Capítulo O espaço R 2

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1 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 Capítulo. - O espaço R.. - Os números reais.. - Espaço R No curso de Matemática, foi estudado o Cálculo Diferencial e Integral baseado no conjunto dos números reais, R. Neste curso de Matemática, faremos esse mesmo estudo com uma classe mais geral, que chamaremos de espaço R n. Este primeiro capítulo introduz o caso particular do espaço R e estabelece algumas operações que podem ser definidas nele... - Os números reais O conjunto dos números reais, R, apresenta diversas características que tornam possível definir sobre ele conceitos como o de limites, derivadas e integrais. Tal conjunto permite que nele sejam definidas operações de soma e de produto com as seguintes propriedades. Propriedades da soma: para quaisquer elementos α, β e γ reais, temos S) α + β R (o conjunto R é fechado quanto à soma); S) α + β = β + α (comutativa); S3) (α + β) + γ = α + (β + γ) (associativa); S4) 0 R tal que α + 0 = α (eistência do elemento neutro); S5) para qualquer α R, eiste um α R tal que ( α) + α = 0 (eistência de elementos inversos). Propriedades do produto: para quaisquer elementos α, β e γ reais, temos P) α β R (o conjunto R é fechado quanto ao produto); P) α β = β α (comutativa); P3) α (β γ) = (α β) γ (associativa); P4) R tal que α = α (eistência do elemento neutro); P5) para qualquer α R, α 0, eiste um α R tal que α = (eistência de elementos inversos). α Propriedade mista: para quaisquer elementos α, β e γ reais, temos M) α (β + γ) = α β + α γ (distributiva da soma com relação ao produto). Além dessas propriedades, que são comuns a conjuntos como o dos números racionais Q e dos números compleos C, os números reais também apresentam a propriedade adicional de que os seus elementos são ordenados, isto é, que há uma relação que determina qual elemento desse conjunto é maior que o outro. Essa propriedade de ordenação também eiste para os números racionais, mas não para os compleos. Uma outra propriedade, que diferencia os números reais dos racionais é que, para todo par de números reais, eiste sempre um número real entre eles. Isto deia de ser verdade para os números racionais, que podem ter entre dois de seus elementos um número irracional, que não pertence a esse conjunto. É essa propriedade que torna possível definir limites (chegar o mais próimo possível de um número sem, no entanto, alcançá-lo) e todo o Cálculo subsequente, sobre os números reais. Observação: rigorosamente falando, o conjunto dos números reais é um corpo ordenado completo, melhor definido na Leitura Complementar.., que trata da definição mais formal desse conjunto.

2 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 Geometricamente, podemos representar os números reais como sendo pontos sobre uma reta ordenada, como na figura a seguir / - 0 /4 / e 3 π Espaço R O conjunto R, que deve ser lido erre dois, é o conjunto de todos os pares ordenados (,), onde e são números reais, isto é: R = {(,), R}. Por pares ordenados entendemos conjuntos tais que (,) = (a,b) se, e somente se, = a e = b, isto é, a ordem em que os elmentos são escritos é importante. Isto contrasta com a notação {a,b} de um conjunto, que é equivalente a {b,a}. Os pares ordenados (,), (,0), (/4,π) são todos elementos do conjunto R. Note que (,) (,) se ambos pertencem ao R. a) Representação geométrica Da mesma forma como números reais podem ser representados como pontos em um reta ordenada, os elementos do espaço R podem ser rperesentados como pontos em um espaço euclidiano. Para isto, representamos um par ordenado (a,b) como o ponto de ordenada a e abscissa b (figura ao lado). É fácil notar da figura ao lado que o R não é um conjunto ordenado. Não podemos, por eemplo, determinar se (, ) é maior ou menor que (,). Não podemos nem definir o conceito de ordem nessas circunstâncias. b (a, b) a Eemplo : represente o par ordenado (3, ) no plano cartesiano. Solução: Eemplo : represente o par ordenado (,) no plano cartesiano. Solução: Eemplo 3: represente o par ordenado (3/, ) no plano cartesiano. Solução: Eemplo 4: represente o par ordenado (, ) no plano cartesiano. Solução: 0, 5 0

3 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 3 b) Soma Também podemos definir uma operação de soma para elementos do R. Dados dois elementos (a,a ) e (b,b ) de R, então a soma deles é definida como (a,a ) + (b,b ) = (a + b,a + b ). Eemplo : faça a soma dos elementos (,) e (3, 4) do R. Solução: (, ) + (3, 4) = ( + 3, 4) = (4, ). Eemplo : faça a soma dos elementos (,3) e (, 3) do R. Solução: (, 3) + (, 3) = ( +, 3 3) = (0, 0). A operação de soma apresenta as seguintes propriedades, dados os elementos (a,a ),(b,b ),(c,c ) R : S) (a,a ) + (b,b ) R (o conjunto R é fechado quanto à soma); S) (a,a ) + (b,b ) = (b,b ) + (a,a ) (comutativa); S3) [(a,a ) + (b,b )] + (c,c ) = (a,a ) + [(b,b ) + (c,c )] (associativa); S4) (0,0) R tal que (a,a ) + (0,0) = (a,a ) (eistência do elemento neutro). c) Produto por um escalar Não podemos definir uma operação semelhante ao produto entre dois números reais para elementos do R. No entanto, podemo definir a operação produto por um escalar, que consiste em fazer o produto de um elemento do R por um elemento de R. Dado um elemento (a,a ) R e um elemento α R, definimos o produto desse elemento pelo escalar α como α(a,a ) = (αa,αa ). Eemplo : faça o produto do elemento (,4) do R pelo escalar 3 R. Solução: 3(, 4) = (3, 3 4) = (3, ). Eemplo : faça o produto do elemento ( 4,) do R pelo escalar /4 R. Solução: 4 ( 4, ) = ( 4 ( 4), 4 ) = (, 3). O produto por um escalar apresenta as seguintes propriedades, dados dois elementos (a,a ),(b,b ) R e os elementos α,β R: P) α(a,a ) R (o conjunto R é fechado quanto ao produto por um escalar); P) α[β(a,a )] = (αβ)(a,a ) (associativa); P3) para o elemento R, (a,a ) = (a,a ) (eistência do elemento neutro). O produto por um escalar junto com a soma apresenta ainda as seguintes propriedades mistas, dados elementos (a,a ),(b,b ) R e os elementos α,β R: M) α [(a,a ) + (b,b )] = α(a,a )+α(b,b ) (distributiva da soma com relação ao produto por um escalar); M) (α + β)(a,a ) = α(a,a ) + β(a,a ) (distributiva do produto por um escalar com relação à soma). Observação: conjuntos que têm as propriedades de soma e de produto por um escalar que acabamos de descrever são chamados espaços vetoriais e são geralmente estudados em cursos de Álgebra Linear. A Leitura Complementar.. traz um pouco mais de detalhes sobre isto. A soma e o produto por um escalar podem ser utlizadas simultaneamente, como no eemplo a seguir. Eemplo 3: calcule 3(, ) + ( 5)( 4, ). Solução: 3(, ) + ( 5)( 4, ) = 3(, ) 5( 4, ) = (6, 3) ( 0, 0) = (6, 3).

