Séries de Tempo. José Fajardo. Setemebro Fundação Getulio Vargas-EBAPE. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

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1 Séries de Tempo José Fajardo Fundação Getulio Vargas-EBAPE Setemebro 2011 José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

2 INTRODUÇÃO O uso de modelos univariados é limitado para expressar relações importantes em negocios. O vetor auto-regressivo permite que se expressem modelos completos e se estimem os parâmetros desse modelo. Os modelos em VAR definem restrições entre as equações do modelo. Estudar essas restrições e usá-las para identificar os parâmetros estruturais do VAR constitui um objetivo fundamental da metodologia. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

3 FORMA ESTRUTURAL Pode-se expressar um modelo auto-regressivo de ordem p por um vetor com n variáveis endógenas, X t, conectadas entre si por meio de uma matriz A: AX t = B 0 + p i=1 B i X t i + Bε t, (1) em que A é uma matriz n n que define as restrições contemporâneas entre as variáveis que constituem o vetor n 1, X t ; B 0 é um vetor de constantes n 1; B i são matrizes n n; B é uma matriz diagonal n n de desvios padrão; ε t é um vetor n 1 de perturbações aleatórias não correlacionadas entre si contemporânea ou temporalmente, isto é: ε t i.i.d. (0; I n ). José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

4 FORMA REDUZIDA A equação (1) expressa as relações entre as variáveis endógenas, a partir de um modelo econômico teoricamente estruturado: forma estrutural. Os choques ε t são os choques estruturais porque afetam individualmente cada uma das variáveis endógenas. Os choques estruturais são considerados independentes entre si. Esse modelo é normalmente estimado em sua forma reduzida: X t = A 1 B 0 + = Φ 0 + em que Φ i A 1 B i, i = 0, 1,..., p Bε t Ae t. p i=1 p i=1 A 1 B i X t i + A 1 Bε t = Φ i X t i + e t, José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

5 EXEMPLO Seja um modelo bivariado de ordem 1: y t = b 10 a 12 z t + b 11 y t 1 + b 12 z t 1 + σ y ε yt ; z t = b 20 a 21 y t + b 21 y t 1 + b 22 z t 1 + σ z ε zt. Não pode ser estimado diretamente, já que as variáveis contemporâneas z t e y t são individualmente correlacionadas com os erros ε yt ou ε zt. O objetivo do VAR é desenvolver técnicas para evitar esse problema, visando-se a encontrar a trajetória da variável de interesse ante um choque estrutural. Hipóteses: a ) y t e z t são ambos estacionários; b ) ε yt RB (0, 1) e ε zt RB (0, 1) ; c ) ε yt ε zt = Cov (ε yt, ε zt ) = 0. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

6 EXEMPLO Em matrizes: [ ][ ] [ ] 1 a12 yt b10 = + a 21 1 z t b 20 } {{ }} {{ } } {{ } A [ b11 b 12 X t [ yt 1 } b 21 b 22 {{ } z t 1 B 1 AX t = B 0 + B 1 X t 1 + Bε t. ] B 0 A forma reduzida desse modelo simplificado é: ] [ ][ ] σy 0 εyt + = 0 σ z ε zt } {{ }} {{ } B ε t X t = Φ 0 + Φ 1 X t 1 + e t ; (2) Φ 0 A 1 B 0 ; Φ 1 A 1 B 1 ; Ae t Bε t. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

7 EXEMPLO Condição de estabilidade: os autovalores de (I Φ 1 L) fora do círculo unitário. Observe que: ] ] Logo: [ e1t e 2t A 1 Bε t = E (e t ) = 0; [ ] σ 2 Cov (e t ) Σ = 1 σ 12 σ 21 σ 2 = 2 [ σy ε yt a 12 σ z ε zt 1 a 12 a 21 σ z ε zt a 21 σ y ε yt 1 a 12 a 21 σ 2 y +a12 2 σ2 z (1 a 12 a 21 ) 2 a 21σ 2 y +a 12 σ 2 z (1 a 12 a 21 ) 2. a 21σ 2 y +a 12 σ 2 z (1 a 12 a 21 ) 2 σ 2 z +a21 2 σ2 y (1 a 12 a 21 ) 2 Os erros não são autocorrelacionados, pois: ) [( ) ( )] σi ε Cov (e it, e i(t j) = it aσ i ε it σi ε i(t j) aσ i ε i(t j) E = 1 a 12 a 21 1 a 12 a 21 i = y, z; j = 0; a = a 12, a 21 ; representam negação. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70.

8 SIMULAÇÃO Figura: VAR (1): séries superiores - eixo à direita: Φ 0 = 0; φ 11 = φ 22 = 0, 6 e φ 12 = φ 21 = 0, 2; séries inferiores: φ 12 = φ 21 = 0, 2. A série pontilhada: z t. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

9 SIMULAÇÃO Figura: VAR (1): séries inferiores - eixo à esquerda: Φ = 0; φ 11 = φ 22 = 0, 7 e φ 12 = φ 21 = 0, 3; séries superiores: φ 10 = 0, 5. A série pontilhada: z t. Note que basta uma das constantes ser diferente de zero para que ambas as séries tenham um drift. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

10 VAR(P) As séries y t e z t movimentam-se conjuntamente, mesmo na presença de raiz unitária. Concentramo-nos na discussão sobre o caso de variáveis estacionárias, porém que Sims (1980) e Sims, Stock e Watson (1990) admitem a mistura de variáveis estacionárias e não estacionárias num modelo VAR. O VAR é uma metodologia interessada nas inter-relações entre as variáveis. Generalização: X t = Φ 0 + p i=1 Φ i X t i + GZ t + e t, em que X t é um vetor n 1 de variáveis endógenas, como anteriormente; G é uma matriz de coeficientes n g; Z t é um vetor g 1 de variáveis exógenas que pode incluir variáveis determinísticas. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

