FUNDAMENTOS MATEMÁTICA. 1 a Edição

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2 FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 1 a Edição - 8

3 SOMESB SOCIEDADE MANTENEDORA DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DA BAHIA S/C LTDA. GERVÁSIO MENESES DE OLIVEIRA PRESIDENTE SAMUEL SOARES SUPERINTENDENTE ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO GERMANO TABACOF SUPERINTENDENTE DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO PEDRO DALTRO GUSMÃO DA SILVA SUPERINTENDENTE DE DESENVOLVIMENTO E PLANEJAMENTO ACADÊMICO FTC-EAD FACULDADE DE TECNOLOGIA E CIÊNCIAS ENSINO A DISTÂNCIA REINALDO DE OLIVEIRA BORBA DIRETOR GERAL MARCELO NERY DIRETOR ACADÊMICO ROBERTO FREDERICO MERHY DIRETOR DE DESENVOLVIMENTO E INOVAÇÕES MÁRIO FRAGA DIRETOR COMERCIAL JEAN CARLO NERONE DIRETOR DE TECNOLOGIA ANDRÉ PORTNOI DIRETOR ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO RONALDO COSTA GERENTE DE DESENVOLVIMENTO E INOVAÇÕES JANE FREIRE GERENTE DE ENSINO LUÍS CARLOS NOGUEIRA ABBEHUSEN GERENTE DE SUPORTE TECNOLÓGICO OSMANE CHAVES COORD. DE TELECOMUNICAÇÕES E HARDWARE JOÃO JACOMEL COORD. DE PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO MATERIAL DIDÁTICO PRODUÇÃO ACADÊMICA JANE FREIRE GERENTE DE ENSINO ANA PAULA AMORIM SUPERVISÃO PRODUÇÃO TÉCNICA JOÃO JACOMEL COORDENAÇÃO CARLOS MAGNO BRITO ALMEIDA SANTOS REVISÃO DE TEXTO FERNANDA LORDÊLO ANA PAULA ANDRADE MATOS MOREIRA MARIA VALESCA SILVA COORDENADORES DE CURSO MARIA VALESCA SILVA COORDENADOR DE CURSO GECIARA DA SILVA CARVALHO AUTOR(A) PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO REVISÃO DE CONTEÚDO PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO REVISÃO DE CONTEÚDO ADRIANO PEDREIRA CATTAI PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO EDIÇÃO EM L A T E X ε EQUIPE ANDRÉ PIMENTA, ANTONIO FRANÇA FILHO, AMANDA RODRIGUES, BRUNO BENN DE LEMOS, CEFAS GOMES, CLÁUDER FREDERICO FILHO, FRANCISCO FRANÇA JÚNIOR, HERMÍNIO FILHO, ISRAEL DANTAS, IVES ARAÚJO, JOHN CASAIS, MARCIO SERAFIM, MARIUCHA SILVEIRA PONTE E RUBERVAL DA FONSECA. Copyright c.8 FTC-EAD Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.61 de 19//98. É proibida a reprodução total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorização prévia, por escrito, da FTC-EAD- Faculdade de Tecnologia e Ciências - Ensino a distância.

4 Sumário Bloco 1: Estudo das Funções e sua Aplicabilidade na Economia 6 Tema 1: O Estudo das Funções Econômicas O Estudo das Funções do 1 e Graus Funções do 1 o Grau Gráfico de uma Função Afim Zeros ou Raízes de uma Função Afim Funções do o Grau (ou Quadráticas) Zeros da Função do o Grau Gráfico de uma Função Quadrática Funções Custo, Receita e Lucro Função Custo Função Receita Funções Oferta e Demanda Outras Funções Importantes Um Vínculo Orçamentário Funções de Depreciação Composição de Funções Funções Definidas por mais de uma Sentença Funções de Duas Variáveis Eercícios Propostos Tema : Estudos de Outras Funções Matemáticas e Suas Aplicações 3.1 Funções Eponenciais e suas Aplicações Funções Eponenciais Crescimento Eponencial Decrescimento Eponencial Funções Logarítmicas e suas Aplicações Um Pouco de História Propriedades Fundamentais dos Logaritmos Funções Logarítmicas Aplicações dos Logaritmos Funções Trigonométricas Características de Algumas Funções Trigonométricas Eercícios Propostos Bloco : O Estudo do Cálculo e suas Implicações Econômicas 44 Tema 3: Estudo do Cálculo Diferencial e suas aplicações Noções Básicas de Limites Propriedades dos Limites Derivadas e suas Aplicações Regras de Derivação Pontos de Máimos e Mínimos Fundamentos da Matemática 3

5 3.4 Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia) Notação de Derivadas Derivadas de Algumas Funções Elementares Taas de Variação Taa de Variação Percentual Aproimação por Diferenciais Eercícios Propostos Aproimação da Variação Percentual Eercícios Propostos Eercícios Propostos Tema 4: Estudo do Cálculo Integral e Aplicações Integral Indefinida e suas Propriedades Operatórias Regras de Integração Integração da Função Potência A Integral da Função f () = A Integral da Função f () = e A Integral do Produto de uma Constante por uma Função A Integral da Soma é a Soma das Integrais Integração por Substituição Eercícios Propostos Integral por Partes Eercícios Propostos Área e Integral Definida Eercícios Propostos Área com Integral Definida Área entre Duas Curvas Eercícios Propostos Aplicações: O Ecedente do Consumidor e do Produtor Lucro Líquido Ecedente Ecedente do Consumidor Ecedente do Produtor Eercícios Propostos Referências Bibliográficas 66 4 FTC EAD

