Em geral, todas as variáveis processuais possuem unidades. De comprimento, de massa, de tempo, temperatura, pressão, velocidade, energia, etc.

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1 Sistemas de Unidades e Análise Dimensional Em geral, todas as variáveis processuais possuem unidades. De comprimento, de massa, de tempo, temperatura, pressão, velocidade, energia, etc. As unidades primárias mais importantes são: Massa (M), Comprimento (L), Tempo (T) e Temperatura (θ). Um grande número de grandezas (pressão, velocidade, energia, etc.) é expressa em unidades secundárias. As unidades secundárias podem sempre ser expressas em termos das unidades primárias. De facto, por exemplo, a velocidade, v, que é por definição um comprimento percorrido por unidade de tempo, tem, portanto, unidades v [=] L/T. Também a pressão, P, que é definida como sendo a força (F) por unidade de área (A), P = F/A. A força, por sua vez, é o produto da massa, m, pela aceleração, a, F = ma, donde P = ma/a. Assim, sendo m [=] M, a aceleração (é a velocidade por unidade de tempo), a [=] L/T e a área A [=] L, tem-se que P [=] ML/T /L [=] M/(LT ). Ou a energia (E), definida como sendo a força F vezes o deslocamento E [=] ML/T L E [=] ML /T. E como a potência, P t, é a energia por unidade de tempo, as suas unidades são P t [=] ML /T. O sistema de unidades internacional (SI, originalmente denominado de mks, a partir das iniciais das suas unidades primárias, meter-kilogram-second) é adotado em praticamente todo o mundo e é baseado nas seguintes unidades primárias: L Comprimento metro; abrev.: m; M Massa quilograma; abrev.: kg; T Tempo segundo; abrev.: s; θ Temperatura grau Kelvin, abrev.: K; Um conjunto importante de unidades secundárias neste sistema de unidades tem um nome que importa conhecer. São: - O newton (N), a unidade de força [=] ML/T [=] kg m/s ; - O joule (J), a unidade de energia [=] ML /T [=] kg m /s ; - O watt (W), a unidade de potência (energia/tempo) [=] ML /T [=] kg m /s ; - O pascal (Pa), unidade de pressão, [=] M/LT, [=] kg /m s. Nos Estados Unidos e na Grã-Bretanha, países que embora tenham aceitado a adoção sistema de unidades SI para fins científicos, ou em publicações técnico-científicas, ainda é muito comum usar o sistema britânico (ou imperial) de unidades: L Comprimento pé; abrev.: ft; = m M Massa libra; abrev.: lb; = kg T Tempo segundo; abrev.: s; θ Temperatura grau Rankine, abrev.: R; = 1/1.8 K. FEUP - MIEQ EQ0060 : Sistemas de unidades A.1

2 O sistema cgs (centímetro-grama-segundo), embora praticamente em desuso, foi muito utilizado. Neste sistema de unidades merece referência particular a unidade de força, o dyne [=] g cm/s e a unidade de energia, o erg [=] g cm /s. Na tabela A.1 encontram-se os valores equivalentes das unidades mais importantes. A.1. Conversão de Unidades A conversão de unidades, não sendo difícil, necessita de uma aproximação sistemática que evite erros. Uma maneira de o fazer é igualar à unidade uma razão entre duas quantidades 1 ft equivalentes. Por exemplo: = m Deste modo, a conversão para qualquer unidade faz-se multiplicando ou dividindo por razões destas de valor 1 de modo a desaparecerem por simplificação as unidades não desejadas. Isto pode ser melhor compreendido através de um exemplo. Exemplo A.1.: A densidade do etanol a 60ºF é 0.79 g/cm. Qual é esta densidade em lb/ft? 0.79 g/ lb kg m Resolução: d = cm kg 1000 g ft / 0.79 ( 0.048) ( 100) = = lb/ft cm m Pode usar-se este método para estabelecer a relação entre o joule e o erg: Exemplo A..: Determine o fator de conversão de joule para erg? Resolução: 1 J = 1 kg m s 1000 g 100 cm 1 kg 1 m = 10 7 g cm A.1.1. Força De acordo com a ª lei de Newton, a aceleração, a, induzida num móvel por uma força, F, a ele aplicada é proporcional à força e inversamente proporcional à sua massa, m. Isto é: F = ma. Exemplo A..: Determine o peso, P, em kg do astronauta na lua, onde a aceleração da gravidade é de 5.47 ft/s, cujo peso com todo o equipamento na Terra é de 150 kg. s = 10 7 = erg. Resolução: Deve começar-se por distinguir que o peso do astronauta, embora expresso em quilogramas como é corrente, é de facto uma força. É força exercida pela sua massa sobre superfície terrestre. FEUP - MIEQ EQ0060 : Sistemas de unidades A.