11 VAR(P) Diferentemente dos modelos univariados, o VAR busca responder qual a trajetória da série, dado um choque estrutural. Por trajetória, deseja-se conhecer o tempo que um choque afeta uma série, se ela muda de patamar ou não, para que patamar vai, entre outras informações. O VAR resulta na estimação de uma infinidade de coeficientes. Um VAR (p), por exemplo, com n variáveis endógenas teria n + n 2 p coeficientes a estimar, já que as matrizes Φ i têm dimensão n n e as n primeiras variáveis referem-se à constante, sem contar ainda os coeficientes de possíveis variáveis exógenas. Muitas vezes os coeficientes estimados serão estatisticamente insignificantes, até porque algumas variáveis são normalmente colineares, entretanto deve-se evitar impor restrições sobre os coeficientes, sob pena de perder informações relevantes, a menos que sejam restrições econômicas bem fundamentadas. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

12 IDENTIFICAÇÃO Como selecionar a ordem p de um modelo VAR? Que critérios podem ser utilizados nessa tarefa? Usar tantas defasagens quantas forem necessárias para obter resíduos brancos em todas as variáveis endógenas. Critério de informação: considere um VAR (m), em que m = 0, 1, 2,..., p max. O problema é escolher a ordem p que minimiza a seguinte fórmula geral do critério de informação: Cr (m) = ln Γ 0 + ct ϕ (m), em que Γ 0 = T t=1 ê t ê t T ; c T é uma seqüência que depende do tamanho da amostra; ϕ (m) é uma função que penaliza VAR de grandes ordens. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

13 IDENTIFICAÇÃO O tamanho amostral tem de ser mantido constante para tornar o critério de informação comparável. Logo, o tamanho da amostra, comum a todas as ordens, será T p max. A versão multivariada dos critérios AIC, BIC e HQ é: AIC (m) = ln Γ 0 (m) + 2 T mn2 ; BIC (m) = ln Γ 0 (m) + ln T T mn2 ; ln ln T HQ (m) = ln Γ 0 (m) + T 2mn2, em que mn 2 é o número total de parâmetros estimados em todas as equações. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

14 IDENTIFICAÇÃO Outra maneira de escolher a ordem de defasagem, é aplicar testes seqüenciais para definir a ordem p do modelo VAR. Estabeleça o p max e considere H 0 : Φ pmax = 0 H 1 : Φ pmax = 0. Se o teste não for rejeitado, repete-se o procedimento considerando p max 1. Quando a nula for rejeitada, ter-se-á encontrada a ordem de defasagem do modelo. Problema: estabelecer p max. Se p max é muito pequeno, os resíduos estimados não serão um ruído branco. Contudo, se p max é muito grande, o impacto sobre a probabilidade de erros como um todo poderá ser severamente afetado, de modo que é difícil confiar nos intervalos de confiança gerados. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

15 EXEMPLO Seja Z t = [y t, e t, π t, i t ], em que y t representa o hiato do produto, e t a variação cambial, π t a taxa de inflação e i t a taxa de juros (Selic), todas as variáveis em base mensal. Os critérios de Akaike e Schwarz são: Defasagens Akaike Schwarz 1 22, , , , , , , , , , , , 470 José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

16 EXEMPLO Considere o exemplo de endogeneidade estudado no capítulo sobre GMM. Por conveniência, lembre-se de que o modelo foi simulado da seguinte forma: y t = φy t 1 + ε t ; x t = δy t + ν t, em que ε t e ν t são ambos ruídos brancos independentes. Pode-se reescrever esse modelo na forma matricial: [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1 0 yt φ 0 yt 1 εt = + δ 1 x t 0 0 x t 1 ν t ]. Reescrevendo o modelo na forma reduzida, tem-se: [ ] [ ] [ ] yt φ 0 yt 1 = + δφ 0 x t x t 1 [ eyt e xt ]. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

17 EXEMPLO Ao estimar o modelo, a matriz Φ 1 conterá quatro coeficientes estimados. Espera-se que os coeficientes da coluna 2 sejam insignificantes e que os coeficientes da 1 satisfaçam aproximadamente a seguinte restrição: φ 11,1 = φ; φ 21,1 = δφ, em que δ e φ são valores usados na simulação. No caso da simulação, definiram-se δ = 0, 1 e φ = 0, 8. Estimando-se o VAR (1), obtêm-se: [ yt x t ] = 0, 794 (0,035) 0, 077 (0,032) 0, 097 (0,063) 0, 002 (0,058) φ 11,1 0, 8; [ yt 1 x t 1 φ 21,1 0, 1 0, 8 = 0, 08. ] [ êyt + ê xt ]. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

18 TESTANDO HIPÓTESES Seja Testar hipóteses em modelos multivariados é semelhante ao caso univariado. Diferença: em vez de calcular a soma dos quadrados dos resíduos, calcula-se o determinante da matriz de covariância dos resíduos do modelo restrito e do não restrito. X t = Φ 0 + p i=1 Φ i X t i + GZ t + e t. Definition O modelo anterior é estacionário se os autovalores da polinomial p i=1 Φ il i estiverem dentro do círculo unitário. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

19 TESTANDO HIPÓTESES 1 Estima-se o modelo sem restrição e calcula-se a matriz de covariância dos resíduos, Σ u ; 2 Estima-se o modelo com restrição, excluindo k g variáveis exógenas e/ou m defasagens, e calcula-se Σ r ; 3 Calcula-se a razão ( de verossimilhança ) da seguinte forma: LR = (T c) log Σ r log Σ u χ 2 r, em que T é o número de observações utilizadas na regressão; c = 1 + g + np é o número de parâmetros estimados em cada equação do sistema não restrito, incluindo a constante e as variáveis exógenas ; r = mn 2 + kn é o número de restrições no sistema. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

20 INFERÊNCIA A inferência sobre os coeficientes estimados em modelos multivariados tem algumas particularidades bastante diferentes dos modelos univariados. Pode-se proceder a inferências estatísticas sobre os coeficientes individual ou coletivamente, mesmo ante a existência de variáveis endógenas não estacionárias de ordem 1, sempre que o modelo puder ser reescrito de maneira que os coeficientes sob inspeção passem a multiplicar variáveis estacionárias (veja Sims, Stock e Watson, 1990). José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

21 EXEMPLO Sejam y t I (1) e z t I (1) da primeira linha de um VAR (2) bivariado: y t = φ 11,1 y t 1 + φ 12,1 z t 1 + φ 11,2 y t 2 + φ 12,2 z t 2 + ε yt. É possível fazer inferências sobre os coeficientes φ 11,2 e φ 12,2 desse modelo. Para isso, adicione e subtraia φ 11,2 y t 1 e φ 12,2 z t 1 : y t = φ 11,1 y t 1 + φ 11,2 y t 1 + φ 12,1 z t 1 + φ 12,2 z t 1 + +φ 11,2 y t 2 φ 11,2 y t 1 + φ 12,2 z t 2 φ 12,2 z t 1 + ε zt = = ( φ 11,1 + φ 11,2 ) yt 1 + ( φ 12,1 + φ 12,2 ) zt 1 + φ 11,2 y t 1 φ 12,2 z t 1 + ε yt. Como y t 1 e z t 1 são variáveis estacionárias, pode-se testar conjuntamente por F Snedecor a hipótese φ 11,2 = φ 12,2 = 0. Pouco se pode dizer a respeito dos coeficientes que multiplicam as variáveis não estacionárias y t 1 e z t 1 depois da transformação. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

22 EXEMPLO Sob condições [ convencionais, ] a matriz de coeficientes estimados Φ = Φ 1 : Φ 2 : : Φ p satisfaz: ( ) d ( ) T vec Φ Φ N 0, Σ Φ. Por que se podem testar normalmente os coeficientes individuais de um modelo multivariado não estacionário? A não-estacionaridade emerge quando um dos autovalores da matriz de coeficientes está sobre ou fora do círculo unitário. Exemplo: Considere o seguinte VAR (1) X t = [ 0, 7 0, 3 0, 3 0, 7 ] X t 1 + ε t. Os autovalores de Φ 1 são 1 e 0, 4. Trata-se de um modelo não estacionário. Esses autovalores estão associados aos coeficientes da matriz Φ 1 indiretamente. Logo, a estatística t permanece válida para a inferência individual dos coeficientes. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

23 VERIFICAÇÃO: TESTE DE LJUNG-BOX Generalização dos testes de resíduos dos modelos univariados H 0 : E ( e t e t j ) = 0, para todo j = 1, 2,..., J > p. versus H 1 : E ( e t e t j ) = 0, para algum j. A estatística do teste é parecida com a de Ljung-Box: J Q = T tr ( Γ 1 j Γ Γ ) 1 d 0 j Γ 0 χ 2 n 2 (J p), j=1 em que Γ j = T t=j+1 êtê t j T é a autocovariância na defasagem j. Alternativamente, usa-se a estatística de Ljung-Box ajustada: Q = T 2 J j=1 1 ( Γ T j tr j 1 Γ Γ 0 j Γ 0 1 ) d χ 2 n 2 (J p). José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

24 EXEMPLO: TESTE DE LJUNG-BOX Considere o modelo não estacionário sem drift já simulado. O Eviews permite calcular os valores do testes automaticamente: Defasagens Q-Stat Prob. Adj Q-Stat Prob. df 1 0, 196 NA 0, 197 NA NA 3 7, 057 0, 531 7, 121 0, , 362 0, , 751 0, , 360 0, , 139 0, df representa o número de graus de liberdade para a distribuição χ 2. Embora o modelo seja não estacionário, as autocorrelações caem rapidamente. Se J é muito pequeno, a aproximação à distribuição será bastante pobre, ao passo que um valor alto para J pode resultar em perda de poder. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

25 VERIFICAÇÃO: TESTE DE BREUSCH-GODFREY O objetivo é testar se existe autocorrelação de resíduos no modelo: e verificar se: ê t = Θ 1 ê t 1 + Θ 2 ê t Θ h ê t h + u t H 0 : Θ 1 = Θ 2 = = Θ h = 0 H 1 : Θ 1 = 0 Θ 2 = 0 Θ h = 0. Utiliza-se a regressão auxiliar: ê t = Φ 1 X t 1 + Φ 2 X t Φ p X t p + +Θ 1 ê t 1 + Θ 2 ê t Θ h ê t h + u t. Trata-se de um teste LM. Para executá-lo, é necessário estimar ê t contra o gradiente da função de verossimilhança. Aqui, esse gradiente é dado pela matriz [X t 1 X t 2 X t p ê t 1 ê t 2 ê t h ]. Johnston e Dinardo comentam que uma importante característica desse teste é funcionar simultaneamente contra a hipótese alternativa de um processo MA (q) para os resíduos. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

