Roteiro elaborado com base na documentação que acompanha o conjunto por: Osvaldo Guimarães PUC-SP

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1 1 Roteiro elaborado com base na documentação que acompanha o conjunto por: Osvaldo Guimarães PUC-SP Tópicos Relacionados Pressão, temperatura, volume, coeficiente de expansão térmica, coeficiente de compressibilidade, coeficiente de tensão térmica, equação geral de estado dos gases ideais, Lei de Boyle-Mariotte, Lei de Gay-Lussac, Lei de Charles. Princípios e objetivos O estado de uma determinada massa de gás é determinado pela temperatura, pressão e o volume. Para o caso limite de um gás ideal essas variáveis de estado estão relacionadas pela equação geral do gás perfeito, da qual correlações especiais podem ser deduzidas para determinadas mudanças de estado. Fig. 1: montagem experimental: Equação de estado dos gases ideais.

2 2 Fig. 1A: Diagrama dos componentes

3 3 Equipamentos 127 V 220 V Bandeja de Mercúrio Aparato da Lei dos gases # Termostato com banho Z Z 1 (Mercúrio, filtrado 1000 g ) Termômetro de laboratório, c Tubo de borracha, d 7 mm Prendedor p/ vedação, larg, 15 mm Termostato de imersão, 100 C,1500 W Peças de conexão, reta, f. i.d.4-15mm Problemas Para uma determinada massa de gás verificar as relações entre: 1. Volume e pressão sob temperatura constante (Lei de Boyle-Mariotte) 2. Volume e temperatura sob pressão constante (Lei de Gay-Lussac) 3. Pressão e temperatura sob volume constante (Lei de Charles) A partir das relações obtidas calcular a constante universal do gás perfeito, bem como o coeficiente de expansão térmica, coeficiente de tensão térmica e o coeficiente de compressibilidade. Montagem e procedimentos A montagem do experimento deve ser feita de acordo com a fig. 1 observando a conexão com o ramo que contém a bomba de banho térmico. Prenda as conexões dos tubos de borracha com as braçadeiras. Preencha o módulo reservatório de demonstração cuidadosamente com mercúrio observando todos os detalhes de segurança que a manipulação dessa substância exige, até que o tubo contenha cerca de 1/4 do seu total, verificando que esteja no mesmo nível da mangueira de borracha situada à esquerda. Preencha o reservatório de banho circulante com água destilada ou desmineralizada com a intenção de prevenir deposições de partículas na tubulação. Conecte o aquecedor em espiral à bomba. Problema 1 Durante o experimento, a temperatura dentro do tubo de medidas precisa manter-se constante. Em decorrência, o fluxo de água bombeada do reservatório deve ser ajustado para temperatura desejada. Aguarde até que a temperatura se estabilize antes de iniciar as medidas. Para verificar a relação entre a pressão p e o volume V, o comprimento da coluna de ar deve ser ajustado erguendo-se ou abaixando-se o conjunto, para que haja um desnível entre os meniscos de mercúrio nos dois ramos do

4 4 aparato. Não deixe de considerar que na extremidade aberta há a ação da pressão atmosférica, que pode ser determinada previamente com o próprio conjunto usando-se a montagem de Torricelli, ou com um barômetro digital (acessório opcional). Com esses procedimentos a relação entre essas variáveis é determinada por: O volume do segmento do tubo de medida marcado em marrom (fechamento do tubo) pode ser assumido como sendo V = 1,01 ml, em primeira aproximação. Este volume precisa sempre ser adicionado ao volume medido da coluna de ar. Como referência para comparação de resultados, a Tabela 1 mostra os resultados de um experimento típico feito sob temperatura T = 298,15 K. Problema 2 e 3 Para desenvolver os experimentos seguintes é recomendável determinar a relação entre a temperatura e a pressão e a relação entre a pressão e o volume simultaneamente. Conseqüentemente, em cada caso, ajuste a temperatura desejada no termostato e espere a estabilização do valor ajustado no tubo de medidas. Numa temperatura inicial T 290 K, o volume correspondente à pressão p = p atm é determinado abaixando-se o reservatório de mercúrio até que o menisco do outro tubo fique no mesmo nível do reservatório. Marque esse nível com uma caneta porosa no tubo de medidas. Em seguida, vá aumentando a temperatura em intervalos de 5 K em 5 K até cerca de 360 K, para não ultrapassar a temperatura de ebulição da água. Para determinar o volume V, correspondente à temperatura T, sob pressão constante (p = p atm ) (Problema 2), deslize o aparato para igualar as pressões (mesmo nível em ambos os ramos) e então meça o comprimento l da coluna de ar. A partir desse comprimento o volume é determinado de acordo com a equação (1). A pressão p correspondente a essa temperatura, sob volume constante V 1 (anote) é determinada pelo desnível h na coluna de mercúrio (Problema 3) conforme a equação (2). O desnível é lido na escala, em seguida, o nível de mercúrio no tubo de medida é levado novamente à marca inicial (V 1 ).

5 5 Tabela 1: Volume e pressão de uma quantidade constante de gás (ar) n = (0,9536 mmol) sob temperatura constante; pressão ambiente patm.= 100,3 kpa. Tabela 2: Resultados das medidas em uma determinada amostra de gás.

