Inferência Bayesiana para estimação da taxa de falha de bombas de um sistema de resfriamento de uma usina nuclear

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1 Inferência Bayesiana para estimação da taxa de falha de bombas de um sistema de resfriamento de uma usina nuclear Márcio José das Chagas Moura (UFPE) Enrique López Droguett (UFPE) Resumo O objetivo do fabricante é desenvolver e comercializar produtos com custos reduzidos e em curtos espaços de tempo que satisfaçam as necessidades dos consumidores. Pode-se dizer que a confiabilidade é um atributo inerente a um produto o qual deve ser considerado desde o processo de concepção até a chegada do mesmo às mãos do consumidor. Porém, a escassez de dados é uma característica cotidianamente encontrada quando se deseja avaliar a confiabilidade de determinado equipamento. Esta situação é acarretada por razões como dificuldades em obter dados de falha sob condições normais de uso e pressões para alcançar prazos e limitações de custo. Desta forma, torna-se determinante a utilização de fontes de informação alternativas, como testes de vida acelerados e opiniões de especialistas para a avaliação da confiabilidade. Este artigo apresentará a metodologia bayesiana para estimação da taxa de falha de bombas utilizadas em um sistema de resfriamento de uma usina nuclear. Essa análise será baseada no Teorema de Bayes e na metodologia de simulação Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Palavras chave: Confiabilidade; Teorema de Bayes; MCMC. 1. Introdução Segundo Firmino et al. (2004), a análise de confiabilidade é uma técnica de suporte a tomadas de decisão e controle que auxilia gestores na busca da garantia da execução satisfatória das funções dos itens a respeito de um dado sistema, considerando suas limitações, o seu desgaste e os fatores que influenciam seu desempenho, sejam estes itens equipamentos ou pessoas. Em um mercado competitivo como o atual, a busca permanente por vantagens competitivas é imperativa para sobrevivência da empresa. Dentre o critério ganhador de pedido, i.e., as razões-chaves que os consumidores consideram para comprar um produto, a confiabilidade aparece entre os mais bem ranqueados ao lado da manutenabilidade e da qualidade. A análise da confiabilidade de um equipamento proporciona redução de custos, otimização do processo produtivo, estabelecimento de intervalos mais acurados de manutenção preventiva, redução do tempo de espera em operações de Setup, níveis mais baixos de estoque intermediários, entre outras vantagens. Para avaliar a confiabilidade de determinado equipamento são necessários dados de falha nas condições de uso nominais. Entretanto, esses dados são difíceis de serem obtidos devido a causas, tais como: elevado tempo de vida útil do produto, período curto entre projeto e lançamento do produto no mercado e dificuldade em testar produtos de uso contínuo sob condições de uso normais. Portanto, é comum a existência de situações onde a escassez de dados é um entrave determinante para avaliação da confiabilidade de determinado equipamento. No paradigma Bayesiano para avaliação da confiabilidade, é possível o uso de fontes alternativas de falha, como dados de campo ou de teste de equipamentos. Dentre essas fontes alternativas, estão as Opiniões de Especialistas, onde é possível que o conhecimento implícito ENEGEP 2005 ABEPRO 1561

2 de um indivíduo inteirado com o objeto de análise seja externalizado através de uma distribuição de probabilidade, a qual denominamos de distribuição a priori. Segundo Ayyub (2001), um especialista pode ser entendido como um engenheiro ou outro indivíduo ou grupo de indivíduos com treinamento adequado e familiarizado com o equipamento e processos que constituem o objeto de análise. Além disso, à medida que novas informações sobre o objeto de estudo vão surgindo, retroalimentações do conhecimento sobre tal são realizadas, consistindo consequentemente num processo de melhoria contínua. 2. Teorema de Bayes Através da aplicação da análise Bayesiana em confiabilidade é possível para o engenheiro usar informações provenientes de fontes distintas, como handbooks e opiniões de especialistas, na formulação de uma função de probabilidade para algum parâmetro de interesse. Para um dado parâmetro, os resultados podem ser sistematicamente atualizados à medida que novas informações tornam-se disponíveis. Segundo Droguett et al.(2004a), uma simples visão do Teorema de Bayes é apresentada através da teoria de probabilidade. Considere que estamos interessados em um determinado evento A, como por exemplo, o nível de confiabilidade a ser atingido por um equipamento, e que E represente alguma nova informação relevante à avaliação de A, como o resultado de um teste acelerado. Então, o Teorema de Bayes estabelece que a probabilidade do evento A dado a nova evidência (dados) E é proporcional ao produto entre a probabilidade do evento A antes de obtermos a nova informação E, e a probabilidade de observar a evidência E caso o evento A ocorresse. Ou seja, E A) A) P ( A E) E) Equação 1, onde P (A) é conhecida como a probabilidade a priori de A, i.e., antes de tomarmos conhecimento de E; P ( E A) é a probabilidade de que a evidência E seja observada se A é realmente verdadeiro (ocorre), e é conhecida como função de verossimilhança e P ( A E) é a probabilidade a posteriori de A, i.e., após termos obtido a nova informação representada por E. Logo, P ( A E) representa a nossa probabilidade atualizada sobre o evento A uma vez que obtemos a informação adicional E relevante a A. Em geral, entretanto, estamos interessados na avaliação de atributos de confiabilidade ou parâmetros contínuos, como a taxa de falha. Na forma contínua, o Teorema de Bayes fica: π ( θ E) θ L ( E θ ) π o ( θ ) ( E θ ) π ( θ ) d L o θ Equação 2, onde θ representa algum parâmetro de interesse, como a taxa de falha ou de reparo de um equipamento. Como anteriormente, π o (θ ) é a distribuição a priori sobre θ representando a totalidade da informação disponível ao engenheiro sobre o parâmetro de interesse antes de observar a nova evidência E (como resultados de testes). L ( E θ ) é análoga a P ( E A), conhecida como função de verossimilhança. Note que a informação representada por E convencionalmente está na forma de dados empíricos (como testes). Veja Martz e Waller (1982), para maiores detalhes. ENEGEP 2005 ABEPRO 1562