26 VERIFICAÇÃO: TESTE DE BREUSCH-GODFREY No primeiro estágio, estima-se o modelo completo por MQO, de forma que os ê t s em que t < 0 são substituídos por zero. E calcula-se: Σ u = T t=1 û t û t. T Em seguida, estima-se o modelo impondo a hipótese nula para obter os resíduos restritos, û r t, e calcula-se: O teste LM é definido como: LM h = T Σ r = T t=1 ût r ût r. T [ n tr )] ( Σ u Σ r 1 d χ 2 hn. 2 José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

27 EXEMPLO: TESTE DE BREUSCH-GODFREY Continuando com o exemplo anterior. Estimado o modelo, verificam-se os resíduos usando o teste LM: Defasagens Q-Stat Prob. df 1 1, 678 0, , 523 0, , 208 1, , 282 1, O Eviews reporta o resultado das probabilidades com n 2 graus de liberdade. Por isso, é preciso olhar a tabela correta. A tabela anterior contém as probabilidades corretas, mas, se fossem usados n 2, a hipótese nula não seria rejeitada. No caso do exemplo, como não se rejeita a nula com menos graus de liberdade do que seria correto, com mais razão não se rejeitaria se o número de graus de liberdade fosse ainda maior. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

28 VERIFICAÇÃO: TESTE DE NORMALIDADE A assimetria e a curtose têm distribuição normal. Defina os momentos 3 e 4 conforme segue: m 3 = (m 31, m 32,..., m 3n ), com m 3i = T t=1 ε 3 it ; T m 4 = (m 41, m 42,..., m 4n ), com m 4i = T t=1 ε 4 it. T Essas medidas têm a seguinte distribuição: ( ) [ ( m T 3 6In 0 N 0; m 4 3 n 0 24I n em que 3 n = (3, 3,..., 3) é um vetor n 1 de 3s. )], José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

29 VERIFICAÇÃO: TESTE DE NORMALIDADE Na prática, primeiro deve-se obter a matriz de covariância dos resíduos estimados: ) ) (ê t ê t (ê t ê t Σ e = T t=1 2 Calcule a matriz raiz quadrada: Σ 1 e, para padronizar os resíduos: êt s = Σ ) 1 2 e (ê t ê t. Calcule a assimetria, m 3, e a curtose, m 4, dos n resíduos: m 3 = ( m 31, m 32,..., m 3n ), com m 3i = T t=1 (êit s )3 ; T m 4 = ( m 41, m 42,..., m 4n ), com m 4i = T t=1 (êit s )4. T José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70 T.

30 VERIFICAÇÃO: TESTE DE NORMALIDADE As estatísticas são dadas por: s 2 3 = T m 3 m 3 6 ; s4 2 = T ( m 4 3 n ) ( m 4 3 n ). 24 Ambas as estatísticas têm distribuição χ 2 n sob a nula: s2 3 = s2 4 = 0. Alternativamente, pode-se usar a distribuição conjunta de ambos os testes, JB 2n = s s2 4 : JB 2n = s s 2 4 d χ 2 2n. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

31 PREVISÃO Análoga aos processos univariados. Quando se conhece o processo gerador de dados, a previsão h passos à frente é dada por: E (X t+h I t ) X t+h t = Φ 1 X t+h 1 t + Φ 2 X t+h 2 t + + Φ p X t+h p t, em que X t+j t = X t+j para j 0. Transformando X t num modelo de médias móveis infinito: ( X t+h = I p j=1 Φ j L j ) 1 e t+h = e t+h + Ψ 1 e t+h 1 + Ψ p e t+h 2 + Conseqüentemente, a previsão correspondente é dada por: X t+h t = Ψ j e t+h j. j=h José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

32 PREVISÃO Desse modo, o erro de previsão será obtido extraindo-se de X t+h o termo X t+h t : h 1 X t+h X t+h t = Ψ j e t+h j, j=0 em que Ψ 0 = I n. A expectativa de previsão dos erros é zero. O EQM é dado por: Σ x (h) = E ( ) ( ) h 1 X t+h X t+h t Xt+h X t+h t = Ψ j ΣΨ j. j=0 No processo é estacionário, a incerteza da previsão é limitada. Os processos integrados têm erro de previsão indeterminado em horizontes longos, mas isso não exclui a possibilidade de que a previsão de alguns componentes de variáveis integradas tenha o erro de previsão limitado também. Na presença de variáveis exógenas, entre as quais algumas determinísticas, pode-se estender a fórmula anterior facilmente. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

33 Figura: Previsão de y e z 20 passos à frente. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70 PREVISÃO Considere o VAR (1) estimado a partir do modelo simulado sem drift: [ ] 0, 694 0, 332 X t = X 0, 298 0, 676 t 1. Prevendo 20 passos à frente na Figura 3:

34 PREVISÃO Em contraposição, considere o seguinte modelo VAR (1), estimado a partir do modelo simulado estacionário: [ ] 0, 578 0, 186 X t = X 0, 284 0, 611 t 1. Prevendo 20 passos à frente, a Figura 4 mostra que a convergência para a média de longo prazo. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

35 FUNÇÃO RESPOSTA AO IMPULSO O modelo VAR não permite identificar todos os parâmetros da forma estrutural, a menos que se imponham restrições adicionais. Para ver isso, observe que no sistema restrito dado pela equação (2) conseguem-se estimar os seis parâmetros na equação da média, Var (e 1 ), Var (e 2 ) e Cov (e 1, e 2 ). No sistema primitivo há dez parâmetros a calcular: além dos oito coeficientes estruturais, há ainda as variâncias de cada um dos choques. Sims (1980) sugere um sistema recursivo para identificar o modelo. Trata-se de impor que alguns coeficientes sejam iguais a zero. Geralmente, usam-se argumentos econômicos para definir quais deles são iguais a zero. Sims impõe que o efeito feedback seja limitado. No caso mais simples, de um modelo bivariado, impor-se-ia, por exemplo, que a 12 = 0: y t = b 10 + b 11 y t 1 + b 12 z t 1 + ε yt ; z t = b 20 a 21 y t + b 21 y t 1 + b 22 z t 1 + ε zt. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

