LICENCIATURA EM ENGENHARIA INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO EIC1208 MATEMÁTICA DISCRETA

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Thomaz Malheiro Valverde
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1 EIC28 MATEMÁTICA DISCRETA 3º mini-teste 25/6 semana de 7 a 23 de Maio (devido aos feriados). a. Mostre que o conjunto Z / 6 = {[ ], [ ], [ 2 ], [ 4 ], [ 5] com a operação adição módulo 6 (representada por + 6 ) é um grupo. + [] [] [2] [3] [4] [5] 6 [] [] [] [2] [3] [4] [5] [] [] [2] [3] [4] [5] [] [2] [2] [3] [4] [5] [] [] [3] [3] [4] [5] [] [] [2] [4] [4] [5] [] [] [2] [3] [5] [5] [] [] [2] [3] [4] é associativa (porquê); existe elemento identidade: []; todos os elementos têm : [] - =[], [] - =[5], [2] - =[4], [3] - =[3], [4] - =[2], [5] - =[] b. Diga se Z / 6 com a operação multiplicação módulo 6 (representada por 6 ) é um grupo. Porquê? [] [] [2] [3] [4] [5] 6 [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [2] [3] [4] [5] [2] [] [2] [4] [] [2] [4] [3] [] [3] [] [3] [] [3] [4] [] [4] [2] [] [4] [2] [5] [] [5] [4] [3] [2] [] não: é associativa (porquê); existe elemento identidade: []; mas nem todos os elementos têm : há linhas da tabela sem elemento identidade: [], [2], [3], [4] 2. a. Mostre que o conjunto

2 EIC28 MATEMÁTICA DISCRETA Z / 5 = {[ ], [, ] [ 2 ], [ 4] com a operação multiplicação módulo 5 (representada por 5 ) não é um grupo. não é um grupo: o elemento [] não tem b. Mostre que o conjunto {[ ] {[ ], [ 2 ], [ 4] Z / 5 = com a operação multiplicação módulo 5 é um grupo. [] [] [2] [3] [4] 5 [] [] [] [] [] [] [] [] [] [2] [3] [4] [2] [] [2] [4] [] [3] [3] [] [3] [] [4] [2] [4] [] [4] [3] [2] [] [] [2] [3] [4] 5 [] [] [2] [3] [4] [2] [2] [4] [] [3] [3] [3] [] [4] [2] [4] [4] [3] [2] [] é um grupo: tem a propriedade associativa (porquê), [] é o elemento identidade, e todos os elementos têm : [] - =[], [2] - =[3], [3] - =[2], [4] - =[4] 3. Seja G = {a,b,c e suponha que <G, > constituiu um grupo. Considere a seguinte tabela de Cayley, incompleta, de G: a b c a b c b a. Complete a tabela de Cayley de G (Note que existe uma única maneira de o fazer ) linha a (elemento identidade), coluna a (elemento identidade), resultado b, resultado c, aa

3 EIC28 MATEMÁTICA DISCRETA a b c a a b c b b c a c c a b b. Diga, justificando, se o grupo G é ciclíco. haverá um elemento gerador? Só pode ser b ou c; b = b, b 2 = c; b 3 = a; c = c, c 2 = b, c 3 = a; b e c são elementos geradores: é um grupo cíclico 4. Considere, em R 2 \{(,), a operação binária * definida por (a,b)*(c,d) = (ac-bd, ad+bc). a. Esta operação é associativa. Justifique. [(a,b)*(c,d)]*(e,f) =(ac-bd,ad+bc)*(e,f)=((ac-bd)e-(ad+bc)f,(ac-bd)f+(ad+bc)e) =(a(ce-df)-b(cf+de),a(cf+de)+b(ce-df))= (a,b)*(ce-df,cf+de)=(a,b)*[(c,d)*(e,f)] c.q.d. b. Verifique que (,) é o elemento identidade. (a,b)*(,)=(a-b,a+b)=(a,b) (,)*(a,b)=(a-b,b+a)=(a,b) c.q.d. c. Será (R 2 \{(,), *) um grupo? Porquê. será que todos os elemento têm? (a,b)*(x,y)=(,) (ax-by,ay+bx)=(,) ax-by= ay+bx= ax-by= y=-bx/a (a ) ax+b 2 x/a= x=a/(a 2 +b 2 ) y=-b/(a 2 +b 2 ), que existe sempre; se a=, então b, e x= y=-/b 5. Considere a seguinte função de codificação E: B 2 B 24 E() = E() = E() = E() =. d min = 2 b. Determine o número máximo de erros que pode detectar e o número máximo de erros que pode corrigir. pode detectar erros e corrigir 5 erros c. Descodifique as seguintes palavras recebidas Pode-se descodificar: é Não se pode descodificar

4 EIC28 MATEMÁTICA DISCRETA 6. Uma função de codificação E: B 3 B 6 está definida pela seguinte matriz geradora G =. a. Determine o conjunto de todas as palavras do código. b. Determine a distância mínima do código. d min = 3 (porquê?) c. Determine o número máximo de erros que pode detectar e o número máximo de erros que pode corrigir. pode detectar dois erros e corrigir um erro 7. Uma função de codificação E: B 3 B 6 está definida pela seguinte matriz geradora G =. d min = 3 b. Determine o número máximo de erros que pode detectar e o número máximo de erros que pode corrigir. pode detectar dois erros e corrigir um erro c. Para as palavras, e calcule o respectivo síndroma e determine, se possível, a palavra mais provável que lhes corresponde. V = Erro no º bit: seria Erro duplo provável Sem erro

5 EIC28 MATEMÁTICA DISCRETA 8. Considere a função de codificação E: B 3 B 7 definida pela seguinte matriz geradora = G. d min =3 b. Determine o número máximo de erros que este código detecta e o número máximo de erros que corrige. pode detectar dois erros e corrigir um erro c. Determine a respectiva matriz de verificação. = V

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