6 APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA Prezados, Sejam bem vindos! Neste impresso, dialogaremos sobre a disciplina Matemática. Ele foi concebido e escrito com o objetivo de tratar, da melhor maneira possível, alguns aspectos da Matemática, seus objetivos, utilidades e aplicabilidades necessárias aos estudantes dos cursos de Bacharelado em Administração, Bacharelado em Ciências Contábeis, dentre outros. Certamente, sua organização e abordagem possibilitam que o assunto seja interessante e facilitador da aprendizagem. Com ênfase em aplicações e na solução de problemas do cotidiano, utilizaremos, principalmente, os conteúdos do Cálculo Diferencial e Integral. No entanto, ressaltamos que alguns cuidados devem ser tomados para se obter SUCESSO nessa disciplina: 1. Não transfira para o professor a responsabilidade de fazer com que você aprenda todos os conteúdos programáticos. A Matemática se aprende lendo, refletindo e eercitando MUITO.. Refaça os eercícios resolvidos entendendo cada raciocínio utilizado no desenvolvimento para encontrar a solução. 3. Resolva todos os eercícios complementares e propostos. 4. Aplique o conteúdo à sua vida diária e teste os conhecimentos em eercícios que o estimulam a escrever a respeito da Matemática usando não apenas símbolos, mas também palavras. 5. Revise os conceitos básicos de vários assuntos vistos nas séries finais do ensino fundamental e do ensino médio, como, por eemplo, o de números reais, equações e funções. 6. Utilize uma calculadora científica quando julgar necessário. Portanto, longe de tornar este material uma coletânea de conteúdos organizados de uma maneira que somente os técnicos possam interpretá-los, buscamos uma linguagem simples e objetiva que possa lhe levar a compreensão dessa maravilhosa ferramenta que é a Matemática. Estejam sempre atentos, pois acreditamos que devemos buscar entender todo o conteúdo e os mecanismos que facilitam a compreensão de uma determinada teoria ou problema. Desta forma, vocês aprenderão e sentirão cada vez mais prazer em estudar. Prof. Prof a. Geciara da Silva Carvalho e Prof. Jones Garcia da Mata.

7 BLOCO 1 Estudo das Funções e sua Aplicabilidade na Economia Apresentação A formulação matemática de um problema proveniente de uma situação prática frequentemente origina epressões que envolvem combinação de funções. Considere os seguintes questionamentos: Como a alteração na demanda de certo produto afeta o preço do mesmo? Que efeitos têm os impostos sobre o preço e a quantidade para certo produto? Quem paga a conta? O produtor ou o consumidor? Será possível, determinar a depreciação de um determinado bem? Como o Lucro de uma empresa está relacionado com seu nível de produção? O uso do conceito e propriedades de algumas funções nos permite responder tais perguntas, pois elas representam uma fatia da matemática que possibilita descrevê-las como ferramentas para o desenvolvimento de modelos matemáticos de fenômenos do mundo real. Além disso, constitui-se o objeto fundamental do Cálculo Diferencial e Integral e suas aplicações, objeto de estudo do Bloco. Nesta perspectiva, faremos uma abordagem prática de tais conteúdos de modo que você possa compreender e apreender sobre os Modelos econômicos e financeiros. Neste bloco, trabalharemos, no tema I, o estudo das funções econômicas e, no tema, aplicações de outras funções, tais como função eponencial e a logarítmica. Portanto, tais conceitos serão trabalhados de forma contetualizada e, sempre que possível, faremos uma revisão dos conteúdos matemáticos envolvidos. TEMA 1 O Estudo das Funções Econômicas O Conceito de Função no Cotidiano As funções surgem quando uma variável depende da outra, como, por eemplo, o custo C de se enviar uma carta pelo correio depende do seu peso P. Embora não haja uma fórmula simples conectando o custo de envio e o peso da carta, o correio a possui essa fórmula específica que permite calcular C quando é dado P. Assim: 1.1 Definição. Sejam e y duas variáveis representativas de conjuntos de números. Diz-se que y é função de e escreve-se y = f () se entre as duas variáveis eiste uma correspondência unívoca, no sentido y. A chama-se variável independente e a y variável dependente. Eistem quatro maneiras de representar uma função: verbalmente: descrevendo-a com palavras 6 FTC EAD

8 numericamente: por meios de tabelas graficamente: visualização através de gráficos algebricamente: utilizando-se uma fórmula eplícita Segundo Duvall, o estudante só consegue efetivamente dominar o conceito de função quando este é capaz de compreendê-lo ao menos em duas formas de representação e é capaz de passar de uma representação a outra com desenvoltura. Nos conteúdos a seguir, buscamos eemplos que contemplassem esta abordagem, primeiro porque o conteúdo matemático não deve ser comprometido e a precisão matemática garantida; segundo, fazer uso destes conteúdos no cotidiano do aluno, é uma condição necessária para a aprendizagem dos mesmos e, por fim, desenvolver significativamente uma metodologia que possibilite a compreensão conceitual, ou seja, a visualização, eperimentação numérica e gráfica e aplicada do objeto apreendido. No entanto, cabe ao estudante considerar a abordagem a ser estuda como ponto de partida para outros estudos que lhe permita desenvolver a capacidade de tomar partes de descobertas. Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar sua curiosidade e fizer funcionar sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, então você poderá eperimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta". George Polya Portanto, trataremos especificamente no tema I de aplicações de funções econômicas de 1 o e o graus, a saber: Função Custo, Receita e Lucro, Função de Demanda e Oferta; Função Depreciação, dentre outras aplicações. No entanto, de forma sucinta, destacaremos as propriedades de cada função a ser trabalhada, tendo como foco a contetualização do conhecimento matemático a ser apreendido, favorecendo coneões entre diversos conceitos matemáticos com a área dos negócios, da Economia e das Ciências Humanas. 1.1 O Estudo das Funções do 1 e Graus A qualquer coneão entre os elementos de dois conjuntos A e B damos o nome de "relação"de A em B. Embora o estudo das relações entre conjuntos seja importante, vamos nos ater ao estudo de um tipo especial, em que cada elemento de A tem como correspondente somente um elemento de B, o qual é denominado função. Uma evidência prática deste conceito pode ser compreendida através da situação a seguir. Suponha que você necessite utilizar um tái para deslocar-se até a sua unidade pedagógica. O preço a pagar pela corrida de tái depende da distância percorrida. A tarifa y a ser paga é composta de duas partes: uma parte fia denominada de bandeirada e uma variável, que depende do número de quilômetros rodados. Supondo que a bandeirada custe R$3, e o quilômetro rodado R$, 6. A tarifa de tái é obtida através da fórmula: y =, Esta epressão matemática se constitui em um eemplo de função, particularmente, uma função do 1 o grau. Para seu melhor entendimento sobre funções, vamos relembrar alguns aspectos importantes. 1. Uma função f de A em B é uma relação em A B que associa a cada variável em A, um único y em B. Fundamentos da Matemática 7

