EXERCÍCIOS MATEMÁTICA - 1

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1 EXERCÍCIOS MATEMÁTICA (Fgv 01) Se , com 0, então a) 7 b) 7 c) 7 10 d) 10 e) 7 é igual a. (Unesp 011) Transforme o polinômio P 1 em um produto de dois polinômios, sendo um deles do º grau.. (Fgv 014) Em uma competição de Matemática, a prova é do tipo múltipla escolha com questões. A pontuação de cada competidor é feita de tal maneira que cada questão - respondida corretamente vale 6 pontos; - não respondida vale 1, ponto; - respondida erradamente vale 0 (zero) ponto. a) É possível um competidor fazer eatamente 100 pontos? Se a resposta for afirmativa, mostre uma maneira; se não for, justifique a impossibilidade. b) Márcia fez mais de 100 pontos. Quantas questões, no mínimo, ela respondeu corretamente? 4. (Fgv 01) Felipe e Carolina são donos de uma horta em uma cidade do interior. Vendem diversos legumes e vegetais que crescem em uma plantação de formato retangular, com.400 m de área e 80 m de perímetro. O principal produto que vendem é a beterraba, comercializada a R$,00 o quilo. Felipe, cuidadoso com as finanças, sabe que, para evitar vender fiado, é necessário sempre ter dinheiro trocado e suficiente em caia para conferir troco eato aos clientes. a) Quais são as dimensões da plantação retangular (informe as medidas dos lados em metros)? b) Se a produtividade média de beterrabas é de 10 quilos por metro quadrado e por ciclo de plantação, e a beterraba é produzida em um terço da área de plantação dessa horta, qual será o lucro de Felipe e Carolina, em um ciclo de plantação, sabendo que toda a produção é vendida e que o custo de produção desse legume é igual a 40% de seu preço de venda? c) Considere a situação em que é necessário devolver troco eato a um cliente que compra qualquer quantidade entre 1,0 quilo e, quilos de beterraba com uma cédula de R$ 0,00. Se Felipe sempre devolve o troco utilizando primeiramente cédulas e, em seguida, o mínimo número possível de moedas, quantas moedas, no máimo, precisará usar? Suponha que podem ser usadas, somente e em qualquer quantidade, moedas de R$ 0,01; R$ 0,0; R$ 0,10; R$ 0,; R$ 0,0; e de R$ 1,00; e que podem ser usadas, somente e em qualquer quantidade, cédulas de R$,00, R$,00 e de R$ 10,00.. (Fgv 01) Um mercado vende três marcas de tomate enlatado, as marcas A, B e C. Cada lata da marca A custa 0% mais do que a da marca B e contém 10% menos gramas do que a da marca C. Cada lata da marca C contém 0% mais gramas do que a da marca B e custa % mais do que a da marca A. Se o rendimento do produto das três marcas é o mesmo por grama, então, é mais econômico para o consumidor comprar a marca a) A. b) B. c) C. d) A ou B, indistintamente. e) B ou C, indistintamente. 6. (Fuvest 014) Considere o triângulo equilátero Δ A0OB0 de lado 7cm.

2 a) Sendo A 1 o ponto médio do segmento A0B 0, e B 1 o ponto simétrico de A 1 em relação à reta determinada por O e B, 0 determine o comprimento de OB 1. b) Repetindo a construção do item a), tomando agora como ponto de partida o triângulo Δ A1OB 1, pode se obter o triângulo Δ AOB tal que A é o ponto médio do segmento A1B 1, e B o ponto simétrico de A em relação à reta determinada por O e B. 1 Repetindo mais uma vez o procedimento, obtém se o triângulo Δ AOB. Assim, sucessivamente, pode se construir uma sequência de triângulos Δ AnOBn tais que, para todo n 1, An é o ponto médio de An1B n 1, e B, n o ponto simétrico de A n em relação à reta determinada por O e B n1, conforme figura abaio. Denotando por a, n para n 1, o comprimento do segmento An 1A n, verifique que a 1,a,a,... é uma progressão geométrica. Determine sua razão. c) Determine, em função de n, uma epressão para o comprimento da linha poligonal A0A1A...A n,n 1. O ponto P é simétrico ao ponto P em relação à reta r se o segmento PP' é perpendicular à reta r e a interseção de PP' e r é o ponto médio de PP'. 7. (Ita 01) Uma reta r tangencia uma circunferência num ponto B e intercepta uma reta s num ponto A eterior à circunferência. A reta s passa pelo centro desta circunferência e a intercepta num ponto C, tal que o ângulo Então o ângulo CAB ˆ é igual a a) 1 ˆ ABC. b) ˆ ABC. π c) ABC. ˆ d) ABC ˆ π. e) ABC ˆ π. ˆ ABC seja obtuso. 8. (Fgv 01) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 4 cm, e M é ponto médio de CD. Sabe-se ainda que BD é arco de circunferência de centro A e raio 4 cm, e CD é arco de circunferência de centro M e raio cm, sendo P e D pontos de intersecção desses arcos.

