AVALIAÇÃO DE INSURANCE LINKED BONDS COM TAXAS DE JURO ESTOCÁTICAS

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1 UNVERSDADE DE LSBOA FACULDADE DE CÊNCAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTCA SCTE BUSNESS SCHOOL NSTTUTO UNVERSTÁRO DE LSBOA AVALAÇÃO DE NSURANCE LNKED BONDS COM TAXAS DE JURO ESTOCÁTCAS Ana Crisina Alves Venura MESTRADO EM MATEMÁTCA FNANCERA 9

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3 UNVERSDADE DE LSBOA FACULDADE DE CÊNCAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTCA SCTE BUSNESS SCHOOL NSTTUTO UNVERSTÁRO DE LSBOA AVALAÇÃO DE NSURANCE LNKED BONDS COM TAXAS DE JURO ESTOCÁTCAS Ana Crisina Alves Venura Disseração orienada pelo Professor Douor João Pedro Vidal Nunes MESTRADO EM MATEMÁTCA FNANCERA 9

4 Resumo Com a presene disseração preende-se ober uma fórmula fechada para a avaliação de nsurance Linked Bonds. Esa avaliação foi efecuada primeiramene uilizando axas de juro deerminísicas, e seguidamene num ambiene onde imperam axas de juro esocásicas, para as quais se aplicou o modelo de Vasicek. A abordagem uilizada consise essencialmene na obenção da firs passage ime do índice pelo rigger. No caso deerminísico, opou-se por uma abordagem com recurso a mudanças de medida de probabilidade e ao Lema de ô. Para o caso esocásico, foi uilizada uma equação inegral de Volerra de segundo grau, sendo que se ornou necessário deduzir a disribuição condicional da axa de juro, a disribuição condicional do índice e a disribuição incondicional do índice. Esas disribuições são poseriormene uilizadas para se ober impliciamene a firs passage ime densiy. Palavras-Chave: nsurance Linked Bond, Firs Passage Time, Taxas de Juro Esocásicas, Modelo de Vasicek, Disribuições Condicionais

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6 Absrac The major quesion in he presen hesis is o obain a closed-form soluion for he pricing of nsurance Linked Bonds and o make a conribue o he curren lieraure on his kind of producs. The curren valuaion was made firsly using consan ineres raes and secondly wih sochasic ineres raes, hrough he Vasicek Model. The main purpose of his hesis is o compue he firs passage ime of he index hrough he rigger. n he deerminis case, a change of measure was applied and ô s lemma was also used. Regarding he sochasic case, a Volerra inegral equaion of he second kink was applied, and i was necessary o deduce he ineres rae condiional disribuion, he index condiional disribuion and he index uncondiional disribuion. These disribuions are crucial o implicily calculae he firs passage ime. Key-Words: nsurance Linked Bond, Firs Passage Time, Sochasic neres Raes, Vasicek Model, Condiional and Uncondiional Disribuions

7 Coneúdo nrodução Preliminares 4. Alguns Resulados mporanes Firs Passage Time Ouros Resulados Mecanismos de ransferência de riscos para os mercados nanceiros 3. Securiização Securiização de Riscos de Seguros CAT Bonds Ouros ipos de nsurance Linked Securiies Avaliação de nsurance Linked Bonds 4. Pressuposos e Especi cação do Modelo Modelo com axas de juro deerminísicas Modelo com Taxas de Juro Esocásicas Cálculo da disribuição condicional da axa de juro Cálculo da disribuição incondicional do índice Cálculo da disribuição condicional do índice Conclusão Conclusão 35 A Apêndice - Modelo de Vasicek([5]) 36

8 nrodução A presene disseração em o inuio de fornecer uma fórmula fechada para o cálculo do preço de uma nsurance Linked Bond. Uma nsurance Linked Bond é um insrumeno nanceiro (ambém denominado nsurance Linked Securiy - LS) que não esá ligado a um acivo subjacene real, mas o seu payo depende da veri cação de deerminados evenos, para os quais podem ser esabelecidos limies (denominados riggers). Eses evenos são normalmene mensurados aravés de índices. Ese ipo de produos são acualmene basane imporanes, pois êm efeios direcos e observáveis como a grande capacidade para absorver perdas elevadas resulanes de aconecimenos caasró cos ou ouros. Além disso, o faco de se pensar que as correlações enre os produos nanceiros normais e os LS são relaivamene baixas signi ca que eses úlimos poderão ser uma boa aposa em ermos de efeios de diversi cação duma careira. Se associarmos a ese úlimo faco, o faco da remuneração deses produos ser mais elevada que a de um produo nanceiro normal, enão os LS em capacidade de arair mais invesidores e mais exigenes. Saliene-se ambém que durane a crise, eses produos não iveram grandes oscilações de coação. No enano, as desvanagens ambém são evidenes. O faco de eses produos serem de uma naureza basane complexa e das ransacções não erem um padrão comum pode levar a que surjam oporunidades onde exise informação assimérica. Oura grande di culdade que eses produos podem razer prende-se com a sua adequada avaliação, viso que os riscos inerenes são por vezes difíceis de mensurar, como por exemplo as caásrofes naurais, faco que pode ser uma agravane para o crescimeno do mercado. A lieraura exisene sobre avaliação de SL é reduzida. Por um lado, no âmbio das ciências acuariais o faco de serem riscos com baixas probabilidades e alas severidades, faz com que a Lei dos Grandes Números não seja adequada e, por ouro lado, a aplicação de uma abordagem neura face ao risco ipicamene nanceira (arbirage-free framework) esá ainda pouco desenvolvida. No enano foram enconrados alguns exemplos: [7] que obiveram fórmulas para os produos ransaccionados no CBoT (caasrophe insurance fuures e call spreads); [4] seguem uma esraégia semelhane modelizando ambém um índice das opções da Propery Claim Services (PCS); [8] que fazem uma avaliação mas focando-se no risco de defaul aravés de um Processo de Wiener; [] que modela as perdas caasró cas aravés de um processo de Markov; e [5] que deduziu uma fórmula simples para cálculo do preço de ca bonds não caasró cas e que surge como pono de parida para esa disseração. Exisem ambém alguns rabalhos efecuadas numa lógica de mercados incompleos dos quais se desaca [].

