Interpretação Geométrica de Sistemas Lineares com 3 Incógnitas

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1 Geometria Analítica Interpretação Geométrica de Sistemas Lineares com 3 Incógnitas 1 Coordenadas no Espaço Vamos introduir um sistema de coordenadas retangulares no espaço. Para isto, escolhemos um ponto como origem O e como eios coordenados, três retas orientadas, passando pela origem, perpendiculares entre si. Estes serão os eios, e. O eio é o eio vertical. Os eios e são horiontais e satisfaem a seguinte propriedade. Se os dedos da mão direita apontam na direção do semi-eio positivo de forma que o semi-eio positivo esteja do lado da palma da mão, então o polegar aponta no sentido do semi-eio positivo. Cada par de eios determina um plano chamado de plano coordenado. Portanto os três planos coordenados são:, e. A cada ponto P no espaço associamos um terno de números (,,), chamado de coordenadas do ponto P como segue. Passe três planos por P paralelos aos planos coordenados. A interseção do plano paralelo ao plano, passando por P, com o eio determina a coordenada. A interseção do plano paralelo ao plano, passando por P, com o eio determina a coordenada A interseção do plano paralelo ao plano, passando por P, com o eio determina a coordenada. Alternativamente, podemos encontrar as coordenadas de um ponto P como segue. trace uma reta paralela ao eio, passando por P; A interseção da reta paralela ao eio, passando por P, com o plano é o ponto P. As coordenadas de P, (,), no sistema de coordenadas são as duas primeiras coordendas de P. Geometria Analítica - Série Concursos Públicos 1

2 P = (,, ) P = (,, ) P Figura 1: As coordenadas de um ponto no espaço A terceira coordenada é igual a distância de P a P, se P estiver acima do plano e menos a distância de P a P se P estiver abaio do plano. 2 Vetores Geometricamente, vetores são representados por segmentos de retas orientados no plano ou no espaço. A direção e o sentido do segmento orientado identifica a direção e o sentido do vetor. O comprimento do segmento orientado representa a magnitude do vetor. A ponta da seta do segmento orientado é chamada ponto final ou etremidade do vetor e o outro ponto etremo é chamado de ponto inicial ou origem do vetor. As frações 1/2, 2/4 e 3/6 representam o mesmo número racional, pois o numerador e o denominador de cada uma delas estão na mesma proporção. De forma análoga, diemos que dois segmentos orientados representam o mesmo vetor se possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido. Dois números racionais a/b e c/d são iguais, quando ad = bc. Analogamente, diemos que dois vetores são iguais se eles possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido. Na Figura 2 temos 4 segmentos orientados, com origem em pontos diferentes, que representam o mesmo vetor, ou seja, são considerados como vetores iguais, pois possuem a mesma direção, mesmo sentido e o mesmo comprimento, apesar de possuirem origens em pontos diferentes. Se o ponto inicial de um vetor V é A e o ponto final é B, então escrevemos V = AB AB B A Definimos as componentes de um vetor V como sendo as coordenadas (v 1,v 2,v 3 ) do ponto final do representante de V que tem ponto inicial na origem. Identificamos o vetor por suas componentes e escrevemos simplesmente V = (v 1,v 2,v 3 ). Geometria Analítica - Série Concursos Públicos 2

3 Figura 2: Segmentos orientados representando o mesmo vetor v 3 V = (v 1, v 2, v 3 ) P = (,, ) OP v 1 v 2 O Figura 3: As componentes de um vetor no espaço Figura 4: As coordenadas de P são iguais as componentes de OP Assim, as coordenadas de um ponto P são iguais as componentes do vetor OP que vai da origem do sistema de coordenadas ao ponto P. O vetor nulo é aquele em que todas as suas componentes são iguais a ero, 0 = (0, 0, 0). 3 Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar Vamos definir a soma de vetores e a multiplicação de vetor por escalar em termos das componentes. Pode-se mostrar que estas definições independem do sistema de coordenadas ortogonal usado (ver por eemplo [3]). Se V = (v 1,v 2,v 3 ) e W = (w 1,w 2,w 3 ), então a adição de V com W é dada por V + W = (v 1 + w 1,v 2 + w 2,v 3 + w 3 ); Geometria Analítica - Série Concursos Públicos 3

4 W V V V + W W + V V ( 2)V 3V W ( 1 2 )V Figura 5: V + W = W + V Figura 6: Multiplicação de vetor por escalar Se V = (v 1,v 2,v 3 ) e α é um escalar, então a multiplicação de V por α é dada por α V = (α v 1,αv 2,αv 3 ). Pode-se verificar que, geometricamente a soma de dois vetores, V + W, está na diagonal do paralelogramo determinado por V e W quando eles estão representados com a mesma origem. A multiplicação por escalar, αv, é um vetor que tem a mesma direção e mesmo sentido de V, se α > 0 e V 0; mesma direção e sentido contrário ao de V, se α < 0 e V 0 e é o vetor nulo caso contrário. Diemos que dois vetores não nulos são paralelos ou colineares se eles têm a mesma direção. Assim, podemos concluir Proposição 1. Dois vetores não nulos, V e W, são paralelos se, e somente se, um é um múltiplo escalar do outro (isto é, V = αw ou W = αv ). Além disso, um resultado análogo é válido para três vetores. Proposição 2. Três vetores U, V e W são coplanares, (isto é, estão no mesmo plano, se representados com a mesma origem) se, e somente se, um dos vetores é uma soma de múltiplos escalares dos outros dois. Demonstração. Se um dos vetores é uma soma de múltiplos escalares, então das observações feitas acima, eles são coplanares. Por outro lado, suponha que eles são coplanares e quaisquer dois deles não são paralelos. Tomando representantes de U, V Geometria Analítica - Série Concursos Públicos 4

5 e W com a mesma origem A, sejam B, C e D as etremidades de U,V e W respectivamente. Os pontos A, B, C e D, estão num mesmo plano. Então a reta paralela a AC passando por D corta a reta determinada por AB em um ponto B. Analogamente a reta paralela a AB passando por D corta a reta determinada por AC em um ponto C. Sejam α e β tais que AC = α AC e AB = β AB. Como AB DC é um paralelogramo, então AD= AC + AB, ou seja, AD= α AC +β AB. Se dois deles são paralelos, então claramente um deles é uma soma de múltiplos escalares dos outros, neste caso com um dos escalares igual a ero. Um outro resultado interessante é o seguinte Proposição 3. Três vetores U = (u 1,u 2,u 3 ),V = (v 1,v 2,v 3 ) e W = (w 1,w 2,w 3 ) são coplanares se, e somente se, u 1 u 2 u 3 det v 1 v 2 v 3 = 0. (1) w 1 w 2 w 3 Demonstração. Se os vetores são coplanares, vimos acima que então um deles é uma soma de múltiplos escalares dos outros dois e portanto o determinante em (1) é igual a ero. Por outro lado suponhamos que o determinante em (1) seja igual a ero. A matri em (1) é a transposta da matri do sistema u 1 + v 1 + w 1 = 0 u 2 + v 2 + w 2 = 0 u 3 + v 3 + w 3 = 0 Agora, = α, = β e = γ é uma solução deste sistema se, e somente se, α(u 1,u 2,u 3 ) + β(v 1,v 2,v 3 ) + γ(w 1,w 2,w 3 ) = (0, 0, 0). (3) Se o determinante em (1) é igual a ero, então o sistema (2) tem infinitas soluções. Portanto, eistem α, β e γ não todos nulos tais que a equação vetorial (3) é satisteita. Por eemplo, se α 0, então (u 1,u 2,u 3 ) = β α (v 1,v 2,v 3 ) γ α (w 1,w 2,w 3 ), ou seja, o primeiro vetor é uma soma de múltiplos escalares dos outros dois. Analogamente, se β 0 ou γ 0, então o segundo ou o terceiro vetor é uma soma de múltiplos escalares dos outros dois. Mas, isto significa que os vetores são coplanares. (2) Geometria Analítica - Série Concursos Públicos 5

