) u (, ) h (, ) ig Elmnto finito rctngulr qutro nó mpo formçõ O cmpo formçõ num to plno tnão é finio o guint moo [6.] ε ε γ u u () ou um moo mi compcto ε u ( q ) ( q m) ( m ) (5) Em (5), q é o númro componnt o vctor ε, qu ão nt co trê, éo guint opror ifrncil (6) 9

101 Eto Plno não - Álvro. M. zvo 9 Subtituino () m (5), tm- ( ) ( ) ( ) ( ) p p m m q q ε (7) Dignno por o prouto ( ) ( ) ( ) p m m q p q (8) prão (7) p ( ) ( ) ( ) p p q q ε (9) no, coro com (8), (6) () () () o co o lmnto com imnõ, mtriz é contituí pl riv (6), coro com () () o co o lmnto imnõ, mtriz é contituí pl riv (), coro com ()

102 Eto Plno não - Álvro. M. zvo 9 () 6. - Princípio o trblho virtui onir- um to plno tnão contituío por um lmnto finito formulo coro com o qu foi poto n cçõ ntrior. Supono qu pn itm cçõ itribuí por uni comprimnto n prifri o lmnto finito, o Princípio o rblho Virtui (PV), qu foi poto no pítulo, rult guint qução V p u V δ σ ε δ () t prão o vctor ε δ prnt componnt m corrponênci com o vctor ε, finio m () (5). O vctor σ é o guint τ σ σ σ (5) Mtriz rigiz vctor olicitção om b no princípio o trblho virtui rfrio n cção ntrior, vi- m gui procr à ução prõ mtriz rigiz o vctor olicitção qu ão utilizo no métoo o locmnto, plico à náli um to plno tnão. Dignno por h pur o lmnto finito, tm- m () S h V (6)

103 Eto Plno não - Álvro. M. zvo 9 m qu S rprnt o lmnto uprfíci. qução (9) rfri à formção virtul é guint δ ε δ (7) qu é quivlnt δ ε δ (8) rlção ntr tnõ formçõ é, pr um to plno tnão no co o mtrii iotrópico [6.] ( ) γ ε ε ν ν ν ν ν ν ν τ σ σ E E E E E (9) ou um moo mi compcto ε σ D () no mtriz ltici D guint ( ) ν ν ν ν ν ν ν E E E E E D () mtriz ltici D pn o móulo Young (E) o coficint Poion (ν). Subtituino (9) m () tm- D σ () qução () rfri à formção virtul é guint

104 Eto Plno não - Álvro. M. zvo δ u δ () qu é quivlnt δ δ () u Subtituino to t quçõ m () p tr- o PV pro por δ D h S S δ p (5) Um vz qu S o locmnto noi não pnm vriávi, o vctor δ pom pr pr for o intgrl δ D h S S δ p (6) D coro com o PV, qução (6) é vrir pr qulqur conjunto locmnto virtui, concluino- im qu D h S p (7) S omprno t qução com rlção rigiz qu é utiliz no métoo o locmnto K (8) tm-,nocootoplnotnão K D h S (9) S p () O vctor ncontr- finio m (9). prõ (7)-() mit- qu guint grnz pom não r contnt no omínio intgrção: móulo Young (E), coficint Poion (ν), pur (h) crg itribuí ( p ). 9

105 Eto Plno não - Álvro. M. zvo o co o lmnto finito rctngulr rprnto n igur 6., prão mtriz rigiz (9) p r K D h () mtriz corrpon à prão (), no co o mtrii iotrópico, mtriz D é por (). Um vz qu h é um clr, imnõ mtriz K coincim com o prouto D K D () ( p p) ( p q) ( q q) ( q p) o co o lmnto finito qutro nó, tm- K D ( 8 8) ( 8 ) ( ) ( 8) () tnno (), imnõ o vctor olicitção coincim com o prouto p ( p ) ( p m) ( m ) p () o co o lmnto finito qutro nó, tm- p ( 8 ) ( 8 ) ( ) (5) álculo um lmnto mtriz rigiz prnt- m gui o cálculo o lmnto K 58 mtriz rigiz o lmnto finito rprnto n igur 6., com E MP, ν h. m. D coro com (), tm- 95

106 Eto Plno não - Álvro. M. zvo K D h (6) O cálculo D po r fctuo com b no omtório corrponnt o prouto mtricii q q ( D ) ij k p ki D kp pj (7) no q. Pr clculr K 58 é uficint nvolvr o omtório pr o co: i 5;j 8 ( D ) D (8) 58 k p k 5 kp p8 ( k 5 Dk 8 k 5 Dk 8 k 5 Dk 8 ) (9) k D D D D D D D D D (5) onultno mtriz () D () com ν, vrific- fcilmnt qu, nt mplo, ó o último monómio (5) é não nulo. im, tm- ( D ) 58 E 5 D 8 (5) tnno () () o fcto r E, chg- ( ) D 58 (5) ( ) D 6 5 ( )( ) (5) 58 tnno (6) o fcto r h.m,tm- 96

107 Eto Plno não - Álvro. M. zvo ( D ) K58 h 58 (5) K ( )( ) (55) K 7 5. M m (56) álculo o vctor olicitção corrponnt um crg itribuí igur 6. ncontr- rprnto o lmnto finito igur6., ujito um crg itribuí no boro -. p p M/m 9M/m M/m M/m ig Elmnto finito ujito um crg itribuí. forç noi quivlnt à cção itribuí no boro clculm- com prão (), qu qui rprouz p (57) no mtriz () p o guint vctor p p (58) p 97

108 Eto Plno não - Álvro. M. zvo 98 t mplo, coinci com too o ponto o omínio intgrção prntm coorn. im, o intgrl linh (57) p r p (59) no lmnto mtriz, qu ão funçõ form (6), v- ubtituir por, obtno- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,,,,, (6) tnno () (58), o prouto p qu figur m (59) é o guint p p p (6) Pr o vlor cçõ inico n igur 6., ão guint prõ funçõ p p ( ) ( ) 6 p p (6) om b m (6), (6) (6), tm-

109 Eto Plno não - Álvro. M. zvo 99 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 p (6) rultno (59) (6) Em (6), ij rprnt componnt qu tá oci o nó i qu ctu n ircção j. o nó, ão nul componnt forç nol quivlnt à crg itribuí no boro -. t mplo impl, o vlor inico m (6) coincim com rcçõ qu obtrim num vig implmnt poi crrg com crg trpzoii igur o grl com ubtituição vriávi O tuo prnto n cçõ ntrior qu ncontr limito um lmnto quro imnõ po r fcilmnt tnio lmnto rctngulr imnõ. o u formulção ri um tnão trivil o qu foi trá

110 Eto Plno não - Álvro. M. zvo prnto. t cção é nvolvio um lmnto finito qurilátro gomtri rbitrári, tino à icrtizção to plno tnão (vr igur 6.5). u (, ) u (, ) h (, ) ig Elmnto finito qurilátro qutro nó com gomtri rbitrári. coorn o nó ão rmzn n mtriz, cujo lmnto gnérico corrpon à coorn crtin o nó i guno ircção j. ij (65) D coro com imbologi prnt n Scção 6., mtriz tm imnõ nm. pur o lmnto finito lminr rprnto n igur 6.5 é ign por h, qu po tmbém r um função. trminção mtriz rigiz o lmnto finito com prão (9), rqur nt co o cálculo um intgrl uplo com um omínio intgrção S, qu corrpon um qurilátro irrgulr gomtri fini plo qutro nó o lmnto. no m vit itmtizção t proco, moo fcilitr u progrmção m computor, rvl- muito vntjoo fctur guint ubtituição vriávi.

111 Eto Plno não - Álvro. M. zvo (, ) (, ) (66) igur 6.6 ncontr- rprnto o novo omínio intgrção, qu corrpon o intrvlo [-, ], qur pr vriávl, qur pr. ig Subtituição vriávi. O vlor noi coorn ão o guint (67) D coro com (66), c ponto (, ) corrpon um ponto (, ). pgm o itm coorn pr o itm coorn é fctu com um intrpolção mlhnt à qu foi fctu n Scção 6. pr o cmpo locmnto. D coro com () (), tm- (, ) (, ) (, ) (, ) ( ), (, ) (, ) (, ) (, ) ( ), (68) (69) o itm coorn, funçõ form coincim com qu form crit n Scção 6., btno ubtituir m (6) por por, rultno

112 Eto Plno não - Álvro. M. zvo ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ),,,, (7) l como no co o cmpo locmnto, o tribuir (, ) o vlor noi inico m (67), obtêm- m (68) (69) coorn o nó (65). Por mplo, pr (, ) (, ), função vl um rtnt ão nul, obtno- m (68) ( ), m (69) ( ),. quçõ (68) (69) pom r coloc m form mtricil o guint moo (7) ou ( ) ( ) ( ) n V n m m (7) no (7) V (7) Em (7), émtriznm fini m (65). pó ubtituição vriávi inic m (66), o intgrl (9) p r

113 Eto Plno não - Álvro. M. zvo J D h K (75) t prão J é o trminnt Jcobino, qu corrpon o trminnt mtriz JcobinJ. mtriz Jcobin corrponnt à trnformção (66) é fini guint form [6.] J (76) J J (77) Pr prmitir o cálculo o intgrl (75), too o componnt função intgrn têm pnr. S mtriz D () não for contnt, é poívl utilizr o mmo tipo intrpolção pr finir E ν m função. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,, E E E E E (78) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,, ν ν ν ν ν (79) t prão, i E i ν ão o vlor no nó i o móulo Young o coficint Poion. gnrli o co prático E ν ão coniro contnt o nívl c lmnto finito. Quno um trutur prnt mi o qu um tipo mtril, frontir ntr zon corrponnt c mtril v coinciir com trnição ntr lmnto finito. S pur o lmnto não for contnt po r intrpol um moo mlhnt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,, h h h h h (8)

114 Eto Plno não - Álvro. M. zvo t prão, i h é o vlor pur no nó i. O lmnto mtriz Jcobin (76) obtêm- por rivção (68) (69), rultno (8) (8) (8) (8) quçõ (8)-(8) ão quivlnt à guint qução mtricil (85) D um moo mi compcto, tm- ( ) ( ) ( ) m n n m m m J (86) no

115 Eto Plno não - Álvro. M. zvo 5 (87) prõ o lmnto mtriz (87) obtêm- por rivção (7) m orm. rultno ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (88) Subtituino prõ (88) m (85), obtêm- o lmnto mtriz Jcobin m função. ot: o lmnto mtriz ão coorn crtin o nó, no portnto contnt vlor conhcio. no m vit o cálculo o intgrl (75) ncontrm- já finio m função too o componnt função intgrn, com cpção mtriz. prnt- m gui o procimnto pr u obtnção. o co o lmnto finito qurilátro qutro nó gomtri rbitrári, quçõ (9)-() prmncm váli (vr Scçõ 6. 6.). quçõ () () ão m gui rprouzi. u u (89)

116 Eto Plno não - Álvro. M. zvo 6 ( ) ( ) ( ) p p m m u (9) o co o lmnto gomtri rbitrári, funçõ form pnm vriávi. t co, intrpolção o locmnto (89) é fctu um moo coincint com o qu foi utilizo pr intrpolr coorn crtin o nó (68) (69). Quno o métoo intrpolção o locmnto noi coorn crtin o nó coincim, iz- qu formulção o lmnto finito é ioprmétric. O cmpo formçõ obtém- um moo mlhnt o qu foi crito n Scção 6., rprouzino- m gui quçõ mi ignifictiv. ( ) ( ) ( ) m m q q u ε (9) Por ubtituição (9) m (9) chg- ( ) ( ) ( ) ( ) p p m m q q ε (9) ( ) ( ) ( ) p m m q p q (9) ( ) ( ) ( ) p p q q ε (9) (95) (96)

117 Eto Plno não - Álvro. M. zvo 7 mtriz pn riv funçõ form m orm j ( ) i j.d moo r poívl clculr o intgrl (75), é ncário obtr prõ i j m função. onir- um funçõ form ( i ) pnno, qu por u vz pnm. ( ) ( ) ( ),,, i i (97) Pl rgr ci tm- i i i i i i (98) qu po crvr guint form m notção mtricil i i i i (99) tribuino o ínic i o vlor grupno o qutro co n guint mtriz, chg- () qu um moo mi compcto po crvr J ()

118 Eto Plno não - Álvro. M. zvo no J mtriz Jcobin fini m (76) m (86). Multiplicno mbo o mmbro (), à irit, por J obtém- J ( n m) ( n m) ( m m) () mtriz foi fini m (87) (88), no o u lmnto funçõ. Em (86) po vrificr- qu o lmnto mtriz J ão tmbém funçõ. O lmnto guint mtriz, qu pnm, () ão poi plho n mtriz coro com (96). Dt moo lcnçou o objctivo clculr o lmnto mtriz como no funçõ. Um vz qu too o componnt função intgrn (75) ncontrm finio m função, é gor poívl procr o cálculo mtriz rigiz o lmnto finito. O fcto trtr um intgrl ifícil rolução o limit intgrção rm -, ugr o rcuro à técnic intgrção numéric qu ncontr crit no pítulo lgoritmo cálculo mtriz rigiz um lmnto ioprmétrico Um intgrl uplo, cujo limit intgrção jm - pr mb vriávi, po r clculo pl qurtur Gu, no o rulto obtio, m grl, um vlor proimo. D coro com o qu foi poto no pítulo 5, corrponnt prão é guint 8

