Informática no Ensino da Matemática

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1 Informática no Ensino da Matemática Humberto José ortolossi Lista de Exercícios 8 TIVIDDE 1 Estude os tutoriais do GeoGebra 4.2 de números 13 a 16 disponíveis no seguinte endereço (escolha a opção VÍDEOS TUTORIIS no menu principal): Neste tutorial, você aprenderá a construir mediatrizes e bissetrizes com o GeoGebra 4.2. Depois de ver as animações, éimportantequevocê tente implementá-las sozinho no Geo- Gebra 4.2 pois, fazendo assim, você ganhará maisproficiência no uso do programa! TIVIDDE 2 (Uma falácia clássica em geometria) baixo temos os passos de uma demonstração errada para o seguinte teorema falso: todo triângulo éisósceles. (a) Usando somente lápis e papel, tente descobrir qual passo está errado. note a sua resposta! O ideal équevocêfaça os seus próprios desenhos no papel mas, se quiser, use esta figura aqui: E D O F. (b) Implemente os passos abaixo no GeoGebra 4.2 e confirme a sua resposta. Página 1

2 Passo 1. No triângulo, sejao o ponto de interseção da mediatriz FO do lado com a bissetriz O do ângulo. Passo 2. onstrua os segmentos OE perpendicular ao lado e DO perpendicular ao lado, respectivamente. Passo 3. Os triângulos retângulos EO e DO são congruentes e, portanto, EO = DO e E = D. Passo 4. omo O = O, o triângulo retângulo EO éentão congruente ao triângulo retângulo DO e, assim, E = D. Passo 5. onsequentemente, = E + E = D + D = e o triângulo é isósceles. TIVIDDE 3 (Uma falácia clássica em geometria) baixo temos os passos de uma demonstração errada para o seguinte teorema falso: todo ângulo éreto. Implemente estes passos no GeoGebra 4.2 e descubra qual é o erro da demonstração! Passo 1. Dado um ângulo α, sejad um quadrado e seja E um ponto com E = e m( E) =α. Sejam também R opontomédio de DE, P opontomédio de D, Q opontomédio de e O ainterseção da reta PQ com a mediatriz do segmento DE (veja a figura a seguir). D P R E Q O Passo 2. Os triângulos ΔQO eδqo são congruentes, desde que OQ é a mediatriz do segmento. Segue-seentão que O = O. Página 2

3 Passo 3. Os triângulos ΔDRO eδero são congruentes desde que RO é a mediatriz do segmento DE. Segue-seentão que DO = EO. Passo 4. gora, D = E, poisd é um quadrado e E é um ponto escolhido de tal maneira que E =. Passo 5. Desta maneira, os triângulos ΔOD eδoe são congruentes porque seus lados possuem o mesmo tamanho. Passo 6. Segue-se, portanto, que m(α) = m( E) = m( EO) m( O) = m( OD) m( O) =D =90. TIVIDDE 4 (O teorema de Pappus) Sejam r e s duas retas. onstrua os pontos, e sobre a reta r e construa os pontos D, E e F sobre a reta s. Sejam P o ponto de interseção das retas E e D, Q o ponto de interseção das retas F e D e R o ponto de interseção das retas F e E: P = E D, Q = F D e R = F E. (a) Implemente esta construção no GeoGebra 4.2. Os nomes dos pontos e das reta r e s devem aparecer! Use cores diferentes para realçar as retas que definem os pontos P, Q e R. (b) Movimente os pontos semilivres e tente descobrir algum invariante geométrico. Observação: um invariante geométrico é uma propriedade geométrica (concorrência, colinearidade, comprimento, medida de ângulo, etc) que permanece constante (invariante!) para qualquer configuração da construção satisfazendo certas propriedades préestabelecidas. TIVIDDE 5 (O teorema de Pascal para o círculo) Seja um círculo. onstrua os pontos,,, D, E e F sobre o círculo. SejamP o ponto de interseção das retas E e D, Q oponto de interseção das retas F e D e R o ponto de interseção das retas F e E: P = E D, Q = F D e R = F E. (a) Implemente esta construção no GeoGebra 4.2. Os nomes dos pontos devem aparecer! Use cores diferentes para realçar os vários elementos da construção. (b) Movimente os pontos semilivres e tente descobrir algum invariante geométrico. Página 3

