NOVO MÉTODO PREDITOR-CORRETOR PARA FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO
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1 NOVO MÉTODO PREDITOR-CORRETOR PARA FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO Aurelio Ribeiro Leite de Oliveira, Roy Wilhelm Probst IMECC UNICAMP CP 6065 CEP Campinas SP s: Abstract A predictor-corrector interior-point method is developed to the AC active and reactive optimal power flow problem. Voltage rectangular coordinates is adopted instead of polar ones, once it allows nonlinear corrections for the primal and dual feasibility constraints and not only for the complementary conditions as in the traditional nonlinear programming methods. Computational experiments for IEEE test systems and a real Brazilian system are presented showing the advantages of the proposed approach. Keywords interior-point methods, nonlinear programming, power systems. Resumo Um método de pontos interiores preditor-corretor é desenvolvido para o problema de fluxo de potência ótimo ativo-reativo. As tensões são representadas em coordenadas cartesianas ao invés de coordenadas polares, pois estas permitem correções não lineares nas restrições de factibilidade primal e dual e não apenas nas condições de complementariedade como nos métodos tradicionais de programação não-linear. Experimentos computacionais com sistemas de teste IEEE e um sistema real brasileiro são apresentados e mostram as vantagens do método proposto. Palavras-chave métodos de pontos interiores, programação não-linear, sistemas de potência. 1 Introdução O cálculo de fluxo de potência é uma ferramenta importante envolvendo análise numérica aplicada à sistemas de potência. A modelagem do sistema é estática e considera que as variações com o tempo são suficientemente lentas para que se possa ignorar os efeitos transitórios, que só poderiam ser levadas em consideração se fosse utilizada uma modelagem dinâmica envolvendo equações diferenciais (Monticelli, 1983). Fluxo de potência ótimo é o problema de otimização que tem como restrição as equações de balanço de potência provenientes do cálculo de fluxo de potência e como função objetivo alguma medida de desempenho. A importância do fluxo de potência ótimo é planejar a expansão do sistema de potência, assim como determinar o melhor ponto de operação para os sistemas existentes. A solução do problema fornece o perfil da tensão e a injeção de potência ativa e reativa em cada barra. O problema de fluxo de potência ótimo (AC) teve sua primeira formulação nos anos 60, com o problema de despacho econômico de Carpentier (1962). Desde então, vários métodos de otimização foram propostos para resolver este problema. Na década de 80, a publicação do trabalho de Karmarkar (1984) iniciou uma nova linha de pesquisa conhecida como métodos de pontos interiores, e uma década depois os métodos primais-duais surgiram como os métodos mais importantes e úteis desta classe de problemas (Wright, 1996). Entre os métodos primais-duais, destaca-se o método preditor-corretor de Mehrotra (1992), que passou a ser a base da maioria dos códigos relacionados a pontos interiores. A contribuição de Mehrotra foi combinar idéias já existentes e adicionar heurísticas para escolha do parâmetro de centragem, tamanho do passo e ponto inicial. Devido ao tamanho e características especiais dos problemas, os métodos de pontos interiores mostraram-se uma boa alternativa para os problemas de fluxo de potência ótimo. Em 1994, Granville propôs a implementação do método primaldual barreira logarítmica para o problema de despacho reativo (Granville, 1994). Também neste ano, Wu, Debs e Mastern apresentam o problema de fluxo