Teorema de Green e Aplicação

Transcrição

1 Teoem de Geen e Aplcção Alcm de Souz B Unvesdde tólc de Bsíl Deptmento de Mtemátc esumo: O teoem de een é um ement muto útl no cálculo de áes de us plns echds. Seu pncpo é utlzdo p demonstção de outos teoems. Neste tlho contmos um pouco d hstó do Teoem de Geen e de Geoe Geen emo tenh-se pouco soe vd pessol deste nde mtemátco e ísco nlês que esceveu e demonstou o teoem, nd most que o pncpo do teoem de Geen é utlzdo num pelho que clcul áes de us plns pens se movendo soe o contono d cuv echd. Plvs-chves: Plnímeto e Geen. Intodução Este tlho pesent um estudo nteessnte do teoem de Geen. Utlz como onte e nstumento de pesqus lvos ddátcos e tos. Geoe Geen nsceu em 973 e moeu em 8. Não este nenhum esto de mem deste nde mtemátco e ísco nlês. Geoe Geen e lho de um pdeo que vv em Notnhm onde unconv o estelecmento de seu p e o que pssou nde pte de su vd tlhndo. A hstó dz que ele eqüentou pens dos nos do ensno element e não c em clo como Geoe Geen oteve o conhecmento mtemátco já que não eqüentou nenhum nsttução de ensno eul. om 30 nos, Geen tonou-se memo d Suscpton L, Notnhm, nsttução undd em 86 e o ojetvo clo dest nsttução e o enconto de não-cdêmcos p dscut questões de vnço d cênc. Qundo completou 35 nos pulcou seu pmeo e ms mpotnte tlho: um o soe plcção d nálse mtemátc à eletcdde e o mnetsmo, onde o teoem de Geen o utlzdo, ms pssou despecedo pel pequen tem do tlho. omo est o teve um tem stnte eduzd, po que o nncd pelo uto e mos d Suscpton L, não teve nde epecussão. Geoe Geen o pme pesso us o temo potencl n teo do cmpo e ntoduzu váos teoems de nálse vetol que pemtm clcul o potencl eletostátco. om 0 nos nessou n Unvesdde de us, em mde como estudnte de lcenctu. Alum tempo depos cec de nos, omou-se com desempenho despontdo possvelmente po est enjdo em su pesqus, então voltou p su cs em Notnhm p cud de seus lhos e do monho de seu p, onde luns nos ms tde cou doente e leceu os 8 nos. Posteomente , Wllm Thomson Lod Kelvn, descou o tlho de Geoe Geen e conseuu pulc-lo num jonl mpotnte de nde cculção e espetdo n époc, com pulcção descou-se que outos centsts já tnhm chedo esultdos otdos po Geoe Geen, ente eles Guss, e de om ndependente. O tlho de Geoe Geen teve nluênc em Thomson, Stokes e Mwell.

2 A vd de Geoe Geen é um eemplo mpessonnte de um enômeno nto que o se humno pode te, o tlento mtemátco, este se pesent e m-se mesmo em ccunstncs desvoáves. Qulque um com tods s petensões se um mtemátco está em cente que s unções de Geoe Geen é de sum mpotânc e mutos de nós zemos um vd o de su eploção. O teoem de Geen elcon eetos do volume os eetos de supeíce, é um esultdo onto, undmentl às teos vtcons e eletomnétcs. Tod est teo veo de luém que teve qunze meses de educção oml e cujo os nos de dolescênc om stos tlhndo n pd e no monho de seu p. Est é hstó de um etodnáo êno que soe tods ests dculddes venceu.. Teoem de Geen O teoem de een é um ement d mtemátc utlzd p o cálculo de áes de us plns lmtds e echd; Além dsso seu pncpo é utlzdo p omulção de outos teoems como po eemplo o teoem de Stokes e Guss, sus plcções são etenss e etemmente útes ns áes d ísc, químc, ns enenhs, eolo e etc. Antes de demonstmos o teoem é pecso semos um pouco espeto mpos vetos e d ntel de lnh, vmos te um dé do que se tt ntel de lnh, pos o teoem de Geen tmém clcul esse vlo de um mne em ms ápd e det... mpos vetos O cmpo vetol ssoc um veto um ponto no espço. Se um unção F com vloes vetos é dendo num ol et B em 3 el é dd d seunte om, F,,zM,,zN,,zj,,zk, então F é um cmpo vetol. E o domíno do cmpo vetol é um suconjunto de 3... Intel de Lnh Suponh um oç eecd soe um ptícul no ponto,, em lum dsco eto B em ², sej dd pelo cmpo de oçs F,M, N,j, onde M e N são contnus em B. Sej cuv que está em B e tem equção vetol tt tj, t, s unções e tem devds e contnus em [,]. Vmos den cmnho de F o move ptícul o lono de, do ponto, té,. Em um ponto qulque de,po eemplo, t,t oç é dd ssm: Ft,tMt,tNt,tj, com t0 < t < t <... < tn < tn

