ESTRATÉGIAS PARA MODELAGEM DE DADOS MULTIVARIADOS NA PRESENÇA DE CORRELAÇÃO

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1 ESRAÉGIAS ARA MODELAGEM DE DADOS MULIVARIADOS NA RESENÇA DE CORRELAÇÃO v.7, n., p. 7-8, abr. 000 Flavo S. Foglatto Departamento de Engenhara de rodução & ransportes Unversdade Federal do Ro Grande do Sul raça Argentna, 9 Sala LO orto Alegre, RS E-mal: ffoglatto@ppgep.ufrgs.br Resumo Dados multvarados ocorrem com freqüênca em nvestgações empírcas. Em estudos de Engenhara, por exemplo, dados multvarados são coletados ao estudar-se o efeto de dferentes condções de processamento sobre característcas de tens manufaturados. as conjuntos de dados podem apresentar varáves altamente correlaconadas. Neste artgo, nvestga-se o efeto da estrutura de correlação de varáves dependentes em sua modelagem, a partr de regressão lnear. Quatro técncas de regressão são apresentadas e comparadas: regressão de mínmos quadrados ordnáros, regressão de mínmos quadrados generalzados, regressão por equações aparentemente não relaconadas e regressão multvarada. Como modelos de regressão são, va de regra, utlzados com fns predtvos, as técncas de modelagem acma são comparadas com base em sua varânca de predção. As dferentes técncas de regressão são lustradas em um estudo de caso. alavras-chave: técncas de regressão multvarada, varânca de predção, correlação.. Introdução A Análse de Regressão Lnear (ARL) é uma das ferramentas estatístcas mas utlzadas na modelagem de dados. A ARL consste, em sua essênca, na determnação de uma equação ou modelo que descreva de manera efcente o efeto de um grupo de varáves ndependentes sobre uma ou mas varáves dependentes. A aplcação da técnca de modelagem por

2 8 Foglatto Estratégas para Modelagem de Dados Multvarados regressão lnear a um grupo de dados resulta na determnação de coefcentes lneares que ponderam o efeto de varáves ndependentes sobre varáves dependentes. Modelos com uma únca varável dependente são dtos unvarados. Modelos com múltplas varáves dependentes são dtos multvarados. Dados multvarados ocorrem com freqüênca em nvestgações empírcas. Em estudos econômcos, por exemplo, pode-se avalar o efeto de meddas de ajuste trbutáro sobre ndcadores de desempenho econômco (ADELMAN et al., 969). Em estudos de Engenhara, pode-se estudar o efeto de dferentes ajustes nos controles de um equpamento sobre as característcas de undades por ele produzdas (FOGLIAO et al., 998). Em ambos os casos, deseja-se analsar o efeto de um grupo de varáves ndependentes (meddas de ajuste trbutáro, ajustes nos controles de um equpamento) sobre um grupo de varáves dependentes (ndcadores de desempenho econômco, característcas do produto). Outros exemplos podem ser encontrados em JOHNSON & WICHERN (99). Neste trabalho, analsa-se o efeto da estrutura de correlação de varáves dependentes na modelagem de grupos de dados multvarados. ara esse fm, quatro técncas de modelagem va ARL são comparadas relatvamente a um crtéro predetermnado; são elas: () regressão de mínmos quadrados ordnáros (RMQ), () regressão de mínmos quadrados generalzados (RMG), () regressão por equações aparentemente não relaconadas (SURE seemngly unrelated equatons regresson), e (v) regressão multvarada (RMV); ver DRAER & SMIH (98), MYERS (986), ZELLNER (96) e SEBER (984), respectvamente. Cada técnca consdera de manera dstnta a estrutura de correlação entre varáves dependentes na estmação dos coefcentes a serem utlzados nos modelos de regressão. Cabe ressaltar que a estrutura de correlação entre varáves ndependentes é dentcamente consderada em todas as estratégas, não servndo, assm, como crtéro dferencador. Modelos de regressão são, va de regra, utlzados para fns de predção, estmação e controle (MONGOMERY & ECK, 99). Em todos os casos, desejam-se modelos que possam ser utlzados como estmadores efcentes das varáves dependentes modeladas. Assm, sugerese como base para comparação das técncas de modelagem lstadas acma, a varânca das predções geradas a partr de cada modelo. A melhor técnca será aquela que, na méda, gerar predções com menor varânca. As técncas de modelagem ctadas acma são brevemente ntroduzdas na seqüênca. Consdere um grupo de varáves ndependentes utlzadas na modelagem de varáves dependentes. Varáves dependentes podem ser modeladas ndvdualmente (ou seja, desconsderando eventuas correlações entre elas) ou em conjunto. Nas regressões RMQ e RMG, supõese correlação nexstente e modelam-se varáves dependentes ndvdualmente. Essas estratégas de regressão são as mas