UNIDADE II VETORES E INTEGRAIS

Transcrição

1 INSTITUTO DE FÍSICA UFRGS FÍSICA IIC (FIS01182) Método Keller UNIDADE II VETORES E INTEGRAIS I. Introdução: N Unidde I você tomou conhecimento de lguns conceitos importntes, tis como crg elétric, condutores e isolntes, conservção e quntizção d crg elétric, bem como prendeu clculr forçs elétrics entre crgs puntiformes. Nest Unidde, no entnto, vmos nos fstr um pouco do conteúdo proprimente dito d disciplin, de modo fzer um revisão mtemátic que proporcionrá um melhor rendimento no resto do curso. A rzão pr isto é muito simples. É certo que, qunto mis nos profundmos nos estudos dos fenômenos físicos, pr que possmos estudálos e representálos nliticmente, mis conhecimento mtemático necessitmos ter. A experiênci nest disciplin tem demostrdo que os lunos têm muit diculdde no curso, e às vezes té desistem de fzêlo, devido problems com Mtemátic, principlmente pelo enfoque diferente com que el é plicd à Físic. Por est rzão, nest Unidde procurremos explorr, de um ponto de vist purmente prático, lguns tópicos sobre vetores e integris, tcndo pens os pontos relevntes o nosso curso de Eletromgnetismo. O conteúdo dest Unidde II inicise com s usuis denições de grndezs esclres e vetoriis, bem como com s operções vetoriis mis necessáris o curso. A seguir, é presentd um revisão de Cálculo Integrl, bordndo integris indenids e denids de funções esclres, culminndo com representção do Teorem Fundmentl do Cálculo Integrl. Algums plicções envolvendo técnics de integrção, bem como plicções dests técnics n obtenção de momentos de inérci de distribuições contínus de mss são exemplicds. Estes exemplos servem de gui pr o cálculo de cmpos elétricos e mgnéticos que surgirão durnte o curso, prtir d próxim Unidde. Observe que resolução de problems envolvendo integris será um tividde comum dqui pr frente, não só nest disciplin como ns que virão pós. Portnto, você tem gor um bo oportunidde de dquirir prátic n plicção de seus conhecimentos neste ssunto. Pr nlizr, presentmos um tópico sobre integrção de vetores, que inclui integrção ordinári de vetores, integris de linh, de superfície e de volume. Você já teve contto com os dois primeiros tipos de integrção, um vez que n Físic I, o cálculo do trblho relizdo por um forç vriável, nos csos uni e bidimensionis, é feito com estes 2 tipos de integris. Se você der especil tenção est Unidde e tingir plenmente todos os objetivos propostos seguir, seu curso de Físic II será bstnte fcilitdo e você poderá concentrr seus esforços n Físic proprimente dit, pois bggem mtemátic necessári pr o curso está contid qui. N próxim Unidde retornremos o livrotexto. 1

