Trabalho Prático ESTUDO EXPERIMENTAL DE LEIS DA DINÂMICA

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1 Trabalho Prático ESTUDO EXPERIMENTAL DE LEIS DA DINÂMICA Objectivo Com este trabalho pretende-se realizar a verificação experimental de diferentes leis da dinâmica e suas consequências. As experiências programadas baseiam-se na utilização de um computador e de uma interface PASCO Science Workshop (SW) 500 ou ª PARTE Impulso da força e variação do momento linear numa colisão Introdução De acordo com a 2ª lei de Newton, a resultante das forças F r exercida sobre um objecto é directamente proporcional à aceleração a r que essa força imprime ao movimento do objecto, sendo a constante de proporcionalidade a própria massa m do objecto: r r F = m. a. Uma outra forma da escrever a 2ª lei de Newton é exprimir a força total F r pela variação temporal do seu momento linear: r r dp F =, dt onde o momento linear p r corresponde, como se sabe, ao produto da massa do corpo pela r r velocidade de que está animado ( p = m. v ). Se a força é constante no tempo (aceleração constante) podemos escrever r r r r p mv f mv r i r F = = F. t = p. t t t f i Contudo, em geral, quando dois corpos interagem (por exemplo, quando chocam) a força de interacção entre eles não é constante; ou seja, não passa instantaneamente para um dado valor, mantendo-se constante nesse valor durante certo tempo e depois desaparecendo, também instantaneamente, como representado no gráfico da figura 1-a). Pelo contrário, a força varia ao longo do tempo, por exemplo, como está ilustrado no gráfico da figura 1-b). Departamento de Física da FCTUC 1/19

2 F r F r t a) b) Figura 1 t r r Ao produto F. t ou F. dt, correspondente à área delimitada respectivamente por cada uma das curvas da figura 1, dá-se o nome de impulso da força, I r. Assim, o impulso da força é igual à variação do momento linear provocada pela acção dessa força: r r r I = p f p i, onde p r i e p r f são os valores do momento linear imediatamente antes da força começar a actuar e imediatamente após a força deixar de actuar, respectivamente. Esta relação pode ser verificada experimentalmente: por um lado, medindo, durante o tempo de impacto, a força que age sobre um carro quando este choca contra um obstáculo no qual está montado um sensor de força e, por outro, registando a velocidade do carro antes e depois do choque com o obstáculo (por meio de um sensor de movimento). Material necessário Uma calha, um carro, um sensor de movimento, um sensor de força. Procedimento Montagem experimental 1. Verifique se a interface SW 500 ou SW 700 (fig. 2) está ligada ao computador. Ligue a interface e, em seguida, ligue o computador. 2. Ligue a ficha dupla do sensor de movimento (motion Figura 2 sensor) aos canais digitais 1 e 2 da interface: o terminal amarelo ao canal 1 e o outro ao canal 2 (fig. 2). Departamento de Física da FCTUC 2/19

3 3. Ligue a ficha DIN do sensor de força (force sensor) à entrada analógica A da interface (fig. 2). 4. Abra o programa Science Workshop no computador. 5. Aparecerá no écran uma janela como a da figura Comece por indicar ao programa quais os terminais que ligámos às entradas da interface. Para tal, seleccione e arraste o ícone da ficha digital para a entrada 1 da interface. Aparecerá o écran da figura 4, onde deve escolher o aparelho ligado à entrada digital 1, neste caso o sensor de movimento. Essa selecção implicará a abertura do écran da figura 5, ao mesmo tempo que começará a ouvir o sensor de movimento emitir um sinal sonoro. Nesse menu, escolha o valor 50 Hz na opção trigger rate (frequência de emissão), a fim de que o sinal emitido pelo sensor tenha um alcance máximo de cerca de 2.5 metros, sensivelmente o comprimento da calha que vai ser utilizada. Figura 3 Figura 4 Figura 5 Departamento de Física da FCTUC 3/19

