Um Panorama de Pesquisas sobre o uso da Modelagem Matemática no Ensino Médio: 2010 a 2014

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1 Um Panorama de Pesquisas sobre o uso da Modelagem Matemática no Ensino Médio: 2010 a 2014 Douglas Borreio Maciel dos Santos GD10 Modelagem Matemática Neste artigo é apresentada uma pesquisa realizada no âmbito do Mestrado Acadêmico do Programa de Estudo Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP. É uma pesquisa teórica que tem por alvo desenvolver um Panorama de Pesquisas sobre o uso da Modelagem Matemática no Ensino Médio: 2010 a 2014, com o objetivo de apontar os dois elementos principais de uma modelagem: o fenômeno a ser modelado e o conceito matemático modelador. Os dados foram selecionados a partir de busca de dissertações e teses no Banco de Teses da CAPES, na Biblioteca Digital da PUC-SP e na Internet (utilizando o buscador Google). O estudo se restringiu à análise de vinte e duas pesquisas. Neste artigo apresentamos dados bibliográficos dessas pesquisas e apontamos o conceito matemático modelador dos fenômenos estudados. Palavras-chave: Modelagem Matemática, Modelo, Fenômenoe Panorama. Introdução Neste artigo é apresentado o estado parcial do nosso projeto de pesquisa que tem como objetivo organizar um Panorama de Pesquisas sobre o uso da Modelagem Matemática no Ensino Médio entre os anos de 2010 a Será examinado em pesquisas, qual o conceito matemático modelador utilizado e o fenômeno. É uma pesquisa bibliográfica tipo estado da arte que, segundo Fiorentini, procura inventariar, sistematizar e avaliar a produção científica em uma determinada área (ou tema) de conhecimento (FIORENTINI, 1994, p.32), com vistas a identificar tendências e descrever o estado de conhecimento de uma área ou de um tema de estudo (FIORENTINI, LORENZATO, 2012).Neste artigo será utilizado usar como referencial teórico a concepção de Modelagem Matemática e Modelo Bassanezi, Biembengut e Hein, O modelo e a modelagem matemática Na Modelagem Matemática estão envolvidos um fenômeno real e a construção de um modelo por meio de conceitos matemáticos, com vistas a antecipar a evolução desse fenômeno. 1 Federal de Juiz de Fora, douglas.borreio@gmail.com, orientadora: Sonia Barbosa Camargo Igliori 1

2 Segundo Bassanezi(2002, p.19 e 20) Modelo é a representação de um objeto ou fato concretas sendo suas características predominantes a estabilidade e a homogeneidade das variáveis. [..]. Ele deve conter as mesmas características que o sistema real, isto é, deve representar as mesmas variáveis essenciais existentes no fenômeno e suas relações obtidas através de hipóteses (abstratas) ou de experimentos (reais) (BASSANEZI. 2002, p.19 e 20). Desta forma Bassanezi (2002), descreve que os modelos matemáticos podem ser formulados de acordo com a natureza dos fenômenos ou situações, analisados e classificados conforme o tipo de matemática utilizada, em linear ou não linear, estático ou dinâmico e educacional ou aplicativo.então modelo matemático é a interpretação de algo da realidade, usado para expressar fenômenos naturais ou sociais,a modelagem matemática em uma situação problema real compreende a compreensão desses fenômenos ou não. A modelagem matemática segundo Bassanezi: A modelagem matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendência. A modelagem consiste na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual. (BASSANEZI, 2002, p.24). Bassanezi(2002)descreve que a modelagem matemática possui as seguintes etapas: a) Experimentação obtenção de dados experimentais ou empíricos que ajudam na compreensão do problema, na modificação do modelo e na decisão de sua validade. É um processo essencialmente laboratorial e/ou estatístico; b) Abstração Identificação do problema e seleção das variáveis essenciais da situação ; formulação do problema real em linguagem natural e formulação das leis empíricas que serão testadas a partir dos dados experimentais; c) Resolução o modelo matemático é montado quando se substitui a linguagem natural por uma linguagem matemática. O estudo do modelo depende de sua complexidade e pode ser um processo numérico. Quando os argumentos conhecidos não são eficientes, novos métodos podem ser criados, ou então o modelo deve ser modificado; d) Validação Comparação entre a solução obtida via resolução do modelo matemático e os dados reais. È um processo de decisão de aceitação ou não do modelo inicial. O grau de aproximação desejado será o fator preponderante na decisão: e) Modificação Caso o grau de aproximação entre os dados reais e a solução do modelo não seja aceito, deve-se modificar as variáveis ou a lei de formação e com isso o próprio modelo original é modificado e o processo se inicia novamente; f) Aplicação A modelagem eficiente permite fazer previsões, tomar decisões, explicar e entender; enfim, participar do mundo real com capacidade de influenciar em suas mudanças (BASSANEZI, 2002, p.27). 2

