UM JOGO DE BOLINHAS: ENTENDENDO O TEOREMA DE HARDY-WEINBERG

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1 UM JOGO DE BOLINHAS: ENTENDENDO O TEOREMA DE HARDY-WEINBERG Alan Bonner da Silva Costa (Laboratório de Genética Marinha e Evolução - Departamento de Biologia Marinha - Instituto de Biologia - UFF - Bolsista PROGRAD) Edson Pereira da Silva (Laboratório de Genética Marinha e Evolução - Departamento de Biologia Marinha - Instituto de Biologia - UFF) RESUMO Jogos didáticos têm como função facilitar o aprendizado de conteúdos escolares. No presente trabalho é apresentada uma proposta de jogo didático para auxiliar o aprendizado dos conceitos envolvidos no teste da hipótese de equilíbrio de Hardy-Weinberg, bem como resultados da sua avaliação por parte de alunos universitários. O Teorema de Hardy-Weinberg tem sido apontado, por professores e alunos, como um dos temas de maior dificuldade tanto de ensino, quanto de aprendizagem em relação à teoria evolutiva. Desta forma, espera-se que a apresentação deste jogo e dos resultados positivos da sua avaliação desperte o interesse de professores para reproduzir esta atividade em suas aulas de genética e evolução. Palavras-chave: jogos didáticos, ensino de evolução, equilíbrio de Hardy-Weinberg 98

2 UM JOGO DE BOLINHAS: ENTENDENDO O TEOREMA DE HARDY-WEINBERG Alan Bonner da Silva Costa (Laboratório de Genética Marinha e Evolução - Departamento de Biologia Marinha - Instituto de Biologia - UFF - Bolsista PROGRAD) Edson Pereira da Silva (Laboratório de Genética Marinha e Evolução - Departamento de Biologia Marinha - Instituto de Biologia - UFF) INTRODUÇÃO O Teorema de Hardy-Weinberg foi postulado no início do século XX pelo matemático inglês Godfrey Harold Hardy e pelo médico alemão Wilhelm Weinberg de maneira independente (HARDY, 1908; WEINBERG, 1908). Esta hipótese propõe que as frequências gênicas de uma determinada população permanecerão constantes ao longo das gerações, independentemente das frequências iniciais, se não houver a ação de nenhuma das forças evolutivas (SENE, 2008). O Teorema de Hardy-Weinberg possui diversas utilidades no trabalho com genética de populações como, por exemplo, sugerir se uma força evolutiva está agindo sobre as frequências de um dado lócus em uma população (DOBZHANSKY & LEVENE, 1948; KERR & WRIGHT, 1954), estimar coeficientes de endogamia, identificar de erros de amostragem, entre outros (FUTUYMA, 2009). A despeito de sua importância em genética de populações, o ensino do Teorema de Hardy-Weinberg no ensino básico e superior enfrenta resistências (MERTENS, 1992). Em pesquisa sobre o ensino da teoria evolutiva em escolas brasileiras, Tidon & Lewontin (2004) relataram que os professores consideram os conteúdos relacionados a frequências alélicas e ao Teorema de Hardy-Weinberg como os mais difíceis de ensinar dentre os conceitos que envolvem a evolução biológica. O presente trabalho se dedica a apresentar um jogo didático no qual o Equilíbrio de Hardy-Weinberg é testado para populações artificiais. Os jogos didáticos têm sido apontados como importantes ferramentas de auxilio a aprendizagem de conceitos científicos (GRIFFITH & MAYER-SMITH, 2000; KRASILCHIK, 2008). Desta forma, pretende-se contribuir para o ensino-aprendizagem deste conteúdo em sala de aula por professores e alunos. Esta atividade faz parte do programa de aulas práticas da disciplina Evolução do curso de graduação em Ciências Biológicas da Universidade Federal Fluminense. Além da apresentação do jogo, este trabalho traz também os resultados da avaliação que os estudantes fazem ao término da disciplina sobre esta atividade. 99