4 Em seguida, novamente no écran da figura 3, seleccione e arraste o ícone da ficha analógica. para a entrada A da interface. Aparecerá um écran equivalente ao da figura 4 onde deverá escolher a opção sensor de força. No écran, agora representado na figura 6, poderá ver os ícones do sensor de movimento (por baixo da interface, à esquerda), e do sensor de força, (por baixo da interface, à direita). Sempre que seleccionar o ícone do sensor de movimento (por meio de dois cliques com o rato) abre-se novamente a janela mostrada na figura 5. Quando seleccionar o ícone do sensor de força abre-se uma outra janela (figura 7), a partir da qual é possível efectuar a necessária calibração do sensor. Figura 6 Figura 7 7. Antes de realizar a calibração, e voltando ao menu da figura 6, abra a opção Sampling options, à esquerda, em baixo, e, no quadro ilustrado na fig. 8, seleccione: Periodic Samples = Fast, 200 Hz; Digital Timing = Hz. Esta opção indica ao programa a frequência com que ele deve recolher os dados fornecidos pelos sensores ligados à interface. Departamento de Física da FCTUC 4/19

5 Calibração do sensor de força 8. Vamos agora proceder à calibração do sensor de força. 8.1 Para tal, na janela da figura 6, pressione duas vezes o ícone do sensor de força de modo a abrir a janela correspondente à figura 7. Figura 8 Figura Nessa janela mostram-se os valores da calibração pré-definida do sensor, onde se pode ler que: 50 N produzem uma tensão de 8 Volts; 50 N produzem uma tensão de 8 Volts. O sensor de força está definido de modo a que um puxão seja interpretado como uma força negativa. Por exemplo, se montarmos o sensor verticalmente (fig. 9) e nele pendurarmos um objecto com 1 kg de massa, o sensor de força medirá 9.8N. 8.3 Monte o sensor de força num suporte semelhante ao da fig. 9, de modo a que o seu gancho fique na vertical Não coloque nenhuma massa no gancho. Pressione o botão de tara do sensor de modo a inicializá-lo. Para calibrar o limite superior do valor da força (High value), escreva o valor 0 (zero) no campo correspondente ao High value, uma vez que não há nenhuma massa pendurada no gancho. Carregue no botão READ. 8.5 Para calibrar o limite inferior do valor da força, pendure no gancho um objecto de massa conhecida (cujo valor seja superior à massa do objecto que vai utilizar durante esta parte do trabalho). No campo do Low Value, escreva o valor do peso (em Newton) do [1]Há possibilidade de se montarem diferentes terminais no sensor de força. O gancho e uma pequena placa com dois magnetes são os dois terminais que usaremos ao longo deste trabalho prático. Departamento de Física da FCTUC 5/19

6 objecto pendurado (não se esqueça que uma força que puxa o gancho é negativa). Carregue no botão Read correspondente ao Low Value. 8.6 Pressione OK para voltar à janela da experiência. Preparação dos gráficos 9. Em seguida, há que preparar os gráficos ou tabelas que vão ser necessários para o registo e tratamento adequado dos dados obtidos. Nesta experiência, estamos interessados em preparar um gráfico da força em função do tempo. Procedemos então do seguinte modo: no écran da figura 6, seleccione e arraste o ícone correspondente ao gráfico para o ícone do dispositivo com o qual mede a grandeza que pretende colocar no eixo dos yy. Como neste caso a ordenada do gráfico deve corresponder à força, o ícone deve ser arrastado para cima do ícone do sensor de força. Aparece no écran o gráfico da figura Figura 10 Em seguida, pretendemos criar um gráfico de velocidade também em função do tempo. Assim, devemos pressionar o ícone do menu do gráfico na fig. 10 que tem essa função,, e escolher a opção de velocidade no pequeno menu que se abre quando se selecciona a entrada digital 1 (figura 11). O programa está agora preparado (figura 12). Passemos às condições experimentais. Colisão com um objecto de massa muito grande 10. Fixe o sensor de força no suporte próprio, no extremo da calha, como ilustrado na fig. 13. [2] Como se pode ver, reduziu-se a janela da figura 6 mantendo apenas a sua parte esquerda. Para tal fez-se um clique com o rato no ícone apropriado no canto superior direito da janela, como se indica na seguinte figura. Departamento de Física da FCTUC 6/19

7 Figura 11 Figura Levante o extremo oposto da calha cerca de 1.5 cm (pousando-o sobre um objecto volumoso), de modo a que o carro deslize sempre com a mesma velocidade inicial. Figura 13 Departamento de Física da FCTUC 7/19