4 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 4 d) Representação vetorial Um outro conjunto de objetos que apresentam eatamente as mesmas propriedades da soma e produto por um escalar válidas para o R é o conjunto dos vetores em um plano. Vetores podem ser vistos como segmentos de retas orientados (pedaços de retas com um sentido determinado) que não estão presos a um determinado lugar do espaço (uma definição mais rigorosa é feita na Leitura Complementar..3). Podemos representar um vetor no plano como uma seta partindo da origem (0, 0) e terminando em algum ponto (a, b), como na figura a seguir. Note que há uma correspondência imediata entre um vetor que termina no ponto (a,b) com o próprio elemento de b (a,b) R. Por isso, é comum representarmos elementos do R como vetores no plano. Essa representação é particularmente útil quando queremos mostrar a soma de dois elementos de R ou o produto de um elemento do R por um escalar geometricamente. Os próimos dois eemplos a mostram como essas operações podem ser representadas em termos de vetores em um plano cartesiano. Eemplo : represente vetorialmente os pares ordenados (3,3) e (4,) e a sua soma. Solução: os dois pares ordenados estão representados vetorialmente no primeiro gráfico a seguir e a sua soma, dada por (3, 3) + (4, ) = (7, 4), é representada no segundo gráfico a seguir. (7, 4) 3 (3, 3) 3 (4, ) Eemplo : represente vetorialmente o par ordenado (3,) e o produto dele pelo escalar. Solução: o par ordenado (, ) e o seu produto pelo escalar, (3, ) = (6, 4) estão representados no gráfico a seguir. 4 (6, 4) 3 (3, ) Eemplo 3: represente vetorialmente o par ordenado (4,) e o produto dele pelo escalar. Solução: o par ordenado (4, ) e o seu produto pelo escalar, (4, ) = ( 4, ) estão representados no gráfico a seguir. (4, ) ( 4, ) Em termos vetoriais, a soma de dois pares ordenados (a,a ) e (b,b ) pode ser vista como o resultado da

5 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 5 chamada regra do paralelogramo dos vetores, que consiste em desenhar representações dos dois vetores com suas origens no mesmo ponto e, a partir daí, desenhar um paralelogramo tomando como lados os dois vetores. A soma dos dois vetores será representada, então, pela diagonal desse paralelogramo. Os vetores no lado esquerdo e abaio recebem os nomes u, v e s, uma notação comum quando nos referimos a vetores. Outra forma de eecutar graficamente a soma de vetores é colocando um em seguida do outro, como na figura à direita e abaio. A resultante parte da origem do primeiro até a etremidade do segundo. u v u u v v s s Já o produto por um escalar não altera a direção de um vetor, mas somente modifica o seu comprimento e, caso o produto seja por um número negativo, também o seu sentido (como mostrado no eemplo 3). Observação: utilizando o produto por um escalar e a soma, podemos, inclusive, gerar todos os elementos do R a partir de somente dois elementos desse conjunto, como, por eemplo, os elementos (,0) e (0,). Isto se faz escrevendo (a,a ) = a (,0) + a (0,). Os conjunto desses dois elementos que geram todos os outros é chamado de base do espaço R e é melhor estudado em cursos de Álgebra Linear. e) Aplicação Uma aplicação de pares ordenados (elementos do R ) em Economia é a compilação de dados e a sua representação em um plano cartesiano. O conjunto de pares ordenados a seguir mostra o índice Dow Jones, que mede o desempenho da Bolsa de Valores de Nova Yorque, e o Ibovespa, que mede o desempenho da Bolsa de Valores de São Paulo, para o mês de setembro de 008. O primeiro elemento de cada par ordenado corresponde ao índice Dow Jones e o segundo elemento, ao índice Bovespa: (56, 54404), (53, 5357), (88, 5408), (0, 5939), (50, 5077), (30, 48435), (68, 49633), (433, 570), (4, 539), (097, 4846), (059, 498), (0609, 45908), (09, 484), (388, 53055), (05, 5540), (0854, 49593), (085, 4984), (0, 588), (43, 5078), (0365, 4608), (0850, 4954). Colocados em um plano cartesiano, como mostrado a seguir (primeiro gráfico à esquerda), esses pares ordenados revelam uma relação entre os dois índices, o que fica mais claro quando colocamos, um próimo ao outro, os gráficos dos dois índices com relação ao tempo, somente nos dias em que houve negociações (dois últimos gráficos, abaio e à direita). Dow Jones Ibovespa Dia Dow Jones Ibovespa Dia

6 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 6 Eistem ainda meios mais compleos de se aplicar o espaço R a dados econômicos ou financeiros. Algums desses serão vistos nos próimos dois capítulos. A Leitura Complementar..4 mostra como descrever pontos em um plano cartesiano em termos de coordenadas polares. Resumo Espaço R. O espaço R é o conjunto de pares ordenados (,) tais que, R (o conjunto dos números reais), ou seja: R = {(,), R}. Representação geométrica. Um elemento do R, ou seja, um par ordenado (a,b), pode ser representado graficamente como o ponto de ordenada a e abscissa b em um sistema de coordenadas cartesiano, como na figura abaio. b (a, b) a Soma. Dados dois elementos (a,a ) e (b,b ) de R, então a soma deles é definida como (a,a ) + (b,b ) = (a + b,a + b ). Propriedades da soma. Dados os elementos (a,a ),(b,b ),(c,c ) R : S) (a,a ) + (b,b ) R (o conjunto R é fechado quanto à soma); S) (a,a ) + (b,b ) = (b,b ) + (a,a ) (comutativa); S3) [(a,a ) + (b,b )] + (c,c ) = (a,a ) + [(b,b ) + (c,c )] (associativa); S4) (0,0) R tal que (a,a ) + (0,0) = (a,a ) (eistência do elemento neutro). Produto por um escalar. Dado um elemento (a,a ) R e um elemento α R, definimos o produto desse elemento pelo escalar α como α(a,a ) = (αa,αa ). Propriedades do produto por um escalar. Dados dois elementos (a,a ),(b,b ) R e os elementos α,β R: P) α(a,a ) R (o conjunto R é fechado quanto ao produto por um escalar); P) α[β(a,a )] = (αβ)(a,a ) (associativa); P3) para o elemento R, (a,a ) = (a,a ) (eistência do elemento neutro). Propriedades mistas. Dados elementos (a,a ),(b,b ) R e os elementos α,β R: M) α [(a,a ) + (b,b )] = α(a,a )+α(b,b ) (distributiva da soma com relação ao produto por um escalar); M) (α + β)(a,a ) = α(a,a ) + β(a,a ) (distributiva do produto por um escalar com relação à soma). Representação vetorial. Um elemento (a,b) do R pode ser representado por meio de um vetor, onde a representação do vetor é uma seta que parte da origem e que termina nas coordenadas do elemento do R. b a

7 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 7 Leitura Complementar.. - Números reais Como foi dito no teto principal, os números reais pertencem à família dos corpos, mais particularmente, ele é um corpo ordenado completo. Nesta leitura complementar, eplicaremos o que isto significa, fornecendo com isto uma visão mais aprofundada da definição desse conjunto numérico. a) Corpo Um corpo é basicamente um conjunto cujos elementos se comportam aproimadamente como os números reais. Para definir um corpo, precisamos de uma operação de soma e uma operação de multiplicação, de modo que um corpo é um conjunto munido dessas duas operações. Por isso, frequentemente designamos um corpo pelo símbolo (K, +, ). No entanto, é comum designarmos um corpo simplesmente por K. Por eemplo, podemos designar o corpo dos reais como (R,+, ), só que é mais frequente chamá-lo simplesmente R. As operações de soma e produto são definidas de modo que, se a e b pertencem ao conjunto K, então a + b e a b também têm que pertencer ao conjunto K. A definição completa é feita a seguir. Definição - Um conjunto K munido de operações de soma e multiplicação, {K, +, }, é um corpo se tiver as seguintes propriedades. Propriedades da soma: para quaisquer elementos α, β e γ desse corpo, temos S) α + β K (o conjunto K é fechado quanto à soma); S) α + β = β + α (comutativa); S3) (α + β) + γ = α + (β + γ) (associativa); S4) 0 K tal que α + 0 = α (eistência do elemento neutro); S5) para qualquer α K, eiste um α K tal que ( α) + α = 0 (eistência de elementos inversos). Propriedades do produto: para quaisquer elementos α, β e γ desse corpo, temos P) α β K (o conjunto K é fechado quanto ao produto); P) α β = β α (comutativa); P3) α (β γ) = (α β) γ (associativa); P4) K tal que α = α (eistência do elemento neutro); P5) para qualquer α K, α 0, eiste um α K tal que α = (eistência de elementos inversos). α Propriedade mista: para quaisquer elementos α, β e γ desse corpo, temos M) α (β + γ) = α β + α γ (distributiva da soma com relação ao produto). Como ilustração, vamos tentar montar um corpo com o menor número de elementos possível. Como um corpo tem que ter os números 0 e, podemos começar considerando o conjunto {0,}, formado somente por esses dois números. Este conjunto não é um corpo, pois não eiste nele a inversa por adição (o número não faz parte desse conjunto). Adicionando, temos {,0,}, que também não é um corpo, pois, por eemplo, + =, que não faz parte do conjunto. Seguindo esse raciocínio, podemos ver que um corpo não pode ser definido para um número finito de elementos caso sejam utilizadas as operações usuais de soma e multiplicação (no entanto, isto pode mudar caso alteremos essas duas operações). Também de acordo com essa definição, o conjunto dos números naturais, N = {0,,, }, munido da soma e multiplicação usuais, não é um corpo, pois não possui as propriedades S5 e P5. O número, por eemplo, pertence aos naturais, mas sua inversa quanto à soma,, ou sua inversa por multiplicação, /, não pertencem a esse conjunto. De forma semelhante, o conjunto dos números inteiros, Z = {,,,0,,, }, munido da soma e

8 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 8 multiplicação usuais, também não é um corpo, pois não possui a propriedade P5: o número pertence a Z e também o seu inverso quanto à soma pertence a Z, mas não seu inverso quanto à multiplicação, /. Já o conjunto dos números racionais é um corpo, pois possui todas as propriedades de soma e de produto necessárias. Outros eemplos de corpos são o conjunto dos números reais, R, e o conjunto dos números compleos, C, munidos de suas operações soma e produto usuais. O conjunto dos números irracionais não pode ser um corpo, pois =, sendo que pertence a esse conjunto mas não pertence aos irracionais. De modo semelhante, o conjunto dos números imaginários puros (não confundir com o conjunto dos números compleos) não é um corpo, pois o número i = pertence a esse grupo, mas o produto i i =, não. Chamaremos rotineiramente os elementos de um corpo de escalares. b) Corpo ordenado O conjunto dos reais, munido da soma e do produto usuais, além de ser um corpo apresenta ainda outras prorpiedades, como a de ser ordenado, o que significa que podemos estabelecer uma relação de ordem entre seus elementos (por eemplo, 0 é maior que 8). Para podermos definir um corpo ordenado, precisamos primeiro definir de forma mais rigorosa o que significa uma relação de ordem. Definição - Dada um conjunto K, então uma relação entre dois elementos de K é uma relação de ordem parcial se, para quaisquer α, β, γ K tivermos: O) α α (refleiva); O) se α β e β α, então α = β (anti-simétrica); O3) se α β e β γ, então α γ (transitiva). A relação de ordem necessária para definir um corpo ordenado tem que ter mais algumas propriedades, o que a caracteriza como uma relação de ordem total, definida a seguir. Definição 3 - Dada um conjunto K, então uma relação de ordem parcial entre dois elementos de K, essa é uma relação de ordem total se, para quaisquer α,β K tivermos: O4) α β ou β α (o ou utilizado é o inclusivo). A definição de um corpo ordenado é dada a seguir. Definição 4 - Um corpo {K,+, } é um corpo ordenado se eistir uma relação de ordem total α β entre dois elementos de K tais que: S) α β α + γ β + γ se γ K (compatível com a soma); S) se 0 α e 0 β, então 0 α β (compatível com o produto). De acordo com esta definição, o corpo dos números compleos, C, não é um corpo ordenado (qual é maior, + i ou i?). Já os corpos Q e R são corpos ordenados. Corposo ordenados apresentam ainda outras propriedades decorrentes destas. c) Limitante superior, supremo e máimo Para podermos continuar o nosso estudo sobre números reais, é necessário agora definir outros conceitos, o que é feito a seguir. Definição 5 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relação de ordem e um subconjunto A não-vazio de K, então L K é um limitante superior de A se, para todo A, então L.

