CONTROLE DE UM PÊNDULO INVERTIDO SOBRE UMA PLATAFORMA MÓVEL DESCREVENDO TRAJETÓRIA UNIDIMENSIONAL ESPECIFICADA

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1 CONTROLE DE UM PÊNDULO INVERTIDO SOBRE UMA PLATAFORMA MÓVEL DESCREVENDO TRAJETÓRIA UNIDIMENSIONAL ESPECIFICADA GABRIEL VENDRAMINI, PAULO S. DA SILVA Laboratório de Sistemas de Potência e Técnicas Inteligentes, Depto. de Engenharia Elétrica, Universidade Estadual Paulista Caixa Postal 473, Bauru, SP, Brasil s: gabrielvendramini@gmail.com, pss@feb.unesp.br Abstract This paper presents the modeling, simulation, and control of a system composed by an inverted pendulum on a mobile platform describing a one-dimensional trajectory, a quite representative practical situation with dynamics characteristics intrinsically unstable. The proposed system has two outputs to be simultaneously controlled: the angular displacement of the pendulum and the linear displacement of the platform. With the linear model of the plant, two classics controllers (P, PI or PID) are projected starting from the division of the system in two sub problems of one input and one output each of them. Then, with the non-linear model, the system performance is valued according to some previously defined criteria and under different aspects. Keywords Inverted pendulum, mobile platform, linear / non-linear control. Resumo O presente trabalho apresenta a modelagem, a simulação e o controle de um sistema composto de um invertido sobre uma plataforma móvel descrevendo trajetória unidimensional, uma situação prática bastante representativa com características dinâmicas intrinsecamente instáveis. O sistema proposto possui duas saídas a serem controladas simultaneamente: o deslocamento angular do e o deslocamento linear da plataforma. Utilizando-se do modelo linear da planta, projetam-se dois controladores clássicos (P, PI ou PID) a partir da divisão do sistema em dois subproblemas de uma entrada e uma saída cada. Então, utilizando-se do modelo não linear, avalia-se o desempenho do sistema através de alguns critérios pré-estabelecidos e sobre diferentes aspectos. Palavras-chave Pêndulo invertido, plataforma móvel, controle linear / não-linear. 1 Introdução O problema do invertido, apesar de se tratar um sistema mecânico bastante simples, representa várias situações práticas que podem ser analisadas a partir dos conceitos envolvidos em seu estudo. Por exemplo, modelos biomecânicos do modo de caminhar dos seres humanos, possibilitando aplicações em áreas como próteses e braços robóticos, uma vez que a posição ereta e estável de uma pessoa ao caminhar se aproxima muito do invertido (Ribeiro, 007). Particularmente, o conceito de invertido móvel tem sido utilizado em várias aplicações como, por exemplo, veículo de transporte humano, o que futuramente pode se apresentar como alternativa de transporte automático para áreas urbanas (Tirmant et alii, 00), incluindo sua utilização por deficientes físicos. Além disso, estudos de robôs autônomos baseados nesse conceito têm sido realizados pela NASA, apresentando resultados significativos, como os encontrados em (Ambrose et alii, 004). Segundo Miller III et alii (1995), o sistema do invertido possui características dinâmicas intrinsecamente instáveis, o que possibilita o estudo de diversas arquiteturas e tipos de controladores, desde as clássicas até controladores híbridos e/ou baseados em Inteligência Artificial (IA), servindo assim, de sistema alvo para que tais técnicas possam ser colocadas à prova. Devido a sua relativa facilidade de implementação, os compensadores Proporcional-Integral- Derivativo (PID) ainda são amplamente utilizados na indústria, em sistemas SISO (Single Input Single Output). No entanto, esses controladores se baseiam em modelos linearizados da planta a ser controlada, o que, segundo Drummond et alii (1999), pode representar perda de informações importantes para sistemas com altos níveis de exigências. Normalmente, tal controlador é projetado para trabalhar em certo ponto de operação (set point) através do ajuste de seus parâmetros (ganhos proporcional, integral e derivativo). Por conseguinte, se ocorrer mudanças que modifiquem o ponto de operação do sistema, como alteração da condição inicial, variações de parâmetros físicos da planta e perturbações externas, o controlador PID pode não mais apresentar desempenho satisfatório. Para sanar tais deficiências e melhorar o desempenho do sistema de controle, pode-se lançar mão de esquemas híbridos que agregam um Sistema de Controle Inteligente (SCI) baseado em IA, como as redes neurais, ao compensador PID. Alguns trabalhos nessa linha têm apresentado resultados satisfatórios, como os desenvolvidos por Jung e Kim (008), Cho e Jung (003) e Miyagawa e Ishida (1995). Segundo Yoneyama e Nascimento Jr. (000), a utilização de redes neurais é bastante promissora e atraente em casos que apresentam não-linearidade, incertezas, variações de parâmetros ou até mesmo quando se desconhece a dinâmica da planta.