3 Portanto, corretamente, dever-se-ia referir que o peso do astronauta na Terra é de 150 kg f (quilograma-força). Define-se kg f como sendo a força exercida pela massa de 1 kg m sujeita a um campo gravítico. Embora a gravidade terrestre seja variável, é definido, com o objetivo de uniformização, o valor padrão de m/s. Assim: 1 kg f = 1 kg m m/s = N Converta-se a aceleração, em ft/s, em unidades coerentes, do mesmo sistema, portanto, em m/s : ft 5.47 ft/s m = 5.47 = m/s ; s ft Logo, o peso do astronauta na lua será: kg P = 150 kg m m/s f = N = N = 5.5 kg f N Exemplo A.4.: Determine a força necessária para impor uma aceleração de 5.0 ft/s a um móvel com 0 lb na ausência de fricção. Exprima o resultado em unidades SI kg Resolução: Sendo F = ma F = 0 ft l b 5.0 lb s m = 1.8 N. ft No sistema inglês, a unidade de força mais utilizada é a libra-força, lb f. Esta unidade é o equivalente a.174 lb.ft/s (que são as unidades de ma em unidades inglesas e para as quais não existe uma designação particular. Considere-se pois o exemplo anterior, mas invertendo o sentido da conversão de unidades. Exemplo A.5.: Determine a força necessária para impor uma aceleração de 5.0 m/s a um móvel com 0 kg na ausência de fricção. Exprima o resultado nas unidades de força inglesas (lb f ). lb Resolução: F = 0 m k g kg s ft lb f 0.048m.174 lb.ft/s Aproveite-se este exemplo para estabelecer a relação entre N e lb f : =.481 lb f. kg m 1 N = s lb kg ft 0.048m lb f.174 lb.ft/s = lb f. ou 1 lb f = N. A.1.. Pressão A pressão é definida como a força, F, por unidade de área, A. No sistema SI tem unidades N/m a que se designa de pascal, Pa. FEUP - MIEQ EQ0060 : Sistemas de unidades A.

4 No sistema inglês, a unidade mais utilizada é o psi (pound per square inch, lb f /in ; frequentemente surge como psia, onde o a final significa pressão absoluta, para distinguir de psig (gauge) que se refere à diferença entre a pressão e a pressão atmosférica). No sistema cgs, a unidade de pressão é o dyne/cm. Outra unidade recorrente para medida de pressão é a atmosfera, atm. Recorde-se que a pressão atmosférica (normal) é a que suporta uma coluna de 76 cm de mercúrio (a 0ºC e para o valor padrão da aceleração da gravidade). O valor desta pressão pode ser determinado em unidades SI usando a relação: P = ρ g z onde ρ é a massa específica (do mercúrio a 0ºC, kg/m ), g a aceleração da gravidade (o valor padrão é m/s ) e z a altura (em m, 0.76 m). Portanto: 1 atm = Pa. kg m m (m) = 1.01 s Foi convencionado que: 1 atm = Pa. Ou kpa. Exemplo A.6.: Determine o fator de conversão de atmosferas para psia. Resolução: 1 atm = Pa = N/m = kg m s = kg m s = psia. lb kg m lb f ft.174 lb.ft/s ft 1in Outra unidade de pressão corrente é o milímetro de mercúrio, mmhg. Como será facilmente 1 compreensível, 1 mmhg = atm. A partir desta relação, facilmente se relaciona esta 760 unidade com as restantes. A.1.. Temperatura Existem duas escalas de temperaturas absolutas baseadas em duas escalas primitivas, baseadas em propriedades físicas das substâncias: a escala Kelvin e a Rankine. O grau da escala Kelvin tem a mesma amplitude do grau da escala Centígrada. Esta, como se sabe, é baseada na divisão (em 100 graus) da diferença entre a temperatura de fusão da água (a que se atribui o valor de 0ºC) e a sua temperatura de ebulição (que será de 100ºC). O zero absoluto de temperatura, 0 K, corresponde ao valor -7.15ºC. Portanto, 0ºC são 7.15 K. = FEUP - MIEQ EQ0060 : Sistemas de unidades A.4

5 Resulta, pois, que converter graus centígrados em graus Kelvin se faz simplesmente somando este valor: T(K) = T(ºC) O grau da escala Rankine (ºR) tem a mesma amplitude do grau da escala Fahrenheit, que é mais pequeno que o grau centígrado ou Kelvin de um fator de 1.8. Ou seja, uma diferença (ou variação) de 1ºC (ou K) corresponde uma diferença (ou variação) de 1.8 ºF (ou ºR). Por outro lado, os zeros das escalas Fahrenheit e centígrada não coincidem (0º C = ºF), mas o zero absoluto, 0 K, coincide com 0ºR. Portanto, verifique que: K = 0ºC = º F = º R º K = ºR. A partir destas relações, é possível estabelecer todas as possíveis equações de conversão de temperaturas: T(K) = T(ºC) ; T(ºC) = T(K) 7.15; T(ºC) = (T(ºF)-)/1.8; T(ºF) = T(ºC) ; T(K) = T(ºR)/1.8; T(ºR) = 1.8 T(K); T(ºR) = T(ºF) ; T(ºF) = T(ºR) ; T(ºC) = (T(ºR) )/1.8; T(ºR) = T(ºC) A escala centígrada e a escala Kelvin estão, geralmente, associadas às unidades do sistema SI. As escalas Fahrenheit e Rankine estão, normalmente, relacionadas com as unidades britânicas. A.1.4. Energia Do ponto de vista da termodinâmica, a energia assume essencialmente duas formas: Calor e trabalho (trabalho ao veio, mecânico). Assim, surgiram de início unidades de energia especialmente vocacionadas para estabelecer estas quantidades separadamente e, portanto, existem, e ainda são muito utilizadas, unidades de calor e unidades de trabalho mecânico. A.1.5. Calor A caloria, embora não seja uma unidade do sistema SI, é usada essencialmente fora do mundo anglo-saxónico. É definida como sendo a quantidade de calor necessário para aquecer 1 grama de água de um 1ºC, entre 14.5ºC e 15.5 ºC. Ora, como a capacidade calorífica, Cp, de uma substância é definida, precisamente, como sendo a quantidade de calor necessária para elevar 1 grama dessa substância de 1ºC, resulta, pois, que a capacidade calorífica da água a 15ºC (a temperatura média entre 14.5ºC e 15.5ºC) é, exatamente, e por definição de caloria, 1 cal/gºc. FEUP - MIEQ EQ0060 : Sistemas de unidades A.5

6 O Btu (British thermal unit) é a unidade de calor preferencialmente usada no mundo anglosaxónico, e é definida de modo muito semelhante: É a quantidade de calor necessária para aquecer uma libra de água de 1ºF, entre 59.5ºF e 60.5ºF. Resulta também que a capacidade calorífica da água a 60ºF (15.6ºC) é também, exatamente e por definição, 1 Btu/lb ºF. Como se trata da mesma substância de referência (água), embora as temperaturas difiram ligeiramente (de 15ºC para 15.6ºC) é aceite que a capacidade calorífica é a mesma. Ou seja: 1cal g º C 1Btu = lb º F Desta relação, tira-se o fator de conversão entre o Btu e a caloria: Exemplo A.7.: Determine o fator de conversão entre Btu e a caloria. Resolução: A.1.6. Trabalho 1Btu lb º F 1Btu = 1cal = g º C 1cal g º C 1Btu = 45.59g lb º F lb 1cal lb g º C º C 1.8 º F º F = 5 cal. Trabalho, W, é definido como sendo a força, F, vezes o deslocamento, x: W = F x. Portanto, no sistema SI a unidade de trabalho é N.m, que se designa de Joule (J). E no sistema inglês é lb f.ft. É relativamente simples determinar o fator de conversão entre estas unidades. Exemplo A.8.: Determine o fator de conversão entre Joule e lb f.ft. Resolução: 1 Joule =1 N.m lb f N ft 0.048m = lb f.ft (a relação entre N e lb f foi estabelecida no exemplo A.5) Dado que Calor e Trabalho são duas formas de energia, cedo se revelou necessário estabelecer uma única unidade de energia que pudesse igualmente ser usada em processos térmicos ou mecânicos. Ou seja, estabelecer aquilo que se designou ser o equivalente mecânico da caloria. Para o qual se tem o seguinte resultado: 1 cal = J. Trabalho também se expressa em unidade de potência (trabalho/tempo) vezes o tempo. Por exemplo, o kw.h é o trabalho correspondente que a potência de 1 kw (1000 watts; watt = J/s) exercido durante 1 hora. Portanto 1 kw.h = 1 kj/s 600 s = 600 kj. FEUP - MIEQ EQ0060 : Sistemas de unidades A.6