utlzadas na prátca, prncpalmente por encontrarem-se mplementadas em pacotes computaconas de análse estatístca e serem de fácl compreensão por parte do analsta. Nem sempre, todava, essas técncas consttuem uma escolha adequada. or exemplo, DERRINGER & SUICH (980) e RIBEIRO & ELSAYED (995) utlzam RMQ na modelagem de varáves dependentes altamente correlaconadas (correlações da ordem de 0,8), resultando em modelos com alta varânca de predção. Na regressão SURE, varáves dependentes são modeladas smultaneamente e a correlação entre varáves é consderada na modelagem. Esta técnca de modelagem é bastante comum em estudos de Econometra. A regressão MVR é um caso especal de SURE, onde cada varável dependente é modelada como função de um mesmo grupo de varáves ndependentes, porém com dferentes coefcentes de regressão. A regressão SURE produz modelos cujas predções apresentam varânca pelo menos tão pequena quanto aquelas obtdas usando as demas técncas de regressão (SRIVASAVA & GILES,

3 GESÃO & RODUÇÃO v.7, n., p. 7-8, abr ). Assm, recomenda-se a modelagem de varáves dependentes correlaconadas utlzando a regressão SURE. Varáves dependentes apresentam-se correlaconadas em stuações em que a avalação dreta de algum atrbuto ou propredade em undades expermentas é dfícl. Assm, o pesqusador selecona um conjunto de varáves relaconadas ao atrbuto em questão as quas, va de regra, apresentam-se correlaconadas. Esta é a stuação encontrada no estudo de caso apresentado neste trabalho, cujos dados são utlzados para comparar as dferentes técncas de regressão descrtas acma. Este trabalho dvde-se em cnco seções, nclundo a presente ntrodução. Na seção, ntroduz-se a notação e estrutura genérca do modelo de regressão a ser usado nas seções seguntes. A seção 3 é dvdda em ses subseções: as quatro subseções ncas trazem descrções detalhadas das técncas de regressão contempladas neste trabalho (ou seja, RMQ, RMG, SURE e RMV); um estmador de correlação amostral é apresentado na seqüênca; a últma subseção traz uma comparação entre técncas. Na quarta seção, um exemplo numérco com dados obtdos em um estudo de caso lustra a aplcação das técncas de regressão. A últma seção traz a conclusão do trabalho.. Consderações relmnares A segunte notação e defnções são utlzadas neste trabalho. Letras maúsculas em negrto desgnam matrzes e letras mnúsculas em negrto desgnam vetores. O nverso de uma matrz A é desgnado por A - e sua transposta por A ; analogamente, a desgna o transposto de um vetor a. Uma matrz dentdade de dmensão N por N é desgnada por I N. O operador desgna o produto dreto, ou de Kroenecker, de matrzes (seja A uma matrz com elementos desgnados por a j ; então A B corresponde a uma matrz de blocos, com blocos dados pelo produto a j B). A função tr(a) desgna o traço de uma matrz A e é dada pela soma dos elementos de sua dagonal prncpal. Uma matrz defnda postva apresenta somente elementos postvos em sua dagonal prncpal. Consdere um grupo de dados multvarados formado por varáves dependentes e C varáves ndependentes, observadas em stuações ou níves dstntos. Corrqueramente, as observações das varáves ndependentes corresponderam aos tratamentos em um expermento planejado. O vetor x [x,, x C ] apresenta os valores observados para as C varáves ndependentes em uma dada stuação. Y (x) desgna o valor da ésma varável dependente quando os níves das varáves ndependentes correspondem a x. As varáves dependentes são predtas por modelos de regressão desenvolvdos a partr de um grupo de dados com característcas dadas acma. Supõe-se o segunte modelo genérco de regressão para a ésma varável dependente: y X β + u,,, () onde y [Y,, Y ] é um vetor ( x ) de observações da varável dependente; X é a matrz ( x K ) de regressores, onde K ndca o número de regressores no ésmo modelo; β [β 0, β,, β ( K ) ] é um vetor (K x ) de coefcentes de regressão; e u [u,, u ] é um vetor ( x ) formado por resíduos supostamente segundo uma dstrbução Normal, com matrz de covarâncas dada por D[u ] V () onde V é uma matrz ( x ) defnda postva que se supõe conhecda (um caso especal de V é V σ.i, ou seja, resíduos não correlaconados com varânca comum dada por σ ). or exemplo, seja K 4; então o modelo de regressão para a varável dependente Y possu quatro termos. Os termos, também denomnados regressores, são (por exemplo) a méda, x, x, e x x. Suponha que a prmera stuação ou tratamento expermental observado corresponda a x - e x -. Assm, a prmera lnha da matrz X será dada por (, -,, ) e o vetor de coefcentes β por (β 0, β, β, β ).