9 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 9 Eemplo : considere um subconjunto de R (um intervalo) dado por [, ] = { R }. Um limitante superior dele é qualquer elemento de L R tal que L. Eemplo : considere um subconjunto de R dado pelo intervalo aberto ], [= { R < < }. Um limitante superior dele é qualquer elemento de L R tal que L. Definição 6 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relação de ordem e um subconjunto A não-vazio de K, então L K é um supremo de A se ele for o menor limitante superior de A. Eemplo 3: dado o intervalo [,] R, o seu supremo é o número. Eemplo 4: dado o intervalo ], [ R, o seu supremo é o número. Definição 7 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relação de ordem e um subconjunto A não-vazio de K, então L K é um máimo de A se ele for um limitante superior de A e L A. Eemplo 5: dado o intervalo [,] R, é o seu máimo. Eemplo 6: o intervalo ], [ R não tem máimo. De modo semelhante, podemos definir os conceitos análogos de limitante inferior, ínfimo e mínimo, o que é feito nas definições a seguir. Definição 8 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relação de ordem e um subconjunto A não-vazio de K, então l K é um limitante inferior de A se, para todo A, então l. Definição 9 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relação de ordem e um subconjunto A não-vazio de K, então l K é um ínfimo de A se ele for o maior limitante inferior de A. Definição 0 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relação de ordem e um subconjunto A não-vazio de K, então l K é um mínimo de A se ele for um limitante inferior de A e l A. d) Corpo ordenado completo Como já vimos, tanto o corpo dos números racionais Q quanto o corpo dos números reais R são corpos ordenados. Para diferenciá-los, precisamos definir uma outra classe de corpos ordenados, que será definida a seguir.

10 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 0 Definição - Um corpo ordenado K é um corpo ordenado completo se ele satisfizer o chamado aioma do supremo, que diz que todo subconjunto A K não-vazio e limitado superiormente admite um supremo. Eemplo : o conjunto dos números racionais munido da soma e do produto usuais, não é um corpo ordenado completo. Para mostrar isto, basta um contra-eemplo: consideremos o subconjunto de Q dado por A = { Q }. Tal subconjunto é limitado superiormente (por eemplo, pelo número Q), mas não possui supremo, pois ele seria dado pelo número irracional. Na verdade, o conceito de corpo ordenado completo limita bastante o tipo de conjunto que satisfaz as condições dessa definição. Nós assumiremos que eiste um corpo ordenado completo e que esse corpo é dado pelo conjunto dos números reais munido das operações de soma e de produto e da relação de ordem total. e) Postulado de Cantor-Dedekind Seguem agora três teoremas importantes na determinação de uma propriedade interessante dos números reais e que é relacionada ao conceito de limite. Começamos mostrando que o conjunto dos números naturais, N, não é limitado superiormente mas é limitado inferiormente pelo número 0. Teorema - O conjunto N dos números naturais não é limitado superiormente. Demonstração: vamos provar esse teorema por absurdo. Vamos supor que N seja limitado superiormente. Isto implica que eiste um ponto c = sup N. Sendo assim, c é a menor das cotas superiores de N, de modo que c não pode ser cota superior desse conjunto. Se este for o caso, eiste um n N tal que c < n c < n +, de modo que c não pode ser cota superior de N. Isto é uma contradição que mostra que a hipótese está errada e que N não pode ser limitado superiormente. Teorema - O ínfimo do conjunto X = { n ; n N} é igual a 0. Demonstração: temos que provar que 0 é a maior das cotas inferiores de X. Levando em conta que 3 4 X = {,,,, }, 0 é uma cota inferior desse conjunto. Resta provar que ele é a maior das cotas inferiores. Tomando um c > 0, vamos mostrar que ele não pode ser cota inferior de X. Se o fosse, isto implicaria que c < n para qualquer n N. No entanto, c < n c > n para todo n N. Isto contradiz o teorema 7, que diz que o conjunto N não é limitado superiormente. Portanto, 0 é a maior das cotas inferiores de X e, portanto, é o seu ínfimo. O teorema a seguir auilia na demonstração do teorema 4, dos intervalos encaiantes. Teorema 3 - Dados dois números a,b R +, onde R + = { R 0}, eiste um n N tal que n a > b. Demonstração: se N não é limitado, então sempre podemos obter um n N tal que n > b a a > 0. Isto prova o teorema. n a > b, pois Consideremos agora a reta dos reais. Nessa reta, escolhemos alguns números a,a,,a n, e outros números b,b,,b n, de modo que a a a 3 b 3 b b.

11 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 [ [ [ [ ] ] ] ] a a a n a n b n b n b b Podemos construir com esses números os seguintes intervalos: I = [a,b ], I = [a,b ],, I n = [a n,b n ] e assim por diante, sendo cada intervalo menor que o outro. Se prosseguimos indefinidamente, a intuição nos diz que acabaremos chegando a um intervalo de comprimento zero que se reduz a um único número real. Na verdade, podemos usar esses intervalos encaiantes para definir um número real qualquer. Por eemplo, podemos dizer que o número é o limite dos intervalos encaiantes I = [,], I = [,4,,5], I 3 = [,4,,4], I 4 = [,44,,45],. De modo semelhante, o número 0 pode ser definido como o limite infinito dos intervalos encaiantes [ I = [,], I =, ] [, I 3 = 3, ] [, I 4 = 3 4, ],. 4 O teorema a seguir estabelece essa idéia intuitiva de forma rigorosa. Teorema 4 - Dada uma seqüência I = [a,b ], I = [a,b ],, I n = [a n,b n ],, tal que I I I 3 I n, então eiste pelo menos um número c tal que c I n para todo n N. Demonstração: o fato de um intervalo conter o outro significa que a a a 3 b 3 b b. Sendo assim, o conjunto A = {a, a,, a n, } é limitado superiormente. Vamos chamar de c o supremo de A (c = sup A), de modo que a n c para todo n N. Como qualquer b n é cota superior de A, então c b n para todo n N. Portanto, a n c b n para todo n N, de modo que c I n para todo n N, o que prova o teorema. O modo como os intervalos encaiantes foram montados indica que o intervalo I n aproima-se cada vez mais de zero conforme n tende a infinito, ou seja, quando n vai para o infinito, a n = b n. Isto nos leva a intuir que, quando n vai para o infinito, haverá um único número c [a,b] tal que a n = c quando n vai para o infinito e b n = c quando n vai para o infinito. No entanto, esta afirmação não pode ser provada, porque ela não é necessariamente verdadeira, e é dada como um postulado (uma regra que se aceita sem provas) para o conjunto dos números reais. Portanto, para números reais, vale que a n = b n = c quando n vai para o infinito. Postulado de Cantor-Dedekind - Dada uma seqüência de intervalos encaiantes I n I, onde I n = [a n,b n ] tais que a n = b n quando n vai para o infinito, então eiste somente um ponto c tal que c I n para todo n N. Note que o que foi provado pelo teorema 4 é que haveria pelo menos um ponto c tal que c I n para todo n N. É outra coisa afirmar que só eiste um ponto com tal propriedade. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (845-98): grande matemático russo. Nasceu em São Petersburgo, Rússia, e mudou-se com sua família para a Alemanha quando tinha anos de idade. Lá estudou filosofia, física e matemática. Aos 7 anos interessou-se pela idéia de infinito. Trabalhou com conjuntos infinitos e criou a teoria dos conjuntos. Em seus estudos, criou uma hierarquia para os vários tipos de infinito e foi o primeiro a introduzir a idéia de números transfinitos.

12 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 Julius Wilhelm Richard Dedekind (83-96): Richard Dedekind nasceu na cidade de Bruswick, na época parte do condado de Braunschweig, na atual Alemanha. Seus primeiros interesses foram as ciências naturais, mas ele logo se decepcionou com a falta que elas tinham de uma estrutura lógica adequada. Sua atenção voltou-se, então à matemática. Estudou com grandes nomes na Universidade de Göttingen e acabou por ensinar no mesmo colégio em que seu pai havia sido professor, em sua cidade natal, onde residiu com uma irmã, sendo ambos solteiros, até a sua morte. Quando ensinava Cálculo Diferencial e Integral, sentiu que não havia uma definição rigorosa do que é um número real e inventou o chamado corte de Dedekind, pelo qual definia rigorosamente números racionais e números irracionais. Dedekind também fez muitas contribuições a diversas outras áreas da matemática e a clareza de suas demonstrações influenciou gerações de matemáticos.

13 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 3 Leitura Complementar.. - Espaços vetoriais Um espaço vetorial é um conjunto V munido de uma operação de soma e de uma operação de produto por um escalar, onde o escalar é um elemento pertencente a um determinado corpo K. Por isso, dizemos que o espaço vetorial é um conjunto V sobre um corpo K. Para que V seja um espaço vetorial, é preciso que, se u e v pertencerem a V, então u + v e αu também pertençam a V, onde α K. Uma definição mais completa de um espaço vetorial é dada a seguir. Definição - Um conjunto V sobre um corpo K é um espaço vetorial munido de operações de soma e produto por um escalar se ele tiver as seguintes propriedades. Propriedades da soma: para quaisquer elementos u, v e w pertencentes a V, temos S) u + v V (o conjunto V é fechado quanto à soma); S) u + v = v + u (comutativa); S3) (u + v) + w = u + (v + w) (associativa); S4) 0 V tal que v + 0 = v (eistência do elemento neutro); S5) para qualquer v V, eiste um v V tal que ( v) + v = 0 (eistência de elementos inversos). Propriedades do produto por um escalar: para quaisquer elementos u e v pertencentes a V e α K, temos P) αu V (o conjunto V é fechado quanto ao produto por um escalar); P) α(βv) = (αβ)v (associativa); P3) para o elemento K, u = u (eistência do elemento neutro). Propriedades mistas: para quaisquer elementos u e v pertencentes a V e α K, temos M) α(u + v) = αu + αv (distributiva da soma com relação ao produto por um escalar); M) (α + β)v = αv + βv (distributiva do produto por um escalar com relação à soma). As propriedades da soma são internas ao conjunto V. Já as operações envolvendo o produto por um escalar são eternas a V, pois envolvem também o corpo K dos escalares. Vamos parar por aqui e eplorar melhor esta definição no próimo capítulo. Os elementos de um espaço vetorial, em analogia com o espaço dos vetores, são chamados de vetores. De acordo com a definição, um espaço vetorial tem que ter um vetor nulo, que é o elemento neutro quanto à soma, e que representaremos por 0. Já o elemento neutro quanto ao produto entre vetores não é necessário à construção de um espaço vetorial. Tentemos montar o menor espaço vetorial possível considerando o conjunto cujo único elemento é o vetor 0: {0}. Apesar desse conjunto não ser um corpo, ele é um espaço vetorial definido sobre R, pois = 0, que pertence a {0}, e α 0 = 0 pertence a {0} para qualquer α R. Além disso, o elemento único desse conjunto apresenta todas as propriedades de um espaço vetorial, como é mostrado a seguir. Eemplo : verifique se o conjunto {0} sobre o corpo R, onde a operação de soma é definida por = 0 e o produto por um elemento de R (produto por um escalar) é dado por α 0 = 0 é um espaço vetorial. Solução: para que {0} sobre R seja um espaço vetorial, temos que mostar que esse conjunto satisfaz todas as propriedades necessárias. Propriedades da soma: para todo elemento 0 {0}, temos S) = 0 {0} (fechado quanto à soma); S) = (comutativa); S3) 0 + (0 + 0) = = (0 + 0) + 0 (associativa);