2 II. Objetivos: Ao término dest unidde você deverá ser cpz de: 1) somr vetores pelos métodos geométrico e nlítico; 2) clculr os produtos esclr e vetoril entre dois vetores; 3) conceitur integrl indenid e integrl denid, e plicr o Teorem Fundmentl do Cálculo; 4) resolver integris pelo método de substituição de vriáveis ; 5) clculr momentos de inérci de distribuições lineres contínus de msss; 6) conceitur integris dupls e tripls; 7) resolver integris ordináris de vetores e conceitur integris de linh, de superfície e de volume. III. Procedimento sugerido : ) Lei o texto Tópicos de Análise Vetoril em nexo e resolv os exercícios nele contidos. b) Leitur conselhd: Cp. 3 do Livrotexto : Fundmentos de Físic, D. Hllidy, R. Resnick e J. Wlker, vol. 1, 4 ed., LTC, IV Resposts dos exercícios do texto: Seção 2 1) Não. Sim. 2) Não. 3) () 35, 5 km; (b) 23, 7 o. 4) () 6î 3ĵ 3ˆk; (b) ĵ + ˆk; (c) ĵ ˆk. 5) s = 2 + b b cos θ. 6) Sim. 7) Não. Sim. 9) () 1 nos três csos; (b,c) 0 nos três csos; (d) ˆk, î e ĵ; (e) ĵ, ˆk e î. 10) () 13; (b) 3(î + ĵ + ˆk) (c) 3(î + ĵ + ˆk). A 11) cos θ = B. 12) 21, 8 o. Seção 3 1). ln ( L+ A B = A xb x+a yb y+a zb z A 2 x +A 2 y+a 2 z B 2 x +By+B 2 z 2 ), b. R2 + 2, c. 1 1 R 2 + 2, d ) I z = ρ 3 θ o. 3) I = 5 3 ρ3. 4) I = 3πρ 3. 5) I z = ρl ( l r2). 6) I = 4 3 ρl3. Seção 4 1) I = 8î + 8, 6ĵ; I = 11, 7. 2) I = 0, 5ˆk; I =

3 Tópicos de Análise Vetoril No estudo d eletricidde e do mgnetismo grnde economi de notção e grnde clrez podem ser obtids se usrmos notção d nálise vetoril. O propósito dest Unidde é dr um breve, ms consistente, exposição (ou revisão, pr queles que já estão fmilirizdos com o ssunto) d nálise vetoril básic e fornecer o conhecimento necessário pr um melhor e mis dequdo trtmento pr eletricidde e mgnetismo. 1 Grndezs: No estudo d Físic elementr, muitos tipos de grndezs form encontrds. Em prticulr, seprção entre esclres e vetores foi feit e nos é suciente. Vejmos ests denições: 1.1 Esclres: Um esclr é um grndez que c completmente crcterizd por su mgnitude. Exemplos de esclres são muitos: mss, tempo, áre, etc. Um extensão simples do conceito de esclr é o de cmpo esclr, i.e., um função d posição que é completmente especicd por su mgnitude em todos os pontos no espço, como por exemplo tempertur de um sl: el pode ser diferente em diferentes pontos d sl. Outro exemplo, e que nos interessrá em muito, é o do potencil eletrostático. 1.1 Vetores: Um vetor é um grndez que é completmente crcterizd por su mgnitude, direção e sentido. Como exemplos de vetores podemos citr posição desde um origem x, velocidde, celerção, forç, etc. Usulmente os vetores são representdos grcmente por um ech cujo comprimento é proporcionl mgnitude do vetor, direção é ret que pss o longo d mesm e o sentido é ddo pel orientção d ech, indicd por su pont. No texto, os vetores são representdos ou por um letr em negrito ou por um letr com um pequen ech em cim. A generlizção pr um cmpo vetoril fornece um função de posição que c completmente especicd por su mgnitude, direção e sentido em todos os pontos do espço. O cmpo elétrico, que será estuddo n Unidde seguinte é um exemplo de cmpo vetoril. 2 Álgebr Vetoril: Um vez que álgebr de esclres já é fmilir você, usremos pr desenvolver álgebr vetoril. Pr que isto poss ser efetivdo, vmos começr representndo os vetores em um form mis conveniente. 2.1 Decomposição de vetores: Consideremos um sistem de coordends crtesino tridimensionl. Este sistem será denotdo pels três vriáveis x, y e z ou, qundo convier, por x 1, x 2 e x 3. O sistem deve ser dextrógiro, i.e., se linhrmos plm d mão direit o eixo x (ou x 1 ) e girrmos (pelo menor ângulo) em direção o eixo y (ou x 2 ), o polegr esticdo deve cr linhdo com o eixo z (ou x 3 ). 3

