Colégio Notre Dame de Campinas Congregação de Santa Cruz PLANTÕES DE JULHO MATEMÁTICA

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1 Página 1 PLANTÕES DE JULHO MATEMÁTICA Nome: Nº: Série: 3º ANO Turma: Prof. CAROL MARTINS Data: JULHO 2016 Nota: Análise Combinatória e Probabilidade 1) Uma pequena comunidade é composta por 10 mulheres, cada uma com 3 filhos. Se uma mulher e um de seus filhos devem ser escolhidos como mãe e filho do ano, quantas escolhas diferentes são possíveis? 2) Um comitê de três pessoas deve ser formado a partir de um grupo de 20 pessoas. Quantos comitês diferentes são possíveis? 3) Um dado é lançado 3 vezes. Qual a probabilidade de que o número 6 apareça somente em dois dos lançamentos? 4) Quantas diferentes placas de automóveis com 7 caracteres são possíveis se (considere o alfabeto com 26 letras): a) os três primeiros campos forem ocupados por letras e os 4 campos finais por números? b) Não pode haver repetição de números e letras? c) Deve haver mais vogais do que consoantes na placa, podendo haver repetição de números e de letras? d) Deve haver mais vogais do que consoantes na placa, além do número formado com os 4 números for par? 5) No lançamento de dois dados honestos, qual a probabilidade da soma dos valores ser: a) igual a 6? b) Menor que 6? c) Maior que 6? 6) (IBMEC SP 2000) Uma moeda é viciada de tal forma que a probabilidade de sair cara num lançamento é o quádruplo de sair coroa. a) Lançando-se uma vez a moeda, qual a probabilidade de sair coroa? b) Lançando-se quatro vezes a moeda, qual a probabilidade de sair exatamente uma coroa? 7) (PUC-RJ-2003) Da sua turma de 30 alunos, é escolhida uma comissão de 3 representantes. Qual a probabilidade de você fazer parte da comissão? a) 1/10 b) 1/12 c) 5/24 d) 1/3 e) 2/9

2 Página 2 8) Uma turma é formada por 6 homens e 4 mulheres. Aplica-se uma prova e os estudantes são classificados de acordo com seu desempenho. Suponha que nenhuma dos estudantes tenha tirado a mesma nota. a) Quantas classificações são possíveis? b) Se os homens forem classificados apenas entre si e as mulheres apenas entre si, quantas diferentes classificações são possíveis? 9) Carlos possui dez livros e pretende colocá-los em sua prateleira. Destes, 4 livros são de matemática, três são de química, dois são de história. Ele deseja arranjá-los de forma que todos os livros que tratam do mesmo assunto permaneçam juntos na prateleira. Quantos diferentes arranjos são possíveis, considerando que: a) Todos os livros da mesma disciplina são diferentes entre si. b) Não há distinção entre os livros da mesma disciplina. 10) De um grupo de cinco mulheres e sete homens, quantos comitês são diferentes formados por duas mulheres e três homens podem ser formados? E Se dois dos homens estiverem brigados e se recusarem a trabalhar juntos? 11) Um comitê de 5 pessoas deve ser selecionado de um grupo de 6 homens e 9 mulheres. Se a seleção for feita aleatoriamente, qual a probabilidade de que o comitê seja formado por 3 homens e 2 mulheres? 12) Qual a probabilidade de se obter um triângulo retângulo, quase se unem de modo aleatório três vértices de um hexágono regular? 13) Escolhendo-se ao acaso duas arestas de um cubo, qual a probabilidade de serem paralelas? 14) (FUVEST 1993) Escolhe-se ao acaso três vértices distintos de um cubo. Qual a probabilidade de que estes vértices pertençam a uma mesma face? a) 3/14 b) 2/7 c) 5/14 d) 3/7 e) 13/18 15) De quantas maneiras 8 pessoas podem se sentar em fila se: a) não houver restrição com relação à ordem dos assentos? b) As pessoas A e B tiverem que se sentar uma ao lado da outra? c) Houver 4 homens e 4 mulheres e não for permitido que dois homens ou duas mulheres se sentem em posições adjacentes? d) Houver somente 5 homens e for necessário que eles se sentem lado a lado? 16) (UNESP-2001) Ao se lançar um dado não viciado 3 vezes consecutivas, pede-se: a) a probabilidade de se obter a soma dos números menor que 6; b) a probabilidade de se obter os números em ordem crescente.

3 Página 3 17) Três amigos deixam seus guarda-chuvas na chapelaria de um teatro. Após o espetáculo, o funcionário responsável pela chapelaria devolve os três guarda-chuvas, aleatoriamente. Calcule a probabilidade de que: a) apenas um deles receba um guarda-chuva errado; b) pelo menos um guarda-chuva seja devolvido ao seu dono. 18) (MACKENZIE 2004) Em um determinado jogo, são sorteados 3 números entre os 30 que estão no volante de apostas. O apostados, que assinala 6 números no volante, ganha, se todos os 3 números sorteados estiverem entre os 6 assinalados. A probabilidade de o apostador ganhar é: a) 1/203 b) 1/507 c) 1/456 d) 1/280 e) 1/98 19) (FUVEST 81) Seis pessoas, A, B, C, D, E, e F vão atravessar um rio em 3 barcos. Distribuindo-se ao acaso as pessoas de modo que fiquem duas em cada barco, a probabilidade de A atravessar junto com B, C junto com D e E junto com F, é: a) 1/5 b) 1/10 c) 1/15 d) 1/20 e) 1/25 20) (PUC PR 2004) Um hospital dispõe de 10 enfermeiros (Augusto é um deles) e 6 médicas (Vera é uma delas). Deve-se permanecer de plantão, diariamente, uma equipe de 4 enfermeiros e 2 médicas. Considerando-se o número máximo de equipes diferentes que se podem formar com aqueles enfermeiros e médicas, qual a probabilidade de caírem juntos no mesmo plantão Vera e Augusto? a) 1/3 b) 3/14 c) 2/5 d) 1/5 e) 2/15 21) (FGV 2001) Um lote com 20 peças contém 2 defeituosas. Sorteando-se 3 peças desse lote, sem reposição, a probabilidade de que todas sejam não defeituosas é: a) 68/95 b) 70/95 c) 72/95 d) 74/95 e) 76/95 22) (ITA 2005) Retiram-se 3 bolas de uma urna que contém 4 bolas verdes, 5 bolas azuis e 7 bolas brancas. Se P 1 é a probabilidade de não sair bola azul e P 2 é a probabilidade de todas as bolas saírem com a mesma cor, então a alternativa que mais se aproxima de P 1 + P 2 é: a) 0,21 b) 0,25 c) 0,28 d) 0,35 e) 0,40

4 Página 4 23) (UFSCAR 2002) Um jogo para duas pessoas consiste em uma urna com 2 bolas vermelhas e 1 azul. Ganha o jogo quem retirar a da urna a bola azul. Caso um jogador retire uma bola vermelha, essa volta para a urna, e o outro jogador faz a sua retirada. Os jogadores vão alternando suas retiradas até que saia a bola azul. Todas as bolas têm a mesma probabilidade de serem retiradas. A probabilidade do primeiro a jogar ganhar o jogo, isto é, em alguma de suas retiradas pegar a bola azul, vale: a) 1/3 b) 2/5 c) 1 /2 d) 3/5 e) 2/3 24) Uma prova consta de 10 testes de múltipla escolha, cada um com 5 alternativas e apenas uma correta. Se um aluno chutar todas as respostas: a) Qual a probabilidade dele acertar todos os testes? b) Qual a probabilidade dele acertar exatamente 2 testes? 25) (ENEM 1998) Em um concurso de televisão, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando representada em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas ao seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta ganhará um prêmio de R$ 200,00. A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a: a) 0 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/2 e) 1/6 26) (ENEM 1998) Para a situação descrita na questão anterior, responda: A probabilidade de o concorrente ganhar exatamente o valor de R$ 400,00 é igual a: a) 0 b) 1/3 c) 1/2 d) 2/3 e) 1/6 27) (FUVEST 1995) a) Uma urna possui três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas nessa urna, de modo que retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade dela ser azul seja igual a 2/3? b) Considere uma urna que contém uma bola preta, quatro bolas brancas e x bolas azuis. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, a sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Para que valores de x a probabilidade de que as bolas sejam da mesma cor vale 1/2? 28) (EsPCEX 2014) Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e, escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. A soma de todos os números assim formados é igual a a)

5 Página 5 b) c) d) e) Geometria Espacial 1) (PUC PR 2003) Se aumentarmos de 0,5 m a aresta de um cubo, o seu volume aumentará 2375 dm 3. Qual era o valor da aresta do primeiro cubo? a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 5 m 2) (IBMEC RJ 2002) Em um cubo, de aresta 2, a distância entre o centro de uma face e um vértice da face oposta é: a) 2 2 b) 3 2 c) 2 3 d) 3 3 e) 6 3) (MACKENZIE 2004) Um prisma reto de base quadrada teve os lados da base e a altura diminuídos de 50%. O seu volume ficou diminuído de: a) 50% b) 75% c) 87,5% d) 85% e) 60% 4) (MACKENZIE 2001) As dimensões a, b e c de um paralelepípedo reto retângulo são tais que a > b > c. Aumentando-se a de 25% e mantendo-se b constante, para que o volume do paralelepípedo mantenha-se o mesmo, a dimensão c deve ser diminuída de: a) 15% b) 18% c) 20% d) 25% e) 28% 5) (UEL 2002) Aumentando-se em 1 m a altura de um paralelepípedo, seu volume aumenta 35 m 3 e sua área total aumenta 24m 2. Se a área lateral do paralelepípedo original é 96 m 2, então o volume original é, em m 3 : a) 133 b) 135 c) 140 d) 145

6 Página 6 6) (ESPM 2005) 36 litros de água estão no interior de uma caixa em forma de paralelepípedo, totalmente fechada. Conforme a face que fica apoiada numa mesa horizontal, a altura do líquido na caixa pode ser de 15 cm, 20 cm ou 30 cm. A capacidade total dessa é caixa é: a) 48 litros b) 54 litros c) 64 litros d) 72 litros e) 86 litros 7) (AFA 2013) Considere uma pirâmide regular ABCDV de base ABCD. Sendo 2 2 cm a medida da aresta da base e 2 3 cm a medida da altura dessa pirâmide, a distância, em cm, de A à aresta lateral VC é: a) 2 2 b) 2 3 c) 4 d) 3 8) (AFA- 2012) Uma vinícola armazena o vinho produzido em um tanque cilíndrico (reto) com sua capacidade máxima ocupada. Esse vinho será distribuído igualmente em barris idênticos também cilíndricos (retos) e vendidos para vários mercados de uma cidade. Sabe-se que cada mercado receberá 2 barris de vinho, com altura igual a 1/5 da altura do tanque e com diâmetro igual a 1/4 do diâmetro da base do tanque. Nessas condições, a quantidade x de mercados que receberão os barris (com capacidade máxima ocupada) é tal que x pertence ao intervalo: a) 0<x<20 b) 20 x<40 c) 40 x<60 d) 60 x<80 9) (Vunesp) Em um camping, sobre uma área plana e horizontal, será montada uma barraca com a forma e as dimensões dadas de acordo com a figura. Em cada um dos quatro cantos do teto da barraca será amarrado um pedaço de corda, que será esticado e preso a um gancho fixado no chão, como mostrado na figura. a) Calcule qual será o volume do interior da barraca. b) Se cada corda formará um ângulo α de 30 com a lateral da barraca, determine, aproximadamente, quantos metros de corda serão necessários para fixar a barraca, desprezando-se os nós. (Use, se necessário, a aproximação 3 = 1,73).

7 Página 7 10) (UFMG) Nesta figura, estão representados o cubo ABCDEFGH e o prisma ACRPQO : Sabe-se que:» P, Q e R são, respectivamente, os pontos médios das arestas AE, CG e CD;» o ponto O é o centro da face CDHG; e» o volume do prisma ACRPQO é 24 cm 3. Então, é CORRETO afirmar que o comprimento de cada aresta desse cubo é 3 a) b) 2. 3 cm 3 c) 4. 3 cm d) cm 11) (Fuvest) A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, forma-se um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O número de cubos menores que tiveram pelo menos duas de suas faces pintadas de vermelho é a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32

8 Página 8 12) (UFMG) Observe esta figura: Nessa figura, estão representados um cubo, cujas arestas medem, cada uma, 3 cm, e a pirâmide MABC, que possui três vértices em comum com o cubo. O ponto M situa-se sobre o prolongamento da aresta BD do cubo. Os segmentos MA e MC interceptam arestas desse cubo, respectivamente, nos pontos N e P e o segmento ND mede 1 cm. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que o volume da pirâmide MNPD é, em cm 3 a) b) c) d) ) (UFV) O interior de uma jarra é um cilindro circular reto e contém V litros de água. Se fosse retirado 1 litro desta água, o raio, o diâmetro e a altura da água, nesta ordem, formariam uma progressão aritmética. Se, ao contrário, fosse adicionado 1 litro de água na jarra, essas grandezas, na mesma ordem, formariam uma progressão geométrica. O valor de V é: a) 6 b) 4 c) 9 d) 7 e) 5 14) (FATEC) Um cilindro circular reto tem volume igual a 250π cm 3. Um plano, paralelo ao eixo desse cilindro, à distância de x cm desse eixo, determina uma seção retangular de área igual a 60 cm 2. Se a medida da altura do cilindro é igual ao dobro da medida do raio da base, então x é igual a: a) 9/2 b) 4 c) 2 3 d) 13/4 e) 10

9 Página 9 15) (ENEM) Os três recipientes da figura têm formas diferentes, mas a mesma altura e o mesmo diâmetro da boca. Neles são colocados líquido até a metade de sua altura, conforme indicado nas figuras. Representando por V 1, V 2 e V 3 o volume de líquido em cada um dos recipientes, tem-se: a) V1 = V2 = V3 b) V1 < V3 < V2 c) V1 = V3 < V2 d) V3 < V1 < V2 e) V1 < V2 = V3 16) (UEL) Para representar recipientes de cerâmica encontrados por arqueólogos em escavações, usa-se fazer a vista lateral dos objetos, tirando-lhes um quarto. Dessa maneira, mostram-se a face interna e externa, bem como o corte transversal da parede do recipiente. Na figura que segue vê-se, em perspectiva, um modelo de tal representação mostrando um recipiente em forma de hemisfério ou semiesfera. Para pintar as superfícies interna, externa e as bordas do recipiente semiesférico, a área total a ser coberta de tinta será de: a) 450π cm 2 b) 506π cm 2 c) 744π cm 2 d) 844π cm 2 e) 900π cm 2 17) (UFBA) A figura representa dois tanques: um deles com a forma de um cubo de aresta b, e o outro com a forma de um cone circular reto, de altura também b e raio da base medindo r. Os tanques têm a mesma capacidade, estão com suas bases sobre um terreno horizontal plano e são ligados por um tubo, de modo que o nível de água, representado por h, seja o mesmo.

10 Página 10 Considere V1(h) e V2(h) os volumes de água no primeiro e no segundo tanque, respectivamente. Com base nessas informações e desprezando a espessura das paredes dos tanques, determine o valor de h/b, de modo que V 2(h) = 3V 1(h), com h 0. 18) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a 12 cm do centro, determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência é, em cm: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 19) Seccionando-se uma esfera por um plano que dista 3 m do seu centro, obtém-se uma secção de área 72π m 2. Determine o volume dessa esfera. 20) (UEPA) O Cubo Magnético é um brinquedo constituído por 216 esferas iguais e imantadas. Supondo que esse brinquedo possa ser perfeitamente colocado dentro de uma caixa, também no formato de cubo, com aresta igual a 30 mm, qual é a razão entre o volume total das esferas que constituem o Cubo Magnético e o volume da caixa que lhe serve de depósito? 21) Obtenha o volume do sólido gerado pela rotação do semicírculo furado da figura abaixo em torno do eixo e. 22) (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, um cone reto e um cilindro de bases comuns estão inscritos em uma esfera. O volume do cilindro é igual ao volume do cone. A distância do centro da esfera à base comum, em função da altura H do cone, é:

11 Página 11 a) H/2 b) H/3 c) H/4 d) H/5 e) H/6 23) Um cone de revolução tem altura 4 cm e está circunscrito a uma esfera de raio 1 cm. Qual é o volume desse cone? Gabarito Análise Combinatória: 1) 30 2) ) 5/72 4) A) b) c) d) ) A) 5/36 b) 5/18 c)7/12 6) A) 1/5 b) 256/625 7) A 8) A) 10! B) 744 9) A) 1728 B)6 10) 350; ) 240/ ) 3/5 13) 3/11 14) D 15) A)8! b)7!2! c) 1152 d) ) A)5/108 B)5/54 17) A) 0 B) 2/3 18) A 19) C 20) E 21) A 22) E 23) D 24) A) (1/5) 10 B) (1/2).(19/20) 9 25) B 26) A 27) A) 16 bolas azuis B) x=1 ou x=9 28) E Gabarito Geometria Espacial: 1) A 2) E 3) C 4) C 5) C 6) D 7) B 8) C 9) A) 36m 3 B)9,23 10) C 11) A 12) B 13) D 14) B 15) B 16) D 17) 3 18) E 19) 972m 3 20) π/6 21) 28π 22) D 23) 8π/3