Paradoxos. O problema de Monty Hall: trocar ou não trocar?

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Davi Guimarães de Almeida
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1 Paradoxos Os aniversários: qual a probabilidade de estarem neste momento, nesta sala, duas pessoas que fazem anos no mesmo dia? 1

2 Paradoxos Os aniversários: qual a probabilidade de estarem neste momento, nesta sala, duas pessoas que fazem anos no mesmo dia? O problema de Monty Hall: trocar ou não trocar? 1

3 Dois estudantes estavam num bar em Nova Iorque quando resolveram calcular o valor esperado do prémio de Quick Draw por cada dólar apostado. Quick Draw: loto instantâneo em que são sorteados 20 números de 1 a 80 sem reposição. O objectivo é acertar nesses números. O jogador pode escolher jogar de 1 a 10 números. Consideremos o caso de 4 números. Os prémios por cada dólar apostado são: $1 (2 números certos); $5 (3 números certos); $55 (4 números certos). Seja Y o prémio ganho e X a quantidade de números certos. 2

4 Dois estudantes estavam num bar em Nova Iorque quando resolveram calcular o valor esperado do prémio de Quick Draw por cada dólar apostado. Quick Draw: loto instantâneo em que são sorteados 20 números de 1 a 80 sem reposição. O objectivo é acertar nesses números. O jogador pode escolher jogar de 1 a 10 números. Consideremos o caso de 4 números. Os prémios por cada dólar apostado são: $1 (2 números certos); $5 (3 números certos); $55 (4 números certos). Seja Y o prémio ganho e X a quantidade de números certos. X tem distribuição Hipergeométrica (80,20,4): P(X = x) = ( 20 )( 60 k 4 k ( 80 4 ) ) 2

5 Por cada dólar apostado: Números Prémio Lucro Probabilidades (x) (y) (l) P(X = x) ou E(Y ) = P(X = 2) + 5 P(X = 3) + 55 P(X = 4) = = = Por cada dólar apostado, o lucro é L = Y 1 E(L) = E(Y ) 1 = Tem-se ainda V (Y ) = V (L) =

6 Uns tempos depois, no mesmo bar, os estudantes repararam no anúncio de uma promoção que dizia: Durante o próximo mês de Novembro, às quartas-feiras, o prémio do Quick Draw de 4 números é duplicado. Pensaram: Há qualquer coisa de errado nisto! 4

7 Uns tempos depois, no mesmo bar, os estudantes repararam no anúncio de uma promoção que dizia: Durante o próximo mês de Novembro, às quartas-feiras, o prémio do Quick Draw de 4 números é duplicado. Pensaram: Há qualquer coisa de errado nisto! Números Prémio Lucro Probabilidades (x) (y = 2y) (l = 2y 1) P(X = x) ou E(Y ) = E(2Y ) = E(L ) = E(2Y 1) = > 0 V (Y ) = V (L ) = (por cada dólar apostado, promoção) 4

8 Decidiram então tirar partido da Lei dos Grandes Números. 5

9 Decidiram então tirar partido da Lei dos Grandes Números. Conseguiram jogar 1500 cartões com valor máximo por cartão ($100 = $5 20 jogos) em cada uma das quatro quartas-feiras desse mês de Novembro. Quanto ganharam? 5

10 Decidiram então tirar partido da Lei dos Grandes Números. Conseguiram jogar 1500 cartões com valor máximo por cartão ($100 = $5 20 jogos) em cada uma das quatro quartas-feiras desse mês de Novembro. Quanto ganharam? Número total de jogos: N = = Valor esperado do lucro total, L T = N i=1 5 L i E (L T ) = N 5 E(L i ) = = Variância do lucro total: V (L T ) = N 25 V (L i ) = = Desvio padrão do lucro total:

11 Usando o Teorema do Limite Central podemos calcular aproximadamente a probabilidade de perderem dinheiro e a probabilidade de ganharem mais de $ (por exemplo) L T N( , ) ( ) P(L T < 0) Φ = Φ( 10.6) 0 ( ) ( ) P(L T > ) 1 Φ = Φ(1.52)

12 Distribuição normal aproximada e distribuição simulada do lucro total: Lucro Total Nota: 1000 réplicas, das quais 938 resultaram num valor superior a

13 Trajectórias das 1000 simulações Lucro Total Jogos Nota: As linhas vermelhas a cheio representam Jogos ± 3 Jogos

14 Podem ler uma versão desta história em Mixing a Night out with Probability...& Making a Fortune (Math Horizons, February 2007, pp. 8 9, The mathematical Association of America ) 9

15 Podem ler uma versão desta história em Mixing a Night out with Probability...& Making a Fortune (Math Horizons, February 2007, pp. 8 9, The mathematical Association of America ) E descobrir que os ditos estudantes ganharam uma quantia próxima do valor esperado (diferença inferior a $100)! 9

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