3 O esquema abaixo representa as fases da modelagem matemática para Bassanezi (2002), as setas contínuas significam a primeira aproximação em relação às conjecturas realizadas sobre a situação proposta, as setas pontilhadas, significam à busca do modelo matemático que corresponda à solução a situação proposta.essas fases descritas no parágrafo anterior estão representadas na figura abaixo. Figura 01: Processo de modelagem matemática proposto por Bassanezi. Fonte: BASSANEZI, 2002, p.27 Esse processo de etapas proposto por Bassanezi possibilita a formulação do modelo matemático interagindo em situação problema de algo real. O aluno compreende o problema/fenômeno a partir da sua realidade, realiza hipóteses, inicia a formulação do modelo matemático para solucionar o problema e validar. O professor é o mediador e o aluno o protagonista de toda a execução. O uso da modelagem matemática permite a aproximação da matemática com a realidade do aluno para sua compreensão, visando melhorar o ensino aprendizagem. Nesse contexto o aluno traz consigo o seu conhecimento de vida, de mundo interagindo em uma situação real. Assim como Bassanezi, Biembengut e Hein possui a sua concepção em modelagem matemática com proximidades, em formular modelo matemático e realizar as respectivas etapas. Mas o que significa modelo matemático e modelagem para esses autores. Conforme Biembengut e Hein () nessa perspectiva, um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um fenômeno em questão ou um problema de situação real, denomina-se modelo matemático. Na ciência, a noção de modelo é fundamental em especial a matemática, com sua arquitetura, permitem a 3

4 elaboração de modelos matemáticos possibilitando uma melhor compreensão, simulação e previsão do fenômeno estudado. Um modelo pode ser formulado em termos familiares, utilizando-se de expressões numéricas ou fórmulas, diagramas, gráficos ou representações geométricas, equações algébricas, tabelas, programas computacionais etc. Por outro lado, quando se propõe um modelo, ele é proveniente de aproximações nem sempre realizado para se poder entender melhor um fenômeno, e tais aproximações nem sempre condizem com a realidade. Seja como for, um modelo matemático retrata, ainda que em uma visão simplificada, aspectos da situação pesquisada (BIEMBENGUT, 1999). A Modelagem Matemática é, assim, uma arte, ao formular, resolver e elaborar expressões que valham não apenas para uma solução particular, mas que também sirvam, posteriormente, como suporte para outras aplicações e teorias Biembengut e Hein (). Biembengut e Hein () descreve que a modelagem matemática possui as seguintes etapas: I) Interação a) Reconhecimento da situação problema; b) Familiarização com o assunto a ser modelado referencial teórico Nesta fase uma vez delineada a situação que se pretende estudar, deve ser feito um estudo sobre o assunto de modo indireto (por meio de livros e revistas especializadas, entre outros) ou direto, in loco (por meio da experiência em campo, de dados experimentais obtidos com especialistas da área). Embora esta etapa esteja subdividida em duas, reconhecimento da situação-problema e familiarização, não obedece a uma ordem rígida tampouco se finda ao passar a etapa seguinte. A situação problema torna-se cada vez mais clara, à medida que se vai interagindo com os dados. II - Matematização a)formulação do problema hipótese b)resolução do problema em termos de modelo Esta etapa, a mais complexa e desafiante, em geral subdivide-se em formulação do problema e resolução. É aqui que se dá a tradução da situação-problema para a linguagem matemática. Intuição, criatividade e experiência acumulada são elementos indispensáveis neste processo. a)formulação do problema hipóteses Nesta etapa é especialmente importante: Classificar as informações (relevantes e não relevantes), identificando fatos envolvidos; 4

