Nome: N.º: endereço: data: telefone: PARA QUEM CURSA A 1 ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM Disciplina: matemática

Transcrição

1 Nome: N.º: endereço: data: telefone: Colégio PARA QUEM CURSA A 1 ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2012 Disciplina: matemática Prova: desafio nota: QUESTÃO 16 Uma caixa contém 100 bolas apenas. Destas, 30 são brancas, 30 são verdes, 30 são azuis e, entre as 10 restantes, algumas são pretas e outras vermelhas. O menor número de bolas que devemos tirar da caixa, sem lhes ver a cor, para termos certeza de que, pelo menos, 10 delas são da mesma cor, é: a) 11 b) 21 c) 33 d) 38 e) 48 Retirando-se 9 bolas brancas, 9 verdes, 9 azuis e as 10 restantes entre pretas e vermelhas, num total de 37 bolas, ainda não temos a garantia de 10 serem da mesma cor, o que ocorrerá a partir da retirada da 38 ạ bola. Resposta: D QUESTÃO 17 (UNESP) Um grupo de x estudantes se juntou para comprar um computador portátil (notebook) que custa R$ 3 20,00. Alguns dias depois, mais três pessoas se juntaram ao grupo, formando um novo grupo com x + 3 pessoas. Ao fazer a divisão do valor do computador pelo número de pessoas que estão compondo o novo grupo, verificou-se que cada pessoa pa ga ria R$ 7,00 a menos do que o inicialmente programado para cada um no pri meiro grupo. O número x de pessoas que forma vam o primeiro grupo é: a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 Sejam x > 0 e y > 0, respectivamente, o número inicial de estudantes e o valor inicial da parcela que cabe a cada um x. y = 320 (x + 3). (y 7) = = + 7 x 2 + 3x 130 = 0 x = 10 x x + 3 Resposta: B 320 y = x 320 y = + 7 x + 3 1

2 QUESTÃO 18 (UNESP) Numa determinada empresa, vigora a seguinte regra, baseada em acúmulo de pontos. No final de cada mês, o funcio nário recebe 3 pontos positivos, se em todos os dias do mês ele foi pontual no trabalho, ou pontos negativos, se durante o mês ele chegou pelo menos um dia atra sado. Os pontos recebidos vão sendo acumulados mês a mês, até que a soma atinja, pela primeira vez, 0 ou mais pontos, positivos ou negativos. Quando isso ocorre, há duas pos sibili dades: se o número de pontos acu mulados for positivo, o funcio nário recebe uma gratificação e, se for negativo, há um desconto em seu salário. Se um funcio nário acumulou exatamente 0 pontos positivos em 30 meses, a quan tidade de meses em que ele foi pontual, no período, foi: a) 1 b) 20 c) 2 d) 26 e) 28 Seja x o número de meses com pontuação positiva e y o número de meses com pon - tuação negativa. A partir do enunciado, temos: x + y = 30 x + y = 10 (I) 3x y = 0 3x y = 0 (II) De (I) e (II), resulta: 8x = 200 x = 2. Portanto, a quantidade de meses em que ele foi pontual (acumulou pontos positivos) foi igual a 2. Resposta: C QUESTÃO 19 (UNESP) Em um dado comum, a soma dos nú meros de pontos desenhados em quaisquer duas faces opos tas é sempre igual a 7. Três dados comuns e idênticos são cola - dos por faces com o mesmo número de pontos. Em seguida, os da dos são colados sobre uma mesa não transparente, como mostra a figura. Sabendo-se que a soma dos números de pontos de todas as faces livres é igual a 36, a soma dos números de pontos das três faces que estão em contato com a mesa é igual a a) 13 b) 14 c) 1 d) 16 e) 18 2

3 Sejam: a) a, b e c os números marcados nas faces que estão em contato com a mesa. b) 7 a, 7 b, 7 c os números marcados nas faces superiores dos três dados. c) x o número da face lateral esquerda do dado da esquerda e 7 x o número da face lateral direita do primeiro dado, que é também o da face lateral esquerda do 2. dado. d) x, analogamente, é o número da face lateral comum do 2. e do 3. dado. e) 7 x é o número da face lateral direita do terceiro dado. f) = 21 é a soma dos números das três faces da frente com as três faces de trás. Assim: (x + 7 x) (7 a) + (7 b) + (7 c) = (a + b + c) = 36 a + b + c = a + b + c = 13 Resposta: A QUESTÃO 20 Um feirante colocou à venda 900 ovos, distribuídos em caixas com 6 e 12 ovos. Se o número de caixas com 12 ovos supera em 1 unidades o número de caixas com 6 ovos, então o total de caixas utilizadas pelo feirante é a) 80 b) 8 c) 90 d) 9 e) 100 Se s for o número de caixas com 6 ovos e d o número de caixas com 12 ovos, então: d = s + 1 s + d = 9 6s + 12d = 900 d = s + 1 6s + 12(s + 1) = 900 d = s s = 720 s = 40 d = Resposta: D QUESTÃO 21 (FUVEST) No vestibular FUVEST 90, exigia-se, dos can didatos à carreira de Adminis - tração, a nota mínima 3,0 em Matemática e em Redação. Apurados os resultados, verificou-se que 17 candidatos foram eliminados em Matemática e 76 can didatos foram eliminados em Redação. O número total de candidatos eliminados por essas duas disciplinas foi 219. Qual o número total de can didatos eliminados apenas pela Redação? a) 24 b) 143 c) 32 d) 44 e) 99 3