119 Eto Plno não - Álvro. M. zvo n GP n GP (, ) Wi W j f ( Pi, Pj ) f i j () t prão, n GP é o númro ponto Gu ocio à ircção n GP éo númro corrponnt à ircção. O prâmtro W i W j ão o po ocio à ircçõ. função f v r vli no ponto Gu, cuj coorn ão ( ) (, ), P i P j (5) D qui m int, o guno mmbro () p r igno por J. im, no co r n GP n GP, pnão o omtório m () rult guint prão pr J J n GP ( Wi W f ( Pi, P ) Wi W f ( Pi, P )) i (6) J W W W W f f ( P, P ) W W f ( P, P ) ( P, P ) W W f ( P, P ) (7) D coro com o qu foi poto no pítulo 5, o vlor o po W i poiçõ P i é nt co W W P P (8) pno J r vlio o guint moo J f f,, f f,, (9) O vlor proimo o intgrl uplo (), pn o rulto vlição função f (, ) m qutro ponto Gu, cuj loclizção ncontr n igur

120 Eto Plno não - Álvro. M. zvo Ponto Gu ig oclizção o qutro ponto Gu no itm coorn (, ). D coro com (7), pr clculr o vlor proimo o intgrl (75), rcorrno à qurtur Gu com ponto, proc- o guint moo: vli- u função intgrn no qutro ponto Gu; multiplic- o rulto corrponnt c ponto Gu plo rpctivo po (qu nt co ão unitário); omm- qutro prcl. omo po vrificr m (75), função intgrn é um prouto mtriz funçõ, qu é m gui multiplico por funçõ clr. tnno à crctrític qurtur Gu, é poívl vlir too o lmnto c mtriz m c ponto Gu ó m gui fzr o prouto mtricil, bm como o prouto pl funçõ clr vli tmbém n ponto Gu. Dt moo o prouto mtricii ão fctuo com vlor numérico m vz funçõ, fcilitno im progrmção t lgoritmo m computor. prnt- m gui quênci oprçõ qu têm r fctu pr clculr mtriz rigiz um lmnto finito qurilátro, rcorrno à qurtur Gu com ponto. Do: coorn crtin o nó ( ij ); pur o lmnto finito m c nó ( h i );

121 Eto Plno não - Álvro. M. zvo móulo Young (E - contnt m too o lmnto finito); coficint Poion (ν - contnt m too o lmnto finito). lgoritmo: Inicilizr mtriz com coorn crtin o nó o lmnto finito (65) Inicilizr o vctor h com pur o lmnto finito no nó Inicilizr um tbl com o po ocio c ponto Gu P. Gu W i W j Inicilizr um tbl com coorn c ponto Gu (vr igur 6.7) P. Gu P i P j lculr o lmnto mtriz D, rcorrno () Inicilizr com vlor nulo too o lmnto mtriz rigiz K, cuj imnão é 88 Pr c ponto Gu (, )(P i, P j ): vlir funçõ form i no ponto (P i, P j ), rcorrno (7) lculr pur h no ponto (P i, P j ), rcorrno (8) lculr o lmnto mtriz no ponto (P i, P j ), rcorrno (88) lculr o lmnto mtriz Jcobin ( J ) no ponto (P i, P j ), rcorrno (85) lculr o trminnt mtriz Jcobin ( J ) lculr invr mtriz Jcobin ( J ) lculr mtriz no ponto (P i, P j ), rcorrno ()

122 Eto Plno não - Álvro. M. zvo Eplhr o lmnto mtriz com (96) () n mtriz coro lculr D h J, qu conit num prouto mtriz clr vlio no ponto (P i, P j ) (75), o qul rult um mtriz com imnõ mtriz rigiz K, qu ign por K Multiplicr too o lmnto K plo po W i W j corrponnt o ponto Gu corrnt icionr W i W j K à mtriz rigiz o lmnto finito ( K ). im o ciclo tnio o ponto Gu álculo tnõ formçõ fini Dpoi rolvio o itm quçõ K, comk, rfrnt à totli o gru libr trutur, é poívl clculr o to tnão formção m qulqur ponto qulqur lmnto. pr formulção prmitir o cálculo tnõ tnõ m qulqur ponto, vrific- qu it um muito mior prcião o ponto lcciono coinciirm com o ponto Gu corrponnt à qurtur Gu com ponto [6.]. Et fcto é inpnnt o númro ponto Gu qu foi utilizo no cálculo o componnt K. im, v- procr o guint moo pr clculr formçõ tnõ num ponto um lmnto finito: lccionr o lmnto finito qu vi r lvo o tuo; n lmnto, lccionr o ponto Gu m qu prtn conhcr o to tnão; clculr mtriz no ponto lcciono, cuj coorn ão, () ( ) ±, ± com b no vctor qu contém too o locmnto, trir pr um vctor oito componnt o locmnto o nó o lmnto qu tá r tuo ( ); clculr o vctor formção ( ε ) com prão (9);

123 Eto Plno não - Álvro. M. zvo clculr mtriz ltici ( D ) com prão (); clculr o vctor tnão ( σ ) com prão (); Dpoi obtio o vlor σ ε no ponto Gu (), é poívl fzr u intrpolção ou trpolção pr outro ponto o lmnto, nommnt pr o u nó [6.]. Dt form obtêm rulto mi prcio o qu qul qu obtrim com vlição irct tnõ no ponto prtnio onirçõ fini t cpítulo foi prnto o moo obtr mtriz rigiz um lmnto finito qurilátro gomtri rbitrári, tino à icrtizção to plno tnão. oi prnto com tlh o co o lmnto qutro nó qurtur Gu com ponto. lgun pcto importnt ão io pr outro cpítulo, ti como mblgm mtriz rigiz globl, o nvolvimnto lmnto com mi o qu qutro nó, influênci o númro ponto Gu n quli o rulto, o cálculo cçõ noi quivlnt cçõ concntr, itribui volum, tc. IIOGRI [6.] - zvo,.. M. - Mcânic o Sólio, cul Engnhri Univri o Porto, 996. [6.] - Kryzig, E. - vnc Enginring Mthmtic, Sith Eition, John Wily & Son, Inc., 988. [6.] - Zinkiwicz, O..; ylor, R.. - h init Elmnt Mtho, ourth Eition, McGrw-Hill, 988. [6.] - ook, R. D.; Mlku, D. S.; Plh, M. E.; Witt, R. J. - oncpt n ppliction of init Elmnt nlyi, ourth Eition, John Wily & Son, Inc.,.

124 Eto Plno não - Álvro. M. zvo

125 PÍUO 7 UÇÕES IERPODORS t cpítulo ão crito ivro moo obtnção funçõ intrpolor, tmbém ign funçõ form. São prnto mplo rltivo mio uniimnioni, biimnioni triimnioni. funçõ form obti por procimnto gnérico pom poi r utiliz m itint formulçõ o métoo o lmnto finito Simbologi prnt- m primiro lugr um rumo imbologi opt no âmbito trminção funçõ intrpolor. bl 7. - Simbologi rltiv à trminção funçõ intrpolor. u n h h V oorn crtin oorn crtin um nó um lmnto finito mpo locmnto Dlocmnto nol unção intrpolor ou função form úmro nó o lmnto finito Dimnão o lmnto finito oorn locl (curvilín) Epur o lmnto finito lminr Epur o lmnto finito num nó oorn locl um nó um lmnto finito Vctor funçõ intrpolor ou funçõ form 5

126 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo V c Q p θ Vctor contno o fctor não contnt um polinómio oficint um trmo um polinómio Mtriz cuj colun contêm o vctor V vlio m nó o lmnto finito úmro nó um boro um lmnto finito Dlocmnto um nó um lmnto finito Rotção um nó um lmnto finito 7. - o uniimnionl igur 7. ncontr- rprnto um lmnto finito uniimnionl com qutro nó coloco obr o io. poição c nó é fini pl rpctiv coorn crtin i, no i o númro o nó. u () ( ) ( ) ( ) ( ) ig Elmnto finito uniimnionl gomtri rbitrári. crctrític ncii um função form i ão guint: v umir o vlor unitário pr i ; v nulr- no rtnt nó. É tmbém jávl, no co funçõ polinomii, mntr o gru o polinómio tão bio qunto poívl. bl 7. ncontrm- o vlor qu c função form v umir no nó o lmnto finito. 6

127 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo bl 7. - rctrític funçõ (), (), () (). () () () () É fácil vrificr qu guint funçõ form ão polinómio qu rpitm coniçõ fini n bl 7.. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) () ( )( )( ) ( )( )( ) () ( )( )( ) ( )( )( ) () ( )( )( ) ( )( )( ) () prão gnéric pr o co um lmnto finito uniimnionl com n nó é i ( ) n ( i ) ( k ) ( ) k i k k (5) prão (5) é ign fórmul intrpolção grng [7.], no prõ ()-() o co prticulr (5), quno n. S m (5) conirr n,, obtêm- funçõ form qu form trmin no pítulo pr o co brr oi nó comprimnto. D um moo mlhnt ri poívl vrificr coinciênci 7

128 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo ntr rtnt funçõ form trmin no pítulo qu obtêm com (5) o biimnionl onir- gor o lmnto finito biimnionl com 6 nó rprnto n igur / / 9 / / / / ig Elmnto finito biimnionl com 6 nó. Rltivmnt o lmnto finito 6 nó, prtn- obtr função form 7 (, ). Et função v r unitári no nó 7 v nulr- no rtnt nó. coorn o nó 7 ão (, ) (/, -/). ircção, o nó 7 é o trciro nó. Por io v- utilizr função inic m () conirr,,,. Et função é ign tmguintprão 8

129 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) (6) 7 6 ( ) ( )( )( ) (7) O ínic m têm o ignifico função form uniimnionl corrponnt o nó com ubtituio por. ircção, o nó 7 é o guno nó. Por io v- utilizr função inic m (), conirr, igul form,,,. Et função é ign tmguintprão ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) (8) 7 6 ( ) ( )( )( ) (9) função 7 (, ) é o prouto (7) por (9) ( ) ( ) ( ) () 7, ( ) ( )( )( )( )( )( ) 7, () omo po fcilmnt vrificr, t função form um o vlor unitário no nó 7 nul- no rtnt nó. funçõ form corrponnt o rtnt 5 nó porim r obti um moo iêntico o qu foi qui prnto. igur 7. ncontr-, m prpctiv, o gráfico função 7 (, ). 9

130 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo 7 (, ) ig Gráfico função form 7 (, ). prão () é quivlnt à guint 7 (, ) ()

131 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo O triângulo Pcl corrponnt um função u vriávi é o guint () omprno () com o triângulo Pcl rprnto m (), po obrvr- qu função form 7 (, ) é um polinómio to gru incomplto, m qu form utilizo pn o 6 trmo qu figurm m () Procimnto gnérico pr trminr funçõ form prnt- m gui um procimnto qu prmit trminr funçõ form um lmnto finito com n nó rbitrrimnt itribuío [7.]. poição qu gu bi- num mplo, qu conit num lmnto finito cinco nó poiciono coro com igur 7.. h h (, ) 5 h h h h 5 ig Elmnto finito com cinco nó. coorn o cinco nó o lmnto finito ão, no itm io (, )

132 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo 5 5 () Prtn- fzr intrpolção o cmpo pur h (, ), no utiliz guint prão, m qu i h rprnt pur o lmnto finito no nó i. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5,,,,,, h h h h h h (5) Rcorrno à notção mtricil, qução (5) p [ ] 5 5 h h h h h h (6) ou V h h (7) no 5 h h h h h h (8) 5 V (9)

133 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo no m vit trminção cinco funçõ form polinomii i, é ncário lccionr no triângulo Pcl um númro trmo igul o númro nó o lmnto finito. Por t motivo, o mplo igur 7. rqur colh cinco trmo, qu vm r gru tão bio qunto poívl. o triângulo Pcl trá prnto (), ão im lcciono o guint trmo, qu grupm num vctor igno por V V () lcção fctu, foi prfrênci trmo gru mi lvo m o qu m, vio o fcto o lmnto finito prntr mi nó guno ircção. D coro com lcção trmo fctu, função h (, )virproim com o guint polinómio ( ) 5, c c c c c h () qu m notção mtricil crv [ ] 5 c c c c c h () ou V c h () no

134 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo c c c c () c c 5 o fctur m () ubtituição vriávi pl coorn o nó, prtn- obtr o vlor pur h no nó ( ) h h [ c c c c c5] (5) Procno igul form com o rtnt nó grupno cinco prõ o tipo (5) num únic prão mtricil, tm- [ h h h h h ] [ c c c c c ] (6) ou h c Q (7) no Q (8)

135 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo 5 o co o mplo igur 7. coro com (), o lmnto Q ão Q (9) Um vz qu mtriz Q é qur upõ não ingulr, po- multiplicr, à irit, mbo o mmbro (7) por Q, rultno Q h c () Subtituino o guno mmbro () m () rult V Q h h () Um vz qu ão igui o guno mmbro (7) (), um vz qu o vctor pur ( ) h é rbitrário, conclui- qu V Q V () o co o mplo igur 7., invr mtriz Q (9) é Q () rultno

136 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo 6 V () funçõ form ão ( ) ( ), (5) ( ) ( ), (6) ( ) ( ), (7) ( ), (8) ( ) ( ), 5 (9) Eitm lgun co m qu, vio à loclizção o nó ou vio à incorrct lcção trmo no triângulo Pcl, mtriz Q rult ingulr. t co o procimnto qui crito não po r utilizo Elmnto biimnioni: fmíli grngn rnipity O procimnto crito n Scção 7. ncontr- bm finio, com cpção o fcto r ncário lccionr, m c co, um quo conjunto trmo no triângulo Pcl. o co m qu não it um critério óbvio, é convnint nir vári ltrntiv. D c conjunto trmo o triângulo Pcl vi rultr um itint formulção o lmnto finito, no convnint vrigur qul é qu conuz rulto mi prcio. Pr ituçõ mi comun itm já formulçõ qu conuzm bon rulto, no m gui prnto oi co, qu ão igno lmnto fmíli grngn lmnto fmíli rnipity [7.].