9 No que respeia a resane bibliogra a consulada referene a LS, esá essencialmene divida em duas caegorias: o mercado e a hisória; e a esruura e funcionameno das CAT bonds. [], [8] e [] fazem uma breve exposição sobre a evolução hisórica de insrumenos de securiização, bem como uma análise sobre o esado acual do mercado dese ipo de insrumenos, com maior incidência em CAT bonds. No que respeia à esruura e o funcionameno de CAT bonds, [6] e [4] expliciam com basane rigor o seu funcionameno e esruura. No âmbio dese rabalho preende-se aplicar a uma insurance linked bond não caasró ca uma abordagem risk free para a deerminação do seu preço, consisindo essencialmene no cálculo das funções de densidade da rs passage ime. A ese esá organizada da seguine forma. No presene capíulo é efecuada uma breve inrodução do rabalho desenvolvido, bem como uma revisão da lierarura. No capíulo apresenam-se alguns resulados preliminares de grande imporância no âmbio da presene disseração. No capíulo 3 efecua-se uma abordagem eórica sobre os mecanismos de ransferência de risco para os mercados nanceiros. Primeiramene, expõem-se de forma breve os mecanismos de ransferência de riscos do secor nanceiro para os mercados de capiais, mais concreamene no secor bancário que foi pioneiro nesas maérias. Seguidamene, expliciase a esruura exisene para a ransferência de riscos especí cos de seguros, que é basane semelhane à da securiização no secor bancário, caracerizando-se pela exisência de um Special Purpose Vehicle (SPV) que formaliza um conrao com a empresa de seguros, no qual se de ne que ipo de coberura vai ser securiizada e qual o valor dos prémios a receber. Poseriormene, o SPV emie e ransacciona íulos nos mercados nanceiros, não havendo relação direca enre a empresa de seguros e os invesidores nais. Denro das securiizações efecuadas no âmbio dos riscos de seguros, é feia uma análise dealhada do ipo de mecanismos já uilizados, sendo que os mais conhecidos e uilizados são as CAT bonds. No capíulo 4 apresena-se primeiramene uma descrição do produo que vai ser avaliado. Seguidamene faz uma dedução da fórmula fechada para o preço da bond com axas de juro deerminísicas, calculando-se para al a rs passage ime do índice pela barreira. No pono seguine dese capíulo deduz-se a fórmula para o cálculo da rs passage ime num ambiene de axas de juro esocásicas. Para al recorre-se à equação inegral de Volerra de segundo grau, expliciada em []. Por úlimo faz-se uma breve conclusão, resumindo-se os resulados alcançados. 3

10 Preliminares Na presene secção apresenam-se alguns resulados considerados perinenes no âmbio da presene disseração. Nese rabalho assume-se, como é usual na lieraura, que o mercado é compleo e livre de arbiragem e ainda que a negociação se faz coninuamene e sem cusos. Enão exise uma única medida de maringala equivalene Q, al que o processo dos preços desconados é uma maringala no espaço de probabilidade (; F; Q) onde F represena a lração (F ) >.. Alguns Resulados mporanes De nição (Processo de ô) Um processo esocásico X () é um processo de ô desde que possa ser represenado como ou seja dx () = (; X ()) d + (; X ()) dw () () X () = X () + Z [s; X (s)] ds + Z [s; X (s)] dw (s) () onde fw ()g é um Brownian Moion com lraion ff ()g, X () é F ()-mensurável e os processos esocásicos (; X ()) e (; X ()) são F ()-adaped. Lema (Lema de ô) Seja X um processo de ô al como descrio na de nição anerior, ou seja, dx () = (; X ()) d + (; X ()) dw () (3) e f : < + <! < uma função C ;. Enão, para odo o T, f (T; X (T )) = f (; X ()) + ou em noação diferencial, + Z T Z T (; X ()) T (; X ()) f (; X d hx; Xi () (4) df (T; X (T )) (; X ()) (; X ()) dx () f (; X ()) d hx; Xi 4

11 Em alernaiva, combinando a primeira e a erceira (; X (; X ()) df (T; X (T )) = + (; + (; X ()) Demonsração. Ver [4]. + (; X f (; X (; X ()) dw () Teorema 3 (Teorema de Girsanov) Seja fw ()g T um Sandard Brownian Moion de nido no espaço de probabilidades (; F; P ) e ff ()g T a lraion gerada por ese Brownian Moion. Se f ()g T for um adaped process que saisfaça a seguine condição (Novikov s Condiion) Z T E P exp (s) ds < (7) enão exise uma oura medida de probabilidade Q al que: ) Q é equivalene a P. ) A Radon-Nikodym derivaive de Q em relação a P (no momeno T ) é dada por: dq dp F () := exp Z T (s) dw (s) Z T (s) ds (8) 3) W f () = W () + R (s) ds é ambém um Sandard Brownian Moion, mas de nido na medida Q. Ou seja, em noação diferencial d f W () = dw () + () d (9) Demonsração. Ver [4]. 5

12 . Firs Passage Time De modo a ser possível o cálculo da rs passage ime considere-se as seguines proposições. Proposição 4 Se W Q e Q Pr W Q x ^ sup u Q Pr W Q dx ^ sup u é um Q-measured sandard Brownian Moion al que W Q x x y y F W Q u W Q u = p y F = x; ; p p =, enão: () x; y; p dx () para y e x y, e onde (x; ; ) = " p exp # (x ) () represena a função densidade de probabilidade de uma disribuição Normal univariada X, com média < e desvio padrão >. Demonsração. Temos que: Q Pr W Q x ^ sup u x F = Pr Q W Q = x QPr p W Q u y F Q Pr W Q x; sup u W Q x; sup u W Q u W Q u > y F > y F (3) Uilizando o Re exion Principle (ver [6]), vem: x QPr = p W Q y x; sup u W Q u > y F (4) Re exion Priciple: For every sample pah ha his level y before ime bu nishes below level x a ime, here is anoher equally probable pah ha his y before ime and hen ravels upwards a leas (y x) unis o nish above he level (x y). 6

13 Mas, y x = y + (y x) > y, porque y x e porane a pare do supremo na equação anerior é redundane e ca: x QPr h i = p W Q y x F x x y = p p (5) Se derivarmos ese resulado obém-se (). Proposição 5 Se dx = d + dw Q (6) onde < e W Q é um Q-measured sandard Brownian Moion al que W Q =, enão: Q Pr X x ^ sup (X u ) y F u x ( ) y x y ( = p ) exp p (7) Demonsração. Temos dx = d + dw Q : Fazendo uma mudança de medida (Q! Q ), vem: dx = dw Q d + dw Q = dw Q dw Q = Q d + dw (8) Vem enão que: Q Pr X x ^ sup (X u ) y F u = Pr Q W Q x ^ sup u h = E Q fw Q x^sup u(w Q u Wu Q y F i F )yg (9) A Radon-Nikodym derivaive é dada por: E Q dq [X j F ] = E Q X dq F () 7

14 Pelo Teorema de Girsanov, vem: dw Q = dw Q d () e as medidas são equivalenes, logo: dq dq F = exp 4 Z = exp = exp dw s W W Z W ( ) ds 3 5 ( ) () Volando à equação (9), vem: E Q h fw Q x^sup u(w Q u )yg i F = (3) = E exp Q W = E Q exp = E Q exp W W ( ) ( ) ( ) fw Q fw Q fw Q x^sup u(w Q u )yg x^sup u(w Q u F F F )yg xg fsup u(w Q u Fazendo uma mudança de variável z = W, ca: = E exp Q z ( ) fzxg (z)yg fsup F u )yg (4) (5) Uilizando a proposição anerior vem: = Z x exp z p ( ) z; ; z; y; p dz (6) 8

15 com: (x; ; ) = " p exp # (x ) (7) Vem enão: Z x! ( z ( ) + ( ) = exp p ( ) ( ) exp z ( ) " #) p ( ) exp (z y) dz ( ) Z x (! = p ( ) exp z z ( ) + ( ) ( ) " #) p ( ) exp (z y) z ( ) + ( ) dz (8) ( ) = = Z x Z x (! p ( ) exp (z ( )) ( ) " #) p ( ) exp (z ( ( ) + y)) + y dz ( ) z; ( ) ; p y exp z; ( ) + y; p dz x ( ) y x y ( = p ) exp p.3 Ouros Resulados Considere-se ambém o seguine Lema de exrema uilidade no secção