4 Com relção este sistem, um vetor V é especicdo por sus componentes crtesins V x, V y e V z tis que V x = V cos α x V y = V cos α y (1) V z = V cos α z onde V é o módulo do vetor V e α i é o ângulo entre o vetor e o eixo i. No cso de um cmpo vetoril, cd componente deve ser interpretd com um função de x, Fig.1 Decomposição do vetor V em y e z. A Fig.1 o ldo mostr o vetor V com sus res componentes crtesins V x, V y e V z. pectivs componentes. Deve ser enftizdo que introduzimos representção dos vetores segundo um sistem de coordends crtesino pens por simplicidde e pr fcilitr o entendimento. Tods s denições e operções são, de fto, independentes de qulquer escolh especil de coordends. 2.2 Som de vetores: A som de dois vetores é denid como o vetor cujs componentes são s soms ds correspondentes componentes dos vetores originis. Assim, se C é o resultdo d som dos vetores A e B, escrevemos C = A + B (2) e C x = A x + B x, C y = A y + B y e C z = A z + B z. (3) Est denição de som vetoril é completmente equivlente à conhecid regr do prlelogrmo pr dição vetoril, que está indicd n Fig. 2 o ldo. A subtrção vetoril é denid em termos do negtivo de um vetor, que é um vetor cujs componentes são s negtivs ds correspondentes do vetor originl. Assim, se A é um vetor, A é denido por ( A) x = A x, ( A) y = A y e ( A) z = A z. (4) A operção de subtrção é então denid como som do negtivo, i.e., Fig.2 Som vetoril usndo regr do prlelogrmo. A B = A + ( B). (5) Como som de números reis é ssocitiv, seguese que dição vetoril (e subtrção) é tmbém ssocitiv. Em notção vetoril A + ( B + C) = ( A + B) + C = ( A + C) + B = A + B + C. (6) Em plvrs, os prênteses não são necessários, como indicdo pel últim expressão. 2.2 Multiplicção de vetores: O mis simples produto é quele de um esclr por um vetor. Est operção result num vetor cujs componentes são dds pelo produto d multiplicção do esclr pel correspondente 4

5 componente do vetor originl. Se c é um esclr e A um vetor, o produto c A é o vetor B, denido por B x = ca x, B y = ca y e B z = ca z. (7) Fic clro que, se A for um cmpo vetoril e c for um cmpo esclr, então B será um novo cmpo vetoril que não é necessrimente um simples múltiplo do cmpo originl. Agor, se desejmos multiplicr dois vetores, existem dus possibiliddes, conhecids como produto esclr e produto vetoril. Vmos considerr primeiro o produto esclr. Observe que o nome do produto decorre d nturez esclr do produto. A denição do produto esclr, escrito A B. é Est denição é equivlente outr, tlvez mis comum, A B = A x B x + A y B y + A z B z. (8) A B = A B cos φ, (9) onde φ é o ângulo entre os dois vetores (vej Fig.3 bixo). O produto vetoril de dois vetores é um vetor, como o nome indic. Se C é o vetor produto de A e B, então C = A B ou, em componentes, C x = A y B z A z B y, C y = A z B x A x B z e C z = A x B y A y B x. (10) Est denição mostr que o vetor C é perpendicu- e é lr o plno que contém os dois vetores do produto equivlente à seguinte denição: C = A B sen ϕ, (11) com o sentido ddo pel regr d mão direit ( mesm usd nteriormente pr denir o sistem de coordennds dextrógiro). A Fig.3 o ldo mostr geometri Fig.3 Produto vetoril entre dois vetores. O sentido do vetor C do produto vetoril. É importnte notr que o produto vetoril depende d ordem dos ftores : intercmbindo é determindo pel regr d mão direit. ordem dos vetores introduzimos um sinl negtivo no resultdo. O produto vetoril pode ser fcilmente obtido em termos de um determinnte. Sejm î, ĵ e ˆk vetores unitários (i.e., possuem módulo 1) que denem s direções x, y e z, respectivmente, do sistem de coordends escolhido. Então, A B = î ĵ ˆk A x A y A z B x B y B z. (12) 2.4 Exercícios: 1) Podese combinr dois vetores de módulos diferentes pr que se tenh um resultnte nul? E três vetores? 2) Pode um vetor ter módulo nulo se um de sus componentes não o é? 5