4 Se x for o número de candidatos eliminados apenas na redação então x = 219 x = 44 Resposta: D QUESTÃO 22 (FUVEST) Se f : é da forma f(x) = ax + b e verifica (fof)(x) = x + 1, para todo x real, então a e b valem, respectiva mente: 1 1 a) 1 e b) 1 e c) 1 e 2 d) 1 e 2 e) 1 e qualquer 2 2 I) f(x) = ax + b f[f(x)] = a. f(x) + b f[f(x)] = a(ax + b) + b (f o f)x = a 2 x + (ab + b) II) (fof)(x) = x + 1, "x a 2. x + (ab + b) = 1. x + 1, "x Resposta: A a 2 = 1 a = 1 1 ab + b = 1 b = 2 QUESTÃO 23 Ao adicionar certa quantidade x de fertilizante nitroge nado ao solo, plantas de uma determinada espécie reagem a esse fer tili zante, apresentando um desenvol vimento em altura y, con forme representado na figura. O valor p corresponde à altura das plantas quando nenhuma quan tidade de fertilizante é adicionada, e m é a quantidade de fer tilizante com a qual as plantas atingem altura máxima. Acima de m, o fertilizante passa a ter ação tóxica, sendo que em n, as plantas não chegam a crescer. Supondo que a relação entre y e x se dá de acordo com a função y = 0,02x 2 + 0,2x + 1, sendo y expresso em metros e x, em dezenas de quilos por hectare, então, os valores de p, m e n são, respectivamente a) ; ; 1 b) 0; 10; 20 c) 1,; ; 1 d) 0; 7,; 1 e) 1,; ; 20 4

5 y = 0,02x 2 + 0,2x + 1, I) A parábola intercepta o eixo y no ponto (0; p), assim, p = 1,. II) De acordo com o texto b 0,2 x v = m m = m = m = 2a 2. ( 0,02) III) As raízes são e 1, logo n = 1. Resposta: C QUESTÃO 24 Em um terreno de formato trian gular, deseja-se cons truir uma casa com formato retangular. Determine x e y de modo que a área construída seja máxima a) x = 2, e y = 7, b) x = 3 e y = 9 c) x = 4, e y = 10, d) x = e y = 1 e) x = 3 e y = 10 I) Por semelhança de triângulos, podemos afirmar que x 1 y = 3x = 1 y y = 1 3x 1 II) A área do retângulo é dada por A = x. y = x. (1 3x) = 3. x x III) A área é uma função do 2 ọ grau cujo gráfico é uma pará bola com concavidade para baixo (a < 0). Portanto, a área máxima ocorre para b 1 x v = = = 2, 2a 6 IV) Para x = 2,, temos: y = 1 3. (2,) = 1 7, = 7, Resposta: A QUESTÃO 2 A reta de equação y = a.x e a parábola de equação y = x 2 + 2a.x + a têm dois pontos distintos em comum. Sendo a um número real, pode-se afirmar que: a) a > 1 b) 0 < a < 4 c) 1 < a < d) a < 0 ou a > 4 e) a < 4 ou a >

6 I) Igualando as funções, temos: x 2 + 2ax + a = ax x 2 + ax + a = 0 II) Para que os pontos comuns sejam distintos, devemos ter > 0 a 2 4a > 0. As raízes são 0 e 4 e o gráfico é do tipo Logo, a < 0 ou a > 4. Resposta: D QUESTÃO 26 Considere que a representação gráfica da função f: dada por f(x) = mx 2 x + n, com m e n reais, é uma parábola com ordenada do vértice maior que 1 n. Se m.n >, uma possível representação gráfica de f é 4 1 I) Como m. n > 4mn > 1 1 < 4mn 1 4mn < 0 < 0, logo a parábola 4 não intercepta o eixo x. II) Como y v > n, uma possível representação gráfica é: Resposta: C 6

7 QUESTÃO 27 Um decorador utilizou um único tipo de transfor mação geométrica para compor pares de cerâmicas em uma parede. Uma das composições está representada pelas cerâmicas indicadas por I e II. Utilizando a mesma transformação, qual é a figura que compõe par com a cerâ mica indicada por III? Da figura I para a figura II foi feita a simetria em relação ao eixo horizontal que passa pelo centro da figura. Utilizando-se o mesmo tipo de simetria na figura III, obtemos a figura IV abaixo Resposta: B QUESTÃO 28 Uma das ex pressões artísticas mais famosas as sociada aos conceitos de simetria e congruência é, talvez, a obra de Maurits Comelis Escher, artista holandês cujo trabalho é ampla men te difundido. A figura apre sentada, de sua autoria, mostra a pavimentação do plano com cavalos claros e cavalos escuros, que são congruentes e se encai xam sem deixar espaços vazios. 7

8 Realizando procedimentos análogos aos feitos por Escher, entre as figuras abaixo, aquela que poderia pavimentar um plano, utilizando-se peças congruentes de tonalidades claras e escuras é A figura que permite uma pavimentação deverá permitir um en caixe perfeito, sem sobreposição e sem deixar sobras. Das figuras apresentadas, apenas a da alternativa D satisfaz tal con dição, como se vê no esquema abaixo. Resposta: D QUESTÃO 29 Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavi mentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superpo sições de ladrinhos, como ilustram as figuras. A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. 8

9 Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um a) triângulo. b) quadrado. c) pentágono. d) hexágono. e) eneágono. Para que não haja falhas nem superposições, octógonos devem ser combinados com quadrados, conforme a figura a seguir, pois = 360. Resposta: B QUESTÃO 30 (FUVEST) A figura representa um retângulo ABCD, com AB = e AD = 3. O ponto E está no segmento CD de maneira que CE = 1, F é o ponto de intersecção da diagonal AC com seg mento BE. Então a área do triângulo BCF vale 6 a) b) c) d) e) 3 2 9

10 ECF BAF x = x = 1 x 1 3 x x + x = 1 6x = 1 x = 2, Resposta: B Área do BCF = A ABC A ABF. 3. 2, A = = , = = 2, =