2 Para o presente trabalho, o objetivo é a modelagem, simulação e controle de um sistema composto de um invertido sobre uma plataforma móvel, que deve descrever uma trajetória unidimensional. Para isso, apesar das características limitantes que envolvem o uso dessa técnica, utiliza-se de controladores clássicos lineares PID. Dessa forma, o objetivo é avaliar o sistema através de alguns critérios de desempenho, como tempos de pico e de assentamento, além de robustez e sensibilidade. Além disso, pretende-se levantar possíveis pontos positivos e negativos de tal técnica quando aplicada a esse problema com características instáveis. Onde: Figura 1. Sistema proposto. Métodos Para desenvolver os algoritmos de controle e realizar as análises necessárias do sistema, faz-se uso do software MatLab e do seu ambiente de simulação Simulink. O sistema proposto envolve uma plataforma com liberdade de movimento paralelo ao eixo x de um plano cartesiano. Sobre a plataforma, o é fixado pela sua extremidade inferior em um ponto de articulação, obtendo assim, uma liberdade de movimento angular no plano xoy em torno desse ponto. O deslocamento do conjunto para frente ou para trás é proporcionado pela intensidade e sentido de uma força, u(t), aplicada na direção do movimento, por um motor DC cujo eixo está acoplado à plataforma. Essa força também é responsável por manter o equilíbrio do na posição vertical, contrabalanceando a sua dinâmica natural. Com base em artigos de outros autores, particularmente os apresentados por Sultan (003) e Carnegie Mellon, foram definidos os seguintes critérios de desempenho: Pêndulo: tempo de assentamento máximo: 5s; máxima deflexão angular do : 3º; tempo de pico máximo: 1s; coeficiente de amortecimento (ξ ) elevado, para se evitar oscilações excessivas: 0,8 < ξ < 1 Plataforma: tempo de assentamento máximo: 5s; erro máximo em regime: %..1 Modelagem do sistema A estrutura e os parâmetros físicos do sistema do invertido sobre uma plataforma móvel, propostos neste projeto, estão mostrados na Figura 1 e na Tabela 1. Tabela 1. Dados do sistema proposto na Figura 1. Símbolo Descrição Valor CG Centro de gravidade do l Distância entre uma 0,3 m extremidade e o centro de gravidade do M Massa da plataforma 0,8 kg m Massa do, 0, kg uniformemente distribuída J Momento de inércia do em relação ao CG u (t) Força externa, contínua no.1.1 Modelo não-linear tempo, aplicada pelo motor à plataforma 0,006 kg.m (N) Utilizando-se da mecânica Newtoniana, a modelagem do sistema resulta em um sistema de duas equações diferenciais: M + m && x t = u t mlsen t & t + ml t && t bx& t ( θ ) θ cos( θ) θ J + ml && θ ( t) = ml cos( θ ( t)) && x( t) + mglsen( θ ( t)) c& θ ( t) (1) Os parâmetros correspondentes ao sistema de equação (1) são apresentados na Tabela. Tabela. Dados do sistema de equações (1). Símbolo Descrição Valor b Coeficiente de atrito entre plataforma e a superfície 0,15 N.s/m c Coeficiente de atrito do entre e seu eixo de fixação 0,00 N.m.s g Aceleração da gravidade 9,81 m/s θ (t) Deslocamento angular do (rad) & θ (t) Velocidade angular do & θ (t) Aceleração angular do x& (t) Velocidade linear da plataforma & x&(t) Aceleração linear da plataforma (rad/s) (rad/s ) (m/s) (m/s )

