Matemática 3.º ano. Curso Profissional de Técnico de Informática de Gestão. Módulo 7 Funções de Crescimento 27 Horas

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1 Curso Profissionl d Técnico d Informátic d Gstão Mtmátic.º no Módulo 7 Funçõs d Crscimnto 7 Hors E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó

2 ÍNDICE P A R T E I... INTRODUÇ ÃO... COMPETÊNCI AS A DESENVOLVER... OBJETI VOS... 4 CONTEÚDOS (brv dscrição):... 4 ARTI CULAÇÕES I NTERDI SCIPLINARES... 5 TAREFAS / ATI VI DADES... 5 RECURSOS... 5 AVALI AÇ ÃO... 5 BI BLIOGRAFI A... 6 NÍ VEI S DE AVALI AÇ ÃO D AS COMPETÊNCI AS PES SO AI S E SOCI AI S Erro! Mrcdor não dfinido. NÍ VEI S DE AVALI AÇ ÃO D AS COMPETÊNCI AS TÉC NICAS... Erro! Mrcdor não dfinido. P A R T E I I FUNÇ ÃO EXPONENCI AL DEFI NIÇÃO DE FUNÇÃO EXPON ENCI AL PROPRI ED ADES D AS FUN ÇÕES EXPONENCI AI S REGRAS OPERATÓRI AS C OM EXPONENCI AI S... 8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: FUNÇ ÃO EXPONENCI AL D E BAS E CRESCIMENTO EXPONENCI AL... EXERCÍCIOS PROPOSTOS: FUNÇ ÃO LOG ARÍ TMICA NOÇ ÃO DE LOG ARI TMO... 5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: FUNÇ ÃO LOG ARÍ TMICA... 7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: PROPRI ED ADES D AS FUN ÇÕES LOGARÍ TMIC AS REGRAS OPERATÓRI AS D E LOG ARI TMOS... 9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: EQU AÇÕES E I NEQUAÇÕES EXPONENCI AI S E LOG ARÍ TMIC AS... EXERCÍCIOS PROPOSTOS: APLI CAÇ ÃO D AS FUNÇÕES EXPONENCI AI S E LOG ARÍ TMIC AS N A MODELAÇ ÃO DE SI TU AÇÕES REAI S CRESCIMENTO LOGÍSTIC O FUNÇ ÃO LOGÍ STI CA. PROPRI ED ADES D A FUNÇ ÃO LOGÍ STI CA... 6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: FI CHA DE AVALI AÇ ÃO MODELO RESOLUÇÃO D A FICHA D E AVALI AÇ ÃO MODELO CONCLUSÃO... E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó

3 P AR T E I INTRODUÇÃO Est mnul stá orgnizdo m dus prts. N primir prt stão dscritos os pré-rquisitos, os objtivos s comptêncis técnics qu dvrás dquirir, os nívis d comptêncis, form como vis sr vlido, os contúdos, s rticulçõs intrdisciplinrs, s trfs/tividds, os rcursos bibliogrfi qu foi utilizd pr lborr st mnul, qu podrás consultr pr profundrs os tus conhcimntos (stá n bibliotc). A sgund prt do mnul é compost por cinco cpítulos. Nos cpítulos um cinco ncontrrás um posição tóric d contúdos rcícios rsolvidos, qu dvrás nlisr tntmnt pr podrs rsolvr os rcícios propostos no finl dos cpítulos. O cpítulo sis st são rsptivmnt um tst d vlição tipo su corrção. Est mnul foi rdigido sgundo s rgrs do Acordo Ortográfico d 99. COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER Nst módulo d Funçõs d Crscimnto, comptênci mtmátic qu todos dvm dsnvolvr, inclui os sguints sptos: ptidão pr fzr invstigr mtmátic rcorrndo à modlção com uso ds tcnois; ptidão pr lborr, nlisr dscrvr modlos pr fnómnos ris utilizndo modlos d crscimnto não linr; ptidão pr rprsntr rlçõs funcionis d vários modos pssr d uns tipos d rprsntção pr outros, usndo rgrs vrbis, tbls, gráficos prssõs lgébrics rcorrndo, nomdmnt, à tcnoi gráfic; cpcidd d comunicr orlmnt por scrito s situçõs problmátics os sus rsultdos; ptidão pr usr quçõs inquçõs como mio d rprsntr situçõs problmátics pr rsolvr quçõs, inquçõs sistms, ssim como pr rlizr procdimntos lgébricos; cpcidd d prsntr d form clr, orgnizd com spto gráfico cuiddo os trblhos scritos, individuis ou d grupo, qur sjm pqunos rltórios, monogrfis, tc.; snsibilidd pr ntndr o uso d funçõs como modlos mtmáticos d situçõs do mundo rl, m prticulr nos csos m qu trduzm situçõs d crscimnto não linr; cpcidd d usr um hurístic pr rsolução d problms. E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó

4 OBJETIVOS rconhcr dr mplos d situçõs m qu os modlos ponnciis sjm bons modlos qur pr o obsrvdo qur pr o sprdo; usr s rgrs ds ponnciis s clculdors gráfics ou um computdor pr ncontrr vlors ou gráficos qu rspondm possívis mudnçs nos prâmtros; intrprtr um função prdizr form do su gráfico; dscrvr s rgulridds difrnçs ntr pdrõs linrs, qudráticos, ponnciis, rítmicos ísticos; obtr forms quivlnts d prssõs ponnciis; dfinir o númro (sgund dfinição) ritmo nturl; rsolvr quçõs simpls usndo ponnciis ritmos (no contto d rsolução d problms); rsolvr, plo método gráfico, inquçõs simpls usndo s funçõs ponnciis, rítmics ístics (no contto d rsolução d problms); rsolvr problms simpls d plicção usndo difrnts modlos d funçõs d crscimnto. CONTEÚDOS (brv dscrição):. Funçõs d Crscimnto Motivção: studo d situçõs ris d outrs árs cintífics. Função ponncil d bs suprior um. o Estudo ds propridds nlítics gráfics d fmíli d funçõs dfinids por f :, ; o Rgrs oprtóris ds funçõs ponnciis; o Crscimnto ponncil. Função rítmic d bs o Logritmo d um númro; o Função rítmic; o Rgrs oprtóris d ritmos; o Comprção d crscimnto d funçõs. Função ístic. o Propridds d função ístic; o Comprção d crscimnto d funçõs.. Logritmo d um númro. Rsolução d quçõs inquçõs no contto d rsolução d problms.. Rsolução d problms ond sj ncssário scolhr o modlo d funçõs mis dqudo à dscrição d situção. E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó 4

5 ARTICULAÇÕES INTERDISCIPLINARES: A rticulção intrdisciplinr pns é prtinnt pr o curso d Eltrónic, Automção Comndo. Assim, com disciplin d Eltricidd Eltrónic (E.E.), no módulo n.º, Eltrónic d Potênci Aplicçõs. No módulo d Mtmátic srão ddos os concitos propridds d função rítmic d função ponncil qu srão ncssários pr rlizção d rcícios/problms, d disciplin d E.E., rlciondos com o cálculo d t d vrição d corrnt d tnsão. Os profssors ds disciplins nvolvids n intrdisciplinridd lborrão um fich d trblho. N disciplin d Mtmátic srá vlid form como os lunos mobilizm plicm os rsultdos mtmáticos m função dos ddos forncidos pr rsolvrm os rcícios/problms, n disciplin d E.E. srá vlid form com os lunos prsntm o rsultdo finl m função ds crctrístics técnics dos condnsdors ds bobins. TAREFAS / ATIVIDADES: Eplorção d progrms computcionis (Mpl ); Rsolução d problms por vários procssos (trnsformçõs gométrics, utilizção d progrms computcionis d clculdor gráfic); Eposição tóric / prátic dos contúdos; Rsolução d rcícios/problms; Trblhos individuis / ou d grupo; Acompnhmnto d lunos com dificuldds. RECURSOS: Mnul do módulo; Bibliogrfi istnt n bibliotc; Clculdor Gráfic viw scrn; Computdor, Vidoprojtor softwr (Mpl ); Fichs d trblho; Pltform d lrning Moodl. AVALIAÇÃO: Critérios d vlição: Disciplin titud; Empnho intrss; Rsponsbilidd; Dinmismo inicitiv; Socibilidd spírito d quip; E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó 5

6 Qulidd do trblho; Produção, rndimnto utonomi; Espírito crítico Comptêncis técnics dquirids com st módulo. Instrumntos d vlição: Obsrvção dirt do comportmnto n sl d ul; Obsrvção dirt do trblho no lugr, no qudro d prticipção orl; Minifichs d vlição d conhcimntos; Trblho d intrdisciplinridd. BIBLIOGRAFIA Nvs, M.A., Prir, A., Mtmátic A9 - Ensino Profissionl Nívl. Porto Editor. Frrir, S.F., Frrir, A.M., Crvlho, P.C.D., Crvlho, J.C., Mtmátic, Módulo A9 Funçõs d Crscimnto. Arl Editors. Brito, C., St. Aubyn, M.C., MAT, Volum, º Ano. Lisbo Editor. Nvs, M.A.F., Mtmátic B, Mtmátic º Ano. Porto Editor. Cost, B., Rodrigus, E.,Espço B. Mtmátic A,.º no. Ediçõs ASA. Cost, B., Rsnd, L.C., Rodrigus, E., Espço. Mtmátic A,.º no. Ediçõs ASA. Nvs, M.A.F., Fri, M.L.M., Ercícios, Mtmátic.º no.ª Prt. Porto Editor. Progrm d disciplin d Mtmátic. Dirção-Grl d Formção Voccionl 4/5. Como sbs pr obtrs sucsso nst módulo, tns d consguir tingir s comptêncis técnics proposts pr isso dvs procdr do sguint modo: fzr um litur tnt d todos os contúdos, d modo comprndr todos os concitos introduzidos. Sublinh ou ssinl o qu t prc importnt mmorizr ou consultr fcilmnt; fzr um nális dos rcícios rsolvidos o longo do mnul, pr vrigur s comprndst mtéri studd; rsolvr os rcícios propostos o longo do mnul, pr profundr os conhcimntos dquiridos. S não consguirs prcbr mtéri à primir não dsnims, tnt d novo pd o profssor pr t sclrcr s dúvids E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó 6

7 . FUNÇÃO EXPONENCIAL P AR T E I I.. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL As funçõs m qu prssão nlític é um potênci m qu bs é um vriávl o pont é um constnt dsignm-s por funçõs lgébrics. Emplo: y 5 Nst cpítulo vmos studr funçõs ponnciis. Ests funçõs crctrizm-s pl prssão nlític m qu bs é constnt o pont é vriávl. Emplos: y 5 ; y ; y Chm-s função ponncil d bs, com IR \ um função crctrizd d sguint form f : IR IR com IR. Como obsrvmos, prssão nlític d função é um potênci m qu bs é fi o pont vriávl. Not: S função é constnt. E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó 7

8 .. PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS Função Eponncil f :, Propridds d função ponncil: D IR D f IR f é injtiv m todo o su domínio f, IR f é stritmnt crscnt m todo o su domínio lim lim y é um ssintot horizontl do gráfico d função f f é um função contínu m todo o su domínio. CURIOSIDADE: Considr gor f :, com Obsrv qu s, nm tods s propridds s vrificm. Nst cso A função é stritmnt dcrscnt lim lim.. REGRAS OPERATÓRIAS COM EXPONENCIAIS As rgrs oprtóris ds funçõs ponnciis são s msms rgrs oprtóris ds potêncis d pont rl. Considrmos s funçõs ponnciis d fmíli :,. f com IR \ IR Sjm b IR y IR, ntão tmos s sguints rgrs oprtóris: E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó 8

9 y y b b y y y y b b b m n n m, n IN m Z Ercícios Propostos: Escrv, n form d potênci n bs indicd, cd um dos sguints númros: ) 9 bs b) bs c), bs FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE Como sbmos, dnomin-s númro d Npr. Est númro é o númro pr o qul tndm os trmos d sucssão n à mdid qu n umnt. n Simbolicmnt, tmos n ou lim. n n n n Como, pois, , s propridds dst função são s qu studmos ntriormnt. Assim tmos, f :,, IR Propridds d função ponncil: D IR D f IR f é injtiv m todo o su domínio f, IR f é stritmnt crscnt m todo o su domínio lim lim y é um ssintot horizontl do gráfico d função f f é um função contínu m todo o su domínio. E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó 9

10 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO: As funçõs ponnciis d bs são fundmntis n Economi n Químic, nomdmnt no cálculo finnciro n dsintgrção rdiotiv. Considrmos os sguints mplos:. RADIOATIVIDADE A mss d um substânci rdiotiv é clculd trvés d fmíli d funçõs r t A A, m qu A rprsnt quntidd d substânci rdiotiv istnt dpois d t nos, m qu A rprsnt quntidd inicil r é um vlor qu dpnd ds crctrístics d cd substânci ssocido à t nul d dsintgrção. Font: Nvs, M.A., Prir, A., Mtmátic A9 - Ensino Profissionl Nívl. Porto Editor EXERCÍCIO: A mss d substânci rdiotiv m crt mostr clcul-s por A t,9t 5 com t m nos A t m miligrms. Quntos miligrms hvi no início d contgm do tmpo? E nos dpois? Aprsnt o rsultdo com um cs dciml. Ercício dptdo do livro Mtmátic A9 - Ensino Profissionl Nívl Mri August Nvs, d Albino Prir, d António Lit, d Luís Gurriro d M. Crlos Silv d Porto Editor RESOLUÇÃO: Cálculo dos miligrms d substânci rdiotiv qu istim no início d contgm do tmpo A 5,9 5 5 Cálculo dos miligrms d substânci rdiotiv qu istim dcorridos nos do início d contgm do tmpo A Rspost: 5,9, c. d. No início d contgm do tmpo hvi 5 mg nos dpois istim, proimdmnt,, mg. E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó

11 . CAPITAL ACUMULADO O cpitl cumuldo M obtido plo invstimnto d um cpitl C, durnt t nos, um t nul nominl r, com cpitlizçõs n vzs por no, é dd pl fórmul À mdid qu n umnt, M umnt, ms tm um limit. M C r n nt S cpitlizção foss clculd continumnt, fórmul rt M C prmitiri o cálculo do cpitl cumuldo. Font: Nvs, M.A.F., Mtmátic B, Mtmátic º Ano. Porto Editor EXERCÍCIO : O Crlos colocou uros num bnco à t nul nominl d 4 %. Clcul o cpitl cumuldo num no s s cpitlizçõs form: nuis, trimstris, mnsis, hor hor contínus. RESOLUÇÃO: Ercício dptdo do livro Mtmátic B, Mtmátic º Ano dos Cursos Tcnológicos d utori d Mri August Frrir Nvs, d Albino Prir, d Luís Gurriro d M. Crlos Silv d Porto Editor E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó

12 EXERCÍCIO : A Sr, Mri Crolin, três migs, dcidirm plicr o dinhiro qu gnhrm trblhr ns féris : cd um. Dirigirm-s um gênci bncári optrm por difrnts modlidds d plicção. A Sr dcidiu fzr o dpósito à t nul d 4%, com príodos d cpitlizção nul. A Mri optou pl msm t nul, ms com cpitlizçõs contínus. Finlmnt Crolin scolhu modlidd m qu rcbri d juros por cd no. ) Qul ds três migs trá o mior cpitl cumuldo o fim d nos? b) E o fim d nos? Ercício dptdo do livro Mtmátic, Módulo A9 Funçõs d Crscimnto d Frrir, S.F., Frrir, A.M., Crvlho, P.C.D., Crvlho, J.C., d Arl Editors RESOLUÇÃO: ) Cálculo do cpitl cumuldo o fim d nos pl Sr:,4 74,59 O cpitl cumuldo pl sr o fim d nos é d 74,59 Cálculo do cpitl cumuldo o fim d nos pl Mri: lim,4 n n,4 8,49 O cpitl cumuldo pl Mri o fim d nos é d proimdmnt 8,49 Cálculo do cpitl cumuldo o fim d nos pl Crolin: 9 O cpitl cumuldo pl Crolin o fim d nos é d 9 Concluímos ssim qu Crolin scolhu modlidd mis vntjos pr um príodo d nos. b) Cálculo do cpitl cumuldo o fim d nos pl Sr:,4 444,7 O cpitl cumuldo pl sr o fim d nos é proimdmnt d 444,7 Cálculo do cpitl cumuldo o fim d nos pl Mri: lim,4 n n,4 4475,474 O cpitl cumuldo pl Mri o fim d nos é d proimdmnt 4475,47 Cálculo do cpitl cumuldo o fim d nos pl Crolin: E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó

13 4 F u n ç õ s d C r s c i m n t o O cpitl cumuldo pl Crolin o fim d nos é d 4 Concluímos ssim qu Mri scolhu modlidd mis vntjos pr um príodo d nos..5. CRESCIMENTO EXPONENCIAL Um função do tipo f b dfin um modlo d crscimnto ponncil Vrific qu: no cso d b, populção crsc. no cso d b, populção dcrsc. EXEMPLO DE APLICAÇÃO: Um bióo studou o crscimnto d um colóni d bctéris rgistou os ddos obsrvdos no sguint qudro: t (dis) N (n.º d bctéris) Sbndo qu s trt d um situção d crscimnto ponncil qu pod sr modld por um k t função do tipo f b com b, ncontr prssão nlític qu dscrv função rprsntd no qudro. Adptdo do livro d Nvs, M.A.F., Fri, M.L.M., Ercícios, Mtmátic.º no.ª Prt. Porto Editor RESOLUÇÃO: Vmos rsolvr st rcício por dois procssos difrnts. PROCESSO ANALÍTICO Sj N t b k t Prcismos d dtrminr s constnts, b k. Sbmos qu N 8, N 6 qu N k Assim N 8 b 8 b 8 b 8. Logo b 8, o qu signific qu k t N t 8. E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó

14 Cálculo d d k. N 6 8 k 6 8 k 6 8 k 8 k N 8 k 8 k 8 4 k 4 Concluímos qu k. Logo o modlo pdido é N t t 8. PROCESSO GRÁFICO O procsso gráfico qu vmos utilizr é o d rgrssão ponncil Us clculdor TI 84 Plus sgu s sguints instruçõs: Clic m dpois slcion instrução :Edit clicndo n tcl ou n tcl. D sguid prnch s dus lists L L (ou outrs) com os ddos qu stão no qudro. Dpois d prnchids s lists, clic m slcion o mnu CALC nst opção EpRg Fz pr fzrs slção. Dpois no crã principl scrv L, L (ou o nom ds lists qu usst) Fz novmnt obtrá o modlo qu procurs Logo o modlo pdido é N t t 8. Ercícios Propostos: Rsolv o rcício d págin 9 do livro Mtmátic A9 - Ensino Profissionl Nívl, Nvs, M.A., Prir, A., Porto Editor. E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó 4

15 . FUNÇÃO LOGARÍTMICA.. NOÇÃO DE LOGARITMO Considr os sguints problms compr-os.º Problm.º Problm 5 Qul é o númro tl qu 4? Qul é o númro tl qu 4? O.º problm é d fácil rsolução. Flt-nos bs d potênci. Obtmos o rsultdo prtndido 5 trvés d rdicição (um ds oprçõs invrss d potncição), o 4. No.º problm consguimos clculr mntlmnt o vlor d m flt. Dtrminmos o vlor 5. Nst mplo o cálculo foi fácil, ms nm smpr isso contc. O vlor d qu dtrminámos foi obtido por um oprção nov, tmbém invrs d potncição, dsignd por trção d ritmo ou ritmção. O vlor d chm-s ritmo d 4 n bs 4 4 5, isto signific qu, 4 5. Chm-s ritmo d um númro positivo n bs, com IR \, um númro y qu tm d s lvr bs pr obtr. Ou sj, y y m qu IR \ IR (O ritmo d n bs é o pont qu s dv lvr pr obtr ). Not: Só irmos studr ritmos d bs suprior um, pois são pns sts qu fzm prt do progrm d Mtmátic. Consquêncis d dfinição: ; ; ; ; Só é possívl clculr o ritmos d númros positivos. E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó 5

16 EXEMPLOS: 5 5 porqu ; 4 64 porqu 4 64 ; porqu ; porqu ; 4 4 porqu. 8 8 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO: Clcul: ) 8 ; b) 4 7 RESOLUÇÃO: 7 ) Logo b) 4 4 Ercícios Propostos: Rsolv os rcícios ds págins 5 7 do livro Mtmátic A9 - Ensino Profissionl Nívl, Nvs, M.A., Prir, A., Porto Editor. MUITO IMPORTANTE No cálculo com ritmos há dois qu prcm com muit frquênci, são os ritmos d bs os ritmos d bs. O ritmo d bs, dsign-s ritmo dciml. Pr simplificção d scrit bs pod sr suprimid ssim, scrv-s m vz d. N máquin d clculr us-s tcl LOG. O ritmo d bs, dsign-s ritmo nprino ou ritmo nturl. Pr simplificção d scrit bs pod sr suprimid scrv-s ln m vz d. N máquin d clculr us-s tcl LN. E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó 6

17 .. FUNÇÃO LOGARÍTMICA Considrmos função ponncil f Sndo f um função ponncil é injtiv o dmit invrs. A função invrs d função f rprsnt-s por f os gráficos d f f são simétricos rltivmnt à rt d qução y. No cso d função ponncil f, função invrs dsign-s por função rítmic, f ln. Chm-s função rítmic d bs com IR \ à função f : IR IR Not: Só irmos studr funçõs rítmics d bs suprior um, pois são pns sts qu fzm prt do progrm d Mtmátic. Ercícios Propostos: Rsolv os rcícios ds págins 9 do livro Mtmátic A9 - Ensino Profissionl Nívl, Nvs, M.A., Prir, A., Porto Editor. E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó 7

18 .. PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Considr função rítmic f : IR IR com Propridds d função rítmic: Domínio: IR Contrdomínio: IR f f é stritmnt crscnt m todo o su domínio f é injtiv m todo o su domínio lim lim A rt d qução é ssintot vrticl do gráfico d função f f é um função contínu m todo o su domínio CURIOSIDADE: Considr gor f :, com Obsrv qu s, nm tods s propridds s vrificm. Nst cso A função é stritmnt dcrscnt lim lim E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó 8

19 .4. REGRAS OPERATÓRIAS DE LOGARITMOS As rgrs oprtóris d ritmos stão rlcionds com s rgrs oprtóris ds potêncis.. Logritmo d um produto O ritmo d um produto é igul à som dos ritmos dos ftors y y com, y IR IR \. Logritmo d um quocint O ritmo d um quocint é igul à difrnç ntr os ritmos do dividndo do divisor y com, y IR IR \ y. Logritmo d um potênci O ritmo d um potênci é igul o produto do pont plo ritmo d bs: p p, com p IR,, y IR IR \ 4. Mudnç d bs b, com b IR \ b IR Not: st rgr prmits clculr, rcorrndo à clculdor, o ritmo d um númro m qu bs é difrnt d ou. ln ou ln Por mplo:,58, 58 Ercícios Propostos: Rsolv o rcício d págin do livro Mtmátic A9 - Ensino Profissionl Nívl, Nvs, M.A., Prir, A., Porto Editor. E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó 9