8 12. Coloque o sensor do movimento nesse extremo elevado da calha, a fim de que ele possa medir o movimento do carro. A distância mínima entre o sensor de movimento e o carro é de 40 cm. Coloque uma marca na calha, a 40 cm do sensor de movimento, para se lembrar que o carro não deve aproximar-se do sensor mais do que esta distância. 13. Encoste o extremo da calha onde está o sensor de força a um objecto suficientemente pesado para que a calha não se mova durante a colisão. 14. Retire o gancho do sensor e substitua-o por um protector magnético. 15. Meça e registe numa tabela de resultados a massa do carro. 16. Quando estiver pronto para iniciar a experiência, pressione o botão de Tara, na parte lateral do sensor de força para inicializar o valor da força aplicada ao sensor. 17. Coloque o carro a 40 cm do sensor de movimento. 18. Antes de iniciar o registo definitivo dos dados, experimente mover o carro em frente do sensor de movimento para ter a certeza que este está bem alinhado e vê (acende um LED ou apenas emite um som, conforme os modelos) o carro que se movimenta. 19. Inicie o registo de dados premindo o botão na parte esquerda do écran e solte o carro para ele começar a deslizar em direcção ao sensor de força. 20. Termine o registo dos dados, carregando no botão, depois do carro ter sido repelido da colisão com o sensor de força. Na janela da experiência (fig. 14) aparecerá Run #1. Análise dos resultados 21. Clique com o rato num dos gráficos e seleccione, sucessivamente, os botões Escala Automática (de modo a que o gráfico inclua todos os dados acumulados numa escala adequada 3 ) e Estatística, a fim de abrir a área de tratamento estatístico dos dados, no canto inferior lado direito do gráfico. Em seguida, seleccione a instrução Ampliar. Use o cursor para definir, no gráfico da força em função do tempo, um rectângulo que inclua a região que corresponde à colisão, como está ilustrado na figura 15. Figura 14 [3] Os limites da escala também podem ser alterados directamente, seleccionando a escala por meio de dois cliques com o rato. Departamento de Física da FCTUC 8/19

9 22. Pressione o botão do Menu de Estatística no gráfico da força. Seleccione a opção Integração (fig. 16). Anote, na sua tabela de resultados, o valor obtido para a área seleccionada. A que corresponde essa área? Porquê? Figura Pare encontrar os valores da velocidade imediatamente antes e depois da colisão, use o cursor para desenhar um rectângulo à volta da região que corresponde à colisão na curva da velocidade em função do tempo (fig. 15) Seleccione o Menu de Estatística no gráfico da velocidade. Seleccione Mínimo. Anote este valor na tabela, o qual traduz a velocidade depois do choque. Figura Seleccione de novo o Menu de Estatística no gráfico da velocidade. Seleccione Máximo. Anote este valor na tabela, o qual traduz a velocidade antes do choque. 24. Calcule e registe na tabela o momento linear antes e depois da colisão. (Atenção à convenção de sinais.) 25. Calcule a correspondente variação de momento linear provocada pela colisão. Como relaciona este resultado com o valor registado no ponto 22? Compare os valores obtidos e comente. 26. Qual dos dois valores obtidos impulso da força e variação do momento linear lhe parece mais fiável? Justifique. Calcule a diferença percentual relativa entre os dois valores A B B x100. Consulte a referência bibliográfica [4], secções 1 a 5.1. Departamento de Física da FCTUC 9/19

10 27. Se for possível, imprima o gráfico da experiência que acaba de realizar. Relatório Elabore um relatório desta parte do trabalho efectuado, no qual deve incluir, para além da identificação do trabalho e da equipa (nome, licenciatura, turma e grupo) que o realizou: o objectivo desta parte do trabalho (4 a 5 linhas); os resultados experimentais obtidos (organizados em tabelas e gráficos sempre que possível); o tratamento matemático adequado desses resultados e a discussão/comentário dos mesmos. Bibliografia (para as três partes do trabalho) [1] M.M.R.R. Costa e M.J.B.M. de Almeida, Fundamentos de Física, Coimbra, Livraria Almedina (1993). [2] Paul Tipler, Física, Editora Guanabara-Koogan, 4ª Edição (2000). [3] M. Alonso e E. Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana (1999) [4] Introdução à análise de dados nas medidas de grandezas físicas, Coimbra, Departamento de Física da Universidade (2003/04). [5] M.C. Abreu, L. Matias e L.F. Peralta, Física Experimental - Uma introdução, Lisboa, Editorial Presença (1994). Departamento de Física da FCTUC 10/19