6 6 Teoria e Análise O estado de um gás é dado pelas variáveis de estado pressão (p), Volume (V) e temperatura (T) e a quantidade de substância n, normalmente expressa em quantidade de mols, relacionadas entre si. Assim, a dependência do volume sob temperaturas e pressão variáveis para uma determinada quantidade de gás (n = constante; dn = 0 gás confinado no tubo) é dada pela diferencial total: Analogamente, vale também a expressão seguinte para as variações de pressão: V p p As derivadas parciais, e, geometricamente p T T, n V, n V T, n correspondem às inclinações das tangentes aos gráficos das funções: V = V (p), p = p (T) ou p = p (V) e, portanto caracterizam a dependência das variáveis de estado (V, T) com as respectivas variáveis (T,p). Seus valores dependem do volume inicial V ou da pressão inicial p. Portanto, podemos definir as variáveis seguintes referindo-as como V, ou p ou V 0 ou p 0 para T = 273,15 K. (coeficiente de expansão térmica) (coeficiente de variação barométrica) (coeficiente de expansão barométrica) Para o caso limite de um gás ideal (baixas pressões e altas temperaturas), essas relações podem ser obtidas por leis empíricas, em que cada uma delas

7 7 descreve a correlação entre duas variáveis de estado, considerando-se constante as outras duas. Para uma transformação isobárica ( p = constante; dp = 0) eq. (3.1), obtemos: Para γ = constante, a integração dessa equação diferencial nos fornece: (υ é a temperatura na escala Celsius) ou V 0 = T 0 V T V = ( const.) T (5.2) e (5.3) Em pleno acordo com essa relação, a qual foi descoberta por Gay-Lussac, a representação gráfica do volume em função da temperatura corresponde a uma reta, que extrapolada para T = 0 K nos leva a V = 0. Fig. 2: Relação entre o volume V e a temperatura T sob pressão constante (p = 100,5 kpa) para uma determinada quantidade de gás. (n = 0,9536 mmol)

8 8 Sob uma transformação isométrica (ou isocórica) (V = constante; dv = 0), analogamente ao item anterior, obtemos os seguintes resultados: Integrando, supondo que β 0 seja constante, obtemos: Essas equações expressam a Lei de Charles e descrevem o crescimento linear da pressão com o aumento da temperatura (fig.3) Fig. 3: Pressão p em função da temperatura T, sob volume constante (V = 2, m 3 ) para uma determinada quantidade de gás. (n= 0,9536 mmol) Para a expansão ou compressão isotérmica (T = constante; dt = 0), para determinada quantidade de gás, obtemos:

9 9 A representação gráfica dessa relação, que foi verificada por Boyle e Mariotte, resulta em uma hipérbole com V = V(p) (Fig. 4); por outro lado, para a função 1 V = V, obtemos uma linha reta (Fig. 5). p Fig. 4: Relação entre a pressão p e o volume V para uma determinada quantidade de ar (n = 0,9536 mmol) ao longo de uma transformação isotérmica (T = 298,15 K)

10 10 Fig. 4: Relação entre o volume V e o recíproco da pressão 1/p para uma determinada quantidade de ar (n = 0,9536 mmol) ao longo de uma transformação isotérmica (T = 298,15 K) Combinando as equações (5.2) ou (6.2) com (7.1) diretamente obtemos: p0v0 p1v 1 pv = = (8) T0 T1 T a equação geral de estado dos gases ideais (9) com a constante universal do gás perfeito R. nrt pv = (9) Esta equação nos permite uma compreensão retroativa das relações antes obtidas para p = constante (5.3), V = constante (6.3), ou T = constante (7.2). Portanto, a partir da declividade no gráfico dessas relações lineares, temos:

11 11 que podem ser obtidas experimentalmente. A constante universal dos gases ideais R pode ser calculada se a quantidade de mols (n) for conhecida. É igual à razão (11) entre o volume V e o volume molar V M. V n = (11) V M Com T 0 = 273,15 K e p 0 = 101,325 kpa (condições normais) isso resulta em V 0 l = 0, m 3 mol 1 = 22,414. Um volume V medido na pressão p e mol temperatura T precisa primeiramente ser convertido para essas condições usando a eq. (8). Além disso, a partir das equações (10.1) e (10.2) os coeficientes γ 0 e β 0 podem ser determinados. O valor procurado do volume V 0 e da pressão p 0 podem ser obtidos por extrapolação para T = 273,15 K no gráfico correspondente, ou pelas equações (5.2) e (6.2), obtidas por regressão. Dessa forma, é possível calcular o coeficiente de compressibilidade χ 0 da diferencial total (3.1) usando: cujos valores de γ 0 e β 0 são agora conhecidos. Dados e resultados Experimentos realizados com determinada massa de gás (n = 0,9536 mmol) e calculados de acordo com as relações (8) e (11) verificam a validade da Lei Universal do Gás Perfeito. Para as respectivas inclinações, obtivemos:

12 12 Os valores seguintes foram calculados para a constante universal do gás perfeito R de acordo com as equações (10.1), (10.2) e (10.3). O valor encontrado na literatura é: Adicionalmente, pelas declividades obtidas e usando os valores de V 0 e p 0 calculados para T = 273,15 K, obtemos: A partir deles, o seguinte valor para o coeficiente de compressibilidade foi obtido a partir da eq. (12): O valor teórico para um gás ideal sob T 0 e p 0 é: