O efeito interacção em modelos de equações estruturais

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1 O efeito interacção em modelos de equações estruturais Maria de Fátima Salgueiro - ISCTE Business School, Lisboa fatima.salgueiro@iscte.pt XIV Congresso Anual da SPE - Covilhã 2006 XIV CONGRESSO DA SPE p. 1/20

2 Estrutura da Apresentação Motivação para o presente estudo; XIV CONGRESSO DA SPE p. 2/20

3 Estrutura da Apresentação Motivação para o presente estudo; Objectivo da apresentação; XIV CONGRESSO DA SPE p. 2/20

4 Estrutura da Apresentação Motivação para o presente estudo; Objectivo da apresentação; Principais abordagens propostas na literatura para estudar o efeito de interacção em modelos de equações estruturais (SEM); XIV CONGRESSO DA SPE p. 2/20

5 Estrutura da Apresentação Motivação para o presente estudo; Objectivo da apresentação; Principais abordagens propostas na literatura para estudar o efeito de interacção em modelos de equações estruturais (SEM); Exemplo de aplicação de duas abordagens; XIV CONGRESSO DA SPE p. 2/20

6 Estrutura da Apresentação Motivação para o presente estudo; Objectivo da apresentação; Principais abordagens propostas na literatura para estudar o efeito de interacção em modelos de equações estruturais (SEM); Exemplo de aplicação de duas abordagens; Breve discussão. XIV CONGRESSO DA SPE p. 2/20

7 Motivação para o presente estudo O efeito interacção entre 2 variáveis, e possível efeito moderador..., é por ex. muito utilizado na Psicologia e no Marketing; XIV CONGRESSO DA SPE p. 3/20

8 Motivação para o presente estudo O efeito interacção entre 2 variáveis, e possível efeito moderador..., é por ex. muito utilizado na Psicologia e no Marketing; a interacção entre 2 variáveis quantitativas X 1 e X 2 é usualmente estimada com MRLM: XIV CONGRESSO DA SPE p. 3/20

9 Motivação para o presente estudo O efeito interacção entre 2 variáveis, e possível efeito moderador..., é por ex. muito utilizado na Psicologia e no Marketing; a interacção entre 2 variáveis quantitativas X 1 e X 2 é usualmente estimada com MRLM: Y = α + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 1 X 2 + e XIV CONGRESSO DA SPE p. 3/20

10 Motivação para o presente estudo O efeito interacção entre 2 variáveis, e possível efeito moderador..., é por ex. muito utilizado na Psicologia e no Marketing; a interacção entre 2 variáveis quantitativas X 1 e X 2 é usualmente estimada com MRLM: Y = α + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 1 X 2 + e E se as variáveis estiverem sujeitas a erro de medida, i.e., forem latentes? O MRLM deixa de ser apropriado... XIV CONGRESSO DA SPE p. 3/20

11 Motivação para o estudo (cont.) É então recomendado um SEM que estime simultâneamente os parâmetros do modelo de medida e do (de regressão) estrutural; XIV CONGRESSO DA SPE p. 4/20

12 Motivação para o estudo (cont.) É então recomendado um SEM que estime simultâneamente os parâmetros do modelo de medida e do (de regressão) estrutural; Nos últimos anos tem sido crescente o interesse em generalizar os SEM a modelos com relações não lineares, em particular modelos com efeitos interacção; XIV CONGRESSO DA SPE p. 4/20

13 Motivação para o estudo (cont.) É então recomendado um SEM que estime simultâneamente os parâmetros do modelo de medida e do (de regressão) estrutural; Nos últimos anos tem sido crescente o interesse em generalizar os SEM a modelos com relações não lineares, em particular modelos com efeitos interacção; A interacção entre ξ 1 e ξ 2 será dada por XIV CONGRESSO DA SPE p. 4/20

14 Motivação para o estudo (cont.) É então recomendado um SEM que estime simultâneamente os parâmetros do modelo de medida e do (de regressão) estrutural; Nos últimos anos tem sido crescente o interesse em generalizar os SEM a modelos com relações não lineares, em particular modelos com efeitos interacção; A interacção entre ξ 1 e ξ 2 será dada por η = α + γ 1 ξ 1 + γ 2 ξ 2 + γ 3 ξ 1 ξ 2 + ζ XIV CONGRESSO DA SPE p. 4/20