3 Outras fontes de informação também podem ser utilizadas, como por exemplo, a opinião de especialistas e dados não completamente relevantes, como dados de falha de um equipamento semelhante ao do objeto de estudo, mas que opera em condições ambientais distintas. Segundo Droguett et al. (2004a), o Teorema de Bayes é uma ferramenta ideal para realizarmos atualizações sucessivas do que nós, engenheiros, sabemos sobre a confiabilidade (ou qualquer outro parâmetro de interesse) de determinado equipamento à medida que novas informações tornam-se disponíveis funcionando como mecanismo de retroalimentação do conhecimento. Basicamente, a distribuição a posteriori de hoje se torna a distribuição a priori de amanhã. O processo de atualização pode ser expresso da seguinte forma: 3. Função de Verossimilhança ( π ( E) ) priori + dados( evidência) posteriori θ Pode-se dizer que um primeiro passo em qualquer procedimento de inferência bayesiana envolve o desenvolvimento da função de Verossimilhança. Como já relatado a função de verossimilhança constitui a probabilidade de que a evidência E seja observada se algum parâmetro de interesse é verdadeiro. Para determinação de uma função de verossimilhança deve-se analisar a natureza dos dados disponíveis, os quais representam a evidência, para notar se os mesmos adequam-se a uma ou outra densidade de probabilidade paramétrica. Para o nosso caso de estudo, a evidência é representada por um conjunto de falhas no tempo oriundo de uma população homogênea de n equipamentos genéricos que aqui designaremos por W: 1) W 1 : <k 1, T 1 >; 2) W 2 : <k 2, T 2 >;... n) W n : <k n, T n >, onde k i representa o número de falhas observadas, T i o tempo total no qual se observaram k i falhas e n é o nº total de equipamentos. No contexto de aplicação aqui apresentado, os dados que vão ser utilizados na análise são homogêneos, i.e., todos os equipamentos W i têm o mesmo comportamento quanto à taxa de falha λ, veja Droguett et al. (2004b). Logo, podemos agrupar os dados fornecendo o seguinte: k T n k i i 1 n T i i 1 Equação 3 Equação 4, o que caracteriza um processo de amostragem de Poisson, no qual se têm k falhas durante um período de tempo T, fornecendo uma taxa de falha empírica: k T λ Equação 5 Uma variável aleatória X segue a distribuição de Poisson com parâmetro λ > 0 se sua função de probabilidade é dada por: ENEGEP 2005 ABEPRO 1563