20 . EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS F u n ç õ s d C r s c i m n t o EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Tndo m cont qu um função ponncil é do tipo :,. f com IR \ IR Pr rsolvr quçõs inquçõs ponnciis tmos d tr m cont o sguint: O domínio ds funçõs ponnciis é o conjunto dos númros ris; As funçõs ponnciis são injtivs por isso tm-s: ;, IR IR S s funçõs ponnciis são crscnts tmos ntão qu: IR ;, \ ; E nmnt, tmos qu: IR ;, isso tm-s: CURIOSIDADE S s funçõs ponnciis são dcrscnts tmos ntão qu:, IR ; E nmnt, tmos qu, IR ; EXEMPLOS DE APLICAÇÃO: Rsolv m IR, s sguints condiçõs: ) 4 ; b) RESOLUÇÃO: ) Logo, 4 S b) 5 6. Logo, S ; E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó

21 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES LOGARITMICAS Tndo m cont qu um função rítmic é do tipo f : IR IR com Pr rsolvr quçõs inquçõs rítmics tmos d tr m cont o sguint: Tmos d dtrminr smpr o domínio ds funçõs rítmics; As funçõs ponnciis são injtivs por isso tm-s: ;, IR IR ; S s funçõs rítmics são crscnts tmos ntão qu: \ ;, IR E nmnt, tmos qu: ;, IR CURIOSIDADE S s funçõs rítmics são dcrscnts tmos ntão qu: ;, IR E nmnt, tmos qu ;, IR EXEMPLOS DE APLICAÇÃO: Rsolv m IR : ) b) RESOLUÇÃO: ) Em primiro lugr trmos d dtrminr o domínio. D Então D, IR: Em D, vmos ntão rsolvr qução dd: Como D, tmos qu S, E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó

22 b) Em primiro lugr trmos d dtrminr o domínio. D Então D, IR: Em D, vmos ntão rsolvr qução dd: Como D,, só ist um solução. S Cálculos Auilirs: Ercícios Propostos: Rsolv os rcícios 4 d págin 7 do livro Mtmátic, Módulo A9 Funçõs d Crscimnto, Frrir, S.F., Frrir, A.M., Crvlho, P.C.D., Crvlho, J.C. Arl Editors. 4. APLICAÇÃO DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS NA MODELAÇÃO DE SITUAÇÕES REAIS Not: Os rcícios dst cpítulo form dptdos d ms ncionis. Nos sguints rcícios smpr qu procdrs rrdondmntos, consrv no mínimo três css dcimis.. Num crt pstlri, tmprtur mbint é constnt. Admit qu tmprtur, m gru cntígrdos, d um cfé srvido nss pstlri, t minutos pós tr sido srvido n chávn, é dd por f t 5,4t t ) Dtrmin tmprtur do cfé no instnt m qu é colocdo n chávn. b) Qunto tmpo dcorr ntr o instnt m qu o cfé é colocdo n chávn o instnt m qu su tmprtur ting 65 grus cntígrdos? Aprsnt o rsultdo m minutos sgundos. c) Com o dcorrr do tmpo, tmprtur do cfé tnd igulr tmprtur mbint. Indic, justificndo, tmprtur mbint. E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó

23 . A prssão tmosféric d cd locl d Trr dpnd d ltitud qu s ncontr. Admit qu prssão tmosféric P (mdid m quilopscl) é dd, m função d ltitud h (m quilómtros), por P h, h ) A montnh mis lt d Portugl é o Pico Açors. A ltitud do cum do Pico é 5 mtros. Qul é o vlor d prssão tmosféric, nss locl? Aprsnt o rsultdo m quilopscl, rrdonddo às unidds. b) Dtrmin tl qu, pr qulqur h, P h P h. Aprsnt o rsultdo rrdonddo às décims. Intrprt o vlor obtido, no contto do problm.. A mgnitud prnt m mgnitud bsolut M d um strl são grndzs utilizds m Astronomi pr clculr distânci d qu ss strl s ncontr d Trr. As três vriávis stão rlcionds pl fórmul,4 m M d ( d é mdid m prsc, unidd utilizd m Astronomi pr grnds distâncis.) ) A Estrl Polr tm mgnitud prnt m, sndo su mgnitud bsolut M 4, 6. Qul é distânci d Trr à Estrl Polr? (Aprsnt o rsultdo m prsc, rrdonddo às unidds.) b) Prov qu, pr quisqur m, M d, s tm: M d m O nívl N d um som, mdido m dcibéis, é função d su intnsidd I, mdid m wtt por mtro qudrdo, d cordo com iguldd ) Vrific qu I N N I, pr I. b) Admit qu o nívl d ruído d um vião jto, ouvido por um psso qu s ncontr n vrnd d um roporto, é d 4 dcibéis. Dtrmin intnsidd dss som, m wtt por mtro qudrdo. 5. A mgnitud M d um sismo nrgi totl E librtd por ss sismo stão rlcionds pl qução E 5,4, 44M ( nrgi E é mdid m Joul). ) Um físico português stimou qu o trrmoto d Lisbo d 755 tv mgnitud 8,6. Mostr qu 7 nrgi totl librtd nss sismo foi proimdmnt 4, Joul. b) A pont Vsco d Gm foi concbid pr rsistir um sismo cuj nrgi totl librtd sj cinco vzs do trrmoto d Lisbo d 755. Qul srá mgnitud d um sismo? Aprsnt o rsultdo n form d dízim, rrdondmnto às décims. E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó

24 6. Num lbortório, foi colocdo um purificdor d r. Num dtrmindo di, o purificdor foi ligdo às zro hors dsligdo lgum tmpo dpois. Ao longo dss di, o nívl d poluição do r diminuiu, nqunto o purificdor stv ligdo. Um vz o purificdor dsligdo, o nívl d poluição do r comçou d imdito umntr. Admit qu o nívl d poluição do r no lbortório, mdido m pod sr ddo por ln t P t, t, 4 t ) Qul é o nívl d poluição à um hor trint minutos d trd? Aprsnt o rsultdo n unidd considrd, rrdonddo às décims. b) Qunto tmpo stv o purificdor d r ligdo? mg / l d r, às t hors dss di, Aprsnt o rsultdo m hors minutos (minutos rrdonddos às unidds). 7. A figur rprsnt um rsrvtório com três mtros d ltur. Considr qu, inicilmnt, o rsrvtório stá chio d águ qu, num crto instnt, s br um válvul o rsrvtório comç sr svzido. O rsrvtório fic vzio o fim d ctorz hors. Admit qu ltur, m mtros, d águ no rsrvtório, t hors pós st tr comçdo sr svzido, é dd por h t bt, t, 4, ond b são constnts ris positivs. Mostr qu 8 qu b. 8. Um fio ncontr-s suspnso ntr dois posts. A distânci ntr mbos é d mtros E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó 4

25 Considr função f dfinid por Admit qu primiro post.,, f 5. F u n ç õ s d C r s c i m n t o f é distânci o solo, m mtros, do ponto do fio situdo mtros à dirit do ) Dtrmin difrnç d ltur dos dois posts. Aprsnt o rsultdo n form d dízim, com proimção às décims. b) Dtrmin, com proimção à décim d mtro, distânci o primiro post dos pontos do fio qu s ncontrm 5 mtros do solo. 9. Sj f função dfinid m IR por f 8 ) Mostr qu f, pr qulqur IR. b) Dtrmin bciss do ponto d intrsção do gráfico f d com rt d qução y 8.. N figur stá prt d rprsntção gráfic d função f, d domínio IR, dfinid por f 8 P é um ponto do gráfico d f, qu tm ordnd. Qul é bciss do ponto P?. N figur stá prt d rprsntção gráfic d função f, d domínio IR, dfinid por f ln ( ln dsign ritmo d bs ). Os pontos A C, qu prtncm o gráfico d função f, são vértics d um rtângulo ABCD, d ldos prllos os ios do rfrncil. As bcisss d A d C são 6, rsptivmnt. Clcul ár do rtângulo ABCD. E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó 5

26 5. CRESCIMENTO LOGÍSTICO 5.. FUNÇÃO LOGÍSTICA. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO LOGÍSTICA Enumrs situçõs d vid rl prsntm um comportmnto crscnt, qu comç por sr rápido ms qu, prtir d crto momnto, s vi tornndo mis lnto, stbilizndo num crto vlor. A volução d populçõs, propgção d donçs o crscimnto d um niml são lguns mplos ds situçõs rfrids ntriormnt. O modlo ístico é do tipo f b c, m qu, b, c são constnts positivs. O modlo ístico prsnt no início um crscimnto qu s proim do crscimnto ponncil, no ntnto prtir d um crto momnto comç stbilizr. Concluímos ssim qu o crscimnto ístico é limitdo. As rprsntçõs gráfics dsts modlos são do tipo: b D obsrvção do gráfico podmos indicr s sguints propridds: A função f só tom vlors positivos, o f, qulqur qu sj o vlor d. f. O qu signific qu o gráfico d f intrst o io ds ordnds no ponto b ; b. Como f é um função qu só tom vlors positivos, vmos qu, à mdid qu umnt, tnd pr o vlor. Logo lim f lim O gráfico d função f dmit dus ssintots horizontis qu são s rts f y y. f E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó 6