16 Lema 6 Para a; b; c; < e < +, Z z; ; a < bz a b dz = p c c + b (9) Demonsração. Ver []. 3 Mecanismos de ransferência de riscos para os mercados nanceiros 3. Securiização A securiização é uma écnica nanceira que permie ransformar riscos/acivos (à parida não ransaccionáveis) em acivos ransaccionáveis (securiies), permiindo a sua poserior ransferência para os mercados de capiais, onde são vendidos aos invesidores. As primeiras operações de securiização foram realizadas por insiuições bancárias. Desde o início da sua exisência que os bancos concedem emprésimos, principalmene com o inuio de promover a aquisição de bens. Por vola dos anos 7, ocorreu nos Esados Unidos da América (E.U.A.) um excesso de procura de capiais para aquisição de habiação própria, endo os bancos enfrenado alguns problemas de fala de liquidez. Esa di culdade levou a que se desenvolvessem formas alernaivas de obenção de capial, mais concreamene ransferindo fundos dos mercados de capiais para os bancos e poseriormene para as pessoas que requeriam emprésimos([5]). A resposa foi o desenvolvimeno de uma écnica que consisia na ransformação dos emprésimos (capiais e juros) em securiies ransaccionáveis nos mercados nanceiros, ou seja, a securiização. Para melhor enender o funcionameno dese ipo de mecanismos, considere-se um exemplo simples. Admia-se que um banco em uma careira consiuída por crédios concedidos a pariculares para aquisição de habiação. Com o objecivo de ober capial adicional, para poder conceder mais emprésimos, o banco pode vender a careira a um Special Purpose Vehicle (SPV). Esa enidade serve como inermediária enre o banco e os mercados nanceiros e a sua principal função é a emissão e ransacção das securiies (asse-backed securiies). Os SPVs são ambém denominados de bankrupcy remoe eniies, pois êm que garanir aos invesidores o recebimeno dos cash- ows associados às securiies no caso de falência do banco. Tendo em cona esse objecivo, o SPV realiza aplicações consideradas seguras em Obrigações do Tesouro e/ou obrigações com raing elevado. Os SPVs esão normalmene

17 Figura : Esruura Básica da Securiização no Secor Bancário esabelecidos em o shores, pois nesse caso pagam menos imposos o que provoca ambém menos cusos ano para os bancos como para os invesidores. O esquema apresenado na gura reproduz a esruura básica da securiização uilizada na acividade bancária. No secor bancário exisem hoje em dia uma grande variedade de securiizações, mas essencialmene dividem-se em dois ipos, Asse-backed securiies (ABS) associadas a crédios (habiação, carões de crédio, auomóveis, ec.) e Collaerized deb obligaion (CDO) associadas a obrigações e/ou ouro ipo de dívidas de empresas. Relaivamene ao secor bancário as securiizações são realizadas desde 97, mas no secor segurador só a parir de 99 se começaram a realizar ese ipo de operações. 3. Securiização de Riscos de Seguros As empresas de seguros e resseguros êm como principal objecivo assumir riscos de várias naurezas, em roca do recebimeno de prémios. Para que a coberura dos riscos seja e caz, as empresas êm que diversi car ao máximo os riscos assumidos. Na maioria dos riscos, isso é possível devido ao grande número de apólices e graças à Lei dos Grandes Números. No

18 enano, exisem riscos com baixa probabilidade e elevada severidade (riscos caasró cos: furacões, erramoos, empesades, ec.) que por naureza são difíceis de diversi car. Um dos mecanismos exisenes na acividade seguradora para lidar e cazmene com riscos caasró cos é o resseguro. Pode de nir-se o resseguro como a cedência de uma pare dos riscos assumidos pela empresa de seguros (ou cedene) perane os segurados, a uma segunda empresa de seguros, sem nenhuma relação direca com o segurado (a empresa de resseguros ou cessionário). Aravés do resseguro as empresas de seguros direco cedem, parcialmene, riscos assumidos que excedem a sua capacidade ou que, por ouros moivos, não queiram reer de forma inegral ([3]). Tradicionalmene, as empresas de seguros cobrem os seus riscos caasró cos aravés do resseguro. No enano, nos úlimos anos, foram colocadas em causa as capacidades do mercado ressegurador, devido às elevadas perdas originadas por algumas caásrofes naurais, nomeadamene o furacão Andrew em 99 nos E.U.A., que originou perdas elevadíssimas, levando mesmo algumas empresas de seguros à insolvência. A parir dessa alura, a capacidade das empresas de resseguros para assumir riscos caasró cos ornou-se mais limiada e ambém basane mais cara. Numa enaiva de ober capial adicional para auxiliar a coberura deses riscos foi necessário procurar formas alernaivas de ransferir risco, mais concreamene, aravés dos mercados nanceiros, por via de operações de securiização ([5]) ([]). Esa securiização funciona de forma semelhane à realizada pelas insiuições bancárias, mas as securiies associadas, que capam os riscos de seguros e os ransferem poseriormene para os mercados nanceiros, são denominadas nsurance Linked Securiies (LS). Os mercados nanceiros podem ser uma boa alernaiva ao resseguro radicional, na medida em que uma variação de.. milhões de dólares é facilmene absorvida por eses mercados, o mesmo não sucedendo no mercado segurador e ressegurador. Esa grande capacidade de absorção de perdas advém da sua dimensão e do elevado número de paricipanes, em comparação com o mercado segurador e ressegurador. Mais ainda, esima-se que não exise correlação enre os riscos caasró cos e a performance dos mercados nanceiros, o que faz com que ese ipo de produos seja basane e caz na diversi cação de uma careira e aracivos para os invesidores ([5]) ([]). 3.. CAT Bonds Como já se referiu, após o furacão Andrew em 99, o mercado de resseguro ornou-se mais caro e limiado e, de forma a conornar ese faco surgiram, enre ouros, as Caasrophic Bonds (CAT Bonds), ambém denominadas Ac-of-God Bonds.

19 Figura : Esruura de uma CAT bond As CAT bonds são even-linked bonds, na medida em que o seu payo depende da ocorrência de um eveno deerminado. As mais conhecidas e ransaccionadas são as CAT bonds associadas a evenos caasró cos puros furacões, erramoos, ec. A sua esruura geral de funcionameno esá ilusrada na gura. Na esruura apresenada, o SPV em praicamene as mesmas funções que no caso da securiização realizada pelas insiuições bancárias. As suas principais compeências são a ofera de coberura às empresas de seguros e a emissão de securiies, sendo que devem ambém proeger os invesidores de uma possível insolvência da empresa de seguros ou resseguros que cedeu os riscos. A operação em início com a criação do SPV que, após er formalizado um conrao com a empresa de seguros no qual de ne que ipo de riscos a securiizar e o ipo de coberura de que é assegurada, emie e ransacciona as securiies nos mercados nanceiros (). Com os fundos obidos nesa operação o SPV faz invesimenos considerados seguros, nomeadamene em Obrigações do Tesouro e/ou Obrigações com raing elevado (3). Simulaneamene, a empresa de seguros faz o pagameno dos prémios ao SPV, em roca da coberura (). Os prémios e o reorno dos invesimenos seguros são os fundos necessários para o pagameno dos cupões/juros aos invesidores. Na maioria dos casos, é ainda efecuado um conrao swap 3