3 MATERIAL NECESSÁRIO Para o jogo, serão necessários os seguintes materiais: 1) 300 bolinhas pretas (as bolinhas podem ser de qualquer cor, desde que a metade do total delas seja de cor diferente da outra metade); 2) 300 bolinhas brancas (as bolinhas podem ser de qualquer cor, desde que a metade do total delas seja de cor diferente da outra metade); 3) 3 sacos opacos; 4) Roteiro de atividades (descrito em Roteiro de Atividades ). CONSTRUÇÃO DO JOGO As bolinhas deverão ser divididas entre os três sacos opacos de forma a representar 3 populações com 200 alelos (cada alelo representado por uma bolinha, portanto, 200 bolinhas em cada saco): POPULAÇÃO bolinhas pretas representando o alelo A e 100 bolinhas brancas representando o alelo B. Neste caso, portanto, teremos uma população onde os dois alelos têm a mesma frequência [f(a) = f(b) = 0,5]. POPULAÇÃO bolinhas pretas representando o alelo A e 40 bolinhas brancas representando o alelo B. Neste caso, portanto, teremos uma população onde o alelo A tem frequência de 80% e, o alelo B, frequência de 20% [f(a) = 0,8 e f(b) = 0,2]. POPULAÇÃO 3-40 bolinhas pretas representando o alelo A e 160 bolinhas brancas representando o alelo B. Neste caso, portanto, teremos uma população onde o alelo A tem frequência de 20% e, o alelo B, frequência de 80% [f(a) = 0,2 e f(b) = 0,8]. É importante que cada um dos sacos opacos seja identificado como uma das 3 populações definidas. 100

4 ROTEIRO DE ATIVIDADES Após organizar as populações em seus respectivos saquinhos, propõe-se um roteiro de atividades como o que se segue. Jogo do Teorema de Hardy-Weinberg Hardy e Weinberg mostraram (HARDY, 1908; WEINBERG, 1908) que as frequências alélicas e genotípicas de uma população mantêm-se constantes ao longo das gerações, independente de quão raros ou frequentes sejam os alelos em questão. Este modelo pressupõe que: 1. O tamanho da população seja infinito ou efetivamente infinito (ausência de deriva genética); 2. Que os cruzamentos aconteçam ao acaso (panmixia); 3. Não haja diferença na taxa de reposição dos alelos (ausência de seleção natural), e; 4. Que não haja a entrada de novas cópias dos alelos na população por meio de qualquer fonte externa (ausência de migração ou modificações na estrutura dos alelos por força da mutação). O jogo O jogo é composto por três populações de um lócus com dois alelos (A e B) e com três frequências genotípicas diferentes entre si. Os alelos são representados por bolinhas de duas cores distintas. Portanto, em cada saquinho são encontrados 200 alelos (bolinhas) e 100 indivíduos (pares de bolinhas) com proporções genotípicas assumidas como em equilíbrio de Hardy-Weinberg, o que significa que as freqüências genotípicas em cada uma das populações são respectivamente: POPULAÇÃO 1 - Genótipos: 25 AA - 50AB - 25 BB, [f(a) = f(b) = 0,5]. POPULAÇÃO 2 - Genótipos: 64 AA - 32 AB - 04 BB, [f(a) = 0,8 e f(b) = 0,2]. POPULAÇÃO 3 - Genótipos: 04 AA - 32 AB - 64 BB, [f(a) = 0,2 e f(b) = 0,8]. As regras Para fundar a F1 de cada população deve-se retirar, ao acaso, uma bolinha por vez, anotar o alelo que ela representa e devolvê-la para o saco. A cada duas bolinhas sorteadas, tem-se o genótipo de um indivíduo, que deve ser anotado a parte. Proceder desta forma até 101

5 obter uma amostra (prole - F1) com um total de 40 indivíduos para cada população (ou seja, serão sorteadas, ao todo, 80 bolinhas para cada população). Responda as questões 1. Quais são as frequências alélicas da F1 de cada uma das três populações? 2. Comparando os valores de frequência obtidos na F1 com aqueles da geração parental, o que você observa? 3. Teste a hipótese do equilíbrio de Hardy-Weinberg para a F1 de cada uma das três populações usando a seguinte fórmula: Ç 2 = [(o-e)²/e], onde: o = valores genotípicos observados e = valores genotípicos esperados. A frequência genotípica esperada é obtida usando o binômio: p 2 +2pq+q 2, onde: p = frequência do alelo A [f(a) da F1] q = frequência do alelo B [f(b) da F1] Graus de liberdade: GL = número de fenótipos - número de alelos A Tabela I apresenta a distribuição de valores qui-quadrado e suas probabilidades até cinco graus de liberdade. 4. Como você explica os resultados presentes na questão anterior? Tabela I- Distribuição de qui-quadrado G.L./P 0,9 0,8 0,7 0,5 0,3 0,2 0,1 0,05 0,01 1 0,016 0,064 0,148 0,455 1,074 1,642 2,706 3,841 6, ,211 0,446 0,713 1,386 2,408 3,219 4,605 5,991 9,21 3 0,584 1,005 1,424 2,366 3,665 4,642 6,251 7,815 11, ,064 1,649 2,195 3,357 4,878 5,989 7,779 9,488 13,27 5 1,61 2, ,351 6,064 7,289 9,236 11,07 15,08 102