5 Decidir quais os fatores a serem perseguidos, levantando hipóteses; Selecionar variáveis relevantes e constantes envolvidas;selecionar símbolos apropriados para essas variáveis; e. Descrever essas relações em termos matemáticos. O objetivo principal deste momento do processo de modelar é chegar a um conjunto de expressões aritméticas ou fórmulas, ou equações algébricas, ou gráficas, ou representações, ou programa computacional, que levem à solução ou permitam a dedução de uma solução, ou permitam a dedução de uma solução. b) Resolução do problema em termos do modelo Uma vez formulada a situação-problema, passa-se à resolução ou análise com o ferramental matemático que se dispõe. Isto requer aguçado conhecimento sobre as entidades matemáticas usadas na formulação. O computador pode ser um instrumento imprescindível: especialmente em situação-problema em que não foi possível resolvê-la por processos contínuos, obtêm-se resultados aproximados por processos discretos.cabe aqui salientar que muitos modelos matemáticos não resolvidos no século passado levaram ao desenvolvimento de outros ramos da Matemática. III - Modelo matemático; a)interpretação da solução; b)validação do modelo avaliação Para concluir o modelo, torna-se necessária uma avaliação para verificar em que nível ele se aproxima da situação-problema representada e, a partir daí, verificar também o grau de confiabilidade na sua utilização. Desta forma, faz-se: a)a interpretação do modelo, analisando as implicações da solução derivada daquele que está sendo investigado; e b)a verificação de sua adequabilidade, retornando à situação-problema investigada e avaliando quão significativa e relevante é a solução validação Se o modelo não atender às necessidades que o geraram, o processo deve ser retomado na segunda etapa ma tematização mudando-se ou ajustando hipóteses, variáveis etc. A Figura 2 está representada às etapas da modelagem matemática segundo Biembengut. 5

6 Figura 2: Dinâmica da Modelagem Matemática Fonte: (Biembengut,1999). É importante, ao concluir o modelo, a elaboração de um relatório que registre todas as facetas do desenvolvimento, a fim de propiciar sem uso de forma adequada (BIEMBENGUT, 1999). Esse artigo em por objetivo realizar um Panorama com o uso da Modelagem Matemática no Ensino Médio: 2010 a Destacar em nossa pesquisa o conceito matemático modelador (modelo matemático) e o fenômeno mais usados em pesquisas de modelagem matemática no Ensino Médio. Para isso usamos como referencial teórico dois autores já citados em nosso artigo. Vamos destacar alguns conceitos desses autores sobre o que seria um modelo, um modelo matemático e como ocorre o processo de modelagem matemática. Desta forma Bassanezi (2002), descreve que os modelos matemáticos podem ser formulados de acordo com a natureza dos fenômenos ou situações analisados e classificados conforme o tipo de matemática utilizada, em linear ou não linear, estático ou dinâmico e educacional ou aplicativo. Biembengut e Hein (2003) dizem que a formulação de modelos interpretativos dos fenômenos naturais e sociais é inerente ao ser humano. Se utilizarmos um conjunto de símbolos e relações matemáticas a fim de traduzir um fenômeno ou problema real, estaremos utilizando um modelo matemático (Biembengut e Hein, 2003), pois, como afirma Bassanezi (2004), Um modelo matemático é um conjunto consistente de equações ou estruturas matemáticas, elaborado para corresponder a algum fenômeno este pode ser físico, biológico, social, psicológico, conceitual ou outro modelo matemático (p. 174). Então modelo matemático é a interpretação de algo da realidade, que foi compreendido e será usado para resolver fenômenos naturais e sociais, em uma situação problema real. A Modelagem Matemática segundo Bassanezi: 6

7 A Modelagem Matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendência. A modelagem consiste na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual. (BASSANEZI 2002, p.24). A Modelagem Matemática é, assim, uma arte, ao formular, resolver e elaborar expressões que valham não apenas para uma solução particular, mas que também sirvam, posteriormente, como suporte para outras aplicações e teorias Biembengut e Hein (). Os autores interpretam a modelagem matemático sendo um processo de aproximação da matemática com a realidade do aluno, desta forma a compreensão da matemática será melhorada almejando um bom desempenho na aprendizagem. Então a Modelagem Matemática modifica uma situação problema real em matemática resolve esse problema e devolve para a situação real. Metodologia Quando nos referimos á escolha metodológica que será aplicada em nosso artigo foi definido, segundo Fiorentini e Lorenzato (2012): Um processo de que consiste na busca disciplinada/metódica de saberes ou compreensões acerca de um fenômeno, problema ou questão da realidade ou presente na literatura o qual inquieta/instiga o pesquisador perante o que se sabe ou diz a respeito. (p. 60). O panorama das Dissertações são os mesmos critérios de uma pesquisa de estado da arte, segundo Fiorentini e Lorenzato(2012): a pesquisa (histórico-) bibliográfico ou de revisão é a modalidade de estudo que se propõe a realizar análises históricas e/ou revisão de estudos ou processos tendo como material de análise documentos escritos e/ou produções culturais garimpados a partir de arquivos e acervos. Essa modalidade de estudo compreende tanto os estudos tipicamente teóricos ou estudos analítico-descritivos de documentos ou produções culturais, quanto os do tipo pesquisa do estado da arte, sobretudo qual procura inventariar, sistematizar e avaliar a produção científica numa determinada área (ou tema) de conhecimentos. (p.70 e 71). Para coletar os trabalhos que deverão compor o panorama desta dissertação foi utilizado a partir do Banco de Dissertações da CAPES, da Biblioteca Digital da PUC-SP e na Internet (utilizando o buscador Google). Para selecionar esses trabalhos em nossa busca foram utilizadas as palavras Chaves: Modelagem Matemática na Educação Básica, Modelagem Matemática no Ensino Fundamental e Modelagem Matemática no Ensino Médio. 7