11 2ª PARTE Estudo do choque elástico e inelástico. Introdução Consideremos dois corpos de massas m 1 e m 2, animados de velocidades v 1 e v 2, respectivamente, movimentando-se em rota de colisão. Na colisão, os corpos exercem um sobre o outro forças iguais e opostas e experimentam variações iguais e opostas do seu momento linear (desde que seja nula a resultante das forças externas aplicadas a cada um deles). Nesse caso, o momento linear total dos dois corpos conserva-se, podendo escrever-se que, r r r r +, f f i i p1 p2 = p1 + p2 onde r p n i e r p n f são os momentos lineares antes e depois do choque para cada um dos corpos. Quando, além disso, a energia cinética total também se conserva o choque diz-se elástico, ou seja, onde E c in e E f cn E f c 1 + E = E + E, f c 2 são as energias cinéticas dos corpos antes e depois da colisão. Pelo contrário, quando há variação da energia cinética total, ainda que o momento linear total se conserve (acontece, por exemplo, quando os corpos aderem depois do impacto), o choque diz-se inelástico. O caso particular de choque inelástico em que os corpos seguem unidos diz-se choque perfeitamente inelástico. i c 1 i c 2 Nesta experiência, produzir-se-ão choques (aproximadamente) elásticos protegendo os corpos envolvidos na colisão com terminais magnéticos de polaridade contrária, de modo a que haja repulsão dos corpos depois do choque. Por sua vez, serão criadas colisões inelásticas protegendo os corpos com fita de velcro, que permitirá mantê-los unidos após o choque. Será possível, assim, estudar-se a conservação do momento linear e da energia cinética nos dois tipos de choque. Material necessário Dois carros, barreiras em plástico com 5 bandas de diferentes padrões, duas células fotoeléctricas e respectivos suportes, um medidor de nível, uma balança, barras de massa. Departamento de Física da FCTUC 11/19

12 Procedimento 1. Ligue a ficha de uma das células fotoeléctricas ao canal digital 1 da interface SW 500 ou 700 (fotocélula 1) e a ficha da outra célula fotoeléctrica ao canal digital 2 (fotocélula 2). 2. Na barra principal da janela do programa Science Workshop, seleccione a opção File e, em seguida, New. Escolha depois a opção Don t save. Reiniciou o programa, que fica mais uma vez pronto para uma nova experiência. 3. Repita o procedimento dos números 5, 6 e 7 da 1ª parte deste trabalho, escolhendo agora os novos dispositivos ligados à interface. Quando se abrir a janela correspondente à figura 4 deve seleccionar os dispositivos Photogate & Solid Object (fotocélula e barreira com banda contínua). No final, deve ter a janela da experiência indicada na figura 17. Figura Embora as fotocélulas não necessitem de calibração, é necessário indicar-lhes qual o comprimento da banda padrão que será utilizada nesta experiência: banda opaca de 10 cm. Para tal, clique duas vezes no ícone da fotocélula 1 no menu da figura 17. Abre-se o quadro representado na figura 18. No campo apropriado escreva o comprimento da banda opaca (atenção às unidades). Repita o procedimento para a outra fotocélula. Figura 18 Departamento de Física da FCTUC 12/19

13 5. Pretendemos agora criar uma tabela contendo os valores da velocidade (ms -1 ) de cada um dos carros, cujo registo é feito pelas respectivas fotocélulas. Para tal, arraste o ícone da tabela, no écran da figura 17, para cima da fotocélula nº1. 6. Abre-se então uma tabela apenas com uma coluna. Para gerar uma 2ª coluna seleccione o botão no menu da tabela e escolha como variável a velocidade fornecida pela 2ª fotocélula. Obtém assim um écran semelhante ao da figura Verifique o bom nivelamento da calha utilizando um medidor de nível e regulando os pés ajustáveis, se necessário, de modo a que os carros não deslizem em nenhum dos sentidos. É muito importante a calha estar bem nivelada. Se assim não for, a resultante das forças aplicadas a cada carro será diferente de zero, não havendo conservação do momento linear total dos dois carros. 8. Coloque uma barreira com 5 bandas de diferentes padrões, entre as quais uma banda contínua com 10 cm de comprimento, no encaixe próprio de cada um dos carros. Pese os conjuntos carro+barreira e registe as respectivas massas numa tabela de resultados. 9. Prenda as fotocélulas à calha, através dos suportes apropriados. Monte a fotocélula 1 do lado esquerdo da calha e a fotocélula 2 do lado direito (fig. 20). 10. Coloque os dois carros no centro da calha e ajuste a posição das fotocélulas de modo a que a fotocélula 1 fique à esquerda dos dois carros e a fotocélula 2 à direita deles. Coloque-as de forma a que a distância de uma à outra seja alguns centímetros maior do que a soma do comprimento dos carros. Figura 19 Departamento de Física da FCTUC 13/19