6 APLICANDO A ATIVIDADE Este jogo deve ser aplicado como prática de uma aula teórica na qual os conteúdos referentes ao equilíbrio de Hardy-Weinberg tenham sido desenvolvidos (pressupostos, graus de liberdade, qui-quadrado, trinômio do quadrado perfeito etc.). Desta forma, o objetivo desta atividade é fazer que os alunos apliquem os seus conhecimentos sobre a hipótese de equilíbrio de Hardy-Weinberg em uma situação prática. Portanto, espera-se, no momento da prática, a operacionalização de conceitos. Assim, mais do que memorizar uma definição e seus pressupostos ou resolver exercícios teóricos, o jogo aproxima o aluno da situação modelo de reprodução sexuada em populações naturais. Este é um momento adequado (um segundo momento, já que o primeiro foi a aula teórica) para que dúvidas e dificuldades sejam evidenciadas e trabalhadas. O professor pode, ainda, exemplificar, de forma concreta, o que já foi discutido em aula e os alunos têm a oportunidade de testar a hipótese de equilíbrio de Hardy-Weinberg numa situação modelo. RESPOSTAS ESPERADAS A seguir são apresentadas respostas esperadas para cada uma das quatro questões propostas. Os resultados numéricos são exemplos concretos obtidos de relatórios respondidos por alunos que realizaram a prática. 1. Quais são as frequências alélicas da F1 de cada uma das 3 populações? Resposta esperada Exemplo 1 Genótipos População 1 População 2 População 3 AA AB BB Exemplo 2 Genótipos População 1 População 2 População 3 AA AB BB Para calcular as frequências alélicas a partir das frequências genotípicas, é necessária a fórmula: f(a) = [(2xHo)+He]/2xN, onde: Ho = número de genótipos homozigotos 103

7 He = número de genótipos heterozigotos N = tamanho da população Assim, para o Exemplo 1, temos: População 1: f(a) = [(2.10) + 22]/80 = 0,52 e f(b) = [(2.8) + 22]/80 = 0,48 População 2: f(a) = [(17.2) + 21]/80 = 0,69 e f(b) = [(2.2) + 21]/80 = 0,31 População 3: f(a) = [(2.1) + 9]/80 = 0,14 e f(b) = [(2.30) + 9]/80 = 0,86 No Exemplo 2, temos: População 1: f(a) = [(2.8) + 19]/80 = 0,43 e f(b) = [(2.13) + 19]/80 = 0,57 População 2: f(a) = [(2.26) + 12]/80 = 0,80 e f(b) = [(2.2) + 12]/80 = 0,20 População 3: f(a) = [(2.2) + 14]/80 = 0,175 e f(b) = [(2.28) + 14]/80 = 0, Compare os valores de frequência obtidos com os da população parental. O que você observa? Resposta esperada: Existe uma diferença entre as frequências genotípicas e gênicas da F1 e da geração parental. 3. Teste a hipótese do equilíbrio de Hardy-Weinberg para a F1 de cada uma das populações. Resposta esperada Para solucionar esta questão é preciso, primeiramente, obter os valores de frequência genotípica esperada para cada genótipo de cada população. Para que o valor obtido seja relativo a toda a amostra da população, deve-se multiplicar cada valor do binômio pelo tamanho da população (no caso, 40 indivíduos). Exemplo 1 População 1 População 2 População 3 p² = (0,52)².40 = 10,816 q² = (0,48)².40 = 9,216 2pq = 2.(0,48).(0,52).40 = 19,968 p² = (0,69)².40 = 19,044 q² = (0,31)².40 = 3,844 2pq = 2.(0,69).(0,31).40 = 17,112 Exemplo 2 População 1 População 2 População 3 p² = (0,43)².40 = 7,396 q² = (0,57)².40 = 12,996 p² = (0,80)².40 = 25,6 q² = (0,20)².40 = 1,6 p² = (0,14)².40 = 0,784 q² = (0,86)².40 = 29,584 2pq = 2.(0,14).(0,86).40 = 9,632 p² = (0,175)².40 = 1,225 q² = (0,825)².40 = 27,