20 de modo a que o reorno dos invesimenos seguros esejam indexados a uma axa de juro de referência, geralmene à LBOR (4). Os invesidores vão ser compensados com LBOR adicionada de um spread proveniene do prémio pago pela empresa de seguros, pelo faco de assumirem uma pare do risco da empresa de seguros. No caso de o eveno associado à CAT bond ocorrer, o SPV disponibiliza o capial acordado no início do conrao, para fazer face aos sinisros, do qual poderão fazer pare os juros, ou o capial ou ambos. O capial a disponibilizar em caso de sinisro pode ambém esar dividido por ranches, ou seja, cada classe de invesidores perde uma percenagem diferene do seu capial inicial Como já foi referido, as CAT bonds foram desenvolvidas nos anos 9 para faciliar a ransferência direca de riscos caasró cos das empresas de seguros e resseguros para os mercados nanceiros/invesidores. O seu principal objecivo é proeger as empresas de seguros das grandes perdas causadas por evenos caasró cos, acuando como uma alernaiva ou uma proecção adicional ao resseguro radicional. A primeira emissão bem sucedida de CAT bonds foi efecuada pela Hannover Re em 994, e visou apenas a ransferência de alguns riscos de resseguro para o mercado nanceiro, mas consiuiu a base da securiização na indúsria seguradora([7]). Desde 994, o mercado de CAT bonds em sofrido uma grande evolução. Numa fase inicial, foram esados vários ipos de operações, com diferenes mauridades e ipos de risco, mas hoje em dia exise um mercado mais esandardizado, conribuindo para um maior grau de ransparência para odos os inervenienes (invesidores, empresas de seguros, agências de raing e supervisores). Relaivamene à mauridade desas obrigações, aquando da sua criação ela variava enre um e dez anos, mas com a evolução do mercado aingiu-se um cero equilíbrio, subsisindo hoje em dia apenas mauridades enre os dois e os quaro anos, prazo considerado mais vanajoso quer para as empresas de seguros quer para os invesidores ([]). No que respeia ao número de riscos coberos, as empresas de seguros preferem emiir obrigações associadas a um conjuno de riscos, pois em obviamene menos cusos. Por ouro lado, os invesidores preferem geralmene obrigações associadas a um único risco, pois acarream menos incereza. Apesar disso exisem hoje em dia os dois ipos de obrigações ([]). No que se refere os raings desas obrigações, eles são por norma inferiores a BBB (nvesmen Grade), mas ese raing não re ece apenas probabilidade de incumprimeno da conrapare, esando ambém incorporada a probabilidade de, ocorrendo o eveno, haver uma perda do principal da obrigação ([]). Esas obrigações apresenam yields elevadas (quando comparadas com corporae bonds com o mesmo raing) que compensam os invesidores pela sua reduzida liquidez e pelo simples faco de não serem securiies normais. 4

21 Aé à daa, a única CAT bond que originou perdas foi emiida pela Zurich Financial s Kamp Re, e foi acivada devido à ocorrência do furacão Karina em 5, o que resulou numa perda oal do principal da CAT bond. As CAT bonds, assim como ouros insurance-linked securiies, não esão ligadas a um acivo subjacene, mas o seu payo depende da veri cação de deerminado eveno para o qual são esabelecidos limies (denominados riggers). Exisem quaro ipos de riggers: ndemniy riggers, Pure Parameric riggers, ndex riggers e Hybrid riggers ([]).. ndemniy riggers Nas CAT bonds com ndemniy riggers associados, os payo s são deerminados com base nas perdas reais da empresa de seguros ou resseguros. Ese ipo de rigger foi o primeiro a surgir no mercado, sendo esa a abordagem que mais se aproxima do resseguro radicional já que oferece garanias à empresa de seguros que minimiza o seu basis risk. Ouro risco a er em consideração, em obrigações com ese ipo de rigger, é o risco moral (moral hazard), que decorre do faco de haver um menor incenivo a uma adequada gesão de sinisros por pare da empresa de seguros. Por ouro lado, o faco de os payo s serem deerminados pelas perdas reais da empresa leva a que os invesidores anes de invesir queiram conhecer o negócio da empresa de seguros, exigindo que esa forneça informação dealhada acerca da careira em causa, o que pode não ser favorável em ermos de compeiividade no mercado.. Pure Parameric riggers Nese caso, o payo é deerminado por medidas físicas do eveno ocorrido, como por exemplo a velocidade de um furacão aingir deerminado valor ou a magniude de um remor de erra aingir deerminada grandeza. Um rigger dese ipo pode er um basis risk elevado, devido ao faco dos payo s não dependerem das perdas reais da empresa de seguros. A careira da empresa pode não replicar necessariamene a exposição do mercado ao risco, pelo que o grau em que é afecada pode ser maior ou menor do que a média do mercado. Por ouro lado apresenam um risco moral basane mais baixo que qualquer ouro ipo de rigger. 3. ndex riggers Nese ipo de riggers, os payo s são calculados com base em índices, que não esão ligados direcamene às perdas da empresa de seguros. Exisem 3 ipos de índices: indusry loss indices, modeled loss indices e parameric indices. Basis risk mede a variação enre as perdas que a empresa de seguros esimou que seriam coberas pelo SPV e o payo resulane da emissão das securiies. 5

22 Em obrigações associadas a indusry loss indices, o payo é accionado quando as perdas, esimadas aravés de um índice associadas a um eveno, aingem deerminado valor. Esas esimaivas são geralmene calculadas pelo Propery Claim Services 3 (PCS). O segundo ipo de índice é calculado usando modelos (consruídos por empresas com compeências para al, como por exemplo a Applied nsurance Research Worldwide, a EQECAT ou a Risk Managemen Soluions), nos quais são inseridos os parâmeros físicos do eveno caasró co ocorrido e que devolvem uma esimaiva das perdas para a empresa de seguros. Se essas perdas aingirem um deerminado valor, a obrigação é accionada. Por úlimo o parameric index, onde o payo é deerminado por medidas físicas do eveno ocorrido inroduzidas poseriormene num modelo, como por exemplo a velocidade e localização de um furacão ou a magniude e localização de um remor de erra. Nese caso o modelo não devolve as perdas esimadas para a empresa de seguros, mas uma medida relacionada com eveno. A íulo de exemplo, considere-se que durane o período de um ano foi observada a velocidade dos furacões em deerminada localização geográ ca e assuma-se que o modelo devolvia a média das velocidades. Se esa média aingisse deerminado valor, a obrigação era acivada. Na práica os modelos uilizam fórmulas basane mais complexas. Os parameric index riggers são os que êm menor risco moral porque se baseiam em medidas físicas do eveno, mas podem er um basis risk muio elevado. Os index riggers são os preferidos dos invesidores porque minimizam o risco moral, iso é, maximizam a ransparência da ransacção, não havendo hipóese de uma má políica de gesão dos sinisros afecar o desempenho dos índices e consequenemene das securiies. Oura grande vanagem dese ipo de ransacções é que após a ocorrência da caásrofe consegue-se rapidamene calcular o valor que a empresa de seguros vai receber, ao conrário dos indemniy riggers que implicam a avaliação de odas as perdas da empresa, processo que pode levar meses ou mesmo anos. Para as empresas de seguros, o faco de as ransacções se basearem em índices ambém raz algumas vanagens, pois não êm que disponibilizar informação relaiva à sua careira. A uilização dos index riggers em ambém algumas desvanagens pois leva a que as empresas de seguros esejam exposas a um nível mais alo de basis risk, comparaivamene aos indemniy riggers, já que as suas perdas podem não re ecir as perdas calculadas pelo índice. Os modeled-loss index riggers são, à parida, os que apresenam menor basis risk mas, por ouro lado, esão sujeios ao risco de que o modelo eseja mal consruído e não efecue uma correca avaliação das perdas. 3 Empresa de esaísicas da indúsria seguradora nos E.U.A.. 6