14 Figura Ajuste a altura das fotocélulas de modo a que, quando os carros passem por baixo delas, a banda opaca de 10 cm da barreira bloqueie o feixe da fotocélula. ESTUDO DO CHOQUE 12. Coloque os carros na calha com as extremidades de polaridades magnéticas diferentes viradas uma para a outra. 13. Coloque um dos carros em repouso no meio da calha, entre as fotocélulas. Coloque o outro carro no extremo da calha. (Não é necessário ser exactamente no extremo da calha, basta que seja a alguma distância das fotocélulas.) Carregue no botão REC. Imprima uma certa velocidade inicial ao carro que está no extremo da calha, de modo a que atinja o carro em repouso, ao centro. Depois de se dar a colisão e de os carros passarem pelas fotocélulas (irão ambos passar?), prima o botão STOP. Descreva o que aconteceu com o choque. NOTA - O procedimento anterior pode ser repetido várias vezes sem se fazer o registo dos dados, apenas para experimentar. 14. Na lista de dados aparece o ficheiro RUN #1. Na tabela aparecem os valores das velocidades. A partir desses valores calcule o momento linear total e a energia cinética total, antes e depois da colisão. Determine a diferença percentual entre os valores medidos antes e depois do choque. Houve conservação do momento linear? E da energia cinética? Considera que o choque foi aproximadamente elástico ou ineslástico? 15. Coloque os carros na calha de modo a que as extremidades que têm fita de velcro fiquem viradas uma para a outra. Departamento de Física da FCTUC 14/19

15 16. Coloque os dois carros do mesmo lado da calha. Carregue no botão REC e imprima uma certa velocidade ao carro da frente; em seguida, imprima uma dada velocidade ao 2º carro, maior do que a que imprimiu ao 1º, de modo a que o 2º carro choque com o 1º no espaço entre as fotocélulas. Depois dos carros abandonarem o espaço entre as células pare a aquisição de dados. 17. Repita o ponto Elabore um relatório desta parte do trabalho efectuado, no qual deve incluir: o objectivo desta parte do trabalho (4 a 5 linhas); os resultados experimentais obtidos (organizados em tabelas e gráficos sempre que possível); o tratamento matemático adequado desses resultados e a discussão/comentário dos mesmos. Departamento de Física da FCTUC 15/19

16 3ª PARTE Variação da Energia Cinética de um objecto Introdução Quando um objecto de massa m experimenta uma força total constante F r ao longo de um percurso rectilíneo de comprimento d r, o trabalho realizado por F r é dado por: r r W = F. d. Por outro lado, se a força F r for a resultante das forças aplicadas ao objecto, o trabalho por ela realizado é igual à variação da energia cinética desse objecto: W = Ecf Eci = mv f mvi, 2 2 onde v f e v i são a velocidades final e inicial, respectivamente. É esta igualdade que será estudada nesta experiência. Material utilizado Carro, sensor de força, foto-roldana (roldana que se prende à calha e pequeno suporte vertical onde se prende uma célula fotoeléctrica que detecta o movimento da roldana), suporte para massas verticais, massas conhecidas. 1. Ligue o terminal da foto-roldana ao canal digital 1 da interface e a ficha DIN do sensor de força à entrada analógica A. 2. Na barra principal da janela do programa Science Workshop, seleccione a opção File e, em seguida, New. Escolha depois a opção Don t save. Reiniciou o programa, que fica deste modo pronto para uma nova experiência. 3. Repita o procedimento dos números 5, 6 e 7 da 1ª parte deste trabalho, escolhendo agora os novos dispositivos ligados à interface. Quando abrir a janela correspondente à figura 3 deve seleccionar os dispositivos Smart Pulley (Linear) (foto-roldana). No final, deve ter a janela da experiência indicada na figura Pode seleccionar o ícone da foto-roldana e verificar que o comprimento do arco seleccionado (spoke arc length) é de 15 mm (figura 22). Departamento de Física da FCTUC 16/19