de potência ótimo com a variante preditor-corretor do método primal-dual (Wu et al., 1994). Torres e Quintana combinam os métodos de pontos interiores com a utilização de coordenadas cartesianas para representar a tensão (Torres and Quintana, 1998). Atualmente os métodos de pontos interiores estão entre os mais utilizados na área de sistemas de potência devido a sua velocidade e robustez (Momoh et al., 1999; Garzillo et al., 1999; Quintana et al., 2000). Neste trabalho é proposto um novo método preditor-corretor com correção em todas as condições de otimaldade para o problema de fluxo de potência ótimo com coordenadas cartesianas. Outra contribuição consiste de uma heurística para tratar as restrições de magnitude das tensões. 2 Problema de fluxo de potência ótimo ativo-reativo AC A representação mais comum da tensão (T k ) utilizada nos estudos de sistemas de potência é através de coordenadas polares. Entretanto, a representação em coordenadas cartesianas pode ser vantajosa, pois a Hessiana é constante e a expansão 578
2 de Taylor é exata para o termo de ordem dois. A vantagem de trabalhar com coordenadas polares, que modelam facilmente a magnitude das tensões, perde importância devido ao tratamento eficiente de desigualdades proporcionado pelos métodos de pontos interiores. Portanto, as tensões serão representadas em coordenadas cartesianas (Torres and Quintana, 1998): T k = e k + jf k onde e k e f k são os componentes reais e imaginários da tensão, respectivamente. Expressões matriciais para as injeções de potência ativa (P) e reativa (Q) podem ser obtidas a partir das tensões: P = EGe + FGf + FBe EBf Q = FGe EGf EBe FBf (1) onde E e F são matrizes diagonais de e e f, G e B são as matrizes de condutância e susceptância do sistema de potência, respectivamente. O problema de fluxo de potência ótimo consiste em determinar o estado de operação ótimo de um sistema elétrico de geração/transmissão de potência, minimizando simultaneamente uma determinada função objetivo e satisfazendo algumas restrições físicas e operacionais. Definindo x = (e f) t, este problema pode ser formulado como (Monticelli, 1983): min φ(x) s.a P k (x) + Pk C P k G = 0 k C Q k (x) + Q C k QG k = 0 k C (vk min ) 2 V k (x) (vk max ) 2 k N Pk min P k (x) Pk max k G Q min k Q k (x) Q max k k R (2) onde para cada barra k: V representa o quadrado da magnitude da tensão; P C e Q C representam as demandas de potência ativa e reativa; P G e Q G representam as gerações de potência ativa e reativa; v min e v max representam os limites de magnitude da tensão; P min e P max representam os limites de injeção de potência ativa; Q min e Q max representam os limites de injeção de potência ativa. Os conjuntos de índices representam todas as barras do sistema (N), barras de carga (C), barras de geração de potência ativa (G) e barras de controle de potência reativa (R). A função objetivo representa diferentes critérios de desempenho dos sistemas elétricos, como a diferença de injeção de potência ativa calculada e planejada ou injeção de potência ativa na barra de folga. Neste trabalho a função objetivo será dada pela minimização das perdas de potência ativa nas linhas de transmissão: φ(x) = e t Ge + f t Gf. (3) 3 de pontos interiores A formulação do fluxo de potência ótimo pode ser obtido a partir do modelo de programação nãolinear: min f(x) s.a g(x) = 0 h min h(x) h max. (4) Na dedução dos métodos de pontos interiores (Wright, 1996), as restrições de desigualdade são transformadas em igualdades adicionando variáveis de folga: min f(x) s.a g(x) = 0 h(x) + s 1 = h max h(x) s 2 = h min (s 1, s 2 ) 0. (5) A condição de não negatividade das variáveis de folga é imposta adicionando uma barreira logarítmica à função objetivo: min f(x) µ (lns 1i + lns 2i ) i s.a g(x) = 0 s 1 + h(x) h max = 0 s 2 h(x) + h min = 0. (6) A função Lagrangiana do problema (6) é dada por: L = f(x) µ (lns 1i + lns 2i ) + y t g(x)+ i +z1(s t 1 + h(x) h max )+ +z2 t(s 2 h(x) + h min ). Um mínimo local de (6) pode ser expresso como um ponto estacionário da função Lagrangeana e satisfaz as condições necessárias de primeira ordem (KKT): xf(x) t + xg(x) t y+ xh(x) t (z 1 z 2) = 0 (8) S 1 Z 1 u µu = 0 (9) S 2 Z 2 u µu = 0 (10) g(x) = 0 (11) s 1 + h(x) h max = 0 (12) s 2 h(x) + h min = 0 (13) onde S 1, S 2, Z 1 e Z 2 representam as matrizes diagonais de s 1, s 2, z 1 e z 2, respectivamente; u representa o vetor de uns de dimensão apropriada. As equações (11)-(13) e (s 1, s 2 ) 0 correspondem à factibilidade primal; as equações (8) e (z 1, z 2 ) 0 correspondem à factibilidade dual; enquanto que (9)-(10) correspondem a perturbações (µ > 0) das condições de complementariedade (µ = 0). (7) 579
3 3.1 Método de trajetória central Aplicando o método de Newton para resolver as equações (8)-(13), a seguinte matriz Jacobiana (J) é obtida: 2 xx L 0 0 xg(x)t xh(x) t xh(x) t 0 Z S Z S 2 xg(x) xh(x) I xh(x) 0 I resultando no sistema linear x s 1 J s 2 y = z 1 z 2 r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 (14) onde os resíduos r 1 -r 6 correpondem ao lado esquerdo das equações (8)-(13), respectivamente. Após a determinação da direção de Newton, o tamanho do passo é calculado para assegurar que o novo ponto seja estritamente positivo. No método de trajetória central o sistema (14) deve ser resolvido e o parâmetro de barreira µ > 0 decresce monotonicamente para zero durante o progresso das iterações. O valor de µ k é atualizado pela fórmula: µ k = σ k γ k, onde γ k representa a média dos produtos x k i zk i e o parâmetro σ k é dado pela heurística (El-Bakry et al., 1996): σ k = min(0.2, 100(s t 1z 1 + s t 2z 2 )). (15) 3.2 Método preditor-corretor No método preditor-corretor dois sistemas lineares devem ser resolvidos a cada iteração usando a mesma fatoração da matriz. Primeiro, a direção preditora é determinada pela direção afim µ = 0: J x s 1 s 2 ỹ z 1 z 2 = xf(x) t + xg(x) t y+ xh(x) t (z 1 z 2) S 1 Z 1 u S 2 Z 2 u g(x) s 1 + h(x) h max s 2 h(x) + h min. (16) Em seguida, esta direção é utilizada para estimar µ e a correção da direção corretora: ˆx 0 ŝ 1 S 1 Z1 u µu J ŝ 2 ŷ = S 2 Z2 u µu 0. (17) ẑ 1 0 ẑ 2 0 A direção de busca é a soma das direções preditora e corretora. Para a atualização de µ k, definimos γ k como sendo o valor médio dos produtos x i z i se usarmos a direção afim. Se γ k γ k, a direção afim é uma boa direção de busca e tomamos µ k próximo de 0. Se γ k é apenas um pouco menor que γ k, tomamos µ k próximo de 1 (Wright, 1996). Para isto, Mehrotra sugere a seguinte heurística (Mehrotra, 1992): ( ) γ σ k k 3 =. (18) γ k Embora os métodos preditor-corretor sejam muito eficientes em programação linear, existe uma desvantagem em programação não-linear: eles não calculam nenhuma correção nas condições de factibilidade primal e dual. 3.3 Método preditor-corretor modificado O uso de coordenadas cartesianas para representar a tensão em problemas de fluxo de potência ótimo permite correções em todas as condições de otimalidade e não apenas nas de complementariedade, como no métodos tradicionais de programação não-linear. Estas novas correções melhoram o desempenho computacional do método preditorcorretor. Comparando a formulação (2) com a formulação (4): g(x) = onde [ g P (x) g Q (x) e h(x) = h V (x) h P (x) h Q (x) g P (x) = P(x) + P C P G g Q (x) = Q(x) + Q C Q G h V (x) = V (x) h P (x) = P(x) h Q (x) = Q(x) P(x) = EGe + FGf + FBe EBf Q(x) = FGe EGf EBe FBf V (x) = Ee + Ff (19) (20) para o conjunto apropriado de índices. No método preditor-corretor tradicional para programação não-linear as correções são aplicadas somente nas equações oriundas das condições de complementaridade. As correções não são aplicadas nas demais restrições porque geralmente resultam em expressões complexas ou impossíveis de obter analiticamente. No entanto, ao utilizarmos o modelo em coordenadas cartesianas para o problema de fluxo de potência ótimo, estas correções podem ser obtidas analiticamente pois todas as restrições são quadráticas. As restrições de balanço de potência podem ser expressas de forma geral como: XAx b = 0. (21) 580
4 Aplicando o método de Newton, temos: (XA + diag(ax)) x = b XAx. (22) Substituindo x = x + x nas equações originais, temos: XA x b = (X + X)A(x + x) b = XA x, (23) pois XAx = diag(ax) x. Assim, a correção não linear para (21) é dada por XA x. Para obter as equações duais é preciso definir a função objetivo. Utilizando uma função quadrática genérica temos φ(x) = x t Hx. Desprezando as canalizações, a função Lagrangiana do problema é dada por L(x, y) = x t Hx + y t (XAx b). As equações duais ( x L = 0) podem ser obtidas a partir da Lagrangiana: 2Hx + A t Y x + Y Ax = 0. Aplicando o método de Newton, temos: (2H + A t Y + Y A) x + (A t X + diag(ax)) y = 2Hx A t Y x Y Ax. Substituindo ( x, ỹ) = (x, y) + ( x, y) na equação original e procedendo analogamente às equações primais (23), temos: 2H x + A t Ỹ x + Ỹ A x = At Y x + Y A x, pois Y Ax = diag(ax) y e A t Y x = A t X y. Assim, a correção não linear para as equações duais é dada por: A t Y x + Y A x. 3.4 Fluxo de Potência Ótimo Utilizando as equações obtidas na seção anterior, as correções a serem usadas no sistema (17) são: [ ˆr 1 = ˆr 3 = ˆr 5 = onde: xp( x) t ỹ p+ xp( x) t z 1p xp( x) t z 2p xq( x) t ỹ q+ xq( x) t z 1q xq( x) t z 2q ˆr 2 = S 1v z 1v µu S 1p z 1p µu S 1q z 1q µu S 2v z 2v µu S 2p z 2p µu S 2q z 2q µu V ( x) P( x) Q( x) P( x) Q( x) V ( x) = ; ˆr 6 = ˆr 4 = V ( x) P( x) Q( x) [ P( x) Q( x), ẼG ẽ+ FG f+ FB ẽ ẼB f = FG ẽ ẼG f ẼB ẽ FB f = x P( x) = x Q( x) = Ẽ ẽ + F f [ [ ẼG+ FB+diag(G ẽ B f) FG ẼB+diag(G f+b ẽ) FG ẼB diag(g f+b ẽ) ẼG FB+diag(G ẽ B f). 4 Experimentos computacionais Os testes foram realizados utilizando a linguagem de programação MATLAB 7.8 (R2009a) em um computador com processador Intel Core 2 Quad Q9550 2,83 GHz, com 3,23 GB de memória RAM e sistema operacional MS Windows XP. A Tabela 1 resume as dimensões dos sistemas de potência utilizados nos testes ( B é a quantidade de linhas de transmissão). O sistema BRA- SIL representa uma versão do sistema interconectado brasileiro e os demais são sistemas de teste da IEEE de diferentes tamanhos. Sistema N G R C B IEEE IEEE IEEE BRASIL Tabela 1: Sistemas de Potência Antes da resolução dos sistemas lineares, a dimensão do problema é reduzida através da eliminação de variáveis, o que não altera o padrão esparso do problema. Para simular um sistema levemente sobrecarregado, a soma das capacidades de geração de potência ativa é 25% maior que a soma das cargas ativas. A precisão adotada no critério de parada é a norma do resíduo menor que Para os sistemas IEEE são considerados dois casos para os limites da magnitude de tensão: v k [0, 90; 1, 10 e v k [0, 95; 1, 05. O ponto inicial utilizado para as variáveis primais é e k = 1 e f k = 0 e as demais variáveis também são inicializadas com valor 1. Nas Tabelas 2 e 3 encontram-se o número de iterações e o tempo de processamento pelos métodos de trajetória central (TC), preditor-corretor (PC) e preditor-corretor completo (PCC) com v k [0, 90; 1, 10. IEEE IEEE IEEE Tabela 2: Iterações com v k [0, 90; 1, 10 IEEE14 0,03 0,03 0,02 IEEE30 0,04 0,03 0,03 IEEE118 0,44 0,46 0,41 Tabela 3: Tempo (s) com v k [0, 90; 1, 10 Nas Tabelas 4 e 5 estão os resultados obtidos pelos métodos com v k [0, 95; 1,