9 . Uma das notações mais usadas para uma função f de A em B é: f : A B 3. O conjunto A é chamado de domínio da função. 4. O elemento y é chamado imagem de por f e denota-se y = f (). 5. O conjunto B é o contradomínio da função. 1. Funções do 1 o Grau 1. Definição. Uma função real do 1 o grau ou afim, é qualquer função que pode ser escrita sob a forma f () = a + b, com a um número real não nulo e b um real. Simbolicamente, f : R R; f () = a + b em que a, b Rea é função real afim. Os eemplos a seguir facilitarão a compreensão dos conceitos que envolvem uma função de 1 o grau. Eemplo 1.1. Sejam os conjuntos A = {, 1, } e B = {, 1,, 3, 4, 5} e a função f : A B definida por f () = + 1. Observe que f () y ou f () f () = + 1 = f (1) = = 3 3 f () = + 1 = 5 5 Numa função f : A B, Seu domínio é o conjunto A e é indicado por Dom(f ). No eemplo, note que Dom(f ) = {, 1, }. A imagem de uma função f é um subconjunto de B que é indicado por I(f ). I(f ) = {1, 3, 5}. No eemplo anterior, Seu contradomínio é o conjunto B. Nele, temos que I(f ) B. No eemplo, verifica-se que: f () = 1, isto é, 1 é a imagem de pela função f ; f (1) = 3, isto é, 3 é a imagem de 1 pela função f ; f () = 5, isto é, 5 é a imagem de pela função f. Eemplo 1.. Seja f : R R uma função definida por f () = 3 5. Determine o valor real de para que se tenha f () = 1, ou seja, sua imagem seja igual a 1, a partir desta função. Solução: Veja como é fácil! Observe que quando igualamos a imagem da função a 1, essa epressão se constitui numa equação de 1 o grau. Para saber mais sobre isso consulte um livro qualquer das séries finais do ensino fundamental (8 a série). De fato, f () = 3 5 e f () = = 1 3 = 15 = 15 3 = 5. Logo, para a imagem por f ser 1, o valor atribuído a deve ser 5. 8 FTC EAD

10 1..1 Gráfico de uma Função Afim O gráfico de uma função de 1 o grau (f () = a + b) é uma reta. A fim de compreender o esboço do gráfico desta função, recordaremos que: Um fato bastante conhecido da geometria plana (aioma de Euclides) é que dois pontos são suficientes para determinar uma reta. Portanto, para construir o gráfico de uma função afim f é suficiente termos as coordenadas de dois de seus pontos. Estes pontos são pares ordenados da forma (, f ()). Logo, para esboçarmos o gráfico de uma função afim f () = + 3, basta determinar as coordenadas de dois pontos distintos e, em seguida, traçarmos a reta que passa por estes pontos. Para isso, escolheremos dois valores quaisquer para sem critério algum. Por eemplo, = 1 e =. Em seguida, encontraremos a imagem para estes pontos. Sendo assim, f (1) = = 5 f () = + 3 = 7 Desta forma, os pontos A(1, 5) e B(, 7) pertencem ao gráfico da função f. Para esboçar o gráfico de f, devemos marcá-los no plano cartesiano e, em seguida, traçar a reta que passa por eles, conforme as figuras a seguir. y y 8 B 8 B 6 A 6 A Observe que no ponto em que a reta corta o eio-, a imagem é zero! Este ponto será importante para traçarmos o gráfico desta função. 1.. Zeros ou Raízes de uma Função Afim Denomina-se zero ou raiz de uma função real f, a todo valor Dom(f ) tal que f () =. Nota 1. A abscissa do ponto de interseção do gráfico de uma função real f com o eio- é um zero de f. O valor f () é a ordenada do ponto de interseção do gráfico da função f com o eio-y. Portanto, se f () = a + b, com a, então f () = a + b =. Segue que, o zero de f é = b a. Temos, ainda, que f () = a () + b = b. Assim, o gráfico de uma função afim intercepta o eio-y no ponto (, b). Fundamentos da Matemática 9

11 Nota. Na função f () = a + b, a é chamado de coeficiente angular, pois está relacionado com a inclinação da reta, e b é chamado de coeficiente linear pois determina, no plano cartesiano, a ordenada do ponto onde o gráfico da função afim corta o eio-y. A fim de esboçar, de maneira prática, o gráfico, marque, no plano cartesiano, 1. o ponto de interseção com o eio- (zero da função) b a, ;. o ponto de interseção com o eio-y (coeficiente linear) (, b). Eemplo 1.3. Construir o gráfico da função f () = + 3 utilizando os pontos de interseção do gráfico com os eios coordenados. Solução: Calculemos, inicialmente, o zero da função f. f () = + 3 = = 3. Logo, A 3, é o ponto em que o gráfico de f intercepta o eio-. Agora, encontremos o valor f (). 4 B Graf(f ) f () = + 3 = 3. Logo, B(, 3) é o ponto em que o gráfico de f intercepta o eio-y. -4 -A Finalmente, marcando estes pontos, obtemos o gráfico de f conforme a figura ao lado. - Eemplo 1.4. Construir o gráfico da função afim f () = Solução: Para encontrar o zero da função f, devemos resolver a equação f () =. Segue que, = 3 = 6 =. Desta forma, o gráfico da função f intercepta o eio- no ponto A(, ). y Determinemos, agora, o valor de f () quando =. Então, 6 f () = = 6. B Portanto, o gráfico da função f intercepta o eio-y no ponto B(, 6). Marcando estes dois pontos no plano cartesiano e traçando 4 Graf(f ) uma reta que passa pelos pontos (, 6) e (, ), obtemos o gráfico de f conforme a figura ao lado. A Note, respectivamente, que nas funções f () = + 6 e f () = 3 + 9, temos: 1. a = (a é positivo) e o gráfico da função é CRESCENTE;. a = 3 (a é negativo) e o gráfico da função é DECRESCENTE. 1 FTC EAD