6 3) Um crro percorre um distânci de 30 km no sentido oesteleste; seguir percorre 10 km no sentido sulnorte e nlmente percorre 5 km num direção que form um ângulo de 30 o com o norte e 60 o com o leste. () Use um sistem crtesino de coordends e clcule o módulo do deslocmento resultnte. (b) Obtenh o ângulo entre o vetor deslocmento resultnte e o sentido oesteleste. 4) Dois vetores são ddos por = 3î 2ĵ ˆk e b = 3î ĵ 2ˆk. Clcule: () + b, (b) b, (c) + b. 5) Dois vetores de módulos e b formm entre si um ângulo θ. Determine o módulo s do vetor resultnte d som destes dois vetores. 6) Pode um produto esclr ser um grndez negtiv? Explique. 7) Se A B = 0 concluise que A e B são prlelos um o outro? A recíproc é verddeir? Explique. 8) Mostre que pr qulquer vetor : () = 2 e (b) = 0. 9) Considere os vetores unitários î, ĵ e ˆk. Clcule: ) î î, ĵ ĵ e ˆk ˆk b) î ĵ, ĵ ˆk e ˆk î c) î î, ĵ ĵ e ˆk ˆk d) î ĵ, ĵ ˆk e ˆk î e) î ˆk, ĵ î e ˆk ĵ (13) 10) Pr os vetores e b do problem 4), clcule: () b, (b) b, (c) b. 11) Dois vetores A e B têm componentes, segundo três eixos ortogonis x, y e z, dds por A x, A y e A z e B x, B y e B z, respectivmente. Clcule o ângulo formdo por A e B. 12) Pr os vetores e b do problem 4), clcule o ângulo que eles formm entre si. 3 Cálculo Integrl: 3.1 Integris indenids: Dd um função f(x), qulquer função F (x), tl que = f(x), é chmd de integrl dx indenid de f(x). É clro que se F (x) é integrl indenid de f(x), então F (x) + C, onde C é um constnte qulquer, tmbém é integrl indenid de f(x), pois d df (x) (F (x) + C) = = f(x). dx dx Logo, integrl indenid de um função é determind menos de um constnte rbitrári. Simbolicmente, integrl indenid de f(x) é representd por df (x) f(x) dx = F (x) + C. (14) 3.2 Integris denids: Como você deve estr lembrdo do seu curso de Cálculo, integrl denid pode ser conceitud geometricmente trvés d áre limitd por um curv y = f(x), o eixo dos x e s ordends levntds em x = e x = b (vej Fig.4 seguir). No entnto, denição pode ser dd sem o uso d geometri. Subdivid o intervlo x b em n subintervlos por meio dos pontos x 1, x 2,..., x n 1, escolhidos rbitrrimente. Em cd um dos novos intervlos (, x 1 ), (x 1, x 2 ),...,(x n 1, b) escolh rbitrrimente um ponto interno; tis pontos podem ser ξ 1, ξ 2,...,ξ n. Agor execute som f(ξ 1 )(x 1 ) + f(ξ 2 )(x 2 x 1 ) f(ξ n )(b ξ x ). 6