3 .1. Modelo linear Assumindo que a planta encontra-se na posição de equilíbrio estável desejado, em que a deflexão angular do é muito pequena ( θ ( t) 0 ), a linearização das equações diferenciais permite obter as seguintes relações: sen( θ ( t)) θ ( t) e cos( θ ( t)) 1. Dessa forma, o sistema de equações (1) se resume a: J + ml && θ ( t) = mlx &&( t) + mglθ ( t) c& θ ( t) M + m && x( t) = u( t) + ml&& θ ( t) bx& ( t) () Aplicando a Transformada de Laplace ao sistema de equações diferenciais (), é possível identificar duas funções em s da planta, convenientes para o estudo do sistema de controle: θ (3) ( s) ( ml) s = 3 U ( s) ( a1) s + [ b( a) + c( a3)] s + [ bc ( a3) mgl] s bmgl Cada malha possui um sinal de realimentação (H1 e H), que pode ser a própria saída ou uma função dela. No caso, a realimentação é tida como unitária. O sistema ainda apresenta um sinal D(t) que representa a ação de distúrbios externos atuando como uma força aplicada à planta ( e plataforma). A arquitetura apresentada é baseada nos artigos apresentados por Jung e Kim (008) e Cho e Jung (003), os quais utilizam uma malha de controle para cada saída desejada. Observa-se que o sinal de atuação de u(t) é regulado pela ação de dois compensadores lineares PID atuando de forma conjunta. No entanto, por se tratar de compensadores normalmente aplicados a sistemas SISO, a proposta de solução consiste em dividir o problema em dois subsistemas específicos de controle, um para cada saída desejada. Inicialmente, analisa-se a malha superior para sintonizar o controlador 01 (C1), que é responsável pelo equilíbrio do. X ( s) ( a) s + ( c) s mgl = 4 3 U ( s) ( a1) s + [ b( a) + c( a3)] s + [ bc ( a3) mgl ] s ( bmgl ) s (4) Onde: a1 = [( M + m)( J + ml ) ( ml) ] a = ( J + ml ) a3 = ( M + m) Com o intuito de tornar o estudo e o projeto mais próximo do real, optou-se por utilizar um modelo de atuador, no caso, um motor DC para compor o sistema, sendo que este se mantém fixo durante todo o estudo. Figura 3. Malha para sintonia de C1. Após o ajuste de C1, ajusta-se o controlador 0 (C), responsável pelo deslocamento da plataforma X (t), dada uma trajetória de referência Xr ( t) = vt, onde v é a velocidade constante de deslocamento.. Sistema de Controle A Figura apresenta o sistema de controle proposto para o problema em questão, o qual é composto por duas malhas, uma para o controle do (malha superior), por meio de seu deslocamento angular θ (t), e outra (malha inferior) para controlar a posição linear da plataforma x(t). Figura. Sistema de Controle proposto. Figura 4. Malha para sintonia de C. Nota-se que o projeto de C, designado para controlar a plataforma, está diretamente ligado à C1, pois a metodologia de solução propõe um encadeamento das ações, ou seja, primeiramente deve-se e- quilibrar o e em seguida deslocar o conjunto a partir de uma referência. Dessa forma, a ação de controle final resulta em uma atuação conjunta dos dois compensadores. Sendo assim, a fim de sintonizar o controlador C1, utilizou-se uma das regras de sintonia de controladores PID de Ziegler-Nichols, especificamente, a regra do período crítico. Tal regra define uma primeira estimativa para os ganhos proporcional, integral e derivativo do controlador com base no ganho e período críticos. Após outros ajustes mais finos, encontrou-se, dentro das especificações pré-estabelecidas, o seguinte controlador:

4 3,36 C 1 ( s) = 1, (0,074) s s (5) A resposta da malha apresentada na Figura 3 para o controlador definido em (5) é a seguinte: não-lineares apresentadas em (1). O intuito é verificar a dinâmica de uma planta mais realista, descrita pelo modelo não-linear, compensada por controladores clássicos, os quais são baseados no modelo linearizado. As Figuras de 7 a 9 apresentam as respostas do sistema ( e plataforma) em diferentes condições de operação. Figura 5. Resposta ao impulso unitário D(t) externo. Tendo sintonizado convenientemente o controlador C1, analisou-se a Figura 4 para sintonizar C. Utilizando-se da Toolbox do MatLab para projeto de sistemas SISO, o melhor compensador encontrado foi um PI (Proporcional Integral), com a seguinte função de transferência: Figura 7. Resposta a uma rampa de referência aplicada à plataforma. ( s + 1,) C( s) = 0,6 s (6) Por fim, avaliou-se a resposta da plataforma a uma rampa aplicada como sinal de referência, o que simula um movimento unidimensional, com velocidade v = 0,1 m/s. A Figura 6 apresenta as curvas de referência e resposta. Figura 8. Resposta a um degrau de referência aplicado à plataforma. Figura 6. Resposta da planta a uma trajetória unidimensional. 3 Resultados Realizou-se, então, a simulação de todo o sistema de controle no ambiente Simulink do MatLab. A Figura 10 apresenta o respectivo diagrama de blocos, no qual é utilizado o conjunto de equações Figura 9. Resposta a um impulso de distúrbio aplicado em D(t) durante a trajetória. Dessa forma, verifica-se que o sistema apresentado cumpre sua função de descrever uma trajetória unidimensional, mantendo o equilibrado na posição vertical.

5 Figura 10. Diagrama de blocos do sistema simulado no ambiente Simulink. No entanto, conforme estudos apresentados por Tirmant et alii (00), é possível utilizar um sistema baseado em um invertido automático móvel para transporte urbano de pessoas. Neste caso, não se tem certeza de alguns parâmetros como altura, peso e centro de massa do ocupante. Tendo em vista essa possível aplicação prática, verificou-se de que maneira o sistema se comporta quando se muda o peso e a altura (associados, respectivamente, ao peso e à altura do ocupante), mantendo, contudo, o seu centro de massa. A Figura 11 apresenta a mesma situação da Figura 7, mas com as seguintes alterações nos parâmetros do : massa m = 1,0 kg e metade do comprimento da haste l = 0,75 m. Adicionalmente, acrescentou-se um deslocamento angular inicial de 5º no e verificou-se a resposta, apresentada na Figura 1. Figura 1. Resposta a uma rampa de referência aplicada à plataforma, com variação dos parâmetros do e na condição inicial de deslocamento angular. 3 Discussão Figura 11. Resposta a uma rampa de referência aplicada à plataforma, com variação dos parâmetros do. A utilização de controladores PID em um sistema de controle requer basicamente três condições: o sistema analisado deve ser do tipo SISO (Single Input Single Output), apresentar um ponto de operação (set point) definido e possuir um modelo linear. Para o problema proposto, a equação diferencial que rege o movimento dinâmico do não é linear. No entanto, como o set point é definido em torno do zero, foram introduzidas aproximações, de modo a tornar o modelo da planta linear. Essa linearização não apresentou nem perdas nem comprometimento das informações pois, quando o sistema operou com deflexões pequenas em torno do ponto estipulado, as respostas obtidas para o foram satisfatórias (Figuras 7, 8 e 9).