3 A distância de P até CB, em centímetros, é igual a a) 4 b) 19 c) 4 d) 7 10 e) (Unicamp 01) Em um aparelho eperimental, um feie laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaio, considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e refleão são congruentes, como se indica em cada ponto da refleão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feie luminoso no trajeto PFGHQ? a) 1 cm. b) 1 cm. c) 16 cm. d) 18 cm. 10. (Ita 01) Em um triângulo de vértices A, B e C, a altura, a bissetriz e a mediana, relativamente ao vértice C, dividem o ângulo BCA ˆ em quatro ângulos iguais. Se é a medida do lado oposto ao vértice C, calcule: a) A medida da mediana em função de. b) Os ângulos CAB, ˆ ABC ˆ e BCA. ˆ

4 Gabarito: Resposta da questão 1: [D] Se 1 14, com 0, então Daí, 1 4 e, portanto, Resposta da questão : Fatorando P() obtemos P() 1 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) 4 ( 1)( 1) ( 1)[ ( 1) ( 1)( 1)] ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1). Resposta da questão : a) Sejam a, b e c, respectivamente, o número de questões respondidas corretamente, o número de questões não respondidas e o número de questões respondidas erradamente. Tem-se que a b c a b c. 6a 1,b 100 (4a b) 00 Daí, sendo a e b inteiros não negativos, segue-se que 4a b é um inteiro e, portanto, (4a b) é um múltiplo de. Por outro lado, como 00 não é um múltiplo de, segue-se que é impossível um competidor fazer eatamente 100 pontos. b) Se Márcia fez mais de 100 pontos, então a b c b a c 6a 1,b 100 1a ( a c) 00 b a c 1 c. a 9 Portanto, sendo c um inteiro não negativo, o valor mínimo de a é o menor inteiro positivo que supera 1 1,89, ou seja, 9 amín 14. Resposta da questão 4:

5 a) Sejam e y as dimensões da plantação. Temos 0 e y 10 ( y) 80 ou. y e y 0 Portanto, as dimensões da plantação são 0 m e 10 m. b) Dado que o custo de produção de 1kg de beterraba é igual a 40% de R$,00, concluímos que o lucro obtido, por kg, é igual a (1 0,4) R$1,80. Além disso, como a produtividade média de beterrabas é de 10kg m, e a beterraba é produzida em m, segue-se que o resultado pedido é ,8 R$14.400,00. c) O valor a ser pago pelo cliente pode variar no intervalo de R$,00 a R$ 10,0. Logo, o troco devido varia entre R$ 9,0 e R$ 17,00, inclusive. Como qualquer troco inteiro entre R$ 9,00 e R$ 17,00 pode ser obtido por meio de uma combinação de cédulas de R$,00 e R$,00, segue-se que o troco máimo em moedas é igual a R$ 0,99. Portanto, este troco pode ser obtido com um mínimo de 8 moedas (uma de R$ 0,0, uma de R$ 0,, duas de R$ 0,10 e quatro de R$ 0,01). Resposta da questão : [B] Sejam p A, p B e p C, respectivamente, os preços unitários das latas das marcas A, B e C. Sejam ainda q A, q B e q C, respectivamente, a massa de tomate, em gramas, contida nas latas das marcas A, B e C. Temos pb pa pa 1, pb p C A C 1, p p p A 4 qa 0,9 qc 10 qc q q 9 C 1, qb 0 qb q 7 Logo, como A A. p q p q B B C C p A 9 pa 0 10 q q A A 7 e p A 9 pa 4, 10 8 q q A A 9 segue-se que a marca B é a que apresenta o menor custo por grama para o consumidor. Resposta da questão 6:

6 a) Como OB0 A1B 1, A1A AB1 e OA é comum aos triângulos OA1A e OB1A, segue-se que os triângulos OA1A e OB1A são congruentes por LAL. Além disso, OA1B 0 OA1A 90 e A1B0 A 60 implicam em OA1B 160. Portanto, o triângulo OA1B 1 é equilátero. Desse modo, o resultado pedido corresponde à altura do triângulo A0OB 0, ou seja, 7 cm. b) Raciocinando de forma inteiramente análoga ao item (a), concluímos que OAn1 OA n, com n 1. Daí, como OA a n1 n An 1A n, temos OAn an1, an OAn1 para todo n 1 e, portanto, a 1, a, a, é uma progressão geométrica de primeiro termo a1 7 cm e razão. c) O comprimento da poligonal A0A1A A n, com n 1, corresponde à soma dos n primeiros termos da progressão geométrica a 1, a, a,, ou seja, n 1 n 7 7( ) 1 cm. 1 Resposta da questão 7: [B] Considerando que o ponto O é o centro da circunferência e CÂB =, temos: OBC é isósceles, logo OBC ˆ OCB ˆ y AÔC=y (ângulo eterno do OBC) No ABO: y y (1)

7 ABC ˆ 90 y.abc ˆ 180 y () Fazendo (1) + (), temos:.abc ˆ ABC, ˆ ou seja π.abc ˆ (em radianos) Resposta da questão 8: [A] Considere a figura. Sejam Q, S e H, respectivamente, o pé da perpendicular baiada de P sobre BC, a interseção de AM com DP e o pé da perpendicular baiada de M sobre CP. Queremos calcular PQ. Como AB AP 4cm, MD MP cm e AM é lado comum, segue-se que os triângulos ADM e APM são congruentes por LLL. Desse modo, AM é mediatriz de DP. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo APM, vem AM AP MP AM 4 AM cm. Além disso, temos MP AMMS MS MS cm. É fácil ver que o triângulo CPD é retângulo em P. Logo, HP MS. Por outro lado, CM MP e HM CP implica em 4 CH HP. Daí, CP HP cm. Finalmente, como os triângulos HMP e QCP são semelhantes, encontramos

8 4 PQ CP PQ HP MP 4 PQ. Resposta da questão 9: [B] ΔHPQ ΔFQP(L.A.A o ) HP FQ K e PF HQ ΔBHG ΔAFG(L.A.A o ) AG BG e HG = GF 6 K ΔAGF~ ΔQPF K 4 K No ΔGBH : GH GH No Δ HPQ: HQ 4 HQ Logo, a distância total percorrida pelo feie luminoso no trajeto PFGHQ é PF + FG + GH + HQ = + / + / + = 1 cm. Resposta da questão 10: Considere a figura. Seja P o ponto diametralmente oposto ao ponto C e H o pé da perpendicular baiada de C sobre AB. É fácil ver que ACB BPC e AHC CBP (pois CP é diâmetro). Logo, ACH BCP e, portanto, o diâmetro CP contém a mediana do triângulo ABC relativa ao vértice C e o circuncentro O do triângulo ABC. Além disso, como O é a interseção da mediana

9 relativa ao vértice C e da mediatriz de AB, segue que M O, com M sendo o ponto médio do lado AB. Por conseguinte, o triângulo ABC é retângulo em C. AB a) Como o triângulo ABC é retângulo em C, temos CM. b) Sendo I o pé da bissetriz por C, considere a figura. Sejam ACH HCI ICM MCB α. Logo, ACB 4α 90 4α α 0'. Portanto, BAC 90 ACH e 90 0' 670' ABC 90 BAC ' 0'.

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