3 Fu epesentção vetol de ntel de lnh. P é o ponto, t, t em, consdendo u cm temos que V P P t t ; loo V P P t t j [ t t j] V P P [ t t ] [ t t ] j com e são contnus em [,] estem c e d no ntevlo eto t, t, de modo que: t t c t t t t d t t epessndo t t t V P P c t t d t t V P P [ c d ] t t, e susttundo em temos que: V P P [ c d j] t P cd consdeemos o veto F M c, c N d, d j d um dos vetoes F,,3,..., n é um pomção do veto F t, t. O vlo dos vetoes n vção de no ntevlo eto são os vetoes muto pómos de F. Um pomção d medd do tlho elzdo po F t, t o lono de é dd pel n w w [ M c c N d d j c d j t,, ][ ], onde w [ M c, c c ] t [ N d, d d ] t como são váos então somtó n [ M c, c c ] t n [ N d, d d ] t, é um som de emnn, e se n

4 cesce sem lmtção podemos che à usemos F t p F t, t. [ M t, t t N t, t t ] dt, hemos seunte denção: é um cuv contd num dsco eto B em ², com equção tt tj, onde otomente ` e ` tem que seem contnus em [,], consdeemos tmém um cmpo de oçs em B dendo po F, M, N, j, onde M e N são contnus. Então medd do tlho elzdo po F o move um ptícul o lono de, de, té, é W. w [ M t, t t N t, t t ] dt w M t, t N t, t. t, t dt, ou; w F t. t dt A ntel de lnh mede o tlho elzdo p movment um ptícul o lono de um cuv. E é clculd utlzndo-se de dus notções pme wtlho é medd pelo cmpo de oçs F o se move o lono de Notção Deencle out usndo notção vetol. Ao vmos ze demonstção do teoem de Geen, oseve no áco o: A eão echd é dvdd em dus cuvs e, começ no ponto e v té o e v de té, echndo ssm todo o contono d eão. 0 Fu epesent um cuv echd dvdd em e.

5 A u epesent um cuv echd smples e secconlmente suve. As unções que M e N epesentm possuem devds pmes deente de zeo, e tem devds pcs pmes contnus em um dsco eto B em ². dn dm M, d N, d da d d Pov: vmos consde que unção ntecept no mámo dos pontos tnto n hozontl como n vetcl. A demonstção consste em most que: dm dn M, d da e d N, d da d P dm M, d da d {, /, } onsdendo ntel de lnh. M, d., d M, d M M, d 3, d M, d M, M d, d M, d onsdendo o ntel dupl M, M d 5 M, d [ M, M, ] d 6 M M da, onde é eão. da M da M da M da ompndo 6 e 0 temos que é vedde: M M, d d M d d ] d [ M, M, ] d

6 M, d dn A demonstção p N, d da é nálo. d dm d da Out eão: Fu 3 epesent um echd. eões como d u 3 podem se tlhds sem ndes dculddes. A equção nd se plc. Fu epesent um eão que é ul. A eão d u tmém pode se clculd com o Teoem de Geen, plcndo equção ndndo sempe no sentdo nt-hoáo. O teoem de Geen clt o cálculo de áes de eões lmtds po um cuv secconlmente suve, smples e echd. Isso pode contece utlzndo o seunte teoem que é conseqüênc do teoem de Geen. Se o um eão tendo po onte um cuv echd smples e secconlmente suve e A unddes de áe o áe de, então A d d.

7 Pov: sej M, e N,. Então, d d da d d da d d omo da é medd d áe de, então d d A Vmos ve um eemplo d plcção deste teoem p clcul áe dd po um elpse que tem como equção. As equções pmétcs d elpse são: cost, sen t, 0 t π loo devd d sen tdt e d sen tdt. Se o elpse e A o áe d eão d elpse, teemos: A d d A π 0 cos t 0 π π [ cost costdt sen t sen tdt ] sen t A dt, como cos t sen t loo, c da, multplcndo s pênteses oteemos, A dt, então teemos que, A π unddes de áe. Lous Lethold, p Aplcção. O Plnímeto: Em 85, o mtemátco Jco Amsle nventou um nstumento mecânco que e cpz de med áe de eões plns lmtds. omo dculdde p se med áes de us plns e eules e muto dícl nvenção de um pelho pequeno e tão ácl de se mnusedo o etemmente novdo, encdo com muto entussmo n ocsão e té hoje é vsto como um nstumento novdo. Vmos estud um pouco soe seu mnuseo e unconmento. Mecncmente, o Plnímeto tem um constução muto smples, possu dos ços de tmnhos us ou podem se de tmnho deente, mos eto de metl. Os ços são cpzes