15 Motivação para o estudo (cont.) É então recomendado um SEM que estime simultâneamente os parâmetros do modelo de medida e do (de regressão) estrutural; Nos últimos anos tem sido crescente o interesse em generalizar os SEM a modelos com relações não lineares, em particular modelos com efeitos interacção; A interacção entre ξ 1 e ξ 2 será dada por η = α + γ 1 ξ 1 + γ 2 ξ 2 + γ 3 ξ 1 ξ 2 + ζ Como especificar tal modelo? É complexo e não consensual... XIV CONGRESSO DA SPE p. 4/20

16 Exemplo motivador Objectivo: estimar a interacção ξ 1 ξ 2. Mas como criar ou medir a variável latente de interacção inter12?... XIV CONGRESSO DA SPE p. 5/20

17 Exemplo motivador Objectivo: estimar a interacção ξ 1 ξ 2. Mas como criar ou medir a variável latente de interacção inter12?... Path Diagram do modelo conceptual: X1 X2 X3 ksi1 Y1 inter12 eta Y2 X4 X5 X6 ksi2 Y3 XIV CONGRESSO DA SPE p. 5/20

18 Objectivo desta Apresentação Apresentar resumidamente algumas das abordagens propostas na literatura; XIV CONGRESSO DA SPE p. 6/20

19 Objectivo desta Apresentação Apresentar resumidamente algumas das abordagens propostas na literatura; Ilustrar como utilizar duas dessas abordagens: parametrização, restrições impostas e implementação em LISREL 8.8 (Julho de 2006); XIV CONGRESSO DA SPE p. 6/20

20 Objectivo desta Apresentação Apresentar resumidamente algumas das abordagens propostas na literatura; Ilustrar como utilizar duas dessas abordagens: parametrização, restrições impostas e implementação em LISREL 8.8 (Julho de 2006); Comparar os resultados obtidos (estimativas e standard errors para o exemplo motivador apresentado). XIV CONGRESSO DA SPE p. 6/20

21 Principais abordagens na literatura Diferentes estratégias para criar a variável latente de interacção e impôr restrições não lineares ao modelo têm sido propostas; XIV CONGRESSO DA SPE p. 7/20

22 Principais abordagens na literatura Diferentes estratégias para criar a variável latente de interacção e impôr restrições não lineares ao modelo têm sido propostas; Marsh et al. (2004) e Schumacker & Lomax (2004) - 2 abrangentes revisões de literatura; XIV CONGRESSO DA SPE p. 7/20

23 Principais abordagens na literatura Diferentes estratégias para criar a variável latente de interacção e impôr restrições não lineares ao modelo têm sido propostas; Marsh et al. (2004) e Schumacker & Lomax (2004) - 2 abrangentes revisões de literatura; Não existência de consenso na abordagem seguir + difícil implementação nos softwares = muito poucos aplicações publicados, apesar do crescente interesse... ; XIV CONGRESSO DA SPE p. 7/20

24 Principais abordagens na literatura Diferentes estratégias para criar a variável latente de interacção e impôr restrições não lineares ao modelo têm sido propostas; Marsh et al. (2004) e Schumacker & Lomax (2004) - 2 abrangentes revisões de literatura; Não existência de consenso na abordagem seguir + difícil implementação nos softwares = muito poucos aplicações publicados, apesar do crescente interesse... ; originariamente LISREL = linear structural relationships... XIV CONGRESSO DA SPE p. 7/20

25 Multiple-group approach a relação linear entre a variável independente e a dependente é especificada para as diferentes categorias da variável moderadora - categorial vs. contínua discretizada... XIV CONGRESSO DA SPE p. 8/20

26 Multiple-group approach a relação linear entre a variável independente e a dependente é especificada para as diferentes categorias da variável moderadora - categorial vs. contínua discretizada... vantagem: muito fácil de implementar - análise multigrupos em SEM: o mesmo modelo é testado nas sub-amostras, as estimativas obtidas são comparadas; XIV CONGRESSO DA SPE p. 8/20

27 Multiple-group approach a relação linear entre a variável independente e a dependente é especificada para as diferentes categorias da variável moderadora - categorial vs. contínua discretizada... vantagem: muito fácil de implementar - análise multigrupos em SEM: o mesmo modelo é testado nas sub-amostras, as estimativas obtidas são comparadas; desvantagens: não é possível obter estimativa directa do efeito interacção; sub-amostras demasiado pequenas para permitir conclusões. XIV CONGRESSO DA SPE p. 8/20

28 Product indicant approach Incorporar no modelo uma variável latente que represente o efeito interacção; XIV CONGRESSO DA SPE p. 9/20

29 Product indicant approach Incorporar no modelo uma variável latente que represente o efeito interacção; Como escolher os indicadores de medida? Produtos de pares de indicadores? Quais? Todos muitos parâmetros a estimar; XIV CONGRESSO DA SPE p. 9/20

30 Product indicant approach Incorporar no modelo uma variável latente que represente o efeito interacção; Como escolher os indicadores de medida? Produtos de pares de indicadores? Quais? Todos muitos parâmetros a estimar; Contudo os novos indicadores produto deixam de ter distribuição normal, com implicações nos standard errors estimados; XIV CONGRESSO DA SPE p. 9/20

31 Product indicant approach Incorporar no modelo uma variável latente que represente o efeito interacção; Como escolher os indicadores de medida? Produtos de pares de indicadores? Quais? Todos muitos parâmetros a estimar; Contudo os novos indicadores produto deixam de ter distribuição normal, com implicações nos standard errors estimados; Dificuldade de parametrização do modelo impôr restrições à mão no ficheiro de sintaxe - o que pode desencorajar muitos utilizadores... XIV CONGRESSO DA SPE p. 9/20

32 Latent variable scores approach Sugerido por Jöreskog (2000, 2006). Para estimar os scores das variáveis latentes o LISREL 8.8 usa o método proposto por Anderson & Rubin (1956) para obter estimativas individuais das variáveis latentes do modelo e estimativas dos erros de medida e das relações estruturais. Os latent variable scores obtidos têm matriz de var/cov idêntica à estimada para as variáveis latentes do modelo de medida; XIV CONGRESSO DA SPE p. 10/20

33 Latent variable scores approach (cont.) Uma das possíveis utilizações dos latent variable scores é estimar relações não lineares entre variáveis latentes; XIV CONGRESSO DA SPE p. 11/20

34 Latent variable scores approach (cont.) Uma das possíveis utilizações dos latent variable scores é estimar relações não lineares entre variáveis latentes; É mais fácil de implementar do que o product indicant approach; não é preciso especificar restrições não lineares; o que é tanto mais importante quanto mais complexo for o modelo em estudo. XIV CONGRESSO DA SPE p. 11/20

35 Latent variable scores approach (cont.) Uma das possíveis utilizações dos latent variable scores é estimar relações não lineares entre variáveis latentes; É mais fácil de implementar do que o product indicant approach; não é preciso especificar restrições não lineares; o que é tanto mais importante quanto mais complexo for o modelo em estudo. Usaremos em seguida o exemplo motivador atrás apresentado para ilustrar, comparativamente, duas abordagens. XIV CONGRESSO DA SPE p. 11/20

36 Exemplo de aplicação Dados simulados: 9 variáveis com distribuição NMV(0, Σ); 500 observações; XIV CONGRESSO DA SPE p. 12/20

37 Exemplo de aplicação Dados simulados: 9 variáveis com distribuição NMV(0, Σ); 500 observações; Equações do modelo: X = τ X + Λ X ξ + δ; Y = τ Y + Λ Y η + ǫ η = α + γ 1 ξ 1 + γ 2 ξ 2 + γ 3 ξ 1 ξ 2 + ζ Θ δ = var(δ) Θ ǫ = var(ǫ) Φ = var(ξ) XIV CONGRESSO DA SPE p. 12/20

38 Exemplo de aplicação Dados simulados: 9 variáveis com distribuição NMV(0, Σ); 500 observações; Equações do modelo: X = τ X + Λ X ξ + δ; Y = τ Y + Λ Y η + ǫ η = α + γ 1 ξ 1 + γ 2 ξ 2 + γ 3 ξ 1 ξ 2 + ζ Θ δ = var(δ) Θ ǫ = var(ǫ) Φ = var(ξ) X1 X2 X3 ksi1 Y1 inter12 eta Y2 X4 X5 X6 ksi2 Y3 XIV CONGRESSO DA SPE p. 12/20

39 Exemplo - Product indicant approach Indicadores da variável latente inter12: X 14 = X 1 X 4 ; X 25 = X 2 X 5 ; X 36 = X 3 X 6 ; XIV CONGRESSO DA SPE p. 13/20

40 Exemplo - Product indicant approach Indicadores da variável latente inter12: X 14 = X 1 X 4 ; X 25 = X 2 X 5 ; X 36 = X 3 X 6 ; Testes de Normalidade Univariada Skewness Kurtosis Skewness & Kurtosis Variable Z-Score P-Value Z-Score P-Value Chi-Square P-Value X X X X X X X X X XIV CONGRESSO DA SPE p. 13/20

41 Ex. Product indicant approach (cont.) Especificação dos parâmetros do modelo: XIV CONGRESSO DA SPE p. 14/20

42 Ex. Product indicant approach (cont.) Especificação dos parâmetros do modelo: Y 1 Y 2 Y 3 = τ Y 1 τ Y 2 τ Y λ Y 2 λ Y 3 η + ǫ 1 ǫ 2 ǫ 3 ; com Θ ǫ = diag XIV CONGRESSO DA SPE p. 14/20

43 Ex. Product indicant approach (cont.) Especificação dos parâmetros do modelo: X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 1 X 4 X 2 X 5 X 3 X 6 Y 1 Y 2 Y 3 = = τ 1 τ 2 τ 3 τ 4 τ 5 τ 6 τ Y 1 τ Y 2 τ Y 3 τ 1 τ 4 τ 2 τ 5 τ 3 τ λ Y 2 λ Y 3 η + ǫ 1 ǫ 2 ǫ λ λ λ λ 6 0 τ 4 τ 1 1 τ 5 λ 2 τ 2 λ 5 λ 2 λ 5 τ 6 λ 3 τ 3 λ 6 λ 3 λ 6 ; com Θ ǫ = diag ξ 1 ξ 2 ξ 1 ξ 2 + δ 1 δ 2 δ 3 δ 4 δ 5 δ 6 δ 1 τ 4 + δ 4 τ 1 δ 2 τ 5 + δ 5 τ 2 δ 3 τ 6 + δ 6 τ 3 XIV CONGRESSO DA SPE p. 14/20

44 Ex. Product indicant approach (cont.) Θ δ = θ 1 0 θ θ θ θ 5 ; θ 6 τ 4 θ τ 1 θ θ 7 0 τ 5 θ τ 2 θ θ τ 6 θ τ 3 θ θ 9 XIV CONGRESSO DA SPE p. 15/20

45 Ex. Product indicant approach (cont.) Θ δ = θ 1 0 θ θ θ θ 5 ; θ 6 τ 4 θ τ 1 θ θ 7 0 τ 5 θ τ 2 θ θ τ 6 θ τ 3 θ θ 9 com θ 7 = τ 2 4 θ 1 + τ 2 1 θ 4 + φ 11 θ 4 + φ 22 θ 1 + θ 1 θ 4 ; XIV CONGRESSO DA SPE p. 15/20

46 Ex. Product indicant approach (cont.) Θ δ = θ 1 0 θ θ θ θ 5 ; θ 6 τ 4 θ τ 1 θ θ 7 0 τ 5 θ τ 2 θ θ τ 6 θ τ 3 θ θ 9 com θ 7 = τ4 2θ 1 + τ1 2θ 4 + φ 11 θ 4 + φ 22 θ 1 + θ 1 θ 4 ; θ 8 = τ5 2θ 2 + τ2 2θ 5 + λ 2 2 φ 11θ 5 φ 22 θ 2 + θ 2 θ 5 ; XIV CONGRESSO DA SPE p. 15/20

47 Ex. Product indicant approach (cont.) Θ δ = θ 1 0 θ θ θ θ 5 ; θ 6 τ 4 θ τ 1 θ θ 7 0 τ 5 θ τ 2 θ θ τ 6 θ τ 3 θ θ 9 com θ 7 = τ4 2θ 1 + τ1 2θ 4 + φ 11 θ 4 + φ 22 θ 1 + θ 1 θ 4 ; θ 8 = τ5 2θ 2 + τ2 2θ 5 + λ 2 2 φ 11θ 5 φ 22 θ 2 + θ 2 θ 5 ; θ 9 = τ6 2θ 3 + τ3 2θ 6 + λ 2 3 φ 11θ 6 + λ 2 6 φ 22θ 3 + θ 3 θ 6 ; XIV CONGRESSO DA SPE p. 15/20