7 Chmndo = x o, b = x n e x k x k 1 = k, som pode ser reescrit n k=1 f(ξ k ) k, (15) que, geometricmente, represent som ds áre dos retângulos mostrdos n Fig.4. Consideremos gor que o número de subdivisões, n, umente de tl form que cd x k 0. Assim, som (15) se proxim de um limite cujo vlor não depende do modo de subdivisão e, ge- Fig.4 Subdivisão d áre sob curv em elementos k. ometricmente, se torn idêntico à áre sob curv y = f(x) mostrd n Fig.4. Podemos então denir integrl denid d função f(x), entre os pontos e b como n lim f(ξ k ) k = f(x) dx. (16) x k 0 k=1 Do ldo direito dest equção, f(x) é chmd de integrndo e e b são chmdos de limites de integrção. 3.3 Algums proprieddes ds integris denids: c {f(x) ± g(x)} dx = A f(x) dx = A f(x) dx = f(x) dx = f(x) dx ± g(x) dx, (17) f(x) dx, A sendo um constnte qulquer, (18) f(x) dx + b c b f(x) dx, (19) f(x) dx, (20) f(x) dx = 0. (21) 3.4 Teorem fundmentl do Cálculo Integrl: Se F (x) é integrl indenid de f(x), então f(x)dx = F (b) F (). (22) Este importnte teorem permite-nos clculr s integris denids sem o uso direto de su denição, sempre e qundo integrl indenid sej conhecid. 3.5 Algums integris imedits: A seguir presentmos s integris indenids de lgums funções simples. Pr os propósitos do nosso curso, você deverá sber de cor pelo menos s sete primeirs. 1. u n du = un+1, n 1 2. du n+1 u 7 = ln u (23)

8 3. sen u du = cos u 4. cos u du = sen u 5. sec 2 u du = tg u 6. cosec 2 u du = cotg u 7. e u du = e u 8. u du = u, > 0, 1 ln u 9. du = sen ( ) ( ) 1 u 2 u ou cos 1 u 10. du 2 u = ln ( u ± ) u 2 ± 2 2 ± du u du u u 2 2 = 1 tg 1 ( u ) = 1 cos 1 ( u ) 12. du = 1 ln u u u+ (24) 3.6 Método de substituição de vriáveis: Se o cálculo de um integrl f(x)dx não é imeditmente óbvio em termos ds forms imedits nteriores, em muitos csos el pode ser resolvid substituindose vriável x por um vriável conveniente, u(x), de tl modo que integrl resultnte em termos de u, g(u)du, sej um integrl imedit. Neste método, cuiddo especil deve ser tomdo com os limites de integrção, que n nov form integrl, g(u)du, devem ser expressos em termos de u. Vmos ilustrr o método trvés de dois exemplos: Exemplo 1: Clcule L dx 0 fzendo substituição x + = u. (x+) 2 Então: x = u dx = du. Pr os limites de integrção temos: de modo que L 0 dx +L (x + ) = du +L 2 u = 2 onde usmos integrl imedit 1. x = 0 u = ; x = L u = + L, (25) u 2 du = u 1 1 +L = L = Exemplo 2: Clcule dx 0 fzendo substituição x = tgθ. (x+) 3/2 Então dx = sec 2 θdθ e x = 2 (1 + tg 2 θ) = 2 sec 2 θ, e os limites de integrção A integrl se torn então x = 0 θ = 0 ; L ( + L), (26) x = θ = π 2. (27) 0 π dx (x + ) = 2 3/2 0 sec 2 θ dθ 3 sec 3 θ = 1 2 π 2 0 cosθ dθ = 1 2 [senθ] π 2 0 = 1 2. (28) 3.7 Aplicção cálculo do momento de inérci de um o: O cálculo do momento de inérci de um o homogêneo (de densidde liner de mss constnte) é um tipo de problem que envolve montgem e resolução de integris num form muito semelhnte os problems de cálculo de cmpos elétricos e mgnéticos que bordremos em nosso curso, com vntgem de incluir pens grndezs que já são do seu conhecimento. 8