23 4. Hybrid riggers No que respeia às obrigações com hybrid riggers, esas uilizam mais do que um rigger numa única ransacção. A íulo de exemplo, pode er-se uma CAT bond que cobre o risco de furacão nos E.U.A. e o risco de um erramoo no Japão, uilizando para o primeiro risco um indusry loss index da PCS e, para o segundo, um índice paramérico baseado na magniude do erramoo. 3.. Ouros ipos de nsurance Linked Securiies O mercado de LS raduz-se quase na oalidade por CAT bonds, geralmene associadas a riscos caasró cos com probabilidades baixas de ocorrência. No enano, nos úlimos anos procedeu-se ambém à ransferência de alguns riscos com caracerísicas diferenes: severidades mais baixas e frequências de ocorrência mais elevadas. No ramo Vida, exisem ambém alguns ipos de CAT bonds, que funcionam de um modo semelhane às obrigações já referidas, e que esão associadas a evenos de moralidade (exreme moraliy bond) ou de longevidade (longeviy bond). A esruura da ransacção é precisamene a mesma e esão ambém associadas a riggers. Seguidamene descrevem-se sucinamene alguns dos LS recenemene uilizados nos mercados. CAT Fuures e CAT Opions Os primeiros LS surgiram aravés da Chicago Board of Trade (CBoT), que em 99 emiiu Caasrophe fuures e Caasrophe opions. Eses produos baseavam-se em índices que re eciam as perdas acumuladas causadas por deerminada caásrofe. O índice era calculado pelo nsurance Service O ce (SO) e consisia num rácio enre as perdas da empresa e os prémios adquiridos ( = repored incurred losses=earned premims). O índice baseava-se em dados de apenas empresas de seguros e em riscos especí cos (veno, granizo, sismos, moins e inundações). Eses dois produos foram no enano reirados do mercado em 995 devido ao reduzido número de ransacção exisenes ([9]). As opções e os fuuros considerados seguem a esruura de ouros produos semelhanes ransaccionados nos mercados nanceiros. Com o objecivo de arair mais invesidores, a CBoT emiiu enão um novo produo, denominado CAT Opions Spreads, que limiavam de cera maneira as perdas, aravés da 7

24 imposição de alguns limies. Traavam-se de conraos muio semelhanes ao resseguro excess of loss, mas com nível de coberura de nido. Em ermos de esruura, eses produos revelaram-se demasiado simples, na medida em que os índices eram publicados rimesralmene e, como se baseavam nas perdas das empresas, dependiam da rapidez no repore e resolução dos sinisros, o que podia provocar, por um lado, risco moral e, por ouro, uma presação pouco realisa do índice. Eses produos não se revelaram muio aracivos quer para as empresas de seguros quer para os invesidores, devido ao faco de ser um mercado muio recene e de pequena dimensão, o que razia muia incereza para ambos os inervenienes. Em 997, a Bermuda Commodiies Exchange enou ambém desenvolver o mercado das opções caasró cas mas, al como sucedeu no caso da CBoT, os conraos foram reirados ao m de anos devido ao reduzido número de ransacções efecuadas ([]). Tornando-se claro o insucesso dos CAT fuures e das CAT opions, a CBoT subsiui-os por ouro ipo de produos, as PCS opions. PCS Opions As PCS opions foram ransaccionadas pela primeira vez na CBoT em Seembro de 995. Esas opções baseavam-se em caasrophe loss indices calculados diariamene pelo PCS. O índice re ecia as perdas caasró cas da indúsria seguradora num deerminado período e exisiam diversos índices que represenavam diferenes caásrofes em áreas geográ cas diversas. Eses conraos diferiam das CAT opions iniciais em aspecos essenciais: primeiro, não se baseavam em dados do SO para algumas empresas de seguros e relaivas a ceros riscos, mas em esimaivas do PCS de odas as perdas caasró cas na indúsria seguradora, que são consideradas basane áveis ([]); segundo, o seu valor não é calculado com base num rácio de perdas, mas num valor real em dinheiro. Cada pono no índice do PCS represena milhões de dólares em perdas caasró cas e na opção o valor equivalene é de dólares por cada pono. Por exemplo, se as perdas esimadas forem de 95 milhões de dólares, o índice seria de ponos. A opção esava indexada ao índice e cada pono do índice correspondia a dólares em cash. Ramo Auomóvel 4 ([4]) A empresa de seguros AXA ransferiu em 5 pare do risco da sua careira de seguro auomóvel francesa (cerca de 5% do mercado), que cobria aproximadamene 3 milhões de veículos e.. milhões de euros em prémios, para os mercados nanceiros. A coberura é accionada se a sinisralidade desa careira exceder um rigger 4 nformações obidas em 8

25 de nido à parida pela AXA e reviso pela Sandard & Poor s (S&P) e pela Fich Raings, em cada ano. Ese excesso na sinisralidade é deduzido no principal das obrigações que foram adquiridas pelos invesidores, aé um valor máximo de milhões de euros. Em 7 a AXA fez uma nova ransferência de riscos da sua careira auomóvel para os mercados nanceiros, desa vez cobrindo 6 milhões de veículos,.6. milhões de euros em prémios e a sinisralidade de 4 países (Bélgica 8%, Alemanha 3%, ália % e Espanha 3%). Credi Reinsurance ([4]) Em Janeiro de 6 a Swiss Re realizou a primeira operação de securiização baseada no credi reinsurance. Esa operação, no valor de 5 milhões de euros, oferecia proecção à SwissRe conra perdas inesperadas na sua careira de resseguro. A emissão consisiu em 3 ranches com um cupão de Euribor mais 3,93% por ano, pago rimesralmene e com mauridade de 3 anos. O rigger associado é um indemniy rigger calculado com base nas perdas da careira de resseguro nos anos de 6, 7 e 8. Exreme moraliy bonds As moraliy bonds são, como se disse, muio semelhanes às CAT bonds que cobrem evenos caasró cos Não Vida, com a paricularidade que o seu rigger é um eveno de moralidade que pode resular de uma série de facores, ais como uma epidemia, aaques errorisas, acidenes nucleares, ec. O moraliy rigger pode basearse na experiência de moralidade da empresa de seguros ou resseguros, ou pode ser calculado com base num índice de moralidade. A primeira emissão dese ipo de obrigações foi efecuada pela Swiss Re em Dezembro de 3, com mauridade em de Janeiro de 7, 4 milhões de dólares de capial em risco e cobrindo riscos de moralidade resulanes de caásrofes naurais ou caásrofes causadas pelo Homem, nos E.U.A. ou na Europa. O risco de moralidade era de nido aravés de um índice q ( represena o ano) calculado com base numa média ponderada das axas anuais de moralidade nos E.U.A., Reino Unido, França, ália e Suíça. Se o índice q ( = 4, = 5 ou = 6) excedesse 3% do valor da moralidade do índice observado em (q ), os invesidores eriam uma redução do pagameno no principal. Se excedesse em 5%, odo o principal era perdido. A equação seguine descreve o funcionameno desa obrigação, em percenagem de capial perdido: 8 < P erdas = : se q ; 3q - ;5q q ;q se ; 3q < q ; 5q (3) se q > ; 5q Na mauridade da obrigação, em Janeiro de 7, não inham ocorrido evenos de moralidade para acivar o rigger desa obrigação. 9

