Proporção e Conceitos Relacionados. 7 ano E.F. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis

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1 Móulo e Rzões e Proporções Proporção e Conceitos Relcionos 7 no E.F. Professores Tigo Mirn e Cleber Assis

2 Rzões e Proporções Proporção e Conceitos Relcionos Exercícios Introutórios Exercício. Dos os números reis, b, c e. Dizemos que eles são iretmente proporcionis se b = c, com b e não nulos e lê-se está pr b ssim como c está pr. Verifique se os números bixo, n orem, são iretmente proporcionis. ) (, 4, 3, 6). b) (,, 3, 60). c) (4, 0,, 7). Exercício. Dos os números reis, b, c e. Dizemos que eles são inversmente proporcionis se b = c, ou sej, se b = c, com b e não nulos. Verifique se os números bixo, n orem, são inversmente proporcionis. ) (8,,, ). b) (,, 3, 0). c) (, 0,, ). Exercício 3. Prove que se b = c e b + = 0, então b = c = + c b +. Exercício 4. Diviir um vlor n em prtes e b iretmente proporcionis x e y é o mesmo que resolver o sistem + b = n x = b y = + b x + y = n x + y ) Divi o número 0 em prtes iretmente proporcionis os números 3, 7. b) Divi o número 80 em prtes iretmente proporcionis os números, 3 e 4. Exercício. Diviir um vlor n em prtes e b inversmente proporcionis x e y é mesmo que resolver o sistem + b = n = b = + b x y x + = n x+y y xy ) Divi o número 0 em prtes inversmente proporcionis e 4. b) Divi o número 7 em prcels inversmente proporcionis 3, 4 e 6. Exercícios e Fixção Exercício 6. Em um pri, 0 litros e um mistur e cfé com leite, em qunties iguis, é veni no cfé mnhã. Pr obter um teor e 4 e cfé e e leite, quntos litros e c um esses ois líquios eve-se crescentr os 0 litros mistur? Exercício 7. Dus vels homogênes e e comprimentos iguis são cess simultnemente. A primeir tem um tempo e queim e 4 hors e segun e 6 hors. Após certo tempo, mbs form pgs o mesmo tempo. Observou-se que o resto e um tinh o obro o resto outr. Por qunto tempo ficrm cess? Exercício 8. Um empres e impressões igitis tem um copior A que imprime 00 págins em oito minutos. O ono empres ecie comprr outr máquin copior B mis moern e observ que s us máquins trblhno junts imprimem 00 págins em ois minutos. Em qunto tempo máquin B imprime 00 págins? Exercício 9. Se um pcote e biscoito contém 0 biscoitos e pes 9 grms, e se grms e biscoito corresponem 90 cloris, qunts cloris tem c biscoito? Exercício 0. A istânci entre s cies mineirs e Belo Horizonte e Montes Clros, em um mp represento em escl : , é e 6, cm. Qul istânci rel entre esss us cies? Exercício. Um composição ferroviári us pr o trnsporte e mercoris fz o percurso entre us cies, istntes 7 km um outr, em um intervlo e tempo e h. A locomotiv, que mee 0 m e comprimento, pux um comboio formo por N vgões e m e comprimento c um. Sbe-se que no meio o cminho entre s us cies existe um ponte e 490 m e comprimento e que composição lev min pr trvessá-l completmente. Nesse sentio, qul o número N e vgões que formm composição? Exercício. Um utomóvel poe nr, sem bstecimento e mnteno consumo constnte, urnte 360 minutos. Teno sío com um furo no tnque e combustível, que esco combustível num vzão constnte, ele nou pens 44 minutos. Qul frção quntie e combustível que escori cso ficsse minutos pro? Exercício 3. Um pesso com 80 kg e mss corporl iniciou um trtmento méico pr reução ess mss e, no i o trtmento, já hvi reuzio 3 kg. Supono que reução iári e mss sej sempre mesm, qul o número e is necessários, prtir o início o trtmento, pr que ess pesso tinj 6 kg? Exercício 4. Gbriel e Jons morm n mesm cs e estum n mesm escol. Jons vi e cs à escol em 30 minutos e Gbriel em minutos. Se Gbriel siu e cs minutos mis ceo, quntos minutos Jons levrá pr lcnçá-l, consierno que s velocies e mbos são constntes? mtemtic@obmep.org.br