48 Ex. Product indicant approach (cont.) Θ δ = θ 1 0 θ θ θ θ 5 ; θ 6 τ 4 θ τ 1 θ θ 7 0 τ 5 θ τ 2 θ θ τ 6 θ τ 3 θ θ 9 com θ 7 = τ4 2θ 1 + τ1 2θ 4 + φ 11 θ 4 + φ 22 θ 1 + θ 1 θ 4 ; θ 8 = τ5 2θ 2 + τ2 2θ 5 + λ 2 2 φ 11θ 5 φ 22 θ 2 + θ 2 θ 5 ; θ 9 = τ6 2 θ 3 + τ3 2θ 6 + λ 2 3 φ 11θ 6 + λ 2 6 φ 22θ 3 + θ 3 θ 6 ; 0 φ 11 E[ξ] = 0 ; Φ = φ 21 phi 22 φ φ 11 φ 22 + φ XIV CONGRESSO DA SPE p. 15/20

49 Ex. Product indicant approach (cont.) Depois de especificar manualmente estas restrições no ficheiro de sintaxe..., finalmente as estimativas: XIV CONGRESSO DA SPE p. 16/20

50 Ex. Product indicant approach (cont.) Depois de especificar manualmente estas restrições no ficheiro de sintaxe..., finalmente as estimativas: γ 1 γ 2 γ 3 Estimativa Stand Error t-value XIV CONGRESSO DA SPE p. 16/20

51 Ex. Product indicant approach (cont.) Depois de especificar manualmente estas restrições no ficheiro de sintaxe..., finalmente as estimativas: γ 1 γ 2 γ 3 Estimativa Stand Error t-value Depois de todo este trabalho ˆγ 3 não é significativa, indício de que não existe efeito interacção! XIV CONGRESSO DA SPE p. 16/20

52 Ex. Latent variable scores approach i) Estimar o modelo de medida Y1 Y2 Y3 eta X1 X2 ksi1 X3 ksi2 X4 X5 X6 XIV CONGRESSO DA SPE p. 17/20

53 Ex. Latent variable scores approach i) Estimar o modelo de medida Y1 Y2 Y3 eta X1 X2 ksi1 X3 ksi2 X4 X5 X6 ii) obter e gravar os latent variable scores de ksi1 e ksi2 e computar a variável latente de interacção (como um produto de scores); XIV CONGRESSO DA SPE p. 17/20

54 Ex. LV scores approach (cont.) iii) Estimar os coeficientes γ do modelo de regressão, com base nos latent variable scores anteriormente obtidos. XIV CONGRESSO DA SPE p. 18/20

55 Ex. LV scores approach (cont.) iii) Estimar os coeficientes γ do modelo de regressão, com base nos latent variable scores anteriormente obtidos. É uma metodologia muito fácil de implementar em LISREL, mas... os parâmetros do modelo não são todos estimados simultaneamente. XIV CONGRESSO DA SPE p. 18/20

56 Comparação das duas abordagens Comparação das estimativas obtidas pelas duas abordagens - coeficientes de regressão XIV CONGRESSO DA SPE p. 19/20

57 Comparação das duas abordagens Comparação das estimativas obtidas pelas duas abordagens - coeficientes de regressão γ 1 γ 2 γ 3 Product indicant Estimativa approach Stand Error LV scores Estimativa approach Stand Error XIV CONGRESSO DA SPE p. 19/20

58 Comparação das duas abordagens Comparação das estimativas obtidas pelas duas abordagens - coeficientes de regressão γ 1 γ 2 γ 3 Product indicant Estimativa approach Stand Error LV scores Estimativa approach Stand Error As estimativas obtidas para os γs são muito semelhantes mas os standard errors... XIV CONGRESSO DA SPE p. 19/20

59 Discussão A robustez dos standard errors merece ser mais investigada... não há normalidade de alguns dos indicadores, a estimação ML falha... ; XIV CONGRESSO DA SPE p. 20/20

60 Discussão A robustez dos standard errors merece ser mais investigada... não há normalidade de alguns dos indicadores, a estimação ML falha... ; A forma funcional de interacção pode não ser necessariamente um efeito multiplicativo - outro tipo de efeitos de interacção em SEM é uma área de investigação em aberto; XIV CONGRESSO DA SPE p. 20/20

61 Discussão A robustez dos standard errors merece ser mais investigada... não há normalidade de alguns dos indicadores, a estimação ML falha... ; A forma funcional de interacção pode não ser necessariamente um efeito multiplicativo - outro tipo de efeitos de interacção em SEM é uma área de investigação em aberto; A comparação das estimativas do LISREL com as de outros softwares de SEM merece ser analisada. XIV CONGRESSO DA SPE p. 20/20