TRABALHO DE PROGRAMAÇÂO LINEAR

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1 TRABALHO DE PROGRAMAÇÂO LINEAR Pedro Barbosa Luís Gomes 1

2 Introdução O objectivo da Programação Linear é optimizar problemas de decisão, usando para isso modelos que caracterizem uma realidade. A Programação Linear tornou-se então como uma forma eficiente de resolver uma vasta variedade de problemas que estão associados a inúmeros domínios, dos quais: no planeamento da distribuição e produção de produtos, nas decisões ligadas às políticas micro-económicas e macro-económicas da governação de países (por exemplo situações militares), no planeamento de curto prazo em aproveitamento hidroeléctricos, na utilização como sub-rotinas para o suporte de tarefas específicas em códigos de programação linear. Desta forma a Programação Linear têm aplicabilidade na indústria, na agricultura, na economia, entre outras. Notas históricas e definição A Programação Linear é uma técnica da Matemática Aplicada que constitui um dos ramos da Investigação Operacional, em que Programação se refere à programação de tarefas ou planificação, não sendo programação no sentido da Informática; e linear advém do facto de as expressões que se utilizam serem lineares. Um modelo de Programação Linear é constituído por variáveis de decisão, as quais pretendemos determinar, por objectivo, isto é o que se pretende optimizar e por restrições, que têm de ser satisfeitas. Para se determinar a solução de forma a cumprir o objectivo são utilizadas diferentes procedimentos, dos quais o método Simplex, que é o mais antigo, e o método Primal-Dual. O método Simplex baseia-se num algoritmo que permite resolver problemas de Programação Linear, enquanto que o método Primal-Dual se baseia na representação gráfica. O problema de optimizar uma função linear começou em 1826 com os estudos de Fourier relativamente aos sistemas lineares de inequações, mas só em 1939 se revelou a importância prática destes problemas, quando Kantorovich criou um algoritmo para a sua solução. George Dantzig e outros cientistas do Departamento da Força Aérea Americana apresentaram em 1947 um método denominado Simplex, de forma a 2

3 resolverem os problemas de Programação Linear, cujas primeiras grandes aplicações foram no domínio militar. Ainda em 1947, Koopman demonstrou a aplicabilidade da Programação Linear para a análise da teoria económica clássica. Entre 1950 e 1965 foram desenvolvidos os algoritmos para os modelos de Programação Linear em rede, que se podem classificar em: Especialização do método Simplex Método Primal-Dual A especialização do método começou com Dantzig mas só atingiu o seu máximo com Ellis Johnson, em relação ao método Primal-Dual, este teve origem no algoritmo de Harold Kulm e foi finalizado com o algoritmo da condição de Delbert Fulkerson em

4 Enunciado do problema e tabela de síntese de dados Uma loja de artigos de desporto tem em stock 90 fatos de treino, 50 pares de sapatilhas, que pretende pôr a venda numa campanha de saldos. Para o efeito, está prevista a constituição de dois tipos de lotes: Lote A: 2 fatos de treino + 1 par de sapatilhas, com o preço de 30. Lote B: 3 fatos de treino + 2 pares de sapatilhas, com o preço de 45. Quantos lotes de cada tipo deve o dono da loja constituir para que a receita da venda seja máxima? Artigos Lotes A B Nº de peças Fatos de treino Pares de sapatilhas Preço

5 Resolução do problema Método analítico Equação da receita R = 30 x + 45y, pois a receita é igual à soma do número de lotes multiplicado pelo preço de cada um deles (tomando como variável x o lote A e como variável y o lote B). Limitações 2x 90 x + 2y 50 x 0 y 0 A primeira equação ( 2x 90 ) significa que a venda dos fatos de treino, seja qual for o lote, não poderia ultrapassar as 90 peças. A segunda equação ( x + 2y 50 ) significa que a venda de pares de sapatilhas, seja qual for o lote, não poderia ultrapassar os 50 pares. As equações x 0 e y 0 impõe que a venda de lotes não seja negativa. Resolução do problema 2x = 90 x + 2y = 50 2x = 90 x = 50 2y 2(50 2y) = 90 x = 50 2y 100 4y = 90 y = 10 x = 50 2y x = 30 A solução do problema seria y = 10 e x = 30, ou seja, para se atingir a receita máxima teria que se vender 30 lotes do tipo A e 10 lotes do tipo B. 5

6 Método gráfico Limitações 2x 90 x + 2y 50 x 0 y 0 Ao traçarmos a recta 2 x = 90 obteríamos o seguinte gráfico: Ao traçarmos a recta x + 2 y = 50 obteríamos o seguinte gráfico: 6

7 Logo, ao traçarmos ambas as rectas, com as devidas restrições, obteríamos o seguinte gráfico: O gráfico terá três soluções, sendo: (0,25) 7

8 (45,0) (30,10) 8

9 Método da utilização de calculadora gráfica 1º- Ligar a máquina e escolher a opção graph no menu. 2º- Seleccionar a tecla F3 (type no visor) e de seguida F6 (seta) e a tecla F4. 3º- Inserir as inequações. ( 2x 90 e x + 2y 50 ). 4º- Seleccionar a tecla F3 (type no visor) e de seguida F6 (seta) e desta vez a tecla F3. 5º- Inserir a equação y 0 6º- Seleccionar a tecla EXE para esboçar o gráfico. 7º- Seleccionar a tecla shift e de seguida F3 para aceder a opção v-window para ajustar com as seguintes opções: Xmin:0 (para dar a ideia d x 0 já que tal não é função). Xmax:45 Ymin:0 Ymax35 8º- Seleccionar a tecla shift e de seguida F5 para aceder à opção G-Solv, em que se seleccionará de seguida a tecla F5 para aceder à opção ISCT que lhe dará as intercepções, sendo estas algumas das soluções possíveis, sendo elas (0,25), (45,0) e (30,10). 9

10 Conclusão Lote A Lote B Receita ( R 30 x + 45y = ) De acordo com os resultados obtidos podemos concluir que vendendo 45 lotes do tipo A, ou 30 lotes do tipo A e 10 lotes do tipo B, a receita seria de 1350, sendo ambas a solução ideal. A Programação Linear apresenta uma grande aplicabilidade no quotidiano, estando presente em diversas áreas como indústria, situações militares, agricultura e apresentando o seu desenvolvimento máximo na área económica, como já foi referido anteriormente. Daí ser muito importante estarmos familiarizados com os problemas que a programação linear nos permite resolver. Relativamente ao nosso problema, a programação linear possibilitou-nos a tomada de decisão em termos de planeamento, com o intuito de maximizar a receita máxima de uma loja de artigos de desporto. Este trabalho permitiu-nos pôr em prática os conhecimentos aprendidos na aula, aprofundando os mesmos e dando-nos uma perspectiva mais ampla das aplicabilidades e importância da Programação Linear. 10

11 Bibliografia