ALGORITMOS DE OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA

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1 Anais do 13 O Encontro de Iniciação Científica e Pós-Graduação do ITA XIII ENCITA / 2007 Instituto Tecnológico de Aeronáutica São José dos Campos SP Brasil Outubro 01 a ALGORITMOS DE OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA Henry Wei Cheng Hsu Instituto Tecnológico de Aeronáutica Praça Marechal Eduardo Gomes 50 -Vila das Acácias S. J. dos Campos Bolsista PIBIC-CNPq seuamigohenry@gmail.com Nei Yoshiriro Soma Instituto Tecnológico de Aeronáutica Praça Marechal Eduardo Gomes 50 -Vila das Acácias S. J. dos Campos soma@ita.br Resumo. O artigo apresentará diversas situações em que os algoritmos de otimização combinatória se mostram de especial utilidade. Além disso será apresentada a modelagem de problemas uma tarefa de extrema importancia que muitas vezes necessita de grande criativadade. Palavras chave: Algoritmo Otimização Combinatória Grafo Programação Dinâmica 1. Introdução Os algoritmos de otimização combinatória se mostram de extrema importância para a computação. Eles permitem a análise e otimização de situações em um número muito grande de áreas de aplicação. Alguns poucos exemplos são: redes sociais mapeamento genético rotas de aviação sistemas de comunicação gerenciamento de estoque bancos de dados entre muitos outros. Nessa iniciação científica propôs-se o estudo de algoritmos que abrangem a teoria dos grafos programação dinâmica e teoria dos números. Além disso foi necessária uma familiarização com linguagens de programação e com estrutura de dados. No decorrer do ano letivo da iniciação científica houve muito progresso nos estudos e implementação de algoritmos. Ocorreu o estudo teórico de algoritmos nas áreas de teoria dos grafos programação dinâmica e teoria dos números. Além disso houve muita prática na implementação de algoritmos e também uma atividade muito importante que é a modelagem e resolução de problemas de diversas áreas através de algoritmos de otimização. Uma atividade paralela altamente proveitosa é a participação na ACM Internacional Collegiate Programming Contest. Junto com os alunos de graduação do Instituto Tecnológico de Aeronáutica Hélder Suzuki e Cesário Martins foi formado uma equipe para a participação nessa competição. A preparação para o evento envolveu reuniões semanais a resolução e implementação de dezenas de questões de competições passadas disponíveis no web site [5] além do estudo de algoritmos de técnicas de resolução e da utilização da criatividade para a resolução de problemas. É de extrema importância o conhecimento dos algoritmos de otimização. No entanto em diversas apliações apenas o uso destes algoritmos não é suficiente. É necessário antes modelar a situação e adaptá-la para o uso de algoritmos conhecidos. Essa tarefa na maioria das vezes é bastante difícil. Justamente por esse motivo ela se torna a mais interessante e a mais intrigante para os estudiosos de computação. Nesse relatório serão apresentadas pequenas situações a serem solucionadas. Algoritmos de otimazação serão utilizados. Porém o enfoque da solução será nas idéias utilizadas para a modelagem da questão. Após a descrição de cada situação será feito um breve comentário. Em seguida será apresentada a solução estas contendo idéias que as tornam belas e elegantes. 2.Situação Uma indústria fabrica copos plásticos de três tamanhos (pequeno médio e grande) e os vende em diferentes tipos de pacotes. Cada tipo de pacote é identificado por três inteiros positivos (S 1 S 2 S 3 ) em que S i denota a quantidade de copos de tamanho i no pacote. No entanto nunca ocorre S 1 =S2 =S3. Deseja-se juntar uma quantidade de pacotes tal que exista o mesmo número de copos dos três tamanhos. Por exemplo se houver 4 tipos de pacotes: (1 2 3) (1 11 5) (9 4 3) e (2 3 2). É possível juntar três pacotes do tipo (1 2 3) um do tipo (9 4 3) e dois do tipo (2 3 2). Dessa forma obtém-se 16 copos de cada tipo. Dadas a quantidade de tipos de pacotes e as suas configurações deseja-se determinar se é possível obter a mesma quantidade de copos dos três tamanhos. 2.1.Comentário A princípio a questão se encaixa na área de Teoria dos Números. No entanto a resolução apresentada a seguir toma outro caminho utilizando-se apenas de argumentos geométricos tornando-a particularmente elegante.