6 Apesar de o sistema proposto ser do tipo MIMO (Multiple Input Multiple Output), a metodologia adotada para o projeto dos controladores, a qual decompôs o problema total em dois subproblemas SISO interligados, se mostrou eficiente. Numa primeira análise, as simulações do sistema indicaram que o objetivo de descrever uma trajetória unidimensional mantendo o estável foi alcançado. A plataforma apresentou erro estacionário nulo e a deflexão angular, bem como os tempos de assentamento e de pico do, atenderam aos critérios pré-estabelecidos. O deslocamento da plataforma apresentou, inicialmente, certo atraso, também definido na literatura como tempo morto ou atraso de transporte (Ogata, 003). Apesar de causar um sobre-sinal de 76,43% no início da trajetória, considera-se o resultado satisfatório pelo tempo de assentamento de 3,03 s (Figuras 6, 7 e 9). Destaca-se, no entanto, que o desempenho do no sistema completo em uma condição normal de operação não foi o mesmo quando analisado isoladamente, na Figura 5. Ao mesmo tempo em que a deflexão angular foi menor, o tempo de assentamento foi ligeiramente aumentado. Isso se deve ao fato de que, nos momentos de partida e parada do movimento, o efeito transferido ao equivale a uma ação em degrau e o seu projeto foi baseado em uma situação extrema de ocorrer um impulso externo. No entanto, numa segunda análise, verificou-se que o sistema de controle não é robusto e apresenta uma sensibilidade muito grande quando alguns parâmetros da planta são alterados, não atingindo assim os critérios de desempenho pré-estabelecidos. As Figuras 11 e 1 permitem visualizar que pelo menos os tempos de assentamento, sobre-sinal e amortecimento podem ser significativamente alterados quando se tem uma variação de parâmetros. 4 Conclusão e considerações finais Conclui-se que a modelagem, a metodologia e o projeto dos controladores foram eficazes. No entanto, a sensibilidade e a falta de robustez apresentadas inspiram cuidados quanto à factibilidade prática de tal sistema. Como o projeto de pesquisa no qual esse trabalho se insere encontra-se em andamento, pretende-se substituir os controladores clássicos por um controlador baseado em redes neurais, a fim de se obter um melhor desempenho do sistema em relação aos mesmos pontos aqui avaliados. Espera-se que a rede neural proporcione uma ação de controle mais robusta e eficiente. Agradecimentos Os autores deste artigo expressam seus agradecimentos à FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) pelo apoio e fomento concedidos à pesquisa, na forma de bolsa de Iniciação Científica. Referências Bibliográficas Ambrose, R. O., Savely, R. T., Goza, S. M., et alii (004). Mobile manipulation using NASA's Robonaut. IEEE Conference on Robotics and Automation, : Carnegie Mellon. Control Tutorials for MATLAB and Simulink. Disponível em < Acessado em 10 fev Cho, H. and Jung, S. (003). Neural network position tracking control of an inverted pendulum an X-Y table robot. IEEE/RSJ Conference on Intelligent Robots and Systems, : Drummond, A. D. C., Oliveira, K. C. D. and Bauchspiess, A. (1999). Estudo do Controle de Pêndulo Inverso sobre Carro utilizando Rede Neural de Base Radial. IV Brazilian Conference on Neural Networks, Jung, S. and Kim, S. S. (008). Control Experiment of a Wheel-Driven Mobile Inverted Pendulum Using Neural Network. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 16: Miller III, W. T., Sutton, R. S. and Werbos, P. J. (1995). Neural Networks for Control. Miyagawa, T. and Ishida, Y. (1995). Neural networkbased model reference control for inverted pendulum. IEEE Conference on Neural Networks, 1: Ogata, K. (003). Engenharia de Controle Moderno, São Paulo: Prentice Hall Brasil. Ribeiro, R. (007). Implementação de um sistema de controle de um invertido. 86f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica), Universidade Federal de Itajubá, Itajubá. Segway Inc. Disponível em < Acessado em 10 abr Sultan, K. (003). Inverted Pendulum: Analysis, Design and Implementation. IIEE Visionaries, 003. Disponível em < Pendulum.pdf>. Acessado em 07 jan Tirmant, H., Baloh, M., Vermeiren, L., Guerra, T. M. and Parent, M. (00). B, an alternative two wheeled vehicle for an automated urban transportation system. IEEE Intelligent Vehicle Symposium, : Yoneyama, Y. e Nascimento Jr., C. L. (000). Inteligência Artificial em Atomação e Controle, São Paulo: Edgard Blücher (co-edição FAPESP).