5 IEEE IEEE IEEE P max / P C TC PC PCC 1, , , Tabela 4: Iterações com v k [0, 95; 1, 05 IEEE14 0,03 0,02 0,02 IEEE30 0,04 0,03 0,03 IEEE118 0,60 0,65 0,49 Tabela 5: Tempo (s) com v k [0, 95; 1, 05 Tabela 7: Iterações para o sistema BRASIL P max / P C TC PC PCC 1,10 80,61 83,30 55,46 1,15 74,39 90,68 52,41 1,20 62,59 113,59 58,99 Tabela 8: Tempo (s) para o sistema BRASIL Embora as tensões sejam limitadas em todas as barras do sistema, em algumas aplicações ela é limitada somente nas barras de geração. Esta heurística obtem bons resultados porque apenas uma pequena quantidade destas restrições está ativa em uma solução ótima. A Tabela 6 mostra a quantidade de restrições ativas nos sistemas IEEE. v k [0, 90; 1, 10 v k [0, 95; 1, 05 Sistema v max v min v max v min IEEE IEEE IEEE Tabela 6: Restrições v k ativas na solução ótima Na implementação para o sistema BRASIL foi utilizada uma nova proposta para auxiliar na convergência do método: inicialmente nenhuma restrição de limite de tensão é considerada, mas logo após cada iteração elas são verificadas. Se algumas das restrições descartadas se tornarem violadas, estas restrições são incluídas no modelo a partir da iteração seguinte. As variáveis primais e duais correspondentes à estas restrições têm valores iguais a média das variáveis deste tipo já introduzidas anteriormente. No caso de serem as primeiras a serem introduzidas, recebem o mesmo valor como se estivessem presentes na primeira iteração. Para simular diferentes situações no sistema BRASIL, a soma das capacidades de geração de potência ativa assume os valores 10%, 15% e 20% maiores que a soma das cargas ativas. Apenas o caso v k [0, 90; 1, 10 é considerado e a precisão no critério de parada é alterada para O ponto inicial utilizado para as variáveis primais também é e k = 1 e f k = 0, mas as variáveis de folga primais são inicializadas com s 1 = max(0, 01; h max h(x)) e s 2 = max(0, 01; h(x) h min ), enquantos que as demais (z 1, z 2 e y) são inicializadas com valor 0, 1. Os resultados obtidos para o sistema interconectado brasileiro estão nas tabelas 7 e 8. A heurística que desconsidera inicialmente as restrições de tensão utilizada no sistema BRASIL é fundamental para a convergência, pois cada uma das 2257 barras geraria duas restrições de desigualdade no modelo. Embora esta heurística não seja necessária para os sistemas IEEE, sua implementação também foi testada para estes sistemas. A Tabela 9, 10, 11 e 12 mostram esses resultados. IEEE IEEE IEEE Tabela 9: Iterações com v k [0, 90; 1, 10 e uso da heurística proposta IEEE14 0,03 0,02 0,02 IEEE30 0,05 0,05 0,04 IEEE118 0,85 0,72 0,54 Tabela 10: Tempo (s) com v k [0, 90; 1, 10 e uso da heurística proposta IEEE IEEE IEEE Tabela 11: Iterações com v k [0, 95; 1, 05 e uso da heurística proposta Observamos que para problemas de menor porte como os sistemas IEEE testados, a nova heurística não apresenta vantagem no que diz respeito ao número de iterações, embora ela seja fundamental na obtenção da convergência no problema 582