27 EXEMPLO: MODELO DE CRESCIMENTO LOGÍSTICO Um modlo d crscimnto d um populção d pis é ddo pl sguint função: 5 C t, t Em qu C rprsnt o númro d pis, m milhrs, istnts o fim d t nos. Estud volução dst populção contmplndo: ) O númro inicil d pis; b) A rprsntção gráfic; c) O tmpo ncssário pr qu o númro d pis tinj os 4 milhrs; d) A idntificção d ssintot horizontl rsptiv intrprtção no contto do problm. A font dst rcício d su rsolução é Nvs, M.A.F., Mtmátic B, Mtmátic.º Ano. Porto Editor. RESOLUÇÃO 5 ) C, 74 b) y C t O númro inicil r d proimdmnt 74 pis. c) Grficmnt y y C 4 t Anliticmnt C t 4 5 5,t,t 9,t 9 9 4, t ln t,t ln 559,,75 O númro d pis ting os 4 milhrs o fim d proimdmnt, 8 nos. d)a ssintot horizontl é rt d qução y 5. Signific qu populção d pis, com o dcorrr do tmpo, tnd stbilizr m crc d 5 indivíduos. E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó 7

28 Ercícios Propostos: F u n ç õ s d C r s c i m n t o Rsolv os rcícios ds págins do livro Mtmátic A9 - Ensino Profissionl Nívl, Nvs, M.A., Prir, A., Porto Editor. 6. FICHA DE AVALIAÇÃO MODELO GRUPO I Pr cd um ds qustõs qu s sgum, slcion rspost corrt, d ntr s ltrntivs qu t são prsntds, scrv n tu folh d rspost ltr qu lh corrspond. Aprsnt cálculos ou justificçõs ncssáris.. Sjm b, c três númros ris tis qu ( b c. Qul é o vlor d ( b)? (A) + c (B) + c (C) c (D) bc ). A função f dfinid por f ln ln( ) tm domínio igul : (A) \, IR (B), (C), (D),. Considrmos função f o su domínio é: (A) IR (B) IR (C) IR \ (D) IR \ 4. S ln ln b (, b ), ntão (A) b (B) b (C) b (D) b GRUPO II Ns qustõs qu s sgum prsnt o tu rciocínio d form clr, indicndo todos os cálculos qu fturs tods s justificçõs qu ntndrs ncssáris.. Rsolv m IR : 5 ) b) ln 4 ln. Considr ltur A (m mtros) d um crinç do so msculino pod sr prss, proimdmnt, m função do su pso p (m quirms), por A p,5,55ln p ( ln dsign ritmo d bs ) E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó 8

29 ) O Ricrdo tm,4 m d ltur. Admitindo qu ltur o pso do Ricrdo stão d cordo com iguldd rfrid, qul srá o su pso? Aprsnt o rsultdo m quirms, rrdonddo às unidds. b) Vrific qu, pr qulqur vlor d p, difrnç A p A p é constnt. Dtrmin um vlor proimdo dss constnt (com dus cs dcimis) intrprt ss vlor, no contto d situção dscrit. Ercício dptdo d um m ncionl 7. RESOLUÇÃO DA FICHA DE AVALIAÇÃO MODELO Grupo I. ( b) b c, pois ( b c Rspost: A.. s ln ln( ) D IR: =, ) Rspost : B.. O domínio d função f é IR. Rspost : A. 4. ln ln b (, b ) ln ln b ln ln b ln ln b b Rspost : C. Grupo II 5. ) Conjunto solução é. b) ln 4 ln D, Domínio: IR: 4 ln 4 ln ln 4 ln 4 5 Tmos qu rsolvr um inqução do º gru. 5 Logo o conjunto solução é o intrvlo,. E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó 9

30 ),4,5,55ln p,4,5,55ln p,9,55ln p,9,55 ln p p,9,55 p,86 Rspost: O Ricrdo ps, proimdmnt, Kg. b) A p A p,5,5,55ln p,55ln p,5,55ln,5,55ln p,55 ln p p ln p p,55ln p,55ln,8 Conclusão: A p A p, 8 8. CONCLUSÃO Com o studo dst módulo dsnvolvst cpcidd d modlr rsolvr situçõs nvolvndo modlos contínuos não linrs: ponncil, rítmic ístic. Como studst os modlos d crscimnto não linr podm rsultr d bordgm d situçõs rlists. D ntr os modlos não linrs studdos, são importnts intrssnts s ponnciis d form. Os modlos ponnciis form utilizdos pr rsolvr problms d volução d populçõs, poluição, tmprturs, drogs no sngu, mtriis rdiotivos, tc., lguns dls já tinhm sido mnciondos qundo d bordgm ds progrssõs gométrics. Como studst nst módulo, s funçõs d crscimnto rvstm-s d mior importânci no qu s rfr à form d orgnizr possívis rsoluçõs pr situçõs problmátics qu são prsntds, com bs m sptos d rlidd (socil) m sptos do studo ds divrss ciêncis (Mtmátic incluíd). O studo ds funçõs pod dv srvir pr vidncir conõs ntr mtmátic s outrs disciplins. E s c o l T c n o l ó g i c P r o f i s s i o n l d S i c ó