8 de v o ânulo ente eles, desde 0º 80º us. N etemdde de um dos ços, temos um pont que pode se d n supeíce pln. N out pont temos um odnh que pependculmente o ço n qul é d. N pont dess odnh temos um contdo, que mede o númeo de volts que el dá qundo pont móvel do nstumento se desloc soe o contono d u pln se medd. Qundo pont se desloc soe todo o contono d u pln echd, o contdo ndcá áe cecd pel cuv. Ao pensmos em um nstumento tão smples, noss mnção é nduzd pncípos smples de unconmento, ms po tás deste nstumento tem um pncpo e um u de compleldde muto nde. É que ent o teoem de Geen. O Teoem de Geen ldo o Plnímeto, os dos juntos tem sdo de nde mpotânc p o clculo de áes de us plns echds. Um áe se medd pelo Plnímeto não deve conte etemdde do pelho e podemos -l em qulque lu desde que o d áe se medd, depos com etemdde móvel do pelho devemos pecoe cuv que é echd, sempe no sentdo nt-hoáopo cus do mcdo e pós pecoe todo o contono d u é clculd áe. P eplc como o Teoem de Geen ent n hsto, pecsmos desceve o cmpo de deções dendo pelo nstumento. P tl vmos den s coodends e. Escolhemos p oem do eo pont do Plnímeto que est, pt dí, dos eos pependcules e são tçdos. omo odnh pependculmente o ço no qul está d, o cmpo F, dendo pelo Plnímeto é pependcul o ço móvel e suponhmos que ele tenh módulo. F, 0 Fu 5 epesentção de um eão sendo medd po um plnmeto. Ao denemos equção, pmeo consdee que os ços do Plnímeto tenhm tmnhos us. o pmeo est com o cento n oem0,0, e o ço móvel em,. chmemos de v o veto que epesent o ço móvel do Plnímeto.

9 Fu 6 epesent os ços de um plnmeto um centdo n oem e o outo em,. Temos então v -,- e um veto pependcul é w --,-. como os ços tem compmento temos w v, loo o nosso cmpo é w w F,, pecsmos detemn e. onsdendo equção dos cículos que podem se desctos po cd um dos ços do Plnímeto. Desenvolvendo Seund equção cm temos que:, loo, susttundo esses vloes n equção do cculo com cento em 0,0 e desenvolvendo, teemos: 0 Usndo temos: 0 e loo, ou sej,, v, F, 0

10 om escolh de um vlo postvo p mplc smplesmente que o cmnho se pecodo pelo ço móvel do Plnímeto é o sentdo nt-hoáosentdo pdão de unconmento do pelho. om o vlo de dendo, o vlo de pece, consequentemente, como sendo: ou sej, lculdos os vloes de e temos que o cmpo p o Plnímeto é:,, Devndo s dus equções cm vmos ote: 8 8 zendo, e, k, loo k Peceemos que se plcmos o Teoem Geen o Plnímeto, constnte que multplc áe só depende do compmento dos ços, ou sej c po cecd áe d d *,,

11 Então p o unconmento do Plnímeto é necessáo semos o compmento dos ços, o dâmeto d odnh colocd pependculmente o ço móvel e o númeo de volts dd pel odnh, que é mcdo pelo contdo o pecoe cuv echd no sentdo nt-hoáo, esss medds são dds pels váves p compmento dos ços, d p dâmeto e k o númeo de volts dd pel odnh. O cmpo detemndo pelo Plnímeto é F,,. Então πd kπ d d d * áe cecd po ou sej: Áe cecd po k. elo, Adno c Boes.; Mnso, Fenndo Fee. O Plnímeto e o Teoem de Geen onclusão: Estem vs mnes de clcul áes de us eométcs eules como do quddo, etânulo, etc., ms outs áes eules como s que vmos ns us deste tlho, são ms díces p se clcul, no entnto com s ements pesentds no tlho pode c em ms ácl o clculo dests áes, tnto o teoem de Geen como o plnmeto pode ze este clculo. No século XIX qundo o nventdo o plnmeto sedo num teoem eltvmente smplesteoem de Geen, este nstumentoo plnmeto tão smples ms novdo o vsto com muto entussmo, já que pod clcul áe de eões eules e tudo sso se utlzndo do mesmo pncpo do teoem de Geen. Ests dus ements cusou muto entussmo n époc de sus nvenções e nd hoje são vstos com o mesmo entussmo de ntes, tendo plcções etenss e etemmente útes n enenh, n ísc, etc. São ests s conclusões que chemos que o teoem e o plnmeto são útes no d d de um enenheo, um ísco e outos possons. Ao temos otos de plnmeto. Fu 7 Plnmeto nlóco. elo, Adno Boes.; Mnso, Fenndo Fee. O Plnímeto e o Teoem de Geen. <.

12 Fu 8 Plnmeto dtl. eeênc Bloác: LEITHOLD, Lous. O álculo om Geomet Anlítc. São Pulo: H, 986. v, p SWOKOWSKI, El Wlln; FAIAS, Aledo Alves de Td.. álculo om Geomet Anlítc..ed São Pulo: Mkon, 995. v. ISBN elo, Adno Boes.; Mnso, Fenndo Fee. O Plnímeto e o Teoem de Geen. Dsponível em: <. Vllte, Jme. Geoe Geen. Dsponível em: < Polknhone FS, D. John. Geoe Geen nd mthemtcs. Dsponível em: <