14 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 4 S4) eiste 0 {0} tal que = 0 (elemento neutro); S5) para todo 0 {0} eiste um 0 = 0 {0} tal que = 0 (elemento inverso). Propriedades do produto: para 0 {0} e para qualquer elemento α R, temos P) α 0 = 0 {0} (fechado quanto ao produto por um escalar); P) α(β 0) = α 0 = 0 = β 0 = β(α 0) (associativa); P3) para R, 0 = 0 (elemento neutro). Propriedades mistas: para 0 {0} e para quaisquer α, β R, temos M) α(0 + 0) = α 0 = 0 = = α 0 + α 0 (distributiva da soma com relação ao produto por um escalar); M) (α + β)0 = 0 = = α 0 + β 0 (distributiva do produto por um escalar com relação à soma). Portanto, {0} sobre R é um espaço vetorial. Podemos, agora, considerar o conjunto {0, } com as operações-padrão de soma e produto por um escalar e verificar se ele é um espaço vetorial. Isto não é verdade, pois + = {0,}. Do mesmo modo, o conjunto {,0,} também não é um espaço vetorial. O conjunto N = {0,,, } dos números naturais não é um espaço vetorial, pois não tem um elemento inverso quanto à soma para todos os seus elementos. Já o conjunto Z = {,,, 0,,, } dos números inteiros, que tem um elemento inverso quanto à soma para qualquer um de seus elementos, não é um espaço vetorial se ele for definido sobre o corpo R dos reais, pois, por eemplo,, onde R e Z, não pertence a Z, de modo que ele não é fechado com relação ao produto escalar. Mesmo que o produto escalar seja definido sobre o corpo Q dos números racionais, o conjunto Z não será fechado quanto ao produto por um escalar. Como Z não é um corpo, não podemos definir Z sobre Z. Já o conjunto Q, quando definido sobre ele mesmo como corpo, é um espaço vetorial, pois ele satisfaz todas as propriedades necessárias para tal. Isto pode ser visto analisando as propriedades de um corpo. Da mesma forma, o conjunto R sobre R também é um espaço vetorial. Também podemos dizer que R é um espaço vetorial quando definido sobre o corpo R, o que é demonstrado a seguir. Eemplo : verifique se o conjunto dos pares ordenados, R = {(, ), R}, sobre o corpo R, é um espaço vetorial, onde a operação de soma é definida por (a,a )+(b,b ) = (a +b,a +b ) e o produto por um elemento de R (produto por um escalar) é dado por α(a,a ) = (αa,αa ). Solução: para que R sobre R seja um espaço vetorial, temos que mostrar que esse conjunto satisfaz todas as propriedades necessárias. Propriedades da soma: para quaisquer elementos a, b, c R, temos S) a + b = (a, a ) + (b, b ) = (a + b, a + b ) R (fechado quanto à soma); S) a + b = (a, a ) + (b, b ) = (a + b, a + b ) = (b + a, b + a ) = (b, b ) + (a, a ) = b + a (comutativa); S3) a + (b + c) = (a, a ) + [(b, b ) + (c, c )] = (a, a ) + (b + c, b + c ) = (a + b + c, a + b + c ) = = (a + b, a + b ) + (c, c ) = [(a, a ) + (b, c )] + (c, c ) = (a + b) + c (associativa); S4) eiste o par ordenado 0 = (0, 0) tal que, para qualquer a R, 0 + a = a (elemento neutro); S5) para todo a = (a, a ) eiste um a = ( a, a ) tal que ( a) + a = ( a + a, a + a ) = (0, 0) = 0 (elemento inverso). Propriedades do produto: para quaisquer elementos a, b R e para quaisquer elementos α, β R, temos P) αa = α(a, a ) = (αa, αa ) R (fechado quanto ao produto por um escalar); P) α(βa) = α(βa, βa ) = (αβa, αβa ) = (αβ)(a, a ) = (αβ)a (associativa) ; P3) para o número R, a = (a, a ) = (a, a ) = a (elemento neutro). Propriedades mistas: para quaisquer a, b R e α, β R, temos M) α(a + b) = α(a + b, a + b ) = (α(a + b ), α(a + b )) = (αa + αb, αa + αb ) = (αa, αa ) + (αb, αb ) = = αa + αb (distributiva da soma com relação ao produto escalar); M) (α +β)a = ((α + β)a, (α + β)a ) = (αa +βa, αa +βa ) = (αa, αa )+(βa, βa ) = αa+βa (distributiva do produto escalar com relação à soma). Portanto, R sobre R é um espaço vetorial.

15 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 5 Leitura Complementar..3 - Vetores Esta leitura complementar tem o propósito de dar uma definição mais geométrica e formal de um vetor. Primeiro, é importante perceber que algumas medidas podem ser determinadas completamente por um número (também chamado de escalar), como por eemplo a quantidade de dinheiro em uma conta corrente ou o número de pessoas em uma quadra de esportes, ou a massa de um corpo. Outras medidas necessitam de mais do que isso, como por eemplo a velocidade de um automóvel e a força eercida sobre um bloco. Ambas não são bem definidas a não ser que se indique a sua intensidade (um escalar), sua direção e seu sentido. Essas tr es características são próprias de um objeto que chamamos de vetor. Para dar uma ideia mais rigorosa do que são tais objetos, temos, primeiro, que fazer algumas outras definições. a) Reta orientada e segmento orientado Uma reta orientada, ou eio é uma reta em que se adota um sentido. Devemos lembar que uma reta é, por definição, infinita. Um segmento orientado é um pedaço de uma reta orientada, definido por dois pontos, A e B, sendo A a origem e B a etremidade do segmento orientado. Tal segmento orientado é designado AB. Um segmento orientado AB é um pedaço de reta que está preso entre os pontos A e B e não pode ser movido para outro lugar no espaço. Esta é uma característica que terá que ser removida na definição de vetores. A B Estabelecida uma unidade de medida, o módulo (ou medida) de um segmento orientado é o comprimento desse segmento segundo aquela unidade de medida. O módulo de um segmento orientado AB é indicado por AB. A B AB Eemplo : o segmento orientado AB ao lado pode ser medido como tendo módulo AB = 5,08 cm ou AB =, dependendo se a unidade adotada é o centímetro ou a polegada. A B Dois segmentos orientados AB e CD têm o mesmo módulo se AB = CD. Eemplo : o segmento orientado AB tem módulo AB = 3 cm e o segmento orientado CD tem o mesmo módulo, CD = 3 cm. A B C D A direção de um segmento orientado é a orientação deste no espaço. Dois segmentos orientados AB e CD têm a mesma direção se as retas sobre as quais eles se baseiam são paralelas. Eemplo 3: os segmentos orientados AB, CD e EF têm a mesma direção. B D E A C F