3 3 Exercícios e Aprofunmento e e Exmes Exercício. Dois recipientes, R e R, contêm mesm quntie e misturs e álcool e águ, ns respectivs proporções: 3 :, em R e : 3 em R. Juntno-se em um terceiro recipiente os conteúos e R e R, qul proporção e álcool e águ nest mistur? Exercício 6. Sueli colocou ml e cfé em um xícr vzi e 80 ml, e ml e leite em outr xícr vzi e mesmo tmnho. Em segui, Sueli trnsferiu mete o conteúo primeir xícr pr segun e, epois e misturr bem, trnsferiu mete o novo conteúo segun xícr e volt pr primeir. Do conteúo finl primeir xícr, frção corresponente o leite é Exercício 7. N cie, um utomóvel consome litro e gsolin c 0 km percorrios. Já n estr, o mesmo veículo consome litro e gsolin c 8 km percorrios. Um pesso pretene utilizr esse crro pr fzer um vigem em que % o percurso será n cie e o restnte será n estr. Ness vigem, qul será istânci méi percorri com um litro e gsolin? Exercício 8. O reservtório e águ e um cert cie está com o nível bixo o recomeno, teno isponível pens 000 L. Dess form, águ que in rest eve pssr por um trtmento químico mis intensivo pr que poss ser consumi. Pr isso, eve ser misturo cloro num rzão e 3 g pr litros e águ. Qul quntie e cloro necessári pr trtr to águ isponível no reservtório? Exercício 9. Em um corri e táxi, é cobro um vlor inicil fixo, chmo e bneir, mis um qunti proporcionl os quilômetros percorrios. Se por um corri e 8 km pg-se R$ 8, 0 e por um corri e km pg-se R$ 9, 0, então qul o vlor bneir? mtemtic@obmep.org.br

4 Resposts e Soluções.. Seguino o enuncio, precismos checr se ) 4 = 3, ou sejr, 6 = 3 4 o que é vereiro. Assim, os 6 números os são iretmente proporcionis. b) c) = 3, ou sej, 60 = 3. Como igule é fls, 60 os números os NÃO são proporcionis. 4 0 =, ou sej, 4 7 = 0 o que é vereiro. 7 Assim, os números os são iretmente proporcionis.. Seguino o enuncio, precismos checr se: ) 8 =, ou sej, 8 = o que é vereiro. Assim, os números os são inversmente proporcionis. b) = 3, ou sej, = 3 0 o que é vereiro. Assim, 0 os números os são inversmente proporcionis. c) 0 =, ou sej, 0 =. Como igule nterior é fls, os números os NÃO são proporcionis. 3. Demonstrção: Poemos escrever b = c = k pr lgum k rel. Dí, temos = bk, c = k e + c = bk + k = k(b + ) e + c k(b + ) = = k. b + b + 4. Devemos plicr o exposto no enuncio: ) Seno s prtes iguis e b, poemos escrever + b = 00 3 = b 7 = + b = 0 0 = Assim, 3 = com = 0 e b = com b = b) Seno s prtes iguis, b e c, poemos escrever + b + c = 80 = b 3 = c 4 = + b + c = 80 9 = 0 Assim, = 0 com =, b 3 = 0 com b = 60 e c 4 = 0 com c = 80.. Devemos plicr o exposto no enuncio. ) Seno s prtes iguis e b, poemos escrever + b = 0 = b = = 0 4 = Assim, = 60 e = 80 e 4b = 60 com b =. b) Seno s prtes iguis, b e c, poemos escrever + b + c = 7 = b = c 0 0 = = = Assim, = 60 3, b = e c = (Apto o vestibulr UNIFOR (CE) 04) Temos que n mistur inicil há litros e cfé e litros e leite. Como queremos mis cfé o que leite, evemos crescentr mis cfé. Pr encontrr quntie, bst fzer + x 0 + x = 4 + x = + 4x x = litros e cfé. 7. (Apto o vestibulr UNIFOR (CE) 04) Suponhmos, sem per e generlie, que o tmnho s vels sej igul cm. A proporção e queim primeir vel é e = 3 cm/h e segun é 4 6 = cm/h. Depois e t hors primeir mee 3t e segun 4t. Queremos o tempo tl que ( 3t) = t, isso ger 4t = e t = 3 hors. 8. (Extrío o vestibulr UEG (GO) 04) Em um minuto primeir máquin fz proporção e 8 o trblho, segun fz t e s us junts fzem, ou sej, 8 + t = t + 8 = 4t 8t 8t 3t = 8 t = minutos e segunos. 9. (Extrío o vestibulr UECE (CE) 0) Temos, em méi, 90 = 6 cloris por grm. Além isso, no gerl, c biscoito tem 9 = 9, grms. Assim, c 0 um eles possui 9, 6 = 7 cloris. 0. (Apto o vestibulr UEL (PR) 0) Temos proporção e cm no mp pr cm = m = 70 km n relie. Assim, istânci pei é igul 6, 70 = 4 km.. (Apto o vestibulr UEPA (PA) 0) A velocie méi composição é e 7 = 36 km/h, o que equivle = 600 metros por minuto. O comprimento 60 totl composição (locomotiv mis N vções e metros) é 0 + N. Pr entrr e sir ponte istânci totl percorri foi e N = 0 + N e no tempo e um minuto, ele percorre 600 metros. Assim, poemos escrever que 0 + N = 600 e N = 6 vgões. 3 mtemtic@obmep.org.br