4 0 Foglatto Estratégas para Modelagem de Dados Multvarados As equações em () podem ser escrtas como uma únca equação, y Xβ+ u (3) onde y [y,, y ] é um vetor ( x ) de varáves dependentes, X é uma matrz de regressores do tpo dagonal em blocos, de dmensão ( x K ), com os blocos na dagonal prncpal dados pelas matrzes X,,, (os demas blocos da matrz são 0), β [β,, β ] é um vetor ( K x ) de coefcentes, e u [u,, u ] é um vetor ( x ) de resíduos. Note que os vetores y, β e u são vetores formados por vetores. A matrz de covarâncas de u, desgnada por D[u], é uma matrz de blocos com o segunte formato σ I I I σ h σ I I I D[ u] σ σ h σ Σ I h h h h σ I σ I h σ I (4) onde Σ [σ j ],,j,,, e σ j corresponde à covarânca entre varáves dependentes e j. Um estmador para σ e σ j é apresentado na próxma seção. Estmando-se β em (), pode-se predzer o valor Y (x) da ésma varável dependente em um dado arranjo x das varáves ndependentes. Deseja-se um estmador βˆ de β que gere predções Yˆ tão próxmas quanto possível dos valores observados Y. Quatro estmadores de β são apresentados na próxma seção, cada um assocado a dferentes suposções. O desempenho dos dferentes estmadores de β será avalado por sua varânca de predção (ou seja, por sua efcênca; ver MOOD, 974). Um bom estmador de β resulta em predções com pequena varânca. A varânca de predção da ésma varável dependente, avalada em um dado arranjo x das varáves ndependentes, é dada por V[ Yˆ ( x)] V[ˆ β 0 V(ˆ β 0 + x Cov(ˆ β + x +βˆ x + h +βˆ ) + x V(ˆ β ) + h + x x 0 K K, βˆ ) + h + Cov(ˆ β ( K ) ( K ) x K K, βˆ ] V(ˆ β ( K ) ( K ) ) ) + (5) A expressão acma dexa claro que a varânca de predção depende do método utlzado para estmação dos coefcentes de regressão. 3. Quatro écncas para Modelagem de Dados Multvarados Através de Regressão Lnear A s varáves dependentes em () podem ser modeladas ndvdualmente ou smultaneamente como função das varáves ndependentes, conforme as suposções fetas acerca do vetor de resíduos u. Supondo Cov(u, u j ) 0,, j,,, j, a modelagem ndvdual ou smultânea das varáves dependentes resulta no mesmo conjunto de coefcentes de regressão e, por smplcdade, opta-se pela modelagem ndvdual. odava, ao supor-se Cov(u, u j ) 0, devese consderar uma estratéga que permta a modelagem smultânea das varáves dependentes. Nesta seção são apresentadas quatro técncas para estmação dos coefcentes de regressão em (). Nas prmeras duas técncas, RMQ e RMG, as varáves dependentes são modeladas ndvdualmente, supondo nexstênca de correlação entre elas. Nas duas últmas técncas, SURE e RMV, supõe-se varáves correlaconadas, as quas são modeladas smultaneamente. Um método para estmação da matrz de covarâncas Σ em (4) é apresentado na seqüênca. A seção é concluída com uma comparação entre as técncas de regressão abordadas. 3. Modelagem Indvdual de Varáves Dependentes Através da Regressão de Mínmos Quadrados Ordnáros (RMQ) Este é a técnca de regressão mas comumente encontrada na lteratura (ver, por exemplo, CHAERJEE & RICE, 99; SALEON,

5 GESÃO & RODUÇÃO v.7, n., p. 7-8, abr ; e DANIEL & WOOD, 980). Estmatvas dos coefcentes β em () são obtdas mnmzando a soma dos quadrados dos resíduos em u, pela equação: βˆ ( X X ) X y ode-se demonstrar que βˆ é o melhor estmador lnear não tendencoso de β (SALEON, 995, p.87). A matrz de covarâncas de βˆ é dada por: βˆ ] [ σ X ˆ y X β y K D ( X ) onde σ ( ) ( ) ( ˆ X β ) ( ) X X (6) V u é normalmente estmado a partr da méda do quadrado dos resíduos. A varânca do valor predto Yˆ para um dado arranjo x das varáves ndependentes é obtda a partr da expressão em (5), usando a nformação em (6); sto é: ( ) [ ( )] ( ) h x x X X x VY σ 3. Modelagem Indvdual de Varáves Dependentes Através da Regressão de Mínmos Quadrados Generalzados (RMG) A regressão RMG generalza a regressão RMQ apresentada acma. As suposções são: () V em () corresponde a uma matrz defnda postva qualquer (ou seja, resíduos em u podem estar correlaconados e apresentar varâncas desguas) e () varáves dependentes não se apresentam correlaconadas. Consderando as suposções acma, chega-se aos seguntes estmadores dos coefcentes β em () (MYERS, 986): ( X V X ) X V y β ˆ, (7) com matrz de covarâncas de βˆ dada por: βˆ ] D ( V X ) [ X. (8) A varânca do valor predto Yˆ para um dado arranjo x das varáves ndependentes é obtda a partr de (5) e (8); sto é: ( x) [ ˆ Y ( x) ] x ( X V X ) V. (9) A matrz de covarâncas V é, va de regra, desconhecda e deve ser estmada a partr de dados expermentas. A estmação de V é restrta a stuações em que repetdas observações das varáves dependentes y estão dsponíves para um mesmo arranjo x das varáves ndependentes. A partr de múltplas observações de Y (x), calculam-se varâncas e covarâncas amostras utlzadas na determnação da matrz estmada de covarâncas, Vˆ. A matrz Vˆ só deve ser usada quando varâncas e covarâncas amostras forem estmadas a partr de amostras de tamanho consderável (mas de oto observações de Y para cada x, conforme sugerdo por DEAON et al., 983). Caso contráro, a modelagem das varáves dependentes va RMQ costuma gerar resultados mas confáves. 3.3 Modelagem Smultânea de Varáves Dependentes Através da Regressão SURE (Regressão por Equações Aparentemente Não Relaconadas) Consdere resíduos em (3) com matrz de covarâncas conforme apresentado em (4). RMQ e RMG não podem ser aplcados na estmação dos coefcentes β em (), já que os vetores u não são ndependentes. Neste caso, procede-se com a segunte transformação vsando elmnar a dependênca entre vetores u,,, (SEBER, 977): consdere a matrz de covarâncas em (4) e suponha que D[u] V, onde V é uma matrz defnda postva. Assm, pode-se determnar uma matrz não sngular K tal que V KK. Na seqüênca, os elementos em (3) são transformados e renomeados, tal que Z K - y, B K - X, e η K - u. A expressão em (3) pode ser reescrta como:

6 Foglatto Estratégas para Modelagem de Dados Multvarados Z Bβ+η (0) onde B é uma matrz ( K ) com rank dado por K (K - é não sngular por defnção, o que mplca nas seguntes gualdades: rank [K - X] rank [X] K ). ode-se demonstrar que D[η] σ I. Um estmador dos coefcentes em (0), obtdo ao mnmzar-se a soma dos quadrados de η, vem dado por: ( X V X) X V y β ˆ. Note que V - (D[u]) -. Assm, reescrevendo a expressão acma, obtém-se: ( X ( D[ u] ) X) X ( D[ u] ) y β ˆ () ode-se demonstrar que E ( ) β (SRIVASAVA & GILES, 987). A matrz de covarâncas dos coefcentes em () é dada por: D [] ˆ β ( B B) ( X V X) X D[ u] βˆ ( ( ) X) () Após estmar βˆ usando a expressão em (), os modelos para cada varável dependente podem ser separados e a varânca do valor predto Yˆ para um dado arranjo x das varáves ndependentes determnada usando a expressão em (5) e a nformação em (). O método apresentado acma fo orgnalmente concebdo por AIKEN (935) para ldar com casos de regressão múltpla unvarada (ou seja, ) apresentando resíduos correlaconados. ZELLNER (96) estendeu o método para contemplar casos de regressão multvarada, chegando ao resultado em (). Modelos obtdos utlzando a expressão em () são denomnados equações de regressão aparentemente não relaconadas (Seemngly Unrelated Regresson (SURE) Models). A regressão SURE é operaconalzada modelando-se ncalmente as varáves dependentes va RMQ. Uma vez conhecdas as matrzes de regressores X,,,, elas podem ser arranjadas em uma matrz X, a qual é então usada em (). or essa razão, os modelos de regressão obtdos por RMQ e SURE compartlham dos mesmos regressores. 