7 Tabela A.1 Principais fatores de conversão de unidades. Comprimento 1 pé ft = 0.48 cm (centímetros) 1 polegada in =.54 cm 1 pé ft = 1 in 1 milha mi = km (quilómetros) 1 metro m =.808 ft 1 milímetro mm = in Massa 1 libra lb = g (gramas) 1 quilograma kg =.046 lb 1 grama-mole gmole = quantidade de substância correspondente a um número de moléculas igual ao número de Avogadro (coincide com a mole) 1 libra-mole lbmole = gmole Volume 1 metro cúbico m = 1000 l (litros) 1 litro l = 1000 cm (centímetro cúbico) 1 metro cúbico m = 5.15 ft (pé cúbico) 1 litro l = in (polegada cúbica) 1 Galão americano U.S. gal =.785 l Aceleração da gravidade m/s =.174 ft/s Força 1 libra-força lb f = N (newtons) 1 quilograma-força kg f = N 1 Newton N = 10 5 dynes Pressão 1 lbf /ft psia = Pa (pascal) 1 atmosfera atm = kpa (quilopascal) 1 atmosfera atm = psia Energia 1 Joule J = 10 7 ergs 1 Joule J = lb f. ft 1 Quilowatt-hora kw.h = 600 kj (quilojoules) 1 caloria cal = J 1 Btu Btu = cal 1 atm litro atm l = 4.17 cal 1 psi ft psi ft = Btu Potência 1 Watt W = 1 J/s 1 Quilowatt kw = 1000 J/s 1 Quilocaloria/s kcal/s = kw 1 Quilocaloria/s kcal/s =.968 Btu/s 1 cavalo-vapor hp = W FEUP - MIEQ EQ0060 : Sistemas de unidades A.7

8 A.. Quantidades Adimensionais Algumas quantidades são adimensionais. Por exemplo, o valor de uma função trigonométrica como são o seno, cosseno, tangente, etc., representam a razão de dois segmentos num triângulo, logo as suas dimensões seriam L/L e, portanto, sem unidades. Há vários exemplos de outras grandezas adimensionais: - Todas as funções trigonométricas; - Função exponencial; - Logaritmos; - Ângulos (embora possam ser medidos em unidades diferentes, rad, graus ou grados); - Algumas constantes (π, e, ); Algumas equações parecem desafiar estas regras. Por exemplo, a equação de Antoine que estabelece a relação entre a temperatura e a pressão de vapor (de componentes puros): log P = A - B C + t onde t é a temperatura e P a pressão. Obviamente, a pressão tem unidades e, numa primeira impressão, a equação parece em contradição com o estabelecida acima quanto ao facto de B exponenciais serem adimensionais. Da equação de Antoine, P = exp A tem C + t unidades de pressão. Para justificar este facto, recordamos que a equação de Antoine deriva da equação de Clausius-Clapeyron, uma equação exata: dp dt λ = T ( V V G L ) onde λ é o calor de vaporização, V G, V L o volume molar do gás e do líquido, respetivamente. Podemos obter uma boa aproximação a esta equação se admitirmos que o volume molar do gás é muito superior ao volume molar do líquido e, logo, V G V L V G. Adicionalmente, assumindo comportamento de gás ideal, PV G = RT. Substituindo e separando variáveis: dp λ = P RT dt FEUP - MIEQ EQ0060 : Sistemas de unidades A.8