12 Em resumo, dada uma função afim f () = a + b, temos que: Nota Se a >, então a função f é crescente e o seu gráfico é o de uma reta com inclinação positiva e passa pelos pontos b a, e (, b).. Se a <, então a função f é decrescente e o seu gráfico é o de uma reta com inclinação negativa e passa pelos pontos b a, e (, b). Veja, portanto, que: 1. a função f () = + 6 é crescente (a = > ) e é um eemplo em que a reta possui inclinação positiva.. a função f () = é decrescente (a = 3 < ) e é um eemplo em que a reta possui inclinação negativa. 1.3 Funções do o Grau (ou Quadráticas) 1.3 Definição. Uma função real f, da forma f () = a + b + c, em que os coeficientes a, b e c são números reais, com a, é uma função quadrática ou do grau. São eemplos de quadráticas as funções: f () = f () = 4 f () = Zeros da Função do o Grau Ao igualarmos uma função f a, estamos interessados em descobrir, caso eistam, os valores pertencentes ao domínio de f os quais se associam ao valor. Estes valores são chamados de zeros ou raízes da função. O processo algébrico a seguir, atribuído a Bhaskara, determina, caso eistam, quem são os zeros de uma função quadrática. Neste, devemos calcular, primeiramente, o valor do discriminante = b 4ac e, caso, os zeros da função quadrática são calculados através das fórmulas: 1 = b + a e = b a É importante que você faça uma revisão sobre a teoria que envolve equações do o grau, ok? Isso facilitará a compreensão de certos aspectos que envolvem este tipo de função. Fundamentos da Matemática 11

13 1.3. Gráfico de uma Função Quadrática O gráfico de uma função quadrática é uma parábola e, para construí-la, devem-se seguir os passos: 1. Verificar a sua concavidade: se a >, a concavidade da parábola é positiva ou voltada para cima; se a <, a concavidade da parábola é negativa ou voltada para baio. a < a >. Determinar o ponto de interseção com o eio-y, ou seja, (, f ()). Para encontrar este ponto devemos calcular quem é a imagem para =. Sendo assim, f () = a + b + c = c. Logo, o ponto de interseção com o eio-y tem coordenadas (, c). 3. Calcular o discriminante e, se >, a função quadrática então possui dois zeros reais e distintos e o seu gráfico interceptará o eio- em dois pontos. =, a função quadrática então possui dois zeros reais e iguais e interceptará o eio- em apenas um ponto. <, a função quadrática então não possui zeros 4a e o seu gráfico, portanto, não interceptará ponto algum sobre o eio-. Você é capaz de dizer o porquê desta afirmação? 4. Calcular as raízes da função. 5. Encontrar as coordenadas do vértice da parábola. Elas são determinadas por V b a, 6. Marcar os pontos obtidos nos passos anteriores no plano cartesiano e atentar para a concavidade da parábola. Eemplo 1.5. Construir o gráfico da função f () = Solução: Seguiremos os passos descritos anteriormente. 1. Verificação da concavidade Como a = 1, temos que a concavidade da parábola é voltada para cima.. Determinar o ponto (, c) de interseção com o eio das ordenadas. f () = = 6. Logo, (, 6) é este ponto. 1 FTC EAD

14 3. Calcular o discriminante e, caso eistam, os zeros da função. Para isso, basta resolver a equação f () =, ou seja, = Como a = 1, b = 5 e c = 6, temos que = ( 5) = 5 4 = 1 Isto significa que a função quadrática f possui dois zeros reais e distintos. Para determiná-los, utilizemos a fórmula de Bhaskara. 1 = b + a = ( 5) = = 3 e = b a = ( 5) 1 1 = 5 1 =. 4. Encontrar as coordenadas do vértice da parábola. Como V b a, 4a, temos V = b a = ( 5) 1 = 5 e y V = 4a = = 1 4 Portanto, V 5, 1 4. O gráfico da função é, portanto: 6 3 f 1 V 3 4 Eemplo 1.6. Construir o gráfico da função f () = Solução: quadrática. Vamos acompanhar os passos descritos para a construção do gráfico de uma função 1. Verificação da concavidade Como a = 1, temos que a concavidade da parábola é voltada para baio.. Determinar o ponto (, c) de interseção com o eio das ordenadas. f () = = 6. Logo, (, 6) é este ponto. 3. Calcular o discriminante e, caso eistam, os zeros da função. Fundamentos da Matemática 13

15 Para isso, basta resolver a equação f () =, ou seja, = Como a = 1, b = 5 e c = 6, temos que = 5 4 ( 1) ( 6) = 5 4 = 1 Isto significa que a função quadrática f possui dois zeros reais e distintos. Para determiná-los, utilizemos a fórmula de Bhaskara. 1 = b + a = ( 1) = = e = b = 5 1 a ( 1) = 5 1 = Encontrar as coordenadas do vértice da parábola. Como V b a, 4a, temos V = b a = 5 ( 1) = 5 e y V = 4a = 1 4 ( 1) = 1 4 Portanto, V 5, 1 4. O gráfico da função é, portanto: V f Veremos, no eemplo a seguir, que se =, então a função quadrática tem dois zeros reais e iguais, isto é, a função corta o eio- em apenas um ponto. Eemplo 1.7. Construir o gráfico da função f () = Verificação da concavidade. Como a = 1, a concavidade da parábola é voltada para cima.. Determinar o ponto de interseção do gráfico da parábola com o eio-y. f () = = 1. Logo, o ponto procurado é (, 1). 3. Calcular os zeros da função. Para isso, resolvemos a equação quadrática + 1 = : Como a = 1, b = e c = 1, temos que = b 4ac = ( ) = 4 4 =. 14 FTC EAD

16 Observe, aqui, a função quadrática tem dois zeros reais e iguais. Os zeros da função: 1 = b + a = ( ) + 1 = = 1 e = b a = ( ) 1 = = 1 4. As coordenadas do vértice da parábola: Portanto, V(1, ). V = b a = ( ) 1 = = 1 e y V = 4a = 4 1 = O esboço do gráfico da função é: V 1 3 Eemplo 1.8. Construir o gráfico da função f () = + 1. Solução: Temos que = b 4ac = 4 ( 1) ( 1) = 4 4 =, ou seja, a função quadrática tem dois zeros reais e iguais. Analogamente à função anterior, obtemos que os zeros da função são 1 = = 1 e o vértice V(1, ). O esboço do gráfico da função f é: V 1 3 Eemplo 1.9. Construir o gráfico da função f () = Solução: 1. Verificação da concavidade. Como a =, a concavidade da parábola é voltada para cima.. Determinar o ponto de interseção do gráfico da parábola com o eio-y. f () = = 3. Fundamentos da Matemática 15