137 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo O lmnto biimnioni fmíli grngn ão qurilátro com p nó, no p o númro nó um boro (vr igur 7.5). p p p ig Elmnto finito biimnioni fmíli grngn. funçõ form o lmnto grngno com p form já prnt n Scção 7.. Quno trminm funçõ form com o procimnto gnérico crito n Scção 7., v- lccionr o trmo o triângulo Pcl com o critério finio n igur 7.6. p 6 5 p 5 5 p 5 6 ig Slcção trmo no triângulo Pcl pr lmnto finito biimnioni fmíli grngn. omo po obrvr n igur 7.6, o critério lcção trmo no triângulo Pcl é fcilmnt tnívl vlor uprior p. 7

138 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo prntm- n igur 7.7 lgun mplo lmnto finito fmíli rnipity. p p p ig Elmnto finito biimnioni fmíli rnipity. O númro nó c lmnto fmíli rnipity é(p - ), no p o númro nó um boro. igur 7.8 ncontr- o critério lcção trmo no triângulo Pcl pr o co lmnto fmíli rnipity. p p p 6 p 5 6 p 5 p p 5 5 p 5 6 p 5 p 6 ig Slcção trmo no triângulo Pcl pr lmnto finito biimnioni fmíli rnipity. 8

139 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo D c vz qu p é incrmnto um uni, ão crcnto qutro nó o lmnto finito (um m c boro) ão lcciono mi qutro trmo no triângulo Pcl. Et critério é tnívl qulqur vlor p. prátic, o lmnto finito qu prntm um bom compromio ntr o númro nó quli o rulto obtio ão o fmíli rnipity, com oito nó (p ). prnt- n igur 7.9 um mplo um t lmnto finito no rfrncil (, ). p ig Elmnto finito 8 nó fmíli rnipity. Quno compro com o qurilátro qutro nó, o lmnto finito rprnto n igur 7.9 tm vntgm r mi prcio ptr bm frontir curvilín. prnt- m gui um mplo um lmnto finito qu prnt mi nó n ircção o qu n ircção (vr igur 7.). 9

140 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo ig Elmnto finito biimnionl com oito nó. no m vit trminção funçõ form o lmnto finito rprnto n igur 7., vm r lcciono o trmo o triângulo Pcl qu ncontrm inlo n igur 7.. ig Slcção trmo no triângulo Pcl pr o lmnto finito biimnionl rprnto n igur 7.. São prfrio trmo gru mi lvo m, porqu o lmnto poui mi nó n ircção o qu n ircção Propri funçõ intrpolor onir- o lmnto finito trê nó rprnto n igur 7..

141 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo u () ( ) ( ) ( ) ig Elmnto finito uniimnionl gomtri rbitrári. Supono qu não é fctu qulqur ubtituição vriávl, intrpolção o cmpo locmnto é fctu guint form ( ) ( ) ( ) ( ) u () mit- gor qu m too o nó é impoto o mmo locmnto. () t co prtn- qu função intrpol u ( ) j um função contnt ( ) m too o ponto o lmnto finito. Subtituino () () m (), rult u () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () n i i ( ) (5) no n o númro nó o lmnto finito. qução (5) contitui um propri qu funçõ form vm pouir. Só im grnt qu um trnlção o lmnto finito é corrctmnt intrpol com qução ().

142 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo É fácil conttr qu too o conjunto funçõ form prnto no pítulo 6 poum propri (5). Outrqutãoqucolocéfinirumprocimntoqugrntqufunçõ intrpolor qu prtn trminr poum propri (5). om t objctivo conir- prão qu fin funçõ intrpolor () V Q V (6) Multiplicno mbo o mmbro (6) por Q obtém- Q V V (7) qu no mplo igur 7. corrpon (vr Scção 7.) (8) omo po vrificr m (8), no triângulo Pcl o lmnto unitário o u vértic for o primiro o trmo lcciono, ntão o primiro lmnto o vctor V é mpr unitário primir linh mtriz Q tm too o lmnto tmbém unitário. primir cinco quçõ qu (8) corrpon é (9) 5 funçõ form trmin com (6) rpitm coniçõ (8) (9). im fic provo qu mpr qu o trmo unitário o triângulo Pcl é lcciono, ntão funçõ form obti poum propri (5) Intrpolção Hrmitin Em to intrpolçõ qu form fctu n cçõ ntrior pn tnu o vlor noi funçõ. intrpolção Hrmitin, qu é crit

143 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo nt cção, ão tmbém conir riv funçõ no nó. Et tipo intrpolção tm intr pr formulção lmnto finito m qu ão conir rotçõ (.g., vig, lj). igur 7. ncontr- um lmnto finito com oi nó comprimnto. função u() corrpon o locmnto vrticl, cujo vlor noi ão.o nó rotção é θ θ, rpctivmnt. θ u () θ ( ) / / ( ) ig Intrpolção Hrmitin num lmnto uniimnionl com oi nó. O locmnto gnrlizo o nó o lmnto finito rprnto n igur 7. ão o guint θ (5) θ D coro com igur 7. ignno u/ por u ( ),tm- u ( ) u ( ) θ u u ( ) u ( ) ( ) u ( ) (5) θ u ( ) u ( ) Um vz qu rotçõ ão muito pqun, upõ-

144 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo tn θ θ (5) Prtn- trminr função u() qu rpit coniçõ (5). om objctivo, mit- qu função u() é o guint polinómio gru ( ) c c c c u (5) qu m notção mtricil corrpon u ( ) [ c ] c c c (5) ou no u ( ) c V (55) c c c (56) c c V (57) Drivno mbo o mmbro (5) obtém- ( ) c c c u (58) qu m notção mtricil corrpon

145 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo 5 ( ) [ ] c c c c u (59) ou ( ) V c u (6) no V (6) Pr qu (5) vrifiqu quno funçõ u u' ão (5) (59), é ncário qu ( ) [ ] c c c c u (6) ( ) [ ] c c c c u (6) ( ) [ ] c c c c u (6) ( ) [ ] c c c c u (65)

146 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo 6 grupno (6)-(65) num únic prão mtricil, rult [ ] [ ] c c c c (66) ou Q c (67) no finio por (5), c finio por (56) Q finio por Q (68) Vrific- im qu colun mtriz Q ão contituí plo vctor V (57) V ' (6) vlio no ponto noi. o co igur 7. tm- 8 8 Q (69) Multiplicno, à irit, mbo o mmbro (67) por Q rult Q c (7)

147 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo 7 mtriz invr (69) é ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 Q (7) Subtituino (7) m (55) obtém- ( ) V Q u (7) intrpolção qu prtn finir v tr guint crctrític ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u (7) qu m notção mtricil corrpon ( ) [ ] u (7) ou ( ) V u (75) no finio por (5) V (76) Um vz qu ão igui o guno mmbro (7) (75), um vz qu o vctor o locmnto noi () é rbitrário, conclui- qu V Q V (77)

148 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo 8 o co o mplo igur 7., funçõ form obtêm- fzno o prouto (7) por (57), rultno ( ) (78) ( ) 8 (79) ( ) (8) ( ) 8 (8) o co prticulr r, funçõ form ão guint ( ) (8) ( ) (8) ( ) (8) ( ) (85) O gráfico funçõ (8)-(85) ncontrm- rprnto n igur 7.

149 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo () () - - () () - - ig Gráfico funçõ i () corrponnt o lmnto oi nó com comprimnto. prnt- m gui o co intrpolção Hrmitin um lmnto trê nó. O lmnto coniro tm comprimnto o nó intrméio cntro (vr igur 7.5). u () θ 6 θ θ 5 ( ) ( ) ( ) ig Intrpolção Hrmitin num lmnto uniimnionl com trê nó. 9

150 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo O vctor o locmnto gnrlizo é 6 5 θ θ θ (86) função u() qu rpit coniçõ inic n igur 7.5 é ( ) c c c c c c u (87) ( ) [ ] c c c c c c u (88) ( ) V c u (89) riv função u()é ( ) c c c c c u (9) ( ) [ ] c c c c c c u (9) ( ) V c u (9)

151 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo mtrizq é nt co guint Q (9) D coro com coorn inic n igur 7.5, tm- 5 5 Q (9) 5 5 Q (95) tnno (77), tm- V Q V (96) (97)

152 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo 5 5 ( ) (98) 5 ( ) (99) ( ) () 5 ( ) () 5 5 () 5 ( ) 5 6 ( ) () O gráfico funçõ (98)-() ncontrm- rprnto n igur onirçõ fini t cpítulo form prnto lgun procimnto tino à trminção funçõ form. Smpr qu o procimnto mi impl não jm plicávi, v- utilizr um o métoo gnérico crito n Scçõ mtoologi crit n Scção 7. po r fcilmnt pt o co triimnioni. t co, no lugr o triângulo Pcl tm- um pirâmi m cujo vértic figur o lmnto unitário, guio um guno nívl m qu figurm vriávi,,tc.

153 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo () () - - () () () 6 () - - ig Gráfico funçõ i () corrponnt o lmnto trê nó com comprimnto. IIOGRI [7.] - ook, R. D.; Mlku, D. S.; Plh, M. E.; Witt, R. J. - oncpt n ppliction of init Elmnt nlyi, ourth Eition, John Wily & Son, Inc.,. [7.] - Zinkiwicz, O..; ylor, R.. - h init Elmnt Mtho, ourth Eition, McGrw-Hill, 988.

154 unçõ Intrpolor - Álvro. M. zvo

155 PÍUO 8 SSEMGEM DE EEMEOS IIOS o pítulo, foi prnto com tlh o co mblgm brr m problm uniimnioni. t cpítulo prnt- um moo ucinto ptção técnic já crit o co o lmnto finito com mi o qu oi nó mi o qu um gru libr por nó [8.] Simbologi prnt- m primiro lugr imbologi opt n crição mblgm lmnto finito. bl 8. - Simbologi rltiv à mblgm lmnto finito. g K K g g oorn crtin Dlocmnto noi, no gru libr trutur, no rfrncil grl Dlocmnto noi, no gru libr o lmnto finito, no rfrncil grl Mtriz rigiz trutur no rfrncil grl Mtriz rigiz o lmnto finito no rfrncil grl orç noi quivlnt à cção trior, no gru libr trutur, no rfrncil grl orç noi quivlnt à cção trior, no gru libr o lmnto finito, no rfrncil grl 5

156 mblgm Elmnto inito - Álvro. M. zvo 8. - mblgm mtriz rigiz globl o vctor olicitção Dpoi clcul mtriz rigiz too o lmnto finito no rfrncil grl ( K g ), é ncário procr o cálculo mtriz rigiz globl trutur ( K ). Um oprção mlhnt tm r fctu com o vctor olicitção o ivro lmnto finito. mblgm mtriz rigiz o ivro lmnto finito n mtriz rigiz globl é m gui prnt com b no mplo igur ig Etrutur contituí por um lmnto nó (), um lmnto nó () um lmnto nó (). trutur rprnt n igur 8. tm i nó ( 6) trê lmnto finito (, ). O lmnto tm qutro nó, o lmnto tm oi nó o lmnto tm trê nó. Em c nó itm oi gru libr. Em corrponênci com o oz gru libr trutur itm oz locmnto noi ( ) oz forç noi quivlnt à cção trior ( ). 6

157 mblgm Elmnto inito - Álvro. M. zvo () D coro com (), n conirçõ qu gum é opt numrção o gru libr. rlção rigiz corrponnt à trutur K () mtrizrigizglobl(k )éummtriz. igur 8., ncontrm- rprnto o lmnto finito qu vão r mblo rpctiv numrção locl (nó gru libr) ig umrçõ loci o lmnto finito nó ().

158 mblgm Elmnto inito - Álvro. M. zvo ig umrçõ loci o lmnto finito nó (). 6 5 ig umrçõ loci o lmnto finito nó (). São guint mtriz rigiz o trê lmnto finito no rfrncil grl Elmnto : K g () Elmnto : K g () 8

159 mblgm Elmnto inito - Álvro. M. zvo : K Elmnto g (5) tnno à numrção globl o gru libr inic n igur 8. ( ), mtriz rigiz o lmnto finito pm r K (6) K (7)

160 mblgm Elmnto inito - Álvro. M. zvo K (8) D coro com o qu foi poto no pítulo, mtriz rigiz globl é om (6), (7) (8), rultno K K K K (9) Em corrponênci com o gru libr inico n igur 8. 8., têm- forç noi quivlnt à cçõ trior obr trutur. im, coro com o qu foi poto no pítulo, ão o guint o vctor olicitção corrponnt c lmnto finito, tnno à numrção globl trutur 5

161 mblgm Elmnto inito - Álvro. M. zvo () O vctor é om t trê vctor () rlção rigiz corrponnt à totli o gru libr, no rfrncil grl, é guint (vr o pítulo ) ( ) ( ) K K K () K ()

162 mblgm Elmnto inito - Álvro. M. zvo Dpoi crcntr () coniçõ poio (vr o pítulo ), é poívl rolvr o itm quçõ linr qu í rult obtr o locmnto guno too o gru libr trutur onirçõ fini t cpítulo foi prnt mblgm mtriz rigiz globl com b no rmznmnto too o u trmo. mtriz rigiz globl prnt um itribuição trmo prticulr, qu, quno vimnt plor, conuz ignifictiv conomi rcuro informático, nommnt rução o númro oprçõ cálculo iminuição qunti mmóri conumi. crctrític mi impl plorr é o fcto mtriz rigiz globl r imétric, vitno- im o cálculo o rmznmnto o trmo o u triângulo infrior, bm como to oprçõ cálculo qu obr l trim r fctu. onirno pn o trmo o triângulo uprior, é in vntjoo tnr o fcto muito trmo rm nulo. O critério lcção técnic rmznmnto o trmo mtriz pn o métoo qu vi r uo pr rolvr o itm quçõ. técnic rmznmnto mi comun ão guint: rmznmnto m mibn lrgur contnt, rmznmnto m mibn lrgur vriávl, rmznmnto m kylin rmznmnto pro [8.]. IIOGRI [8.] - Zinkiwicz, O..; ylor, R.. - h init Elmnt Mtho, ourth Eition, McGrw-Hill, 988. [8.] - ook, R. D.; Mlku, D. S.; Plh, M. E.; Witt, R. J. - oncpt n ppliction of init Elmnt nlyi, ourth Eition, John Wily & Son, Inc.,. 5

163 PÍUO 9 ORÇS ODIS EQUIVEES Quno um lmnto finito ncontr ujito cçõ trior gnéric é ncário procr o cálculo forç noi quivlnt à olicitção trior. Emplo t olicitçõ ão crg concntr num ponto o intrior o lmnto, crg itribuí m boro, crg itribuí m fc forç volum. omç- por prntr formulção gnéric o cálculo forç noi quivlnt, guino- um conjunto mplo ilutrtivo o procimnto qu, m c co, vm optr Simbologi prnt- m primiro lugr um rumo imbologi opt no tuo forç noi quivlnt cçõ trior. bl 9. - Simbologi rltiv à forç noi quivlnt cçõ trior. P S V Q p q b ε oorn crtin Ponto on ctu um crg concntr rco on ctu um crg itribuí por uni comprimnto Suprfíci on ctu um crg itribuí por uni uprfíci Volum on ctu um crg itribuí por uni volum rg concntr rg itribuí por uni comprimnto rg itribuí por uni uprfíci rg itribuí por uni volum Etnão 5

164 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo γ σ τ u Ditorção não norml não tngncil mpo locmnto Dlocmnto nol Mtriz formção D Mtriz ltici ( σ D ε ) E ν K p V nˆ J ρ g Elmnto mtriz ltici (D) Móulo ltici ou móulo Young oficint Poion unção intrpolor ou função form Mtriz rigiz o lmnto finito no rfrncil grl orç noi quivlnt à cção trior, no gru libr o lmnto finito, no rfrncil grl oorn locl (curvilín) oorn crtin um nó um lmnto finito oorn locl um nó um lmnto finito Vlor nol crg itribuí por uni comprimnto Vctor funçõ intrpolor ou funçõ form Mtriz trnformção Vror Jcobino trnformção M pcífic o mtril clrção grvi 5

165 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo h h Epur o lmnto finito lminr Epur o lmnto finito num nó 9. - Eprõ gnéric forç noi quivlnt igur 9. ncontr- rprnto um corpo triimnionl ujito ivro tipo cçõ trior. Q ( ) b( ) p q S S b V P p ( ) q( ) S V V ig orpo ujito ivro tipo cçõ trior. O tipo cçõ inico n igur 9. ão o guint: orç gnrliz Q ( ) concntr no ponto P. componnt Q ( ) ão trê forç trê momnto. cção itribuí por uni comprimnto p ( ). Et crg ctu o longo linh, qu ncontr fini no pço trê imnõ. componnt p ( ) momnto por uni comprimnto. ão trê forç por uni comprimnto trê cção itribuí por uni uprfíci q ( ). Et crg ctu n uprfíci S, qu ncontr fini no pço trê imnõ. componnt q( ) por uni uprfíci. ão trê forç por uni uprfíci trê momnto 55

166 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo orç volum b ( ). Et crg ctu num volum V, qu po r pn um prt o volum totl o corpo. componnt b( ) ão trê forç por uni volum. Em problm tático não ão conir componnt momnto por uni volum. oo o tipo cçõ trá rfrio ão finio como funçõ coorn crtin (, ) (), igur 9. pn foi inico um mplo c tipo crg. plicçõ o ME é hbitul itirm ivro mplr c tipo crg,.g., vári crg concntr m ifrnt ponto o corpo, vári crg itribuí m itint zon, tc. D coro com o qu foi poto no pítulo, o princípio o trblho virtui (PV) tblc qu rblho Intrno rblho Etrno () onirno too o tipo cçõ inico n igur 9. tm- V δ ε σ V Q δ u Q p δ u p q S δ u q S b V δ u b V () poição qu gu, não ão conir rotçõ nm o momnto. im, componnt ivr grnz vctorii qu figurm m () ão ε σ ε σ ε σ ε ; σ () γ τ γ τ γ τ 56

167 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo 57 ; ; ; ; b b b b q q q q p p p p Q Q Q Q u u u u (5) formulção o ME (vr o pítulo 6), o cmpo formçõ é intrpolo prtir o locmnto noi com guint prão ε (6) Quno t qução rfr o locmnto virtui corrponnt formçõ, tmbém virtui, tm- δ ε δ (7) qu é quivlnt δ ε δ (8) o co grl triimnionl m mtrii iotrópico, rlção ntr tnõ formçõ é guint [9.] γ γ γ ε ε ε τ τ τ σ σ σ (9) no ( ) ( )( ) ν ν ν E ( )( ) ν ν ν E ( ) ν E ()

168 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo ou um moo mi compcto σ D ε () mtriz ltici D pn o móulo Young (E) o coficint Poion (ν). Subtituino (6) m () rult σ D () formulção o ME (vr o pítulo 6), conir- qu intrpolção o cmpo locmnto prtir o locmnto noi é fctu com guint prão u () qução () rfri à formção virtul é guint δ u δ () qu é quivlnt δ u δ (5) Subtituino to t quçõ m () p tr- o PV pro por V δ D V Q q δ S δ Q p q S δ b V p δ b V (6) Um vz qu V o locmnto noi não pnm vriávi,, o vctor δ pom pr pr for o intgri 58

169 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo δ V D δ δ V Q q S Q δ p q S δ b p V b V (7) D coro com o PV, qução (7) é vrir pr qulqur conjunto locmnto virtui, concluino- im qu V D Q V Q p p q S q S b V b V (8) omprno t qução com rlção rigiz qu é utiliz no métoo o locmnto K (9) tm-, pr o co grl inico n igur 9. K D V () V Q p q Q p q b b () no forç noi quivlnt c crg guint Q Q () p p () q S q S () b V b V (5) 59

170 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo Ecptuno co prticulr, não congu um prcião citávl quno icrtiz um corpo com um único lmnto finito. Por t motivo, v- conirr qu prõ (8)-(5) rfrm um lmnto finito qu poi proc à hbitul mblgm mtriz rigiz globl o vctor olicitção globl (vr o pítulo 8) orç concntr num ponto intrior O cálculo forç noi quivlnt um cção concntr num ponto intrior o lmnto finito é mplifico com um lmnto qutro nó pr to plno tnão (vr igur 9.). u (, ) Q P Q u (, ) Ponto P Ponto P ( P ), ( P ), P P ig Elmnto finito qutro nó com um forç concntro num ponto intrior. D coro com o gru libr inico n igur 9., ão o guint o vctor o locmnto noi corrponnt forç noi. 6

171 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo 6 ; (6) o ponto P ncontr- plic um forç trior com guint componnt Q Q Q (7) coorn loci o ponto P ão ( ) ( ),, P P P (8) funçõ form o lmnto finito ão guint (vr o pítulo 6) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ),,,, (9) forç noi quivlnt à crg concntr Q ão clcul com prão (), no mtriz contituí pl funçõ form (9) vli no ponto (8). ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) P P P P P P P P () D to t conirçõ rult guint prão pr o cálculo forç noi quivlnt à forç Q

172 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo 6 Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q () prão () é fcilmnt vli qu conhçm coorn loci (, ) o ponto P. ontuo, n gnrli o co prático o ponto P é finio pl u coorn crtin (, ). Et qutão rqur um oprção prliminr, qu conit m clculr coorn loci o ponto P prtir u coorn crtin. Et cálculo é fctuo com b n intrpolção coorn crtin, qu foi prnt no pítulo 6, qu m gui rprouz ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,,,,,,, () Em (), ij rprnt coorn crtin o nó i guno ircção j. Subtituino m () pl coorn crtin o ponto P i pl funçõ form (9), rult um itm u quçõ não linr com u incógnit ( ). ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) P P () qu, um moo mi compcto, po crvr guint form ( ) ( ),, f f ()

173 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo 6 Et itm quçõ não linr v, m grl, r rolvio por um métoo itrtivo (.g., métoo wton). u olução corrpon à coorn loci o ponto P ( ), P P rg itribuí por uni comprimnto igur 9. ncontr- rprnto o lmnto finito oito nó fmíli rnipity, qu, nt co, tin à icrtizção to plno tnão. um o boro it um crg itribuí por uni comprimnto ( ) p. ( ) p ig Elmnto finito oito nó com um crg itribuí por uni comprimnto. funçõ form o lmnto oito nó ão guint ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ),,,,,,,, (5)

174 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo intrpolçõ grnz corrponnt o boro crrgo ão fctu com guint funçõ form, qu obtêm ubtituino por - m (5). ot- in qu m too o ponto o omínio intgrção o intgrl () vriávl um o vlor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6) Et funçõ form coincim com qu form obti no pítulo pr o lmnto uniimnionl trê nó. igur 9. tá rprnto o io tngnt o boro ( ), bm como o io norml o boro ( ). O io tngnt o boro gu numrção locl o nó. O io form com um rfrncil ircto. ( ) p ( ) ( -) p ig oro trê nó com um crg itribuí por uni comprimnto. 6

175 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo crg itribuí p (, ) é compot n u componnt tngncil ( p ) norml ( p ). um náli por lmnto finito ão hbitulmnt conhcio o vlor noi componnt tngncil norml crg itribuí, qu ignm por p ij, i.., vlor crg itribuí no nó i, guno ircção j. o grnz rltiv à crg itribuí ão forç por uni comprimnto rco. intrpolção componnt tngncil norml crg itribuí prtir o corrponnt vlor noi é fctu form hbitul, rcorrno à funçõ form (6) p p ( ) ( ) p ( ) p ( ) ( ) ( ) p ( ) p ( ) p p (7) ou p p p p p p p p (8) p ' p' V (9) Dignno por mtriz trnformção o rfrncil (, ) ( ),,tm- pr o rfrncil p ' p () rlção invr p p' () Subtituino (9) m () chg- p p' V () 65

176 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo primir linh mtriz trnformção utiliz m () é contituí plo vror ˆn gun plo vror ˆn (vrigur9.5). ˆn ˆn ig Rfrncil tngnt o boro. Ovror ˆn obtém- com guint prão n ˆ, () J no J norm o vctor, J () Ovror ˆn é ortogonl ˆn formcom ˆn um rfrncil ircto, no guint u prão n ˆ, (5) J O lmnto mtriz trnformção ão o guint 66

177 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo (6) J O lmnto mtriz ão clculo com b n guint intrpolção coorn um ponto gnérico o rco. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (7) t prão i ão funçõ form oci o nó o rco (6) ij rprnt coorn crtin o nó i guno ircção j. Drivno mbo o mmbro m orm chg- (8) riv m orm funçõ form (6) ão (9) Pr clculr forç noi quivlnt à crg itribuí no boro v- utilizr prão (), qu m gui rprouz p p (5) 67

178 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo Pr fcilitr o rcuro à qurtur Gu (vr o pítulo 5), v r fctu guint munç vriávl p p (5) D coro com igur 9.5, vrific- qu ( ) ( ) (5) tnno (7), tm- (5) Subtituino (5) m (5), chg- (5) omprno (5) com (), conclui- qu J (55) prão(5)pr p p J (56) Subtituino () m (56), obtém- p p' V J (57) Um vz qu m too o omínio intgrção vrific r -, n mtriz vm r utiliz funçõ form (6). 68

179 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo 69 onirno to prõ já uzi, o vctor forç noi quivlnt à crg itribuí inic n igur é o guint ( ) 6 J p p p p p p J p M M (58) qu implific pr p p p p p p p p p p p p M M M (59) o vctor p pn i primir componnt ão não nul, i.., no nó, (vr igur 9.) itm forç noi quivlnt, nqunto qu no rtnt cinco nó contribuição crg itribuí é nul. O intgrl (59) po r clculo rcorrno à qurtur Gu (vr o pítulo 5). oo o componnt função intgrn (59) ão funçõ ou ão contnt vlor conhcio, como é o co mtriz ' p.