8 2pq = 2.(0,43).(0,57).40 = 19,608 2pq = 2.(0,80).(0,20).40 = 12,8 2pq = 2.(0,175).(0,825).40 = 11,55 Conhecendo as frequências genotípicas esperadas, é preciso compará-las com aquelas observadas, obtendo o valor de qui-quadrado, que nada mais é do que um somatório do módulo do valor do desvio de cada uma das classes genotípicas estandardizado pela frequência genotípica esperada naquela classe. O valor do qui-quadrado nos oferece, portanto, uma medida do desvio entre as frequências genotípicas observadas e as esperadas teoricamente para a próxima geração. No Exemplo 1 temos: População 1 Observado (o) Esperado (e) o-e (o-e)² (o-e)²/e AA 10 10,816-0,816 0, ,06156 AB 22 19,968 2,032 4, ,20678 BB 8 9,216-1,216 1, ,1604 Ç2 0,4287 População 2 Observado (o) Esperado (e) o-e (o-e)² (o-e)²/e AA 17 19,044-2,044 4, ,21938 AB 21 17,112 3,888 15,1165 0,88339 BB 2 3,844-1,844 3,4003 0,88458 Ç2 1,9873 População 3 Observado (o) Esperado (e) o-e (o-e)² (o-e)²/e AA 1 0,784 0,216 0, ,05951 AB 9 9,632-0,632 0, ,04147 BB 30 29,584 0,416 0, ,00585 Ç 2 0,1068 No Exemplo 2, temos: População 1 Observado (o) Esperado (e) o-e (o-e)² (o-e)²/e AA 8 7,396 0,604 0,3648 0,0493 AB 19 19,608-0,608 0,3697 0,0188 BB 13 12,996 0,004 0, Ç2 0,0681 População 2 Observado (o) Esperado (e) o-e (o-e)² (o-e)²/e AA 26 25,6 0,4 0,16 0,00625 AB 12 12,8-0,8 0,64 0,5 BB 2 1,6 0,4 0,16 0,00625 Ç2 0,5125 População 3 Observado (o) Esperado (e) o-e (o-e)² (o-e)²/e AA 2 1,225 0,775 0,6006 0,4903 AB 10 11,55-1,155 1,3340 0,1155 BB 28 27,225 0,775 0,6006 0,4903 Ç 2 1,0961 Obtidos os valores de qui-quadrado é preciso, ainda, calcular os graus de liberdade. Os graus de liberdade equivalem ao número de classes genotípicas esperadas que são 105

9 estatisticamente independentes. Aqui é importante chamar a atenção para o fato de que os três casos em questão têm apenas um grau de liberdade, apesar de existirem três classes esperadas. É que para o cálculo das classes esperadas são necessárias duas informações, isto é, o tamanho da amostra e a freqüência de um dos alelos. Sabendo-se que o número de graus de liberdade do qui-quadrado é igual ao número de classes esperadas menos o número necessário de informações da amostra para o cálculo das proporções nessas classes, tem-se, neste caso, que esse número é igual a um, pois 3-2 = 1, ou seja, GL = número de fenótipos - número de alelos. Feito isto, é possível, com o auxilio da tabela oferecida, verificar que, para os exemplos descritos, as chances de se encontrar desvios do tamanho daqueles obtidos para as populações artificiais são: No Exemplo 1: População 1 (Ç 2 = 0,4287), chance de ocorrência do desvio está entre 50-70%. População 2 (Ç 2 = 1,9873) chance de ocorrência do desvio está entre 10-20%. População 3 (Ç 2 = 0,1068) chance de ocorrência do desvio está entre 70-80%. No Exemplo 2: População 1 (Ç2 = 0,0681), chance de ocorrência do desvio está entre 70-80%. População 2 (Ç2 = 0,5125) chance de ocorrência do desvio está entre 30-50% População 3 (Ç2 = 1,0961) chance de ocorrência do desvio está entre 20-30%. 4. Como você explica os resultados presentes na questão anterior? Resposta esperada: não é possível rejeitar a hipótese de equilíbrio de Hardy-Weinberg para nenhum dos casos estudados, uma vez que a chance de se encontrar desvios como os obtidos apenas por acaso é muito alta (Mínimo de 10%, Máximo de 80%) e acima do nível de significância estatística utilizado de 5%. AVALIAÇÃO DA PRÁTICA Esta atividade é aplicada regularmente em aulas práticas da disciplina Evolução do curso de Ciências Biológicas da Universidade Federal Fluminense. As turmas desta disciplina contam em média com 50 alunos e ao seu final os estudantes respondem um questionário de avaliação da disciplina que contém perguntas sobre todas as práticas, incluindo o jogo sobre o 106