3.4 Modelagem Smultânea de Varáves Dependentes Através de Regressão Multvarada (RMV) Esta regressão corresponde ao análogo multvarado de RMQ, descrto na seção 3.. Supõese que as varáves dependentes são modeladas pelos mesmos regressores; sto é, X X X Z e K K K K. Após substtuções, o modelo em (3) assume a segunte forma: ( I Z) β u y + (3) onde y é um vetor ( x ) de varáves dependentes, com elemento y, Z é uma matrz ( x K) de regressores, β é um vetor (K x ) de coefcentes, com elemento β, e u é um vetor ( x ) de resíduos, com elemento u. As suposções acerca do vetor u em (3) vêm dadas em (4). Os vetores u podem apresentar-se correlaconados. odava, quando todas as varáves dependentes são modeladas pelos mesmos regressores, consderando ou não a correlação entre vetores de resíduos leva aos mesmos estmadores de β, como demonstrado a segur. () ˆβ de β Consdere o vetor de estmadores em (3), obtdo pela expressão para βˆ de RMQ, na seção 3. (com vetores u consderados ndependentes): [( I Z )( I Z) ] ( I Z )y βˆ (). Como ( A B) ( C D) A C B D, a equação acma equvale a: βˆ () ( I ( Z Z) Z )y Modelando as varáves dependentes usando a regressão SURE (observando que MVR é um

7 GESÃO & RODUÇÃO v.7, n., p. 7-8, abr caso especal de SURE e que, em ambos os casos, a correlação entre vetores u é consderada), chega-se a um vetor de estmadores ˆβ de β () dado por: βˆ ( X ( D[ u] ) X) X( D[ u] ) ( X [ Σ I ] X) X[ Σ I ] y ( I Z )( Σ I )( I Z) () y [ ] [ I Z ][ Σ I ] y, o qual, dado que ( A B) ( C D) A C B D, pode ser reescrto como: ˆ () β [( I Z I )( I Z) ] [ I Z Σ Σ I ] ( Z Z) Z Z y I Z Z Z [( ΣΣ ) ] ( ) () ˆβ e y ( )y () ˆβ são dêntcos (ou Os estmadores seja, consderando-se ou não a correlação entre vetores u na estmação dos coefcentes de regressão chega-se ao mesmo resultado). Como esses estmadores ndependem de D[u], pode-se modelar as varáves dependentes ndvdualmente, smplfcando o trabalho algébrco. 3.5 Estmação da Matrz de Covarâncas Σ A matrz Σ em (4) é, va de regra, desconhecda, sendo estmada a partr de dados amostras. Assm, para fns prátcos, Σ pode ser substtuída por uma estmatva Σ ˆ [ σˆ j ]. ZELLNER (96) propõe um estmador de σˆ j baseado nos resíduos obtdos pela modelagem de varáves dependentes va RMQ e dado por: [ I X ( X X ) X ] I X ( X X ) [ X ] y j j j j y j σˆ j, D,j,,, onde D - K, se as varáves dependentes e j forem modeladas pelos mesmos regressores (como descrtos na seção 3.4). Caso contráro, D será dado por: D K K j + + tr [( X X ) X X ( X X ) X X ] j j j j. 3.6 Comparação das Varâncas dos Estmadores Obtdos a artr das Dferentes écncas de Regressão e Comentáros Geras Como menconado anterormente, modelos de regressão são normalmente utlzados para fns predtvos. Assm, atenção especal deve ser dada à varânca dos estmadores dos coefcentes de regressão usado nesses modelos. A varânca dos estmadores βˆ, V(βˆ ), determna a varânca de valores predtos, conforme apresentado em (5). Desta forma, deve-se sempre optar por uma modelagem que resulte nos menores valores possíves para V(βˆ ). Na seqüênca, apresenta-se uma comparação entre as varâncas das estmatvas de β conforme obtdas pelos métodos RMQ e SURE. Os estmadores RMQ e SURE de β são () () denomnados ˆβ e ˆβ, respectvamente, segundo a notação ntroduzda na seção 3.4. () () V( ˆβ ) e V( ˆβ ) estão apresentadas em (6) e (), respectvamente. Seja D[u] V. Consdere a segunte quantdade (SRIVASAVA & GILES, 987): V ( βˆ ( ) () ) V ( βˆ ) ( X X) X VX( X X) ( X V ) X Seja A ( X X) X ( X V X) X V ; assm, pode-se reescrever a expressão acma da segunte manera: ( βˆ ( ) () ) V ( βˆ ) A V AV. Sendo V uma matrz defnda postva por construção, AV A é pelo menos semdefnda postva (elementos na dagonal prncpal são 0; ver SEBER, 977, p.385), o que mplca em ( ) () V ( βˆ ) V ( βˆ ). Desta forma, ˆβ () será pelo () menos tão efcente quanto ˆβ. Sugere-se, assm, () que ˆβ seja sempre preferdo como estmador dos coefcentes dos modelos em (). Observe ( ) () que V ( βˆ ) V ( βˆ ) quando Cov(u, u j ) 0. Conforme apresentado nas seções 3. a 3.4, cada técnca de regressão mplca em suposções