180 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo rg itribuí por uni uprfíci O cálculo forç noi quivlnt um crg itribuí por uni uprfíci é fctuo com prão (). Et tipo crg ó tm intr prático m lmnto lj, lmnto cc fc lmnto ólio (brick). O proco cálculo q é mlhnt o prnto n Scção 9., no ncário ptá-lo à crctrític o rfrio lmnto. O omínio intgrção p r um uprfíci rg itribuí por uni volum Et tipo cção é vio à prnç forç volum b ( ). Et forç tão prnt mpr qu o corpo ncontr ujito um clrção. O co mi comum é o clrção grvi qu fin o guint moo b ρ g (6) t prão, ρ é m pcífic o mtril g é clrção grvi. o co mi comum, i.., upono qu o io é vrticl orinto pr cim, qu clrção grvi ctu guno é ngtiv qu utilizm uni o Sitm Intrncionl ( SI ), tm- b b ρ b 9.8 (6) Em (6), clrção grvi foi conir igul 9.8 m. uni b ρ vm r guint: b i m /m ρ m kg / m,ou b i m k / m ρ m t/m,ou b i m M / m ρ m kt/m. o finir o po próprio t moo, é fcilit u combinção com outr componnt clrção g. 7

181 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo S únic forç volum for vi o po próprio, ntão po- tribuir ρ o vlor o po pcífico o mtril conirr g (,, ). Dt moo fic fcilit prprção o o um náli por lmnto finito m qu é utilizo um itm uni itinto o SI. forç noi quivlnt à forç volum ão clcul com prão (5), qu m gui rprouz b V b V (6) igur 9.6 ncontr- rprnto um lmnto finito qutro nó tino à icrtizção to plno tnão. u (, ) b V S V u (, ) h(, ) ig Elmnto finito qutro nó ujito forç volum. o lmnto rprnto n igur 9.6 ctum forç volum b ( ), cuj componnt ão b b (6) b o co o to plno tnão, o intgrl (6) p b S b h S (6) 7

182 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo 7 t prão, h corrpon à pur o lmnto finito, qu po vntulmnt r não contnt. u intrpolção prtir pur no nó ( ) i h é fctu com guint prão (vr o pítulo 6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,, h h h h h (65) D um moo mlhnt o qu foi fctuo no pítulo 6 pr mtriz rigiz, v r fctu m (6) guint munç vriávl J h b b (66) t prão, J é o trminnt Jcobino finio no pítulo 6. Um vz qu é mtriz qu rlcion o locmnto noi com o cmpo locmnto ( ) u (vr o pítulo 6), chg- à guint prão finl J h b b b b b b b b b b (67) t prão, o componnt função intgrn ão funçõ,ouão contnt. O intgrl (67) po r clculo rcorrno à qurtur Gu (vr o pítulo 5) onirçõ fini uçõ rltiv co prticulr, qu form prnt nt cpítulo, pom r fcilmnt pt outro co, ti como lmnto finito com mi nó, outro tipo lmnto finito, mio com rotçõ momnto, tc.

183 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo IIOGRI [9.] - zvo,.. M. - Mcânic o Sólio, cul Engnhri Univri o Porto, 996. [9.] - Hinton, E.; Own, D. R. - init Elmnt Progrmming, cmic Pr, 98. [9.] - Kryzig, E. - vnc Enginring Mthmtic, Sith Eition, John Wily & Son, Inc., 988. [9.] - ook, R. D.; Mlku, D. S.; Plh, M. E.; Witt, R. J. - oncpt n ppliction of init Elmnt nlyi, ourth Eition, John Wily & Son, Inc.,. 7

184 orç oi Equivlnt - Álvro. M. zvo 7

185 PÍUO SÓIDOS, ESDO PO DE DEORMÇÃO E XISSIMERI t cpítulo ão crit lgum prticulri o lmnto ólio triimnioni, o to plno formção o to iimétrico. Prupõ- qu já é conhci com tlh formulção crit no pítulo Simbologi prnt- m primiro lugr um rumo imbologi opt nt cpítulo. bl. - Simbologi rltiv o métoo o lmnto finito. m úmro ircçõ conir (no co triimnionl: m ) n úmro nó o lmnto finito p úmro gru libr o lmnto finito (p n m) u K V oorn crtin mpo locmnto Dlocmnto nol orç noi quivlnt à cção trior, no gru libr o lmnto finito, no rfrncil grl Mtriz rigiz o lmnto finito no rfrncil grl oorn crtin um nó um lmnto finito oorn locl (curvilín) oorn locl um nó um lmnto finito unção intrpolor ou função form Vctor contno o fctor não contnt um polinómio 75

186 Sólio, Eto Plno Dformção iimtri - Álvro. M. zvo V Vctor funçõ intrpolor ou funçõ form Mtriz formção D Mtriz ltici ( σ D ε ) V J ε γ σ τ E ν q h Q p θ P S Volum Jcobino trnformção Etnão Ditorção não norml não tngncil Elmnto mtriz ltici (D) Móulo ltici ou móulo Young oficint Poion úmro componnt o vctor ε o vctor σ Opror ifrncil Epur o lmnto finito lminr rg concntr rg itribuí por uni comprimnto Ângulo; ircção circunfrncil Prímtro Suprfíci. - Elmnto ólio triimnioni (brick) o nvolvimnto lmnto ólio o tipo brick é conir um formulção gnéric com trê gru libr o tipo locmnto. poição qui prnt bi- num lmnto finito ólio com oito nó (vr igur.). O númro gru libr t lmnto é p 8. 76

187 Sólio, Eto Plno Dformção iimtri - Álvro. M. zvo u (,, ) u (,, ) u (,, ) ig.. - Elmnto finito ólio oito nó com gomtri rbitrári. O vctor o locmnto noi forç noi quivlnt à cçõ trior ão o guint. M ( p ) ( p ) M () mtriz rigiz o lmnto ( K )éummtrizp p. o rfrncil grl, mtriz coorn crtin o nó o lmnto é guint ( n m) M 8 M 8 M 8 () 77

188 Sólio, Eto Plno Dformção iimtri - Álvro. M. zvo 78 Plo motivo rfrio no pítulo 6, é convnint fzr guint ubtituição vriávi ( ) ( ) ( ),,,,,, () igur. ncontr- inico o itm coorn loci, bm como o novo omínio intgrção ], [ ], [ ], [ ig.. - Sitm coorn loci. O vlor noi coorn, ão o guint ( ) m n () Um vz qu o lmnto é fmíli grngn, funçõ form ão

189 Sólio, Eto Plno Dformção iimtri - Álvro. M. zvo 79 ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) 8,, 8,, 8,, 8,, 8,, 8,, 8,, 8,, (5) o co trminção funçõ form com o procimnto gnérico crito no pítulo 7, é ncário lccionr oito trmo n pirâmi Pcl qu ncontr rprnt n igur.. ig.. - Pirâmi Pcl. O trmo lcciono ão grupo no vctor V, qu é, nt co, o guint ( ),,,,,,, V (6) ot: o trmo trciro gru não ncontr rprnto n igur.. O procimnto pr trminção funçõ form é mlhnt o qu foi crito no pítulo 7. intrpolção coorn crtin é fctu com guint prão

190 Sólio, Eto Plno Dformção iimtri - Álvro. M. zvo M (7) qu corrpon ( ) ( ) ( ) n V n m m (8) D coro com o qu foi prnto no pítulo 9, mtriz rigiz o lmnto finito é clcul com prão gnéric V V D K (9) pó ubtituição vriávi () p tr- J D K () o co triimnionl mtriz Jcobin J é guint J () o trminnt Jcobino é J J () o co o mtrii iotrópico, é guint rlção ntr tnõ formçõ [.]

191 Sólio, Eto Plno Dformção iimtri - Álvro. M. zvo 8 γ γ γ ε ε ε τ τ τ σ σ σ () no ( ) ( )( ) ν ν ν E ( )( ) ν ν ν E ( ) ν E () Em () o númro componnt σ ε (q) é 6, pono crvr- um moo mi compcto ( ) ( ) ( ) q q q q D ε σ (5) mtriz ltici D pn o móulo Young (E) o coficint Poion (ν). mtriz Jcobin obtém- com guint prão, qu rult rivção (7) m orm, M M M (6) D um moo mi compcto, tm-

192 Sólio, Eto Plno Dformção iimtri - Álvro. M. zvo 8 ( ) ( ) ( ) m n n m m m J (7) O lmnto mtriz ão riv (5) m orm,. o co grl triimnionl, rlção ntr o cmpo o locmnto o cmpo formçõ é [.] u u u γ γ γ ε ε ε (8) ou, moo mi compcto ( ) ( ) ( ) m m q q u ε (9) intrpolção o cmpo locmnto é fctu com u u u M () ou

193 Sólio, Eto Plno Dformção iimtri - Álvro. M. zvo 8 ( ) ( ) ( ) p p m m u () Subtituino () m (9), chg- ( ) ( ) ( ) ( ) p p m m q q ε () no ( ) ( ) ( ) p m m q p q () () (5) O lmnto mtriz obtêm- com guint prão, qu é um gnrlizção o qu foi poto no pítulo 6

194 Sólio, Eto Plno Dformção iimtri - Álvro. M. zvo M M M M M M (6) Em notção mtricil tm- ( ) ( ) ( ) m m m n m n J (7) Um vz qu too o componnt função intgrn () ncontrm finio m função,, já é poívl clculr o intgrl triplo rcorrno à qurtur Gu crit no pítulo 5. O lgoritmo cálculo mtriz rigiz o lmnto ólio triimnionl é mlhnt o qu foi prnto no pítulo 6, no pn ncário rmovr to oprçõ rltiv à pur o lmnto ptr imnõ mtriz nvolvi no cálculo. O cálculo tnõ formçõ no lmnto finito ão tmbém fctu coro com o qu foi poto no pítulo 6, qu fctum ncári ptçõ o co triimnionl.. - Eto plno formção crctrític um to plno formção ncontrm- crit m [.]. igur. tá rprnto um corpo primático, cção contnt io guno.

195 Sólio, Eto Plno Dformção iimtri - Álvro. M. zvo 85 Plno méio / / h O ig.. - Eto plno formção. D coro com hipót conir pr o to plno formção, ão fctu guint implificçõ ( ) γ ε ε γ γ γ ε ε ε ε q (8) tnno () tm- γ ε ε τ τ τ σ σ σ (9) O prâmtro, ncontrm- finio m ().

196 Sólio, Eto Plno Dformção iimtri - Álvro. M. zvo qução (9) implific- guint form σ σ τ ε ε γ () no tnão norml σ por ( ε ) σ () ε tnõ tngncii τ τ ão nul. Em [.] ncontr- rlção invr (), cuj trcir qução é ν ν ε σ σ σ () E E E omo no to plno formção ε, rult ( σ ) σ () ν σ Um vz qu upõ qu o cmpo tnõ formçõ não vrim com,é uficint tur o comportmnto um troço comprimnto unitário, cujo plno méio p pl origm é prpniculr (vr igur.). t circuntânci, pn é ncário icrtizr com lmnto finito cção trnvrl qu é prpniculr qu p pl origm (vr igur.5). 86

197 Sólio, Eto Plno Dformção iimtri - Álvro. M. zvo u (, ) Q u (, ) p h ig..5 - Elmnto finito pr to plno formção. formulção um lmnto finito pr to plno formção coinci com qu foi prnt no pítulo 6, com cpção o guint: m to prõ v r coniro h ; rlção contitutiv σ D ε p r qução (), no o lmnto mtriz D finio m (); forçq qu ctu no corpo (vr igur.5) p r um forç por uni comprimnto guno ; forç por uni comprimnto p qu ctu no corpo (vr igur.5) p r um forç por uni uprfíci.. - Eto iimétrico igur.6 ncontr- rprnt um cção trnvrl qu, o r ro m torno, gr um ólio rvolução qu corrpon um rrvtório iimétrico. cção trnvrl tá icrtiz m lmnto finito qurilátro contio no plno (, ). 87

198 Sólio, Eto Plno Dformção iimtri - Álvro. M. zvo Eio iimtri u u θ u θ ig..6 - Rrvtório iimétrico. S, lém gomtri, for tmbém iimétric itribuição o mtril qu contitui o rrvtório, bm como crctrític cçõ trior, vrific- qu o comportmnto é tmbém iimétrico. Dvio o fcto cçõ iimétric rm, n gnrli o co, nturz grvític, mit- qu o io iimtri ( ) é mpr vrticl. O io, bm como o componnt guno to grnz, rcbm ignção rii. O componnt u θ o cmpo locmnto ign- locmnto circunfrncil. formção circunfrncil ε θ corrpon o quocint ntr vrição o prímtro um fibr o prímtro originl (vr igur.7). ' u ig..7 - Dfinição formção circunfrncil. 88

199 Sólio, Eto Plno Dformção iimtri - Álvro. M. zvo 89 O prímtro inicil circunfrênci qu p plo ponto é P π () O prímtro circunfrênci pó formção é ( ) u P π (5) formção circunfrncil é P P P θ ε (6) Subtituino () (5) m (6) rult u u π π π π ε θ (7) o co um ponto gnérico tm- u θ ε (8) Por não corrponrm um formção iimétric, ão nul itorçõ γ θ γ θ (vr igur.6). t circuntânci o vctor ε é o guint u u u u u γ ε ε ε θ (9)

200 Sólio, Eto Plno Dformção iimtri - Álvro. M. zvo 9 D um moo nálogo o qu foi poto no pítulo 6, tm- u u γ ε ε ε θ () qu, um moo mi compcto, corrpon u ε () t circuntânci, rlção contitutiv é γ ε ε ε τ σ σ σ θ θ () O prâmtro, ncontrm- finio m (). igur.8 tão rprnto o componnt não nulo o tnor tnõ m problm iimétrico. o cálculo mtriz rigiz K v r coniro o guint (vr o pítulo 9) V V D K () ( ) S S D K π () t prão, π é o prímtro fibr corrponnt o ponto bci.