8 Com o resultado dessa busca foram apuradas 107 dissertações da Educação Básica em todo território nacional, realizamos uma pré-análise para verificar quais pesquisas relatam o uso da Modelagem Matemática no Ensino Médio, desse total exclui oitenta e cinco dissertações referente ao Ensino Fundamental e foi possível, até o momento, selecionar 22 dissertações. Na Tabela 1 estão apresentadas as 22 pesquisas que compõem o estudo apresentado neste artigo. Tabela 1: Mestrado acadêmico e profissional Instituição Ano Autor Título Regional de Blumenau Pontifícia Católica de São Paulo (PUC/SP) Pontifícia Católica de São Paulo (PUC/SP) Pontifícia Católica de São Paulo (PUC/SP) Federal de Ouro Preto Bandeirante de SP Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Matemática Federal de Juiz de Fora Instituto de Ciências Exatas Federal de Ouro Preto 2010 Kátia Regina da Silva Korb 2011 Cristina Maria Brucki Luiz Gonçalves Filho Ricardo Antonio de Souza Glaucos Ottone Cardoso de Abreu Leonardo Gerardini Belissa Schonardie Lorena Luquini de Barros Abreu Leonardo de Assis Modelagem Matemática no Ensino Médio: Um Olhar sobre a necessidade de Aprender Matemática O uso de Modelagem no ensino de função exponencial Modelagem matemática e o ensino de função de primeiro grau A Modelagem Matemática como proposta de ensino e aprendizagem do conceito de função. A Prática de Modelagem Matemática como um Cenário de Investigação na Formação Continuada de Professores de Matemática Modelagem Matemática Sistemas De Amortizações Uma Experiência Com Jovens E Adultos Modelagem Matemática e Introdução da Função Afim no Ensino Fundamental Estudando conteúdos Matemáticos com direcionamentos de Modelagem Matemática: O Caso Da Função Afim Modelagem Matemática na Formação de Professores: Algumas Contribuições Cássio Luiz Desenvolvendo Criticidade e Criatividade 8

9 Federal de Ouro Preto Federal do Pará Instituto de Educação Matemática E Científica - IEMCI Federal Do Rio Grande Do Sul Instituto De Matemática Rural Federal do Rio de Janeiro Federal De São Carlos Estadual de Londrina Estadual de Londrina Federal do ABC Federal Rural do Semiárido Ufersa Rural Federal do Rio De Janeiro Federal de Santa Maria (UFSM, RS Pontifícia Católica de São Paulo (PUC/SP) Federal de Goiás Vidigal Gleison de Jesus Marinho Sodré Josy Rocha Tatiana Soares Cipriano Estela Aparecida Fernandes DANIELE DA CUNHA SILVA Lilian Aparecida Alves Paes Samuel Francisco Antônio Josimário Soares de Oliveira Tatiana Soares Cipriano Luciano de Oliveira Ricardo Ferreira dos Santos Carlos AlbertoSoares com Estudantes de Geografia por Meio de Modelagem Modelagem Matemática Crítica como atividade de Ensino e Investigação Modelagem Matemática com Fotografias Modelagem Matemática como Metodologia no Ensino Regular: Estratégias e Possibilidades Geometria, Modelagem e Código de Barras na Construção de Luminárias Modelagem Matemática no Processo de Ensino e Aprendizagem de Números Complexos: Uma Proposta Didática Números Complexos: Uma Proposta Didática Baseada na Modelagem Matemática e em Contextos Históricos Modelagem Matemática no arremesso de peso O Ensino e a Aprendizagem de Função Exponencial em um Ambiente de Modelagem Matemática Modelagem Matemática como Metodologia no Ensino Regular: Estratégias e Possibilidades Modelagem Matemática no Tratamento e Distribuiçãode Água: Propostas para o Ensino de Matemática O Uso da Modelagem para o Ensino da Função Seno no Ensino Médio Modelagem por Meio de Funções Elementares Para realizar análise dessas dissertações serão destacados os procedimentos que conduzirão a pesquisa bibliográfica. Segundo FIORENTINI e LORENZATO( 2012, P.102) nesse tipo de pesquisa, a coleta de informações é feita a partir de fechamento das leituras. A ficha de anotações ajuda a organizar de maneira sistemática os registros relativos às informações. 9