6 4 Produto Escalar O comprimento de um vetor V = (v 1,v 2,v 3 ) é denotado(a) por V. Segue do Teorema de Pitágoras que o comprimento de um vetor é pode ser calculado como (verifique usando a Figura 7). V = v v v 2 3. (4) v 3 V = (v 1, v 2, v 3 ) V v 1 v 2 Figura 7: O comprimento de um vetor V = (v 1,v 2,v 3 ) Vamos definir, agora, um produto entre dois vetores, cujo resultado é um escalar. Por isso ele é chamado produto escalar. Este produto tem aplicação, por eemplo, em Física: o trabalho realiado por uma força é o produto escalar do vetor força pelo vetor deslocamento, quando a força aplicada é constante. O produto escalar ou interno de dois vetores V = (v 1,v 2,v 3 ) e W = (w 1,w 2,w 3 ) é definido por V W = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3. Pode-se mostrar que esta definição independe do sistema de coordenadas ortogonal usado (ver por eemplo [3]). Proposição 4. Sejam U,V e W vetores e α um escalar. São válidas as seguintes propriedades: 1. U V = V U; 2. U (V + W) = U V + U W; 3. α(u V ) = (αu) V = U (αv ); 4. V V = V 2 0, para todo V e V V = 0 se, e somente se, V = 0. Geometria Analítica - Série Concursos Públicos 6

7 A demonstração destas propriedades pode ser encontrada, por eemplo, em [3]. O ângulo entre dois vetores não nulos, V e W, é definido pelo ângulo θ determinado por V e W que satisfa 0 θ π, quando eles estão representados com a mesma origem. Quando o ângulo θ entre dois vetores V e W é reto (θ = 90 o ), ou um deles é o vetor nulo, diemos que os vetores V e W são ortogonais ou perpendiculares entre si. V V θ W θ W Figura 8: Ângulo entre dois vetores V W V V V W W W W Figura 9: A diferença V W Sejam V e W dois vetores não nulos e θ o ângulo entre eles. Pela lei dos cossenos, V W 2 = V 2 + W 2 2 V W cosθ. Por outro lado, V W 2 = (V W) (V W) = V 2 + W 2 2V W. De onde segue que o produto escalar ou interno entre eles pode ser escrito como V W = V W cosθ. Geometria Analítica - Série Concursos Públicos 7

8 Portanto, dois vetores V e W não nulos, são ortogonais se, e somente se, V W = 0. Proposição 5. Se um vetor X é ortogonal a três vetores não coplanares, então X = 0. Demonstração. Sejam U = (u 1,u 2,u 3 ),V = (v 1,v 2,v 3 ) e W = (w 1,w 2,w 3 ) vetores não coplanares. Se X = (,,) é ortogonal a eles, então, pela definição de produto escalar, e satisfa o sistema u 1 + u 2 + u 3 = 0 v 1 + v 2 + v 3 = 0 w 1 + w 2 + w 3 = 0 Mas, como os vetores são não coplanares, então por (1) o determinante da matri do sistema é diferente de ero o que implica que a única solução do sistema é = 0, = 0 e = 0. 5 Equação do Plano Eiste uma analogia entre uma reta no plano e um plano no espaço. No plano, a equação de uma reta é determinada se forem dados sua inclinação e um de seus pontos. No espaço, a inclinação de um plano é dada por um vetor perpendicular a ele e a equação de um plano é determinada se são dados um vetor perpendicular a ele e um de seus pontos. N = (a, b, c) π P 0 = ( 0, 0, 0 ) P = (,, ) Figura 10: Plano perpendicular a N = (a,b,c) e que passa por P 0 = ( 0, 0, 0 ) Geometria Analítica - Série Concursos Públicos 8

9 Proposição 6. A equação de um plano π que passa por um ponto P 0 = ( 0, 0, 0 ) e é perpendicular ao vetor N = (a, b, c) é a + b + c + d = 0, (5) onde d = (a 0 + b 0 + c 0 ). A equação (5) é chamada equação geral do plano π e o vetor N é chamado vetor normal do plano. Demonstração. Um ponto P = (,,) pertence ao plano π se, e somente se, o vetor P 0 P for perpendicular ao vetor N, ou seja, Como, N P 0 P= 0. (6) P 0 P= ( 0, 0, 0 ), a equação (6) pode ser reescrita como a( 0 ) + b( 0 ) + c( 0 ) = 0, ou seja, a + b + c (a 0 + b 0 + c 0 ) = 0. Eemplo 1. Vamos encontrar a equação do plano π que passa pelo ponto P 0 = (3, 1, 7) e é perpendicular ao vetor N = (4, 2, 5). Da proposição anterior, a equação do plano é da forma a + b + c + d = 0, onde os coeficientes de, e são as componentes do vetor normal, ou seja, a = 4, b = 2 e c = 5. Assim, a equação de π é da forma d = 0. Para determinar o coeficiente d, basta usarmos o fato de que P 0 = (3, 1, 7) pertence a π e um ponto P = (,,) pertence a π se, e somente se, ele satisfa a sua equação, ou seja, ( 1) d = 0. De onde tiramos que d = = 25. Finalmente, a equação do plano π é = 0. Geometria Analítica - Série Concursos Públicos 9

10 π 1 π 1 π 2 π 2 Figura 11: Dois planos que se interceptam segundo uma reta Figura 12: Dois planos paralelos 6 Posições Relativas de Dois Planos Sejam dois planos π 1 : a 1 + b 1 + c 1 + d 1 = 0 e π 2 : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 0 quaisquer. Se os seus vetores normais N 1 = (a 1,b 1,c 1 ) e N 2 = (a 2,b 2,c 2 ) não são paralelos, então os planos são concorrentes (Figura 11). Se os seus vetores normais são paralelos, ou seja, se N 2 = αn 1, então os planos são paralelos distintos (Figura 12) ou coincidentes. Além de paralelos, eles são coincidentes se, e somente se, todo ponto que satisfa a equação de π 1, satisfa também a equação de π 2. Suponha que π 1 e π 2 são coincidentes, com N 2 = αn 1, então a 2 +b 2 +c 2 +d 2 = αa 1 +αb 1 +αc 1 +d 2 = α(a 1 +b 1 +c 1 )+d 2 = α( d 1 )+d 2 = 0. Portanto, d 2 = αd 1 e as equações de π 1 e π 2 são proporcionais. Reciprocamente, se as equações de π 1 e π 2 são proporcionais, então claramente os dois planos são coincidentes. Portanto, dois planos são coincidentes se, e somente se, além dos vetores normais serem paralelos, as suas equações são proporcionais. 7 Posições Relativas de Três Planos Consideremos três planos π 1, π 2, e π 3 dados pelas equações: π 1 : a 1 + b 1 + c 1 = d 1 π 2 : a 2 + b 2 + c 2 = d 2 (7) π 3 : a 3 + b 3 + c 3 = d 3 Os vetores N i = (a i,b i,c i ) são normais aos planos π i, para i = 1, 2, 3. Os três vetores são coplanares ou não são coplanares. 1. Se os vetores N 1,N 2 e N 3 não são coplanares, então vamos mostrar que os planos se interceptam dois a dois segundo retas que se interceptam em um ponto. As retas r = π 1 π 2 e s = π 1 π 3 estão no plano π 1. Vamos mostrar que elas são concorrentes. Sejam A e B dois pontos distintos da reta r. O vetor AB é Geometria Analítica - Série Concursos Públicos 10

11 π 1 π 2 π 3 Figura 13: Três planos que se interceptam segundo um ponto perpendicular a N 1 e a N 2. Se as retas r e s fossem paralelas, então AB seria perpendicular também a N 3, ou seja, AB seria perpendicular a três vetores não coplanares o que implicaria que AB= 0. Os vetores N 1,N 2 e N 3 não são coplanares se, e somente se, det(a) 0, onde A = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3. Neste caso o sistema tem solução única (Figura 13). π 1 π 1 π 2 π 2 π 3 π 3 Figura 14: Três planos paralelos Figura 15: Planos interceptando-se 2 a 2 2. Se os três vetores normais são coplanares, então pode ocorrer uma das seguintes situações: (a) Os vetores normais são paralelos, ou seja, N 1 = αn 2, N 1 = βn 3 e N 2 = γn 3. Neste caso, os planos são paralelos. Se além disso, eatamente duas das equações são proporcionais, então eatamente dois planos são coincidentes e o sistema não tem solução. Se Geometria Analítica - Série Concursos Públicos 11

12 π 3 π 1 π 1 π 2 π 2 π 3 Figura 16: Três planos, sendo 2 paralelos Figura 17: Reta interseção de 3 planos as três equações são proporcionais, então os três planos são coincidentes e o sistema tem infinitas soluções. Se não ocorre nenhuma destas situações, os planos são paralelos e distintos e o sistema não tem solução (Figura 14). (b) Eatamente dois vetores normais são paralelos, ou seja, vale uma, e somente uma, equação entre: N 1 = αn 2, N 1 = αn 3, N 2 = αn 3. Neste caso, eatamente dois planos são paralelos. Se além de eatamente dois vetores normais serem paralelos, as equações correspondentes forem proporcionais, então dois planos são coincidentes e o terceiro corta os dois segundo uma reta. Neste caso o sistema tem infinitas soluções. Se isto não acontece, então os planos paralelos são distintos e o sistema não tem solução (Figura 16). (c) Os vetores normais são coplanares e quaisquer dois vetores normais não são paralelos, ou seja, det(a) = 0 e quaisquer dois vetores normais não são múltiplos escalares. Neste caso, quaisquer dois planos se interceptam segundo retas que são paralelas. Com estas condições podem ocorrer dois casos: os três planos se interceptem segundo uma reta, (Figura 17) ou os planos se interceptem, dois a dois, segundo retas diferentes (Figura 15). No primeiro caso, o sistema (7) tem infinitas soluções. No segundo caso, o sistema não tem solução. Referências [1] Howard Anton and Chris Rorres. Álgebra Linear com Aplicações. Bookman, São Paulo, 8a. edição, [2] Elon L. Lima. Coordenadas no Espaço. SBM, Rio de Janeiro, Álgebra Linear. Imprensa Univer- [3] Reginaldo J. Santos. Geometria Analítica e sitária da UFMG, Belo Horionte, Geometria Analítica - Série Concursos Públicos 12

13 Seções Cônicas Estudaremos as (seções) cônicas, curvas planas que são obtidas da interseção de um cone circular com um plano. Vamos estudar a elipse, a hipérbole e a parábola, que são chamadas de cônicas não degeneradas. Vamos defini-las em termos de lugares geométricos. As outras cônicas, que incluem um único ponto, um par de retas, são chamadas cônicas degeneradas. 1 Cônicas Não Degeneradas 1.1 Elipse Definição 1.1. Uma elipse é o conjunto dos pontos P = (,) do plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fios F 1 e F 2 (focos) é constante, ou seja, se dist(f 1,F 2 ) = 2c, então a elipse é o conjunto dos pontos P = (,) tais que dist(p,f 1 ) + dist(p,f 2 ) = 2a, em que a > c. Proposição 1.1. (a) A equação de uma elipse cujos focos são F 1 = ( c, 0) e F 2 = (c, 0) é 2 a + 2 = 1, (1) 2 b2 em que b = a 2 c 2. (b) A equação de uma elipse cujos focos são F 1 = (0, c) e F 2 = (0,c) é em que b = a 2 c 2. 2 b + 2 = 1, (2) 2 a2 Geometria Analítica - Série Concursos Públicos 13

14 F 2 A 2 B 2 A 1 A 2 B 1 B 2 F 1 F 2 B 1 A 1 = ( a, 0) B 1 = ( b, 0) F 1 = ( c, 0) A 2 = (a, 0) B 2 = (b, 0) F 2 = (c, 0) A 1 = (0, a) B 1 = ( b, 0) F 1 = (0, c) F 1 A 1 A 2 = (0, a) B 2 = (b, 0) F 2 = (0, c) Figura 1: Elipse com focos nos pontos F 1 = ( c, 0) e F 2 = (c, 0) Figura 2: Elipse com focos nos pontos F 1 = (0, c) e F 2 = (0,c) Demonstração. Vamos provar a primeira parte e deiamos para o leitor, como eercício, a demonstração da segunda parte. A elipse é o conjunto dos pontos P = (,) tais que dist(p,f 1 ) + dist(p,f 2 ) = 2a, ou seja, que neste caso é PF 1 + PF 1 = 2a, ( + c) ( c) = 2a ou ( + c)2 + 2 = 2a ( c) Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos a ( c) = a 2 c. Elevando novamente ao quadrado e simplificando, obtemos (a 2 c 2 ) 2 + a 2 2 = a 2 (a 2 c 2 ) Como a > c, então a 2 c 2 > 0. Assim, podemos definir b = a 2 c 2 e dividir e equação acima por a 2 b 2 = a 2 (a 2 c 2 ), obtendo (1). Nas Figuras 1 e 2, os pontos A 1 e A 2 são chamados vértices da elipse. Os segmentos A 1 A 2 e B 1 B 2 são chamados eios da elipse. A reta que passa pelos focos é chamada eio focal. A ecentricidade da elipse é o número e = c. Como, c < a, a ecentricidade de uma elipse é a um número real não negativo menor que 1. Observe que se F 1 = F 2, então a elipse redu-se à circunferência de raio a. Além disso, como c = 0, então e = 0. Assim, uma circunferência é uma elipse de ecentricidade nula. A elipse é a curva que se obtém seccionando-se um cone com um plano que não passa pelo vértice, não é paralelo a uma reta geratri (reta que gira em torno do eio do cone de forma a gerá-lo) e que corta apenas uma das folhas da superfície. 14

15 Figura 3: Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano Figura 4: Hipérbole obtida seccionando-se um cone com um plano 1.2 Hipérbole Definição 1.2. Uma hipérbole é o conjunto dos pontos P = (,) do plano tais que o módulo da diferença entre as distâncias de P a dois pontos fios F 1 e F 2 (focos) é constante, ou seja, se dist(f 1,F 2 ) = 2c, então a hipérbole é o conjunto dos pontos P = (,) tais que dist(p,f 1 ) dist(p,f 2 ) = 2a, em que a < c. Proposição 1.2. (a) A equação de uma hipérbole cujos focos são F 1 = ( c, 0) e F 2 = (c, 0) é 2 a 2 2 b = 1 (3) 2 e das assíntotas (retas para onde a curva se aproima, quando ± ), em que b = c 2 a 2. = ± b a, (b) A equação de uma hipérbole cujos focos são F 1 = (0, c) e F 2 = (0,c) é 2 a 2 2 b = 1 (4) 2 e das assíntotas (retas para onde a curva se aproima, quando ± ), em que b = c 2 a 2. = ± a b, 15

16 = b a = b a = a b F 2 = a b A 2 A 1 A 2 F 1 F 2 A 1 F 1 A 1 = ( a, 0) F 1 = ( c, 0) A 2 = (a, 0) F 2 = (c, 0) A 1 = (0, a) F 1 = (0, c) A 2 = (0, a) F 2 = (0, c) Figura 5: Hipérbole com focos nos pontos F 1 = ( c, 0) e F 2 = (c, 0) Figura 6: Hipérbole com focos nos pontos F 1 = (0, c) e F 2 = (0,c) Demonstração. Vamos provar a primeira parte e deiamos para o leitor, como eercício, a demonstração da segunda parte. A hipérbole é o conjunto dos pontos P = (,) tais que dist(p,f 1 ) dist(p,f 2 ) = ±2a, ou seja, PF 1 PF 2 = ±2a, que neste caso é ( + c)2 + 2 ( c) = ±2a ou ( + c)2 + 2 = ±2a + ( c) Elevando ao quadrado e simplificando, temos ±a ( c) = a 2 c. Elevando novamente ao quadrado e simplificando, temos (a 2 c 2 ) 2 + a 2 2 = a 2 (a 2 c 2 ) Como a < c, então c 2 a 2 > 0. Assim, podemos definir b = c 2 a 2 e dividir e equação acima por a 2 b 2 = a 2 (a 2 c 2 ), obtendo (3). Se a equação (3) é resolvida em obtemos = ± a b 2 a 2 que, para > 0, pode ser escrita como = ± b a 1 a2 2. Se tende a +, então o radical no segundo membro se aproima de 1 e a equação tende a = ± b a. O mesmo ocorre para < 0, quando tende a (verifique!). 16

17 Nas Figuras 5 e 6, os pontos A 1 e A 2 são chamados vértices da hipérbole. A reta que passa pelos focos é chamada eio focal. A ecentricidade da hipérbole é o número e = c a. Como, c > a, a ecentricidade de uma hipérbole é um número real maior que 1. A hipérbole é a curva que se obtém seccionando-se um cone por um plano paralelo ao seu eio que não passa pelo vértice. 1.3 Parábola Figura 7: Parábola obtida seccionando-se um cone com um plano Definição 1.3. Uma parábola é o conjunto dos pontos P = (,) do plano eqüidistantes de uma reta r (diretri) e de um ponto F (foco), não pertencente a r, ou seja, a parábola é o conjunto dos pontos P = (,) tais que dist(p,f) = dist(p,r). Proposição 1.3. (a) A equação de uma parábola com foco F = (p, 0) e reta diretri r : = p é 2 = 4p. (5) (b) A equação de uma parábola com foco F = (0,p) e reta diretri r : = p é 2 = 4p. (6) 17

18 r : = p P 0 F F = (0, p) P 0 = (0, 0) F = (p, 0) P 0 = (0, 0) r : = p Figura 8: Parábola com foco no ponto F = (p, 0) e p > 0 Figura 9: Parábola com foco no ponto F = (0,p) e p > 0 Demonstração. Vamos provar a primeira parte e deiamos para o leitor, como eercício, a demonstração da segunda parte. A parábola é o conjunto dos pontos P = (,) tais que dist(p,f) = dist(p,r), que neste caso é ( p)2 + 2 = + p, Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos (5). r : = p r : = p P 0 F F P 0 F = (p, 0) P 0 = (0, 0) F = (0, p) P 0 = (0, 0) Figura 10: Parábola com foco no ponto F = (p, 0) e p < 0 Figura 11: Parábola com foco no ponto F = (0,p) e p < 0 Nas Figuras 8, 9, 10 e 11, o ponto P 0 é o ponto da parábola mais próimo da reta diretri e é chamado de vértice da parábola. A parábola é a curva que se obtém seccionando-se um cone por um plano paralelo a uma reta geratri do cone conforme a Figura 7 na página 5. 18

19 1.4 Caracteriação das Cônicas Vamos mostrar a seguir que todas as cônicas não degeneradas, com eceção da circunferência, podem ser descritas de uma mesma maneira. s : = p e 2 s : = p e 2 F F (p, 0) (p, 0) Figura 12: Elipse, um de seus focos e a reta diretri à direita Figura 13: Hipérbole, um de seus focos e a reta diretri à direita Proposição 1.4. Seja s uma reta fia (diretri) e F um ponto fio (foco) não pertencente a s. O conjunto dos pontos do plano P = (,) tais que em que e > 0 é uma constante fia, é uma cônica. (a) Se e = 1, então a cônica é uma parábola. (b) Se 0 < e < 1, então a cônica é uma elipse. (c) Se e > 1, então a cônica é uma hipérbole. dist(p,f) = e dist(p,s), (7) Reciprocamente, toda cônica que não seja uma circunferência pode ser descrita por uma equação da forma (7). Demonstração. Se e = 1, a equação (7) é a própria definição da parábola. Vamos considerar o caso em que e > 0, com e 1. Seja d = dist(f,s). Sem perda de generalidade podemos tomar o foco como sendo o ponto F = (p, 0) e a diretri como sendo a reta vertical s : = p e 2, em que p = de2 se a reta s estiver à direita do foco F (Figuras 12 e 13) e p = de2 se a reta s 1 e 2 e 2 1 estiver à esquerda do foco F (Figuras 14 e 15). Assim o conjunto dos pontos P = (,) tais que dist(p,f) = e dist(p,s), 19

20 s : = p e 2 s : = p e 2 F F (p, 0) (p, 0) Figura 14: Elipse, um de seus focos e a reta diretri à esquerda Figura 15: Hipérbole, um de seus focos e a reta diretri à esquerda pode ser descrito como sendo o conjunto dos pontos P = (,) tais que ( p)2 + 2 = e p, e 2 Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos que pode ainda ser escrito como (1 e 2 ) = p 2 ( 1 e 2 1 ) 2 + p 2 e 2 2 p 2 (1 e 2 ) e 2 = 1. (8) Se 0 < e < 1, esta é a equação de uma elipse. Se e > 1, é a equação de uma hipérbole. Para mostrar a recíproca, considere uma elipse ou hipérbole com ecentricidade e > 0 e um dos focos em F = (p, 0). É fácil verificar que (8) é a equação desta cônica e portanto (7) também o é, com a reta diretri sendo s : = p e 2. 20

21 Eercícios Numéricos 1.1. Reduir cada uma das equações de forma a identificar a cônica que ela representa e faça um esboço do seu gráfico: (a) = 1 (c) = 9 (b) 2 + = Escreva as equações das seguintes elipses: (a) Os focos são F 1 = ( 1, 2) e F 2 = (3, 2) e satisfa dist(p,f 1 ) + dist(p,f 2 ) = 6; (b) Os focos são F 1 = ( 1, 1) e F 2 = (1, 1) e satisfa dist(p,f 1 ) + dist(p,f 2 ) = 4; 1.3. Escreva as equações das seguintes hipérboles: (a) Os focos são F 1 = (3, 1) e F 2 = (3, 4) e satisfa dist(p,f 1 ) dist(p,f 2 ) = 3; (b) Os focos são F 1 = ( 1, 1) e F 2 = (1, 1) e satisfa dist(p,f 1 ) dist(p,f 2 ) = 2; 1.4. Escreva as equações das seguintes parábolas: (a) O foco é F = (0, 2) e diretri = 2; (b) O foco é F = (0, 0) e diretri + = 2; Eercícios Teóricos 1.5. Mostre que a equação da elipse com focos nos pontos F 1 = ( 0 c, 0 ) e F 2 = ( 0 + c, 0 ) e satisfa dist(p,f 1 ) + dist(p,f 2 ) = 2a, em que a > c é em que b = a 2 c 2. ( 0 ) 2 a 2 + ( 0) 2 b 2 = 1, 1.6. Mostre que a equação da hipérbole com focos nos pontos F 1 = ( 0 c, 0 ) e F 2 = ( 0 +c, 0 ) e satisfa dist(p,f 1 ) dist(p,f 2 ) = 2a, em que a < c é em que b = c 2 a 2. ( 0 ) 2 a 2 ( 0) 2 b 2 = 1, 1.7. Mostre que a equação da parábola com foco no ponto F = ( 0 + p, 0 ) e reta diretri r : = 0 p é ( 0 ) 2 = 4p( 0 ) Seja uma elipse ou hipérbole com um dos focos em F = (p, 0). Definindo a reta r : = p e 2, em que e é a ecentricidade. 21

22 (a) Mostre que é a equação desta cônica. 2 + p 2 e 2 2 p 2 (1 e 2 ) e 2 = 1 (b) Mostre que esta cônica pode ser descrita pelo conjunto de pontos P = (,) tais que dist(p,f) = e dist(p,r). 22

23 2 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas P r θ O Figura 16: Ponto P do plano em coordenadas polares (r,θ) e cartesianas (,) Até agora vimos usando o chamado sistema de coordenadas cartesianas, em que um ponto do plano é localiado em relação a duas retas fias perpendiculares entre si. Vamos definir um outro sistema de coordenadas chamado de sistema de coordenadas polares em que um ponto do plano é localiado em relação a um ponto e a uma reta que passa por esse ponto. Escolhemos um ponto O (usualmente a origem do sistema cartesiano), chamado polo e uma reta orientada passando pelo polo chamada eio polar (usualmente tomamos o próprio eio do sistema cartesiano). No sistema de coordenadas polares um ponto no plano é localiado dando-se a distância do ponto ao polo, r = dist(p,o) e o ângulo, θ, entre os vetores OP e um vetor na direção e sentido do eio polar, com a mesma convenção da trigonometria, ou seja, ele é positivo se medido no sentido anti-horário a partir do eio polar e negativo se medido no sentido horário a partir do eio polar. As coordenadas polares de um ponto P do plano são escritas na forma (r,θ). Segue facilmente as relações entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares. Proposição 2.1. Suponha que o polo e o eio polar do sistema de coordenadas polares coincidem com a origem e o eio do sistema de coordenadas cartesianas, respectivamente. Então a transformação entre os sistemas de coordenadas polares e o de coordenadas cartesianas podem ser realiadas pelas equações = r cosθ e = r sen θ cosθ = r = 2 + 2, e sen θ = 2 + 2, se

24 ( r, θ) θ + π θ (r, θ) = ( r, θ + π) Figura 17: Para r < 0, (r,θ) = ( r,θ + π) Estendemos as coordenadas polares para o caso no qual r é negativo da seguinte forma: para r < 0, (r,θ) = ( r,θ + π). Assim, (r,θ) e ( r,θ) estão na mesma reta que passa pelo polo, à distância r do polo, mas em lados opostos em relação ao polo Figura 18: Circunferência com equação em coordenadas polares r 2 cos θ 2 sen θ = 0 Eemplo 2.1. Vamos determinar a equação em coordenadas polares da circunferência cuja equação em coordenadas retangulares é ( 1) 2 + ( 1) 2 = 2 ou simplificando = 0. 24

25 Substituindo-se por r cos θ e por r sen θ obtemos r 2 2r cosθ 2r sen θ = 0. Dividindo-se por r ficamos com r 2 cosθ 2 senθ = Figura 19: Parábola com equação em coordenadas polares r = 1 1 cosθ Eemplo 2.2. Vamos determinar a equação em coordenadas retangulares do lugar geométrico cuja equação em coordenadas polares é 1 r = 1 cosθ. Substituindo-se r por e cos θ por 2 + obtemos = ou simplificando = 1. Somando-se a ambos os membros obtemos = 1 +. Elevando-se ao quadrado obtemos = (1 + ) 2. Simplificando-se obtemos ainda 2 = = 2( + 1/2), que é uma parábola com foco na origem F = (0, 0) e reta diretri = 1 (verifique!). 25

26 2.1 Cônicas em Coordenadas Polares A equação polar de uma cônica, que não é uma circunferência, assume uma forma simples quando um foco F está no polo e a reta diretri s é paralela ou perpendicular ao eio polar. Seja d = dist(f,s). Para deduir a equação polar das cônicas vamos usar a caracteriação dada na Proposição 1.4 na página 7, ou seja, que uma cônica é o lugar geométrico dos pontos P que satisfaem dist(p,f) = e dist(p,s) Como o foco F está no polo, temos que dist(p,f) = r, em que (r,θ) são as coordenadas polares de P. (a) Se a reta diretri, s, é perpendicular ao eio polar. (i) Se a reta s está à direita do polo, obtemos que dist(p,r) = d r cosθ. Assim a equação da cônica fica sendo Isolando r obtemos r = e(d r cosθ). r = de 1 + e cosθ. (ii) Se a reta s está à esquerda do polo, obtemos que dist(p,s) = d + r cosθ. Assim a equação da cônica fica sendo r = e(d + r cosθ). Isolando r obtemos r = de 1 e cosθ. (b) Se a reta diretri, s, é paralela ao eio polar. (i) Se a reta s está acima do polo, obtemos que dist(p,r) = d r sen θ. Assim a equação da cônica fica sendo r = e(d r sen θ). Isolando r obtemos r = de 1 + e sen θ. (ii) Se a reta s está abaio do polo, obtemos que dist(p,r) = d+r sen θ. Assim a equação da cônica fica sendo r = e(d + r sen θ). Isolando r obtemos Isto prova o seguinte resultado r = de 1 e sen θ. 26

27 Proposição 2.2. Considere uma cônica com ecentricidade e > 0 (que não é uma circunferência), que tem um foco F no polo e a reta diretri s é paralela ou perpendicular ou eio polar, com d = dist(s,f). (a) Se a reta diretri correspondente a F é perpendicular ao eio polar e está à direita do polo, então a equação polar da cônica é r = de 1 + e cosθ e se está à esquerda do polo, então a equação polar da cônica é r = de 1 e cosθ (b) Se a reta diretri correspondente a F é paralela ao eio polar e está acima do polo, então a equação polar da cônica é de r = 1 + e sen θ e se está abaio do polo, então a equação polar da cônica é r = de 1 e sen θ s s P r P r = r θ θ Figura 20: Parte de uma cônica com foco no polo e reta diretri perpendicular ao eio polar à direita Figura 21: Hipérbole com foco no polo e reta diretri perpendicular ao eio polar à direita 27

28 s s P r θ r = r θ P Figura 22: Parte de uma cônica com foco no polo e reta diretri perpendicular ao eio polar à esquerda Figura 23: Hipérbole com foco no polo e reta diretri perpendicular ao eio polar à esquerda s P P r = r r θ s θ Figura 24: Parte de uma cônica com foco no polo e reta diretri paralela ao eio polar acima Figura 25: Hipérbole com foco no polo e reta diretri paralela ao eio polar acima 28

29 θ r θ s r = r P s P Figura 26: Parte de uma cônica com foco no polo e reta diretri paralela ao eio polar abaio Figura 27: Hipérbole com foco no polo e reta diretri paralela ao eio polar abaio Eemplo 2.3. Vamos identificar a cônica cuja equação em coordenadas polares é r = cosθ. Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro da equação por 2 obtemos r = cosθ, que é a equação em coordenadas polares de uma elipse com ecentricidade igual a 1/2, um dos focos no polo, reta diretri = 4 (coordenadas cartesianas) ou r cosθ = 4 (coordenadas polares). Vamos encontrar as coordenadas polares dos vértices. Para isso, faemos θ = 0 e θ = π na equação polar da elipse obtendo r = 4/3 e r = 4, respectivamente. 2.2 Circunferência em Coordenadas Polares A forma mais simples da equação de uma circunferência em coordenadas polares ocorre quando seu centro está no polo. Neste caso a equação é simplesmente r = a, em que a é o raio da circunferência. Além deste caso, a equação polar de uma circunferência assume uma forma simples quando ela passa pelo polo e o seu centro está no eio polar ou na reta perpendicular ao eio polar que passa pelo polo. (a) Se o centro está no eio polar. (i) Se o raio é igual a a e o centro em coordenadas polares é C = (a, 0). Se P é um ponto qualquer da circunferência, então a 2 = CP 2 = OP OC 2 = OP 2 + OC 2 2 OP OC = r 2 + a 2 2ra cos θ. 29

30 P P r r θ θ C C Figura 28: Circunferência que passa pelo polo com centro no eio polar à direita Figura 29: Circunferência que passa pelo polo com centro no eio polar à esquerda Assim, r 2 = 2ra cos θ ou r(r 2a cosθ) = 0 Logo a equação em coordenadas polares da circunferência é r = 2a cosθ. (ii) Se o raio é igual a a e o centro em coordenadas polares é C = (a,π). Se P é um ponto qualquer da circunferência, então Assim, ou a 2 = CP 2 = OP OC 2 = OP 2 + OC 2 2 OP OC = r 2 + a 2 2ra cos(π θ). r 2 = 2ra cos θ r(r + 2a cosθ) = 0 Logo a equação em coordenadas polares da circunferência é r = 2a cos θ. (b) Se o centro está na reta perpendicular ao eio polar que passa pelo polo. (i) Se o raio é igual a a e o centro em coordenadas polares é C = (a,π/2). Se P é um ponto qualquer da circunferência, então a 2 = CP 2 = OP OC 2 = OP 2 + OC 2 2 OP OC = r 2 + a 2 2ra cos(π/2 θ). 30

31 θ P r C r C P θ Figura 30: Circunferência que passa pelo polo com centro acima do polo na reta perpendicular ao eio polar que passa pelo polo Figura 31: Circunferência que passa pelo polo com centro abaio do polo na reta perpendicular ao eio polar que passa pelo polo Assim, r 2 = 2ra sen θ ou r(r 2a sen θ) = 0 Logo a equação em coordenadas polares da circunferência é r = 2a sen θ. (ii) Se o raio é igual a a e o centro em coordenadas polares é C = (a, π/2). Se P é um ponto qualquer da circunferência, então Assim, ou a 2 = CP 2 = OP OC 2 = OP 2 + OC 2 2 OP OC = r 2 + a 2 2ra cos( π/2 θ). r 2 = 2ra sen θ r(r + 2a sen θ) = 0 Logo a equação em coordenadas polares da circunferência é r = 2a sen θ. 31

32 Proposição 2.3. Considere uma circunferência de raio a que passa pelo polo cujo centro está no eio polar ou na reta perpendicular ao eio polar que passa pelo polo. (a) Se o centro está no eio polar e à direita do polo, então a equação polar da circunferência é dada por r = 2a cosθ e se o centro está à esquerda do polo, então a equação polar da circunferência é dada por r = 2a cosθ. (b) Se o centro está na reta perpendicular ao eio polar que passa pelo polo e acima do polo, então a equação polar é dada por r = 2a sen θ, e se está abaio do polo, então a equação polar da circunferência é dada por r = 2a sen θ. Eemplo 2.4. Uma circunferência cuja equação em coordenadas polares é r = 3 cosθ passa pelo polo, tem raio igual a 3/2 e as coordenadas polares do seu centro são (3/2,π). 2.3 Equações Paramétricas Seja F(,) = 0 (9) a equação de uma curva plana C em coordenadas retangulares. Sejam e funções de uma terceira variável t em um subconjunto, I, do conjunto dos números reais, R, ou seja, = f(t) e = g(t), para todo t I. (10) Se para qualquer valor da variável t no conjunto I, os valores de e determinados pelas equações (10) satisfaem (9), então as equações (10) são chamadas equações paramétricas da curva C e a variável independente t é chamada parâmetro. Diemos também que as equações (10) formam uma representação paramétrica da curva C. A representação paramétrica de curvas tem um papel importante no traçado de curvas pelo computador. Eemplo 2.5. Seja a um número real positivo fio. A circunferência de equação pode ser representada parametricamente pelas equações = a 2 (11) = a cost e = a sen t, para todo t [0, 2π]. (12) 32

33 Pois elevando ao quadrado cada uma das equações (12) e somando os resultados obtemos ou por = a 2 cos 2 t + a 2 sen 2 t = a 2. A circunferência definida por (11) pode também ser representada parametricamente por = t e = a 2 t 2, para todo t [0,a 2 ]. (13) = t e = a 2 t 2, para todo t [0,a 2 ]. (14) Apenas que com (13) obtemos somente a parte de cima da circunferência e com (14) obtemos somente a parte de baio. (cos t, sen t) (a cos t, a sen t) t (b cos t, b sen t) t (a cos t, b sen t) Figura 32: Circunferência parametriada Figura 33: Elipse parametriada Eemplo 2.6. A elipse de equação 2 a b = 1 (15) 2 pode ser representada parametricamente pelas equações = a cost e = b sen t, para todo t [0, 2π]. (16) Pois elevando ao quadrado e dividindo por a 2 a primeira equação em (16), elevando ao quadrado e dividindo por b 2 a segunda equação em (16) e somando os resultados obtemos 2 a b 2 = cos2 t + sen 2 t = 1. 33

34 Eemplo 2.7. A hipérbole de equação pode ser representada parametricamente pelas equações 2 a 2 2 b 2 = 1 (17) = a sec t e = b tant, para todo t [0, 2π], t π/2, 3π/2. (18) Pois elevando ao quadrado e dividindo por a 2 a primeira equação em (18), elevando ao quadrado e dividindo por b 2 a segunda equação em (18) e subtraindo os resultados obtemos 2 a 2 2 b 2 = sec2 t tan 2 t = 1. Vamos apresentar uma outra representação paramétrica da hipérbole. Para isso vamos definir duas funções f 1 (t) = et + e t e f 2 (t) = et e t. (19) 2 2 A hipérbole definida por (17) pode, também, ser representada parametricamente por = af 1 (t) e = bf 2 (t), para todo t R. (20) Pois elevando ao quadrado e dividindo por a 2 a primeira equação em (20), elevando ao quadrado e dividindo por b 2 a segunda equação em (20) e subtraindo os resultados obtemos 2 a 2 2 b = (f 1(t)) 2 (f 2 2 (t)) 2 = 1 ( e 2t e 2t) 1 ( e 2t 2 + e 2t) = 1. (21) 4 4 (0, 1/2) (0, 1) (0, 1/2) (0, 1/2) Figura 34: Cosseno hiperbólico Figura 35: Seno hiperbólico As funções f 1 (t) e f 2 (t) definidas por (19) recebem o nome de cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente e são denotadas por cosh t e senh t. De (21) segue a seguinte relação fundamental entre o cosseno e o seno hiperbólicos cosh 2 t senh 2 t = 1. (22) 34

35 e a representação paramétrica (20) pode ser escrita como Também = a cosht e = b senh t, para todo t R. = a cosht e = b senh t, para todo t R. (23) é uma representação paramétrica da hipérbole (17). Apenas que com (20) obtemos somente o ramo direito da hipérbole e com (23), somente o ramo esquerdo. (a cos t, a sen t) (b, b tan t) (a sec t, b tan t) t ( a cosh t, b senh t) (a cosh t, b senh t) Figura 36: Hipérbole parametriada usando secante e tangente Figura 37: Hipérbole parametriada usando as funções hiperbólicas Eemplo 2.8. Vamos mostrar que a parametriação de uma curva em relação a qual sabemos sua equação em coordenadas polares r = f(θ) pode ser feita da seguinte forma = f(t) cost e = f(t) sent. (24) A equação da curva em coordenadas cartesianas é { = f(θ(,)), se f(θ(,)) = f(θ(,)), se f(θ(,)) < 0. ou = f(θ(,)). (25) Para a parametriação (24) temos que f(θ(,)) = (f(t)) 2 cos 2 t + (f(t)) 2 sen 2 t f(t) = 0. O que mostra que (24) é uma parametriação para (25) e portanto para r = f(θ). Por eemplo, = e cost 1 + e cost e = e sen t 1 + e cost é uma parametriação de uma cônica com ecentricidade e > 0, reta diretri localiada à direita a uma distância igual a 1 e um dos focos na origem. 35

36 ( e cos t 1+e cos t, e sen t 1+e cos t ) ( e cos t 1+e cos t, e sen t 1+e cos t ) t t Figura 38: Elipse com foco na origem parametriada usando a sua fórmula em coordenadas polares Figura 39: Hipérbole com foco na origem parametriada usando a sua fórmula em coordenadas polares 36

37 Eercícios Numéricos 2.1. Transformar a equação em coordenadas retangulares em uma equação em coordenadas polares: (a) = 4 (c) = 0 (b) 2 2 = 4 (d) = Transformar a equação em coordenadas polares em uma equação em coordenadas retangulares: 2 (c) r = 9 cosθ (a) r = 1 3 cosθ 3 (d) r = (b) r = 4 senθ 2 + senθ 2.3. Identificar a cônica cuja equação em coordenadas polares é dada. Determine a ecentricidade, a equação da diretri, a distância da diretri ao foco e as coordenadas polares do(s) vértice(s): 5 3 (a) r = (c) r = (b) r = 2 2 cosθ senθ (d) r = cosθ cosθ 2.4. Determine o raio e e as coordenadas polares do centro da circunferência cuja equação em coordenadas polares é dada: (a) r = 4 cosθ (c) r = 3 cosθ 2 (b) r = 3 senθ (d) r = 4 sen θ A equação da trajetória de uma partícula lançada do ponto P 0 = (0, 0), com velocidade v 0, faendo um ângulo α com o eio e sujeita apenas a ação da aceleração da gravidade g é dada por g = (tanα) 2v0 2 cos 2 α 2. Mostre que = (v 0 cosα)t e são equações paramétricas da trajetória da partícula. Eercícios Teóricos = (v 0 sen α)t g 2 t Se o centro de uma circunferência que passa pelo polo é (a,α), mostre que sua equação em coordenadas polares é r = 2a cos(θ α). de 2.7. Se a cônica de equação r = representa uma parábola, determine as coordenadas 1 e cosθ polares do seu vértice e a equação em coordenadas polares da reta diretri. de 2.8. Se a cônica de equação r = 1 + e cosθ 2de do seu eio menor é. 1 e 2 representa uma elipse, mostre que o comprimento 37

38 2.9. Mostre que a equação em coordenadas polares de uma elipse com um dos focos no polo, que tem eio maior igual a 2a e ecentricidade e é Referências r = a(1 e2 ) 1 e cosθ. [1] Howard Anton and Chris Rorres. Álgebra Linear com Aplicações. Bookman, São Paulo, 8a. edition, [2] Paulo Boulos and Ivan de C. e Oliveira. Geometria Analítica - um tratamento vetorial. Mc Graw-Hill, São Paulo, 2a. edition, [3] Charles H. Lehmann. Geometria Analítica. Editora Globo, Porto Alegre, [4] Louis Leithold. Cálculo com geometria analítica, Vol. 2. Ed. Harbra Ltda., São Paulo, 3a. edition, [5] Reginaldo J. Santos. Matries Vetores e Geometria Analítica. Imprensa Universitária da UFMG, Belo Horionte, [6] James Stewart. Cálculo, Vol. 2. Pioneira, São Paulo, 4a. edition, [7] Israel Vainsecher. Notas de Geometria Analítica Elementar. Departamento de Matemática- UFPe, Recife,

39 Superfícies e Curvas no Espaço 1 Quádricas Nesta seção estudaremos as superfícies que podem ser representadas pelas equações quadráticas nas variáveis, e, ou seja, da forma a 2 + b 2 + c 2 + d + e + f + g + h + i + j = 0, em que a,b,c,d,e,f,g,h,i,j R, com a,b,c,d,e,f não simultaneamente nulos. Vamos nos limitar neste capítulo ao estudo de casos especiais da equação acima. 1.1 Elipsóide Figura 1: Elipsóide de equação = a 2 b 2 c 2 Figura 2: Elipsóide e interseções com os planos = k Um elipsóide é um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas satisfa a equação Ú ı

40 2 a b + 2 = 1, (1) 2 c2 em que a,b e c são números reais positivos. Figura 3: Elipsóide e interseções com os planos = k Figura 4: Elipsóide e interseções com os planos = k Observe que se (,,) satisfa (1), então (,, ) também satisfa, por isso diemos que o elipsóide (1) é simétrico em relação ao plano. Também (,,) satisfa (1), por isso diemos que o elipsóide (1) é simétrico em relação ao plano. O mesmo acontece com (,,), por isso diemos que o elipsóide (1) é simétrico em relação ao plano. Se (,,) satisfa (1), então (,, ) também satisfa, por isso diemos que o elipsóide (1) é simétrico em relação ao eio. O mesmo acontece com (,, ), por isso diemos que o elipsóide (1) é simétrico em relação ao eio. O mesmo acontece com (,, ), por isso diemos que o elipsóide (1) é simétrico em relação ao eio. Finalmente se (,,) satisfa (1), então (,, ) também satisfa, por isso diemos que o elipsóide (1) é simétrico em relação à origem. Se k < c, o plano = k intercepta o elipsóide (1) segundo a elipse 2 a 2 ( 1 k2 c 2 ) + 2 b 2 ( 1 k2 c 2 ) = 1, = k. Observe que os eios da elipse diminuem à medida que k aumenta. As interseções do elipsóide (1) com o plano = k, para k < a e com o plano = k, para k < b, são também elipses. Se a = b = c, o elipsóide é uma esfera de raio r = a = b = c. 40