201 Sólio, Eto Plno Dformção iimtri - Álvro. M. zvo σ τ τ σ θ σ γ θ γ θ τ θ τ θ ig..8 - omponnt não nulo o tnor tnõ m problm iimétrico. pó munç vriávl, tm- K D ( ) π J (5) Um vz qu prtn qu too o componnt função intgrn (5) jm funçõ, v- clculr com guint prão (, ) (, ) n ( ) n (6), m qu n é o númro nó o lmnto finito. mtriz o trminnt Jcobino J ão clculo tl como foi poto no pítulo 6, upono qu o lmnto finito o problm iimétrico itum no plno (, ) (vr igur.6). O intgrl uplo (5) po r clculo rcorrno à qurtur Gu (vr o pítulo 5). O intgri corrponnt o cálculo forç noi quivlnt à cçõ trior têm r pto o co iimétrico um moo mlhnt o qu foi prnto pr mtriz rigiz K. 9

202 Sólio, Eto Plno Dformção iimtri - Álvro. M. zvo Em problm iimétrico, o poio, ntmnto poio crg concntr m nó tão prnt num linh qu obtém por rotção o corrponnt ponto m torno (vr igur.6)..5 - onirçõ fini t cpítulo, crição formulçõ foi fctu um moo mi ucinto, um vz qu upunh um bom conhcimnto formulção o to plno tnão pot no pítulo 6. O lmnto ólio triimnioni (brick) ão o qu, prntmnt, prmitm molr qulqur gomtri. o ntnto, prntm o inconvnint ncitrm um prprção o o mi trblho, rqurrm um mior forço computcionl prntrm mior ificul n intrprtção o rulto. O to plno formção urgm tipicmnt m problm gotécnico (.g., muro uport, brrgn grvi, túni). O to iimétrico prntm o inconvnint ncitrm um cção iimétric, qu, n prátic, nm mpr ocorr. Pr ultrpr t limitção, m [.] é nvolvi um formulção corrponnt ólio rvolução com cçõ não iimétric. ontuo, o u lvo gru ificul contitui um ntrv um plicção gnrliz. IIOGRI [.] - zvo,.. M. - Mcânic o Sólio, cul Engnhri Univri o Porto, 996. [.] - ook, R. D.; Mlku, D. S.; Plh, M. E.; Witt, R. J. - oncpt n ppliction of init Elmnt nlyi, ourth Eition, John Wily & Son, Inc.,. [.] - Zinkiwicz, O..; ylor, R.. - h init Elmnt Mtho, ourth Eition, McGrw-Hill,

203 PÍUO EXÃO DE VIGS ntcno prntção formulção ivro tipo lmnto vig, fctu- m gui um rvião o funmnto flão vig. pn ão conir formçõ vi à tnõ normi.. - Simbologi prnt- m primiro lugr um rumo imbologi opt n formulção flão vig. bl. - Simbologi rltiv à flão vig. g l i j u θ G ε σ E S Rfrncil grl Rfrncil locl Primiro nó um brr Sguno nó um brr oorn crtin mpo locmnto Ângulo ntro grvi Etnão não norml Móulo ltici ou móulo Young Suprfíci Eforço il 9

204 lão Vig - Álvro. M. zvo M k I Momnto flctor urvtur Ár cção trnvrl brr primátic Momnto inérci cção trnvrl brr primátic. - lão compot pln onir- um brr primátic io rctilíno cção vriávl, rprnt n igur. conjuntmnt com o rfrncii grl ( g ) locl ( l ). g l l l i j g g i < j ig.. - rr ij, rfrncil grl g rfrncil locl l. Oiol o rfrncil locl coinci com o io brr tá orinto o nó i pr onój, corrponno i j à numrção globl o nó mlh. O io l l ão o io principi cntri inérci cção trnvrl. pr cção r vriávl, conir- qu loclizção t io é contnt o longo brr. trnformção o locmnto gnrlizo forç gnrliz ntr o rfrncii l g ncontr- crit no pítulo. o tuo qu gu, pn é coniro o rfrncil l, qu p r igno por. Supõ- tmbém qu to cçõ tão conti no plno (, ), no o 9

205 lão Vig - Álvro. M. zvo locmnto guno coniro nulo. igur. tá rprnto o io brr informo formo, pr o co flão pln. Encontr- tmbém rprnt cção trnvrl brr, cujo io principi cntri inérci ão. u θ G u ( ) u ig.. - rr form cção trnvrl. Um vz qu o locmnto ão muito pquno, conir- tn θ θ () no θ o ângulo rotção o io brr. função u (vr igur.) corrpon o locmnto o io brr, qu pn pn. D coro com () com qução form, qu ncontr rprnt n igur., tm- ( ) u θ () igur. ncontrm- rprnto o locmnto trê ponto um cção trnvrl (, O ). 95

206 lão Vig - Álvro. M. zvo u u ( ) θ ' ' O ' θ O' O O' u O ( ) u (, ) ' u ig.. - rr form locmnto cção trnvrl. mit- qu um cção pln mntém pln pó formção. mit- tmbém qu um cção prpniculr o io brr mntém t crctrític pó formção. O ponto O prnt coorn nul guno. O locmnto o ponto O guno é igno u O pn pn. O locmnto um ponto gnérico cção trnvrl guno pn é finio pl guint prão ( ) u ( ) ( ) u O θ (), ou u uo θ () tnão guno épor ε u ( u θ ) O u O θ (5) tnãoε é poitiv quno it um longmnto. Subtituino () m (5) obtém- u O u ε (6) 96

207 lão Vig - Álvro. M. zvo Um vz qu conirm muito pqun imnõ cção trnvrl m comprção com o comprimnto brr, po- przr o fito tnõ normi σ σ, ficno li Hook ruzi ε σ / E,ou σ uo θ E E E ε (7) no E o móulo Young, qu é mpr poitivo [.]. um vlor poitivo tnão σ corrpon um trcção. Subtituino () m (7) rult u u σ E O E (8) rultnt tnõ normi n cção trnvrl é (vr igur.) S u O θ σ S E E S (9) S no S ár cção trnvrl (vr igur.). D um moo mlhnt fin o momnto flctor como no u O θ σ S E E S () S M S onir- qu um momnto flctor é poitivo quno provoc trcçõ n fibr qu têm coorn poitiv (vr igur.). 97

208 lão Vig - Álvro. M. zvo urvtur (k) poitiv Momnto flctor poitivo M Eforço il poitivo ig.. - Dfinição o forço il o momnto flctor. Supono qu o móulo Young ( E ) é contnt m too o ponto brr pno pr for o intgrl tuo o qu não pn nm, rult (9) () uo θ E S E S S S () M E u O θ S E S S S () Um vz qu o io ão principi cntri inérci, o guint momnto tático é nulo S S () ár o momnto inérci m rlção prõ (vr igur.) ão finio com guint S S () I S S (5) 98

209 lão Vig - Álvro. M. zvo É im poívl implificr () () pr u E O (6) M θ E I (7) Dignno tnão corrponnt o io brr por ε o,tm- u O ε o (8) E ε (9) o qu corrpon à prão cláic rltiv à trcção brr [.]. Subtituino () m (7) tm- u M E I () Dignno por k curvtur brr u k () rult M E I k () ou k M () E I qu corrpon um prõ cláic flão vig [.]. igur., too o ponto linh qu rprnt o io brr form prntm orn poitiv (u > ), primir riv poitiv ( u ) > 99

210 lão Vig - Álvro. M. zvo gun riv tmbém poitiv ( u > ). tnno à finição o ntio poitivo o momnto flctor (vr igur.), vrific- qu um momnto flctor poitivo provoc um curvtur ngtiv. Et qutão ncontr- pr n qução (), m qu E I ão mpr poitivo. prõ (6) (7) ão quivlnt à guint u o E () θ M E I (5) Subtituino () (5) m (7), tm- M σ E E (6) E E I rultno M σ (7) I qu corrpon à prão cláic flão compot [.].. - onirçõ fini formulção prnt nt cpítulo prnt vntgm r fcilmnt tni problm m qu o io não ão principi cntri inérci. prnt tmbém vntgm rcorrr um conjunto convnçõ cornt com o qu é hbitul conirr no métoo o lmnto finito. ic im fcilit formulção lmnto finito vig, bm como u combinção com outro tipo lmnto.

211 lão Vig - Álvro. M. zvo IIOGRI [.] - zvo,.. M. - Mcânic o Sólio, cul Engnhri Univri o Porto, 996. [.] - Monnt,. - Réitnc Mtériu, Duno, Pri, 968.

212 lão Vig - Álvro. M. zvo

213 PÍUO VIG DE EUER-EROUI Dign- por Eulr-rnoulli formulção o lmnto finito vig m qu conir qu cçõ mntêm pln normi o io brr pó formção. Dt moo não é conir formção vi o cort.. - Simbologi prnt- m primiro lugr um rumo imbologi opt n formulção o lmnto vig Eulr-rnoulli. bl. - Simbologi rltiv o lmnto vig Eulr-rnoulli. u θ ε σ E p omprimnto brr primátic oorn crtin mpo locmnto Dlocmnto gnrlizo nol Dlocmnto nol Rotção nol oorn crtin um nó um lmnto finito unção intrpolor ou função form Dformção Mtriz formção não norml Móulo ltici ou móulo Young cção trior itribuí por uni comprimnto

214 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo V S I K M J orç noi quivlnt à cção trior, no gru libr o lmnto finito, no rfrncil locl Volum Suprfíci Momnto inérci cção trnvrl brr primátic Mtriz rigiz o lmnto finito no rfrncil locl Momnto flctor oorn locl oorn locl um nó um lmnto finito Jcobino trnformção (J / ). - Vig oi nó m ubtituição vriávl igur. ncontr- rprnto um lmnto vig com oi nó com comprimnto (vr o pítulo 7 ). u ( ) θ θ ( ) / / ( ) ig.. - Elmnto vig com oi nó. O locmnto gnrlizo o nó o lmnto finito rprnto n igur. ão o guint

215 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo 5 θ θ () D coro com o qu foi poto no pítulo, o locmnto ltrl é u ( ). coorn crtin ij corrpon o nó i rfr- o io j. intrpolção o cmpo locmnto é fctu com guint prão (vr o pítulo 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u () qu m notção mtricil crv ( ) [ ] u () ou u () no [ ] (5) funçõ form ão corrponnt à intrpolção Hrmitin têm guint prõ (vr o pítulo 7) ( ) (6) ( ) 8 (7)

216 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo 6 ( ) (8) ( ) 8 (9) onirno pn o locmnto ltri u ( ), i.., conirno contnt componnt u O o cmpo locmnto, tm-, coro com o qu foi poto no pítulo u ε () Dignno por ε guint componnt prão () u ε () ptr- ε ε () Subtituino () m () chg- ε () Dfinino mtriz guint form () p crvr- ε (5)

217 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo Subtituino (5) m () obtém- ε (6) tnno à funçõ form (6) (9), ão o guint o componnt mtriz 6 6 (7) mbém coro com o qu foi poto no pítulo, tm- σ E (8) ε, tnno (6), σ (9) E onir- qu n vig igur. ctu crg uniformmnt itribuí rprnt n igur. p / / ig.. - rg uniformmnt itribuí rpctiv forç noi quivlnt. forç noi quivlnt à cção trior ncontrm- tmbém rprnt n igur. prntm o mmo ntio poitivo qu form coniro pr o locmnto gnrlizo i. O princípio o trblho virtui (PV), qu foi prnto no pítulo, corrpon o guint 7

218 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo ε σ V δ u V δ p () o co vig rprnt n igur.. qução () p S δ ε σ S δ u p () t qução, S é uprfíci corrponnt à cção trnvrl brr (vr o pítulo ) S () qução (6) rfri à formção virtul é guint δ ε δ () qu é quivlnt δ δ ε () qução () rfri à formção virtul é guint δ u δ (5) qu é quivlnt δ u δ (6) Subtituino to t quçõ m () p tr- o PV pro por S δ E S δ p (7) Pno pr for c intgrl tuo o qu não pn rpctiv vriávl chg- 8

219 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo 9 S p S E δ δ (8) t prão conir- qu o móulo Young E é contnt ntro cção trnvrl vriávl o longo o io brr. O momnto inérci m rlção o io é finio guint form, no igno por I S S I (9) D coro com o PV, qução (8) é vrir pr qulqur conjunto locmnto virtui, concluino- im qu p E I () mtriz rigiz o lmnto vig é E I K () o vctor olicitção é p () Supono o móulo Young o momnto inérci contnt m to brr, prão mtriz rigiz p E I K () Subtituino m () prão (7), tm-

220 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo E I K () Dpoi fctur o cálculo o intgri prnt m () chg- E I K (5) Et mtriz coinci com qu obtém plo métoo cláico tori trutur rticul [.]. Subtituino (5) m () conirno funçõ form (6)-(9), obtém- 8 8 p (6) Dpoi fctur o cálculo o intgri prnt m (6) chg- p (7) qu tmbém corrpon o qu obtém por métoo cláico [.].

221 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo o pítulo ncontr- uzi guint prão pr o cálculo o momnto flctor n vig, quno o móulo Young é contnt u M E I (8) tnno (), (5) (8), conclui- qu o momnto flctor po r obtio com M E I (9) mtriz é vli no ponto m qu prtn clculr o momnto flctor. Dv- notr qu, m grl, t prão não fornc vlor pr o momnto flctor coincint com o tori cláic, porqu quno o locmnto ão nulo o momnto flctor clculo com (9) é nulo m to brr, no im ignor contribuição crg qu ctum no u intrior (.g., crg itribuí p). Et qutão obrig qu j fctu um icrtizção c brr um pórtico m vário lmnto finito (vr igur.). ig.. - Emplo: icrtizção brr um pórtico m lmnto finito. O procimnto qui prnto pr o cálculo mtriz rigiz o vctor olicitção prnt vntgm r mi fcilmnt tnio outr ituçõ mi lbor (.g., lmnto finito com mi o qu oi nó, brr cção vriávl, brr não rctilín).