17 Logo, o ponto procurado é (, 3). 3. Calcular os zeros da função. Para isso, resolvemos a equação quadrática = : Como a =, b = 1 e c = 3, temos que = b 4ac = 1 4 cdot 3 = 1 4 = 3. Observe, aqui, que a função quadrática não possui zeros reais. 4. As coordenadas do vértice da parábola: Portanto, V 1 4, 3 8. O esboço do gráfico da função f é: V = b a = 1 = 1 4 e y V = 4a = ( 3) = V Observe que o gráfico da função não corta o eio-. Eemplo 1.1. Construir o gráfico da função f () = 3. Solução: Analogamente ao eemplo anterior, temos que = 3 e, portanto, a função não possui zeros reais. Como f () = 3, o ponto (, 3) e o de interseção como o eio das ordenadas. Como a =, temos que a parábola tem concavidade voltada para baio. As coordenadas do vértice são V 1 4, 3 8. O esboço do gráfico da função f é: 1 4 V 3 8 Observe que o gráfico da função não intercepta o eio-. 16 FTC EAD

18 1.4 Funções Custo, Receita e Lucro Função Custo 1.4 Definição. Uma função C que associa a produção de uma quantidade q de algum bem ao custo total é chamada de função custo. Para refletir Que tipo de função você espera que seja C(q)? Nota 4. Quanto maior for a quantidade de bens produzidos, maior será o custo. Sendo assim, C(q) é uma função definida para valores não negativos de q, não somente para inteiros. Suponha que você seja dono de uma grande companhia que fabrica cadernos escolares. A fábrica e o maquinário necessários para começar a produção são custos fios, pois tais custos eistem ainda que nenhum caderno seja produzido. Os custos de trabalho e matéria prima são variáveis, pois tais quantias dependem da quantidade de cadernos feitos. Imagine que em um determinado momento, os custos fios de sua fábrica sejam de R$36., e os custos variáveis de R$3, por caderno. Então Custo total para a companhia = Custo fio + Custo variável = , q, em que q representa o número de cadernos produzidos. Assim, C(q) = , q. Esta é uma função afim e seu gráfico é o de uma reta com inclinação 3, e intercepto vertical 36.. C(q) milhares 36. q (quantidade) Em resumo, os custos de produção podem ser divididos em duas partes: 1. Custos fios C F, que eistem ainda que nada seja produzido. São representados pelo intercepto vertical.. Custos variáveis C V (q), que varia dependendo de quantas unidades são produzidas. 3. Custos totais C T (q) que é a soma dos custos fios e dos variáveis, isto é, C t (q) = C F + C V (q). Fundamentos da Matemática 17

19 1.4. Função Receita 1.5 Definição. Uma função R que associa a venda de uma quantidade q de algum bem ao valor total monetário recebido por uma firma é chamada de função receita. 1.. Suponha que a fábrica de cadernos venda cada um por R$1,, a receita por 1 cadernos é 1 1 = Representando o preço por p e a quantidade vendida por q, temos Receita = Preço Quantidade R(q) = p q. Portanto, R(q) = 1q. Nota 5. Utilizaremos as letras q ou para indicar a quantidade de um determinado produto. Se o preço não depender da quantidade vendida, o gráfico da receita em função da quantidade de um determinado produto é uma reta que passa pela origem. R q Considerando a função receita anterior, que o custo de produção de cada caderno é de R$3, e que o custo fio é de 36., para que valores de q a fábrica ganha dinheiro, ou seja, tem lucro? A fábrica ganha dinheiro sempre que a receita é maior que os custos (R(q) C(q)), de modo que queremos achar os valores de q para os quais o gráfico de R(q) está acima do gráfico de C(q). Observe que o gráfico R(q) está acima do gráfico de C(q), quando q Q N. Receita Custo q N q Observando o gráfico acima, verifique que o gráfico de R(q) está acima do gráfico de C(q) para todos os 18 FTC EAD

20 valores de q maiores que q N, onde os gráficos de R(q) e C(q) se cruzam. Em outras palavras, as imagens da função R(q) são maiores que as imagens da função C(q) quando os valores de q são maiores que q N. No ponto N(q N, R(q N )) ou N(q N, C(q N )), chamado ponto de nivelamento, a receita é igual ao custo. Assim, para obtermos q N (quantidade de nivelamento), ou seja, a quantidade de produto em que a receita é igual ao custo, basta: R(q) = C(q) 1q = q 9q = 36. q = 4. Portanto, q N = 4. cadernos. Assim, a fábrica terá lucro se produzir e vender mais que 4. cadernos. Perderá dinheiro se produzir e vender menos que 4. cadernos. R$ Receita 48. Custo q Contetualizando o Saber Problema 1. O dono de um restaurante vende, em média, 3 refeições por dia a R$5, a refeição, que tem um preço de custo de R$3,. Ele observou que, a cada R$, que ele oferece de desconto no preço da refeição, sua venda aumenta em 4 refeições. A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu lucro seja máimo? Solução: Podemos etrair deste problema que p = 5 = 3 (5; 3) p = 4, 8 = 34 (4, 8; 34) Considerando p() = a + b, temos que: 5 = 3a + b 4, 8 = 34a + b Resolvendo este sistema linear, encontramos a =, 5 e b = 6, 5. A função que representa o valor do preço em decorrência da quantidade de refeição vendida é: p() =, 5 + 6, 5. Fundamentos da Matemática 19

