se Calculam os Quartis? SUSANA FERNANDES E MÓNICA PINTO UNIVERSIDADE DO ALGARVE e martinsmonica.wix.com/matematica

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1 se Calculam os Quartis? SUSANA FERNANDES E MÓNICA PINTO UNIVERSIDADE DO ALGARVE sfer@ualg.pt e martinsmonica.wix.com/matematica 3 GAZETA DE MATEMÁTICA 17

2 folha de cálculo e um programa de um mesmo conjunto de dados os resultados obtidos podem não apresentado no ensino superior. INTRODUÇÃO do ensino básico e do ensino secundário e sebentas de esta QUARTIS DEFINIÇÃO SIMPLES (Q 2 dados em duas partes (metades) com igual número de ele- Q 1 ) será a mediana da primeira metade do conjunto Q 3 ) será, analogamente, a me- {x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 6, x = 10, x 5 = 1, x 6 = 18, x 7 = 21, x 8 = 25, x 9 = 29, x 10 = 32}. x 5 = 1 e x 6 = 18 ra-se Q 2 = 16 metades: {x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 6, x = 10, x 5 = 1} e {x 6 = 18, x 7 = 21, x 8 = 25, x 9 = 29, x 10 = 32} - - o elemento x 3 = 6, logo Q 1 = 6 do subconjunto {x 6 = 18, x 7 = 21, x 8 = 25, x 9 = 29, x 10 = 32} x 8 = 25, logo Q 3 = 25. {x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 6, x = 10, x 5 = 1, x 6 = 18, x 7 = 21, x 8 = 25, x 9 = 29} n para representar o número de elementos do conjunto, neste caso n - Q 2 = x 5 = 1 duas metades? O elemento x 5 metades, em nenhuma das duas ou apenas numa delas? Esta AFINAL, O QUE SÃO E COMO SE CALCULAM OS QUARTIS? Susana Fernandes e Mónica Pinto 35

3 Método inclusivo: - n par n Q 2 cálculo dos Q 1 e Q 3. serão {x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 6, x = 10, x 5 = 1} e {x 5 = 1, x 6 = 18, x 7 = 21, x 8 = 25, x 9 = 29} e então teremos Q 1 = x 3 = 6 e Q 3 = x 7 = 21 de dados n elementos, desta forma cada uma das metades terá (n + 1)/2 elementos. Método exclusivo: - Q 2 dos para cálculo dos Q 1 e Q 3. serão {x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 6, x = 10} e {x 6 = 18, x 7 = 21, x 8 = 25, x 9 = 29} e então teremos Q 1 = (x 2 + x 3 )/2 =.5 e Q 3 = (x 7 + x 8 )/2 = 23 dados n elementos, desta forma cada uma das metades terá (n 1)/2 elementos. - - k, e Q 1 k = 3 Q 1 = x 3 = 6 - n = 10 Q 2 x 5 e x 6, pelo k = Q 2 = (x 5 + x 6 )/2 = (1+18)/2 = re-se um conjunto de dados ordenado com n elementos x 1 x 2 x 3... x n. Q 2 num conjunto de dados com n elementos é (n+1)/2. Q 1 Q 3 Q 1 Q 3 k = n+2 k = 3n+2 k = n+3 k = 3n+1 k = n+1 k = 3n+3 Tabela 1: Fórmulas para cálculo das posições de Q 1 e Q 3. k inteiro k não inteiro i < k < i+1 Q p = x k Q p = x i+x i+1 2 Tabela 2: Fórmulas para cálculo do valor de Q p dada a sua posição k. Q 1 e Q 3 no conjunto - - Q p, dada a sua po- k no conjunto de dados. Todos os manuais do ensino básico consultados ensinam a Os manuais do ensino secundário consultados ensinam tam GAZETA DE MATEMÁTICA 17

4 x x 3. - QUARTIS VISTOS COMO ESTIMADORES No ensino superior interessa-nos olhar para os dados como - estudo - - X - p p P p P(X P p ) p e P(X P p ) 1 p. P 0.25 X a P 0.25 X P X, estimamos a probabilidade - x x na X pela amostrais será: p P p res a P p p P p 1 p. - cumulative distribution function. Método CDF: n np P p = (x np + x np+1 )/2 np k a parte inteira de np, então P p = x k+1. AFINAL, O QUE SÃO E COMO SE CALCULAM OS QUARTIS? Susana Fernandes e Mónica Pinto 37