222 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo. - Vig trê nó m ubtituição vriávl formulção mtriz rigiz vctor olicitção vig trê nó é fctu um moo mlhnt o qu foi poto n Scção.. únic ifrnç ão o umnto imnão too o vctor mtriz nvolvio o rcuro à prõ intrpolção Hrmitin com trê nó (vr o pítulo 7).. - Vig oi nó com ubtituição vriávl Quno é utiliz intrpolção Hrmitin fz um ubtituição vriávl, urgm lgum qutõ qu ão prnt com b no mplo igur.. u ( ) θ θ ( ) ( ) / / θ u () θ ( ) ( ) ig.. - Subtituição vriávl num lmnto vig com oi nó. trnformção ntr coorn coorn é, nt co impl, fctu com guint prão

223 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo () O vctor o locmnto gnrlizo n vig rl é θ θ () no u θ () pó ubtituição vriávl tnno à coorn locl,tm- θ θ () no u θ () riv m orm função u ( ()) é, pl rgr ci u u (5) D coro com (), tm- nt co (6) Dignno por J guint riv

224 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo J (7) tm- J u u (8), tnno () () J θ θ (9) o nó, tm- J J θ θ θ θ (5) Subtituino (5) m (), obtém- J J θ θ (5) tnno (), chg- J J (5) intrpolção o cmpo locmnto po r fctu com b n coorn, no utiliz guint prão (vr igur.) () () () () () u (5)

225 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo 5 funçõ form i ão fini com guint prõ, qu corrponm à intrpolção Hrmitin num vig com comprimnto (vr o pítulo 7) () (5) () (55) () (56) () (57) Subtituino (5) m (5) chg- () () () () () J J u (58) Um vz qu prtn qu intrpolção u j fctu guint form () () () () () [ ] u (59) ou () u (6) conclui- qu [ ] [ ] J J (6) no () () (6)

226 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo 6 () () J J (6) () () (6) () () J J (65) tnno à quçõ ()-(), it nci clculr guint mtriz (66) Pr clculr riv i m orm, quno pn conhcm funçõ i () (6)-(65), v- rcorrr à rgr ci i i (67) tnno (7), fic J i i (68) Drivno outr vz m orm conirno novo rgr ci tm- i i (69) onirno (7) (68) chg- J J i i (7) Um vz qu J é contnt, tm-

227 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo 7 J i i (7) qu é quivlnt J i i (7) Drivno u vz funçõ form (6)-(65) m orm,tm- (7) J (7) (75) J (76) Et prõ ão ubtituí m (7), obtno- im gun riv i m orm J (77) J (78) J (79) J (8) tnno (7), tm-

228 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo 8 6 (8) (8) 6 (8) (8) D coro com (66), ão o guint o lmnto mtriz m função vriávl 6 6 (85) D coro com (), i.., upono o móulo Young cção contnt, tm- guint prão pr mtriz rigiz o lmnto finito vig no rfrncil locl E I K (86) pó ubtituição vriávl pl vriávl, (86) p E I K (87) tnno (7) (85) tm E I K (88)

229 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo 9 ot- qu too o lmnto mtriz qu contitui função intgrn ão funçõ. O comprimnto brr () é um prâmtro fio. pó o cálculo o intgri obtém- guint mtriz E I K (89) onirno crg uniformmnt itribuí rprnt n igur., tm- o guint vctor olicitção, qu é clculo com prão (). p (9) pó ubtituição vriávl pl vriávl, (9) p p (9) tnno (7) à funçõ form (6)-(65), tm- p (9) Do cálculo t intgri rult

230 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo p (9) prõ (89) (9) coincim com qu obtêm rcorrno à tori cláic flão vig [.]. formulção qui prnt poui contuo vntgm r tnívl co mi gnérico, ti como vig curv vig cção vriávl, m qu po r vntjo utilizção funçõ intrpolção gru mi lvo, conquntmnt, o rcuro lmnto finito com mi o qu oi nó. O cálculo o momnto flctor num ponto finio pl coorn é fctuo com prão (9), no mtriz clcul com (85). coniçõ o lmnto trá crito, é poívl montrr qu o vlor mi corrcto o cmpo momnto flctor ncontrm no ponto cuj coorn é ± (9) S prtnr conhcr o vlor o cmpo momnto noutro ponto, é m grl mi vntjoo fctur um trpolção ou intrpolção impl prtir o ponto (9). O cmpo forço trnvro po r obtio por rivção o cmpo momnto m orm..5 - onirçõ fini formulção vig Eulr-rnoulli, qui prnt, não é mi nvolvi porqu, n prátic, é prfrívl utilizr um formulção qu ntr m linh cont com formção por forço trnvro. Et formulção é prnt no pítulo.

231 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo IIOGRI [.] - orri rújo,. - álculo Mtricil Etrutur ontínu plo Métoo o Dlocmnto, Rvit "Engnhri", Publicção o luno EUP, no XIX, úmro, ovmbro/dzmbro, 965/66. [.] - Hinton, E.; Own, D. R. J. - n Introuction to init Elmnt omputtion, Pinrig Pr, Swn, U.K., 979. [.] - Hugh,. J. R. - h init Elmnt Mtho - inr Sttic n Dynmic init Elmnt nlyi, Prntic-Hll, Inc., 987.

232 Vig Eulr-rnoulli - Álvro. M. zvo

233 PÍUO VIG DE IMOSHEKO formulção o lmnto vig imohnko [.] é coniro qu cçõ pln mntêm pln. ontuo, upõ- qu um cção norml o io vig não mntém crctrític pó formção. Dt moo é poívl conirr formção vi o cort.. - Simbologi prnt- m primiro lugr um rumo imbologi opt n formulção o lmnto vig imohnko. bl. - Simbologi rltiv o lmnto vig imohnko. u θ J G omprimnto brr primátic oorn crtin mpo locmnto Dlocmnto gnrlizo nol Dlocmnto nol Rotção nol oorn crtin um nó um lmnto finito oorn locl oorn locl um nó um lmnto finito Jcobino trnformção (J / ) unção intrpolor ou função form ntro grvi

234 Vig imohnko - Álvro. M. zvo φ ε b σ E γ τ G W V S I * α K M V Rotção corrponnt à formção por forço trnvro Etnão Mtriz formção rltiv o trmo flão (bning) não norml Móulo ltici ou móulo Young Ditorção Mtriz formção rltiv o trmo cort (hr) não tngncil Móulo itorção rblho Volum Suprfíci Momnto inérci cção trnvrl brr primátic Ár cção trnvrl brr primátic Ár fctiv cort rltiv à cção trnvrl brr primátic oficint rução ár cção trnvrl pr tnr o cort orç noi quivlnt à cção trior, no gru libr o lmnto finito, no rfrncil locl Mtriz rigiz o lmnto finito no rfrncil locl Momnto flctor Eforço trnvro. - Vig oi nó com ubtituição vriávl igur. ncontr- rprnto um lmnto vig com oi nó com comprimnto (vr o pítulo ). Supõ- qu no nó não há locmnto guno. Dt moo pn conir o comportmnto à flão vig.

235 Vig imohnko - Álvro. M. zvo u ( ) θ θ ( ) ( ) / / u () θ () ( ) ( ) ig.. - Subtituição vriávl num lmnto vig com oi nó. O locmnto gnrlizo o nó o lmnto finito rprnto n igur. ão o guint θ () θ trnformção ntr coorn coorn é, nt co impl, fctu com guint prão () no riv m orm guint J () 5

236 Vig imohnko - Álvro. M. zvo intrpolção o locmnto ltrl u rotção θ é fctuo prmnt pr c um t vriávi. im, um vz qu u θ prntm oi vlor noi c, é utiliz guint intrpolção uniimnionl com oi nó u ( () ) ( ) ( ) θ ( ) (5) ( ) ( ) t mplo com oi nó funçõ form ão guint (vr o pítulo ) ( ) ( ) (6) ( ) ( ) (7) igur. tá rprnto o io vig n u poição inicil (obr ) corrponnt form (vr o pítulo ). Etá tmbém rprnt cção trnvrl cujo io ão. Um vz qu conirm pqun formçõ, upõ- qu o cliv rct tngnt o io coinci com o ângulo rotção o io brr. u u G u ( ) u ig.. - rr form cção trnvrl. igur. tão inico o guint ângulo: rotção o io brr ( u ), rotção cção trnvrl (θ ) rotção corrponnt à formção por forço trnvro (φ ). Encontr- tmbém rprnto o cmpo locmnto u n cção trnvrl. 6

237 Vig imohnko - Álvro. M. zvo u φ θ u ' θ O O' u (, ) ' O' ' ' u ( ) O u ig.. - rr form locmnto cção trnvrl. formulção vig Eulr-rnoulli conir- qu o ângulo φ é nulo, no o ângulo u θ coincint. formulção vig imohnko, o ângulo φ é coniro não nulo, no u θ φ (8) Et trê ângulo pnm. D coro com igur., tm- u ( ) θ ( ) (9), tnãoε é fini por [.] u ( θ ) () ε no 7

238 Vig imohnko - Álvro. M. zvo 8 θ ε () Dignno por ε guint componnt prão () θ ε () ptr- ε ε () Drivno (5) m orm chg- θ () Subtituino () m () obtém- ε (5) onir- gor um mtriz formção, qu é ign b plo fcto tr oci à flão (bning). u finição é guint b (6) tnno (), (5) p crvr- b ε (7) Subtituino (7) m () obtém- b ε (8)

239 Vig imohnko - Álvro. M. zvo l como no pítulo, conir- li Hook rfri pn à tnão norml σ àtnãoε σ E (9) ε Subtituino (8) m (9), tm- σ E () b itorção γ é fini por [.] u u γ () tnno (9), tm- guint itorção méi [.] θ ( ) u γ () θ u γ () Subtituino (8) m () obtém- γ φ () Drivno () m orm chg- u (5) Subtituino (5) (5) m () obtém- γ (6) Em notção mtricil tm- 9

240 Vig imohnko - Álvro. M. zvo γ (7) onir- gor um mtriz formção, qu é ign plo fcto tr oci o cort (hr). u finição é guint (8) tnno (), (7) p crvr- γ (9) Um vz qu, coro com li Hook pr mtrii iotrópico [.] τ G () γ tm-, poi ubtituir (9) m () τ G () D coro com o Princípio o rblho Virtui (PV) (vr o pítulo ), mit- qu rblho Intrno rblho Etrno () onirno i δ W b rblho intrno ocio à flão (bning) () i δ W rblho intrno ocio o cort (hr) () δ W rblho trno (5) D coro com (), tm-

241 Vig imohnko - Álvro. M. zvo δ W i i b δ W δ W (6) onirno qu contribuição flão pr o trblho pn pn tnão norml σ, tm- (vr o pítulo ) δ V (7) i Wb δ ε σ V qução (8) rfri à formção virtul é guint δ ε b δ (8) no quivlnt δ b δ ε (9) Subtituino (9) () m (7) obtém- i δ W δ b S b E b S () t qução, S é uprfíci corrponnt à cção trnvrl brr (vr o pítulo ). D coro com igur., tm- S () Supono o móulo Young E contnt m too o ponto o lmnto vig pno pr for o intgri tuo o qu não pn rpctiv vriávl intgrção, rult i δ Wb δ E b b S S () O momnto inérci m rlção o io igno por I (vr igur.) é finio guint form, no I S S ()

242 Vig imohnko - Álvro. M. zvo Subtituino () m () upono qu brr é cção contnt, p tr- b i δ W δ E I () b b onirno qu contribuição o cort pr o trblho pn pn tnão tngncil τ,tm- δ V (5) i W δ γ τ V qução (9) rfri à formção virtul é guint δ γ δ (6) no quivlnt δ γ δ (7) Subtituino (7) () m (5) obtém- i δ W δ S G S (8) Supono o móulo itorção G contnt m too o ponto o lmnto vig pno pr for o intgri tuo o qu não pn rpctiv vriávl intgrção, rult i δ W δ G S S (9) ár cção trnvrl brr é S S (5) prão (9) é ncário introuzir o fctor corrctivo cort α, no ár ruzi cort fini por [.]