5 . (Apto o vestibulr UNIFOR (CE) 0) Em um minuto ele consumiu 360 o totl, o furo reuziu t e juntos fizerm, ou sej, t = 44 t = t = 70 t = t =. Assim, o tnque ficrá vzio em minutos com crro pro. Portnto, em minutos houve o gsto e = 6 quntie e combustível no tnque. 3. (Apto o vestibulr FCI (SP) 0) Queremos o przo pr per e quilos. Por i mss está vrino, em méi, num proporção e 3 = 0, kg/i, pós is el per quilo. Assim, o przo peio é e = 7 is. 4. (Extrío o vestibulr UNIFOR (CE) 0) Suponh, sem per e generlie, que istânci cs eles té escol sej 00 metros. Assim, Jons n 00 = metros por minuto e Gbriel 00 = Sino minutos ntes, um equção pr o movimento e Gbriel será t e e Jons é t. Assim, eles se encontrrão epois e t = t, ou sej, t = minutos. 6. (Apto o vestibulr FGV (SP) 0) Vmos compnhr tos s trocs. Primeiro, form 0 ml e cfé pr segun xícr, n qul gor temos 60 ml, 3 e cfé e e leite. Assim, os 30 ml segun trnsferênci, 3 0 ml form e cfé e 0 ml e leite. A primeir ficou com 0 ml, seno e leite. 7. (Apto o vestibulr o IBMEC (SP) 0) Bst fzermos proporção 0, 0 + 0, 7 8 = quilômetros. 8. (Apto o vestibulr o IFSC (SP) 0) A mistur fic com concentrção e 3 = 0, grms e cloro por litro. Por fim, bst fzermos 000 0, = 30 grms = 3, kg. 9. (Apto o vestibulr UECE (CE) 04) Sejm b e x os vlores bneir e o quilômetro roo. Assim, poemos escrever 8x + b = 8, 0 x + b = 9, 0 Ao subtrí-ls, teremos 3x = 9 e x = 3. Por fim, bst substituirmos em lgum s equções o sistem pr encontrmos b = 4, 0. Assim, o vlor bneir é R$ 4, 0.. (Apto o vestibulr PUC (SP) 04) Sejm x i e y i s qunties e álcool e águ no recipiente i, com i, }, c um com cpcie n. Assim, poemos escrever x + y = n x 3 = y = k, com k N. Assim, x = 3k e y = k fzeno n = 8k ou k = n 8. x + y = n x = y 3 = k, com k N. Assim, x = k e y = 3k fzeno n = k ou k = n. Por fim, rzão fic x + x y + y = 3k + k k + 3k = 3 n = 8 + n n n n + 6n = n + 4n = Elboro por Tigo Mirn e Cleber Assis Prouzio por Arquimees Curso e Ensino contto@cursorquimees.com 4 mtemtic@obmep.org.br