4 X λ k e λ k), k 0,1,2,... Equação 6 k! Portanto, a função de verossimilhança, a qual representará os dados de falha empíricos será modelada por uma distribuição de Poisson com parâmetro λ. Por conveniência matemática, introduziu-se a transformação monotônica λ Ln(u), já que 0 < λ < e 0 < u < 1. Daí a distribuição de probabilidade de Poisson pode ser expressa em termos da variável u. Portanto, a função de verossimilhança centrada na variável u, tal que 0 < u < 1 é dada por: 4. Distribuição a priori X k u( Ln( u)) k) k 0,1,2,... Equação 7 k! Por conveniência matemática e computacional, ao invés de definir uma distribuição a priori para a taxa de falha 0 < λ <, podemos equivalentemente definir uma priori para a variável 0 < u <1. Concentrando em u, uma distribuição a priori que é matematicamente tratável, é definida ao longo do intervalo [ 0;1 ] e não impõe outras restrições em u, é a distribuição de probabilidade Beta, cuja função de distribuição de probabilidade é dada por: Γ( a + b) Γ( a) Γ( b) a 1 b 1 B ( u a, b) u (1 u) Equação 8, onde a e b, ambos não negativos, são os dois parâmetros da distribuição. O conhecimento do especialista será utilizado para estimar os parâmetros a e b da distribuição Beta. Van Dorp e Mazzuchi (2000) mostraram que os parâmetros de uma distribuição Beta podem ser resolvidos sob duas restrições representadas por percentis de probabilidade inferior e superior e desenvolveram um procedimento numérico para calcular tais parâmetros. O método em Van Dorp e Mazzuchi (2000) resolve para um único conjunto de parâmetros de uma distribuição Beta que satisfaz as duas restrições de percentis, para o qual também são provadas a existência e a unicidade da solução. Portanto, o objetivo do processo de elicitação do especialista corresponde a edução de dois percentis. Por conveniência de interpretação por parte do especialista, escolheram-se dois percentis bastante utilizados em engenharia, o 5º e 95º percentis, os quais correspondem a uma estimativa otimista e pessimista da taxa de falha, respectivamente. A estimativa otimista (α ) corresponde a uma estimativa da taxa de falha mínima que o equipamento W pode possuir. É obtida supondo-se condições totalmente favoráveis durante a operação do equipamento. A estimativa pessimista (β ) é uma estimativa da taxa de falha máxima que o equipamento W pode possuir, assumindo condições totalmente adversas. A possibilidade de eventos drásticos e catastróficos não é considerada, a menos que eles estejam claramente associados ao projeto. Portanto, temos duas restrições de percentis, que correspondem aos dois pares ordenados (α,5%) e (β,95%). Fazendo uso do procedimento numérico desenvolvido por Van Dorp e Mazzuchi (2000) é possível estimar os parâmetros a e b. ENEGEP 2005 ABEPRO 1564

5 5. Aproximação a posteriori No caso aqui analisado, a distribuição a posteriori de u segue para função de verossimilhança dada pela distribuição de probabilidade Poisson e uma priori dada pela distribuição Beta. Dado estas distribuições, a avaliação analítica da distribuição a posteriori não é possível. Neste artigo, a distribuição a posteriori para a taxa de falha λ é obtida através do emprego da metodologia Markov Chain Monte Carlo (MCMC) mais especificamente do algoritmo Metropolis Hastings (M-H). Veja Geyer (1992) e Gilks et al. (1996), para maiores detalhes sobre a metodologia MCMC. O objetivo do método M-H aqui é produzir amostras da variável u que tem como função de densidade de probabilidade a distribuição Beta-Poisson, a qual não é tratável analiticamente. Após as amostras de u serem geradas, determinam-se amostras para taxa de falha λ, que é o parâmetro de interesse, pela relação λ Ln(u). Obtendo-se uma das métricas características de confiabilidade como, por exemplo, a função de densidade de probabilidade da taxa de falha (PDF), outras são obtidas por relação direta, tal como a Função de Distribuição Acumulada (CDF). 6. Resultados e Discussão Os equipamentos que serão submetidos a tal estudo são Bombas de um sistema de resfriamento de uma Usina Nuclear. Trata-se de diferentes bombas atuando em unidades nucleares, mas que possuem o mesmo comportamento em relação à taxa de falha λ e, portanto podem ser tratadas como equipamentos oriundos de uma mesma população, i.e., de uma população homogênea. Os dados de falha empíricos e a elicitação da opinião do especialista podem ser visualizados na Tabela 1 e Tabela 2, respectivamente: Equipamento Nº de Falhas Horas Operacionais Centrifugal Charging Pump E+04 Service Water Pump E+05 Component Cooling Pump E+04 Service Water Pump E+04 Component Cooling Pump E+04 Service Water Pump E+04 RHRSW/EECW Pump E+05 Service Water Pump E+04 Total E+05 Fonte: Adaptado de Droguett et al.(2004b) Tabela 1 Dados de falha empíricos Percentil - 5% (Otimista) 2.03E-07 falhas/hr Fonte: Especialista (2004) Percentil - 95% (Pessimista) 9.83E-05 falhas/hr Tabela 2 Elicitação da opinião do especialista Os dados da Tabela 2 foram obtidos através do método de elicitação direta, dado que o especialista elicitado tinha vastos conhecimentos estatísticos. Para maiores detalhes sobre ENEGEP 2005 ABEPRO 1565