36 FUNÇÃO RESPOSTA AO IMPULSO Essa restrição é importante porque torna os parâmetros estruturais restantes identificáveis, conforme se observa no exemplo bivariado: [ ] [ ] [ ] [ ] A yt 1 0 b10 = = = + a 21 1 z t a 21 1 b 20 [ ] [ ] [ ] 1 0 b11 b 12 yt 1 + a 21 1 b 21 b 22 z t 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 σy 0 εyt +. a σ z ε zt Sabendo-se ainda que a 12 = 0, então os erros reduzidos ficam [ ] [ ] e1t σ = y ε yt, e 2t σ z ε zt a 21 σ y ε yt de modo que var (e 1 ) = σ 2 y ; cov (e 1, e 2 ) = a 21 σ 2 y ; e var (e 2 ) = σ 2 z + a 2 21σ 2 y. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

37 FUNÇÃO RESPOSTA AO IMPULSO Essas três equações combinam-se com as demais estimativas para identificar o modelo: φ 10 = b 10 ; φ 20 = b 20 b 10 a 21 ; φ 11 = b 11 ; φ 12 = b 12 ; φ 21 = a 21 b 11 + b 21 ; φ 22 = a 21 b 12 + b 22. A metodologia proposta por Sims pode ser generalizada para um vetor com n variáveis endógenas. Trata-se de uma maneira triangular de decompor os resíduos, chamada de decomposição de Choleski. No caso de n variáveis endógenas, a matriz de covariância é de dimensão n n. As condições de identificação requerem a imposição de n2 n 2 restrições. O problema dessa imposição é definir a ordenação das variáveis, que é arbitrária, ainda que atribuída a razões econômicas. A ordenação das variáveis define a forma das restrições, de modo que diferentes ordenações geram diferentes restrições. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

38 FUNÇÃO RESPOSTA AO IMPULSO Se os autovalores da polinomial ( I p i=1 Φ il i ) estiverem fora do círculo unitário, pode-se escrever um VAR (p) como um vetor de médias móveis infinito VMA ( ): X t = X + i=0 Φ i 1e t i = X + i=0 Φ i 1 1 a 12 a 21 [ 1 a 12 a 21 1 em que X (I Φ 1 ) 1 Φ 0 é a média de longo prazo. Seja: Φ Ψ i = i [ ] 1 1 a a 12 a 21 a 21 1 Desse modo: X t = X + = X + i=0 i=0 Ψ i Bε t i = [ ψi,11 ψ i,12 ψ i,21 ψ i,22 ] [ σy ε yt i σ z ε zt i ]. ] [ σy ε yt i σ z ε zt i ] José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

39 FUNÇÃO RESPOSTA AO IMPULSO Os elementos da matriz Ψ i são os multiplicadores de impacto de um choque sobre as variáveis endógenas. Assim, o impacto total de um choque de ε yt sobre y t+h é dado pela soma dos coeficientes ψ i,11, i = 0, 1, 2,..., h. Veja os gráficos da função resposta ao impulso. Inicialmente, impõe-se à simulação que a 12 = 0 e a 21 = 0, 8. Em seguida, estima-se o modelo simulado e gera-se a função resposta ao impulso usando a decomposição de Choleski que assume a 12 = 0. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

40 INTERVALO DE CONFIANÇA A função resposta ao impulso é calculada mediante coeficientes estimados. Logo, é claro que há um intervalo de confiança a ser considerado nessas estimativas. Esse intervalo pode ser calculado de forma anaĺıtica ou por métodos de experimentos de Monte Carlo. O método anaĺıtico torna-se bem complicado quando se imagina um problema multivariado, em razão das covariâncias cruzadas. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

41 INTERVALO DE CONFIANÇA 1 Estime o modelo multivariado e armazene os resíduos estimados, {ê t }; 2 Sorteie os resíduos armazenados com reposição e simule uma nova série usando as matrizes Φ estimadas no passo anterior. Por exemplo, no caso de um VAR (1): X t = Φ 0 + Φ 1 X t 1 + ê t ; 3 Reestime o modelo e a nova função resposta ao impulso; 4 Repita o processo milhares de vezes; 5 Para construir um intervalo com 95% de confiança, exclua 2, 5% das menores e maiores respostas. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

42 DECOMPOSIÇÃO DA VARIÂNCIA Considere o exemplo das seções anteriores, VAR (1) com duas variáveis endógenas, y e z: Calcule o erro de previsão: Esmiuçando apenas y t+h : X t+h = X + i=0 X t+h E t (X t+h ) = Ψ i ε t+h i. h 1 Ψ i ε t+h i. i=0 y t+h E t (y t+h ) = ψ 0,11 ε yt+h + ψ 1,11 ε yt+h ψ h 1,11 ε yt+1 + Logo: σ 2 y (h) = σ 2 y +ψ 0,12 ε zt+h + ψ 1,12 ε zt+h ψ h 1,12 ε zt+1. +σ 2 z ( ψ 2 0,11 + ψ 2 1, ) ψ2 h 1,11 + ( ψ 2 0,12 + ψ 2 1, ) ψ2 h 1,12. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

43 DECOMPOSIÇÃO DA VARIÂNCIA Agora, pode-se decompor a variância do erro de previsão em seus diversos elementos. Dividindo-se ambos os lados por σ 2 y (h): ( 1 = σ2 y ψ 2 0,11 + ψ 2 1, h 1,11) ψ2 σ 2 + y (h) ( ψ 2 0,12 + ψ 2 1, h 1,12) ψ2 h σ y (h) + σ2 z σ 2 y (h) Decomposição da variância de y t+h E t (y t+h ) σ 2 y(ψ 2 0,11 +ψ2 1,11 + +ψ2 h 1,11) σ 2 y (h) σ 2 z(ψ 2 0,12 +ψ2 1,12 + +ψ2 h 1,12) σ 2 y (h) 1 0, , 00 0, , , 53 5, , , 09 11, , , 24 16, , , 03 19, 97. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

44 DECOMPOSIÇÃO DA VARIÂNCIA O mesmo é feito com a variável z t+h : h σ z (h) Decomposição da variância de z t+h E t (z t+h ) σ 2 y(ψ 2 0,21 +ψ2 1,21 + +ψ2 h 1,21) σ 2 z (h) σ 2 z(ψ 2 0,22 +ψ2 1,22 + +ψ2 h 1,22) σ 2 z (h) 1 1, , 96 67, , , 51 74, , , 04 70, , , 07 72, , , 06 73, 94 José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

45 TESTE DE GRANGER-CAUSALIDADE uma variável é capaz de prever outra? em que condições? Em outras palavras, a questão fundamental é saber se o escalar y ajuda a prever o escalar z. Se isso não acontece, então diz-se que y não-granger-causa z. O teste tem o sentido de previsão, não de causalidade econômica, apesar do nome. A forma de responder a essa pergunta é usando um teste F convencional, válido quando os coeficientes de interesse puderem ser escritos de modo a multiplicar variáveis estacionárias. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

46 TESTE DE GRANGER-CAUSALIDADE O teste é feito da seguinte maneira: 1 Estime z t = φ 20 + p i=1 φ i,21 y t i + p i=1 φ i,22 z t i + e 2t ; 2 Teste se y não-granger-causa z usando o teste de F, sob: H 0 : φ 1,21 = φ 2,21 = = φ p,21 = 0 H 1 : φ i,21 = 0, i = 1, 2,..., p, em que a estatística do teste é dada por: S 1 = (e 2 r e 2 u) p e 2 u T 2p 1 d F (p, T 2p 1), em que r representa restrito e u, não restrito. Se S 1 > F 5%, rejeita-se a hipótese nula de que y não-granger-causa z. 3 Um teste equivalente é: S 2 = T ( er 2 eu 2 ) d χ 2 p. Rejeita-se a nula se S 2 > χ 2 p (5%). e 2 u José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

47 TESTE DE GRANGER-CAUSALIDADE Teste de causalidade de Granger não é a mesma coisa que teste de exogeneidade. Para que z t seja exógeno a y t, é preciso que z t não seja afetado contemporaneamente por y t. A forma reduzida do VAR não permite que se faça esse tipo de teste. O teste de causalidade de Granger inclui, pois, valores correntes e passados de y t sobre z t. Pode-se fazer o mesmo teste em contextos de mais variáveis, cujo nome é teste de bloco-exogeneidade. Estima-se o modelo com e sem restrição e utiliza-se o teste F, como visto anteriormente. É importante observar que, em sistemas com n > 2, o teste de causalidade é mais complicado de ser feito, e a interpretação necessita de maiores cuidados. O problema que pode ocorrer ao não rejeitar a nula é não perceber a dinâmica mais complicada do modelo em que uma variável, apesar de não causar diretamente outra (por exemplo, y 2t não Granger-causa y 1t ), pode causá-la indiretamente. Isso ocorrerá quando y 2t causar y 3t, que, por sua vez, causa y 1t. O teste de Granger-causalidade não foi desenvolvido para esse tipo de caso. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

48 EXEMPLO Se o Banco Central, de fato, determina a taxa Selic, então alterações na taxa efetiva praticada no mercado financeiro deveriam responder às alterações na meta definida pelo Banco Central. Por outro lado, não há razões para acreditar que alterações nas taxas de mercado afetem a meta definida pelo Banco Central. Teste Ng-Perron MZa MZt MSB MPT Meta - Nível 5, 706 1, 440 0, 252 5, 030 Meta - Primeira Diferença 943, , 714 0, 023 0, 025 Efetiva - Nível 5, 153 1, 345 0, 261 5, 420 Efetiva - Primeira Diferença 14, 426 2, 685 0, 186 1, 698 1% 13, 800 2, 580 0, 174 1, 780 5% 8, 100 1, 980 0, 233 3, % 5, 700 1, 620 0, 275 4, 450 José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

49 EXEMPLO Como os dados são diários e apenas os para dias úteis, utilizam-se 20 defasagens de cada variável. As variáveis estão em primeira diferença, então os resultados informam se a variação de uma variável ajuda a explicar a variação da outra defasagem. Teste de Causalidade de Granger Hipótese Nula Obs Estatística F Probabilidade META não-granger-causa EFETIVA , 503 0, 000 EFETIVA não-granger-causa META 0, 395 0, 992 José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

50 VAR ESTRUTURAL Existem outras formas de definir restrições sobre a matriz A, de modo a identificar os parâmetros estruturais. Usa-se a teoria econômica para definir as restrições da matriz A completamente, com risco de sobreidentificação. Para entender o procedimento, considere um VAR (1) com n variáveis: AX t = B 0 + B 1 X t 1 + Bε t. Quando se estima a forma reduzida, obtêm-se os resíduos ê t, tal que: B ε t = Aê t. O problema é restringir o sistema, de forma a recuperar ε t conforme a hipótese de que cada resíduo do sistema estrutural é independente um do outro. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