8 4 Foglatto Estratégas para Modelagem de Dados Multvarados acerca dos vetores de resíduos e da relação entre varáves dependentes. Essas suposções são comentadas na seqüênca. Varáves dependentes não correlaconadas com varâncas não homogêneas podem ser modeladas através de RMG, dsponível no pacote estatístco SAS (990). RMV é adequada na estmação de coefcentes de regressão de varáves correlaconadas e modeladas pelos mesmos regressores; RMV é um rotna dsponível no pacote estatístco SAS (990). SURE é adequada quando as varáves dependentes apresentam-se correlaconadas; SURE é uma rotna dsponível no pacote estatístco SAS (990). SURE sempre resulta em estmatvas dos coefcentes de regressão com varânca menor ou gual às estmatvas resultantes nos demas métodos, conforme demonstrado acma. 4. Exemplo C onsdere os dados multvarados apresentados na abela, orundos de um expermento ndustral realzado na Food Manufacturng echnology Faclty, um laboratóro fnancado pelo Exércto Amercano e localzado na Rutgers Unversty, USA. O objetvo do expermento é determnar as condções de autoclavagem adequadas para produção de cubos de carne acondconados em pouches (embalagens com estrutura composta por lâmnas de alumíno, flmes plástcos e resnas) para uso mltar. rês varáves de autoclavagem (varáves ndependentes) são consderadas (ver abela ): empo tempo de processamento em mnutos, onde ( ) 5mn. e (+) 45mn.; emp temperatura de processamento em F; e po tpo de carne utlzada nos cubos, onde (-) natural e (+) moída e prensada. rês varáves de desempenho (varáves dependentes), avaladas por oto especalstas em um panel de avalação sensoral, são consderadas: Y Frmeza dos cubos de carne, Y Dureza da carne; e Y 3 Desfbramento da carne. As avalações forem realzadas segundo o Spectrum Method (uma técnca de Análse Descrtva Quanttatva proposta por MEILGAARD et al., 99), e meddas usando uma escala contínua de 5 pontos. Cada avalação fo replcada quatro vezes. Nesta análse, utlzam-se avalações fetas por um dos panelstas. As varáves dependentes apresentam-se altamente correlaconadas, com valores de correlação amostral dados na abela. Num prmero momento, determnam-se modelos RMQ para as varáves dependentes. As varáves ndependentes ncluídas nos modelos apresentam um nível de sgnfcânca 95%. O desempenho dos modelos em termos de ajuste aos dados fo montorado pelo coefcente de determnação R. Os modelos RMQ vêm apresentados a segur (todos os modelos apresentam R 0,90): Y -5, , emp + + 0,78038empo 3,8083po Y -5,89 + 0,053834emp + + 0,9485empo 3,7744po Y 3 6,05 3,3565po (4) Os resíduos resultantes dos modelos em (4) são analsados quanto a homogenedade das varâncas e correlação entre resíduos dentro de um mesmo vetor u (sto é, resíduos u,, u em u ). ara tanto, () plotaram-se resíduos contra valores predtos pelos modelos (ver MONGOMERY & ECK, 99, p.74) e () calculou-se a estatístca de Durbn-Watson (ver DRAER & SMIH, 98, p.6). Os resultados obtdos em () para o prmero modelo em (4) vêm apresentados na Fgura. Os resíduos apresentam-se homogêneos quanto a varânca. A estatístca D-W resultou em um valor,8. Como o valor crítco d U para este teste é,40, a hpótese de resíduos não correlaconados não pode ser rejetada. Stuação smlar fo encontrada ao analsar-se resíduos resultantes dos demas modelos em (4). Na seqüênca, determnaram-se modelos SURE e RMV para as varáves dependentes