9 P B' A forma integrada desta equação diferencial é: ln = A', onde A e B são constantes e P T P 0 uma pressão de referência. Esta equação é dimensionalmente correta. O argumento do logaritmo é um número adimensional. Assim A é adimensional e B [= ] θ. P A forma da equação de Antoine é uma evolução desta equação. Como ln = ln P - ln P0, a P equação acima pode reescrita como sendo ln P 0 B' = A onde A = A log P 0 e é introduzido T um terceiro parâmetro C para melhorar a representação P(T) numa gama mais vasta de pressões e temperaturas. Este parâmetro C tem as unidades de T. O modo como se lida com unidades nesta equação é exemplificado no exemplo seguinte. Exemplo A.9.: As constantes de Antoine para a água são A = , B = e C = 7.58 (válidas para 71ºC T 100ºC) para usar com T [=] ºC, P [=] mmhg e logaritmo na base 10. Obtenha as constantes de Antoine para usar com T [=] ºF e P [=] psia. 0 Resolução: log 10 1 atm 760 mmhg P psia = psia 1 atm T(º F) log 10 ( psia ) P = log 10 log 10 ( P psia ) T(º = T(º F) Portanto A = 6.450, B = e C = F) Assim, os argumentos de funções trigonométricas (ângulos) e de funções exponenciais (tal como um logaritmo) são números adimensionais. Esta observação é útil para determinar as unidades associadas a certas grandezas numa expressão. A.. Análise Dimensional Para que uma equação seja consistente do ponto de vista dimensional, todas as parcelas (se existirem) devem ter as mesmas unidades. Consequentemente, os termos de ambos os lados da equação têm as mesmas dimensões. FEUP - MIEQ EQ0060 : Sistemas de unidades A.9

10 Por exemplo, na expressão y = sen (a + wt) em que t é o tempo (t [=] T), devemos concluir que a é um número adimensional, tal como y, e w terá unidades w [=] T -1, de modo que o produto wt seja adimensional. Exemplo A.10.: Considere a equação P = ρ gz, onde P é a pressão, ρ a densidade, g a aceleração da gravidade e z a altura). Verifique se está dimensionalmente correta. Resolução: Sabe-se que P [=] ML -1 T - ρ [=] ML - g [=] LT - z [=] L ρ gz [=] (ML -1 T - ) 1/ [=] M 1/ L -1/ T -1 ML -1 T - A equação está dimensionalmente incorreta. Estas condições de ordem dimensional introduzem restrições quanto ao modo como as variáveis se agrupam numa equação. Isto é, através da análise dimensional será possível, em certas condições, estabelecer uma relação funcional entre variáveis apenas baseando-nos no facto de ser necessário satisfazer estas restrições de ordem dimensional. Esta observação é ilustrada com o seguinte exemplo típico. Exemplo A.11.: Sabe-se, empiricamente, que a queda de pressão ( P) entre duas extremidades de um tubo onde circula um fluido é função das seguintes variáveis: Diâmetro do tubo (d), comprimento do tubo (c), velocidade do fluido (v), massa específica do fluido (ρ) e viscosidade do fluido (µ). Admitindo que forma funcional é o produto de potências destas variáveis, determine-a usando a análise dimensional n1 n n n n Resolução: O que se propõe é que a função seja da forma: P = const d c v ρ 4 µ 5 As unidades de cada uma das variáveis são: P [=] M L -1 T - d [=] L c [=] L v [=] L T -1 ρ [=] M L - µ [=] M L -1 T -1 Usando a análise dimensional, devemos ter que: FEUP - MIEQ EQ0060 : Sistemas de unidades A.10

11 n n -1 n M L -1 T - = 1 ( ) ( ) 4 ( ) 5 L L L T Donde se pode concluir que: M L - n M L -1 T 1 n M: 1 = n 4 + n 5 L: -1 = n 1 + n + n + n 5 - n 4 - n 5 T: - = - n - n 5 Três equações em 5 incógnitas. É um sistema duplamente indeterminado. Resolvemos em ordem a duas das variáveis. Sejam n e n 5 : n 1 = - n n 5 n = n 5 n 4 = 1 n 5 Assim: -n n5 n -n5 1-n5 n5 P = const d c v ρ µ Rearranjando: n n 5 P c µ = const u d du ρ ρ Que é a forma funcional pedida. Os expoentes n e n 5 são constantes arbitrárias. Um conjunto de medições experimentais poderia validar (ou não) a função proposta e determinar os parâmetros n e n 5 que melhor ajustassem os valores experimentais. FEUP - MIEQ EQ0060 : Sistemas de unidades A.11