41 1.2 Hiperbolóide Hiperbolóide de Uma Folha Figura 5: Hiperbolóide de uma folha de equação = 1 a 2 b 2 c 2 Figura 6: Hiperbolóide de uma folha e interseções com os planos = k Um hiperbolóide de uma folha é um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas satisfa a equação 2 a b 2 = 1, (2) 2 c2 em que a,b e c são números reais positivos. Observe que o hiperbolóide de uma folha (2) é simétrico em relação aos planos coordenados, aos eios coordenados e à origem. Pois, se (,,) satisfa (2), então (,,), (,,), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) e (,, ) também satisfaem. O plano = k intercepta o hiperbolóide de uma folha (2) segundo a elipse 2 a 2 ( 1 + k2 c 2 ) + 2 b 2 ( 1 + k2 c 2 ) = 1, = k. Observe que os eios da elipse aumentam à medida que k cresce. O plano = k intercepta o hiperbolóide de uma folha (2) segundo uma curva cuja equação é 2 a 2 2 c = 1 k2 2 b, = k. 2 Se k/b 1, então a interseção é uma hipérbole e se k/b = 1, então a interseção é um par de retas concorrentes. Considerações semelhantes são válidas para a interseção do hiperbolóide de uma folha (2) com o plano = k. As equações 2 a 2 2 b c =

42 e 2 a b c = 1 2 também representam hiperbolóides de uma folha. Figura 7: Hiperbolóide de uma folha e interseções com os planos = k Figura 8: Hiperbolóide de uma folha e interseções com os planos = k Hiperbolóide de Duas Folhas Figura 9: Hiperbolóide de duas folhas Figura 10: Hiperbolóide de duas folhas e interseções com os planos = k Um hiperbolóide de duas folhas é um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas satisfa a equação 2 a 2 2 b + 2 = 1, (3) 2 c2 42

43 em que a,b e c são números reais positivos. Observe que o hiperbolóide de duas folhas (3) é simétrico em relação aos planos coordenados, aos eios coordenados e à origem. Pois, se (,,) satisfa (3), então (,,), (,,), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) e (,, ) também satisfaem. O plano = k, para k > c, intercepta o hiperbolóide de duas folhas (3) segundo a elipse e 2 a 2 ( k 2 c 2 1 ) + 2 b 2 ( k 2 c 2 1 ) = 1, = k. O plano = k intercepta o hiperbolóide de duas folhas (3) segundo a hipérbole 2 a 2 ( 1 + k2 b 2 ) + 2 c 2 ( 1 + k2 b 2 ) = 1, = k. A interseção do hiperbolóide de duas folhas (3) com o plano = k é também uma hipérbole. As equações 2 a 2 2 b 2 2 c = a b 2 2 c = 1 2 também representam hiperbolóides de duas folhas. Figura 11: Hiperbolóide de duas folhas e interseções com os planos = k Figura 12: Hiperbolóide de duas folhas e interseções com os planos = k 43

44 1.3 Parabolóide Parabolóide Elíptico Figura 13: Parabolóide elíptico de equação c = 2 + 2, para c > 0 a 2 b 2 Figura 14: Parabolóide elíptico e interseções com os planos = k Um parabolóide elíptico é um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas satisfa a equação c = 2 a b, (4) 2 em que a,b e c são números reais, sendo a e b positivos. O parabolóide elíptico (4) é simétrico em relação aos planos e. Pois, se (,,) satisfa (4), então (,,) e (,,) também satisfaem. Ele também é simétrico em relação ao eio, pois se (,,) satisfa (4), então (,,) também satisfa. A interseção do parabolóide elíptico (4) com o plano = k, para k tal que ck > 0, é a elipse e 2 cka + 2 = 1, = k. 2 ckb2 A interseção do parabolóide elíptico (4) com plano = k é a parábola = k2 ca cb2, = k. A interseção do parabolóide elíptico (4) com plano = k também é uma parábola. As equações a = 2 b c 2 b = 2 a c 2 também representam parabolóides elípticos. 44

45 Figura 15: Parabolóide elíptico e interseções com os planos = k Figura 16: Parabolóide elíptico e interseções com os planos = k Parabolóide Hiperbólico Um parabolóide hiperbólico é um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas satisfa a equação c = 2 a 2 2 b, (5) 2 em que a,b e c são números reais, sendo a e b positivos. O parabolóide hiperbólico (5) é simétrico em relação aos planos e. Pois, se (,,) satisfa (5), então (,,) e (,,) também satisfaem. Ele também é simétrico em relação ao eio, pois se (,,) satisfa (5), então (,,) também satisfa. A interseção do plano = k com o parabolóide hiperbólico (5) é dada por 2 ca 2 = k, = k, 2 cb2 que representa uma hipérbole, se k 0 e um par de retas, se k = 0. A interseção do parabolóide hiperbólico (5) com plano = k é a parábola = 2 ca 2 k2 cb 2, = k que tem concavidade para cima se c > 0 e concavidade para baio se c < 0. A interseção do parabolóide hiperbólico com plano = k é a parábola = 2 cb 2 + k2 ca 2, = k que tem concavidade para baio se c > 0 e concavidade para cima se c < 0. O parabolóide hiperbólico é também chamado sela. As equações a = 2 b 2 2 c 2 45

46 Figura 17: Parabolóide hiperbólico de equação c = 2 2, para c < 0 a 2 b 2 Figura 18: Parabolóide hiperbólico e interseções com os planos = k e b = 2 a 2 2 c 2 também representam parabolóides hiperbólicos. Figura 19: Parabolóide hiperbólico e interseções com os planos = k Figura 20: Parabolóide hiperbólico e interseções com os planos = k 46

47 1.4 Cone Elíptico Figura 21: Cone elíptico de equação 2 = a 2 b 2 Figura 22: Cone elíptico e interseções com os planos = k Um cone elíptico é um conjunto de pontos que satisfa a equação 2 = 2 a b, (6) 2 em que a e b são números reais positivos, em algum sistema de coordenadas. Se a = b, o cone é chamado cone circular. Observe que o cone elíptico (6) é simétrico em relação aos planos coordenados, aos eios coordenados e à origem. Pois, se (,,) satisfa (6), então (,,), (,,), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) e (,, ) também satisfaem. A interseção do cone elíptico (6) com o plano = k, para k 0, é a elipse a 2 k + 2 = 1, = k. 2 b 2 k2 Observe que os eios da elipse crescem à medida que k aumenta. Os planos e cortam o cone elíptico (6) segundo as retas 2 = ±a, = 0 e = ±b, = 0, respectivamente. A interseção do cone elíptico (6) com o plano = k, para k 0, é a hipérbole 2 k 2 /b 2 = 1, = k. 2 a 2 k 2 /b2 A interseção do cone elíptico (6) com o plano = k, para k 0, é a hipérbole As equações 2 k 2 /a 2 = 1, = k. 2 b 2 k 2 /a2 2 = 2 b + 2 e 2 = 2 2 c 2 a c 2 também representam cones elípticos. 47