21 Sabendo que R() = p(), temos que: R() = (, 5 + 6, 5) =, 5 + 6, 5. Considerando que o custo total, nesse problema, está diretamente relacionado com o custo variável, encontramos a função custo fazendo: C() = C u = 3. Logo, a função lucro é obtida como segue abaio: L() = R() C() =, 5 + 6, 5 3 =, 5 + 3, 5 Voltemos à pergunta: A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu lucro seja máimo? Perguntamos ainda: que ferramenta matemática podemos utilizar para, enfim, respondermos esta questão? O vértice da parábola é a ferramenta procurada, pois através dele determinarmos os pontos de máimo ou de mínimo. Neste caso, como a < na função lucro acima, temos que esta admite ponto de máimo. Logo, = b a = 3, 5 (, 5) = 35 Portanto, a quantidade que maimiza o lucro é = 35 e, para obtermos o preço que maimiza o lucro, basta substituir por 35 na função preço: p =, , 5 = 4, 75. Eemplo O custo fio mensal de uma empresa é R$5.,, o custo variável por unidade produzida é R$3, e o preço de venda é R$4,. (a) Qual a quantidade que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de R$., mensal, sabendo-se que o imposto de renda é igual a 35% do lucro? (b) Qual a quantidade produzida que apresenta nem lucro e nem prejuízo? Solução: (a) Temos que o custo total é encontrado por C() = C F + C u, em que C F é o custo fio e C u é o custo unitário. Assim, C() = A receita é encontrada por R() = p, FTC EAD

22 Em que p é o preço de venda e é a quantidade. Assim, R() = 4. O lucro total é dado por L T () = R() C() = 4 (5. + 3) = O lucro líquido é obtido por L L () = L T () I(). Em que I() =, 35 L T (). Daí, segue que L L () = L T (), 35L T () =, 65L T =, 65(1 5.) = 6, Como L L () =., temos 6, =.. Resolvendo esta equação, em, temos: 6, 5 = = 5.5 6, 5 87, 7. (b) Neste caso, temos R() = C() L L () = 6, = = 5. Eemplo 1.1. Sejam R T (q) = q + 1q e C T (q) = q + 8, com q 1, as funções receita total e custo total, respectivamente. (a) Determine os pontos de nivelamento. (b) Construa, no mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções R T e C T destacando os pontos de nivelamento. (c) Determinando a função lucro e construindo seu gráfico, para quais valores de q temos: lucro máimo, lucro, prejuízo e nenhum lucro? (d) Qual a quantidade produzida, que produz a maior receita? Solução: (a) Para determinar o ponto de nivelamento devemos fazer R T (q) = C T (q), logo q + 1q = q + 8 q 9q + 8 =. Resolvendo esta equação de o grau, obtemos q N1 = 1 e q N = 8. (b) Vamos analisar, primeiramente, a função receita R T (q) = q + 1q, que é quadrática. Sendo a = 1, então a concavidade é voltada para baio; Seu discriminante é = ( 1) 4 1 = 1; Fundamentos da Matemática 1

23 Suas raízes são assim determinadas: q = 1 ± 1 ( 1) q = ou q = 1. O vértice V tem coordenadas V = 1 ( 1) = 5 e y V = 1 = 5. Assim V(5, 5). 4 ( 1) Como c =, a parábola corta o eio vertical em P(, ). R 5 V 5 1 q Para a função custo C T (q) = q + 8, vamos determinar dois pontos do seu gráfico por se tratar uma reta. Para tanto, temos: O zero é obtido fazendo C T (q) =, ou seja, q + 8 = implicando em q = 8. Logo, o ponto é ( 8, ); Como o coeficiente linear é 8, isto é, seu gráfico corta o eio vertical em P(, 8). C 18 1 q Como não eiste quantidade negativa, iremos considerar a parte positiva do eio das abscissas. Além disso, temos q 1. Abaio, o esboço gráfico das funções num mesmo plano cartesiano, em que, q 1. R$ q FTC EAD

24 Observe que C T () = + 8 = 8 e C T (1) = = 18. (c) Sabemos que L T (q) = R T (q) C T (q) = q + 1q (q + 8) = q + 9q 8. Portanto, a função lucro (L t (q)) é quadrática e seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baio, pois a = 1. R$ O discriminante é = (9) 4 ( 1) ( 8) = 49 e suas raízes são q = 1 e q = 8. O seu vértice tem coordenadas V 9, 5. Como c = 8, a parábola corta o eio vertical em P(, 8). O esboço do gráfico da função lucro total está ao lado q Os zeros da função lucro são os pontos de nivelamento. De fato, L T () = implica R T () = C T (). Conforme a figura acima, podemos perceber que a função lucro é positiva, ou seja, teremos lucro, no intervalo (1, 8); prejuízo (L T () < ): < q < 1 ou 8 < q < 1. Não se tem lucro e nem prejuízo quando q = 1 ou q = 8. O lucro máimo é determinado pela ordenada do vértice da parábola, ou seja, L ma = y V = 5 (d) A quantidade produzida que determina a maior receita é o V da função receita, ou seja, q = 5. Confirme este resultado no item (b). 1.5 Funções Oferta e Demanda A quantidade q de um produto ou bem que é manufaturado e vendido depende de seu preço p. Usualmente, se assume que quando o preço sobe, os produtos têm disposição para fornecer mais do produto e a demanda (procura) do consumidor cai. Como os produtores e consumidores têm reações diferentes à variação do preço, há duas funções ligando p e q. Estas funções podem ser representadas por qualquer curva. Criteriosamente trabalharemos com funções do primeiro e do segundo grau. A função oferta relaciona o preço e quantidade do ponto de vista do produtor, ou seja, quanto mais interessante (alto) o valor da mercadoria, maior p(q) Oferta será a sua disponibilidade por parte dos produtores no mercado. Enquanto que a função demanda relaciona o preço e a quantidade do ponto de vista do consumidor, ou seja, quanto mais interessante (baio) o valor da mercadoria maior será a sua procura pelos consumidores no mercado. Assim, as funções Demanda de oferta e demanda são, respectivamente, crescentes e decrescentes, como mostra a figura ao lado. q Para pensar A figura ao lado mostra as curvas de oferta e demanda para um dado produto. Fundamentos da Matemática 3