26 Esa operação de securiização da Swiss Re foi bem recebida pelos invesidores porque se baseou direcamene no risco de moralidade e não no desempenho de deerminada empresa. Além disso, é uma ransacção muio simples e ransparene para os invesidores, o que leva a que eses esejam menos sujeios ao risco moral. Por ouro lado, pode-se considerar um invesimeno diversi cado. Como se referiu, a uilização de índices ambém em as suas desvanagens, nese caso para a empresa de seguros, que esá sujeia ao basis risk, pois a moralidade da sua careira pode diferir da observada aravés do índice. A Swiss Re realizou novas emissões dese ipo de obrigações nos anos seguines ([9]). Longeviy bonds O risco de longevidade consiui ambém uma preocupação para as empresas de seguros, endo em cona que a esperança média de vida é cada vez mais ala e que a população em geral em cada vez mais preocupações com a reforma, adquirindo pensões. Para uma empresa de seguros, o incremeno da longevidade vai aumenar o valor das responsabilidades a pagar relaivos a anuidades. Para se proeger, a empresa de seguros ou resseguros pode securiizar os riscos, uilizando uma esruura semelhane à uilizada nas CAT bonds mas, nese caso, a empresa vai querer adquirir as obrigações, de modo a cobrir o seu risco de longevidade. Uma longeviy bond é uma securiy cujos payo s dependem do valor do índice de sobrevivência em cada momeno de pagameno. Ese índice é dado pela proporção de pessoas ainda vivas, relaivamene à população inicial. A primeira emissão de longeviy bonds foi levada a cabo pelo European nvesmen Bank (EB) em cooperação com o Banco BNP Paribas e a empresa de resseguro ParnerRe, em Novembro de 4, caracerizada por um capial em risco de 775 milhões de euros e mauridade de 5 anos. Os cash ows da obrigação seriam calculados com base na longevidade acual da população nglesa masculina com 65 anos, publicada pelo O ce for Naional Saisics. Esas obrigações foram criadas para um público-alvo especí co (fundos de pensões e empresas de seguros que emiem rendas vialícias), mas não foram muio bem recebidas. Reclamava-se o preço e o basis risk elevados das mesmas, endo sido reiradas do mercado em 5 ([9]).

27 4 Avaliação de nsurance Linked Bonds 4. Pressuposos e Especi cação do Modelo O modelo desenvolvido nesa secção preende ser um insrumeno de securiização de riscos de seguros semelhane ao descrio aneriormene (CAT bonds), mas associado apenas a riscos não caasró cos. Como já se disse, as CAT bonds e ouros insurance-linked securiies, não esão ligadas a um acivo subjacene mas o seu payo depende da veri cação de deerminado eveno para o qual são esabelecidos limies (denominados riggers). O eveno associado ao insurance-linked securiy vai ser mensurado aravés de um índice (como numa Ca bond associada a um index rigger). O faco de não considerarmos riscos caasró cos, signi ca que a nossa incereza provém de um Processo de Wiener e não de um Processo de Poisson, ou seja o nosso índice vai seguir um Geomeric Brownian Moion. Consideremos uma obrigação associada a um índice: d = d + dw (3) onde é a variação esperada no índice, é o desvio padrão e W é um sandard brownian moion. Considere-se uma obrigação de cupão zero com mauridade T e face value F, associada ao índice aneriormene de nido. Seja K o rigger da obrigação e T ;K o rs passage ime de por K, ou seja: T ;K = finf ( ; < < T ; = K)g (3) Considere-se o período de exposição ao risco T, al que T T. Os payo s da obrigação na mauridade T são: Se o rigger não for acivado, os deenores da obrigação recebem: F ft;k >T g (33) Se rigger for ocado durane o período de exposição os deenores da obrigação recebem: ( a) F ft;k T g (34) onde a represena a percenagem do principal da obrigação que os invesidores perdem por a obrigação er sido acivada.

28 4. Modelo com axas de juro deerminísicas Nesa secção vai-se proceder à deerminação de uma fórmula fechada para o preço da obrigação uilizando axas de juro consanes. Tendo em consideração o pressuposo assumido no Capíulo, pode dizer-se que o preço da obrigação no momeno é o valor desconado dos cash- ows fuuros na medida de probabilidade neura face ao risco, Q: h i P = E Q e rt F ft;k >T g + ( a) F ft;k T g h i = e rt E Q F ft;k >T g + F ft;k T g h i = e rt E Q F af ft;k T g i = e rt E hf Q a ft;k T g h i = e rt F E Q a ft;k T g = e rt F e rt F ae Q h ft;k T g = e rt F e rt F aq [T ;K T ] i af ft;k T g = e rt F ( aq [T ;K T ]) (35) Para ober uma fórmula fechada para a equação anerior é necessário calcular Q [T ;K T ], com T ;K = finf ( ; < < T ; = K)g ; que é equivalene a calcular a função densidade de probabilidade de T ;K na medida Q, sendo que T ;K é a rs passage ime, ou seja, a primeira vez (dese o momeno zero) que o processo ainge a barreira K, sendo para al necessários alguns cálculos preliminares descrios seguidamene. Como já se disse, o processo seguido pelo índice, na medida física P, é: Tem-se que Q: d = d + dw (36) e r = E Q T e rt jf é um Q-maringale e porano e r Aplicando o Lema de ô na equação (36), com f (; x) = xe r, vem: d = re r d + e r d e r = re r d + e r ( d + dw ) não em drif na medida = e r [( r) d + dw ] (37)

29 Considere-se um novo Brownian Moion W Q al que Combinando as equações (37) e (38), vem: Para que W Q em que ser nulo, iso é: d dw Q = dw + d (38) h e r = ( r) d + dw Q e r i d = ( r ) d + dw Q (39) seja Brownian Moion na medida de maringala Q, o drif da equação anerior Pelo Teorema de Girsanov, vem que W Q Combinando as equações (37), (38), e (4), vem: r =, = r (4) d h = d + dw Q = W + é um Q-Brownian moion. = d + dw Q i d r d = rd + dw Q (4) A solução da equação anerior, aplicando o Lema de ô com f (x) = ln, vem: d ln = d + d = d + = rd + dw Q = r d d h; i d + dw Q (4) ou seja, d ln = que esá nas condições da proposição 5. r d + dw Q 3