16 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 6 Eemplo 4: os segmentos orientados MN, OP e QR não têm a mesma direção. N Q M O P R Uma vez estabelecida uma direção, um segmento orientado pode ter dois sentidos. Eemplo 5: os segmentos AB e CD têm o mesmo sentido. B D Eemplo6: os segmentos EF e GH têm sentidos opostos. F G A C E H Eemplo 7: os segmentos IJ e KL não têm a mesma direção. Portanto, não podemos comparar os seus sentidos. J I K L Dois segmentos orientados são equipolentes se eles tiverem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. Dados dois segmentos orientados AB e CD equipolentes, escrevemos AB CD. Eemplo 8: AB CD. B D Eemplo9: EF GH, pois estes não têm o mesmo módulo. F H A C E G Eemplo 0: IJ KL, pois estes não têm o mesmo sentido. J K Eemplo: M N OP, pois estes não têm a mesma direção. N I L M P O b) Vetores Um segmento orientado está preso a um determinado local do espaço. Para que possamos definir conceitos como a soma, precisamos de objetos que não estejam fiados. A definição a seguir, baseada em segmentos de reta orientados, consegue fazer isto definindo um novo objeto: o vetor.

17 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 7 Dado um segmento orientado AB, o vetor AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB, isto é, AB = {XY XY AB}. Portanto, um vetor é um conjunto de infinitos segmentos orientados, todos com mesmo módulo, direção e sentido. Esses segmentos orientados encontramse espalhados por todo o espaço. Vetores não devem ser confundidos com segmentos orientados, que ocupam um lugar específico no espaço. Um vetor AB pode ser representado por qualquer elemento AB AB (lembre-se que um vetor é um conjunto). Desta forma, dado qualquer ponto do espaço, podemos representar um vetor escolhendo um segmento orientado pertencente a ele que tenha sua origem naquele ponto. Esta liberdade de escolha de representação é o que possibilita a imensa variedade de operações e aplicações dos vetores, como veremos em breve. O módulo de um vetor, designado AB, é o módulo de qualquer um de seus segmentos orientados. De modo semelhante, a direção e o sentido de um vetor são a direção e o sentido de qualquer um de seus segmentos orientados. Vetores no plano podem ser representados como setas partindo da origem em um gráfico de eios cartesianos, como mostrado no teto principal deste capítulo. Com isto, terminamos nossa definição de vetores. A B

18 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 8 Leitura Complementar..4 - Coordenadas polares Uma forma de determinar um ponto no plano é por meio de um par ordenado ( 0, 0 ), onde 0 é a coordenada do ponto sobre o eio e 0 é a coordenada do ponto no eio, sendo que ambos os eios fazem um ângulo de 90 o entre eles (primeira figura a seguir). Este é o chamado sistema de coordenadas cartesianas. No entanto, há outras formas de determinar a posição de um ponto no plano. Uma delas, muito utilizada pela astronomia e pelos militares, são as coordenadas polares. Nesse tipo de coordenadas, um ponto no plano é determinado por duas coordenadas (segunda figura a seguir): a primeira é o raio, que é a distância desse ponto à origem; a segunda é o seu ângulo com relação ao eio. Portanto, a posição de um ponto em um sistema de coordenadas polares também é dada por um par ordenado (r,θ), onde r é o raio e θ é o ângulo. 0 r 0 θ Eemplo : posicione em um gráfico o ponto de coordenadas polares (r,θ) = (,30 o ). Solução: Eemplo : posicione em um gráfico o ponto de coordenadas polares (r,θ) = (,35 o ). Solução: 30 o 35 o Usando um pouco de trigonometria, podemos estabelecer uma relação entre o sistema de coordenadas cartesiano e o sistema de coordenadas polares. Considerando a primeira figura a seguir, que representa graficamente a posição de um ponto de coordenadas cartesianas (, ) e de coordenadas polares (r, θ), observa-se que podemos etrair dela um triângulo retângulo de lados e e de hipotenusa r (segunda figura a seguir). r r θ θ Usando a definição do cosseno do ângulo θ, temos cos θ = r r cos θ = = r cos θ. Portanto, conhecendo θ e v, podemos calcular. De forma semelhante, usando a definição do seno do ângulo

19 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 9 θ, temos sen θ = r r sen θ = = r sen θ. Assim, pudemos calcular as componentes do vetor sabendo o seu módulo e o seu ângulo de inclinação. A seguir, mostramos alguns eemplos de cálculo desse tipo. Eemplo : escreva o ponto de coordenadas polares (3,60 o ) em termos de coordenadas cartesianas. Solução: = r cosθ = 3 cos60 o = 3 = ; = r senθ = 3 sen60o = 3 = 3 3. Eemplo : escreva o ponto de coordenadas polares (, 45 o ) em termos de coordenadas cartesianas. Solução: = r cosθ = cos( 45 o ) = = ; = r sen θ = sen( 45 o ) = =. O caminho inverso pode ser feito escrevendo pontos com coordenadas cartesianas em termos de coordenadas polares. Começamos escrevendo + = r cos θ + r sen θ = r (cos θ + sen θ). Usando a identidade trigonométrica cos θ + sen θ =, ficamos com + = r r = +, pois r só pode ser positivo. Dividindo as epressões = r cos θ e = r sen θ uma pela outra, obtemos = r sen θ r cos θ = sen θ cos θ = tg θ. Podemos isolar o ângulo θ utilizando a função inversa da tangente, a função arcotangente: θ = arctg. Eemplo 3: escreva o ponto de coordenadas cartesianas (, ) em termos de coordenadas polares. Solução: r = + = + = ; θ = arctg ( ) = arctg = arctg ( ) = 45 o. Eemplo 4: escreva o ponto de coordenadas cartesianas (,4) em termos de coordenadas polares. Solução: r = + = = 0 = 5 = 5 ; θ = arctg ( ) 4 = arctg = arctg 63 o.