5 PROPOSTA PARA UNIFORMIZAÇÃO DO CÁLCULO DOS QUARTIS EM TODOS OS CICLOS DE ENSINO n n n o número de ob- m n = m, ou n = m+1, ou n = m+2, ou n = m+3 n n = m n = m+1 n = m+2 n = m+3 Q 1 k = n+2 k = n+3 k = n+2 k = n+1 Q 3 k = 3n+2 k = 3n+1 k = 3n+2 k = 3n+3 Tabela 3: Fórmulas para cálculo das posições de Q 1 e Q 3 com o método CDF. n n n par e n tinua a ser dada por (n+1)/2 = (2n+2)/, para todos os n. n = m n = m+3 coincidem com as das metades inferior e superior da amostra, apresentar a pro- n incluir ou não a n n as medianas das metades inferior e superior da amostra e apresentada a problemática de incluir ou não a mediana da amostra nas duas metades no caso de n n amostra nas metades inferior e superior da amostra por forma mediana da amostra nas duas metades a considerar para cál- sino básico. n par n n = m+1 n = m+3 Q 1 k = n+2 k = n+3 k = n+1 Q 3 k = 3n+2 k = 3n+1 k = 3n+3 Tabela : Fórmulas para cálculo das posições de Q 1 e Q 3 com o método CDF apresentação alternativa. 38 GAZETA DE MATEMÁTICA 17

6 n = 5 obser- {x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 6, x = 10, x 5 = 1}, a mediana será Q 2 = x 3 = 6 e as metades a considerar irão incluir a mediana, sendo {x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 6} e {x 3 = 6, x = 10, x 5 = 1}, Q 1 = x 2 = 3 e Q 3 = x = 10. Já para uma - {x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 6, x = 10, x 5 = 1, x 6 = 18, x 7 = 21}, a mediana será Q 2 = x = 10 e as metades a considerar não incluirão a mediana, sendo {x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 6} e {x 5 = 1, x 6 = 18, x 7 = 21} Q 1 = x 2 = 3 e Q 3 = x 6 = 18. CONSIDERAÇÕES FINAIS - to de dados, certamente o computador será um suporte tão autodenominado uma ferramenta computacional do conhe- - - dependendo da funcionalidade selecionada (na realidade, se quantiles n = n = 5 n = 6 n = 7 Q 1 Q 2 Q 3 Q 1 Q 2 Q 3 Q 1 Q 2 Q 3 Q 1 Q 2 Q weighted average) 2 12 boxplot.stats) 2 Tukey s hinges) quantiles) 2 quartiles) 2 quantiles) Tabela 5: Valores de quartis obtidos em diferentes suportes tecnológicos. AFINAL, O QUE SÃO E COMO SE CALCULAM OS QUARTIS? Susana Fernandes e Mónica Pinto 39

7 BIBLIOGRAFIA Matemática, php?s=noticias\&noticia=396). pt/index.php?s=noticias\&noticia=396). Journal of Statistics Education (Other/ manuals, help pages and News/R-patched/reference/packages/stats/ quantile) SOBRE AS AUTORAS Susana Fernandes é professora auxiliar no Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia na Universidade do Algarve e membro fundador do Centro de Estudos e Desenvolvimento da Matemática no Ensino Superior. Licenciou-se em Estatística e Investigação Operacional e fez o mestrado em Investigação Operacional na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. É doutorada em Investigação Operacional pela Universidade do Algarve. Mónica Pinto é licenciada em Matemática (ramo científico) pela Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra e mestre em Ensino da Matemática no 3.º ciclo do ensino básico e no ensino secundário pela Universidade do Algarve. Nos últimos doze anos tem-se dedicado ao ensino da matemática lecionando no centro de estudos ExpliAlgarve, em Faro. 0 GAZETA DE MATEMÁTICA 17