10 Teorema de Hardy-Weinberg. A Tabela II apresenta resultados da avaliação que este jogo tem recebido por estes alunos. Tabela II- Avaliação do Jogo do Teorema de Hardy-Weinberg realizada por alunos do curso de graduação em Ciências Biológicas da Universidade Federal Fluminense (8 turmas = 278 alunos). Pergunta/Resposta Sim Parcialmente Não Você gostou do jogo? 83,4% 8,5% 8,1% Você acredita ter aprendido com o jogo? 95,6% 0% 4,4% Você acha que o jogo deve continuar na disciplina? 94,7% X 5,3% Na Figura 1 é apresentada a variação semestral da aceitação do Jogo do Teorema de Hardy-Weinberg pelos dos alunos. Figura 1- Variação semestral da aceitação do Jogo do Teorema de Hardy-Weinberg por alunos do curso de graduação em Ciências Biológicas da Universidade Federal Fluminense (8 turmas = 278 alunos). Os resultados destas avaliações demonstram que o jogo vem obtendo boa aceitação por parte dos alunos, indicando que esta atividade pode ser uma boa alternativa para todos aqueles professores que encontram dificuldade em trabalhar com a teoria evolutiva, especialmente no que se refere ao ensino do Teorema de Hardy-Weinberg (TIDON; 107

11 LEWONTIN, 2004). Mais que isso, o contato com os alunos durante o desenvolvimento da atividade permitiu observar duas particularidades. Primeiro, o jogo tem o mérito de esclarecer o significado do Teorema de Hardy-Weinberg. Por exemplo, noção de que o teorema representa um esperado teórico, que as frequências gênicas de uma determinada população permanecem constantes ao longo das gerações e que se está testando uma hipótese. A segunda particularidade é evidenciar dúvidas pontuais. Por exemplo, os alunos enfrentam dificuldades em entender as probabilidades apresentadas na tabela de qui-quadrado. Baseados nisso, outras atividades têm sido desenvolvidas com o intuito de solucionar problemas que apresentam certa regularidade. Por exemplo, jogos com moedas nos quais os alunos podem praticar e entender melhor conceitos relacionados à frequência de desvios. Espera-se que esta apresentação do Jogo do Teorema de Hardy-Weinberg, bem como dos resultados positivos que ele vem alcançando, desperte o interesse de professores para reproduzir esta atividade em suas aulas de genética e evolução e, também, promova a reflexão sobre novas estratégias, alternativas e caminhos para o ensino da teoria evolutiva. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DOBZHANSKY, T; LEVENE, H. Genetics of natural populations XVII.: Proof of operation of natural selection in wild populations of Drosophila pseudoobscura. Genetics, Maryland, v. 33, n. 6, p , FUTUYMA, D.J. Biologia Evolutiva. Ribeirão Preto: FUNPEC Editora, p. GRIFFITH, A. J. F.; MAYER-SMITHIES, J. Understanding Genetics: Strategies for Teachers and Learners in Universities and High Schools. New York: WH Freeman and Company, p. HARDY, G. H. Mendelian Proportions in a Mixed Population. Science, Washington, v. 28, n. 708, p , KERR W. E.; WRIGHT; S. Experimental studies of the distribution of gene frequencies in very small populations of Drosophila melanogaster: I. Forked. Evolution, New Jersey, v. 8, n. 2, p , KRASILCHIK, M. Prática de Ensino de Biologia. São Paulo: EdUSP, p. MERTENS, T. R. Introducing students to population genetics & the Hardy-Weinberg principle. The American Biology Teacher, Virginia, v. 54, n. 2, p , SENE, F. M. O Teorema de Hardy-Weinberg completa 100 anos. Genética na Escola, Ribeirão Preto, v. 3, n. 2, p ,

12 TIDON, R; LEWONTIN, R. C. Teaching Evolutionary Biology. Genetics and Molecular Biology, Ribeirão Preto, v. 1, n. 27, p , WEINBERG, W. Über den Nachweis der Vererbung beim Menschen. Jahresh. Ver. väter. Naturk. Württemb. n. 64, p ,