9 ) Momento de inérci de um ponto mteril : o momento de inérci de um ponto mteril de mss m, em relção um eixo z, como você deve estr lembrdo d Físic I, é denido por I z = r 2 m, onde r é distânci do ponto o eixo (vej Fig.5 o ldo). Fig.5 Mss m distnte r do eixo de rotção z. b) Momento de inérci de um distribuição dis cret de pontos mteriis, em relção um eixo z, é som dos momentos de inérci de cd ponto com relção o mesmo eixo z, i.e., I z = n i=1 r 2 i m i, (29) conforme Fig.6 o ldo. Fig.6 Mss m i distnte r i do eixo de rotção z. c) Momento de inérci de um distribuição contínu e liner de mss: considere um distribuição contínu de mss, ou sej, um o com densidde liner de mss, ρ, constnte. Podemos clculr o momento de inérci deste o com relção um eixo z dividindo o o em pedços de comprimentos innitesimis, dl, que contêm um mss innitesiml dm = ρ dl, e que, portnto, podem ser trtdos como verddeiros pontos mteriis. Fig.7 Fio homogêneo rotndo em torno do eixo z. Dest form, o momento de inérci de cd um destes pedços innitesimis é, de cordo com o item ) cim, di z = r 2 dm = r 2 ρ dl. (30) Finlmente sommos todos os momentos de inérci devidos cd um dos elementos dl de que se compõe o o. Num notção pouco rigoros podemos escrever I z = di z = r 2 dm. (31) No entnto, se considerrmos distânci de um ponto do o o eixo, r, como função d posição do ponto sobre o o, l, (ou vicevers), som d expressão cim é som dos produtos dos intervlos innitesimis, dl, em que foi dividido o intervlo totl de denição de um função, pelos respectivos vlores dest função, r 2, em cd um dqueles intervlos innitesimis. Portnto est som é, rigorosmente flndo, um integrl, I z = di z = r 2 dm = ρ r 2 dl, (32) cujos limites de integrção devem brnger o comprimento totl do o. É clro que pr podermos clculr integrl r 2 dl temos que explicitr relção funcionl entre r e dl, ou substituindo r em função de l ou mbs em função de um terceir vriável. 9

10 Exemplo 3: Clcule o momento de inérci do segmento d Fig.8, de densidde liner de mss constnte: () em relção o eixo dos y e (b) em relção o eixo dos x. () Temos I y = +L x 2 dm = ρ x 2 dl. (33) Como x é o mesmo pr todos os dl (x = b) Fig.8 Segmento de o de comprimento L. I y = ρb 2 +L dl = ρb 2 L. (34) (b) Agor I x = +L y 2 dm = ρ y 2 dl. (35) A integrl nest form não pode ser resolvid, pois precem nel dus vriáveis interdependentes. Temos que expressr y em função de l ou vicevers. Vemos imeditmente que dl = dy, pois segmento de ret é prlelo o eixo dos y. Assim, +L I x = ρ y 2 dy = ρ y 3 3 +L = 1 3 ρ[( + L)3 3 ]. (36) Exemplo 4: Clcule o momento de inérci de um o em form de 1/4 de circunferênci de rio, de densidde de mss uniforme ρ, em relção um de seus diâmetros. De cordo com Fig.9 o ldo, I y = x 2 dm = ρ x 2 dl. (37) Fig.9 Fio em form de 1/4 de circunferênci. Neste cso o mis simples é expressr tnto x como dl em função de θ (e de dθ), i.e., x = senθ e dl = dθ, θ em rdinos. (38) Est integrl pode ser resolvid fcilmente trvés de um trnsformção trigonométric (fç!!), tendo como resultdo [ ] π θ I y = ρ 3 2 sen 2θ = π ρ 3. (39) Integris dupls: Sej f(x, y) um função de dus vriáveis livres denid num região R do plno xy, conforme indic Fig.10 seguir. Subdivid R em n sub-regiões R k, de áre A k, k = 1, 2,..., n. Sejm (ξ k, η k ) s coordends de um ponto interno de R k. 10

11 Forme som n k=1 Considere gor o limite lim n k=1 f(ξ k, η k ) A k. (40) n f(ξ k, η k ) A k, (41) Fig.10 Áre subdividid em elementos A k. no qul o número de divisões ument indenidmente e s dimensões de cd R k se proximm de zero. Este limite é representdo pelos símbolos R f da ou e é chmdo de integrl dupl de f(x, y) sobre região R. 3.7 Integris tripls: R f(x, y) dx dy, (42) Os conceitos nteriores podem fcilmente ser generlizdos pr regiões tridimensionis. Considere um função de 3 vriáveis livres f(x, y, z), denid num região tridimensionl R. Subdivid região em n subregiões de volume V k, k = 1, 2,..., n. Chmndo de (ξ k, η k, ρ k ) um ponto interno de cd subregião, forme o limite d som lim n n k=1 f(ξ k, η k, ρ k ) V k, (43) onde o número n de subdivisões tende o innito, de modo que s dimensões ds subregiões tendem zero. Se este limite existe, ele é denotdo por f dv ou f(ξ k, η k, ρ k ) dx dy dz, (44) R R e é chmdo de integrl tripl de f(x, y, z) sobre R. Por exemplo, se f(x, y, z) descrever densidde de mss (vriável) d região R, integrl cim drá mss totl d região. 3.8 Exercícios: 1) Clcule s seguintes integris usndo o método de substituição de vriáveis e list ds integris imedits:. L 0 dx x + ; b. R 0 x dx x2 + 2 ; R π c. x dx 0 (x ) ; d. 2 senθ cosθ dθ. (45) 3/2 0 2) Clcule o momento de inérci de um o em form de rco de circunferênci de rio, ângulo centrl θ o (vej Fig.11 o ldo) e densidde liner de mss constnte ρ, em relção o eixo z perpendiculr o plno do rco que psse pelo centro do mesmo. Fig.11 Fio em form de rco. 11

12 3) Clcule o momento de inérci de um o homogêneo em form de circunferênci complet de rio, com densidde liner de mss uniforme ρ, em relção um eixo tngente circunferênci e situdo no mesmo plno dest. 4) Clcule o momento de inérci de um o retilíneo homogêneo com densidde liner de mss uniforme ρ e comprimento L, em relção um eixo z perpendiculr o plno d págin e situdo um distânci R do o, confrome mostr Fig.12 o ldo. Fig.12 Fio homogêneo rotndo. 5) Usndo o resultdo do problem 4), clcule o momento de inérci de um o com s mesms crcterístics dquele, dobrdo em form de qudrdo de ldo L, em relção um eixo perpendiculr o plno do qudrdo que pss pelo centro do mesmo. 4 Integrção de Vetores: Até o momento considermos pens integris de funções esclres, i.e., funções cujos vlores são números. A Fig.13 o ldo represent os vlores de um cmpo vetoril F (x, y, z) em dois pontos do espço, (x 1, y 1, z 1 ) e (x 2, y 2, z 2 ). um exemplo de cmpo vetoril pode ser F (x, y, z) = 2yî + (x 2 + y)ĵ + z 2ˆk. (46) cujo vlor no ponto (0, 1, 2), por exemplo, é o vetor 2î + ĵ + 4ˆk. Vmos gor considerr cmpos vetoriis ou funções vetoris, cujos vlores são vetores. Fig.13 Cmpo vetoril. 4.1 Integris ordináris de vetores: Os cmpos ou funções vetoriis são pssíveis de integrção de modo inteirmente nálogo às funções esclres. Porém, cuiddos especiis devem ser tomdos devido o cráter vetoril dests funções. Consideremos, por simplicidde, um função vetoril que depende pens d coordend x, por exemplo F (x) = F x (x)î + F y (x)ĵ + F z (x)ˆk. (47) A integrl I = F (x) dx (48) represent, do mesmo modo que pr s funções esclres, som dos produtos dos intervlos innitesimis dx em que se divide o intervlo totl [, b] de denição d função F (x), pelos vlores respectivos dest função nqueles intervlos innitesimis. Porém, como F (x) é um vetor, est som é um som vetoril e não um som de números, e o seu resultdo é um vetor, e não um número. Est importnte observção quer dizer que não podemos simplesmente integrr o módulo 12

13 de F (x) pr obter o módulo d integrl, porque o módulo de um som de vetores não é igul à som dos módulos dos vetores, i.e., I F (x) dx, (49) ms que temos que decompor F (x) em sus componentes e integrr cd um dels seprdmente pr obter s componentes correspondentes d integrl, I = F (x) dx = F x (x) dx î + F y (x) dx ĵ + F z (x) dx ˆk = I x î + I y ĵ + I z ˆk, (50) com I = I 2 x + I 2 y + I 2 z. Três outros tipos de integris vetoriis serão importntes em nosso curso. Com isto queremos dizer que será importnte sber clrmente o signicdo dests integris, embor não sej importnte sber como resolvêls. 4.2 Integris de linh: Considere um função vetoril F (x, y, z) ds coordends ortogonis x, y e z, que ssume diferentes vlores o longo d curv C, que vi do ponto A té o ponto B, conforme mostr Fig.14. Divid est linh em n segmentos l k, e cd um deles ssocie um vetor l k (k = 1, 2,..., n), com módulo l k, cuj direção é do segmento e seu sentido é de A pr B. Fç o produto esclr de cd vetor l k pelo vlor de F num ponto deste segmento e some todos os n produtos esclres. A integrl de linh é então denid como o limite dest som Fig.14 Cminho de integrção. qundo o número de subdivisões tende o de tl modo que o tmnho de cd segmento tende zero. Est denição pode ser compctmente escrit com B A C F d l = lim n n i=1 F i l i. (51) É importnte notr que integrl de linh depende não pens dos pontos extremos, e b, como tmbém d curv C, i.e., do cminho, sobre qul integrção é feit. Um exemplo conhecido deste tipo de integrl é o do trblho relizdo por um forç que tu sobre um prtícul qundo el se desloc entre dois pontos A e B, B A F d l = W AB, (52) como você deve ter visto em Físic I. Se curv C for fechd, integrl de linh receberá um notção especil: C F d l. (53) 13

14 4.2 Integris de superfície: Considere um cmpo vetoril F (x, y, z) denido nos pontos do espço e um superfície de form qulquer, S. Divid est superfície em n elementos de superfície de áres S k (k = 1, 2,..., n). Associe cd elemento d superfície um vetor que representremos por S k, de módulo S k, de direção perpendiculr à superfície e de sentido dotdo trvés d convenção: se superfície S não é pln, convenção usul é de dotrse pr o vetor o sentido que vi d fce côncv pr fce Fig.15 Superfície de integrção. convex d superfície (vej Fig.14). Tome o produto esclr de cd vetor S k pelo vlor de F num ponto do elemento de áre S k e some todos os n produtos esclres.a integrl de superfície é então denid como o limite dest som qundo o número de subdivisões tende o de tl modo que o tmnho de cd elemento de áre tende zero. Est denição pode ser compctmente escrit como F ds n = lim F i S i. (54) S n i=1 Muito importnte em nosso curso serão s integris de superfície tomds sobre superfícies fechds de diversos formtos. Tmbém neste cso, integrl recebe um notção especil S F d S. (55) Qundo superfície é fechd, convenção pr o sentido dos vetores S k é o de considerálos sempre pontndo pr for d superfície. 4.3 Integris de volume: Se κ um esclr e F é um vetor, então s dus integris de volume que nos interessrão são J = V κ dv, e M = V F dv. (56) Clrmente J é um esclr e M é um vetor. Ests integris são bstnte fmilires e não requerem miores detlhmentos. 4.4 Exercícios: 1) Clcule I = 3 1 F (x) dx, onde F (x) = 2xî + x 2 ĵ. Clcule o módulo de I. 2) Clcule I = π 2 0 F (θ) dθ, onde F (θ) = senθ cosθ ˆk. Clcule o módulo de I. 14