25 (a) Qual é o preço de equilíbrio para esse produto? A este preço, que quantidade será produzida? p(q) (b) Escolha um preço acima do preço de equilíbrio, 5 Oferta por eemplo, p = 1. A este preço, quantos itens os fornecedores estarão dispostos a produzir? Quantos itens os consumidores quererão 4 3 comprar? Use suas respostas a estas perguntas para eplicar porque, se os preços estiverem acima do preço de equilíbrio, o mercado tende a empurrar os preços para baio (em direção ao equilíbrio). 1 Demanda 3 6 q (c) Agora escolha um preço abaio do preço de equilíbrio, por eemplo, p = 8. A este preço, quantos itens os fornecedores estarão dispostos a fornecer? Quantos itens os consumidores quererão comprar? Use suas respostas a estas perguntas para eplicar porque, se os preços estiverem abaio do preço de equilíbrio, o mercado tende a empurrar os preços para cima (em direção ao equilíbrio). Nota 6. No Ambiente Virtual de Aprendizagem eiste uma espaço para discussão coletiva, chamado Fórum da Disciplina. Acesse e poste a resolução desta questão. Situação Problema Suponha que as curvas de demanda e oferta para um produto são, respectivamente, p = 1, 5 e p = 1 +, 5. (a) Qual o ponto de equilíbrio de mercado? (b) Se o governo cobrar, junto ao produtor, um imposto de R$3,, que efeitos têm os impostos sobre o preço e a quantidade para este produto? Quem paga a conta? O produtor ou o consumidor? A oferta de um bem, num certo intervalo de tempo, é a quantidade do bem que os vendedores desejam oferecer no mercado e a demanda de um bem, num certo intervalo de tempo, é a quantidade do bem que os consumidores pretendem adquirir no mercado. O preço do bem define a oferta ou escassez de um produto no mercado, pois se o preço na análise do produtor é baio, o mesmo não disponibiliza-o no mercado, para que a procura do produto (ausência no mercado) gere aumento no preço. Claro que, quanto mais alto o preço estiver, mas dispostos os produtores estarão a colocar sua mercadoria para circular no mercado. No entanto, o consumidor não compra. Para equilibrar este impasse, o governo estabelece um ponto de equilíbrio, a fim de se garantir o produto no mercado a um preço que o consumidor possa adquiri-lo. Portanto, é preciso saber que o preço este diretamente ligado a escassez ou a oferta de um bem no mercado. Como encontraremos o ponto de equilíbrio? A resposta é simples. Basta igualar a função oferta à função demanda. Sendo assim, 1, 5 = 1 +, 5 = 9. Fazendo a substituição de por 9 em uma das equações (isso se deve ao fato, de para = 9, ambas as equações são equivalentes. Daí, p = 1 +, 5 9 = 55 4 FTC EAD

26 Logo, o ponto de equilíbrio, é (9, 55), ou seja, o preço de mercado para o produto é 55 reais e a quantidade que o consumidor estará disposto a comprar é de 9 unidades do produto. Se o governo cobrar, junto ao produtor, um imposto de R$3,, que efeitos têm os impostos sobre o preço e a quantidade para este produto? Quem paga a conta? O produtor ou o consumidor? Como o imposto é acrescido na função oferta, devemos acrescer 3, ou seja, p = 1 +, = 13 +, 5. Em virtude da cobrança do imposto, precisamos estabelecer um novo ponto de equilíbrio, a saber: = 87, que é a solução da equação 1, 5 = 13 +, 5. Atenção: Para encontrar este novo ponto de equilíbrio igualamos a nova oferta à função demanda. é: Para o novo ponto de equilíbrio, = 87 representa a quantidade de equilíbrio e, o novo preço de equilíbrio p = 1 +, 5 87 = 56, 5. Como podemos perceber, o imposto sobre o produtor resultou no aumento do preço do produto, o consumidor pagou R$1, 5 a mais. Sendo assim, o consumidor sempre paga a conta e, neste caso, assume parte do imposto que deveria ser aplicado sobre o produtor que repassa, através do aumento do preço do produto, para o consumidor. Pode? 1.6 Outras Funções Importantes Um Vínculo Orçamentário Um debate constante envolve a alocação entre defesa e programas sociais. Em geral, quanto mais é gasto com a defesa, menos fica disponível para programas sociais e vice-versa. Simplifiquemos o eemplo para armas e manteiga. Assumido que um orçamento constante é afim, mostraremos que a relação entre o número de armas e a quantidade de manteiga é afim. Suponha que eistem R$1., para serem gastos e que devem ser divididos entres armas, custando R$4,, e manteiga, custando R$., a tonelada. Suponha, também, que o número de armas comprado é g e que o número de toneladas de manteiga é b. Então a quantia gasta com armas é R$4., a quantia gasta com manteiga é R$. b. Supondo que todo o dinheiro é gasto, quantia gasta com armas + quantia gasta com manteiga = 1., ou Dividindo por 4, obtemos 4g +.b = 1.. g + 5b = 3 A equação é o vínculo orçamentário. Seu gráfico é uma reta, pois é afim. Observe: b 6 3 g Como o número de armas compradas determina a quantidade de manteiga comprada (porque todo o dinheiro não gasto com armas vai para manteiga), b é função de g. Logo, g = 3 5b, Fundamentos da Matemática 5

27 que é uma formula eplícita para g em termos de b. Do mesmo modo, g + 5b = 3 5b = 3 g b = 3 g 5 ou b = 6, g, que eplicita b como função de g. Como tais funções são afins, o gráfico do vínculo orçamentário é uma reta, como já foi visto Funções de Depreciação A função de depreciação D(t) fornece o valor de um produto ou bem que deprecia, linearmente, em função do tempo t, desde que o produto foi comprada. Será representado por D(t) = v i + m t, em que v i é o valor do bem quando novo; v f é o valor do bem após t anos. m é a inclinação dada pela fórmula m = v f v i t f t i. Eemplo Suponha que a fábrica de cadernos tem uma máquina que custa R$18.,. Os gerentes da empresa planejam conservar a máquina por dez anos e, então, vendê-la por R$.5,. Dizemos, neste caso, que o valor da máquina se deprecia de R$18., hoje a um valor de revenda de R$.5, reais em dez anos. Solução: O valor da máquina nova é R$18., e t =, pois a máquina nunca foi usada. Neste caso, v I = 18. e D() = = 18.. Quando t = 1 e v f =.5. Logo, m = = = A inclinação nos diz que o valor da máquina é decrescente a uma taa de R$1.55 por ano. R$ q Composição de Funções Observe a situação abaio. 6 FTC EAD