4 TIVIDDE 6 Seja ΔP um quadrado qualquer. Sobre o lado construa o triângulo equilátero ΔQ para dentro do quadrado e, sobre o lado, construa o triângulo equilátero ΔR para fora do quadrado. Que propriedade marcante os pontos P, Q e R possuem? Identifique um invariante geométrico e demonstre-o! P Q R TIVIDDE 7 Estude o tutorial do GeoGebra 4.2 de número 17 disponível no seguinte endereço (escolha aopção VÍDEOS TUTORIIS no menu principal): Neste tutorial, você aprenderá a construir pontos semilivres e a desenhar lugares geométricos com o GeoGebra 4.2. Depois de ver a animação, éimportantequevocê tente implementá-la sozinho no GeoGebra 4.2 pois, fazendo assim, você ganhará maisproficiência no uso do programa! TIVIDDE 8 Sejam um círculo de centro em O e P um ponto de. Para cada X em, considere opontomédio M do segmento PX. Qual é o lugar geométrico do ponto M quando X se desloca sobre o círculo? Implemente esta construção no GeoGebra 4.2, investigue, faça uma conjectura e tente prová-la! TIVIDDE 9 onsidere dois círculos 1 e 2,com 1 contido no interior de 2. O círculo 1 tem centro no ponto e ele passa pelo ponto. Ocírculo 2 tem centro no ponto e ele passa pelo ponto D. Seja agora X umpontodocírculo 1. Marque o ponto Y que é a interseção da semirreta X com o círculo 2. Finalmente, construa o ponto médio M do segmento XY. (a) Implemente esta construção no GeoGebra 4.2. Os nomes dos pontos devem aparecer! Use cores diferentes para realçar os vários elementos da construção. Página 4

5 (b) Quais são os pontos livres, semilivres e fixos desta construção? (c) Rastreie o ponto M quando X se movimenta sobre o círculo 1. O lugar geométrico descrito pelo ponto M éumcírculo? Justifique a sua resposta! X M Y D TIVIDDE ELETRÔNI 17 Implemente a construção do Teorema de Pappus (tividade 4 desta lista), salve-a sob o nome pappus.ggb e envie o arquivo correspondente para o seguinte novas.tecnologias.no.ensino@gmail.com (noteo ponto. entre aspalavras). Use E-17: Teorema depappus como assunto (subject) do . Só serão aceitos s enviados até o dia 28/09/2011. Não esqueça de incluir o seu nome completo. Sua atividade eletrônica só será contabilizada se você implementar corretamente o teorema no GeoGebra 4.2! Seja criativo: use cores diferentes para elementos diferentes e, também, para evidenciar as propriedades geométricas da construção. TIVIDDE ELETRÔNI 18 Seja Δ um triângulo qualquer. Sobre os lados e construa, respectivamente, triângulos equiláteros ΔP eδr para fora do triângulo Δ. Sobre o lado, construa o triângulo equilátero ΔQ para dentro do triângulo Δ. Por fim, trace os segmentos PQ e QR. (a) Implemente esta construção no GeoGebra 4.2. Quais são os pontos livres? Página 5

6 (b) Que propriedade marcante o quadrilátero PQR possui? geométrico e demonstre-o! Identifique o invariante Q R P Implemente este enunciado no GeoGebra 4.2, salve a construção com o nome aquecimento.ggb e envie o arquivo para o seguinte novas.tecnologias.no.ensino@gmail.com (note o ponto. entre as palavras). Escreva no o enunciado da sua conjectura e a respectiva demonstração. Use E-18: Invariante Geométrico como assunto da mensagem. Só serão aceitos s enviados até o dia 28/09/2011. Não esqueça de incluir o seu nome completo. Sua atividade eletrônica só será contabilizada se você implementar corretamente o teorema no GeoGebra 4.2! Página 6