2 2.2.Solução Para cada tripla considere o par ordenado definido da seguinte forma (S 1 S 2 S 3 ) (S 2 -S 1 S 3 -S 1 ). Obtêm-se os N pares ordenados correspondentes aos trios ordenados iniciais. O problema equivalente torna-se: juntar uma determinada quantidade de pares ordenados de cada tipo para obter o par (00) como resultado. Para o prosseguimento da resolução será feita a definição de fecho convexo. O fecho convexo de um conjunto Q de pontos é o menor polígono convexo P para o qual cada ponto em Q está no limite de P ou em seu interior. Considere cada par ordenado como um vetor no plano R 2. Deseja-se saber se é possível somar os vetores (é permitido repetir o mesmo vetor) para que a resultante total seja nula. A seguir será mostrada uma maneira de responder essa questão. Traça-se o fecho convexo dos N pontos. Se a origem estiver no interior do fecho a resposta da questão é afirmativa caso contrário a resposta é negativa. Se a origem estiver fora do fecho convexo é possível traçar uma reta de forma que todos os vetores estão em um mesmo semi-plano definido pela reta. y x Fig 1 A origem está fora do fecho convexo logo qualquer resultante dos vetores estará em um dos semi-planos definido acima portanto a resultante nunca será nula. A resultante pertence ao mesmo semi-plano dos N vetores portanto nunca é nula. Para o caso em que a origem está contida no fecho convexo deve-se prosseguir da seguinte maneira: escolher três pontos tal que o triângulo formado contém a origem. É possível obter a resultante nula apenas com estes três vetores. (ab) (00) (ef) (gh) (cd) Fig 2 A origem está contida no triângulo formado pelos pontos (ab) (cd) e (ef) As coordenadas (ab) (cd) e (ef) são inteiras. Por geometria analítica é fácil verificar que (gh) possui coordenadas racionais. Adotando pesos racionais para os pontos (cd) e (ef) e somando-os é possível obter o ponto (gh). Multiplicando (gh) por um peso racional anula-se o vetor (ab). Logo é possível escolher pesos racionais para cada um dos vetores (ab) (cd) e (ef) e obter a resultante (00). Como conclusão se a origem está contido no fecho convexo dos N pontos a resposta do problema é afirmativa. Para passar essa resolução para uma linguagem de programação são necessários dois algoritmos muito importantes. O primeiro é determinar o fecho convexo de um conjunto Q de pontos. O outro é a verificação de um ponto estar contido em um polígono convexo. A seguir será apresentado o pseudo-código dos dois algoritmos. Fecho convexo: A varredura de Graham

3 O procedimento mantém uma pilha S de pontos candidatos. A função TOP(S) retorna o ponto no topo da pilha S sem alterar S. NEXT-TO-TOP(S) retorna o ponto no topo da pilha S sem alterar S. GRAHAM-SCAN(Q) 1- Seja p 0 o ponto mais à esquerda dentre os pontos em Q com coordenada y mínima 2- Sejam(p 1 p 2...p m ) os pontos restantes em Q ordenados por ângulo polar em ordem da direita para a esquerda em torno de p 0 (se mais de um ponto tiver o mesmo ângulo remova todos eles exceto o mais afastado de p 0 ) 3- PUSH(p 0 S) 4- PUSH(p 1 S) 5- PUSH(p 2 S) 6- para i 3 até m 7- do while o ângulo formado pelos pontos NEXT-TO-TOP(S) TOP(S) e p i formar uma volta não à esquerda 8- do POP(S) 9- PUSH(p i S) 10- return (S) Para verificar se um ponto P está contido em um polígono convexo basta seguir o seguinte procedimento: traça-se uma semi-reta horizontal do ponto P ao infinito. Se a semi-reta cruzar o polígono uma única vez o ponto está contido no polígono. Caso haja dois cruzamentos o ponto está fora do polígono. Como o polígono é convexo só existem essas duas possibilidades. 3.Situação Existem 2 n diferentes sequências de n bits. Encontre uma sequência circular em que todas as sequências de n bits aparecem exatamente uma vez. Por exemplo para n=2 uma possível resposta é 0011 (pois as subsequências de 2 bits são ). 3.1.Comentário Esse problema está relacionado com o dígrafo de De Bruijn. Informações interessantes sobre o assunto podem ser encontrado no seguinte site: (acessado em 08/2007) [6]. 