30 Esão criadas as condições para o cálculo de Q [T ;K T ], como se apresena seguidamene: Q [T ;K T ] = Q [T ;K > T ] = Q T < K ^ sup ( u ) < K jf <u<t T K = Q ln < ln ^ sup <u<t ln u K < ln jf Uilizando agora a proposição 5, vem: 8 < = ln K r p T r K ln ln K + r p T + r ln K ln K + r p T r K + exp ln T T A ln A ln K T K = (d ) + exp ln K = (d ) + r K r A ln K r! K (d ) p T ln K r p T ln K r p T T A T T A 9 = A ; (d ) (43) 4

31 com: d = d = ln K + r p T ln K r p T T T Porano, o preço da insurance linked bond vem dado por: ( K P = e rt F a (d ) + r )! (d ) (44) (45) (46) 4.3 Modelo com Taxas de Juro Esocásicas Nesa secção vai-se proceder a deerminação de uma fórmula fechada para o preço da obrigação uilizando axas de juro esocásicas. O índice, de nido aneriormene, na medida Q vem dado por: d = r d + dw Q (47) sendo: dr = ( de acordo com o Modelo de Vasicek 5. r ) d + r dw Q (48) Tem-se ambém que: D d W Q ; W r Q E = d (49) Seja Q T a forward maringale measure equivalene a Q e associada ao numerário P (; T ). Seguindo o mesmo raciocínio que na secção anerior, vem: P = P (; T ) F aq T [T ;K T ] = P (; T ) F aq T [T ;K T ]! TR = P (; T ) F a Q T (T ;K dvj F ) (5) 5 Ver Anexo A. 5

32 onde Q T (T ;K dvj F ) é a rs passage ime densiy que se preende calcular à semelhança da secção precedene. Considere-se a seguine proposição, adapada da Proposição de [] que apresena uma equação inegral de Volerra de segundo grau para a rs passage ime densiy. Proposição 7 Considerando o modelo de nido pelas equações (47), (48) e (49), a rs passage ime densiy do índice pelo rigger K é a solução implícia de R Q T ( u Kj F ) = Q T [ u Kj v = K; r v ] Q T [r v drj v = K; r ] Q T (T ;K dvj F ) < com u [ ; T ]. Demonsração. Ver em [] (5) Para se ober Q T (T ;K dvj F ) é necessário calcular os ouros ermos da equação anerior, o que é efecuada nas secções seguines Cálculo da disribuição condicional da axa de juro Preende-se calcular Q T [r v drj v = K; r ]. Fazendo a mudança de variáveis, x v = ln ( v ), vem: Q T [r v drj v = K; r ] = Q T [r v drj x v = ln (K) ; r ] (5) Aplicando o Lema de ô com f (; x) = e x à equação (48), vem: e u r u = e r + r l e l dl + e l dr l + d hr; ri = e h i r + r l e l dl + e l ( r l ) dl + r dw Q l = e r + r l e l dl + e l dl r l e l dl + e l r dw Q l = e r + e l dl + e l r dw Q l (53) 6

33 solando o ermo r u do lado esquerdo da equação, vem: r u = e (u ) r + e (u l) dl + = e (u ) r + e (u ) + sendo = e (u ) r + B ( ; u) + r e (u e (u e (u l) r dw Q l l) r dw Q l l) dw Q l (54) B ( ; u) = e (u ) (55) A úlima parcela é um negral de ô porano segue uma disribuição Normal, ou seja:! l) r dw Q l N ; l) r dl Logo conclui-se que: r e (u e (u r u jf Q N l) dw Q l N ; r e (u e (u e (u ) (56) ) r + B ( ; u) ; r e (u ) (57) Aplicando agora o Lema de ô à equação (47) com f (x) = ln (x) e uilizando a mesma mudança de variável, ca: x u = ln ( u ) = x + dl + d l + d h; i l l l l l dl D Temos que d W Q ; W r Q h i = x + r l l dl + l dw Q l l = x + r l E = d (49). dl + dw Q l (58) Eses Brownian Moions podem ser decomposos em vecor com duas dimensões h i Z Q () = Z Q () ; ZQ r () de Brownian Moions independenes, ais que: dw Q dw Q r () = () p dz Q () (59) 7

34 Assumindo que exise a medida Q T e seguindo [], mosra-se que: dz QT () = dz Q () + r B (; T ) p d (6) é ambém um Sandard Brownian Moion em R, para T. D E D E Temos enão que d W Q ; W r Q = d e ambém que d Z Q ; ZQ r Tem-se: r u = e (u ) r + B ( ; u) + r e (u =. l) dw Q l (6) dw Q r () = p dz Q r () (6) Logo vem: dz Q () = dz QT () r B (; T ) p d (63) r u = e (u ) r + B ( ; u) + r e (u l) p dz Q (l) = e (u ) r + B ( ; u) + r e (u l) p n dz QT (l) r B (l; u) p dl o = e (u ) r + B ( ; u) + r e (u l) p dz QT (l) = e (u ) r + e (u l) dl + r e (u l) p dz QT (l) r B (l; u) e (u = e (u ) r + e (u l) rb (l; u) dl r B (l; u) + e (u l) dl + r e (u l) p dz QT (l) (64) l) dl Seja r ( ; u) = e (u l) rb (l; u) dl (65) 8

35 e Enão vem: r (r ; ; u) = e (u ) r + r ( ; u) (66) r u = r (r ; ; u) + r e (u l) p dz QT (l) (67) A úlima parcela, uilizando o Corolário de [3], segue uma disribuição Normal, ou seja: e (u l) p dz QT (l) N ; re (u l) p p! dl com: Logo, conclui-se que: e (u l) p dz QT (l) N ; re (u e (u l) p dz QT (l) N ; r ( ; u) (68) l) dl r ( ; u) = r e (u ) (69) Q T [r v drj F ] = r; r (r ; ; u) ; r ( ; u) dr (7) Temos: x u = x + r l dl + dw Q (l) = x + r l dl dl + dw Q (l) " # lr = x dl + e (l ) r + B ( ; l) + r e (l v) dwr Q (v) dl + dw Q (l) = x (u ) + e (l ) r dl + B ( ; l) dl ( ) lr + r e (l v) dwr Q (v) dl + dw Q (l) (7)! e ambém: dw Q r () = p dz Q r () (7) 9

36 e e dw Q () = dzq () (73) dz Q () = dz QT () r B (; T ) p d (74) Logo, vem: x u = x (u ) + e (l ) r dl + B ( ; l) dl ( lr + r e (l v) p ) dz Q (v) dl + = x (u ) + r B ( ; u) + (u ) ( + r + B (; u) dz Q (l) lr e (l v) p h dz QT (v) r B (v; u) p i ) dv dl n dz QT (l) r B (l; u) p dl o + B ( ; u) r = x + (u ) ( lr + r e (l v) p dz QT (v) + dz QT (l) r B (l; u) dl + B ( ; u) r lr e (l v) r B (v; u) dv = x + (u ) ( lr + r e (l v) p ) lr dz QT (v) dl r e (l v) B (v; u) dvdl + dz QT (l) r B (l; u) dl lr = x (u ) + B ( ; u) r + B ( ; l) dl r e (l v) B (v; u) dvdl ( lr r B (l; u) dl + r e (l v) p ) dz QT (v) dl + dz QT (l) 3 ) dl