20 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 0 Eercícios - Capítulo. Nível Espaço R Eemplo : represente o elemento (, ) do R em no plano cartesiano. Solução: 0 E) Represente os seguintes elementos do R no plano cartesiano. a) (,3). b) (,). c) (,0). d) (, ). Eemplo : represente vetorialmente o elemento (, ) do R no plano cartesiano. Solução: 0 E) Represente vetorialmente os elementos do R do eercício E no plano cartesiano. Eemplo 3: determine o elemento do R representado vetorialmente abaio. 0 Solução: (3, ). 3 E3) Escreva os elementos do R representados vetorialmente abaio. a) b) c)

21 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 Soma Eemplo 4: faça a soma dos elementos (,) e (3,5) do R. Solução: (, ) + (3, 5) = ( + 3, + 5) = (, 7). E4) Calcule as seguintes somas de elementos do R. a) (,4) + (3,). b) (,6) + (4,6). c) (,4) + (, 4). Produto por um escalar Eemplo 5: faça o produto do elemento ( 3,4) do R pelo número real 3. Solução: 3( 3, 4) = (3 ( 3), 3 4) = ( 9, ). E5) Calcule as produtos dos elementos do R dados pelos escalares dados. a) (,3) R por R. b) (,4) R por 3 R. c) (,6) R por 3 R. Eemplo 6: dados os elementos ( 3,4) e (, ) do R, calcule 3( 3,4) (, ). Solução: 3( 3, 4) (, ) = ( 9, ) (4, ) = ( 3, 4). E6) Efetue as seguintes operações: a) 3(,) + 4(,3). b) (3,5) + 4(0,6). c) (,3) + 4(,5) (3,). Nível E) Encontre os valores de α e β tais que α(, ) + β(3, ) = (, ). E) (Leitura Complementar..4) Um elemento do R é dado, em coordenadas polares, por (r,θ) = (4,30 o ). Calcule esse elemento em coordenadas cartesianas. E3) (Leitura Complementar..4) Um elemento do R é dado, em coordenadas cartesianas, por (,) = (4,4). Calcule esse elemento em coordenadas polares. Nível 3 E) Dado o triângulo ABC abaio, onde M é o ponto médio do lado AC e N é o ponto médio do lado BC, prove que MN é paralelo a AB e que o seu comprimento é metade do comprimento de AB. Use, para isso, a notação vetorial de um ponto no plano cartesiano. C M N A B

22 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 E) Dado o triângulo ABC abaio, onde M é o ponto médio do lado AB, mostre que o comprimento da reta AM é igual à metade da soma dos comprimentos dos lados CA e CB. Use, para isso, a notação vetorial de um ponto no plano cartesiano. A M C B E3) Prove que as diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio. Use, para isso, a notação vetorial de um ponto no plano cartesiano. E4) (Leitura Complementar..) Verifique se os seguintes conjuntos, onde são definidas as operações de soma e de multiplicação, são corpos: a) {,0,}. b) conjunto N dos números naturais. c) conjunto Z dos números inteiros. d) conjunto Q dos números racionais. E5) (Leitura Complementar..) Verifique se os seguintes conjuntos, onde são definidas as operações de soma e de produto por um escalar (onde o escalar pertence ao conjunto dos números reais), são espaços vetoriais: a) {0,}. b) conjunto de todos os polinômios de grau n: p n () = {a 0 +a +a + +a n n a 0,a,a,,a n R}. a a n c) conjunto de todas as matrizes m n: M m n =.. a,,a mn R. a m a mn d) conjunto Q dos números racionais. E6) (Leitura Complementar..) Verifique se os seguintes conjuntos, com as operações de soma e multiplicação por um escalar dadas, são espaços vetoriais. a) Conjunto R com a soma + = + k, k R, e o produto por um escalar usual, α = α. b) Conjunto R com a soma + = e o produto por um escalar α = α. c) Conjunto R com a soma (, ) + (, ) = ( + k, + k ), onde k R, e o produto por um escalar usual, α(, ) = (α,α ). d) Conjunto R com a soma usual, (, )+(, ) = ( +, + ), e o produto por um escalar α(, ) = = (α,0). e) Conjunto R com a soma (, )+(, ) = ( +, + ) e o produto por um escalar usual, α(, ) = = (α,α ). Respostas Nível E) a) 3 0 b) 0 c) 0, d) 0

23 Cálculo - Capítulo. - O espaço R - versão 0/009 3 E) a) 3 0 b) 0 c) 0, d) 0 E3) a) (, ). b) (3, ). c) (, ). E4) a) (4, 6). b) (3, ). c) (0, 0). E5) a) (, 6). b) (6, ). c) ( 3, 6 3 ). E6) a) (5, 8). b) ( 3, 9). c) (, ). Nível E) α = e β =. E) (, ) = ( 3, ). E3) (r, θ) = ( 4, 45 o). Nível 3 E) Em termos vetoriais, temos que mostrar que MN = AB. Utilizando a soma de vetores, sabemos que MN = = MC + CN. Sendo M o ponto médio do lado AC e N o ponto médio do lado BC, então MC = AC e CN = CB. Portanto, MN = AC + CB = ( ) AC + CB = AB. E) Em termos vetoriais, temos que mostrar que CM = ( ) CA + CB. Sabemos que AM = AB. Pela soma de vetores, CM = CA + AM = CA + AB. Como AB = CB BA, então CM = CA + CB CA = CA + CB = = ( CA + CB ). E3) Considere o paralelogramo ABCD abaio. D C A Vamos chamar de M o ponto médio da diagonal AC e de N o ponto médio da diagonal BD. Portanto, AM = AC e BN = BD. Sabemos, também, que AN = AB + BD = ( ) ( ) AB + BA + AD = AB AB + AD = = ( ) AB + AD = ( ) AB + BC = AC = AM. Sendo assim, os pontos M e N coinsidem e as diagonais do paralelogramo cortam-se ao meio. E4) a) Não é um corpo. b) Não é um corpo. c) Não é um corpo. d) É um corpo. E5) a) Não é um espaço vetorial. b) é um espaço vetorial. c) é um espaço vetorial. d) É um espaço vetorial. E6) a) Não é um espaço vetorial. b) É um espaço vetorial. c) Não é um espaço vetorial. d) Não é um espaço vetorial. e) Não é um espaço vetorial. B

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