3.2.Solução Para a resolução do problema será considerado um grafo auxiliar. Os vértices do grafo são as 2 n-1 seqüências de n-1 bits. Uma aresta direcional é traçada quando os últimos n-2 bits do vértice de origem coincidem com os primeiros n-2 bits do vértice de chegada. Em cada aresta é marcado uma seqüência de n bits construída da seguinte forma: o primeiro bit é igual ao primeiro bit do vértice de origem os próximos n-2 bits são os n-2 bits coincidentes entre os dois vértices e o último bit é igual ao último bit do vértice de chegada. A Fig. 3 ilustra o grafo auxiliar para o caso n=3. Fig. 3 grafo auxiliar para o caso n=3 É fácil verificar que nas arestas são geradas todas as seqüências de n bits. Outro fato importante é o de que os n-1 bits finais de uma aresta incidente coincidem com os n-1 bits iniciais de uma aresta de saída. A seqüência circular desejada pode ser obtida através da determinação de um ciclo Euleriano (um ciclo que passa por todas as arestas) no grafo auxiliar. Ressalta-se que o ciclo Euleriano sempre existe pelo fato de o grafo de o grafo ser fortemente conexo e todos os vértices possuírem grau-in igual ao grau-out. A seqüência circular é determinada da seguinte forma:

4 1- Tome um vértice qualquer do grafo para começar o traçado de um ciclo Euleriano 2- Caminhe por todos os vértices seguindo um ciclo Euleriano. Para cada vértice visitado adicione o último bit desse vértice à seqüência. 3- Quando o ciclo terminar temos a seqüência desejada. Uma possível solução para o caso n=3 é A seguir será apresentado o algoritmo de determinação do ciclo Euleriano a fim de que a seqüência circular desejada possa ser obtida com o auxílio de um computador. EULER-TOUR(G) 1- Inicie com um vértice v 0 qualquer do grafo G 2- Caminhe sucessivamente pelas arestas de G deletando cada aresta de G conforme são percorridas. Não percorra em nenhum ponto particular do procedimento por uma aresta cuja deleção divide o grafo remanescente de G em duas partes não-vazias. 3- Continue o procedimento até todas as arestas de G serem deletadas ocasião na qual há o retorno ao vértice v 0. 4.Situação Ao se representar um número na base decimal são necessários os dígitos de 0 a 9. Se apenas um subconjunto dos dígitos decimais for permitido há apenas uma quantidade limitada de números que pode ser representada. Por exemplo se apenas os dígitos 1 e 2 forem permitidos os números 11 e 12 podem ser representados mas o número 10 não pode. Se os múltiplos de 13 forem listados: etc. percebe-se que 221 é o menor natural que pode ser representado utilizando somente os dígitos 1 e 2. Questão: Encontre o menor múltiplo de um certo número N que pode ser representado utilizando somente um dado subconjunto dos dígitos decimais. Esse múltiplo pode ser o próprio número mas deve ser maior que zero. Considere N O subconjunto dos dígitos permitidos também é fornecido. 4.1Comentário Uma possível solução para o problema é gerar todos os números formados pelo subconjunto de dígitos dados e verificar a sua divisibilidade por N. No entanto esse procedimento toma tempo exponencial. A seguir será apresentada uma bonita solução que se utiliza da teoria dos grafos. 4.2.Solução Considere o número decimal a 0 a 1...a k em que a i pertence ao subconjunto de dígitos permitidos. Adicione o dígito a k+1 à direita do número. Fatos interessantes: (a 0 a 1...a k a k+1 ) = 10 (a 0 a 1...a k ) + a k+1 e em particular temos (a 0 a 1...a k a k+1 ) 10 (a 0 a 1...a k ) + a k+1 (mod N) Tome um grafo cujos vértices são os números de 0 a N-1. O conjunto {b 0... b p } é o conjunto dos dígitos permitidos. Uma aresta X Y é traçada se e somente se i tal que Y 10X+b i (mod N). X (a0a1...ak) mod N ak+1 Y (a0a1...akak+1) modn Fig. 4 Ilustração de dois vértices que devem ser unidos por uma aresta No universo dos números naturais módulo N X representa o número (a 0 a 1...a k ) modn e Y o número (a 0 a 1...a k a k+1 ) mod N. Assim diz-se que Y é gerado por x através de uma aresta do tipo a k+1. Em um caminho iniciando por um dado vértice a cada aresta percorrida gera-se um número cuja representação na base decimal possui um dígito a mais. Se o caminho passar pelo vértice 0 obtém-se um número na base decimal cujo resto módulo N é igual a zero. Um pequeno exemplo para ilustração: Seja {12} o conjunto de dígitos permitidos e N=13. Um caminho possível é:

5 2 2 mod mod mod 13 Fig. 5 Ilustração de um caminho possível A partir do vértice 2 caminhando por uma aresta do tipo 2 é gerado o número 22 que é equivalente a 9 no mod 13. De 22 chega-se a 221 por uma aresta do tipo 1. Mas note que 221 é congruente a 0 mod 13. Antes de prosseguir na resolução da questão abre-se um parêntesis para um breve comentário sobre o algoritmo da busca em largura. O BFS (Breadth First Search busca em largura em inglês) determina o menor caminho de uma origem a um dado vértice em um grafo não ponderado. Essa busca se mostra muito útil nesse questão pois procura-se um número com o menor número de dígitos possível. A solução da questão pode ser descrita da seguinte maneira: 1- Montar o grafo cujos vértices são os números de 0 a N-1 2- Traçar as arestas conforme descrito anteriormente 3- Para cada i entre 1 e p executar um BFS de origem b i e alvo o vértice 0. Tomar cuidado para durante a rotina sempre visitar o vizinho cujo tipo de aresta seja o menor possível. Ao encontrar um caminho entre a origem b i e o vértice 0 armazenar o número decimal obtido. 4- A resposta é o menor dentre os números armazenados. O BFS encontra um caminho mínimo entre uma origem e o vértice 0 (caso o vértice 0 seja alcançável a partir dessa origem). Isso significa que o número decimal gerado possui o menor número de dígitos possível. A ordem de escolha dos vizinhos durante a busca permite que o caminho percorrido indique o menor número dentre aqueles com o menor número de arestas. Por fim basta escolher o menor número dentre os encontrados para cada origem. O algoritmo da Busca em Largura. BFS(Gs) 1- para cada vértice u ε V[G] {s} 2- do cor[u] 0 3- cor[s] 1 4- Q 0 5- ENQUEUE (Q s) 6- while Q 0 7- do u DEQUEUE(Q) 8- for cada v Adj[u] 9- do if cor[v] = then cor[v] ENQUEUE(Q v) 12- cor[u] 2

6 5.Situação Desja-se colocar peças de torre em um tabuleiro de xadrez n x n de forma que nenhum par de torres se ataque. Porém existem algumas casas que estão rachadas logo não é permitido que nenhuma torre fique nessa casa. Dada as coordenadas das casas rachadas determinar o maior números de torres que pode-se colocar no tabuleiro Fig 6 Tabuleiro de xadrez contendo casas rachadas 5.1.Comentário A solução mais natural para esse problema é a utilização da técnica de backtracking. Porém o tempo de execução seria exponencial o que torna inviável a resolução para dimensões do tabuleiro muito grandes. Para essa questão será utilizado um importante algoritmo na teoria dos grafo que é o Network Flow. 5.2.Solução Para a resolução dessa questão é necessária a construção de um grafo de fluxo em rede. Fig 10 Ilustração de um possível grafo de fluxo em rede para a questão O grafo é formado pelo vértices torneira ralo Hi e Vi (1 i n). Traça-se arestas da torneira a cada vértice Hi e arestas de cada Vi ao ralo. Traça-se uma aresta entre Hi e Vj se e somente se a casa (Hi Vj) do tabuleiro não estiver rachada. Todas as arestas possuem capacidade 1. O fluxo máximo entre a torneira e o ralo é exatamente a quantidade máxima de torres que podem ser colocadas no tabuleiro. As arestas entre a torneira e os vértices Hi têm capacidade 1 implicando que em cada linha horizontal do tabuleiro haja no máximo uma torre. Da mesma maneira As arestas entre o ralo e os vértices Vi indicam que há no máximo uma torre em cada coluna vertical do tabuleiro. Ao término do algoritmo de fluxo máximo se uma aresta HiVj possuir fluxo 1 então existe uma torre na casa (Hi Vj) do tabuleiro. Note que uma torre nunca cairá em uma casa rachada pois não exite aresta para essa possibilidade.