51 VAR ESTRUTURAL Considere a matriz de covariância dos erros da forma reduzida: σ 11 σ 12 σ 1n σ 21 σ 22 σ 2n Σ =......, σ n1 σ n2 σ nn σ ij = 1 T T ê it ê jt. t=1 Σ é simétrica n(n+1) 2 elementos diferentes. Elementos da diagonal de A são unitários ( n 2 n ) elementos desconhecidos. Desconhecem-se as n variâncias de ε. Logo, há n 2 elementos desconhecidos e n(n+1) 2 conhecidos. Restrições a impor: n 2 n(n+1) 2 = n(n 1) 2, embora insuficiente para identificação exata, pois existem não-linearidades no sistema de equações. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

52 Exemplo Logo: BB = Var (Ae t ) = AVar (e t ) A. Suponha o seguinte sistema de equações, em que se admite conhecer a matriz de covariância de e t : [ ] [ ] [ ] [ ] σ 2 ε1 0 1 a12 0, 5 0, 4 1 a21 0 σ 2 = = ε 2 a , 4 0, 6 a 12 1 [ ] [ ] 0, 5 + 0, 4a12 0, 4 + 0, 6a = 12 1 a21 = 0, 5a , 4 0, 4a , 6 a 12 1 [ 0, 5 + 0, 8a 12 +0, 6a , 5a 21 +0, 4a 12 a 21 +0, 4 + 0, 6a 12 0, 5a 21 +0, 4 + 0, 4a 12 a 21 +0, 6a 12 0, 5a , 8a 21+0, 6 ] José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

53 Exemplo Há três equações independentes com quatro incógnitas (a 12, a 21, σ 2 ε 1, σ 2 ε 2 ): σ 2 ε 1 = 0, 5 + 0, 8a , 6a 2 12; 0 = 0, 5a , 4 + 0, 4a 12 a , 6a 12 ; σ 2 ε 2 = 0, 5a , 8a , 6. Impondo a restrição de Choleski, a 12 = 0, calculam-se: σ 2 ε 1 = 0, 5; 0 = 0, 5a , 4 = a 21 = 0, 8 σ 2 ε 2 = 0, 5a , 8a , 6 = σ 2 ε 2 = 0, 28. A função resposta ao impulso. No caso de um VAR (1) bivariado, essa função é: [ ] Ψ i = Φ i a 21 1 José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

54 Exemplo Outra restrição: uma inovação em ε 2t pode ter um efeito unitário em y 1t a 12 = 1: σ 2 ε 1 = 1, 9; a 21 = 10 9 ; σ 2 ε 2 = 0, , , 6 = 0, 328. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

55 Exemplo Há casos em que as restrições podem não gerar resultados únicos. Por exemplo: a correlação cruzada no modelo bivariado estrutural é única, a 12 = a 21 = a: { 0 = 1, 1a + 0, 4 + 0, 4a = a = ; { σ 2 ε 1 = 0, 5 + 0, 8a + 0, 6a 2 = σ ε 1 = ; { σ 2 ε 2 = 0, 5a 2 + 0, 8a + 0, 6 = σ ε 2 = José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

56 DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH Forma de identificação com base em restrições determinadas pela teoria econômica. Imposição de restrições a respeito do comportamento de longo prazo de uma variável a partir do choque estrutural em uma outra variável. Suponha um vetor X t = ( y t, u t ), em que y t representa o logaritmo do produto, e u t, a taxa de desemprego. As variáveis respondem a um vetor de choques dado por ε t = (ε t,d, ε t,s ). O produto é afetado por choques de demanda, e o desemprego, por choques de oferta. Os choques entre oferta e demanda não são correlacionados. Os choques de demanda têm efeitos temporários; os choques de oferta têm efeitos permanentes. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

57 DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH Normalizando B = I, considere AX t = em que var (ε t ) = I. O modelo na forma reduzida fica: X t = p B j X t j + ε t, j=1 p A 1 B j X t j + A 1 p ε t = Φ j X t j + e t, j=1 j=1 em que A 1 B j Φ j ; Ae t = ε t. Há duas representações equivalentes de X t, dependendo de o modelo partir da forma reduzida ou estrutural. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

58 DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH Partindo da forma reduzida, pode-se escrevê-lo como: ( I p j=1 Φ j L j ) X t = e t = X t = X t = ( j=0 C j L j ) ( I p j=1 Φ j L j ) 1 e t = e t, (3) em que C 0 I ; ( I p j=1 Φ jl j ) 1 j=0 C j L j ; var (e t ) = Σ. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

59 DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH Partindo da forma estrutural, obtém-se: ( A p j=1 B j L j ) X t = ε t = X t = X t = ( j=0 A j L j ) ( A p j=1 B j L j ) 1 ε t = ε t, (4) em que ( A p j=1 B jl j ) 1 j=0 A j L j. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

60 DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH Dado que C 0 = I, das equações (4) e (3) resultam as seguintes relações: A 0 ε t = e t = A 0 ε t j = e t j ; A j ε t j = C j e t j = A j ε t j = C j A 0 ε t j A j = C j A 0, j > 0. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

61 DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH Qual a relação entre a matriz A 0 e a matriz A? A ( I p j=1 A 1 B j L j ) X t = ε t = X t = = ( j=0 C j L j ) ( I p j=1 A 1 ε t = A 1 B j L j ) 1 A 1 ε t = C j A 1 ε t j. j=0 Comparando essa equação com a equação (4), conclui-se que: A j = C j A 1 = C j A 0 = C j A 1 A 0 = A 1. Essa relação é importante porque vão ser impostas restrições à matriz A 0. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