9 GESÃO & RODUÇÃO v.7, n., p. 7-8, abr Resíduos adronzados Gráfco dos Resíduos Valores redtos de Y Fgura Gráfco dos resíduos versus valores predtos de Y. (modelos RMG são dêntcos aos modelos RMQ, dada a homogenedade da varânca dos resíduos em u,,,3). Os modelos SURE, com os mesmos regressores e coefcentes de determnação apresentados em (4), são: Y 0, ,0544emp + + 0,333empo 3,45343po Y, ,0936emp + + 0,375680empo 3,353945po Y 3 6,05 3,3565po (5) Os modelos RMV, com R 0,90, são dados por: Y -5, , emp + + 0,78038empo 3,8083po Y -5,89 + 0,053834emp + + 0,9485empo 3,7744po Y 3-3, ,0495emp + + 0,78973empo 3,9084po Os três grupos de modelos geram estmatvas smlares de Y (x),,,3, para um dado arranjo x das varáves ndependentes. As varâncas são assocadas a essas predções, porém, varam consderavelmente. Os valores de V ( Yˆ ( x) ), V ( Yˆ ( x) ) e V ( Yˆ3 ( x) ), calculados para arranjos x das varáves ndependentes correspondendo às rodadas expermentas, estão apresentados na abela 3. A comparação entre varâncas de predção lmta-se aos modelos obtdos va RMQ e SURE, já que estes correspondem aos valores extremos de varâncas (modelos RMV apresentam valores de V ( Yˆ ( x )) ntermedáros). Observe que V ( Y ˆ ( x )) RMQ > V ( Yˆ ( x )) SURE,,, em todas as rodadas. A alta correlação exstente entre Y e Y torna a modelagem va RMQ nadequada, e sto pode ser constatado comparando as varâncas de predção obtdas V Y ( x) RMQ em cada método. or outro lado, ( ˆ3 ) V ( Y ( x) ) ˆ3 SURE em todas as rodadas, apesar da exstênca de correlação entre Y e Y 3, e Y e Y 3. Isso se deve, em grande parte, ao pequeno número de termos na equação de regressão de Y 3. No caso desta varável dependente, a modelagem va RMQ ou SURE é gualmente satsfatóra. 5. Conclusão este trabalho, nvestga-se a adequação de Num grupo de técncas de regressão lnear na

10 6 Foglatto Estratégas para Modelagem de Dados Multvarados abela Descrção dos níves das varáves ndependentes em cada rodada expermental e resultados da avalação sensoral das rodadas. Varáves Independentes Y Y Y 3 Rodada emp po empo Frmeza Dureza Desfbramento , 0,5, 9,3, 0,3 6,8, 0,8, 9,5, 0,5 6,8, 0,8, 9,3, 0,8 0-9,8,, 9,8, 0,3 9,8,,5, 9,8, 9,8,,5, 9,8, ,3,,9,, 3,5 3,5, 3,, 3,5 3,5,,5, 3,3,,5 4 50,5, 5,3, 3,5, 3,5,5, 6, 3,8, 3,8,3, 3,5, 3, ,8, 5,3, 9,5, 8,3 6,5, 5,5, 9,3, 8,5 6,8, 6, 9,5, 8, ,,,,3 3,,5,,,3 3,,5,,, ,3, 3,3,, 3,3, 3,8,, 3,3,,, , 0, 9,5, 9,8 0, 0, 8,8, 9,6 0, 0, 9,5, 0 abela Matrz de covarâncas (e correlações) amostras das varáves dependentes. Matrz de Covarâncas Y Y Y 3 Y,083,06 (0,9597) 0,98 (0,7458) Y,458,09 (0,756) Y 3,49 abela 3 Valores predtos e varâncas de predção, usando modelagem RMQ e SURE. Resultados para Modelos RMQ Resultados para Modelos SURE Rod. (t) Y h h t Y h t Y3 t V( Y t ) V( Y t ) V( Y 3 t ) Rod. (t) Y h h t Y h t Y3 t V( Y t ) V( Y t ) V( Y 3 t ) 8,69 8,59 9,38 0,09 0,36 0,09 9,0 8,98 9,38 0,08 0, 0,09 0,0 0, 9,38 0,6 0,44 0,09 9,54 9,64 9,38 0, 0,4 0,09 3 3,05 3,0,67 0,3 0,50 0,09 3 3,00 3,05,67 0,0 0,3 0,09 4 3,87 4,8,67 0,4 0,48 0,09 4 3,30 3,5,67 0,0 0,4 0,09 5 8,44 8,33 9,38 0, 0,38 0,09 5 8,9 8,89 9,38 0,09 0, 0,09 6,38,64,67 0,8 0,46 0,09 6,63,93,67 0, 0,5 0,09 7,3,33,67 0, 0,44 0,09 7,67,76,67 0,09 0, 0,09 8 9,9 9,87 9,38 0,4 0,48 0,09 8 9,58 9,47 9,38 0,0 0,4 0,09 modelagem de dados multvarados, na presença de correlação entre varáves dependentes. Quatro técncas de regressão são examnadas: regressão de mínmos quadrados ordnáros (RMQ), regressão de mínmos quadrados generalzados (RMG), regressão por equações aparentemente não relaconadas (SURE seemngly unrelated equatons regresson) e regressão multvarada (RMV). Cada técnca consdera a estrutura de correlação das varáves dependentes de manera dstnta na estmatva dos coefcentes a serem utlzados nos modelos