37 = x (u ) + B ( ; u) r r B (l; u) dl " # lr + B ( ; l) v) B (v; u) dv dl r e (l ( lr + r e (l v) p ) dz QT (v) dl + dz QT (l) = x (u ) + B ( ; u) r r B (l; u) dl " # lr lr + e (l v) dv e (l v) rb (v; u) dv dl ( lr + r e (l v) p ) dz QT (v) dl + dz QT (l) = x (u ) + B ( ; u) r r B (l; u) dl ( lr + e (l v) rb (v; u) ) dv dl ( lr + r e (l v) p ) dz QT (v) dl + dz QT (l) = x (u ) + B ( ; u) r r B (l; u) dl + r ( ; u) dl ( lr + r e (l v) p ) dz QT (v) dl + dz QT (l) Seja: x ( ; u) = (u ) r B (l; u) dl + r ( ; u) dl (75) e x (x ; r ; ; u) = x + B (; u) r + x (; u) (76) Enão vem que: ( lr x u = x (x ; r ; ; u)+ r e (l v) p ) dz QT (v) dl+ dz QT (l) (77) 3

38 Aplicando o Teorema de Fubini na segunda parcela da equação anerior, vem: R u x u = x (x ; r ; ; u) + r e (l v) p dl dz QT (v) + dz QT (l) v 3 r e (l v) dl + = x (x ; r ; ; u) + 6 v 7 4 r e (l v)p 5 dz QT (l) dl = x (x ; r ; ; u) + v + r B (v; u) r p B (v; u) dz QT (l) (78) A úlima parcela, uilizando o Corolário de [3], segue uma disribuição Normal, ou seja: p + r B (v; u) dz QT (l) N ; p + r B (v; u) p + r B (v; u) dv! r B (v; u) r B (v; u) r B (v; u) p + r B (v; u) dz QT (l) N ; r B (v; u) + r B (v; u) + rb (v; u)! dv (79) Seja: Enão vem que: x ( ; u) = + r B (v; u) + rb (v; u) dv (8) Q T [x u dxj F ] = x; x (x ; r ; ; u) ; x ( ; u) dx (8) Vamos provar que (x u ; r u ) segue uma disribuição Normal Bivariada. Temos que: ax u + br u = a x (x ; r ; ; u) + a p + r B (v; u) dz QT (l) r B (v; u) +b r (r ; ; u) + b r e (u l) p dz QT (l) = a x (x ; r ; ; u) + b r (r ; ; u) (u l) a ( + r B (v; u)) + b r e + p a r B (v; u) + b p (u l) dz QT (l) (8) r e A úlima parcela, uilizando o Corolário de [3], segue uma disribuição Normal, ou seja: Q T [ax u + br u dyj F ] = 3

39 y; a x (x ; r ; ; u) + b r (r ; ; u) ; a x ( ; u) + b r ( ; u) + ab x;r ( ; u) dy (83) com: x;r ( ; u) = r + r B ( ; u) r ( ; u) (84) rjx (x ; r ; ; u) = a x (x ; r ; ; u) + b r (r ; ; u) (85) Logo (x u ; r u ) N (Ver []). rjx ( ; u) = a x ( ; u) + b r ( ; u) + ab x;r ( ; u) (86) Porano, seguindo novamene [] e uilizando por exemplo equação 35.4 de [7] podemos concluir que x u jr u segue uma disribuição Normal, ou seja: Q T [r v drj x v = ln (K) ; r ] = r; rjx (x ; r ; ; u) ; rjx ( ; u) dr (87) 4.3. Cálculo da disribuição incondicional do índice. Preende-se calcular Q T [ u Kj F ]. Temos: Q T [ u Kj F ] = Q T [x u ln (K)j F ] (88) Aravés de (8) podemos concluir que: Q T [ u Kj F ] = Q T [x u ln (K)j F ] ln (K) x (x ; r ; ; u) = x ( ; u) (89) Cálculo da disribuição condicional do índice. Preende-se calcular Q T [ u Kj v = K; r v ]. Temos que Q T [ u Kj v = K; r v ] = Q T [x u ln (K)j x v = ln (K) ; r v ] (9) 33

40 Usando (8) com = v, vem: Q T [ u Kj v = K; r v ] = Q T [x u ln (K)j x v = ln (K) ; r v ] ln (K) x (x v ; r v ; v; u) = x (v; u) (9) 4.4 Conclusão O grande objecivo dese rabalho era ober a solução implícia da Proposição 7, ou seja de: R Q T [ u Kj F ] = Q T [ u Kj v = K; r v ] Q T [r v drj v = K; r ] Q T (T ;K dvj F ) < Temos: ln (K) Q T x (x ; r ; ; u) [ u Kj F ] = (9) x ( ; u) ln (K) Q T x (x v ; r v ; v; u) [ u Kj v = K; r v ] = (93) x (v; u) Q T [r v drj v = K; r ] = r; rjx (x ; r ; ; u) ; rjx ( ; u) dr (94) Trocando (93) com (94), vem: Q T [ u Kj F ] = = = = R < R < Q T [ u Kj v = K; r v ] Q T [r v drj v = K; r ] Q T (T ;K dvj F ) (95) Q T [r v drj v = K; r ] Q T [ u Kj v = K; r v ] Q T (T ;K dvj F ) (96) R r; rjx (x ; r ; ; u) ; rjx ( ; u) ln (K) x (x v ; r v ; v; u) dr x (v; u) < Q T (T ;K dvj F ) (97) Uilizando o Lema B (Lema 6 na presene ese) de [], vem: Q T [ u Kj F ] x (v; u) + B (v; u) rjx (x ; r ; ; u) q A Q T (T ;K dvj F x (v; u) + B (v; u) rjx ( ) ; v) 34 (98)

41 Logo, Q T (T ;K dvj F ) é a solução implícia de: ln (K) x (x ; r ; ; u) x ( ; u) x (v; u) + B (v; u) rjx (x ; r ; ; u) q A Q T (T ;K dvj F x (v; u) + B (v; u) rjx ( ) (99) ; v) 5 Conclusão Nesa ese apresena-se uma fórmula fechada para a avaliação de nsurance Linked Bonds, uilizando um modelo com axas de juros deerminísicas e ouro com axas de juro esocásicas. Em qualquer dos casos, a presene análise assenou essencialmene na deerminação da rs passage ime. No caso deerminísico, procedeu-se ao seu cálculo aravés da écnica de mudança de medida de probabilidade, bem como do Lema de ô. Ese processo mosrou-se basane acessível devido à sua semelhança com emas abordados na lieraura, ais como opções de barreira. No que se refere, ao caso esocásico foi necessário recorrer a uma equação inegral de Volerra de segundo grau e mosrou-se um processo moroso. Para o cálculo da rs passage ime eve que se ober, primeiramene, a disribuição condicional da axa de juro, a disribuição condicional do índice e a disribuição incondicional do índice. Esas disribuições foram poseriormene uilizadas para se ober impliciamene a rs passage ime densiy. A aplicação práica do modelo apresenado mosrou-se de difícil execução devido ao faco de no mercado exisirem poucos produos dese género e quando exisem são emissões privadas, para os quais não exisem coações/preços/informação de divulgação ao público em geral. Em ermos de invesigações fuuras, seria imporane incorporar no índice a componene associada às perdas inerenes a caásrofes naurais, o que signi cava incluir oura fone de risco no índice, um processo de Poisson. 35