243 Vig imohnko - Álvro. M. zvo α * (5) Subtituino (5) m (9) conirno ár ruzi cort, p tr-, no co um brr cção contnt G W i * δ δ (5) Por um qutão implificção t poição, conir- qu o trblho trno ocio à forç trior (δ W ) inclui pn contribuição forç gnrliz concntr no nó brr. t coniçõ tm- W δ δ (5) componnt o vctor ão forç gnrliz (forç momnto) m corrponênci com o qutro gru libr o nó brr (vr igur.). Subtituino (), (5) (5) m (6), obtém- G E I b b δ δ δ * (5) Um vz qu (5) tm vrificr pr qulqur formção virtul δ, chg-à hbitul qução K (55) nomtrizrigizk clcul com guint prão * b b G E I K (56) Dpoi fctur m (56) ubtituição vriávl fini m (), tm- * G E I K b b (57)

244 Vig imohnko - Álvro. M. zvo Subtituino () m (57), chg- K E I * b b G (58) Pr obtr o lmnto mtriz b (6) (8) m função vriávl, é ncário clculr riv funçõ form m orm. Pr io é uficint rcorrr à rgr ci, ficno i (59) i tnno (), p tr- i i (6) qu é quivlnt i (6) i D rivção (6) (7) m orm rult (6) (6) tnno (6), tm- (6) (65) Subtituino (6) (65) m (6), obtém-

245 Vig imohnko - Álvro. M. zvo b (66) Subtituino (6), (7), (6) (65) m (8), obtém- ( ) ( ) (67) O lmnto mtriz b pn pnm, qu conir um prâmtro fio, vriávl. Dpoi ubtituir t prõ m (58) clculr o intgri m orm, rultguintprãoprmtrizrigiz o lmnto finito K E I SIM. G * SIM. 6 (68) O fcto prão (68) r proim, obrig qu n náli um pórtico c um u brr tnh r icrtiz m vário lmnto finito. Et qutão foi já rfri no pítulo. o pítulo ncontr- uzi guint prão pr o cálculo o momnto flctor n vig, quno o móulo Young é contnt M θ E I (69) tnno (), (7) (69), conclui- qu o momnto flctor po r obtio com M E I (7) b mtriz b é vli no ponto m qu prtn clculr o momnto flctor. prõ(9)()rfrm-àitorçãoméiàtnãotngncilméi. O forço trnvro V é clculo com guint prão 5

246 Vig imohnko - Álvro. M. zvo ( ) V τ S S (7) t prão, τ ( ) rprnt tnão tngncil rl, qu pn coorn (vr igur.). Um vz qu n prnt formulção pn ipõ tnão tngncil méi τ, é ncário clculr o forço trnvro V com b n ár fctiv cort *. u prão é guint [.] * u V G θ (7) tnno (), tm- V G * γ (7) Subtituino () m (7), obtém- * V G φ (7) O ângulo φ tá rprnto n igur.. Subtituino (9) m (7), chg- V * G (75) mtriz é vli no ponto m qu prtn clculr o forço trnvro. prão qu fornc ár fctiv cort * trnvrl [.]. pn form cção Dv- tr m conirção qu, qur o momnto flctor, qur o forço trnvro, pn prntm vlor com prcião citávl m trmino ponto o lmnto finito [.5]. S prtnr conhcr o vlor o forço noutro ponto, é m grl prfrívl fctur um trpolção ou intrpolção impl prtir o ponto m qu o rulto ão mi corrcto. 6

247 Vig imohnko - Álvro. M. zvo. - onirçõ fini formulção vig imohnko qui prnt po r tni o guint co: brr com mi o qu oi nó, brr curvilín, brr cção vriávl, brr triimnioni ujit flão vi, incluão torção, conirção o cntro cort itinto o cntro grvi, brr m qu propri o mtril vrim o longo o io brr ou ntro cção trnvrl, tc. [.]. IIOGRI [.] - Oñt, E. - álculo Etructur por l Métoo lo Elmnto inito - nálii Etático inl, Sgun Eición, IME, rclon, 995. [.] - zvo,.. M. - Mcânic o Sólio, cul Engnhri Univri o Porto, 996. [.] - Monnt,. - Réitnc Mtériu, Duno, Pri, 968. [.] - rro, J.. O. - Métoo o Elmnto inito plico Etrutur Rticul, Rltório -DE/E-99, Univri o Minho,. [.5] - ook, R. D.; Mlku, D. S.; Plh, M. E.; Witt, R. J. - oncpt n ppliction of init Elmnt nlyi, ourth Eition, John Wily & Son, Inc.,. 7

248 Vig imohnko - Álvro. M. zvo 8

249 EXO UIIZÇÃO DO PROGRM EMIX. t cpítulo é fctu um brv crição trf qu é ncário mprnr pr nlir um trutur com o progrm EMIX - Vrão.. ocumntção complt, bm como intruçõ pr o ownlo o progrm EMIX., ncontrm- no guint UR: Rfr- m primiro lugr o moo intlção, guino- um mplo plicção. t publicção não prtn rptir o contúo o mnul o progrm [.], vno o litor rcorrr à ocumntção complt mpr qu urgirm úvi.. - Intlção Dcrrgr o UR cim rfrio o guint fichiro: fmi_v._.zip zr trcção too o contúo t fichiro pr um irctório qulqur. Sugr- intlção m :\ no utomticmnt crio nt locl um irctório chmo :\fmi. Dntro t irctório urgm outro ubirctório. É conlhávl crcntr o "PH" o irctório :\fmi\bin. EmWinow ou XP, t oprção po r fctu clicno m "My omputr" com o botão irit lccionno "Proprti / vnc / Environmnt Vribl". Slccionr m gui o "PH" o utilizor corrnt crrgr no botão "Eit". Em gui v- crcntr no fim lit irctório o guint tto: ; :\fmi\bin conlh- tmbém crição no "Dktop" "Shortcut" pr o guint progrm: 9

250 Utilizção o Progrm mi. - Álvro. M. zvo :\fmi\bin\c. :\fmi\bin\rwmh. Hbitulmnt, invocção o ivro móulo é fit prtir linh comno. Pr obtr um jnl qu uport invocção comno v- lccionr: "Strt/Run" m gui crvr n jnl tto: cm Pr umntr o númro linh tto v- clicr no cnto uprior quro jnl comno lccionr: "Proprti / yout". Em gui umntr o prâmtro "Winow Siz / Hight". Pr ttr intlção, v- fzr o guint: brir um jnl comno (cm) c \tmp m fmi c fmi c S intlção tivr io fit corrctmnt, v r poívl rrncr o progrm c prtir o irctório corrnt. no m vit um fmilirizção com o ivro fichiro qu fzm prt intlção, conlh- um inpcção o contúo too o irctório qu ncontrm ntro :\fmi.. - Prprção o o prnt- m gui um crição o principi po r pr chgr o rulto um náli com o progrm EMIX.. o f ão mplific com b n trutur rprnt n igur..

251 Utilizção o Progrm mi. - Álvro. M. zvo 5 k / m EGP ν.5 h.m. m. m ig.. - Vig qu prtn nlir plo ME uno o progrm EMIX. Pr crir um fichiro o contno qu totli informção qu crv o problm, v- crvr o guint prtir linh comno [.]: ot: o crctr '#' too o qu ncontrm à u irit ão comntário, não no ncário igitá-lo. c cm # rt impl mh # Rctngl #Sizin[] # Siz in [] gn # Gnrt rfin mh # Surfc #. of no of th gnrt lmnt #. of iviion for ll th lmnt in #. of iviion for ll th lmnt in rn # Rnumbr lmnt, no n pcil no # Dfult nwr # Dfult nwr # Dfult nwr y # Dfult nwr y # Dfult nwr y # Dfult nwr.-5 # Dfult nwr wri #Writ.fil vig # Job nm (lmnto nó; mlh com lmnto) gl # Writ _gl.t fil (fmi) vig # Job nm

252 Utilizção o Progrm mi. - Álvro. M. zvo n # Pln tr # rom th coorint (,) # En c D cução t comno rultm o guint fichiro: vig. # ichiro com gomtri, tno m vit u viulizção gráfic vig_gl.t # ichiro com o o pr náli com o EMIX Um vz qu trtm fichiro o tipo "tto", o u contúo po r inpcciono, por mplo, com o progrm otp ou Wor. O fichiro vig. tin- o progrm rwmh (vr igur.). O principi comno t progrm ão o guint: il / Import # Importr o fichiro tnão. Viw / St Viw ngl / XY # Viulizr o plno XY Option / Mrkr # olocr tuo "Viibl" Option / umbr # olocr tuo "Viibl" Option / in # ltrr o "Shrink fctor" pr 9% Viw / Shing # zr colorção o lmnto ot: pr muito o comno itm botõ n brr frrmnt, bm como tcl tlho (fzr Hlp / Kybor ommn). ig.. - Viulizção mlh com o progrm rwmh. O fichiro vig_gl.t, qu foi gro com o progrm c, in não ncontr complto. Rfrm- m gui ltrçõ qu vm r fctu.

253 Utilizção o Progrm mi. - Álvro. M. zvo Subtituir o título "Rctngulr mh" por: Vig icrtiz com lmnto no' (k,m) Subtituir o bloco prâmtro plo guint: # nlm (n. of lmnt in th mh) # npoin (n. of point in th mh) # nvfi (n. of point with fi gr of from) # nc (n. of lo c) # nmt (n. of t of mtril proprti) # npn (n. of t of lmnt nol proprti) # ntyp (problm typ) # nno (n. of no pr lmnt) # ngu (n. of Gu point in th intgrtion rul) (lmnt tiffn) # ngtr (n. of Gu point in th intgrtion rul) (tr) # nim (n. of gomtric imnion) # nofn (n. of gr of from pr no) # nnc (n. of point with pcifi coorint ytm) # nc (n. of pcifi coorint ytm) # nppr (n. of pring) # npv (n. of pring vctor) # nprop (n. of mtril proprti u in th formultion) # nprn (n. of lmnt nol proprti u in th formultion) # nwink (n. of lmnt fc with Winklr cofficint) crcntr finiçõ crctrític o poio o guint bloco o: ### Point with fi gr of from n fiity co (-fi;-fr) # ivfi nofi ifpr... 9 Rmovr o guint bloco o: ### Point with pcifi coorint ytm ### Spcifi coorint ytm in ### Spring in, point numbr, typ of pring vctor, pring contnt vlu n... ### Spring vctor in Moificr propri o mtril pr o guint:

254 Utilizção o Progrm mi. - Álvro. M. zvo ### St of mtril proprti ### (Young moulu, Poion rtio, m pr unit volum n thrmic coff.) # imt young poi n lph # kp Moificr o bloco pur noi pr o guint: ### St of lmnt nol proprti # ipn # ino thickn.... Subtituir o co crg qu urgm por fito pl guint linh: ### itl of th firt lo c rg itribui 5 k/m ### o prmtr # nplo (n. of point lo in nol point) # ngrv (grvity lo flg: -y;-no) # ng (n. of g lo) (.E.M. only) # nfc (n. of fc lo) (.E.M. only) # ntm (n. of lmnt with tmprtur vrition) (.E.M. only) # nui (n. of uniformly itribut lo) ( frm n tru only) # ntrl (n. of trpzoil itribut lo ( frm n tru only) # npoi (n. of br point lo) ( frm n tru only) # ntmb (n. of br with tmpr. vrition) ( frm n tru only) # nprv (n. of prcrib n non zro gr of from) ### Eg lo (lo lmnt, lo point n lo vlu) ### (locl coorint ytm) # ig lol # lopo f f. -5.

255 Utilizção o Progrm mi. - Álvro. M. zvo. -5. # ig lol # lopo f f # ig lol # lopo f f # ig lol # lopo f f ED_O_IE.-Ecuçãooprogrm Dpoi tr o fichiro vig_gl.t compltmnt finio, crvr n linh comno o guint: prfmi vig # Vrificr corênci o o fmi vig # lculr mtriz rigiz globl, clculr o vctor olicitção globl rolvr o itm quçõ linr pofmi vig # Grvr ivro tipo fichiro rulto Dpoi cutr ivr opçõ o progrm pofmi po- inpccionr o fichiro qu form crio, o qui tcm o guint: vig_gl.lpt vig_r.lpt vig_m. - o formto - rulto formto - mlh inform 5

256 Utilizção o Progrm mi. - Álvro. M. zvo vig_m. vig_p. vig_i.pv vig_. vig t.pv - mlh form - tnõ principi - cmpo locmnto - mlh inform conct - cmpo tnõ rltivo à mlh conct. - Viulizção gráfic Pr viulizr o fichiro tnão. v- fzr, no rwmh, "il / Import". Pr viulizr o cmpo clr contio m fichiro tnão.pv v- fzr, no rwmh, "PV / Import". Et opção v r lccion poi tr lio corrponnt mlh num fichiro tnão.. Pr cpturr o contúo um jnl o rwmh po- fzr "il / Eport Viw Img". Dt form é crio um fichiro com tnão.bmp, qu po m gui r inrio num ocumnto Wor, ou m qulqur outr plicção Winow. Pr combinr mlh inform com mlh form v- crvr n linh comno: join -o vig_mm vig_m vig_m Em gui importr o fichiro vig_mm. com o rwmh (vr igur.). ig.. - Viulizção mlh form com o progrm rwmh. 6

257 Utilizção o Progrm mi. - Álvro. M. zvo Pr combinr tnõ principi com mlh inform v- crvr n linh comno: join -o vig_mp vig_m vig_p Em gui importr o fichiro vig_mp. com o rwmh (vr igur.). ig.. - Viulizção tnõ principi com o progrm rwmh. igur.5 ncontr- rprnto o cmpo clr corrponnt o locmnto guno. ig..5 - Viulizção o cmpo locmnto horizonti com o progrm rwmh. 7

258 Utilizção o Progrm mi. - Álvro. M. zvo igur.6 ncontr- rprnto o cmpo clr corrponnt à tnõ normi guno. ig..6 - Viulizção o cmpo tnõ normi σ com o progrm rwmh..5 - onirçõ fini t cpítulo foi prnto um mplo muito impl plicção o progrm EMIX à náli um trutur plo ME. Pr fzr plicçõ outro tipo trutur conlh- litur corrponnt ocumntção [.] [.]. IIOGRI [.] - zvo,.. M.; rro, J.. O. - Mnul Utilizção o Progrm EMIX - Vrão., Porto,. [.] - zvo,.. M.; rro, J.. O. - Mnul Utilizção o Progrm SDD - Vrão., Porto,