11 GESÃO & RODUÇÃO v.7, n., p. 7-8, abr de regressão. Essas técncas de regressão são comparadas tendo como base a varânca de predções geradas a partr de seus modelos. Demonstra-se analtcamente que, na presença de varáves dependentes correlaconadas, a modelagem de dados pelos métodos RMQ e RMG resulta subótma em termos de varânca de predção. Nesses casos, a regressão SURE deve ser a estratéga de modelagem utlzada, apresentando varânca de predção pelo menos tão pequena quanto aquela resultante a partr dos demas métodos. A comparação entre estratégas de modelagem é lustrada por um estudo de caso. No estudo, três varáves dependentes altamente correlaconadas são modeladas como função de três varáves ndependentes. O exemplo lustra a superordade da regressão SURE para casos em que as varáves dependentes apresentam-se correlaconadas. Referêncas Bblográfcas ADELMAN, I.; GREER, M. & MORRIS, C..: Instruments and Goals n Economc Development. Amercan Economc Revew, 59(), , 969. AIKEN, A.C.: On Least-Squares and Lnear Combnaton of Observatons. roceedngs of the Royal Socety of Ednburgh, 55, 4-48, 935. CHAERJEE, S. & RICE, B.: Regresson Analyss by Example. nd Ed., John Wley, New York, 99. DANIEL, C. & WOOD, F.S.: Fttng Equatons to Data Computer Analyss of multfactor data. John Wley, New York, 980. DEAON, M.L.; REYNOLDS, Jr., M.R. & MYERS, R.H.: Estmaton and hypothess testng n regresson n the presence of non-homogeneous error varances. Communcatons n Statstcs, B(), p.45-66, 983. DERRINGER, G. & SUICH, R.: Smultaneous Optmzaton of Several Response Varables. Journal of Qualty echnology, (4), 4-9, 980. DRAER, N. & SMIH, H.: Appled Regresson Analyss. nd Ed. John Wley, New York, 98. FOGLIAO, F.S.; ALBIN, S.L. & EER, B.J.: A Herarchcal Approach to Optmzng Descrptve Analyss Multresponse Experments. Journal of Sensory Studes Vol.4(4), Oct-Dec 999, forthcomng. JOHNSON, R.A. & WICHERN, D.W.: Appled Multvarate Statstcal Analyss. 3 rd Ed., rentce Hall, New Jersey, 99. MEILGAARD, M.; CIVILLE, G.V. & CARR, B..: Sensory Evaluaton echnques. Second Ed., CRC ress, Boca Raton, 99. MONGOMERY, D.C. & ECK, E.A.: Introducton to Lnear Regresson Analyss. nd Ed., John Wley, New York, 99. MOOD, A.M., GRAYBILL, F.A. & BOES, D.C.: Introducton to the heory of Statstcs. 3 rd Ed., McGraw-Hll, New York, 974. MYERS, R.H.: Classcal and Modern Regresson wth Applcatons. Duxbury ress, Boston, 986. RIBEIRO, J.L. & ELSAYED, E.A.: A case Study on rocess Optmzaton Usng the Gradent Loss Functon. Internatonal Journal of roducton Research, 33(), , 995. SAS INSIUE: SAS Verson 6.0. SAS Insttute, Cary, North Carolna, 990. SEBER, G.A.F.: Lnear Regresson Analyss. John Wley, New York, 977. SEBER, G.A.F.: Multvarate Observatons. John Wley, New York, 984. SRIVASAVA, V.K. & GILES, D.E.A.: Seemngly Unrelated Regresson Equatons Models Estmaton and Inference. Marcel Dekker, New York, 987. SALEON, J.H.: Lnear Statstcal Models. John Wley, New York, 995. SAGRAHICS: User s Manual Verson.0. Manugstcs, 995. ZELLNER, A.: An Effcent Method of Estmatng Seemngly Unrelated Regressons and ests for Aggregaton Bas. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, 57, , 96.

12 8 Foglatto Estratégas para Modelagem de Dados Multvarados Abstract REGRESSION ECHNIQUES FOR MODELING MULIVARIAE DAA UNDER CORRELAION Multvarate data often arse n emprcal nvestgaton. In Engneerng studes, for example, multvarate data may be collected on the effect of dfferent processng condtons on the characterstcs of a machne output. Such data sets may present hghly correlated varables. In ths paper, we nvestgate the effect of correlaton among dependent varables on ther regresson modelng. Four regresson technques are dscussed and compared: ordnary least squares regresson, generalzed least squares regresson, seemngly unrelated equatons regresson, and multvarate regresson. Snce regresson models are most frequently used for predcton purposes, we compare modelng strateges usng the predcton varance as a performance measure. he paper contans a case study from the food processng ndustry. Key words: multvarate regresson technques, predcton varance, correlaton.