6 métodos de elicitação da opinião do especialista dentro do contexto de confiabilidade, veja Ayyub (2001). Com os dados obtidos na Tabela 2 e utilizando o procedimento desenvolvido por Van Dorp e Mazzuchi (2000), foram determinados os parâmetros a e b da distribuição Beta. Determinados tais parâmetros e fazendo uso dos dados da Tabela 1, é possível utilizar a metodologia MCMC para avaliação da distribuição a posteriori para a variável u, tal que u exp( λ) e 0 < u < 1. Concentrando os esforços em u, por motivos de conveniência matemática e computacional, é possível após executar o algoritmo M-H, utilizar a transformação inversa λ Ln(u) e assim determinar a distribuição a posteriori para taxa de falha λ. Usando o algoritmo M-H, uma seqüência de comprimento M foi gerada para o seq Estudo de Caso descrito, fornecendo a seguinte seqüência de variáveis: λ { λ,..., λ }. Destas M amostras nem todas são utilizadas para inferência da distribuição a posteriori para a taxa de falha λ. Isto é realizado com o objetivo de diminuir os efeitos do valor inicial da cadeia na análise final dos resultados. Do comprimento total M da cadeia, é retirada uma seqüência de comprimento L. Esta técnica é chamada de Burn-In. No caso analisado, foram descartadas 10% de M, i.e., L Para maiores detalhes, veja Gilks et al. (1996). A função de densidade de probabilidade a posteriori (PDF) e a função de distribuição acumulada a posteriori (CDF) para a taxa de falha λ estão apresentadas na Figura 1 e Figura 2, respectivamente: i i i Frequência de Ocorrência 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 9,48E-08 4,67E-07 8,39E-07 1,21E-06 1,58E-06 1,95E-06 2,33E-06 Taxa de falha (falhas / hr) Figura 1 PDF a posterior da taxa de falha 2,70E-06 3,07E-06 3,44E-06 3,84E-06 4,08E-06 4,51E-06 5,15E-06 5,15E-06 ENEGEP 2005 ABEPRO 1566

7 CDF 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 Taxa de falha (falhas/hr) Figura 2 CDF a posteriori para a taxa de falha Nota-se a partir da Figura 1, que o valor mais freqüente ou valor modal de λ é aproximadamente igual a 4.67E-07 falhas/h. O valor médio é de 8.75E-07 falhas/h. 7. Considerações Finais O presente artigo apresentou a metodologia de inferência Bayesiana para avaliação da taxa de falha de bombas de um sistema de resfriamento de uma usina nuclear. Esta metodologia surge como alternativa para a avaliação de métricas de confiabilidade de um equipamento, produto ou sistema de produção quando a escassez de dados torna-se um obstáculo para tal. A grande motivação para o presente trabalho se dá pelas limitações das técnicas tradicionais que se baseiam no prisma frequentista para avaliação da confiabilidade. Em sistemas de produção do mundo real, onde é bastante comum que o tempo decorrido entre a concepção do produto e o seu lançamento no mercado seja demasiadamente curto, é praticamente impossível que grandes amostras de falha sejam geradas. Portanto, a avaliação da confiabilidade exige que outras informações sejam utilizadas além dos dados empíricos. Outro campo de aplicação bastante propício à inferência Bayesiana é a produtos altamente confiáveis para os quais tempos médios até falhar (MTTFs) que excedem anos não são incomuns. Referências AYYUB, B. M. (2001) - Elicitation of Expert Opinions for Uncertainty and Risks. CRC Press. Florida. DROGUETT, E.L.; GROEN, F.; JIANG, S. & MOSLEH, A. (2004a) - A Reliability Data Collection and Analysis System for Products under Development. Brazilian Journal of Operations Production Management. Vol. 1. DROGUETT, E.L.; GROEN, F. & MOSLEH, A. (2004b) - The combined use of data and expert estimates in population variability analysis. Reliability Engineering and System Safety. Vol. 83, p FIRMINO, P.R.; MOREIRA, P.I.; Chikushi, R.M. & DROGUETT, E. L. (2004) In: XXIV ENEGEP. Santa Catarina. Diagramas espirais: método auxiliar para a resolução ótima de árvores de falhas. GEYER, C. J. (1992) - Practical Markov chain Monte Carlo. Statictic Science. Vol. 7, p GILKS, W.R.; RICHARDSON, S. & SPIEGELHALTER, D.J. (1996) - Markov chain Monte Carlo in Practice. Chapman & Hall/CRC. Florida. MARTZ, H.F. & WALLER, R.A. (1982) - Bayesian Reliability Analysis. New York. VAN DORP, J.R. & MAZZUCHI, T.A. (2000). Solving for the parameters of Beta distribution under two quantile constraints. Journal Statistical Computational Simulation. Vol. 67, p ENEGEP 2005 ABEPRO 1567