17 Figura Preencha as seguintes Sampling options: Periodic Samples = Fast at 50 Hz, Digital Timing = Hz. Figura Meça, e registe numa tabela de resultados, a massa do sensor de força e do carro. Monte o sensor de força sobre o carro. 7. Verifique o bom nivelamento da calha. 8. Coloque um stop-movimento perto do extremo da calha onde vai montar a foto-roldana (para a proteger do carro em movimento). Monte a foto-roldana nesse extremo da calha de modo a que o topo da roldana fique à altura do gancho do sensor de força (fig. 23). 9. Prenda uma corda ao gancho do sensor. A corda deve ter mais cerca de 10 cm do que a distância que vai do cimo da foto-roldana até o chão. 10. Prenda um suporte para massas do outro lado da corda. Coloque a corda que Figura 23 Departamento de Física da FCTUC 17/19

18 liga o carro e o suporte de massas sobre a foto-roldana. Ajuste a foto-roldana de modo a que a parte da corda ligada ao carro, antes de passar pela foto-roldana, fique paralela à calha. 11. Coloque uma massa de valor conhecido no fim da corda. Ajuste a posição do stop-movimento de modo a que a massa fique logo acima do chão quando o carro pára nessa barreira. NOTA - Não é necessário calibrar a foto-roldana. 12. Calibre o sensor de força do modo indicado na 2ª parte deste trabalho, mas agora mantendo-o na posição em que vai ser utilizado nesta experiência, apenas tirando e repondo o fio com o suporte de massas e a massa marcada. ATENÇÃO Não esquecer que o sensor de força deve ser calibrado com uma massa de valor superior à que será usada posteriormente, no decorrer da experiência. 13. Prepare um gráfico da força (N) em função da distância e uma tabela com os valores da velocidade (ms -1 ), como representado na figura Quando estiver preparado para começar a adquirir dados, afaste o carro da foto-roldana até que o suporte da massa quase toque a roldana. Figura Rode a foto-roldana para uma posição em que o feixe fotoeléctrico fique desbloqueado (a luz do LED da célula fotoeléctrica apaga-se). Departamento de Física da FCTUC 18/19

19 16. Inicie o registo de dados. 17. Liberte o carro para que ele possa ser puxado pela massa suspensa. O registo automático dos dados tem início logo que a foto-roldana é bloqueada pela primeira vez. 18. Pare o registo de dados antes do suporte com a massa chegar à altura mínima. Run #1 aparecerá na lista de dados da janela. 19. Carregue na tabela para a activar. Seleccione a opção Estatística no menu da tabela. Na parte inferior da tabela aparecerá Min (mínimo), Max (máximo), Mean (média) e Std. Dev (desvio padrão). 20. Registe o valor Max (ou v f ) da velocidade final do Run #1 na tabela de dados e calcule a variação da energia cinética do sistema carro + sensor de força. 21. Seleccione a janela do gráfico para a tornar activa. Seleccione o botão Estatística do menu do gráfico. Seleccione o botão Escala Automática, Menu de Estatística e, finalmente, seleccione Integração. 22. Registe o valor da integração da área correspondente à variação da força em função da posição. A que grandeza corresponde essa área? Como conhece, por via directa, a força aplicada ao carro (se desprezar a existência de atrito), determine o valor que esperava medir para essa mesma área, compare e comente os dois resultados encontrados. 23. Compare os resultados obtidos (experimentais e por via directa ) com os do ponto 20 e comente-os. 24. Se for possível, imprima o gráfico da experiência. Relatório Elabore um relatório desta parte do trabalho efectuado, no qual deve incluir: o objectivo desta parte do trabalho (4 a 5 linhas); os resultados experimentais obtidos (organizados em tabelas e gráficos sempre que possível); o tratamento matemático adequado desses resultados e a discussão/comentário dos mesmos. Departamento de Física da FCTUC 19/19