7 Agora falta apenas o algoritmo para determinação do fluxo máximo. FORD-FUKERSON(G s t) 1- for cada aresta (u v) E[G] 2- do f[u v] 0 3- F[vu] 0 4- while existir um caminho p de s até t na rede residual G f 5- do c f (p) min{c f (u v) : (uv) está em p} 6- for cada aresta (u v) em p 7- do f[u v] f[u v] + c f (p) 8- f[vu] - f[u v] 6.Situação Uma indústria fabrica robôs que catam lixo do chão após eventos esportivos. Antes dos robôs entrarem em ação uma fotografia aérea é tirada e dividida em quadrados. As localizações que contém lixo estão marcadas. Todos o robôs partem do canto noroeste e terminam seu trajeto no canto sudeste. Um robô só pode se movimentar em duas direções para o Sul e para o Leste. Ao entrar em uma célula contendo lixo o robô cata-o antes de prosseguir. Uma vez no canto sudeste o robô não pode ser reposicionado ou reutilizado. A tarefa é encontrar o menor número de robôs necessários para limpar a área inteira. Por exemplo considere a área mostrada na Fig. 11. As posições dos lixos estão marcadas com a letra G. Os robôs partem do ponto (11) e chegam ao ponto (67). Fig 11 Uma fotografia aérea da área A Fig. 12 mostra duas soluções possíveis. A segunda é melhor pois utiliza dois robôs em vez de três. Fig. 12 Duas soluções possíveis 6.1.Comentário Para essa questão parede bastante natural pensar em programação dinâmica para a resolução. A seguir será apresentada uma bela solução baseada no algoritmo da maior subseqüência crescente. 6.2.Solução A primeira parte da solução consiste em criar uma seqüência s de naturais da seguinte forma: para cada linha da primeira à última transcreva os índices das colunas em que estão as sujeiras. No exemplo mostrado nas figuras anteriores a construção se dá na seguinte forma.

8 1ª linha : 2 4 2ª linha : 4 6 3ª linha : 4ª linha : 4 7 5ª linha : 6ª linha : 6 Seqüência s : Um robô que pegou um pedaço de lixo numa coluna i não pode mais pegar nenhum pedaço de lixo em uma coluna de índice menor do que i pois ele só pode andar para o leste ou para o sul. Ao tomar uma subseqüência decrescente na seqüência s temos que para cada elemento dessa subseqüência deve haver um robô. A explicação é justamente o fato de que o robô não pode voltar para uma coluna de índice menor do que a que ele está. Dessa forma o número de elementos da maior subseqüência decrescente é igual à quantidade de robôs necessários para pegar todos os pedaços de lixo da área. Agora basta apenas o algoritmo de determinação do tamanho da maior subseqüência decrescente de uma seqüência s - a 1 a 2...a k. MAIOR-SUBSEQUÊCIA-DECRESCENTE (s) 1- Defina F(i) como o tamanho da maior subseqüência decrescente entre o início e o índice i da seqüência s. 2- F(0) 0 F(1) 1 3- for i 1 até k 4- do F(i) = max{ F(j) } + 1 para a j a i e 0 j i-1 5- F(k) é o valor desejado 7.Agradecimentos Aos meus amigos Hélder Suzuki e Cesário Martins pela grande colaboração no estudo de algoritmos e programação À equipe Sushi Yakisoba e Forró pela união e amizade dos membros e pela ótima experiência na participação da Maratona de programação Ao professor Nei Yoshihiro Soma por me orientar nesse trabalho de iniciação científica Ao professor Armando Gouveia por todo o apoio e incentivo ao estudo de programação e algoritmos A Humberto Naves pelas dicas e orientações durante o ano Aos professores Eduardo Tengan Carlos Shine Edmilson Motta e Pablo Ganassim pela ótima base matemática que me forneceram Ao CNPq pela oportunidade fornecida de pesquisa e desenvolvimento de um trabalho tão interessante 8. Referências [1] CORMEN T.H. LEISERSON C.E. RIVEST R.L. STEIN C. Algoritmos-Tradução da 2ª edição americana. Ed. Campus 2001 [2] JUNGNICKEL D. Graphs Networks and Algorithms. Springer [3] SEDGEWICK R. Algorithms. ADDISON-WESLEY 1984 [4] SKIENA S.S. REVILLA M.A. Programming Challenges Ed. Springer [5] International ACM Programming Contest. Disponível em < Acesso em 08/2007. [6] De Bruijn digraph. Wikipedia the free encyclopedia. Disponível em < Acesso em agosto de 2007.