6 IEEE14 0,02 0,03 0,02 IEEE30 0,05 0,06 0,04 IEEE118 0,64 0,61 0,62 Tabela 12: Tempo (s) com v k [0, 95; 1, 05 e uso da heurística proposta de maior porte testado, o sitema brasileiro. 5 Conclusões Este trabalho apresenta um novo método preditorcorretor para o fluxo de potência ótimo ativoreativo. A formulação do problema utilizando coordenadas cartesianas permite que as correções não lineares possam ser aplicadas a todas as restrições do problema e não apenas s condições otimalidade como é tradicionalmente feito. Adicionalmente, uma nova heurística que acrescenta as restrições de limite de tensão somente a medida que elas são realmente necessárias acrescenta robustez aos métodos do tipo primal-dual, permitindo resolver sistemas de grande porte com um número pequeno de iterações. Comparando o método preditor-corretor completo proposto neste trabalho (PCC) com o método de trajetória central (TC), observamos que o método PCC obteve desempenho superior em todos os casos testados, conseguindo um tempo de processamento menor mesmo considerando o maior esforço computacional por iteração. Na comparação com o método preditorcorretor tradicional (PC), onde o esforço computacional por iteração é praticamente igual, o PCC obteve um desempenho superior na quantidade de iterações. Em alguns casos testados o PC obteve desempenho inferior até mesmo que o TC, devido à não utilização de correções em todas equações. O tempo de processamento para os sistemas IEEE é similar, pois os sistemas são considerados de pequeno porte e o custo computacional de cada iteração é baixo. Já em um sistema maior, como o interconectado brasileiro, a diferença é significativa e a utilização do método proposto é vantajosa. Finalmente, a nova heurística proposta mostrou ser fundamental na obtenção da convergência de sistemas de grande porte pois reduz a quantidade de restrições do problema primal permitindo a busca de direções mais promissoras para os métodos de pontos interiores. Agradecimentos Este trabalho contou apoio da FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) e CNPq (Conselho Nacional Brasileiro de Desenvolvimento Científico e Tecnológico). Referências Carpentier, J. (1962). Contribution a l etude du dispatching economique, Bulletin de la Societe Francaise des Electriciens 3: El-Bakry, A. S., Tapia, R. A., Tsuchiya, T. and Zhang, Y. (1996). On the formulation and the theory of the Newton interior-point method for nonlinear programming, Journal of Optimization Theory and Applications 89: Garzillo, A., Innorta, M. and Ricci, R. (1999). The flexibility of interior point based power flow algorithms facing critical network situations, Electrical Power & Energy Systems 21: Granville, S. (1994). Optimal reactive power dispatch through interior point methods, IEEE Transactions on Power Systems 9(1): Karmarkar, N. (1984). A new polynomial-time algorithm for linear programming, Combinatorica 4(4): Mehrotra, S. (1992). On the implementation of a primal-dual interior point method, SIAM Journal on Optimization 2(4): Momoh, J. A., El-Hawary, M. E. and Adapa, R. (1999). A review of selected optimal power flow literature to 1993, part II Newton, linear programming and interior point methods, IEEE Transactions on Power Systems 14(1): Monticelli, A. J. (1983). Fluxo de Carga Em Redes de Energia Elétrica, Edgar Blucher, São Paulo. Quintana, V. H., Torres, G. L. and Medina- Palomo, J. (2000). Interior point methods and their applications to power systems: A classification of publications and software codes, IEEE Transactions on Power Systems 15(1): Torres, G. L. and Quintana, V. H. (1998). An interior-point method for nonlinear optimal power flow using voltage rectangular coordinates, IEEE Transactions on Power Systems 13: Wright, S. J. (1996). Primal-Dual Interior-Point Methods, SIAM Publications, Philadelphia. Wu, Y. Q., Debs, A. S. and Mastern, R. E. (1994). A direct nonlinear predictor-corrector prima-dual interior point algorithm for optimal power flows, IEEE Transactions on Power Systems 9(2):
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