10 Após analisar e selecionar os trabalhos, estes serão categorizados conforme FIORENTINI e LORENZATO (2012): I - Dados Formais: título, autor, orientador, ano de publicação, modalidade (dissertação e artigo), programa, instituição. II - Dados Analíticos: objetivo geral, problemática, fenômeno, conceito matemático modelador e modelo. III - Considerações finais. Considerações Finais Neste texto, relatamos o esboço da pesquisa até esta ocasião, realizamos um levantamento bibliográfico, sintetizamos dissertações na Educação Básica Ensino Fundamental e Médio em todo território nacional. Finalizando as respectivas leituras procuramos destacar qual conceito matemático modelador, usado na Modelagem Matemática com mais freqüência.iremos finalizar a nossa pesquisa apresentando o fenômeno. Nessa tabela destacamos o conceito matemático modelador até o momento das vinte e duas pesquisas em Modelagem Matemática. Tabela 2: Título e conceito matemático modelador Título O Uso Da Modelagem Para O Ensino Da Função Seno No Ensino Médio O uso de Modelagem no ensino de funçã exponencial. Modelagem matemática e o ensino de função de primeiro grau A Modelagem Matemática como propost de ensino e aprendizagem do conceito d função. A Prática de Modelagem Matemática como um Cenário de Investigação na Formação Continuada de Professores de Matemática Modelagem Matemática na Formação d Professores: Algumas Contribuições. Desenvolvendo Criticidade e Criatividade com Estudantes de Geografia por Meio de Modelagem Modelagem Matemática Crítica como atividade de Ensino e Investigação Modelagem Matemática Sistemas De Amortizações Uma Experiência Com Jovens E Adultos Modelagem Matemática com Fotografias Conceito matemático modelador Função Seno Função exponencial Função afim Função do 1 grau Funções afins Função Exponencial Proporcionalidade e Progressão Aritmética Regra de três Sistema Amortização Constante e Price Porcentagem e Proporção Área e volume do paralelepípedo e da pirâmide 10

11 Modelagem Matemática e Introdução da Função Afim no Ensino Fundamental Modelagem Matemática no Ensino Médio: Um Olhar sobre a necessidade de Aprender Matemática. Estudando conteúdos Matemáticos com direcionamentos de Modelagem Matemática: O Caso Da Função Afim Modelagem Matemática como Metodologia no Ensino Regular: Estratégias e Possibilidades Geometria, Modelagem e Código de Barras na Construção de Luminárias Modelagem Matemática no Processo de Ensino e Aprendizagem de Números Complexos: Uma Proposta Didática Números Complexos: Uma Proposta Didática Baseada na Modelagem Matemática e em Contextos Históricos Modelagem Matemática no arremesso de peso O Ensino e a Aprendizagem de Função Exponencial em um Ambiente de Modelagem Matemática Modelagem Matemática como Metodologia no Ensino Regular: Estratégias e Possibilidades Modelagem Matemática no Tratamento e Distribuiçãode Água: Propostas para o Ensino de Matemática Modelagem por Meio de Funções Elementares Fonte: Do Autor Função Afim Geometria espacial cilindro, função exponencial Função afim Função do polinomial do 1 grau. Função afim e Prismas Números complexos Números complexos Funções quadráticas Função Exponencial Polígono convexo, Função Exponencial e Elípse. Porcentagens, Regra de três e proporcionalidade, Média aritmética, Sólidos geométricos (cilindro, cone e esfera); Função Afim Referências BASSANEZI, R. C.. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Contexto BELTRÃO, M. E. P.; IGLIORI, S. B. C.. Modelagem Matemática e aplicações: Uma abordagem para o ensino de funções.educação Matemática Pesquisa. Revista do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática. ISSN , v. 12, n. 1, BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N.. Modelagem Matemática no Ensino. Edição 5ª., 3ª reimpressão. São Paulo SP: Contexto. FIORENTINI, D. Rumos da pesquisa brasileira em educação matemática: o caso da produção científica em cursos de pós-graduação ( )f. Tese (Doutorado em Educação: Metodologia de Ensino) Faculdade de Educação, Estadual de Campinas, Campinas,

12 FIORENTINI, D.;LORENZATO, S.. Investigação em Educação Matemática: Percursos teóricos e metodológicos. Edição 3ª. Campinas - SP: Autores Associados,

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