62 DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH Do termo A 0 ε t, verifica-se que: A 0 ε t = e t = A 0 A 0 = Σ. Esse sistema de equações resulta, como já foi visto, em n(n+1) 2 equações. No caso bivariado, são explicitamente dadas por: a 2 11,0 + a 2 12,0 = var (e 1 ) ; a 11,0 a 21,0 + a 12,0 a 22,0 = cov (e 1, e 2 ) ; a 2 21,0 + a 2 22,0 = var (e 2 ). José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

63 DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH Aqui introduzem-se as restrições de longo prazo. Considere a equação (4) no modelo bivariado: [ ] a11,j a X t = 12,j ε a j=0 21,j a t j. 22,j Para que o choque de demanda não tenha efeitos de longo prazo sobre o produto, impõe-se: a 11,j = 0. j=0 Tendo-se A 0 e C j, este obtido da estimação do modelo reduzido, e valendo a relação A j = C j A 0, pode-se obter A j. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

64 DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH Para operacionalizar o procedimento: 1 Estime o modelo VAR (p) e obtenha as matrizes Φ j ; 2 Obtenha as matrizes C j resolvendo: ( j=0 Ĉ j L j ) = ( I p j=1 Φ j L j ) 1 ; 3 Sabendo que A j = C j A 0, imponha a restrição de longo prazo; 4 Resolva o sistema de equações e encontre os coeficientes de A 0. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

65 a 11,0 j=0 c 11,j + a 21,0 j=0 c 12,j = 0. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70 EXEMPLO [ a11,j a 12,j a 21,j a 22,j ] = = Impondo a restrição de longo prazo: [ ] [ ] c11,j c 12,j a11,0 a 12,0 = c 21,j c 22,j a 21,0 a 22,0 [ ] a11,0 c 11,j + a 21,0 c 12,j a 12,0 c 11,j + a 22,0 c 12,j a 11,0 c 21,j + a 21,0 c 22,j a 12,0 c 21,j + a 22,0 c 22,j a 11,j = 0 = a 11,0 c 11,j + a 21,0 c 12,j. j=0 j=0 j=0 Logo, as equações a serem resolvidas para obterr os coeficientes de A 0 são: a 2 11,0 + a 2 12,0 = var (e 1 ) ; a 11,0 a 21,0 + a 12,0 a 22,0 = cov (e 1, e 2 ) ; a 2 21,0 + a 2 22,0 = var (e 2 ) ;

66 DECOMPOSIÇÃO DE BLANCHARD E QUAH Uma vez obtida a matriz A 0, podem-se recuperar os erros estruturais da seguinte relação: ε t = A 1 0 e t, e, assim, encontrar a função resposta ao impulso e a decomposição da variância. Não se devem associar choques de demanda ao componente transitório do ciclo de negócios, e choques de oferta, ao componente permanente de tendência. O componente transitório pode ocorrer devido a uma combinação de choques na oferta e demanda, assim como choques de oferta afetarão simultaneamente os componentes cíclico e permanente da economia. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

67 ESTIMAÇÃO DO MODELO ESTRUTURAL* Considere mais uma vez o modelo estrutural: AX t = p B i X t i + Bε t, ε t i.i.d.n (0, I n ). i=1 Empilham-se as matrizes X i s, de modo que Y t = [ X t 1 X t 2 X t p ], A = A 1 [B 1, B 2,..., B p ]: X t = AY t + A 1 Bε t, em que B é a matriz de desvio padrão de dimensão n n. A função de verossimilhança será dada por: n (T p) ln (A, A, B) = ln 2π (T p) 2 ln A 1 BB A 1 T (X t AY t ) ( A 1 BB A 1 ) 1 (Xt AY t ). t=p+1 José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

68 ESTIMAÇÃO DO MODELO ESTRUTURAL* em que X = T (X t AY t ) ( A 1 BB A 1 ) 1 (Xt AY t ) = t=p+1 = (T p)tr [(X AZ ) ( A 1 BB A 1 ) ] 1 (X AZ ) [ ] [ ]. X p+1, X p+2,..., X T e Z = Y p+1, Y p+2,..., Y T Logo ln (A, A, B) = constante + (T p) 2 ( ln A 2 ln B 2) (T p) tr [ A B 1 B 1 A (X AZ ) (X AZ ) ]. 2 José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

69 ESTIMAÇÃO DO MODELO ESTRUTURAL* Se não houver restrições sobre as matrizes A e B, pode-se estimar ( ) (X ÂZ)(X ÂZ) Σ = T, em que X ÂZ são os resíduos do VAR reduzido, Â = XZ (ZZ ) 1. Daí, é possível concentrar a função anterior para maximizar: (T p) ( ln c (A, B) = constante + ln A 2 ln B 2) 2 (T p) [ ] tr A B 1 B 1 A Σ. 2 José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70

70 TESTE LR PARA SOBREIDENTIFICAÇÃO 1 Estimada a matriz de covariância não restrita, Σ, e como se sabe que BB = A ΣA, reescrever Σ: Σ = A 1 BB A 1. 2 Imponha as restrições sobre A e B e maximize : T 2 ln A 1 BB A T t=1 ê t ( A 1 BB A 1) 1 êt. 3 Calcule a nova matriz de covariância restrita: Σ r = Â 1 B B Â 1. 4 Proceda ( ao teste estatístico ) de razão de verossimilhança dado por: d LR = T ln Σ r ln Σ χ 2 q, em que q é o número de restrições acima de n(n 1) 2. 5 Se há dois conjuntos de restrições tais que q 1 > q 2, pode-se testar a hipótese de as restrições serem equivalentes pelo teste: ( ) LR = T ln Σ r1 ln Σ r2 d χ 2 q 1 q 2. José Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro / 70