28 Uma loja de eletrodomésticos recebe, através de um banco, as prestações dos produtos vendidos em crediário. No mês de outubro, a loja fará a seguinte promoção: o cliente que pagar a prestação na primeira quinzena do mês terá um desconto sobre o valor da prestação. O cliente pagará apenas o valor f (), dado pela função: f () =, 8. O banco que faz a intermediação desse dinheiro cobra da loja uma taa de serviços. Para cada quantia de t reais recebidos, o banco transfere para conta da loja a quantia g(t) =, 95t. Entenda bem o esquema: Banco f () = t f g Cliente Loja g(t) A prestação do mês de outubro de um cliente é de 15 reais. Se esse cliente pagá-la na primeira quinzena do mês, quanto pagará? A resposta para essa questão é dada pela função f () =, 8. O cliente vai pagar f (15) =, 8 15 = 1 reais Que parcela desse dinheiro será transferida pelo banco para a conta da loja? A resposta é dada pela função g(t) =, 95 t. Como o banco terá recebido t = 1 reais do cliente, a loja receberá do banco: g(1) =, 95 1 = 114reais A prestação de um cliente para o mês de outubro é de reais. Se esse cliente pagá-la na primeira quinzena de outubro, terá o desconto oferecido pela loja. Qual a função que dá o valor recebido pela loja em função de, sabendo que esse cliente pagará a prestação na primeira quinzena? Banco, 8 f g Cliente h Loja, 9, 8 A função h é que epressa o valor recebido pela loja em função de, ou seja, h() =, 95, 8 =, 76. A função h é chamada de função composta de g com f. Sejam A, B e C conjuntos e sejam as funções f : A B e g : B C. A função h : A C tal que h() = g(f ()) é chamada de função composta de g com f. Indicaremos essa composição por g f, lê-se g composta com f. Fundamentos da Matemática 7

29 Em diagramas, temos: A f B f () h = g f g C g(f ()) Para Fichar Pesquisadores ambientalistas estimam que em certa cidade a concentração de monóido de carbono no ar será dada pela função C(n) =, 37n + 3, 9 partes por milhão (p.p.m) de monóido de carbono, quando sua população for de n mil habitantes. Um estudo demográfico indica que a população da cidade é dada pela função n(t) =, 67t + 1, 9 mil habitantes, onde t é dado em anos. (a) Determine a função que nos dá a concentração de monóido de carbono no ar em função do tempo t. (b) Daqui a quanto tempo teremos uma concentração de 13,87 p.p.m de monóido de carbono no ar dessa cidade? (a) Temos que C(n(t)) =, 37(, 67t + 1, 9) + 3, 9 =, 479t + 8, 673p.p.m. (b) Nesse caso, C(n(t)) = 13, 87, 479t +8, 673 = 13, 87, 479t = 5, 197 t, 96 t, 96 t = 4, 58 anos ou seja, daqui a aproimadamente 4 anos e 7 meses. 1.7 Funções Definidas por mais de uma Sentença Consideremos a seguinte situação: Um elevador é construído mediante as seguintes especificações: Para carga de massa menor ou igual a 1.kg, são usados cabos de aço de mm de diâmetro. Para carga de massa kg, em que > 1, são usados cabos de aço de mm de diâmetro. 5 A função seguinte mostra o diâmetro f () de cada cabo, em função da massa, f () em mm e em kg:, se 1. f () =, se > 1. 5 Esta função é um eemplo de função definida por sentenças, neste caso, duas sentenças, são elas: 8 FTC EAD

30 1. f () =, se 1.;., se > Constrói-se o gráfico de uma função com várias sentenças a partir de cada sentença, respeitando as condições de eistência, num mesmo sistema de coordenadas. O gráfico está eibido a seguir. y Funções de Duas Variáveis Uma loja vende dois produtos, o primeiro a $6, a unidade e o segundo a $8, a unidade. Considere e y as quantidades vendidas do primeiro e do segundo, respectivamente: (a) Determine a função receita: (b) Qual o valor da receita se forem vendidos 7 unidades do primeiro produto e 13 do segundo: (c) Quais as quantidades do primeiro produto e quais as quantidades do segundo produto a loja precisa vender para ter uma receita de $1.,. Solução: (a) A função receita é dada por R(, y) = y. (b) R(7, 13) = = 14.6, unidades monetárias. (c) R(, y) = y = 1. 8y = y = y Eercícios Propostos 8 3 EP 1.1. Uma fábrica de equipamento Eletrônico estima que o custo variável por unidade de produção de calculadoras por dia é dado por: Fundamentos da Matemática 9

31 Matéria-prima: R$8, por unidade. Mão de obra: R$7, por unidade. Sabendo que cada calculadora é vendida por R$3, e o custo fio mensal é de R$3.,, podemos afirmar que a quantidade de calculadoras que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de no mínimo R$4., por mês, sabendo-se que o imposto de renda é igual a % do lucro, é? (a) 5 (b) 51 (c) 5 (d) 54 EP 1.. Uma loja vende dois produtos, o primeiro a R$5, a unidade e o segundo a R$6, a unidade. Considere e y as quantidades vendidas do primeiro e do segundo respectivamente. Qual das alternativas abaio responde as seguintes perguntas: (I) Qual o valor da receita se for vendidos 1 unidades do primeiro produto e 15 do segundo. (II) Qual epressão representa a quantidade do primeiro produto e do segundo produto que a loja precisa vender para ter uma receita de R$3.,. (a) R$14.; y = (b) R$15.; y = (c) R$14.; y = (d) R$15.; y = EP 1.3. Uma caia aberta em cima tem um volume de 1m 3. O comprimento da base é o dobro da largura. O material da base custa R$1, por metro quadrado, ao passo que o material das laterais custa R$6, por metro quadrado. A epressão que representa o custo total em função da largura da caia é: (a) C(l) = l + 18, l > l (b) C(l) = l + 36l, l > (c) C(l) = l + 18, l > l (d) C(l) = l + 18 l, l > EP 1.4. Para produzir um determinado produto, uma firma gasta R$1, por unidade. Além disso, há uma despesa fia de R$4.,, independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R$, por unidade. Qual é o mínimo de unidades, a partir de qual a firma começa a ter lucro? (a) R$1.8, (b) R$.5, (c) R$3.6, (d) R$5., EP 1.5. Admita que o Sr. Cardoso seja um empresário que se dedica eclusivamente à produção de leite e que 3 FTC EAD

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